第四章 概率与统计高频考点复习（十三大考点）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

第四章 概率与统计高频考点复习 01思维导图 02考点复习 考点一：条件概率、乘法公式及全概率公式 【解题必备】（1）条件概率： 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 （2）乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 1．若事件，发生的概率分别为，，，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分又不必要 2．甲乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，甲乙同时击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（    ） A．该零件出自于甲加工的概率为0.25 B．该零件是次品的概率为0.0525 C．若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D．若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 4．（多选）一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，每人要射击十次，他们前九次射击击中的环数如下表所示： 甲击中的环数 乙击中的环数 (1)求甲前九次射击击中的环数的平均数和方差； (2)用甲､乙前九次射击击中环数的频率分布估计各自第十次射击击中环数的概率分布，且甲､乙每次射击相互独立，求甲､乙两人十次射击击中的环数之和相等的概率. 考点二：相互独立事件的概率、独立重复试验的概率 【解题必备】同时发生的概率：，若相互独立， 6．如果是独立事件，分别是的对立事件，那么以下等式不一定成立的是（    ）. A． B． C． D． 7．甲､乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 8．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 9．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求的拔尖学生，教育部启动了“强基计划”.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙两名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，则甲､乙两人中至少有一人通过面试的概率是 . 10．已知，，，则事件A与B的关系是（   ） A．A与B互斥不对立 B．A与B对立 C．A与B相互独立 D．A与B既互斥又相互独立 考点三：随机变量分布列及性质 【解题必备】（1）求离散型随机变量的分布列的步骤：①理解的意义,写出可能取的全部值；②求取每个值的概率；③写出的分布列. （2）分布列性质的两个作用：①利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性；②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率. 11．已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B．1 C． D． 12．随机变量ξ的分布列如下： 其中，则等于（    ） A． B． C． D． 13．已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 15．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：        支付金额（元） 支付方式 大于2000 仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B 10人 14人 1人 (1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率． (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列． 考点四：随机变量的期望与方差 【解题必备】求离散型随机变量的均值的步骤：①理解的实际意义,并写出的全部取值； ②求出取每个值的概率；③写出的分布列(有时也可省略)； ④利用期望公式，方差公式 计算即可 16．已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 17．为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、烹武术类三个体育社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三位同学参加的社团各不相同的概率为 ，记三位同学所参加的社团种类的个数为X，则 . 18．某银行对某种理财产品作统计，若投资10万元，表示该理财产品的利润（单位：万元），其分布列如下表所示，则 ． 0 2 4 0.2 0.1 0.5 0.2 19．已知随机变量的分布列为，，若，且，则的取值范围为 ． 20．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得分，没有命中得分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分。假设该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立. (1)求该选手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分的分布列及其数学期望. 考点五：期望与方差的性质 【解题必备】对于型的随机变量,则有， 21．已知随机变量的分布列如下: 0 1 设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 22．已知随机变量的概率分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C．2 D． 23．（多选）已知随机变量的分布列为．若，则（    ） A．随机变量的均值为1 B．随机变量的均值为2 C．随机变量的方差为3 D．随机变量的方差为 24．（多选）已知两个离散型随机变量，，满足，其中的分布列如下： 1 2 3 P a b 其中a，b为非负数.若，，则（    ） A． B． C． D． 25．为了锻炼学生身体，丰富高中生活，减轻高三毕业生的压力，某体育老师在课上带领同学们做了一组投篮活动：选出4人进行定点投篮，4人都投篮一次为一轮活动，已知选出的4位同学中有两位同学进球的概率为，另外两位同学进球的概率为． (1)记一轮活动结束后，进球个数为，求的分布列与方差； (2)若随机变量，其中，求． 考点六：两点分布 【解题必备】等差数列的前项和， 等比数列的前项和， 26．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 27．若服从两点分布，，则（    ） A．0.57 B．0.67 C．0.68 D．0.77 28．已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列． 考点七：二项分布 【解题必备】两步法判断一个分布是否为两点分布：①看取值:随机变量只取两个值和；②验概率:检验是否成立； 如果一个分布满足以上两点,则该分布是两点分布,否则不是两点分布. 29．已知一个不透明的袋中有大小、质地相同的个红球、个白球和个黑球.若不放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则恰有次摸到红球的概率为 ；若有放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则摸到红球的次数的期望为 . 30．某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当 时，取得最大值. 31．某学校食堂中午和晚上都会提供A，B两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为：在中午选择A类套餐的前提下，晚上还选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为；在中午选择B类套餐的前提下，晚上选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为． (1)求同学甲晚上选择B类套餐的概率； (2)记某宿舍的4名同学在晚上选择B类套餐的人数为X，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求X的分布列及数学期望． 32．某导弹试验基地对新研制的两种导弹进行试验，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为. (1)若一枚导弹击中一个空中目标，且一枚导弹击中一个地面目标的概率为，一枚导弹击中一个地面目标，且一枚导弹击中一个空中目标的概率为，比较的大小； (2)现有两枚A导弹，一枚导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望. 33．在计算机领域中，有真随机与伪随机两种随机概念．真随机是伴随物理实验，例如：掷硬币、掷骰子、电子元件噪声、核裂变等，其结果符合三个特点：1．随机性：2．不可预测性3．不可重复性；伪随机是通过多种不同的算法，获取随机值，不是真的随机．在日常使用计算中情景中，如音乐随机播放、壁纸随机切换、电脑模拟硬币正反面等都是伪随机．假设有一个抽奖活动，主办方给出了两种抽奖方式，第一种抽奖方式为真随机，即每次抽中的概率为，每次抽奖的结果都是相互独立的．第二种抽奖方式为伪随机，第一次抽中的概率为，若第一次不中，第二次抽中的概率增加，即若某次抽奖不中那么下一次中奖概率会增加，直到．