6.3三角形的中位线 课时作业2024-2025学年北师大版八年级数学下册

北师大版八年级下册数学6.3三角形的中位线 课时作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，点A、B为定点，定直线，点P是l上一动点，点M、N分别为PA、PB的中点，对于下列各值： ①线段MN与AB的比值； ②的面积； ③的周长； ④直线MN、AB之间的距离； ⑤∠APB的大小． 其中随着点P的移动而变化的是（    ） A．②③ B．②⑤ C．③⑤ D．①②④ 2．如图，是的中位线，平分交于点，若，，则边的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图∠A＝∠ABC＝∠C＝45°，E、F分别是AB、BC的中点，则下列结论，①EF⊥BD，②EF＝BD，③∠ADC＝∠BEF+∠BFE，④AD＝DC，其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 4．如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有（    ）    A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④ 5．如图，点在的边上，连接，作交于点，点是的中点，且，若，则的长为（    ）    A．10 B．9 C． D．8 6．如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（　　） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 7．如图，两地被池塘隔开，小明先在直线外选一点，然后测量出，的中点，并测出的长为．由此，他可以知道、间的距离为（  ）    A． B． C． D． 8．如图，在中，点D在上，，于点E，F是的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．2 二、填空题 9．如图，在中，是的中位线，，则的度数是 ． 10．如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，若AD＝BC＝，则四边形EGFH的周长是 ． 11．在中，，，． （1）如图①，将线段绕点C顺时针旋转，所得到与交于点M，则的长= ； （2）如图②，点D是边上一点D且，将线段绕点A旋转，得线段，点F始终为的中点，则将线段绕点A逆时针旋转 度时，线段的长最大，最大值为 ． 12．如图，在中，M是边上的中点，平分，于点N，若，，则 ． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使BC＝2CD，连接DM、DN、MN．若AB＝6，则DN＝ ． 三、解答题 14．已知：如图，在△ABC中，M、N分别是边AB、AC的中点，D是边BC延长线上的一点，且，连接CM、DN． （1）求证：四边形MCDN是平行四边形； （2）若三角形AMN的面积等于5，求梯形MBDN的面积． 15．已知，与均为直角三角形，． (1)如图1，若点共线，连接，且，求的长； (2)如图2，若，连接，并延长交于点，，猜想与的数量关系并证明； (3)如图3，，连接，点，点分别为与的中点，连接，记的最大值为的最小值为，请直接写出的值． 16．（1）如图①， 如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N，求证：．（提示：取的中点H， 连接作辅助线） （2）问题一：如图②，在四边形中，与相交于点O，且，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状， 并说明理由． （3）问题二：如图③， 如图，在中，，点D在AC上，，点E、F分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并证明．    17．如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证∶AE与DF互相平分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B C B A D C 1．C 【分析】求出AB长为定值，P到A B的距离为定值，再根据三角形的中位线即可判断①②④；根据运动得出PA + PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化，即可判断③⑤． 【详解】∵A、B为定点， ∴AB长为定值， ∵点M， N分别为PA，PB的中点， ∴MN =AB为定值，故①不正确； ∵点A，B为定点，定直线l// AB， ∴P到A B的距离为定值， ∴△PAB的面积为定值． 故②④不正确； 当P点移动时，PA + PB的长发生变化， ∴∆PAB的周长发生变化，故③正确； 当P点移动时，∠APB发生变化，故⑤正确； 故选： C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理的应用，能熟记三角形的中位线定理是解此题的关键，用了运动观点的思想． 2．B 【分析】本题考查了三角形中位线定理、角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由三角形中位线定理得出，，，由平行线的性质结合角平分线的定义得出，由等角对等边得出，求出的长即可得解． 【详解】解：是的中位线， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：B． 3．B 【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用全等三角形的性质求解. 【详解】如下图所示：连接AC，延长BD交AC于点M，延长AD交BC于Q，延长CD交AB于P.∵∠ABC=∠C=45°，∴CP⊥AB，∵∠ABC=∠A=45°，∴AQ⊥BC，点D为两条高的交点，所以BM为AC边上的高，即：BM⊥AC，由中位线定理可得EF∥AC，EF=AC，∴BD⊥EF，故①正确；∵∠DBQ+∠DCA=45°,∠DCA+∠CAQ=45°，∴∠DBQ=∠CAQ，∵∠A=∠ABC，∴AQ=BQ，∵∠BQD=∠AQC=90°，∴根据以上条件得△AQC≌△BQD，∴BD=AC，∴EF=AC，故②正确；∵∠A=∠ABC=∠C=45°，∴∠DAC+∠DCA=180°−(∠A+∠ABC+∠C)=45°，∴∠ADC=180°−(∠DAC+∠DCA)=135°=∠BEF+∠BFE=180°−∠ABC，故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立；无法证明AD=CD，故④错误.故选B. 【点睛】本题主要考查三角形中位线以及三角形全等的判定和应用，熟练掌握相关知识点是解答的关键. 4．C 【分析】根据，点E是的中点，，可知是等边三角形，得出，，进而得出，根据平行四边形得性质可判断①，再根据平行四边形的性质得，即可说明是否平分，然后说明是的中位线，可判断和的关系，再根据点O是的中点，得，由点E是的中点，得，进而得，然后根据平行四边形的性质得，即可判断④，得出答案． 【详解】∵，点E是的中点， ∴. ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴是平分． 则①②正确； ∵点E是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 则③正确； ∵点O是的中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴， ∴． 由平行四边形的性质得， ∴， 即． 则④不正确． 所以正确的有①②③. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线的性质，求三角形的面积等，弄清各三角形的面积之间的关系是解题的关键． 5．B 【分析】延长交于点，可推出四边形是平行四边形，得；根据“点是的中点”可得、，设，根据即可求解． 【详解】解：延长交于点，如图：    ∵，， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵点是的中点且， ， ∵点是的中点且， ， ， 设， ， 解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、中位线定理、等腰三角形的性质等，熟记相关知识点是解题关键． 