第三章 圆（单元重点综合测试B卷，北师大版）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记•巧练（陕西专用）

第三章 圆（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，点A、B、C是上的三个点，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理 【分析】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选B． 2．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查圆内接四边形，根据圆内接四边形的两对角互补得到即可求解． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 3．如图，已知点在⊙O上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理 【分析】此题主要考查了圆周角定理的应用，熟记圆周角定理是解题关键．根据圆周角定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴． 故选：A． 4．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】圆的基本概念辨析、圆周角定理、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查圆中有关定义，利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故原说法错误； （2）同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，故原说法错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故原说法错误； （4）直径是圆中最长的弦，故原说法正确， 正确的只有1个， 故选：A． 5．如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧（所在圆的圆心为O），弓弦部分的长为，点D是弓臂的中点，交于点C，D、C两点之间的距离为，则弓臂所在圆的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理等．根据题意设弓臂所在圆的半径为，在中应用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵弓弦部分的长为，点D是弓臂的中点， ∴，， 设弓臂所在圆的半径为， ∵D、C两点之间的距离为， ∴， ∴在中：，解得：， ∴弓臂所在圆的半径为， 故选：B． 6．如图，是的直径，点C、D、E在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆内接四边形性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，连接，利用圆内接四边形性质得到，结合圆周角定理得到，进而推出，最后根据，结合弧、弦、圆心角的关系即可解题． 【详解】解：连接， ， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 7．中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取两点，设所在圆的圆心为，经测量：弦，过弦的中点作交圆弧于点，且，则该车轮的半径等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识，正确做出辅助线是解题关键．连接，设的半径为，根据垂径定理可得三点共线，进而可得，，在中，由勾股定理得解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接，设的半径为， ∵为的中点且， ∴三点共线， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， 即该车轮的半径等于． 故选：D． 8．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查矩形的性质、直径所对的圆周角是直角、 勾股定理, 熟练掌握以上知识是解题的关键． 先根据矩形的性质，证明，故可得在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动，连接交弧于点，此时取最小值，利用勾股定理算出，即可算出． 【详解】解：∵，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图所示，连接交弧于点，此时取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为， 故选． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．圆内接正多边形的边长与圆的半径相等，则这个正多边形的边数为 ． 【答案】6 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查的是正多边形的性质，中心角的含义，熟练的利用中心角求解多边形的边数是解本题的关键． 【详解】解：如图，圆内接正多边形的边长与圆的半径相等， ∴为等边三角形， ∴， ∴多边形的边数为， 故答案为：6 10．如图，在中，若，则扇形（阴影部分）的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】求扇形面积、圆周角定理 【分析】本题考查了扇形面积的计算和圆周角定理．根据圆周角定理由，得到，，然后根据扇形面积公式计算扇形的面积． 【详解】解：如图， ， ， ， 扇形的面积． 故答案为：． 11．如图，正六边形内接于，对角线交于点，已知的半径为，则的长为 ．    【答案】1 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质、正多边形和圆的综合 【分析】先由圆与内接正六边形性质得到是等边三角形，是线段的垂直平分线，从而确定，在中，由含的直角三角形性质、勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，连接并延长，交于，如图所示：    在正六边形中，对角线，且每一个内角均为， ， ，， ，则， 正六边形内接于， ，且，则是等边三角形， ， ， 是线段的垂直平分线，则，即， 在中，，，设，则，由勾股定理可得，解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆与多边形，涉及正多边形性质、圆的性质、等边三角形的判定与现在、垂直平分线的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆与多边形综合题型的解法是解决问题的关键． 12．