专题14 解直角三角形的最值模型之胡不归模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题14 解直角三角形的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型1.胡不归模型（最值模型） 1 13 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1.（2024·江苏一模）如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是　　 A． B． C． D．8 例2．（23-24上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    例3．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于 ． 例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 例5．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，四边形内接于，为的直径，，，D为弧的中点，M是弦上任意一点（不与端点A、C重合），连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 例6．（2024·安徽·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，顶点为，且该抛物线与轴的交点为．若是该抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 例7．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为，若为线段上一动点，则的最小值是 ． 例8．（2024·湖南九年级期中）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD． (1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值． 例9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接．(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________． (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接、．若的面积，求点P的坐标． (3)设E为线段上任意一点（不含端点），连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．    1．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在中，，，，，点E、F、G分别是、、上的动点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，中，，，于点D，若点E是线段上一动点，则的最小值为（        ） A． B． C． D．10 3.（2024·山东校考一模）如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ． 4．（2024·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 5．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．    6．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在矩形中，，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为______． 7．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______． 8．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝BC，连接AD，若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP，则EPAP的最小值为 ，则2BP+AP的最小值为 ．（注：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．） 9．（2024·天津和平·校考一模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上，AC、BD交于点P．（1）tan∠ABD的值为 ；（2）若点M在线段AB上，当PM+BM取得最小值时，请在如图所示的网格中用无刻度的直尺，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）． 10．（2024·安徽·校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，那么：（1）AE= ；（2）CD+BD的最小值是 ． 11．（2023·湖北武汉·一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______． 12．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 ．    13．（2023·重庆·校联考模拟预测）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点F在线段AC上，连接BF，延长CA至点D，连接BD，满足∠ABF＝∠ABD，H是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接DH交BF于点E，交AB于点G． (1)如图①，若∠ABF＝∠FBC，BD＝2，求DC的长； (2)如图②，若∠CDH+∠BFD∠DEF，猜想AD与CH的数量关系，并证明你猜想的结论： (3)如图③，在（1）的条件下，P是△BCD内一点，连接BP，DP，满足∠BPD＝150°，是否存在点P、H，使得2PH+CH最小？若存在，请直接写出2PH+CH的最小值． 14．（2024·江苏苏州·一模）如图，抛物线的图象经过点，顶点D的坐标为，与x轴交于两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接为直线上一点，当时，求的值．（3）点是y轴上一动点，当y为何值时，的值最小．并求出这个最小值． 15．（2024··达州市九年级期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．（1）求的值；（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；（3）求的最小值． 16．（2024·山东日照·中考模拟预测）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）． （1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？ 17．