6．A 【分析】根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，如图：连接并延长交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，再根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 如图：连接并延长交于G ∵ ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是BD的中点， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键． 7．D 【分析】根据三角形中位线定理解答． 【详解】解：∵点M，N分别是AC，BC的中点， ∴AB=2MN=13（m）， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是关键． 8．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中位线的性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，中位线的性质是解题的关键． 由题意知，，，由，，可得，即为的中点，进而可得，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵，， ∴，即为的中点， 又∵F是的中点， ∴， 故选：C． 9． 【分析】根据是的中位线得，根据平行线的性质得，即可得． 【详解】解：∵是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点． 10．4 【分析】根三角形的中位线定理即可求得四边形EFGH的各边长，从而求得周长． 【详解】∵E、G是AB和AC的中点， ∴EG＝BC＝， 同理HF＝BC＝， EH＝GF＝AD＝． ∴四边形EGFH的周长是：4×＝4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 11． 6 150 【分析】（1）根据旋转的性质及等腰三角形、等边三角形的性质求解； （2）取中点E连接，所以为中位线，求出，再利用求的最大值及此时的旋转角． 【详解】解：（1）如图1所示： 在中，， ， 将线段绕点C顺时针旋转， ∴ 为等腰三角形， ， ， ∴ 为等边三角形， ， 故答案为：6； （2）在中，， ， 取中点E连接，如图2， 为中位线， 又， ， ， 当共线时，最大，最大值=， 此时，， ， 即当将线段绕点A逆时针旋转时，线段的长最大，最大值为； 故答案为：150；． 【点睛】此题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形、等边三角形以及直角三角形的性质是解答此题的关键． 12． 【分析】延长，交于点，证明，得到，进而得到为的中点，利用三角形中位线定理，求出，利用，求出的长即可． 【详解】解：延长，交于点， ∵平分，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵M是边上的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．通过添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 13．3 【分析】连接CM，根据直角三角形的性质求出CM，证明四边形DCMN是平行四边形，根据平行四边形的性质解答． 【详解】解：连接CM， ∵∠ACB＝90°，M是AB的中点， ∴CM＝AB＝3， ∵M、N分别是AB、AC的中点， ∴MN＝BC，MN∥BC， ∵BC＝2CD， ∴MN＝CD，又MN∥BC， ∴四边形DCMN是平行四边形， ∴DN＝CM＝3， 故答案为3． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 14．(1)见解析;(2)20. 【分析】根据三角形中位线的性质可得MN∥BC，且MN=BC，再由条件CD=BC可得MN=CD，进而可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形MCDN是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵M、N分别是边AB、AC的中点 ∴MN∥BC且， 又 ∴MN∥CD，且MN=CD ∴四边形MCDN是平行四边形． （2）∵M、N分别是边AB、AC的中点，四边形MCDN是平行四边形，∴ , , ∴=4×5=20, ∴梯形MBDN的面积等于20. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，以及三角形中位线的性质，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明，在中，由勾股定理得，由等面积法得，则，再由等腰三角形的三线合一求得； （2）延长至点，使得，连接，先证明，再证明，则，设，导角可得，显然，导角可得，则，继而，故； （3）取中点为点，链接，由三角形的中位线得到，在中，有，故的最大值为，最小值为，在中，由勾股定理得： ，即：，即可求解． 【详解】（1）解：如图：记，的交点为， ∵点共线，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 证明：延长至点，使得，连接， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵, ∴， ∴， 设， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可求：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：取中点为点，链接， ∵点，点分别为与的中点， ∴， 在中，有， ∴的最大值为，最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的内角和定理，三角形的三边关系求最值等知识点，难度较大，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 16．（1）证明见解析；（2）是等腰直角三角形，证明见解析；（3）为直角三角形，证明见解析 【分析】（1）根据思路，利用三角形中位线定理和平行线性质完成即可； （2）如图，取的中点H，连接、，证明分别是的中位线，得到，，进而证明，，再由，即可证明是等腰直角三角形． （3）连接，取的中点H，连接，根据三角形中位线定理和平行的性质证明即可； 【详解】解：（1）如图所示，连接，取的中点H，连接、， ∵E、F分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．    （2）是等腰直角三角形；证明如下： 如图，取的中点H，连接、 ∵E、F分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形．    （3）为直角三角形，证明如下： 如图，连接，取的中点H，连接，      ∵F是的中点， ∴ ∴， 同理，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴， ∴， ∴， 即是直角三角形． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理以及平行线的性质和等腰直角三角形和直角三角形的判定．通过添加辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． 17．证明见解析 【分析】要证AE与DF互相平分，根据平行四边形的判定，就必须先证四边形ADEF为平行四边形． 【详解】解：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知： DE∥AC，DE＝AF，EF∥AB，EF＝AD ∴四边形ADEF为平行四边形 故AE与DF互相平分． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$