专题13 解直角三角形之新定义模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题13 解直角三角形之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 1 模型1.新定义模型 1 14 模型1.新定义模型 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 例1．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）阅读下面材料∶ 观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角中，、、的对边分别是、、，过作于（如图），则，，即，，于是，即．同理有：，，所以． 即∶在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题． (1)如图，中，，，，则_____； (2)如图，一货轮在处测得灯塔在货轮的北偏西的方向上，随后货轮以40海里时的速度按北偏东的方向航行，半小时后到达处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西的方向上（如图），求此时货轮距灯塔的距离；(3)在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号） 例2．（2024九年级·广东·专题练习）三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：如图①，在中，已知，，， 则有：，，． 利用这个结论可求解下列问题： 例：在中，已知，，，求． 解：∵，．∴． 【应用新知】如图②，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°，A处看灯塔B在客轮的北偏西30°，距离为海里，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°，距离为6海里，求此时C处到灯塔B的距离． 例3．（2023秋·重庆九龙坡·九年级统考期末）问题：阅读下面材料，解决后面的问题： 我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高，在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对，a，b，c分别为，，的对边，则其面积 (1)在中，，，，求b边对应的高的长度． (2)如图，在中，已知，，D为上一点，证明：. (3)正数a，b，c，d，e，f满足，证明：． 例4．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）海伦公式是古希腊数学家海伦给出的求三角形面积的公式，用符号表示为，其中a，b，c表示三角形的边长，s表示三角形的面积，.利用这个公式计算：当时，s= ． 例5．（23-24九年级上·山东聊城·期末）关于三角函数有如下的公式： ①；②； ③． 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：(1)求的值．(2)求的值． (3)如图，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为42米，求建筑物的高． 例6．（2023春·广东·九年级专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(4)若，且，求的值． 例7．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝底边÷腰＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)sad＝　 　；(2)如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC＝，求tanB的值； (3)如图③，Rt△ABC中，∠C＝，若sinA＝，试求sadA的值． 例8．（2023·广东九年级课时练习）阅读下列材料： 题目：如图1，在中，已知，，，请用、表示. 解：如图2，作边上的中线，于， 则，，， 在中， 根据以上阅读，请解决下列问题：(1)如图3，在中，，，，求，的值(2)上面阅读材料中，题目条件不变，请用或表示. 例9．（2023春·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题： (1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是 ； (2)若角α的终边与直线重合，则的值； (3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值； (4)若，则的取值范围是 ． 1．（2023春·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（    ） A．5 B． C． D．2 2．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024·山东·一模）一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°＝sin（60°+30°）＝sin60°•cos30°+cos60°•sin30°＝＝1．类似地，可以求得sin15°的值是（　　） A． B． C． D． 4．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）定义：在中，，把∠Ａ的邻边与对边的比叫做的余切，记作．等腰三角形中有两条边为4和6，则底角的余切值为 ． 5．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 6．（2024·四川宜宾·中考模拟预测）规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny． 据此判断下列等式成立的是 （写出所有正确的序号） ①cos（﹣60°）=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny． 7．（2024·云南·校考二模）一般地，当α，β为任意角时，cos（α+β）与cos（α﹣β）的值可以用下面的公式求得cos（α+β）=cosα•cosβ﹣sinα•sinβ；cos（α﹣β）=cosα•cosβ+sinα•sinβ．例如：cos90°=cos（30°+60°）=cos30°•cos60°﹣sin30°•sin60°=×﹣×=0，类似地，可以求得cos15°的值是 （结果保留根号）． 