精品解析：广东省深圳市深圳高级中学2024-2025学年上学期九年级12月月考数学试卷

深圳高级中学2024-2025学年上学期九年级12月月考数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 图1是一个玻璃烧杯，图2是由玻璃烧杯抽象出的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据物体的三视图选出正确选项． 【详解】解：A选项正确； B选项错误，中间的小圆要是实线； C选项错误，这是主视图； D选项错误，这不是三视图之一． 故选：A． 【点睛】本题考查物体的三视图，需要注意在画三视图时虚线和实线的区别，实线代表从视角看可以看见，虚线表示看不见． 2. 广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量n/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量m/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率 (精确到) 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为（ ）(结果精确到0.01) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查频率估计概率，读懂表格是关键．根据表格即可求出． 【详解】解：由表格可得：随着实验种子数量的增加，其发芽的频率稳定在左右，即估计它能发芽的概率为， 故选：C． 3. 如图，矩形是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边的长为，边的长为，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，下列方程正确（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设人行通道的宽度为，则每个展位的长为，宽为，再根据题意：每个展位的面积都为，结合长方形的面积公式，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设人行通道的宽度为，则每个展位的长为，宽为， 根据题意，可得：， 整理，得：． 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在找准等量关系，正确列出一元二次方程． 4. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割比求线段长，熟记黄金分割比，根据题意，代值求解即可得到答案，熟记黄金分割比是解决问题的关键． 【详解】解：由黄金分割比，根据题意可得， ， ， 故选：A． 5. 如图，在中，，，点E、F分别是、中点，若，则四边形的周长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及菱形的判定与性质，根据题意证明四边形为菱形，再根据勾股定理求出的长，即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，点E、F分别是、中点， ∴平行且相等，即为平行四边形， 又∵在中，E为的中点， ∴， ∴为菱形， ∵，，， ∴，， ∴ ∴的周长为， 故选：D． 6. 小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则该玻璃透镜的折射率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，余角性质，利用余角性质可得，进而得，再根据折射率计算即可求解，由余角性质推导出是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∵光线经折射后沿垂直边的方向射出， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题意可知，，，进而利用证明与全等，得到，再证明，，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可知，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则 ∵点H恰好为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在矩形中，，，P为边上一动点，连接，过点D作于点E，与对角线交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，根据，得到，证明，得到，，在证明，求出，在证明，即可得到答案； 【详解】解：过E作， ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， 故选：C． 二．填空题（每题3分，共15分） 9. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，将分式化成含有的形式，再代入的值计算即可，将分式转化为含已知值的形式，利用整体代入法是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据方程有实数根可得，解不等式即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴ ∴解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根；当判别式时，一元二次方程没有实数根． 11. 我们在制作视力表时发现，每个“”形图的长和宽相等（即每个“”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得，，他选择了一张面积为的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“”形图．那么能够刚好剪得第①个大“”形图的是面积为 __的正方形卡纸． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意得进而可得相似比为，则面积比为，即可求解． 【详解】解：每个“”形图近似于正方形， ， ∵第②个小“”形图是的正方形卡纸， ∴第①个大“”形图的面积． 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．将向下平移个单位长度，，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，等腰三角形的性质，点的平移规律，解题的关键是掌握相关知识．作，垂足为，根据等腰三角形的性质可求出，，结合轴，点的坐标为，求出，，根据平移的规律可得：坐标变为，点坐标变为，利用反比例函数图像上点的坐标特征列方程求出，进而求出平移后点坐标，即可求解． 【详解】解：如图，作，垂足为， ，且， ， 由勾股定理得：， 轴，点的坐标为， ，， 点向下平移个单位后，坐标变为，点坐标变为， 平移后点、在反比例函数图象上， ， 解得：， 平移后点坐标为， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，D是边上一点且满足，，E是边上一点且满足，连接交于点F，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，延长至，使，连接，过点作交于，过点作于点，设，则，再设，，再根据相似三角形的判定与性质即可． 【详解】解：延长至，使，连接，过点作交于，过点作于点， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ，在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 三．解答题（共61分） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用配方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 15. 粤式早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．李强在广州旅游期间，决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝（选到每种茶点的可能性相同）． （1）如果只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是______； （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键． （1）运用概率公式进行列式计算，即可作答． （2）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【小问1详解】 解：∵决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝 ∴只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是； 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如图所示： 由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的结果有2种， （李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”）． 