若已中奖，则下一次抽中的概率恢复到． (1)分别计算两种抽奖方式抽两次中奖一次的概率； (2)如果你有抽奖3次的机会，那么你选择抽奖方式是第一种还是第二种？请说明理由． 考点八：超几何分布 【解题必备】判断一个随机变量是否服从超几何分布,需看①总体是否可分为两类明确的对象；②是否为不放回抽样；③随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 34．台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间，取整数）单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差； (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列. 35．袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为． (1)求的分布列； (2)求； (3)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为分，求的值． 36．某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的100件产品，检测出产品的重量（单位：克），重量的分组区间为，，由此得到样本的频率分布直方图（如图）． (1)求直方图中的值； (2)估计这100件产品的重量的中位数（结果保留小数点后一位）； (3)若产品重量在区间上，则判定该产品包装合格．在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为，求的分布列和数学期望． 37．网民对一电商平台的某种特色农产品销售服务质量进行评价，每位参加购物的网民在“好评、中评、差评”中选择一个进行评价，在参与评价的网民中抽取2万人，按年龄分为“40岁以下”和“40岁以上（含40岁）”两类人群进行了统计，得到给“好评、中评、差评”评价的人数如下表所示. 网民年龄 好评人数 中评人数 差评人数 40岁以下 9000 3000 2000 40岁以上（含40岁） 1000 2000 3000 (1)根据这2万人的样本估计总体，从参与评价的网民中每次随机抽取1人，如果抽取到给“好评”评价的网民，则终止抽取，否则继续抽取，直到抽取到给“好评”评价的网民，但抽取次数最多不超过5次，求抽取5次的概率； (2)从给“中评”评价的网民中，用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记抽取的3人中年龄在40岁以下的人数为，求的分布列和数学期望. 38．口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望 . 考点九：正态分布 【解题必备】（1）会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 （2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 39．已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 40．（多选）为了解鸭梨种植园的亩收入（单位：万元）情况，从“高标准梨园”种植区抽取样本，得到的亩收入样本均值，样本方差；从“标准化梨园”种植区抽取样本，亩收入服从正态分布，假设“高标准梨园”的亩收入服从正态分布，则（  ）.（若服从正态分布，则 A． B． C． D． 41．已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 . 42．某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是 . 43．为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据： 参考公式：若有，． 考点十：一元线性回归方程 【解题必备】，样本点的中心在线性回归方程上 44．（多选）国家统计局7月15日发布数据显示，2024年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长.某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 A． B．由散点图知变量和正相关 C．用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为 D．收益的方差为6 45．商家项目投资的利润产生是一个复杂的系统结果．它与项目落地国的商业环境，政府执政能力，法律生态等都有重大的关联．如表所示是某项目在中国和南亚某国投资额和相应利润的统计表． 项目落地国 中国 南亚某国 投资额x（亿元） 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14 利润y（亿元） 11 12 14 16 19 12 13 13 14 15 请选择平均利润较高的落地国，用最小二乘法求出回归直线方程为 ．参考数据和公式：，中国，南亚某国，，． 46．为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中的数据求出 月份x 1 2 3 4 5 6 体重超标人数y 98 77 54 48 32 27 (1)该年级体重超重人数y与月份x之间的经验回归方程系数的最终结果精确到； (2)预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下. 附：经验回归方程：中，，；参考数据：，，， 47．为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，传播节能降碳和绿色发展理念，倡导绿色低碳生活方式，某市积极响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展系列的措施控制碳排放.下表为该市统计的近5年内燃油车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增燃油车数量. 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 新增燃油车/万辆 6.1 5.2 4.9 4 3.8 (1)计算相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.（保留到小数点后两位） (2)求关于的线性回归方程，并据此估计该市2024年的新增燃油车数量. 参考数据： 参考公式： 48．某机构统计了新驾驶员一年内扣除的驾照分（单位：分）及该年对应的新驾驶员数量（单位：万人），得到如下数据表格： 新驾驶员一年内扣除的驾照分（分） 3 4 5 6 7 新驾驶员数量（万人） 1 1.1 1.5 1.9 2.2 已知与线性相关. (1)求关于的线性回归方程； (2)求与的相关系数（精确到0.01）. 参考数据：. 参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 考点十一：非线性回归方程 【解题必备】非线性经验回归问题的解题步骤 ①根据原始数据作出散点图；②根据散点图选择恰当的拟合函数； ③作恰当的变换,将其转化成线性经验回归方程求解； ④在上面的基础上通过相应的变换,即可得非线性经验回归方程. 49．（多选）某个国家某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中有可能适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 50．一年一度的“双11”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品销售保持增长. 经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天某电商平台线上日销售额（单位: 百亿元）与年份（第年）的6组数据（时间变量的取值依次为），对数据进行处理，得到如下散点图（图1）及一些统计量的值. 其中. 48.7 3.5 91 1204 1.1 9.4 388.1 分别用两种模型：①；②进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图（图2）（残差值真实值预测值）. (1)根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由； (2)根据（1）中所选模型求出关于的经验回归方程（系数精确到0.1）； 参考公式: ；参考数据:. 51．人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表. 月份 1 2 3 4 5 销售量（万件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了关于的回归模型：. 根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程（的值精确到0.1）； 52．台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 53．网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下： 直播周期数x 1 2 3 4 5 产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表： 3.7 55 382 65 978 101 其中 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01） 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关指数：. 考点十二：独立性检验 【解题必备】应用独立性检验解决实际问题的步骤 （1）提出零假设与相互独立,并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出列联表,计算的值,并与临界值比较. （3）根据检验规则得出推断结论: 当时,推断不成立,即认为和不独立,该推断犯错误的概率不超过； 当时,没有充分证据推断不成立,可以认为和独立. 54． 年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 55．近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名． (1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率； 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 女学生 合计 (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 参考公式及数据：． α 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 56．为了解某校男生1000米测试成绩与身高的关系，从该校2000名男生中随机抽取100人，得到测试成绩与身高的数据如下表所示： 身高范 围（cm）测试成绩 合格 3 12 18 22 15 不合格 2 9 5 5 9 (1)该校2000名男生中身高在175cm及以上的人数约为多少？ (2)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析体育成绩合格与身高在范围内是否有关． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 57．中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下： 男 女 合计 了解 20 不了解 20 40 合计 (1)将列联表补充完整； (2)是否有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关; (3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 附:，其中 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 58．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 表一： 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 (1)请用相关系数说明该组数据中变量与变量之间的关系可以用线性回归模型拟合（结果精确到0.001）； (2)求关于的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩； (3)基于上述调查，某校提倡学生周六在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周六在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周六在校自主学习与成绩进步”是否有关. 表二： 没有进步 有进步 合计 参与周六在校自主学习 35 130 165 未参与周六不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 （参考数据：的方差为的方差为230.8，） 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 考点十三：概宰统计的综合问题 59．某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少? (2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望. (3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：若，则：；；. 60．某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布其中近似为样本平均数的值，，试求的值． (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ①求这件零件是次品的概率： ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）． 参考数据：若随机变量服从正态分布则， 61．某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下： 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； 如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了； 设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望； (2)求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率． 62．长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 120 80 200 女生 100 100 200 合计 220 180 400 (1)是否有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？ (2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列； (3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为，求的数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 63．树人中学为了落实教育部颁布的“五项管理”，举办高二学生跳绳比赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在160分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生、女生成绩频数分布表： 男生成绩： 分数段 频数 8 12 20 55 25 女生成绩： 分数段 频数 5 15 10 30 35 5 (1)①根据上述数据完成下列列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 女生 合计 ②依据小概率值的独立性检验，能否认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关？ 参考公式：，， (2)以样本中的频率作为概率，从高二跳绳比赛成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中学生跳绳比赛.设3人中女生人数为随机变量，求的分布列与数学期望. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 概率与统计高频考点复习 01思维导图 02考点复习 考点一：条件概率、乘法公式及全概率公式 【解题必备】（1）条件概率： 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 （2）乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 1．若事件，发生的概率分别为，，，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【详解】因为，所以，所以， 所以. 反之由能推出， 所以“”是“”的充分且必要条件. 故选：C 2．甲乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为和，在目标被击中的情况下，甲乙同时击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记甲击中目标为事件，乙击中目标为事件，目标被击中为事件，甲乙同时击中目标为事件，由题意， 得，， 所以， ， 所以， 所以在目标被击中的情况下，甲乙同时击中目标的概率为. 故选：A. 3．（多选）甲、乙、丙三名钳工加工同一型号的零件，根据以往数据得知甲加工的次品率为6%，乙、丙加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知甲、乙、丙加工的零件数分别占总数的25%、30%、45%，从中任取一个零件进行检查，下列选项正确的有（    ） A．该零件出自于甲加工的概率为0.25 B．该零件是次品的概率为0.0525 C．若该零件是次品，则出自于乙加工的概率为 D．若该零件是次品，需要对三名钳工进行罚款，则甲、乙、丙的罚款额之比为2：2：3 【答案】ABD 【详解】对于A中，因为甲加工的零件数占总数的，所以该零件出自于甲加工的概率为，所以A正确； 对于B中，该零件时次品的概率为，所以B正确； 对于C中，若零件是次品，则出自于乙加工的概率为，所以C不正确； 对于D中，若该零件是次品，则出自于甲加工的概率为， 出自于丙加工的概率为，所以甲乙丙的罚款额之比为，所以D正确. 故选：ABD. 4．（多选）一个箱子中装有大小､形状均相同的8个小球，其中白球5个､黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用，表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”.则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题得，C选项正确. 根据条件概率得：，A选项正确. ，B选项错误. 对于D，，故D正确. 故选：ACD 5．甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，每人要射击十次，他们前九次射击击中的环数如下表所示： 甲击中的环数 乙击中的环数 (1)求甲前九次射击击中的环数的平均数和方差； (2)用甲､乙前九次射击击中环数的频率分布估计各自第十次射击击中环数的概率分布，且甲､乙每次射击相互独立，求甲､乙两人十次射击击中的环数之和相等的概率. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由已知， ； （2）由已知估计得甲第十次射击击中环数可能为，，，，且概率分别为，，，； 乙第十次射击击中环数可能为，，，，且概率分别为，，，； 又甲前九次击中总环数为环，乙前九次击中总环数为环， 所以若甲､乙两人十次射击击中的环数之和相等， 则第十次射击甲击中的环数需比乙少环， 概率. 考点二：相互独立事件的概率、独立重复试验的概率 【解题必备】同时发生的概率：，若相互独立， 6．如果是独立事件，分别是的对立事件，那么以下等式不一定成立的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A,由于是独立事件，故，A正确， 对于B，由于是独立事件，则也是相互独立事件，故，B正确， 对于C，,故由于不一定为0，故C错误， 对于D, 由于是独立事件，则也是相互独立事件，,D正确， 故选：C 7．甲､乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】甲第一局获胜并最终以获胜，说明甲､乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局， 并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局，故概率为. 故选：C 8．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”， 连续上两天班，上班、下班的次数共有4次. (1)4次均不下雨，概率为：； (2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：； (3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况： ①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨； 概率为：； (4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：； (5)4次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为：， 所以至少有一天淋雨的概率为：. 故选：D. 9．为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求的拔尖学生，教育部启动了“强基计划”.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙两名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，则甲､乙两人中至少有一人通过面试的概率是 . 【答案】 【详解】由题意，甲没有通过面试的概率， 乙没有通过面试的概率， 所以甲、乙都没有通过面试的概率为， 所以甲､乙两人中至少有一人通过面试的概率是. 故答案为： 10．已知，，，则事件A与B的关系是（   ） A．A与B互斥不对立 B．A与B对立 C．A与B相互独立 D．A与B既互斥又相互独立 【答案】C 【详解】因，则. 注意到： ， 则A与B不互斥，不对立，则ABD错误； 又. 因，则事件A与事件B相互独立，则C正确； 故选：C 考点三：随机变量分布列及性质 【解题必备】（1）求离散型随机变量的分布列的步骤：①理解的意义,写出可能取的全部值；②求取每个值的概率；③写出的分布列. （2）分布列性质的两个作用：①利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性；②随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的,利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率. 11．已知离散型随机变量的分布列如下，若，则（    ） 0 2 A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由题意知， 解得， 因为，所以，即，则， 解得，所以， 故选：C． 12．随机变量ξ的分布列如下： 其中，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，且， 解得， . 故选：D. 13．已知随机变量X的分布列为，其中a是常数，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 得， 即，解得，故AB正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D. 14．A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． (1)若，求A两局得分之和为5的概率； (2)若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 【答案】(1)0.2 (2)分布列见解析 【详解】（1）若，由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负， 所以A两局得分之和为5的概率为． （2）因为在一局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2， 所以在一局比赛中B获胜、打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3．0.5， 若，则X的可能取值为0，3，6，9，12， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 3 6 9 12 P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 15．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：        支付金额（元） 支付方式 大于2000 仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B 10人 14人 1人 (1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率． (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意得A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人． ∴A，B两种支付方式都使用的人数为， ∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率． （2）X的可能取值为0，1，2．样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在的有18人，支付金额超过1000元的有12人； 样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在的有10人，支付金额超过1000元的有15人． ，，． ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 考点四：随机变量的期望与方差 【解题必备】求离散型随机变量的均值的步骤：①理解的实际意义,并写出的全部取值； ②求出取每个值的概率；③写出的分布列(有时也可省略)； ④利用期望公式，方差公式 计算即可 16．已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 所以. 故选：A. 17．为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、烹武术类三个体育社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三位同学参加的社团各不相同的概率为 ，记三位同学所参加的社团种类的个数为X，则 . 【答案】 【详解】三位同学选择社团的总数为种，三位同学参加的社团各不相同的种类数是种， 所以三位同学参加的社团各不相同的概率为； 由题意可知，X的所有可能取值为，则 ；；， 则. 故答案为：； 18．某银行对某种理财产品作统计，若投资10万元，表示该理财产品的利润（单位：万元），其分布列如下表所示，则 ． 0 2 4 0.2 0.1 0.5 0.2 【答案】2.84 【详解】， 所以． 故答案为：2.84. 19．已知随机变量的分布列为，，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题可得，因为，所以， 因为，即，化简得， 则 ， 当时，此时有最小值为1（舍去）， 即的取值范围为． 故答案为： 20．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得分，没有命中得分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得分，没有命中得分。假设该射手完成以上三次射击，且每次射击的结果相互独立. (1)求该选手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分的分布列及其数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为2 【详解】（1）记：“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件，“该射手射击乙靶命中”为事件． 由题意知，， 所以 ． （2）根据题意，的所有可能取值为0，1，2，3，4． ，， ， ， ， 故的分布列是 0 1 2 3 4 ． 考点五：期望与方差的性质 【解题必备】对于型的随机变量,则有， 21．已知随机变量的分布列如下: 0 1 设，则的数学期望的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 所以. 