8．（2024·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系∶如图1．sinα= ，cosα= ，tanα= ；一般地，当a、β为任意角时，sin（a+β）与sin（a-β）的值可以用下面的公式求得∶sin(a+β)=sin acos β+cos asinβ ；sin(a—β)=sin acos β-cos asinβ ．例如∶sin 15°=sin（45°-30）=sin 45°cos 30°-cos 45"sin 30°= 任务∶（1）计算∶sin 75°=_____ （2）如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=45°，AC=2一2，求 AB和BC的长． 9．（2023春·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)的值为___________ A．    B．1    C．    D．2 (2)对于，的正对值的取值范围是___________． (3)已知，其中α为锐角，试求的值． 10．（23-24九年级上·山东聊城·期末）阅读理解学习： 在学习《解直角三角形》这一章时，小迪同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是她的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 【阅读材料】：在中，的对边分别记为的面积记为，过点作，垂足为，则，．． 同理可得：，．即：． 由以上推理得结论①：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又，将等式两边同除以得，． 由以上推理得结论②：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请你学习上述阅读材料解答以下问题： 如图，甲船以24海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距8海里．(1)求的面积；(2)求乙船航行的路程是多少海里（结果保留根号）． 11．（2023·广东云浮·统考一模）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法： ∵sinA=，sinB=，∴c=，c=，∴=， 根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程． 12．（2023·江苏扬州·九年级阶段练习）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式： ； 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值 例： 根据以上阅读材料，请选择适当的公式答案下面的问题 (1)计算；(2)栖灵塔是扬州市标志性建筑之一（如图），小明想利用所学的数学知识来测量该塔的高度，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离为1.62米，请帮助小华求出该信号塔的高度．（精确到0.1米，参考数据：，） 13．（2023秋·湖北·九年级专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：    (1)________．(2)对于，的正对值的取值范围是________． (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 14．（2023·浙江·九年级专题练习）亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：，． 例：． （1）试仿照例题，求出的准确值；（2）我们知道：，试求出的准确值； 15．（2023·四川成都·成都外国语学校校考一模）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题 在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即 ，同理有：，所以． 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素． 根据上述材料，完成下列各题． （1）如图（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，则∠A=　 ；AC=　 　； （2）某次巡逻中，如图（3），我渔政船在C处测得钓鱼岛A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB． 16．（2023春·重庆·九年级专题练习）一般地，当，为任意角时，，，与的值可以用下面的公式求得： ；； ；． 例如：． 类似地，求：(1)的值．(2)的值．(3)的值提示：对于钝角，定义它的三角函数值如下：，． 17．（2024·山东潍坊·九年级统考期中）阅读理解：如图1，在中，a，b，c分别是的对边，，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：，可得，即（规定）． (1)探究活动：如图2，在锐角中，a，b，c分别是的对边，其外接圆半径为R，那么：___________（用>，=或<连接），并说明理由． (2)初步应用：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，a，b，c分别是的对边，，求c． (3)综合应用：如图3，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在A处用测角仪测得地面点C处的俯角为，点D处的俯角为，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100米，求楼的高度．（参考数据：，） 18．（2023·江苏·九年级专题练习）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2． 问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题（1）求sin75°； （2）如图，边长为2的正ABC沿直线滚动设当ABC滚动240°时，C点的位置在，当ABC滚动480°时，A点的位置在．①求tan∠的值；②试确定的度数． 19．（2023·湖北·九年级专题练习）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则 S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S△ABC=absin∠C 同理S△ABC=bcsin∠A S△ABC=acsin∠B 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理： 如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则 a2=b2+c2﹣2bccos∠A b2=a2+c2﹣2accos∠B c2=a2+b2﹣2abcos∠C 用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题： （1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2． 解：S△DEF=EF×DFsin∠F= ； DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F= ． （2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4． 20．（2023·江西景德镇·九年级校考期中）如图，在锐角中，，， （1）请用，，表示（余弦定理）； ______________；（2）证明你的结论． （3）如图，已知的外心为，内心为，重心为，若IG∥BC，证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 解直角三角形之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时教学挖掘这方面解题技能及功效尤为重要。恰当地构建模型可以拓宽解题思路，优化解题过程，丰富解题内涵。 1 模型1.新定义模型 1 14 模型1.新定义模型 新定义模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关公式定理（如：正弦定理、余弦定理、面积公式、同角三角函数基本关系、和、差、二倍角公式等），而这些大部分定理（公式）也可利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△ABC的3个角∠A、∠B、∠C，分别对应边a、b、c； 图1 图2 图3 1）正弦定理：如图1，（其中R是三角形外接圆的半径）。 证明：作△ABC的外接圆，记圆心为O，作直径，连接，如图2， 则，，∴，∴， 同理，，，∴； 2）正弦面积公式：如图1，. 证明：如图3，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在中，，∴，∴， 在中，，∴．∴． 同理可得．因此有． 3）余弦定理：如图2， ． 证明：如图3，在中，，，的对边分别是，，过点A作于点， 则，即，于是． 在中，，在中，， ，整理得。 同理：；。 图4 图5 4）同角三角函数的基本关系式:，。 证明：如图4，设∠A=，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2。 又∵，，∴；。 5）和（差）、二倍角角公式（只作部分公式证明）： ; （已证）. ; . （已证）. 证明：如图4，在中，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=。 如图5，取的中点，连接，即：，过点作于点，则， 利用锐角三角函数在中表示，。 ∵（等面积），即； 在中，，则。 例1．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）阅读下面材料∶ 观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角中，、、的对边分别是、、，过作于（如图），则，，即，，于是，即．同理有：，，所以． 即∶在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题． (1)如图，中，，，，则_____； (2)如图，一货轮在处测得灯塔在货轮的北偏西的方向上，随后货轮以40海里时的速度按北偏东的方向航行，半小时后到达处，此时又测得灯塔在货轮的北偏西的方向上（如图），求此时货轮距灯塔的距离；(3)在（2）的条件下，试求的正弦值．（结果保留根号） 【答案】(1)(2)货轮距灯塔的距离；(3)． 【分析】本题考查解直角三角形的应用－方向角问题，阅读材料，正确的理解材料中的内容是解题的关键． （1）由题意得到，，根据三角形的内角和得到，根据材料中的内容即可得到结论；（2）由题意得到，，海里，根据材料中的内容即可得到结论；（3）如图，过作于，解直角三角形得到，根据材料中的内容即可得到结论． 【详解】（1）解：，，， ，，，故答案为：； （2）解：由题意得，，，海里，， ，，，答：货轮距灯塔的距离； （3）解：如图，过作于， ，，，， ，，， ，，． 例2．（2024九年级·广东·专题练习）三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：如图①，在中，已知，，， 则有：，，． 利用这个结论可求解下列问题： 例：在中，已知，，，求． 解：∵， ．∴． 【应用新知】如图②，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°，A处看灯塔B在客轮的北偏西30°，距离为海里，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°，距离为6海里，求此时C处到灯塔B的距离． 【答案】海里 【分析】根据题意先求出∠ADC的度数，进而得到CA=CD=6，再代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵，∴， ∴，∴， 答：C处到灯塔B的距离为海里． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 例3．（2023秋·重庆九龙坡·九年级统考期末）问题：阅读下面材料，解决后面的问题： 我们知道，三角形的面积等于二分之一底乘高，在学习了三角函数后，还可以这样求三角形的面积：对，a，b，c分别为，，的对边，则其面积 (1)在中，，，，求b边对应的高的长度． (2)如图，在中，已知，，D为上一点，证明：. (3)正数a，b，c，d，e，f满足，证明：． 【答案】(1)(2)见解析(3)见解析 【分析】(1)利用解直角三角形即可求解；(2)根据即可证得； (3)根据题意可得边长为1的等边三角形，利用三角形的面积即可证得． 【详解】（1）解：在中，，，边对应的高的长度为：； （2）证明：， ， ， ，，； （3）证明：如图：是边长为1的等边三角形， ，；， ， ，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形面积公式的应用，熟练掌握和运用三角形面积公式是解决本题的关键． 例4．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）海伦公式是古希腊数学家海伦给出的求三角形面积的公式，用符号表示为，其中a，b，c表示三角形的边长，s表示三角形的面积，.利用这个公式计算：当时，s= ． 【答案】3 【分析】先将代入求得p，然后再将它们代入计算即可． 【详解】解：∵，∴， ∴ ．故答案为3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，灵活运用二次根式的运算法则是解答本题的关键． 例5．（23-24九年级上·山东聊城·期末）关于三角函数有如下的公式： ①；②； ③． 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：(1)求的值．(2)求的值． (3)如图，直升机在一建筑物上方的点处测得建筑物顶端点的俯角为，底端点的俯角为，此时直升机与建筑物的水平距离为42米，求建筑物的高． 【答案】(1)(2)(3)84 【分析】本题考查三角函数的应用，特殊角的三角函数值，本题的关键是能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．（1）根据公式②即可求解；（2）根据公式③即可求解； （3）过点作于点，先由俯角的正切值及求得，再由俯角的正切值及求得，的长由二者相减即可求得． 【详解】（1）； （2）； （3）如图，过点作于点，则，    ∵，∴四边形是矩形，∴， ，， ∵在中，，∴米， ∵在中，，∴米， ∴米．答：建筑物的高为米． 例6．（2023春·广东·九年级专题练习）如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想；(4)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1(2)1(3)证明见解析(4) 【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案；（2）由（1）中运算结果即可得到答案； （3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，，故答案为：1，1，1； （2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有，故答案为：1； （3）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到，，； （4）解：，， ，，． 【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． 例7．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（记作sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝底边÷腰＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)sad＝　 　；(2)如图②，△ABC中，CB＝CA，若sadC＝，求tanB的值； (3)如图③，Rt△ABC中，∠C＝，若sinA＝，试求sadA的值． 【答案】(1)1(2)(3) 【分析】（1）根据题意可知，sad指的是顶角为的等腰三角形底边与腰之比，从而可以求得sad的值；（2）根据中，，可以求得与的关系，从而可以求得与边上的高的关系，从而可得答案；（3）根据Rt中，，构造以为顶角的等腰三角形，然后根据新定义的含义解得即可． 【详解】（1）解：顶角为的等腰三角形是等边三角形，∴＝底边÷腰．故答案为：1． （2）如图②所示：作于点，中， 即 （3）∵ 设则．∴ 如图③所示，在上截取，作于点， ∵Rt中， ∴．即． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是能明确题目中给出的新定义，前提必须是等腰三角形，会做合适的辅助线，构造等腰三角形． 例8．（2023·广东九年级课时练习）阅读下列材料： 题目：如图1，在中，已知，，，请用、表示. 解：如图2，作边上的中线，于， 则，，， 在中， 根据以上阅读，请解决下列问题： (1)如图3，在中，，，，求，的值 (2)上面阅读材料中，题目条件不变，请用或表示. 【答案】(1) ， ；(2). 【分析】(1) 作边上的中线，于，分别在Rt△ACD，Rt△CED中用三角形函数求解； （2）仿照题中求sin2A的方法求cos2A. 【详解】解：(1)作边上的中线，于， Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝， sinA＝. 则，， ×. 在中，. (2)则，，，， 所以AD＝ACcosA＝cos2A，DE＝AD－AE＝cos2A－. 中，. 【点睛】本题考查了解直角三角形，在非直角三角形中求边与角的关系时，需要作高构造直角三角形，勾股定理结合三角形函数来解直角三角形. 例9．（2023春·湖北·九年级专题练习）在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形，是锐角，那么的对边÷斜边，的邻边÷斜边，的对边÷的邻边．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点的距离为（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：，，．我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题： (1)若，则角α的三角函数值、、，其中取正值的是 ； (2)若角α的终边与直线重合，则的值； (3)若角α是钝角，其终边上一点，且，求的值； (4)若，则的取值范围是 ． 【答案】(1)(2)或(3)(4) 【分析】（1）由题意可得，，，然后依据定义进行判断即可；（2）设点，则，然后分为和两种情况求解即可；（3）由题意可得，然后依据定理列出关于x的方程，从而求出x的值，然后依据正切的定义求解即可；（4）依据三角形的三边关系可得，然后再得到，再求得的取值范围，即可求得结果． 【详解】（1）解：当时，，，， ，，，故答案为：． （2）解：∵若角α的终边与直线重合，，， 当时，，当时，， 的值为或． （3）解：，点，且，，（正值舍去），． （4）解：，，， ，，又， ，故答案为：． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质、三角函数的定义及完全平方公式，理解三角函数的定义是解题的关键． 1．（2023春·广东深圳·九年级校联考开学考试）数学中余弦定理是这样描述的：在中，、、所对的边分别为、、，则三角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的2倍，用公式可描述为：，，．在中，，，，则的值是（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据题目中给出的信息列式解答即可． 【详解】解：根据题意得： ， ∴或（舍去），故C正确．故选：C． 【点睛】本题考查新定义计算，特殊角的三角函数值，余弦定理，解题的关键是理解题意，熟练进行计算． 2．（2023·北京市·九年级校考期末）关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1，利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0，其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】直接利用已知公式法分别代入计算得出答案． 【详解】①sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°= =，故此选项正确； ②tan105°=tan（60°+45°）== ==-2-，故此选项正确； ③sin15°=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°==，故此选项正确； ④cos90°=cos（45°+45°）=cos45°cos45°-sin45°sin45°==0，故此选项正确； 故正确的有4个．故选D． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及公式的应用，正确应用公式是解题关键． 3．（2024·山东·一模）一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）＝sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）＝sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°＝sin（60°+30°）＝sin60°•cos30°+cos60°•sin30°＝＝1．类似地，可以求得sin15°的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意给出公式即可求出答案． 【详解】解：sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45°cos30°﹣cos45°sin30°＝＝ 故选A． 【点睛】本题考查实数运算，解题的关键是熟练运用特殊角锐角三角函数的值，本题属于基础题型． 4．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）定义：在中，，把∠Ａ的邻边与对边的比叫做的余切，记作．等腰三角形中有两条边为4和6，则底角的余切值为 ． 【答案】或 【分析】此题需要分类讨论：若；或．利用勾股定理和等腰三角形的性质求出，然后利用余切的定义求解． 【详解】解：若， 过A作于D，如图， ∴，∴，∴； 若，过A作于D，如图， ∴，∴，∴；故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了余切的定义，同时也利用了等腰三角形的性质和勾股定理，有一定的综合性． 5．（2023·湖南娄底·统考一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，，，．例：．若已知锐角满足条件，则 ． 【答案】 【分析】先根据求出，把变为，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，在中，    ∵，∴． ∵，∴．∵为锐角，∴． ∵ ∴．故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，正确理解所给计算公式是解答本题的关键． 6．（2024·四川宜宾·中考模拟预测）规定：sin（﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny． 据此判断下列等式成立的是 （写出所有正确的序号） ①cos（﹣60°）=﹣；②sin75°=；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx•siny． 【答案】②③④． 【分析】根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断． 【详解】根据题意，得，①cos(－60°)＝cos60°= ≠ ，故错误； ②sin75°=sin（45°+30°)=sin45°×cos30°+cos45°×sin30°= ＝，故正确； ③sin2x＝sinx﹒cosx+cosx·sinx=2sinx·cosx，故正确； ④sin(x－y)＝sinx·cos（-y）+cosx·sin(-y)=sinx·cosy-cosx·siny，故正确， 故答案为②③④. 【点睛】本题主要考查新定义题，主要考查学生的阅读理解能力以及运用知识解决问题的能力，解题的关键是能根据新规定正确地进行运算. 7．（2024·云南·校考二模）一般地，当α，β为任意角时，cos（α+β）与cos（α﹣β）的值可以用下面的公式求得cos（α+β）=cosα•cosβ﹣sinα•sinβ；cos（α﹣β）=cosα•cosβ+sinα•sinβ．例如：cos90°=cos（30°+60°）=cos30°•cos60°﹣sin30°•sin60°=×﹣×=0，类似地，可以求得cos15°的值是 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】把15°化为45°-30°，根据题意、代入特殊角的三角函数值，求解即可. 【详解】cos15° =cos（45°﹣30°） =cos45°•cos30°+sin45°•sin30° = =， 故答案为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值. 8．（2024·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料，并完成相应的任务． 我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系∶如图1．sinα= ，cosα= ，tanα= ；一般地，当a、β为任意角时，sin（a+β）与sin（a-β）的值可以用下面的公式求得∶sin(a+β)=sin acos β+cos asinβ ；sin(a—β)=sin acos β-cos asinβ ．例如∶sin 15°=sin（45°-30）=sin 45°cos 30°-cos 45"sin 30°= 任务∶ （1）计算∶sin 75°=_____ （2）如图2，在△ABC中，∠B=15°，∠C=45°，AC=2一2，求 AB和BC的长． 【答案】（1）；（2）AB= ，BC= 【分析】（1）根据题目中给的公式计算即可； （2）过点A作AD⊥BC，根据题目中的三角函数值即可求得AB和BC的长． 【详解】解：（1）sin75°＝sin（30°+45°） ＝sin30°cos45°+cos30°sin45° ＝ ＝， 故答案为：． （2）解：过点A作AD⊥BC于D，在BC上找一点E，使BE=AE， ∵∠C＝45°，AC=2一2， ∴∠DAC＝45°， ∴AD＝CD， ，即， ∴AD＝， ∵∠B＝15°，，即， ∴AB＝， ∵BE=AE， ∴∠B＝∠EAB＝15°， ∴∠AED＝30°， ∴AE＝2AD＝， ，即， ∴ED＝， CB＝． 【点睛】本题考查了解直角三角形和三角函数公式，解题关键是理解题目中的三角函数公式并运用它求值，恰当构建直角三角形求边长． 9．（2023春·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)的值为___________ A．    B．1    C．    D．2 (2)对于，的正对值的取值范围是___________． (3)已知，其中α为锐角，试求的值． 【答案】(1)B(2)(3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；（2）求出0度和度时等腰三角形底和腰的比即可； （3）作出直角，构造等腰三角形，根据正对的定义解答． 【详解】（1）解：根据正对定义， 当顶角为时，等腰三角形底角为，则三角形为等边三角形，则，故选B； （2）解：当接近时，接近0， 当近时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故接近2． 于是的取值范围是．故答案为； （3）解：如图，在中，，， 在上取点D，使，作，H为垂足，令，， 则，又∵在中，，， ∴，， 则在中，，， 于是在中，，， 由正对的定义可得：，即． 【点睛】本题考查了新定义的运算，解题的关键是理解新定义，再根据新定义直接求解． 10．（23-24九年级上·山东聊城·期末）阅读理解学习： 在学习《解直角三角形》这一章时，小迪同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是她的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务． 【阅读材料】：在中，的对边分别记为的面积记为，过点作，垂足为，则 ，． ． 同理可得：，． 即：． 由以上推理得结论①：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半． 又，将等式两边同除以得，． 由以上推理得结论②：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等． 【理解应用】请你学习上述阅读材料解答以下问题： 如图，甲船以24海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距8海里． (1)求的面积； (2)求乙船航行的路程是多少海里（结果保留根号）． 【答案】(1)的面积为平方海里 (2)乙船航行的路程为海里 【分析】本题考查的是解直角三角形——方向角问题、等边三角形的判定，掌握方向角的概念，正确使用材料中的结论是解题的关键． （1）结合题中条件可求出的长，再根据材料中的结论①：三角形的面积等于两边及其夹角正弦值的一半，即可求出答案； （2）根据第一问可知是等边三角形，结合题中条件求出和的大小，根据材料中的结论②：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，可求出的长． 【详解】（1）解：由题意知：，，， 由结论①知， （平方海里）， 所以的面积为平方海里． （2）由（1）知， 是等边三角形， ， 又， ， 由题意知，， ， 在中，由材料中结论②得， （海里）， 乙船航行的路程为海里． 11．（2023·广东云浮·统考一模）如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法： ∵sinA=，sinB=，∴c=，c=，∴=， 根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程． 【答案】==，理由见解析. 【分析】过A作AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出AD，在直角三角形ADC中，利用锐角三角函数定义表示出AD，两者相等即可得证． 【详解】解:==，理由如下：如图，过A作AD⊥BC，BE⊥AC， 在Rt△ABD中，sin∠ABC=，即AD=csin∠ABC， 在Rt△ADC中，sinC=，即AD=bsinC， ∴csin∠ABC=bsinC, ∴=，即=， 同理可得=， 则==． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 12．（2023·江苏扬州·九年级阶段练习）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式： ； 利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值 例： 根据以上阅读材料，请选择适当的公式答案下面的问题 (1)计算；(2)栖灵塔是扬州市标志性建筑之一（如图），小明想利用所学的数学知识来测量该塔的高度，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离为1.62米，请帮助小华求出该信号塔的高度．（精确到0.1米，参考数据：，） 【答案】(1)(2)27.7米 【分析】（1）把15°化为以后，再利用公式计算，即可求出的值；（2）先根据锐角三角函数的定义求出的长，再根据即可得出结论． 【详解】（1）解：； （2）解：在中，，，，∴， ∵∴米， ∴∴信号塔的高度约为27.7米． 【点睛】本题考查了：（1）特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解．（2）解直角三角形的应用—仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出BE的长是解题的关键． 13．（2023秋·湖北·九年级专题练习）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：    (1)________．(2)对于，的正对值的取值范围是________． (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）如图，,，所以. （2）如图，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的；当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的；于是． （3）如图，在上截取，过H作于D，设，则,．解，，． 【详解】（1）解：如图，,, ∵,∴.    （2）解：如图，点A在的中垂线上，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的；当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的逐渐接近0，；∴    （3）解：如图，在上截取，过H作于D，， 设，则，,∴． 中，，∴．    【点睛】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． 14．（2023·浙江·九年级专题练习）亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：，． 例：． （1）试仿照例题，求出的准确值；（2）我们知道：，试求出的准确值； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）把75°化为30°+45°直接代入三角函数公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ计算即可；（2）把tan75°代入，再把（1）及例题中的数值代入即可． 【详解】解：（1）∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ， ∴cos75°=cos（30°+45°）=cos30°cos45°-sin30°sin 45°，=； （2）∵，∴tan75°===． 【点睛】本题是信息题，解答此题的关键是具备三角函数的基础知识，读懂题干中的运算方法． 15．（2023·四川成都·成都外国语学校校考一模）观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题 在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即 ，同理有：，所以． 即：在一个锐角三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素． 根据上述材料，完成下列各题． （1）如图（2），△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=60，则∠A=　 ；AC=　 　； （2）某次巡逻中，如图（3），我渔政船在C处测得钓鱼岛A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB． 【答案】（1）60°,20;(2)10 【详解】（1）先利用三角形内角和定理求出∠A，再利用题目总结的正弦定理，将有关数据代入求解即可；（2）在△ABC中，分别求得BC的长和三个内角的度数，利用题目中总结的正弦定理AB的长即可． 解析：（1）∵∠B=45°，∠C=75°，∴∠A=180°-∠B-∠C=60°， 根据材料有：，∴，即，∴AC=20，故答案为60°，20； （2）如图，依题意：BC=40×0.5=20（海里），∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE=180°．∵∠DCB=30°，∴∠CBE=150°， ∵∠ABE=75°，∴∠ABC=75°，∴∠A=45°， 在△ABC中， ， 即， 解之得：AB=10海里，                                           所以渔政船距钓鱼岛A的距离为10海里． 【点睛】本题考查的阅读理解题，涉及到三角函数等知识，弄清材料中知识，并能应用解决相关的问题是关键. 16．（2023春·重庆·九年级专题练习）一般地，当，为任意角时，，，与的值可以用下面的公式求得： ；； ；． 例如：． 类似地，求：(1)的值．(2)的值．(3)的值提示：对于钝角，定义它的三角函数值如下：，． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（1）由，根据特殊角的三角函数值代入公式进行计算即可求解； （2）由，根据特殊角的三角函数值代入公式进行计算即可求解；（3）由，根据特殊角的三角函数值代入公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ．． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 17．（2024·山东潍坊·九年级统考期中）阅读理解：如图1，在中，a，b，c分别是的对边，，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：，可得，即（规定）． (1)探究活动：如图2，在锐角中，a，b，c分别是的对边，其外接圆半径为R，那么：___________（用>，=或<连接），并说明理由． (2)初步应用：事实上，以上结论适用于任意三角形．在中，a，b，c分别是的对边，，求c． (3)综合应用：如图3，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼的高度，在A处用测角仪测得地面点C处的俯角为，点D处的俯角为，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100米，求楼的高度．（参考数据：，） 【答案】(1)=，=，理由见解析(2)2(3)35米 【分析】（1）连接，并延长交于点D，连接，根据圆周角定理可得、，进而说明，同理从而完成解答； （2）由（1）得出即可得c的值； （3）由题意得：，可知，然后根据（1）的结论求得AC,然后在中运用（1）的结论即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下：连接，并延长交于点D，连接 ∵是直径，∴∵∴∴ ∴在中，∴ 同理可证，∴． （2）解：∵， ∴∴． （3）解：由题意可得 ∴在中，，即 ∴ ∴在中， ∴的高度大约为35米． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、三角函数等知识点，添加合适的辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 18．