（2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】（1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】（2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】（3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 18．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）有一则历史放事：说的是一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后，便日夜赶路回家．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃叨念：“胡不归？胡不归？…” 我们一起来看看小伙子回家路况：小伙子选择了什么路线？很多同学都认为：两点之间线段最短． 我们研究的不是最短路径，而是最短时间，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？如果存在这种可能，他又要在驿道上行走多远才最省时？ 设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然． 假设从C处进入沙砾地，总共用时为t，则，因为及是确定的，所以只要最小．用时就最少，问题就转化为要求的最小值，我们可以画一条以C为端点的线段，使其等于，并且与线段位于的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点，由三角函数的定义，以为一边作． ，然后，作，则，最后，当点B、C、E在一条直线上时，最小，即的值最小，即用时最少、这类问题成为“胡不归”问题．请根据上述信息解答下列问题： (1)在中，，，，P是边上一个动点，则的最小值为 ； (2)已知抛物线与x轴交于，，C是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点D． ①求抛物线解析式；②若点P是抛物线对称轴上一点，，连接PB，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 解直角三角形的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型1.胡不归模型（最值模型） 1 13 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1.（2024·江苏一模）如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是　　 A． B． C． D．8 【答案】 【解答】解：如图，以为斜边在下方作等腰，过作于， ，，，， ，，，的最小值为．故选：． 例2．（23-24上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】在线段下方作，过点作于点，连接，求出此时的长度便可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，∴， 在线段下方作，过点作于点，连接，      ∴，∴， 当、、三点共线时，的值最小， 此时，∴，∴，， ∴，∴的最小值为：， ∴的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短性质，关键是作辅助线构造的最小值． 例3．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于 ． 【答案】4 【分析】由四边形是菱形，根据已知线段长度，将转化，再根据垂线段最短即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点M，过点M作于点H，过点A作于点G，交于点P，四边形是菱形，边长为5，， ，，，， ，， ，，，，， ，即，， 当A，P，G三点共线且时，取最小值，最小值为， 菱形的面积，， 的最小值是4．故答案为：4． 【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，以及最短路径问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式，将转化为是解题的关键． 例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【答案】0 【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是正方形，，，的最小值为0， ∵，∴的最小值为0，故答案为：0． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段． 例5．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）如图，四边形内接于，为的直径，，，D为弧的中点，M是弦上任意一点（不与端点A、C重合），连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】过点作于，过点作于，连接，根据圆周角定理可证，则，故，从而的最小值为的长，再利用三角函数计算即可． 【详解】解：过点作于，过点作于，连接， 为的直径，，，， ，，，， 的最小值为的长，为弧的中点，， 在中，，， 的最小值为，故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，特殊角的三角函数，垂线段最短等知识，将的最小值转化为的长是解题的关键． 例6．（2024·安徽·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，顶点为，且该抛物线与轴的交点为．若是该抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质以及最短路径的解决方法，先求出抛物线的表达式，通过计算证明是等边三角形，过点作于点，当三点共线时，的值最小，为的长，计算求出即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，，解得， 该抛物线的表达式为．如图，设该抛物线的对称轴与轴交于点，连接． 将配方，得，， ，，是等边三角形，． 过点作于点，当三点共线时，的值最小，为的长． 此时的值最小，即的长．，的最小值为3． 例7．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为，若为线段上一动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点作直线交轴于点，使，过点作，交于点，利用三角函数以及垂线段最短将转化为垂线段的长，再利用三角函数、勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作直线交轴于点，使，过点作，交于点，    在中，，，设，则， ，即，解得，，，， 在中，，，， 当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，是直角三角形，，，，，， 在中，，， 的值最小值是，故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角函数正弦值巧妙用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 例8．（2024·湖南九年级期中）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD． (1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当取最小值时，求∠QAC的正弦值． 【答案】(1)直线AD是△ABC的自相似分割线； (2)当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时；(3)∠QAC的正弦值为 【分析】（1）根据定义证明△DBA∽△ABC即可得证；（2）根据垂直平分线的性质可得，当点与重合时，,此时最小，设，则，根据，列出方程，解方程求解即可求得，进而即可求得的长，即最小值；（3）过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点，根据已知条件求得，进而转化为，则当点落在上时，点与点重合，此时的值最小，最小值为，进而根据求解即可． （1）∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC = 108°∴∠B =∠C =（180°-∠BAC）= 36° ∵DE垂直平分AB∴AD = BD∴∠B =∠BAD = 36°∴∠C =∠BAD 又∵∠B =∠B∴△DBA∽△ABC∴直线AD是△ABC的自相似分割线． （2）如图，连接，， 垂直平分AB， 当点与重合时，,此时最小， ， 设，则 解得： PA+PC= 当点运动到点时，PA+PC的值最小，此时； （3）如图，过点作于点，过点作于点，连接，设与交于点， ，由（2）知， 平分 点落在上时，点与点重合，即此时的值最小，最小值为 ∠QAC的正弦值为 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求角的正弦，垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，胡不归问题，转化线段是解题的关键． 例9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接．(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________． (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接、．若的面积，求点P的坐标． (3)设E为线段上任意一点（不含端点），连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．    【答案】(1)，(2)或或(3)点M的运动时间的最小值为7秒 【分析】（1）根据抛物线计算即可；（2）利用同底等高的三角形面积相等构造与平行直线，找到与抛物线的交点P；（3）如图，在x轴上取一点G，连接，使得，作于N．作于交于．由点M的运动时间，，推出点M的运动时间，根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与重合，点E与重合时，点M的运动时间最少．由此即可解决问题； 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得：，，故答案为：，； （2）解：设x轴上点D，使得的面积，，解得：， ，，则可求直线解析式为：，故点D坐标为或， 当D坐标为时，过点D平行于的直线l与抛物线交点为满足条件的P， 则可求得直线l的解析式为：， 求直线l与抛物线交点得：，解得：，， 则P点坐标为或，同理当点D坐标为时，直线l的解析式为， 求直线l与抛物线交点得：，解得：（舍弃），， 则点P坐标为，综上满足条件P点坐标为：或或； （3）解：如图，在x轴上取一点G，连接CG，使得，作于N．作于交BC于．      ，，， ，直线的解析式为， 点M的运动时间， ，点M的运动时间， 根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与重合，点E与重合时，点M的运动时间最少． 由题意，，，点M的运动时间的最小值为7秒，此时． 【点睛】本题为代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一次函数图象性质及圆的有关性质是解答本题的关键． 1．（2024·江苏常州·模拟预测）如图，在中，，，，，点E、F、G分别是、、上的动点，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点H，连接、，根据等腰三角形三线合一，可知，可证，进一步证明为等腰直角三角形，得到，所以，过点H作交于点，此时最小等于，求出的长度即为的最小值． 【详解】解：∵，，∴为等腰直角三角形， 取中点H，连接、，如图所示， ∴（等腰三角形三线合一），， ∵在和中，，∴，∴，， ∵，∴，即为等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴，过点H作交于点， 此时最小等于，∵，H为的中点，∴， ∴，，∴的最小值为，故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质、三角形全等的判定及性质以及解直角三角形，正确判断最短距离时各点的位置是解答本题的关键． 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，中，，，于点D，若点E是线段上一动点，则的最小值为（        ） A． B． C． D．10 【答案】A 【分析】过点E作于点F，过点C作于点M，交于点N，证明，得出，设，，求出，得出，求出，得出， 垂线段最短，说明当点E在点N处时，最小，即最小，求出即可求出最小值． 【详解】解：过点E作于点F，过点C作于点M，交于点N，如图所示： ∵，∴，∵，∴， ∴，∴设，，则， ∴，∴，∴， ∵垂线段最短，∴当点E在点N处时，最小，即最小，此时， ∵，，∴，∵，∴， 解得：，负值舍去，∴的最小值为，故A正确．故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，垂线段最短，勾股定理，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，找出使取最小值时，点E的位置． 3.（2024·山东校考一模）如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间，由，推出，可得，推出当共线且和重合时，运动时间最短． 【详解】如图，作于H，于，交AO于． ∵运动时间，∵，，∴， ∵，C（1，0），，，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴， ∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短， ，∴，∴， ∵，设，则，则有： ∴或（舍去），∴∴ 4．（2024·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 5．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】过点C作，垂足为D，取，即可说明是等腰直角三角形，求出，进一步求出，继而将转化为，推出点D在以为直径的圆上，从而可知当为等腰直角三角形时，最大，再求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为D，取， ∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴， ∵，而一定， ∴当的面积最大时，最大，∵，∴点D在以为直径的圆上， ∴当D平分时，点D到的距离最大，即高最大，则面积最大， 此时，则为等腰直角三角形，∴，故答案为：．   ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为的长． 6．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在矩形中，，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】直接利用已知得出，再将原式变形，进而得出最小值，进而得出答案． 【详解】过点A作，过点D作于点H，交于点， ∵在矩形中，，∴，∴，则， ∵， 此时最小，∴的最小值是．故答案为：． 【点睛】此题主要考查了胡不归问题，正确作出辅助线是解题关键． 7．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形中，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在直角三角形MPC中利用三角函数即可解得MH 【详解】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小 ∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC为等边三角形 ∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH= ∴此时得到最小值， ∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案为： 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键. 8．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝BC，连接AD，若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP，则EPAP的最小值为 ，则2BP+AP的最小值为 ．（注：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．） 【答案】 【分析】先证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，根据线段和的最小值转化，进而勾股定理求解即可 【详解】解：过点作于点，交于点，过点作于点， ∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，EPAP 当三点共线时，点和点重合，重合，如图， EPAP的最小值为的长，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， CD＝BC， 又∵是等边三角形 E为线段CD的中点， 在中∴EPAP的最小值 如图， 过点作于，过点作于，则 则 当三点共线时，取得最小值，即取得最小值，即此时重合， 是等边三角形， 在中，，即最小值为 的最小值为 故答案为：； 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，线段和的最小值，转化是解题的关键． 9．（2024·天津和平·校考一模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C、D均在格点上，AC、BD交于点P．（1）tan∠ABD的值为 ；（2）若点M在线段AB上，当PM+BM取得最小值时，请在如图所示的网格中用无刻度的直尺，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）． 【答案】 作图及过程见解析 【分析】（1）在Rt△ABD中，用锐角三角函数定义，直接可得tan∠ABD的值； （2）将A，B，C，D四点分别向下平移2个单位，向右平移2个单位，得对应点A′，B′，C′，D′，连接A′C′，B′D′，A′C′与B′D′相交，得点P′，连接PP′，与AB相交，得点M． 【详解】解：（1）在Rt△ABD中，AD＝2，AB＝6，∴tan∠ABD＝，故答案为：； （2）如图，将A，B，C，D四点分别向下平移2个单位，向右平移2个单位，得对应点A′，B′，C′，D′，连接A′C′，B′D′，A′C′与B′D′相交，得点P′，连接PP′，与AB相交，得点M，点M即为所求． 证明：如图，将A，B，C，D四点分别向下平移2个单位，向右平移2个单位，得对应点A′，B′，C′，D′，连接A′C′，B′D′，A′C′与B′D′相交，得点P′，连接PP′，CC′，取格点G，连接BG，交PM于点H， ∴PP′∥CC′，∴∠APM＝∠ACC′，∴∠PMA＝∠CCM′＝∠MHB＝45°， ∵∠MBG＝45°，∴MH＝BM，∴PM+MH＝PM+BM， 即当P，M，H三点共线时，PM+MH＝PM+BM取最小值， 故连接PP′，与AB相交，得点M，点M即为所求． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图、解直角三角形、最短路线问题，解决本题的关键是用转化思想思考问题，体现了数形结合思想． 10．（2024·安徽·校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，那么：（1）AE= ；（2）CD+BD的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点D作DH⊥AB于H，过点C作CM⊥AB于M，通过勾股定理及tanA=2即可求出AE、BE的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出CM=BE，然后通过锐角三角函数得出DH=BD，进而可得出CD+BD=CD+DH，最后利用CD+DH⩾CM即可求值． 【详解】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作CM⊥AB于M． ∵BE⊥AC，∴∠AEB=90°，∵tanA==2，设AE=a，BE=2a， ∵AB2=AE2+BE2，∴100=a2+4a2，∴a2=20，∴a= 或a=−（舍去），，故答案为：； （2）∵a=，∴BE=2a=，∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB， ∴CM=BE=（等腰三角形两腰上的高相等）， ∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，∴sin∠DBH=， ∴DH=BD，∴CD+BD=CD+DH，∴CD+DH⩾CM， ∴CD+BD⩾4√5，∴CD+BD的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等，学会添加辅助线并利用转化的思想是解题的关键． 11．（2023·湖北武汉·一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值． 【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于， ，，， ， ，，，， 当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小， 当，，三点共线时，有最小值，此时， 的最小值为，故答案为． 【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换． 12．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，若P是x轴上一动点，点在y轴上，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】过作，过作．再由得，根据垂线段最短可知，的最小值为，求出即可． 【详解】解：连接，过作，过作，    令，即，解得或1，，， ，，，． ，根据垂线段最短可知，的最小值为， ，，， 的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查胡不归问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是将求的最小值转化为求的最小值．属于中考选择题中的压轴题． 13．（2023·重庆·校联考模拟预测）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点F在线段AC上，连接BF，延长CA至点D，连接BD，满足∠ABF＝∠ABD，H是线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接DH交BF于点E，交AB于点G． (1)如图①，若∠ABF＝∠FBC，BD＝2，求DC的长； (2)如图②，若∠CDH+∠BFD∠DEF，猜想AD与CH的数量关系，并证明你猜想的结论： (3)如图③，在（1）的条件下，P是△BCD内一点，连接BP，DP，满足∠BPD＝150°，是否存在点P、H，使得2PH+CH最小？若存在，请直接写出2PH+CH的最小值． 【答案】(1)2(2)CHAD，证明见解析(3)存在，2 【分析】（ 1）解斜三角形BCD可求得结果；（ 2）作HN//AB交AC于N，作NM⊥BC于M，求得∠C＝∠NHC＝30°，于是CH＝2HMHN，由条件推出∠BED＝∠BAD＝60°，进而证明△ABD≌△NDH，进一步可求得结果；（ 3）作等边三角形BDO，以O为圆心，OB＝BD＝2为半径作圆O，确定点P在⊙O上运动，作∠BCR＝30°，作HN⊥CR，可得HN，从而得出PH+HN最小时，P、H、N共线，且PHN过点O，作OQ⊥CR于Q交AB于T，作BT⊥OQ于T，解Rt△BOT，Rt△BCR，进一步求得结果． 【详解】（1）如图1， 作DM⊥BC于M，∴∠BMD＝90°， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°， ∴∠ABF＝∠FBC＝15°，∴∠ABD＝∠ABF＝15°，∴∠DBM＝45°， ∴DM＝BD•sin∠DBM＝2•sin45°，∴CD＝2DM＝2； （2）CHAD，理由如下：如图2，作HN//AB交AC于N，作NM⊥BC于M， ∴∠DNH＝∠BAD＝180°﹣∠BAC＝60°，∴∠NHC＝∠DNH﹣∠C＝60°﹣30°＝30°， ∴∠C＝∠NHC＝30°，∴CH＝2HM＝2•（HN•cos∠NHC）＝2•（HN•cos30°）HN， ∵∠CDH+∠BFD∠DEF，∠CDH+∠BFD+∠DEF＝180°，∴∠DEF＝120°，∴∠BED＝∠BAD＝60°， ∵∠AGD＝∠BGE，∴∠ADG＝∠ABF＝∠ABD， ∵∠DBH＝∠ABC+∠ABD＝30°+∠ABD，∠BHD＝∠C+∠ADG＝30°+∠ABD， ∴∠DBH＝∠DHB，∴DH＝BD，∴△ABD≌△NDH（AAS），∴HN＝AD，∴CHAD； （3）如图3，作等边三角形BDO，以O为圆心，OB＝BD＝2为半径作圆O， ∴点P在⊙O上运动，作∠BCR＝30°，作HN⊥CR于N∴HN ∴PH+HN最小时，P、H、N共线，且PHN过点O， 故作OQ⊥CR于Q交AB于T，作BT⊥OQ于T， ∵∠ABC＝∠BCR＝30°，∴AB//CR，∴OQ⊥BT， 作OB的垂直平分线交OT于M，∴OM＝BM，设BT＝x， ∴OM＝BM＝2BT＝2x，MT，∴（）2+x2＝22， ∴x，∴BT＝（）x， ∵TQ＝BRBC（），∴OQ，∴P′Q＝OQ﹣OP′2， ∵2PH+CH＝2（PHCH）∴2PH+CH的最小值是：24． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟悉“定弦对定角”，“胡不归”等模型及较强的计算能力． 14．（2024·江苏苏州·一模）如图，抛物线的图象经过点，顶点D的坐标为，与x轴交于两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接为直线上一点，当时，求的值．（3）点是y轴上一动点，当y为何值时，的值最小．并求出这个最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，点有最小值为；【分析】（1）将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解； （2）当时，根据题意先求得，，的长，由得：，即可求解；（3）连接，过点作于，当折线段与重合时，取得最小值，即可求解； （4）①当点为直角顶点时，由得：；②当点 为直角顶点时，点，则点；③当点F为直角顶点时，同理可得：点． 【详解】（1）抛物线的图象经过点，顶点D的坐标为， 解得抛物线的解析式为：； （2）与x轴交于两点， 令，即解得 , （3）如图，连接,过点作于点 ，， 则 当折线段与重合时，取得最小值 由（2）可知， 当折线段与重合时，在线段上 当时，即点有最小值为； 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、三角形相似、图形的面积计算等，其中(4)，要注意分类求解，避免遗漏，综合运用以上知识是解题的关键． 15．（2024··达州市九年级期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、、轴分别交于点、、，，并且满足，点是线段上的一个动点．（1）求的值；（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；（3）求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用矩形的性质，用表示点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）首先求出四边形的面积，再根据条件求出的面积，即可解决问题； （3）过点作轴交于点，则，即可转化为求的最小值，作点关于一次函数的对称点，过点作轴的垂线交轴于点，交一次函数于点，即的最小值为，算出长度即可． 【详解】（1）在中，令，则，点的坐标为， ，，， 把代入中得：，解得：； （2）由（1）得一次函数为，，， ，，， ， 的面积与四边形的面积之比为， 的面积与四边形的面积之比为， ，设点的横坐标为，则， 解得：，把代入中得：，； （3）如图所示，过点作轴交于点， ，，， 作点关于一次函数的对称点，且OO’与直线DF交于Q点，过点作轴的垂线交轴于点， ，， 当、、在同一直线时最小， 即的最小值为， ，，，， 在中，，， 在中．，的最小值为． 【点睛】本题考查几何图形与函数的综合题，包括一次函数、矩形的性质、四边形的面积，解直角三角形以及胡不归问题，属于中考压轴题． 16．