如图所示，点在⊙O上，其中为弧上异于点和点的任意一点，若平分，连接，若的半径为6，则的长为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、圆周角定理、含30度角的直角三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】连接，利用垂径定理得出E，F分别为中点，进而得出，再连接，利用圆周角定理求出的度数，最后结合的半径为6即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵， ∴点F为的中点． ∵平分， ∴点E为中点， ∴是的中位线， ∴． 连接，过点O作的垂线，垂足为M， ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、垂径定理及勾股定理，熟知圆周角定理、等腰三角形的性质及垂径定理是解题的关键． 13．如图，五边形，已知，，，，，，求出最小时四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、解直角三角形的相关计算、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】过点F作的垂线，垂足为P，令，用含的代数式表示，利用配方法可求出的最小值，连接，证明是等边三角形，再证四边形是平行四边形，可得，，在中，，求得，同理可得，，得，由，，以为斜边构造等腰直角三角形，再根据及的长，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：过点F作的垂线，垂足为P， 令， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， 则． 在中， ． 在中， ， ∴当时，取得最小值9，即的最小值为3． 则，， ∴，． 连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴， ∴，． 在中，， ∴， 同理可得，． ∴． ∵，， ∴以为斜边构造等腰直角三角形， 如图所示，点N在以点O为圆心的圆上， ∵， ∴． 在中，． 当点N在点处时，的面积取得最大值， 此时． ∴四边形面积的最大值为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形面积的最值问题，等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理等知识，利用数形结合的数学思想，构造辅助圆是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）圆锥的底面直径是，母线长．求它的侧面展开图的圆心角和圆锥全面积． 【答案】圆心角，圆锥全面积为 【知识点】求圆锥侧面积、求圆锥侧面展开图的圆心角、求弧长 【分析】圆锥的全面积是底面圆面积与侧面扇形的面积之和，侧面圆心角所对的弧长与所对整圆周长成比例，由此即可求解． 【详解】解：已知，， ∴， 底面圆的周长， 圆锥侧面积， 圆锥底面积， 圆锥全面积． 圆心角． 【点睛】本题主要考查圆锥的侧面的圆心角，圆锥的全面积的计算，掌握扇形圆心角的计算，圆锥全面积的计算是解题的关键． 15．（5分）如图，是圆的弦．是圆上不与重合的弦，连接，当时，求证：． 【答案】见解析 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查平行线的性质，圆周角定理的推论，弧、弦、圆心角的关系，连接常用的辅助线是解题关键．连接，根据平行线的性质可得出，从而得出，即可证． 【详解】证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（5分）如图，已知为的直径，为的弦，为的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【知识点】垂直于同一直线的两直线平行、半圆（直径）所对的圆周角是直角、垂径定理的推论 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理的推理．熟练掌握垂径定理的推理是解题的关键．由圆周角定理得到，由垂径定理的推理得，即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ∵为的中点， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 17．（5分）如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【知识点】三角形内心有关应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解答本题的关键． 如图：作的角平分线交于M，点M即为所求． 【详解】如图，点M即所求： 18．（5分）如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据点是弧的中点，得到；根据为的直径，，得到，从而得到，得到，得到 【详解】解：∵， ∴． ∵点D是的中点， ∴． ∴． ∴． ∴． 19．（5分）如图，与相切于点B，过点A作与相交于点C，点D，是的直径，连接． (1)求证：； (2)当，时，的半径____________． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，进而证明，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论； （2）连接，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 在中，， 由勾股定理得：． ∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴的半径长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 20．（6分）如图，是的直径，过点作的切线，连接，交于点D，过点作的平行线，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求AD的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、三角函数综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、切线的性质定理 【分析】本题考查了圆的相关性质综合，圆的切线的判定，结合全等的判定与性质与三角函数的应用是解题的关键． （1）连接，证明，得即可； （2）连接，利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵点在上， ∴是的切线； （2）如图，连接， ∵，，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 解得：． 21．（6分）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．    (1)求的度数； (2)过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 【答案】(1) (2)圆的半径长是4． 