16 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量学校旗杆高度 问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆高度？ 组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，例如自制直角三角形硬纸板，标杆，平面镜，甚至还可以利用无人机……确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案： 方案一 方案二 … 测量工具 自制直角三角形硬纸板，皮尺 标杆，皮尺 … 测量示意图及说明 说明：线段表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离，点D与点B在同一水平直线上，D，B之间的距离可以直接测得，且A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，A，C，E三点在同一直线上，C，F，G三点在同一直线上． 说明：线段表示学校旗杆，小亮的眼睛到地面的距离，标杆竖立位置点F与点B，D在同一水平直线上，D，F，B之间的距离都可以直接测得，且A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，A，C，E三点在同一直线上． 测量数据 D，B之间的距离 16.8m D，B之间距离 16.8m … 的长度 0.50m D，F之间的距离 1.35m 的长度 0.75m 标杆的长度 2.60m … … 根据上述材料，请你选择一个方案，求出学校旗杆的高度． 【答案】学校旗杆的高度为 【解析】 【分析】本题考查的知识点是矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形对应边成比例． 方案一：易得，根据对应边成比例即可求解； 方案二：过作交于，交于，构造矩形和矩形，易得，再根据对应边成比例即可求解． 【详解】解：方案一：由题意得四边形是矩形，所以，． 因为，， 所以． 所以，即． 解得． 方案二：过作交于，交于， 则四边形，四边形都是矩形， ，， ， ， ， ， ， 即：， 解得：． 答：学校旗杆的高度为． 17. 粤港澳大湾区花展期间，在某盆栽销售处发现，某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价元． （1）降价后平均每天卖出 盆；（用含的代数式表示） （2）供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（营销问题），列代数式，因式分解法解一元二次方程等知识点，理解题意，根据题目中蕴含的等量关系正确列出方程并求解是解题的关键． （1）根据“销售量原销售量因价格下降而增加的销量”列式即可； （2）根据“总盈利每盆盈利销售数量”，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得： 降价后平均每天卖出：（盆）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意可得： ， 整理，得：， 解得：，， 又要让购买者得到实惠， ， 答：每盆应降价元． 18. 如图，四边形中，对角线与相交于点O，，，点E在上． （1）下列条件：①；②点E与点C关于直线对称；③E为中点． 请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程． （2）若四边形是菱形，且，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识， （1）选择①，先证明，得，进而证明四边形是平行四边形，再由等腰三角形的性质可得，即，即可证明四边形是菱形； 选择②，由，，可知为线段的垂直平分线，再结合点E与点C关于直线对称，可证得，即可证明四边形是菱形； （2）根据菱形的性质，得到，，，再利用勾股定理，求得，然后根据正弦值值，求得，最后利用勾股定理，得到，即可求出的长． 熟练掌握菱形的判定和性质是解题关键． 小问1详解】 解：选择①； 证明：在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等腰三角形，为中点， ∴，即， ∴平行四边形是菱形； 选择②点E与点C关于直线对称， 证明：∵，， ∴为线段的垂直平分线， ∴，， ∵点E与点C关于直线对称， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形，，， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵，即， ∴， 在中，， ∴． 19. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 【答案】（1）不是，；（2）；（3）①（）；②图见解析，；③AB；④是为定值，定值为；⑤ 【解析】 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； ②先列表然后描点连线即可得到图象， ③根据图象逐一判断即可得到答案； ④将代入进行计算即可得到答案， ⑤由图象观察可知，该图像可由平移得到． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2）是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②列表如下， 如图如图所示： ③由图象可得： A，图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B，由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C，随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D，当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④， ， 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． ⑤该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 20. 综合与实践 在一次综合实践活动课上，郑老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “励志”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第步：如图所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第步：将边沿翻折到的位置； 第步：延长交于点，则点为边的三等分点． 证明过程如下：连接， ∵正方形沿折叠 ∴，， 又∵，∴ ∴．设（个单位），， ∵是的中点， ∴①________， ∴在中，可列方程：②________， 解得：，即是边的三等分点． “励志”小组是这样操作的： 第步：如图所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点； 第步：过点折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （）“励志”小组的证明过程中，①处的值为_______；②处的方程是_______； （）结合“励志”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （）如图，将矩形纸片对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值． （）如图，在菱形中，，，是上的一个三等分点，记点关于的对称点为，射线与菱形的边交于点，请直接写出的长． 【答案】（），；（）点是边的三等分点，证明见解析；（）；（）或． 【解析】 【分析】（）根据中点定义、折叠的性质及勾股定理即可求解； （）利用正方形的性质可证，即得，得到，再由可得，即可求证； （）由折叠可得，设，则，，，进而根据得到，，，即得，由四边形是矩形， 得到，，又由勾股定理得，设，则，证明可得，据此可得，得到，最后代入计算即可求解； （）连接交于点，由菱形的性质可得，，，进而由勾股定理得 ，再分和两种情况画出图形解答即可求解． 