（2023·江苏·九年级专题练习）阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2． 问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题（1）求sin75°； （2）如图，边长为2的正ABC沿直线滚动设当ABC滚动240°时，C点的位置在，当ABC滚动480°时，A点的位置在．①求tan∠的值；②试确定的度数． 【答案】（1）；（2）①，② 【分析】（1）将拆成，再根据公式求解即可； （2）①根据题意，过点作于，过作于，过作于，求得，，进而根据正切的定义求解即可；②根据①的结论以及tan（α+β）进行计算，根据特殊角的三角函数值即可求得的度数． 【详解】（1）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ （2）过点作于，过作于，过作于，如图 是等边三角形 ， ② tan（α+β） 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，正切的定义，理解题意掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 19．（2023·湖北·九年级专题练习）如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则 S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S△ABC=absin∠C 同理S△ABC=bcsin∠A S△ABC=acsin∠B 通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理： 如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则 a2=b2+c2﹣2bccos∠A b2=a2+c2﹣2accos∠B c2=a2+b2﹣2abcos∠C 用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题： （1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2． 解：S△DEF=EF×DFsin∠F= ； DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F= ． （2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4． 【答案】（1），49；（2）证明见解析． 【详解】试题分析：（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论； （2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论； 方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论． 试题解析：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，∴EF=3，DF=8，∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=，DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，故答案为，49； （2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，两边同时乘以sin60°得，AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°，∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S1=AC•BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，∴S2=S4+S3﹣S1，∴S1+S2=S3+S4，方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∴S1=absin∠C=absin60°=ab．∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S2=c•c•sin60°=c2，S3=a•a•sin60°=a2，S4=b•b•sin60°=b2，∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，∴a2+b2=c2+ab，∴S1+S2=S3+S4． 20．（2023·江西景德镇·九年级校考期中）如图，在锐角中，，， （1）请用，，表示（余弦定理）； ______________；（2）证明你的结论． （3）如图，已知的外心为，内心为，重心为，若IG∥BC，证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据余弦定理即可得到答案； （2）过点C作CD⊥AB于D，则，， 则，再由勾股定理可得由此求解即可； （3）连接AG并延长，分别与BC交于D，连接AI并延长交延长交BC于E，交圆O于F，连接BF，CF，GI，OI，BI，CI，AO，FO，由重心的性质可得，再由GI∥BC，可证△AGI∽△ADE则，，则，，则，，可得，设三角形ABC内切圆半径为r，则可推出，然后证明得到AF=2BF， 再证BF=FI，，由三线合一即可证明OI⊥AI． 【详解】解：（1）由余弦定理可得，故答案为：； （2）如图所示，过点C作CD⊥AB于D，∴，， ∴，在直角三角形BDC中，， ∴ ，∴； （3）如图所示，连接AG并延长，分别与BC交于D，连接AI并延长交延长交BC于E，交圆O于F，连接BF，CF，GI，OI，BI，CI，AO，FO，∵G是重心，∴， ∵GI∥BC，∴△AGI∽△ADE∴，∴，则， ∴，∴，，∴， 设三角形ABC内切圆半径为r，∴，∴ 如图2所示，四边形ABCD为圆O内的内接四边形，现在证明，在BD上取一点P使得，∵，， ∴，∴，即① ∵，∴， 又∵，∴，∴即②， ∴①+②得； ∴如图1所示，，∵I是内心，∴，∠ABI=∠CBI，∴， ∴，∴，即AF=2BF， ∵∠BIF=∠BAF+∠ABI，∠FBI=∠CBI+∠CBF=∠CBI+∠CAF=∠CBI+∠BAF， ∴∠BIF=∠FBI，∴FB=FI，∴AF=2FI，又∵OA=OF，∴OI⊥AI． 【点睛】本题主要考查了三角函数，勾股定理，三线合一定理，圆的综合，重心，内心，外心的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！35 学科网（北京）股份有限公司 $$