【知识点】等边三角形的判定和性质、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】（1）证明，则，根据圆内接四边形的性质得到； （2）证明是等边三角形，则，得到，则，则，再利用直角三角形的性质即可到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，    ∴， ∵     ， ∴    ， ∴，， ∵四边形是圆内接四边形． ∴． ∴； （2）∵，   ∴是圆的直径， ∵，    ∴  ， ∴是等边三角形， ∴， ∴   ，    ∴ ， ∵，     ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴圆的半径是4． 【点睛】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定和性质、含角直角三角形的性质等知识，得到是解题的关键． 22．（7分）如图，是的直径，是弦，与相交于点M，点A是的中点，连接，N为延长线上一点，连接并延长，交的延长线于点P，连接，． (1)求证：为的切线； (2)若M为的中点，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、利用垂径定理求值、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】（1）由点A是的中点，可得，，由，可得，则，证明，，进而结论得证； （2）由题意知，，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：点A是的中点， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵是半径， 为的切线． （2）解：M为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，． 【点睛】本题考查了垂径定理，切线的判定，等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握垂径定理，切线的判定，等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23．（7分）如图，线段是的直径，延长至点C，使，点E是线段的中点，交于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)点P是上一动点（不与点A，B重合），连接，．求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明某直线是圆的切线、相似三角形的判定与性质综合、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）连接，，利用线段垂直平分线的性质，同圆的半径相等，得到为等边三角形，利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质求得，则，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）证明：如图中，连接，， 点是线段的中点，交于点， 垂直平分， ，． ， ， 是等边三角形， ， ，且为的外角， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：连接，如图， 由已知可得：． ， 又， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 24．（7分）如图，内接于，是的直径，点为的中点，连接并延长点，连接，直线切于点．作于点，连接，分别交，于点，． (1)若，，求的长． (2)求证：． (3)连接，记的面积为，四边形的面积为，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据垂径定理可知，在根据切线的性质得出，由勾股定理求出的长，再根据等积变换求出的长，从而得到的长，最后根据和相似求出的长； （2）根据平行线的判定得到和平行、和平行，在根据平行线分线段成比例求证即可； （3）根据平行线分线段成比例得出和的关系，然后根据三角形的面积公式以及图形的割补求解即可． 【详解】（1）解：设和相交于，如图： 是中点， ，， 是圆的切线，是直径， ， 在中，，， ， ， ， ， 又，， ， 又，， ， ， ； （2）证明：延长和交于点，如图： 为直径， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，合理运用切线的性质、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例等知识点是本题解题的关键． 25．（8分）【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，是的中点，F是上一动点（足够长），将沿折叠，得到，点B的对应点为P，连接，求的最小值； 【问题解决】 （2）如图2，某景区有一块五边形的场地为场地出入口，为吸引更多游客，计划在该场地内部修建一个观景亭M欣赏周围美景，在边上修建一个喷水池N（大小忽略不计），其中，点F在上，且，观景亭M恰好在以为直径的上，并在观景亭M和喷水池N以及喷水池N与出入口E之间沿等距离的挂上灯笼进行装饰，为了节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】求一点到圆上点距离的最值、用勾股定理解三角形、折叠问题、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）由点E是的中点及折叠的性质可知，进而可得以E为圆心、以为半径的经过点A、P．用勾股定理解求出，当E、P、D三点共线时，可取最小值，，由此可解； （2）作点E关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，在四边形中，，当O、M、N、四点共线时，此时最小，最小值为的长度． 【详解】解：（1）由点E是的中点及折叠的性质可知：，且点F是的角平分线与的交点． ∴以E为圆心、以为半径的经过点A、P．                     ∵点E是中点，， ．                     在中，由勾股定理得，即， ．                     由图可知：当E、P、D三点共线时，可取最小值， ， 长的最小值为．                         （2）作点E关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，在四边形中，，当O、M、N、四点共线时，此时最小，最小值为的长度．                     ，由对称可知，， ．                     由题意可得， ．                 在中，由勾股定理得：，即， ， ， 的最小值为．                     【点睛】本题考查折叠的性质，圆的基本性质，线段的最值问题，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 26．（10分）（1）如图①，在中，，连接，点E是延长线上一点，连接，，，若，求的值； （2）如图②，四边形是一个劳动教育基地，，，连接，半圆O是一个半径为的半圆形储水池，半圆O与切于点M，点M是进水口，．