【详解】解：（）由题意可得，①处的值为，②处的方程是， 故答案为：，； （）点是边的三等分点，证明如下： 由第步的操作可知分别是的中点， ∵是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴点为边的三等分点； （）由折叠得，， ∵点为边的三等分点， ∴ ， 设，则，，， 由折叠性质得，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 由勾股定理得，， 设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； （）连接交于点，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 分两种情况： ①当时，如图所示，连接，与交点，则，， 由对称性可知，，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得（不合，舍去），， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，连接，则，， 由对称性可知，，， ，， 过点作于点，如图所示，则， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得（不合，舍去），（不合，舍去）， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，余角性质，运用分类讨论思想并正确画出图形解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳高级中学2024-2025学年上学期九年级12月月考数学试卷 一．选择题（每题3分，共24分） 1. 图1是一个玻璃烧杯，图2是由玻璃烧杯抽象出的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量n/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量m/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率 (精确到) 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为（ ）(结果精确到0.01) A. B. C. D. 3. 如图，矩形是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边的长为，边的长为，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，下列方程正确（ ） A. B. C. D. 4. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，点E、F分别是、中点，若，则四边形周长是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则该玻璃透镜的折射率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点，连接；以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；以点为圆心，以的长为半径画弧，在内与前一条弧相交于点；连接并延长交于点．若点恰好为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，P为边上一动点，连接，过点D作于点E，与对角线交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 二．填空题（每题3分，共15分） 9. 若，则的值为________． 10. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是 _____． 11. 我们在制作视力表时发现，每个“”形图的长和宽相等（即每个“”形图近似于正方形），如图，小明在制作视力表时，测得，，他选择了一张面积为的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“”形图．那么能够刚好剪得第①个大“”形图的是面积为 __的正方形卡纸． 12. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，，轴，且，点的坐标为．将向下平移个单位长度，，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，则__． 13. 如图，在中，，D是边上一点且满足，，E是边上一点且满足，连接交于点F，则______． 三．解答题（共61分） 14. 解方程：． 15. 粤式早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．李强在广州旅游期间，决定在“A．肠粉、B．叉烧包、C．虾饺、D．烧卖”四种茶点中选择喜欢的进行品尝（选到每种茶点的可能性相同）． （1）如果只选其中一种茶点品尝，李强选到“A．肠粉”的概率是______； （2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求李强选到“A．肠粉”和“D．烧卖”的概率． 16. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量学校旗杆高度 问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？ 组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，例如自制直角三角形硬纸板，标杆，平面镜，甚至还可以利用无人机……确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案： 方案一 方案二 … 测量工具 自制直角三角形硬纸板，皮尺 标杆，皮尺 … 测量示意图及说明 说明：线段表示学校旗杆，小明的眼睛到地面的距离，点D与点B在同一水平直线上，D，B之间的距离可以直接测得，且A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，A，C，E三点在同一直线上，C，F，G三点在同一直线上． 说明：线段表示学校旗杆，小亮的眼睛到地面的距离，标杆竖立位置点F与点B，D在同一水平直线上，D，F，B之间的距离都可以直接测得，且A，B，C，D，E，F都在同一竖直平面内，A，C，E三点在同一直线上． 测量数据 D，B之间的距离 16.8m D，B之间距离 16.8m … 的长度 0.50m D，F之间的距离 1.35m 的长度 0.75m 标杆的长度 2.60m … … 根据上述材料，请你选择一个方案，求出学校旗杆的高度． 17. 粤港澳大湾区花展期间，在某盆栽销售处发现，某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价元． （1）降价后平均每天卖出 盆；（用含的代数式表示） （2）供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 18. 如图，四边形中，对角线与相交于点O，，，点E在上． （1）下列条件：①；②点E与点C关于直线对称；③E为中点． 请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出证明过程． （2）若四边形是菱形，且，，，求的长． 19. 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 20. 综合与实践 在一次综合实践活动课上，郑老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “励志”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第步：如图所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第步：将边沿翻折到的位置； 第步：延长交于点，则点为边三等分点． 证明过程如下：连接， ∵正方形沿折叠 ∴，， 又∵，∴ ∴．设（个单位），， ∵是的中点， ∴①________， ∴在中，可列方程：②________， 解得：，即是边的三等分点． “励志”小组是这样操作的： 第步：如图所示，先将正方形纸片对折，使点与点重合，然后展开铺平，折痕为； 第步：再将正方形纸片对折，使点与点重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折得折痕交于点； 第步：过点折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （）“励志”小组的证明过程中，①处的值为_______；②处的方程是_______； （）结合“励志”小组操作过程，判断点是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （）如图，将矩形纸片对折，使点和点重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点折叠矩形纸片，使折痕，若点为边的三等分点，请求出的值． （）如图，在菱形中，，，是上的一个三等分点，记点关于的对称点为，射线与菱形的边交于点，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $