专题05 一元一次方程（9大题型）-【寒假分层作业】2025年七年级数学寒假培优练（北师大版2024）

专题05 一元一次方程 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 一元一次方程及相关概念 题型二 一元一次方程的解 题型三 等式的性质 题型四 一元一次方程的解法 题型五 一元一次方程含参问题（含整数解） 题型六 一元一次方程的错解与遮挡问题 题型七 一元一次方程的同解问题 题型八 一元一次方程的新定义问题 题型九 一元一次方程的实际应用 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 一元一次方程及相关概念 ⭐技巧积累与运用 1）方程：含有未知数的等式。 如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数。 2）一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程。 一元一次方程判断：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1。 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列四个式子中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断选择即可． 【详解】A. ，不是等式，不是方程，不符合题意； B. 是方程，符合题意；C. 不是等式，不符合题意； D. 不含有未知数，不符合题意；故选B． 【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）下列等式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数为次的整式方程，进行解答，即可． 【详解】A、不是整式方程，不符合题意；B、是一元一次方程，符合题意； C、有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、不是等式，故选：B． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义得到，求出m即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：，故答案为：2． 一元一次方程的解 ⭐技巧积累与运用 1）方程的解：使方程两边相等的未知数的值。 2）一元一次方程的解：使一元一次方程两边相等的未知数的值，叫作一元一次方程的解，也叫方程的根。 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解．直接利用一元一次方程的解的意义分别判断得出答案． 【详解】解：A、当时，，故此选项不符合题意； B、当时，，故此选项符合题意； C、当时，，故此选项不符合题意； D、当时，，故此选项不符合题意．故选：B． 2．（23-24七年级上·陕西延安·阶段练习）若方程的解是，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】将代入方程，进行求解即可．掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键． 【详解】解：∵方程的解是，∴，解得：；故选A． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若是关于x的方程的解，则代数式 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的概念，本题属于基础题型．将代入原方程即可求出，然后将其整体代入求值． 【详解】解：将代入原方程可得：， ∴，故答案为：5 等式的性质 ⭐技巧积累与运用 性质1：等式两边同加上（或同减去）同一个数或式，所得结果任是等式。 用字母可以表示为：如果，那么。 性质2：等式两边都乘或都除以同一个数或式，（除数不能为零），所得结果任是等式。 用字母可以表示为：如果，那么或（c≠0）。 其他性质：①对称性：若a=b，则b=a；②传递性：若a=b，b=c，则a=c。 1．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知 ，则下列变形不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了等式的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 根据等式的性质逐项判定即可． 【详解】解：A、，成立，故此选项正确，不符合题意； B、，当时，不成立，故此选项不正确，符合题意； C、，成立，故此选项正确，不符合题意； 在、，成立，故此选项正确，不符合题意；故选：B． 2．（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得，∴正确，不符合题意； 、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得，∴或，∴错误，符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意；故选：． 3．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）天平托盘中形状相同的物体质量相等，能运用等式的性质说明如图所示的事实的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键． 【详解】解：观察图形，左图得等式，右图得等式，利用等式性质1：等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；符合题意；故选：A． 一元一次方程的解法 ⭐技巧积累与运用 解一元一次方程的步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1。 注意：去分母、去括号、移项和合并同类项在方程变形中经常用到，去分母时注意方程的每项都要成分母的最小公倍数；去括号时注意括号前面时“－”时注意变号；移项时应注意改变项的符号。 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列解方程变形错误的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由去分母得 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．根据一元一次方程的解法判断即可． 