现计划改造出一个区域用来养殖水产．要求，点P在上，点Q在内（足够大），，，为安全起见，要沿三边修建围栏，所修建的围栏总长是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的值为13；（2）所修建的围栏总长存在最小值，的最小值为． 【知识点】切线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解 【分析】（1）先说明，再说明，从而得出，最后由勾股定理计算即可得出答案； （2））过点A作交延长线于点E，连接，证明四边形是正方形，得出，证明四边形是平行四边形，得出，则，得出求的最小值就是求的最小值，延长交于点G，交l于点T，连接，得出四边形是平行四边形，在中，，，，求出，由线段垂直平分线的性质得出，，再由勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， 又∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴的值为13． （2）过点A作交延长线于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵半圆O与切于点M， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴求的最小值就是求的最小值， 过点Q作的平行线l，直线l在内的部分为Q的轨迹，过点O作于点H，延长到R，使得，连接，可得l垂直平分， ∴， ∴， ∴当R、Q、M三点共线时，取得最小值，即取得最小值， 延长交于点G，交l于点T，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴，， ∴， ∵l垂直平分， ∴，， ∴， ∴所修建的围栏总长存在最小值，的最小值为 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！31 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 圆（单元重点综合测试B卷） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，点A、B、C是上的三个点，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． （题1图） （题2图） （题3图） （题5图） 2．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知点在⊙O上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图1是小明制作的一副弓箭，当弓箭不受力时，其弓臂部分可看成是如图2所示的圆弧（所在圆的圆心为O），弓弦部分的长为，点D是弓臂的中点，交于点C，D、C两点之间的距离为，则弓臂所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的直径，点C、D、E在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系．《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取两点，设所在圆的圆心为，经测量：弦，过弦的中点作交圆弧于点，且，则该车轮的半径等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．圆内接正多边形的边长与圆的半径相等，则这个正多边形的边数为 ． 10．如图，在中，若，则扇形（阴影部分）的面积是 ．（结果保留） （题10图） （题11图） （题12图） （题13图） 11．如图，正六边形内接于，对角线交于点，已知的半径为，则的长为 ． 12．如图所示，点在⊙O上，其中为弧上异于点和点的任意一点，若平分，连接，若的半径为6，则的长为 ． 13．如图，五边形，已知，，，，，，求出最小时四边形面积的最大值为 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）圆锥的底面直径是，母线长．求它的侧面展开图的圆心角和圆锥全面积． 15．（5分）如图，是圆的弦．是圆上不与重合的弦，连接，当时，求证：． 16．（5分）如图，已知为的直径，为的弦，为的中点，连接．求证：． 17．（5分）如图，在中，为的平分线，请用尺规作图法，求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（5分）如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长． 19．（5分）如图，与相切于点B，过点A作与相交于点C，点D，是的直径，连接． (1)求证：； (2)当，时，的半径____________． 20．（6分）如图，是的直径，过点作的切线，连接，交于点D，过点作的平行线，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求AD的长． 21．（6分）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．    (1)求的度数； (2)过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长． 22．（7分）如图，是的直径，是弦，与相交于点M，点A是的中点，连接，N为延长线上一点，连接并延长，交的延长线于点P，连接，． (1)求证：为的切线； (2)若M为的中点，，求的长． 23．（7分）如图，线段是的直径，延长至点C，使，点E是线段的中点，交于点D，连接． (1)求证：是的切线； (2)点P是上一动点（不与点A，B重合），连接，．求的值． 24．（7分）如图，内接于，是的直径，点为的中点，连接并延长点，连接，直线切于点．作于点，连接，分别交，于点，． (1)若，，求的长． (2)求证：． (3)连接，记的面积为，四边形的面积为，若，求的值． 25．（8分）【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，是的中点，F是上一动点（足够长），将沿折叠，得到，点B的对应点为P，连接，求的最小值； 【问题解决】 （2） 如图2，某景区有一块五边形的场地为场地出入口，为吸引更多游客，计划在该场地内部修建一个观景亭M欣赏周围美景，在边上修建一个喷水池N（大小忽略不计），其中，点F在上，且，观景亭M恰好在以为直径的上，并在观景亭M和喷水池N以及喷水池N与出入口E之间沿等距离的挂上灯笼进行装饰，为了节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值． （3） 26．（10分）（1）如图①，在中，，连接，点E是延长线上一点，连接，，，若，求的值； （2）如图②，四边形是一个劳动教育基地，，，连接，半圆O是一个半径为的半圆形储水池，半圆O与切于点M，点M是进水口，．现计划改造出一个区域用来养殖水产．要求，点P在上，点Q在内（足够大），，，为安全起见，要沿三边修建围栏，所修建的围栏总长是否存在最小值，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$