第二单元 1.比的意义

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 二 比和比例 1.比的意义 比的意义 一、 基础知识讲解 1.比的意义 类别 意义 比 两个数相除又叫做两个数的比。两个数量之间的关系可 以用两个数的比来表示。 2.比的关系 （一）比的意义 （二）比的读法、写法及各部分的名称 （三）比与分数、除法的关系 （四）比的基本性质 （五）比的化简 （六）求比值 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 长和宽的比是 15 比 10， 宽和长的比是 10 比 15。 两个同类量的比表示这两个量之间的倍数关系或分率关系 速度三路程÷时间 路程和时间的比 两个不同类量的比可以表示一个新的量。 二、 考法技法提炼 考法：求两个数的比 解题方法：两个数量之间的关系可以用两个数的比来表示，要根据题目信息，找到对应的 量。 例题：7 克盐放到 100 克水里面，则盐与盐水的比是( )。 【答案】7∶107 【分析】用 7＋100＝107 克，求出盐水的重量，再根据比的意义，用盐的重量∶盐水的重量， 即可解答。 【详解】7∶（7＋100） ＝7∶107 7 克盐放到 100 克水里面，则盐与盐水的比是 7∶107。 三、 易错提示 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 易错点 1：错误理解题目的数量关系 易错诠释：找到相关联的量，比如解答此题的关键是掌握工作时间、工作效率、工作总量 之间的数量关系。解答本题依据的数量关系为：工作时间＝工作总量÷工作效率。 例题 1：一项工程，甲队单独做 12 天完成，乙队单独做 18 天完成，甲、乙两队的工作效率 之比是（ ）。 A．12∶18 B．2∶3 C．3∶2 【答案】C 【分析】将这项工程总量看作单位“1”，则甲队的工作效率为 1 12 ，乙队的工作效率为 1 18 ， 根据比的意义可以解答。 【详解】因为工作量一定时，甲、乙两队工作效率的比是 1 12 ∶ 1 18 ＝ 1 12 ÷ 1 18 ＝ 1 12 ×18＝ 18 6 6 12   ＝ 3 2 ＝3∶2 所以甲、乙两队的工作效率之比是 3∶2。故答案为：C 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 比的读法、写法及各部分的名称 一、 基础知识讲解 1.比的读法、写法 类别 写法 读法 比 把“比”字用“:”代替 a：b 读作几比几 a比 b 2.比的各部分的名称 15 ： 10 = 15 ÷ 10 = 2 3 前项 比号 后项 比值 在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以 后项所得的商，叫做比值。 注意：比可以写成分数的形式，也要读成几比几，比的后项不能为 0。 二、 考法技法提炼 考法：比的读写 解题方法：比可以写成分数的形式，写成分数的形式时也要读成几比几。 例题：15∶28 可以写成 15 28 ，读作（ ）。 A．二十八分之十五 B．十五比二十八 C．二十八比十五 【答案】B 【详解】比的概念：两个同类量中一个量是另一个量的几倍或者几分之几，叫做这两个量的 比。也可以把两个数相除，叫做两个数的比。 比的读法、写法：比用“∶”或“—”来表示。如 11 比 16 可表示为 11∶16 或 11 16 ，读作十 一比十六。 故答案为 B。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 三、 易错提示 易错点：错误认为比的后项可以为 0. 易错诠释：两个数相除又叫做两个数的比。比是除法的另一种表现形式，被除数相当于前 项，除数相当于后项，除号相当于比号；除法中除数不能为 0，所以比的后项不能为 0。 例题：一场足球比赛进球个数的比是 1∶0，说明比的后项可以为 0。( ) 【答案】× 【分析】比的后项不能为 0. 【详解】一场足球比赛进球个数的比是 1∶0，表示两个球队比赛进球的情况，0 表示没有进 球，不是数字中的比。原题说法错误，故答案为：× 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 比与分数、除法的关系 一、 基础知识讲解 1.比与分数、除法的关系 除法 被除数 ÷（除号） 商 分数 分子 —（分数线） 分数值 比 前项 ：（比号） 比值 2.比与分数、除法的区别 类别 意义不同 读法不同 表示方法不同 结果表达不同 除法 是一种运算 先读被除数 不能用分数表 示 一般需要求出商 分数 是一个数 先读分母 本身就是分数 不一定表示两个量的比 比 表示两个量(或 数)的一种关系 先读前项 可以用分数表 示 求比值时才求结果 注意：除数和分母都不能是 0，所以比的后项也不能是 0。 二、 考法技法提炼 考法：借助比与除法的关系解答一些问题 解题方法：正确理解比和除法的关系，知道两个数相除的商也可以是这个比的比值，结合 实际情况解答。 例题：两个数相除的商是 1.8，这两个数的比是（ ）。 A．1∶8 B．5∶9 C．9∶5 【答案】C 【分析】由于两个数相除的商也可以是这个比的比值，根据比值的求法：用比的前项÷比的 后项，找出比值是 1.8 的即可。 【详解】A．1∶8＝1÷8＝ 1 8 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 B．5∶9＝5÷9＝ 5 9 C．9∶5＝9÷5＝1.8 则这两个数的比是 9∶5。 故答案为：C 三、 易错提示 易错点 1：错误理解比与分数、除法的关系 易错诠释：正确理解比与分数、除法的关系，被除数做比的前项，除数做比的后项，再用 比的前项除以后项，求出比值，分数的分子相当于比的前项，分母相当于分数的分母。 例题 1：4∶5＝（ ）÷（ ）＝         （ ） （ ） ，其中比的前项是（ ），比值 是（ ）。 【答案】4；5； 4 5 ；4； 4 5 【分析】根据比与除法的关系，4∶5＝4÷5；根据分数与除法的关系，4÷5＝ 4 5 。 【详解】4∶5＝4÷5＝ 4 5 4÷5＝ 4 5 比的前项是 4，比值是 4 5 。 【点睛】本题考查的是求比值以及比与除法和分数的关系，掌握求比值的方法以及比与除法 和分数的关系是解答关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 比的基本性质 一、 基础知识讲解 1.比的基本性质 类别 比的基本性质 字母表示 比 比的前项和后项同时乘或除以相 同的数（0除外），比值不变。 a:b=(a×c):(b×c) a:b=(a÷c):(b÷c) c≠0 2.比的基本性质的应用 应用比的基本性质可以把一个比转化成最简单的整数比。化简的方法和把一个分数化成最简 分数的方法类似。 二、 考法技法提炼 考法：根据比的基本性质改写比 解题方法：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变，常考题目是告诉 其中一项加减一个数，求另一项的变化，方法是转化成乘或除考虑。 例题：把 12∶5 的后项加上 10，前项加( )，比值不变。 【答案】24 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为 0 的数，比值不变，据 此解答。 【详解】根据题意，比的后项加 10 ，变为5 10 15  ，15 5 3  ，相当于比的后项乘 3，要 使比值不变，根据比的基本性质，比的前项也要乘 3，12 3 36  ，36 12 24  ，所以把 12∶ 5的后项加上 10，前项加 24，比值不变。 三、 易错提示 易错点：错误认为比的基本性质是加减相同的数 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 易错诠释：比的基本性质是比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变， 不是加减同一个数。 例题：比的前项和后项加上或减去同一个不为 0 的数，比值不变。( ) 【答案】× 【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为 0 的数，比值不变， 据此判断。 【详解】根据比的性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为 0的数，比值不变。以 7∶ 9为例，比的前项和后项同时加上 8，则： 7∶9 ＝（7＋8）∶（9＋8） ＝15∶17 7∶9 的前项和后项同时加上 8，比值发生改变，因此原题干的说法是错误的。 故答案为：× 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 比的化简 一、 基础知识讲解 1.比的化简 类别 概念 依据 化简比 把两个数的比化成最简单的整数比,叫做 化简比,也叫做比的化简。 比的基本性质 2.比的化简方法 类别 方法 整数比化简 把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。 分数比化简 把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，变成整数比再进行 化简。 小数比化简 把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，把小数比转化 成整数比再进行化简。 三个数的连比 可以用连比的各项的最大公因数去除连比的每一项，也可以先分别化 简前两个数的比和后两个数的比，再把两个比连起来。 二、 考法技法提炼 考法：比的化简 解题方法：根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0 除外）， 比值不变，进而把比化成最简比。 例题 1：把 2∶0.5 化成最简整数比是( )，它的比值是( )。 【答案】 4∶1 4 【分析】根据比的基本性质进行化简；再用比的前项除以后项，所得的商即为比值。 【详解】由分析可得： 2∶0.5 ＝（2×2）∶（0.5×2） 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ＝4∶1 4∶1＝4÷1＝4 综上所述：把 2∶0.5 化成最简整数比是 4∶1，它的比值是 4。 三、 易错提示 易错点：化简时单位不统一 易错诠释：含有单位的两个数相比,化简比,单位名称一定要统一。 例题：军军身高 155cm，弟弟身高 1m，军军和弟弟身高的比是 155∶1。( ) 【答案】× 【分析】根据题意，高级单位 m转化成低级单位 cm，乘进率 100，先将 1m 转化成以 cm 为单 位；据此写出军军和弟弟身高的比，再根据比的基本性质，即比的前项和后项同时乘或除以 一个相同的数（0 除外），比值不变，进而把比化成最简比。 【详解】由分析可得： 1m＝1×100＝100cm 军军和弟弟身高的比是： 155∶100 ＝（155÷5）∶（100÷5） ＝31∶20 故答案为：× 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 求比值 一、 基础知识讲解 1.比值 类别 概念 比值 比的前项除以后项所得的商叫做比值。 2.比值的求法 类别 求法 表示方法 比值 用前项除以后项 比值通常用分数表示，能除尽时 也可以用小数表示，能整除时要 用整数表示。 二、 考法技法提炼 考法 1：求比值 解题方法：比的前项除以后项所得的商叫做比值，用前项除以后项可以求出比值，比值通 常用分数表示，能除尽时也可以用小数表示，能整除时要用整数表示，计算时要注意，单 位不统一的要化成统一单位。 例题 1：求“800 千克∶ 1 5 吨”的比值是( )。 【答案】 4 【分析】根用比的前项除以比的后项即可求出比值。 【详解】800 千克∶ 1 5 吨 ＝800 千克÷200 千克 ＝4 “800 千克∶ 1 5 吨”的比值是 4。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 三、 易错提示 易错点 1：错误认为比值可以带单位 易错诠释：求比值直接用比的前项÷后项，求比值的结果是一个数，不带单位名称。 例题 1：4 分米∶20 厘米＝40 厘米∶20 厘米＝2 厘米。( ) 【答案】× 【分析】比的前项除以后项所得的商叫做比值，单位不统一的，要化成统一单位进行计算， 据此分析。 【详解】4分米∶20 厘米＝40 厘米∶20 厘米＝40÷20＝2 故答案为：× 橙 子 学