【详解】解：A、由得，故选项A不符合题意； B、由得，故选项B不符合题意； C、由得，故选项C不符合题意； D、由去分母得，故选项D符合题意；故选：D． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）解方程：(1)；(2)． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（1）先去括号，移项，再合并同类项，然后化系数为1即可求出； （2）先去分母，去括号，移项，再合并同类项，然后化系数为1即可求出； 本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得； （2）去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得． 3．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】本题考查了解一元一次方程 （1）方程移项合并，将系数化为1，即可求出解； （2）方程去括号，移项合并，将系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，将系数化为1，即可求出解； （4）先利用分数性质把分母变成整数，方程去分母，去括号，移项合并，将系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ， ， ； 一元一次方程含参问题（含整数解） ⭐技巧积累与运用 （1）先解方程，将方程的解用含参数的代数式表示。 （2）方程的解一般是分子中不含参数，而分母中含有参数的形式。（如果不是，将其变形为这样的形式） （3）让分母等于分子的所有因数，求解含参数的方程即可。 1．（2024·上海杨浦·八年级期中）当m取___ 时，关于 x的方程mx+m＝2x无解． 【答案】2 【分析】由一元一次方程无解的条件确定出a的值，先移项、合并同类项，最后再依据未知数的系数为0求解即可． 【详解】解：移项得：mx﹣2x＝﹣m，合并同类项得：（m﹣2）x＝﹣m． ∵关于 x的方程mx+m＝2x无解，∴m﹣2＝0．解得：m＝2．答案为：2． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 2．（2024·上海市八年级期中）如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程有解确定出a的范围即可． 【详解】解：∵关于的方程有解，∴，∴；故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键． 3．（2023·沙坪坝·重庆一中）已知关于x的方程的解为偶数，则整数a的所有可能的取值的和为（ ） A．8 B．4 C．7 D．-2 【答案】A 【分析】首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可． 【详解】系数化1得，，移项得，， 合并同类项得，，解得，， ∵该方程的解为偶数，∴为偶数，∵，∴或， ①当时，，，，，，， ②当时，，，，，，， 综上所述，可取3,1，7，-3，∴a的所有可能的取值的和为，3+1+7-3=8，故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，偶数的概念等知识，解题的关键是分或两种情况进行讨论． 一元一次方程的错解与遮挡问题 ⭐技巧积累与运用 一元一次方程中遇到看错符号或者算错的题目时，我们处理的方法也是“将错就错”。先按照错误的解法得到正确的参数，然后将正确的参数带入原方程，得到正确的根。 1．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡．(1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【答案】(1)(2)遮挡的常数是19 【分析】本题主要考查了解一元一次方程；（1）根据题意得出方程，然后解方程即可；（2）先解方程得出，设遮挡的常数为a，然后把代入方程得，求出a的值即可．解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 设遮挡的常数为a，把代入方程得，解得．故遮挡的常数是19． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（   ） A．第5个 B．第8个 C．第10个 D．第12个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减，通过计算确定写错的符号，再根据计算的特点列出方程是解题的关键． 先求出这列数的和为，再由题意可知是“”错写成“”，设写错符合的数是，则，解得，即可确定写出的运算符号是第8个． 【详解】解：， 运算结果比小， “”错写成“”， 设写错符号的数是，，解得， 写错的运算符号是第8个，故选：． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）方程，■处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是，那么■处的常数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的解的定义，熟练掌握方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．将，代入方程中，求出■的值即可． 【详解】将，代入方程中， 得，解得，故答案为：． 一元一次方程的同解问题 ⭐技巧积累与运用 已知两个一元一次方程是同解方程，求其中待定字母的取值，主要有两种题型，其解法有所不同： (1)在两个同解方程中，如果只有一个方程中含有待定字母，一般先解不含待定字母的方程，再把未知数的值代入含有待定字母的方程中，求出待定字母的值。 (2)如果在两个同解方程中都含有相同的待定字母，一般是分别解两个方程，用这个待定字母分别表示两个方程的解，并建立等式，形成关于这个待定字母的方程，求出该待定字母的值。 1．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）已知方程与关于x的方程的解相同．(1)求a的值；(2)若a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c是最大的负整数，求的值． 【答案】(1)(2)1 【分析】本题考查同解方程，有理数的乘方运算： （1）先求出方程的解，再把解代入方程中，进行求解即可； （2）易得互为相反数，，然后根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ，解得：， 把代入，得：，解得：； （2）∵a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，∴， ∵c是最大的负整数，∴，∴． 2．（24-25七年级上·北京·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，确定字母a的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得到，再由题意可得是关于x的方程的解，则，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去括号得：，解得， ∵方程的解与关于x的方程的解相同， ∴是关于x的方程的解， ∴，∴，解得． 一元一次方程的新定义问题 ⭐技巧积累与运用 读懂新定义，还原成常规一元一次方程求解即可。 1．（24-25七年级上·广东·期中）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数m，n为“神奇数对”，记为． （1）若是“神奇数对”，则n的值为 ； （2）若此时关于x的方程与的解相等，则k的值为 ． 【答案】 9 3 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，新定义： （1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据（1）所求得到关于x的方程即为关于x的方程，解方程得到，再把把代入中求出k的值即可得到答案． 【详解】解：（1）∵是“神奇数对”， ∴，∴，∴，故答案为：； （2）由（1）得，∴关于x的方程即为关于x的方程，解方程得， ∵关于x的方程与的解相等， ∴把代入中得，解得，答案为：3． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）定义一种新运算：，，则方程的解是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程、有理数的混合运算．根据，，可以求得题目中方程的解． 【详解】解：∵，，， ∴，整理得，解得：；故选：C． 一元一次方程的实际应用 ⭐技巧积累与运用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 1．（24-25七年级上·浙江·期中）老师带着两个学生到离校33千米的博物馆参观．老师骑摩托车速度为25千米/小时，这辆摩托车后座可以带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时．如果学生步行，速度为5千米/小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后用3小时同时到达博物馆． 【答案】老师带第一个学生走24千米后，该学生下车后步行到博物馆，老师返回接第二个学生，整个过程在路上共计花了3个小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用－行程问题，包含相遇与追及问题，用线段图来表示行程问题中的变化，可以使过程变得更清晰，是解决本题的关键，数形结合是数学中常用的一种数学思想． 如图1中，千米，第一个学生在C点下车后步行到博物馆，此时老师在C点，第二个学生步行到D点，段存在一个老师与第二个学生之间的相遇问题．从时间上产生等量关系，即：老师从C点单车返回到E点的时间+带第二个学生从E点到B点的时间=第一个学生从C点步行到B点的时间．若设千米，则，用含x的代数式表示出该等量关系，即可得方程解出问题． 【详解】解：如图， 设第一个学生搭乘摩托车的路程为x千米，即，则， ， 对于段的相遇问题，可设老师与第二个学生相遇的时间为t小时， 于是得方程： ∴ ∴∴ 由时间关系，可得方程解方程得 则在路上共计用的时间为 即：老师带第一个学生走24千米后，该学生下车后步行到博物馆，老师返回接第二个学生，整个过程在路上共计花了3个小时． 2．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【答案】安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板，根据“每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板”，即可求解． 【详解】解：设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板， 由题意，得，解得，（人）． 答：安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套， 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可； 【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾， 根据题意得：，解得：， 答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾． （2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天， ， 答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元． 4．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 【答案】(1)A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进是60元；(2)全部售完共可获利1450元． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程解决问题． （1）设A种商品每件的进价是x元，由购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同得：，即可解得答案；（2）设购进A种商品a件，则购进B商品件，由所用资金为6900元得 ，解出a的值，即可列式求出答案． 【详解】（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元， 由题意得：，解得，∴（元）， 答：A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进价是60元； （2）设购进A种商品a件，则购进B商品件， 由题意得 ，解得， ∴，∴（元）， 答：全部售完共可获利1450元． 5．（23-24七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）：计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费．(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？(2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？(3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 【答案】(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元 (2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟 (3)若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元 【分析】本题考查有理数的混合运算、一元一次方程的应用，理解两种“计费方法”的意义是正确解答的关键．（1）根据计费方法A的计费标准进行计算即可；（2）先估算通话时间，再利用计费方法B的解法标准进行计算即可；（3）求出用计费方法B的用户某个月累计费用126元的通话时间，再根据通话时间与计费方法A计算费用，比较得出答案． 【详解】（1）解：当通话时间为100分钟时，应付费（元）， 答：某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用60.5元； （2）解：由于用计费方法B的用户某个月累计费用107元大于88元，因此通话时间大于200分钟，设通话时间是分钟，则，解得， 答：用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是300分钟； （3）解：设通话时间是分钟，由题意可得，解得， 当通话时间为400分钟时，（元），（元）， 答：若改用计费方法A的方式，费用增加了，相差9.5元． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意；故选：B． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程．根据定义即可求出答案． 【详解】解：A、不是方程，不是一元一次方程，本选项不符合题意； B、是一元一次方程，本选项符合题意； C、未知数的最高次不是1，不是一元一次方程，本选项不符合题意； D、有两个未知数，不是一元一次方程，本选项不符合题意；故选：B． 3．（23-24七年级上·江西新余·阶段练习）下列方程变形正确的是（    ） A．方程移项得 B．方程化成 C．若，则 D．方程，去括号，得 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，将各项中方程变形得到结果，即可做出判断． 【详解】解：．方程，移项得：，原表述错误，故本选项不符合题意； ．方程化成，原表述正确，故本选项符合题意； ．，若，则不一定等于y，原表述错误，故本选项不符合题意； ．方程，去括号，得，原表述错误，故本选项不符合题意；故选：B． 4.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）关于x的方程与的解相同，则m等于（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程，先求出的解，代入得到关于m的一元一次方程，再解方程即可． 【详解】解：解，得：，将代入，得：，解得，故选A． 5．（2023·河北承德·七年级期末）如图，在大长方形（是宽）中放入六个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．若设，分析思路描述正确的是（      ） 甲：我列的方程，找小长方形的长作为相等关系； 乙：我列的方程，找的是大长方形的长做相等关系． A．甲对乙不完全对 B．甲不完全对乙对 C．甲乙都正确 D．甲乙都不对 【答案】A 【分析】根据小长方形的长作为相等关系，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设，根据小长方形的长作为相等关系，得出， 根据大长方形的宽做相等关系可得， ∴甲对乙不完全对，故A正确．故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入，计算即可作答． 【详解】解：依题意，代入， 得解得故答案为： 7．（2024·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________． 【答案】 【分析】根据两个方程的特点，第二个方程中的y+1相当于第一个方程中的x，据此即可求解． 【详解】∵， ∴． ∵关于x的一元一次方程的解是x=71， ∴关于(y+1)的一元一次方程的解为：y+1=71， 解得：y=70，故答案为：y=70． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的特点是解题的关键． 8．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车． 【答案】有人，辆车． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设共有辆车，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设共有辆车， 根据题意得，， 解得， ∴人， 答：有人，辆车． 9．（2024·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务． 七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为： ， ， ． ， 解，得． 上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法． 任务：参照材料中的解题方法解方程． 【答案】x=-4 【分析】根据题示的方法，设7-2x=a，将原方程转化为关于a的方程求解即可． 【详解】解： 设7-2x=a，则原方程变形为： ∴ 解得，a=15 即7-2x=15， 解得，x=-4 【点睛】本题考查了换元法解方程．换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原． 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程： (1)；(2)． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （2）先去分母，再括号，再移项，然后去括号，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． 【详解】（1）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，； （2）解：， 去分母，， 去括号，， 移项，， 合并同类项，， 系数化1，． 11．（24-25七年级上·北京·期中）下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 任务一：填空 （1）以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的； （2）第 步开始出现错误，这一步的错误的原因是 ； 任务二：请你求出方程正确的解． 【答案】任务一：（1）等式的性质2；（2）二，括号前面是减号，去括号时括号里的符号没变号；任务二：见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 任务一：（1）根据等式的性质判断即可； （2）根据去括号法则即可判断解方程中的错误处； 任务二：根据等式的性质（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1）求解即可． 【详解】解：（1）以上解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的； （2）第二步开始出现错误，这一步的错误的原因是：括号前面是减号，去括号时括号里的符号没变号， 正确解法为： 解：． 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“成双方程”． 例如：判断方程和，是否互为“成双方程”． 解：方程和是互为“成双方程”，理由如下： 解方程，解得．解方程，解得． ，方程和互为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数加法运算等知识点，准确理解并运用题目新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）分别解两个方程，然后根据“成双方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解分别为，，再根据关于的方程与方程互为“成双方程”得出，解关于的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：不是，理由如下： 解方程， 解得：， 解方程， 解得：， ， 方程与方程不是“成双方程”； （2）解：解关于的方程， 解得：， 解方程， 解得：， 关于的方程与方程互为“成双方程”， ， 解得：． 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解等于（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次方程和一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义与求解是解题的关键．根据一元一次方程的定义，即含有1个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是一元一次方程，据此求出的值，然后再求解方程即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义可知，且，解得：， 原方程为：，解得：，故选：D 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，熟悉掌握并能灵活运用相关知识是解题的关键． 设1个〇重g，1个□重g，1个△重g，利用代数式可表达出，，，运算求解即可． 【详解】解：设1个〇重g，1个□重g，1个△重g．由题意可得：，，． 根据等式的基本性质2，将的两边同除以2，得， 将的两边同除以5，得，将和代入，得， 根据等式的基本性质1，将两边同时减，得， 根据等式的基本性质2，将两边同时除以，得， 将代入，得，〇g，□g．故答案为：，． 3．（2024·重庆巴南·七年级期中）从，，，1，2，4中选一个数作为的值，使得关于的方程的解为整数，则所有满足条件的的值的积为（ ） A． B． C．32 D．64 【答案】D 【分析】通过去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1，用含k的式子表示x，再根据条件，得到满足条件的k值，进而即可求解． 【详解】由，解得：， ∵关于的方程的解为整数， ∴满足条件的的值可以为：，，2，4，∴()×()×2×4=64，故选D． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，把k看作常数，掌握解一元一次方程的步骤，是解题关键。 4．（2024·福建仙游·初一月考）已知关于x的方程2a(x－1)＝(3－a)x+3b有无数多个解，那么ab＝________ 【答案】 【解析】去括号，得：2ax-2a=（3-a）x+3b，移项、合并同类项得：（3a-3）x=2a+3b， 根据方程有无数多解，可得： ，解得：a=1，b=-，因此ab=-．故答案为：-. 5．（2023·浙江八年级期中）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，用两个相同的管子在容器的高度处（即管子底端离容器底）连通．现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示、，若每分钟同时向乙和丙注入等量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升，则注水___________分钟后，甲与乙的水位高度之差是． 【答案】， 【分析】由题意得注水1分钟，丙的水位上升，设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差为2cm，则可分：①当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，②当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时，然后分类求解即可． 【详解】解：∵甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，且注水1分钟，乙的水位上升，∴注水1分钟，丙的水位上升， 设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差为2cm，则可分： ①当甲的水位低于乙的水位时，甲的水位不变时，则有：∴，解得：； ∵，∴此时丙容器已向乙容器溢水， ∵分钟，cm，即经过分钟丙容器的水达到管子底部，乙的水位上升cm， ∴，解得：； ②当甲的水位低于乙的水位时，乙的水位到达管子底部，甲的水位上升时， ∵乙的水位到达管子底部的时间为：分钟， ∴，解得：； 综上所述：开始注入，分钟的水量后，甲乙的水位高度之差是2cm；故答案为，． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 6．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）据了解第二届“澳新杯”篮球赛在12月2日圆满结束，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如下表）： 小明同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题： (1)从表中可以看出，负一场积______分，胜一场积_______分； (2)某班在比完12场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由． 【答案】(1)1，2 (2)若该班在12场，胜了6场，则其胜场积分是负场积分的2倍． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）由表中最后一行的信息可知，12场全负积分为12分，由此可得负一场积1分；结合表中第一行的信息即可求得胜一场积2分； （2）设该班胜了场，则该班负了场，胜的场次共积分，负的场次共积分，由题意可得方程：，解方程即可得到答案. 【详解】（1）解：由表中最后一行的信息可知，某班12场全负积分为12分， ∴负一场的积分为：（分）； 设胜一场积分，则由表中第一行信息可得：，解得：， ∴胜一场积2分；故答案为：1，2； （2）解：设该班胜了场，根据题意可得： ，解得：， ∴若某班赛完全部12场，胜了6场，则该班的胜场积分是负场积分的2倍． 答：若该班在12场，胜了6场，则其胜场积分是负场积分的2倍． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． (1)请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程是巧合方程，请求出b的值； (3)若和都是巧合方程，请求出的值． 【答案】(1)是(2)(3) 【分析】本题考查一元一次方程的解，本题是阅读型题目，理解题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）解原方程，利用“巧合方程”的定义进行验证即可； （2）先解方程，再根据“巧合方程”定义，建立关于b的方程求解即可； （3）同理（2）求出，n的值，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 是巧合方程； （2）解： ， 方程是巧合方程， ； （3）解： ， 方程是巧合方程， ，即， 解得：； 解得：， 方程是巧合方程， ， ， ， ， 解得：， ． 8．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12的部分 a元/ 超过12但不超过20的部分 元/ 超过20的部分 元/ (1)某户4月份用了13的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含a的式子表示） (2)设某户月用水量为n，当，时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含n的式子表示） (3)当时，甲、乙两户一个月共用水32，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费．（可用含x的式子表示） 【答案】(1)元 (2)元 (3)当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元 【分析】(1) 根据费用=，列式计算即可． (2)根据题意，得，费用=，得出的结论． (3) 分和，两种情况计算即可． 本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，当时，每费用为 元，当时，每费用为元， 故本月总费用为：（元） 故该用户4月份应缴纳的水费为元． （2）解：根据题意，得，，故不超过12的部分费用为：（元）； 超过12但不超过20的部分费用为：（元）； 超过20的部分费用为：（元）， 故该户应缴纳的水费为： (元)．答：应交电费元． （3）解：根据题意，得，且元， 根据题意，得甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x，故； 当时，甲户用水量超过12但不超过20，乙户用水量不少于12但少于20， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： （元）． 当时，甲的用水量超过20乙的用水量不超过12， 所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： 元． 综上所述，当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次方程 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（9大题型） 题型一 一元一次方程及相关概念 题型二 一元一次方程的解 题型三 等式的性质 题型四 一元一次方程的解法 题型五 一元一次方程含参问题（含整数解） 题型六 一元一次方程的错解与遮挡问题 题型七 一元一次方程的同解问题 题型八 一元一次方程的新定义问题 题型九 一元一次方程的实际应用 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 一元一次方程及相关概念 ⭐技巧积累与运用 1）方程：含有未知数的等式。 如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数。 2）一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程。 一元一次方程判断：①整式方程；②只含一个未知数，且未知数的系数不为0；③未知数的次数为1。 1．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列四个式子中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）下列等式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则的值是 ． 一元一次方程的解 ⭐技巧积累与运用 1）方程的解：使方程两边相等的未知数的值。 2）一元一次方程的解：使一元一次方程两边相等的未知数的值，叫作一元一次方程的解，也叫方程的根。 