故选：B. 22．已知随机变量的概率分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由，得， 由，得， 于是， 所以. 故选：C 23．（多选）已知随机变量的分布列为．若，则（    ） A．随机变量的均值为1 B．随机变量的均值为2 C．随机变量的方差为3 D．随机变量的方差为 【答案】AD 【详解】由题可得，， ，， 故，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选：AD 24．（多选）已知两个离散型随机变量，，满足，其中的分布列如下： 1 2 3 P a b 其中a，b为非负数.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】AB选项，由分布列的性质，可得①， 因为，所以②， 联立①②解得，，A正确，B错误； CD选项，因为， 所以，，C错误，D正确. 故选：AD 25．为了锻炼学生身体，丰富高中生活，减轻高三毕业生的压力，某体育老师在课上带领同学们做了一组投篮活动：选出4人进行定点投篮，4人都投篮一次为一轮活动，已知选出的4位同学中有两位同学进球的概率为，另外两位同学进球的概率为． (1)记一轮活动结束后，进球个数为，求的分布列与方差； (2)若随机变量，其中，求． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【详解】（1）由题意可知：进球个数的可能取值为，则有： ， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以． ． （2）由（1）可知：，， 若随机变量，且， 可得，解得. 考点六：两点分布 【解题必备】等差数列的前项和， 等比数列的前项和， 26．已知随机变量服从两点分布，且，设，那么（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】D 【详解】由题意可知，当时，即，解得， 又因为随机变量服从两点分布，且， 所以. 故选：D. 27．若服从两点分布，，则（    ） A．0.57 B．0.67 C．0.68 D．0.77 【答案】B 【详解】依题意可得， ， 所以 故选：B. 28．已知一批200件的待出厂产品中，有1件不合格品，现从中任意抽取2件进行检查，若用随机变量表示抽取的2件产品中的次品数，求的分布列． 【答案】分布列见解析 【详解】由题意知，的取值有，故服从两点分布， ， 所以． 所以随机变量的分布列为 0 1 考点七：二项分布 【解题必备】两步法判断一个分布是否为两点分布：①看取值:随机变量只取两个值和；②验概率:检验是否成立； 如果一个分布满足以上两点,则该分布是两点分布,否则不是两点分布. 29．已知一个不透明的袋中有大小、质地相同的个红球、个白球和个黑球.若不放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则恰有次摸到红球的概率为 ；若有放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则摸到红球的次数的期望为 . 【答案】 / 【详解】一个不透明的袋中有大小、质地相同的个红球、个白球和个黑球. 若不放回地摸球，每次摸个球，摸取次， 恰有次摸到红球的概率为； 若有放回地摸球，每次摸个球，每次摸到红球的概率为， 摸取次，则摸到红球的次数，由二项分布的期望公式可得. 故答案为：；. 30．某市为了传承中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识答题竞赛.已知某同学答对每道题的概率均为，且每次答题相互独立，若该同学连续作答20道试题后结束比赛，记该同学答对道试题的概率为，则当 时，取得最大值. 【答案】13或14 【详解】由题意得，且， 则，即 故又，所以或， 故当或时，取得最大值. 故答案为：13或14. 31．某学校食堂中午和晚上都会提供A，B两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生中午选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为：在中午选择A类套餐的前提下，晚上还选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为；在中午选择B类套餐的前提下，晚上选择A类套餐的概率为，选择B类套餐的概率为． (1)求同学甲晚上选择B类套餐的概率； (2)记某宿舍的4名同学在晚上选择B类套餐的人数为X，假设每名同学选择何种套餐是相互独立的，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【详解】（1）设事件为甲晚上选套餐，事件为甲中午选套餐，事件为甲中午选套餐， 则，，故. （2）由（1）知：，则宿舍的4名同学晚上选B套餐的人数为， 所以， 则，， ，， ， 所以X的分布列如下， 0 1 2 3 4 则. 32．某导弹试验基地对新研制的两种导弹进行试验，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为，导弹每次击中空中目标､地面目标的概率分别为. (1)若一枚导弹击中一个空中目标，且一枚导弹击中一个地面目标的概率为，一枚导弹击中一个地面目标，且一枚导弹击中一个空中目标的概率为，比较的大小； (2)现有两枚A导弹，一枚导弹，用来射击两个空中目标，一个地面目标（每枚导弹各射击一个目标），请你设计一个射击方案，使得击中目标的个数的期望最大，并求此时击中目标的个数的分布列和期望. 【答案】(1) (2)安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标，分布列见解析， 【详解】（1）由题意得，，所以. （2）因为，所以安排两枚A导弹射击两个空中目标，一枚B导弹射击一个地面目标. 设导弹击中目标的个数为，则， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 所以. 33．在计算机领域中，有真随机与伪随机两种随机概念．真随机是伴随物理实验，例如：掷硬币、掷骰子、电子元件噪声、核裂变等，其结果符合三个特点：1．随机性：2．不可预测性3．不可重复性；伪随机是通过多种不同的算法，获取随机值，不是真的随机．在日常使用计算中情景中，如音乐随机播放、壁纸随机切换、电脑模拟硬币正反面等都是伪随机．假设有一个抽奖活动，主办方给出了两种抽奖方式，第一种抽奖方式为真随机，即每次抽中的概率为，每次抽奖的结果都是相互独立的．第二种抽奖方式为伪随机，第一次抽中的概率为，若第一次不中，第二次抽中的概率增加，即若某次抽奖不中那么下一次中奖概率会增加，直到．若已中奖，则下一次抽中的概率恢复到． (1)分别计算两种抽奖方式抽两次中奖一次的概率； (2)如果你有抽奖3次的机会，那么你选择抽奖方式是第一种还是第二种？请说明理由． 【答案】(1)两种抽奖方式抽两次中奖一次的概率都为0.48 (2)选第一种抽奖方式，理由见解析 【详解】（1）第一种抽奖方式抽两次中奖一次的概率为， 第二种抽奖方式抽两次中奖一次的概率为. （2）选第一种抽奖方式，理由如下： 第一种抽奖方式，抽奖3次，设中奖次数为，的可能取值为， 则， ， ， ， 所以. 第二种抽奖方式，抽奖3次，设中奖次数为，的可能取值为， 则， ， ， ， 所以. 综上所述，由于，所以选第一种抽奖方式. 考点八：超几何分布 【解题必备】判断一个随机变量是否服从超几何分布,需看①总体是否可分为两类明确的对象；②是否为不放回抽样；③随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 34．台风是我国东部沿海地区夏秋季节常见的自然灾害，当台风来临之际，沿海居民点的居民必须提前进行疏散.某地有关部门为了解居民疏散所需时间，在当地随机抽取100处居民点进行疏散所需时间的调查，所得数据如下表： 疏散时间（最接近的时间，取整数）单位：小时 12 13 14 15 16 17 18 频率 0.04 0.05 0.25 0.35 0.18 0.10 0.03 (1)根据以上数据，视频率为概率，估计这一地区居民点疏散所需时间的均值和方差； (2)根据工作安排，需要在超过16小时的13个居民点中再抽取5个进行深入调查，从而寻求缩短疏散时间的办法.设为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量，求的分布列. 【答案】(1)均值为15，方差为1.66. (2)答案见解析 【详解】（1）， 估计这一地区居民点疏散所需时间的均值为15， ， 估计这一地区居民点疏散所需时间的方差为1.66； 均值为15，方差为1.66. （2）小时，18小时两组的频率之比为， 在超过16小时的13个居民点中，17小时抽10人，18小时抽3人， 再从这13个居民点中抽取5个，为抽到的居民点中疏散时间为18小时的居民点数量， 可取0，1，2，3. ；； ；； 的分布列为 0 1 2 3 35．袋中有6个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为． (1)求的分布列； (2)求； (3)若摸出一个黑球得10分，摸出一个白球得5分，总分为分，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【详解】（1）由题意得，的可能取值为0，1，2，且， ， ， ， 所以的分布列如下． 0 1 2 （2）因为，所以． （3）由已知得， 因为， 所以，所以． 36．某食品加工厂为了检查一条新投入使用的全自动包装线的效能，随机抽取该包装线上的100件产品，检测出产品的重量（单位：克），重量的分组区间为，，由此得到样本的频率分布直方图（如图）． (1)求直方图中的值； (2)估计这100件产品的重量的中位数（结果保留小数点后一位）； (3)若产品重量在区间上，则判定该产品包装合格．在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1)0.05； (2)497.1克； (3)分布列见解析，期望为. 