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·陕西延安·阶段练习）若方程的解是，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）若是关于x的方程的解，则代数式 ． 等式的性质 ⭐技巧积累与运用 性质1：等式两边同加上（或同减去）同一个数或式，所得结果任是等式。 用字母可以表示为：如果，那么。 性质2：等式两边都乘或都除以同一个数或式，（除数不能为零），所得结果任是等式。 用字母可以表示为：如果，那么或（c≠0）。 其他性质：①对称性：若a=b，则b=a；②传递性：若a=b，b=c，则a=c。 1．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知 ，则下列变形不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）天平托盘中形状相同的物体质量相等，能运用等式的性质说明如图所示的事实的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 一元一次方程的解法 ⭐技巧积累与运用 解一元一次方程的步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将未知数的系数化为1。 注意：去分母、去括号、移项和合并同类项在方程变形中经常用到，去分母时注意方程的每项都要成分母的最小公倍数；去括号时注意括号前面时“－”时注意变号；移项时应注意改变项的符号。 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列解方程变形错误的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由去分母得 2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）解方程：(1)；(2)． 3．（23-24七年级上·重庆九龙坡·阶段练习）解方程： (1) (2) (3) (4) 一元一次方程含参问题（含整数解） ⭐技巧积累与运用 （1）先解方程，将方程的解用含参数的代数式表示。 （2）方程的解一般是分子中不含参数，而分母中含有参数的形式。（如果不是，将其变形为这样的形式） （3）让分母等于分子的所有因数，求解含参数的方程即可。 1．（2024·上海杨浦·八年级期中）当m取___ 时，关于 x的方程mx+m＝2x无解． 2．（2024·上海市八年级期中）如果关于的方程有解，那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（2023·沙坪坝·重庆一中）已知关于x的方程的解为偶数，则整数a的所有可能的取值的和为（ ） A．8 B．4 C．7 D．-2 一元一次方程的错解与遮挡问题 ⭐技巧积累与运用 一元一次方程中遇到看错符号或者算错的题目时，我们处理的方法也是“将错就错”。先按照错误的解法得到正确的参数，然后将正确的参数带入原方程，得到正确的根。 1．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡．(1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小明在计算有规律的算式时，不小心把一个运算符号写错了（“”错写成“”或“”错写成“”），结果算成了，则原式从左到右数，写错的运算符号是（   ） A．第5个 B．第8个 C．第10个 D．第12个 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）方程，■处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是，那么■处的常数是 ． 一元一次方程的同解问题 ⭐技巧积累与运用 已知两个一元一次方程是同解方程，求其中待定字母的取值，主要有两种题型，其解法有所不同： (1)在两个同解方程中，如果只有一个方程中含有待定字母，一般先解不含待定字母的方程，再把未知数的值代入含有待定字母的方程中，求出待定字母的值。 (2)如果在两个同解方程中都含有相同的待定字母，一般是分别解两个方程，用这个待定字母分别表示两个方程的解，并建立等式，形成关于这个待定字母的方程，求出该待定字母的值。 1．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）已知方程与关于x的方程的解相同． (1)求a的值；(2)若a、b在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c是最大的负整数，求的值． 2．（24-25七年级上·北京·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，确定字母a的值． 一元一次方程的新定义问题 ⭐技巧积累与运用 读懂新定义，还原成常规一元一次方程求解即可。 1．（24-25七年级上·广东·期中）一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数m，n为“神奇数对”，记为． （1）若是“神奇数对”，则n的值为 ； （2）若此时关于x的方程与的解相等，则k的值为 ． 2．（23-24七年级上·江苏无锡·期末）定义一种新运算：，，则方程的解是（      ） A． B． C． D． 一元一次方程的实际应用 ⭐技巧积累与运用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 1．（24-25七年级上·浙江·期中）老师带着两个学生到离校33千米的博物馆参观．老师骑摩托车速度为25千米/小时，这辆摩托车后座可以带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时．如果学生步行，速度为5千米/小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后用3小时同时到达博物馆． 2．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾．(1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？(2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 4．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？(2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 5．（23-24七年级上·浙江金华·期末）中国移动全球通有两种通话计费方法（接听全免，接听时间不计入通话时间）：计费方法A是每月收月租费48元，通话时间不超过50分钟的部分免费，超过50分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B是每月收取月租费88元，通话时间不超过200分钟的部分免费，超过200分钟的按每分钟0.19元加收通话费．(1)某使用计费方法A的用户一个月通话时间为100分钟，应付费用多少元？(2)用计费方法B的用户某个月累计费用107元，通话时间是多少分钟？(3)用计费方法B的用户某个月累计费用126元，若改用计费方法A的方式，费用是增加还是减少？相差多少？ 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·江西新余·阶段练习）下列方程变形正确的是（    ） A．方程移项得 B．方程化成 C．若，则 D．方程，去括号，得 4.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）关于x的方程与的解相同，则m等于（   ） A．5 B．4 C． D． 5．（2023·河北承德·七年级期末）如图，在大长方形（是宽）中放入六个长、宽都相同的小长方形，尺寸如图所示，求小长方形的宽．若设，分析思路描述正确的是（      ） 甲：我列的方程，找小长方形的长作为相等关系； 乙：我列的方程，找的是大长方形的长做相等关系． A．甲对乙不完全对 B．甲不完全对乙对 C．甲乙都正确 D．甲乙都不对 6．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于的方程的解是，则的值为 ． 7．（2024·河南驻马店·七年级期中）已知关于的一元一次方程的解是，那么关于的一元一次方程的解是_________． 8．（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车． 9．（2024·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务． 七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为： ， ， ． ， 解，得． 上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法． 任务：参照材料中的解题方法解方程． 10．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程：(1)；(2)． 11．（24-25七年级上·北京·期中）下面是小龙同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 …第五步 任务一：填空（1）以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；（2）第 步开始出现错误，这一步的错误的原因是 ； 任务二：请你求出方程正确的解． 12．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“成双方程”． 例如：判断方程和，是否互为“成双方程”． 解：方程和是互为“成双方程”，理由如下： 解方程，解得．解方程，解得． ，方程和互为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“成双方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知方程是关于的一元一次方程，则方程的解等于（   ） A．1 B．0 C． D． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）已知〇、△、口分别代表不同物体，用天平比较它们的质量，如图所示．根据砝码显示的质量，求〇 g，□= g． 3．（2024·重庆巴南·七年级期中）从，，，1，2，4中选一个数作为的值，使得关于的方程的解为整数，则所有满足条件的的值的积为（ ） A． B． C．32 D．64 4．（2024·福建仙游·初一月考）已知关于x的方程2a(x－1)＝(3－a)x+3b有无数多个解，那么ab＝________ 5．（2023·浙江八年级期中）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为，用两个相同的管子在容器的高度处（即管子底端离容器底）连通．现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示、，若每分钟同时向乙和丙注入等量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升，则注水___________分钟后，甲与乙的水位高度之差是． 6．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）据了解第二届“澳新杯”篮球赛在12月2日圆满结束，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如下表）： 小明同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙完成下列问题： (1)从表中可以看出，负一场积______分，胜一场积_______分； (2)某班在比完12场的前提下，胜场总积分能等于其负场总积分的2倍吗？请说明理由． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解一元一次方程时，发现这样一种特殊情况：的解为，恰巧，我们将这种类型的方程做如下定义：如果一个方程的解满足，则称它为“巧合方程”，请解决以下问题． (1)请判断方程是否是巧合方程：______（直接写“是”或“不是”）； (2)已知方程是巧合方程，请求出b的值； (3)若和都是巧合方程，请求出的值． 8．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过12的部分 a元/ 超过12但不超过20的部分 元/ 超过20的部分 元/ (1)某户4月份用了13的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含a的式子表示） (2)设某户月用水量为n，当，时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含n的式子表示） (3)当时，甲、乙两户一个月共用水32，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费．（可用含x的式子表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$