【详解】（1）依题意，，解得， 所以直方图中a的值是0.05； （2）由直方图可知，各组频率分别为：0.05，0.3，0.35，0.25，0.05， 则，， 所以抽取的100件产品的重量的中位数在内，设中位数为， 则，解得：， 所以这100件产品的重量的中位数约为497.1克； （3）样本中合格产品数量为， 在这100件产品中任取2件，记包装不合格的产品件数为X， 则X所有可能的取值为0，1，2， 于是，，， 所以X的分布列为： 0 1 2 则． 37．网民对一电商平台的某种特色农产品销售服务质量进行评价，每位参加购物的网民在“好评、中评、差评”中选择一个进行评价，在参与评价的网民中抽取2万人，按年龄分为“40岁以下”和“40岁以上（含40岁）”两类人群进行了统计，得到给“好评、中评、差评”评价的人数如下表所示. 网民年龄 好评人数 中评人数 差评人数 40岁以下 9000 3000 2000 40岁以上（含40岁） 1000 2000 3000 (1)根据这2万人的样本估计总体，从参与评价的网民中每次随机抽取1人，如果抽取到给“好评”评价的网民，则终止抽取，否则继续抽取，直到抽取到给“好评”评价的网民，但抽取次数最多不超过5次，求抽取5次的概率； (2)从给“中评”评价的网民中，用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记抽取的3人中年龄在40岁以下的人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)的分布列见解析；的数学期望为 【详解】（1）由题可知从参与评价的网民中每次随机抽取1人，抽取到给“好评”评价的网民概率为， 记事件“抽取5次”，所以抽取5次的概率为. （2）由表格数据得“中评”年龄40岁以下和以上人数比为， 所以用分层随机抽样的方法抽取10人，则从年龄40岁以下抽人，年龄40岁以上（含40岁）抽人， 所以由题意，且服从超几何分布， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为. 38．口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望 . 【答案】/ 【详解】从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2； 则， ， ， 随机变量X的概率分布为； X 0 1 2 P 所以数学期望. 故答案为：. 考点九：正态分布 【解题必备】（1）会用三个特殊区间内取值的概率值进行求概率 （2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间的面积为 39．已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称，所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边，所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图可知，正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D. 40．（多选）为了解鸭梨种植园的亩收入（单位：万元）情况，从“高标准梨园”种植区抽取样本，得到的亩收入样本均值，样本方差；从“标准化梨园”种植区抽取样本，亩收入服从正态分布，假设“高标准梨园”的亩收入服从正态分布，则（  ）.（若服从正态分布，则 A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意可知，服从正态分布，服从正态分布， 所以 ，故A错误； ，故B正确； ，所以C正确，D错误. 故选：BC． 41．已知随机变量，且正数满足，则的最小值为 . 【答案】9 【详解】因为随机变量，正数满足， 有对称性可知，即， 所以 ； 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：9 42．某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是 . 【答案】 【详解】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为， 即1件产品的质量指标位于区间的概率为，∴， 故. 故答案为： 43．为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据： 参考公式：若有，． 【答案】(1)1587名 (2)， 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩近似服从正态分布， 由题意可得， ， ,即，解得， 甲市学生A在该次考试中成绩为114分，且， 又，即， ， 答：学生A在甲市本次考试的大致名次为1587名． （2）设事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外， 由于成绩在之内的概率为0，9974， ， 随机变量服从二项分布，即， ， 的数学期望为. 考点十：一元线性回归方程 【解题必备】，样本点的中心在线性回归方程上 44．（多选）国家统计局7月15日发布数据显示，2024年上半年我国经济运行总体平稳，其中新能源产业依靠持续的技术创新实现较快增长.某企业根据市场调研得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下，则下列叙述正确的是（    ） 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 8 8 9 A． B．由散点图知变量和正相关 C．用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为 D．收益的方差为6 【答案】AB 【详解】A.，，故A正确； B.散点图的分布从左下到右上，所以是正相关，故B正确； C. 经验回归直线必过样本点中心，当时，，故C错误； D.收益的方差为，故D错误. 故选：AB 45．商家项目投资的利润产生是一个复杂的系统结果．它与项目落地国的商业环境，政府执政能力，法律生态等都有重大的关联．如表所示是某项目在中国和南亚某国投资额和相应利润的统计表． 项目落地国 中国 南亚某国 投资额x（亿元） 10 11 12 13 14 10 11 12 13 14 利润y（亿元） 11 12 14 16 19 12 13 13 14 15 请选择平均利润较高的落地国，用最小二乘法求出回归直线方程为 ．参考数据和公式：，中国，南亚某国，，． 【答案】 【详解】两国的平均利润分别为和，故中国的平均利润较高. 根据题设数据，有，. 故答案为：. 46．为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中的数据求出 月份x 1 2 3 4 5 6 体重超标人数y 98 77 54 48 32 27 (1)该年级体重超重人数y与月份x之间的经验回归方程系数的最终结果精确到； (2)预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下. 附：经验回归方程：中，，；参考数据：，，， 【答案】(1) (2)从第十个月开始 【详解】（1）由得， 由题意得，， 所以， ， 所以， 即y关于x的经验回归方程为 （2）令， 所以， 又由于，所以解得，且， 所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下. 47．为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想，传播节能降碳和绿色发展理念，倡导绿色低碳生活方式，某市积极响应“节能减排，低碳生活”的号召，开展系列的措施控制碳排放.下表为该市统计的近5年内燃油车的新增数量，其中为年份代号，（单位：万辆）代表新增燃油车数量. 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代号 1 2 3 4 5 新增燃油车/万辆 6.1 5.2 4.9 4 3.8 (1)计算相关系数，判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性.（保留到小数点后两位） (2)求关于的线性回归方程，并据此估计该市2024年的新增燃油车数量. 参考数据： 参考公式： 【答案】(1)，可以用线性回归模型拟合与的关系 (2)，3.06万辆 【详解】（1）由题意可得：， 则 ， 因为，故可以用线性回归模型拟合与的关系. （2）由题意可得：，， 则，当时，， 所以估计该市2024年新增燃油车3.06万辆. 48．某机构统计了新驾驶员一年内扣除的驾照分（单位：分）及该年对应的新驾驶员数量（单位：万人），得到如下数据表格： 新驾驶员一年内扣除的驾照分（分） 3 4 5 6 7 新驾驶员数量（万人） 1 1.1 1.5 1.9 2.2 已知与线性相关. (1)求关于的线性回归方程； (2)求与的相关系数（精确到0.01）. 参考数据：. 参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 【答案】(1) (2)0.99 【详解】（1）由， 有， 故关于的线性回归方程为. （2）与的相关系数 . 考点十一：非线性回归方程 【解题必备】非线性经验回归问题的解题步骤 ①根据原始数据作出散点图；②根据散点图选择恰当的拟合函数； ③作恰当的变换,将其转化成线性经验回归方程求解； ④在上面的基础上通过相应的变换,即可得非线性经验回归方程. 49．（多选）某个国家某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中有可能适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】根据图象可知，函数图象随着自变量的变大，函数值增长速度越来越快， 结合选项，可判定为指数函数或的特征， 故选：BD. 50．一年一度的“双11”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品销售保持增长. 经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天某电商平台线上日销售额（单位: 百亿元）与年份（第年）的6组数据（时间变量的取值依次为），对数据进行处理，得到如下散点图（图1）及一些统计量的值. 其中. 48.7 3.5 91 1204 1.1 9.4 388.1 分别用两种模型：①；②进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图（图2）（残差值真实值预测值）. (1)根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由； (2)根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程（系数精确到0.1）； （ⅱ）若该电商平台每年活动当天线上日销售额与当日营销成本及年份存在线性关系: ，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大? 参考公式: ；参考数据:. 【答案】(1)应选择模型②，理由见详解； (2)①；②第12年活动当日营销成本的预测值最大. 【详解】（1）由残差图可知模型①的残差值比较分散和远离横轴，所以模型①平方和大于模型②的残差平方和， 所以应选择模型②. （2）（i）对于模型②：， 令，可得， 则， 可得，所以关于的经验回归方程为； （ⅱ）由（i）可得：，整理可得， ，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以当时，取到最大值，即取得最大值， 所以第12年活动当日营销成本的预测值最大. 51．人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表. 月份 1 2 3 4 5 销售量（万件） 4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了关于的回归模型：. (1)根据所给数据与回归模型，求关于的回归方程（的值精确到0.1）； (2)已知该公司的月利润（单位：万元）与，的关系为，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？ 【答案】(1) (2)第9个月的月利润预报值最大. 【详解】（1）令，则， ， ，， 所以关于的回归方程为. （2）由（1）知， ， 令（）， （）， 令，得，单调递增， 令，得，单调递减， 令，得， 所以（）在处取得极大值，也是最大值， 所以， 所以第9个月的月利润预报值最大. 52．台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入、该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得： 44 4.8 10 40.3 1.612 19.5 8.06 现有①和②两种方案作为年销售量y关于年广告费x的回归分析模型，其中a，b，m，n均为常数. (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好? (2)根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出关于的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少? 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2)，13（百万辆） 【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为，， 由题意可得：， ， 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好； （2）因为， 又由，， 得， 所以，即回归方程为. 当时，， 因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）. 53．网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下： 直播周期数x 1 2 3 4 5 产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表： 3.7 55 382 65 978 101 其中 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01） 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关指数：. 【答案】(1)； (2)乙建立的回归模型拟合效果更好. 【详解】（1）将两边取对数得：， 令，则， 因为， 所以根据最小二乘估计可知：， 所以， 所以回归方程为，即. （2）甲建立的回归模型的. 所以乙建立的回归模型拟合效果更好. 考点十二：独立性检验 【解题必备】应用独立性检验解决实际问题的步骤 （1）提出零假设与相互独立,并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出列联表,计算的值,并与临界值比较. （3）根据检验规则得出推断结论: 当时,推断不成立,即认为和不独立,该推断犯错误的概率不超过； 当时,没有充分证据推断不成立,可以认为和独立. 54． 年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图： 根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ） A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通 B．样本中多数女性是岁及以上 C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多 D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高 【答案】C 【详解】设等高条形图对应列联表如下： 岁及以上 岁以下 总计 男性 女性 总计 根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即； 岁以下男性比岁以下女性多，即． 根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即； 女性中岁及以上的比岁以下的多，即， 对于A，男性人数为，女性人数为， 因为，所以，所以A正确； 对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为， 因为，所以B正确； 对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为， 无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确； 对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为， 因为，所以，所以D正确． 故选：C. 55．近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名． (1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率； 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 女学生 合计 (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 参考公式及数据：． α 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，男生有报考军事类院校意向的概率为，女生有报考军事类院校意向的概率为 (2)能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关 【详解】（1）根据已知条件，填写列联表如下： 有报考意向 无报考意向 合计 男学生 100 400 500 女学生 100 300 400 合计 200 700 900 男生有报考军事类院校意向的概率为， 女生有报考军事类院校意向的概率为. （2）， 所以能认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关． 56．为了解某校男生1000米测试成绩与身高的关系，从该校2000名男生中随机抽取100人，得到测试成绩与身高的数据如下表所示： 身高范 围（cm）测试成绩 合格 3 12 18 22 15 不合格 2 9 5 5 9 (1)该校2000名男生中身高在175cm及以上的人数约为多少？ (2)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析体育成绩合格与身高在范围内是否有关． 附：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)1020 (2)有关. 【详解】（1）样本中，身高在175cm及以上的频率为：， 用该频率估计该校男生身高在175cm及以上的概率， 则该校2000名男生中身高在175cm及以上的人数约为：（人）. （2）列列联表如下： 身高在 身高不在 合计 合格 40 30 70 不合格 10 20 30 合计 50 50 100 所以， 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，体育成绩合格与身高在范围内有关. 57．中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下： 男 女 合计 了解 20 不了解 20 40 合计 (1)将列联表补充完整； (2)是否有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关; (3)若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为，求随机变量的分布列、数学期望、方差. 附:，其中 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)表格见解析 (2)没有 (3)分布列见解析，期望1， 【详解】（1）由题得列联表如下： 男 女 合计 了解 40 20 60 不了解 20 20 40 合计 60 40 100 （2）由（1）可得， 所以没有的把握认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关 （3）由（1）可知抽取的100名学生中了解该活动的学生男生和女生分别为40人和20人， 所以从了解该活动的学生中随机抽取1人参加传统文化知识竞赛，抽取的是女生的概率为， 则由题意可知，且， 所以， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望为, 随机变量的方差为. 58．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 表一： 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 (1)请用相关系数说明该组数据中变量与变量之间的关系可以用线性回归模型拟合（结果精确到0.001）； (2)求关于的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩； (3)基于上述调查，某校提倡学生周六在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周六在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周六在校自主学习与成绩进步”是否有关. 表二： 没有进步 有进步 合计 参与周六在校自主学习 35 130 165 未参与周六不在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 （参考数据：的方差为的方差为230.8，） 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)详见解析； (2)分. (3)有关 【详解】（1） ， 又的方差为的方差为230.8， 则 r值非常接近于1，故变量与变量之间的关系可以用线性回归模型拟合. （2）， ， 故，当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩为分. （3） , 因为，所以依据的独立性检验， 可以认为“周六在校自主学习与成绩进步”有关. 考点十三：概宰统计的综合问题 59．某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少? (2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望. (3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【答案】(1)分； (2)5； (3)分布列详见解析； 【详解】（1）由， 又的近似值为76.5，的近似值为5.5， 所以该校预期的平均成绩大约是（分） （2）由，可得， 即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人， 该学生笔试成绩高于76.5的概率为 所以随机变量服从二项分布，故 （3）X的可能取值为， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以 60．某工厂生产一批机器零件，现随机抽取100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表： 性能指标X 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值．若这批零件的该项指标近似服从正态分布其中近似为样本平均数的值，，试求的值． (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.01，现从这批零件中随机抽取一件． ①求这件零件是次品的概率： ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③若从这批机器零件中随机抽取300件，零件是否为次品与该项性能指标相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）． 参考数据：若随机变量服从正态分布则， 【答案】(1)80，0.8186 (2)①；②；③4 【详解】（1）， 因为，所以， 则 ； （2）①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件， “抽取的零件为乙机床生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件， 则，，，， 则； ②； ③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率， 且随机变量， 所以， 所以随机变量Y的数学期望为4. 61．某校团委为加强学生对垃圾分类意义的认识以及养成垃圾分类的习惯，组织了知识竞赛活动，现高一和高二两个年级各派一位学生代表参加决赛，决赛的规则如下： 决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军； 如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为3∶0，则不需再答第4轮了； 设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望； (2)求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【详解】（1）由题可得，的可能取值为、、、， 所以，， ，， 所以，的分布列为： 所以. （2）将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件， “在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件， “在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且， 则， ， 所以. 因此，在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出的概率为. 62．长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 120 80 200 女生 100 100 200 合计 220 180 400 (1)是否有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？ (2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列； (3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为，求的数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联； (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）零假设学生对长跑的喜欢情况与性别无关联， 根据题意，由列联表中的数据， 可得， 所以在的独立性检验中，可以推断不成立， 即有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联； （2）从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人， 其中男生的人数为人，女生的人数为人， 从9人中随机抽取3人，即随机变量的可能取值为， 可得， ， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 （3）由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率为， 所以随机变量服从二项分布，即， 所以. 63．树人中学为了落实教育部颁布的“五项管理”，举办高二学生跳绳比赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在160分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生、女生成绩频数分布表： 男生成绩： 分数段 频数 8 12 20 55 25 女生成绩： 分数段 频数 5 15 10 30 35 5 (1)①根据上述数据完成下列列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 女生 合计 ②依据小概率值的独立性检验，能否认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关？ 参考公式：，， (2)以样本中的频率作为概率，从高二跳绳比赛成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中学生跳绳比赛.设3人中女生人数为随机变量，求的分布列与数学期望. 【答案】(1)①列联表见解析；②可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关 (2)分布列见解析， 【详解】（1）①依题意可得列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 80 40 120 女生 40 60 100 合计 120 100 220 ②零假设为跳绳比赛成绩优秀与性别独立， 由列联表可得， 依据小概率值的独立性检验，可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关， 该结论犯错误的概率不超过. （2）高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率为， 则，所以的可能取值为、、、， 则， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$