（2024·山东日照·中考模拟预测）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）． （1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？ 【答案】（1）y=x2﹣x+3．tan∠BAC=；（2）点E的坐标为（2，1）． 【分析】（Ⅰ）只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BH⊥x轴于H，如图1．易得∠BCH=∠ACO=45°，BC=，AC=3，从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；（2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3．易得AE=EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为．作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，从而可得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小．此时可证到四边形OCD′N是矩形，从而有ND′=OC=3，ON=D′C=DC．然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标． 【详解】解：（Ⅰ）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得 ，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2-x+3． 联立，解得：或，∴点B的坐标为（4，1）． 过点B作BH⊥x轴于H，如图1． ∵C（3，0），B（4，1），∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4-3=1，∴BH=CH=1． ∵∠BHC=90°，∴∠BCH=45°，BC=．同理：∠ACO=45°，AC=3， ∴∠ACB=180°-45°-45°=90°，∴tan∠BAC=； （2）过点E作EN⊥y轴于N，如图3． 在Rt△ANE中，EN=AE•sin45°=AE，即AE=EN， ∴点M在整个运动中所用的时间为． 作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°， ∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN．根据两点之间线段最短可得： 当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小． 此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，∴四边形OCD′N是矩形， ∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC．对于y=x2-x+3，当y=0时，有x2-x+3=0， 解得：x1=2，x2=3．∴D（2，0），OD=2，∴ON=DC=OC-OD=3-2=1， ∴NE=AN=AO-ON=3-1=2，∴点E的坐标为（2，1）． 17．（2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】（1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】（2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】（3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（1）10；（2）8；（3）． 【分析】本题是三角形综合题，涉及了解特殊的直角三角形、对角互补模型、最值胡不归模型、角平分线性质及判定、全等三角形的判定，解题关键是利用三角形全等转化线段和角的关系，由30度角、45度角的解直角三角形，求边长，构造胡不归模型利用垂线段最短求出最值．（1）易证，从而可得，，进而由含30度直角三角形性质可得；（2）如图2，取的中点O，连接、， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可证明是等腰直角三角形，，即可求出．（3）由已知可以求得证明，，再构造含30度的直角三角形求出，再利用胡不归模型构造的折线段，根据垂线段最短，得出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）∵，，；∴； ∴，∴，∴． （2）如图②，取的中点O，连接、， ∵，∴，，∴，， ∴，； ∴，即， ∵，∴，又∵，∴， （3）如图③，过点A作， ∵，，∴，， 又∵，∴， ∴，∴， 在和中，∴，∴， ∵，，∴， ∴， 过点A作交于点Q，∴，， ∴，， ∵，∴，∴， 如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M， ∴，， ∴，， ∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为， ∴的最小值为，∴最小值为． 18．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）有一则历史放事： 说的是一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后，便日夜赶路回家．然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了．人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃叨念：“胡不归？胡不归？…” 我们一起来看看小伙子回家路况： 小伙子选择了什么路线？很多同学都认为：两点之间线段最短． 我们研究的不是最短路径，而是最短时间，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？如果存在这种可能，他又要在驿道上行走多远才最省时？ 设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然． 假设从C处进入沙砾地，总共用时为t，则，因为及是确定的，所以只要最小．用时就最少，问题就转化为要求的最小值，我们可以画一条以C为端点的线段，使其等于，并且与线段位于的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点，由三角函数的定义，以为一边作． ，然后，作，则，最后，当点B、C、E在一条直线上时，最小，即的值最小，即用时最少、这类问题成为“胡不归”问题．请根据上述信息解答下列问题： (1)在中，，，，P是边上一个动点，则的最小值为 ； (2)已知抛物线与x轴交于，，C是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点D． ①求抛物线解析式；②若点P是抛物线对称轴上一点，，连接PB，求的最小值． 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）延长到点D，使得，则为等边三角形，过点B作交于点P，则此时最小，，有，则； （2）①根据交点可设，解得，即可求得抛物线的解析式；②过点B作交于点P，则的值最小，则，且，即． 【详解】（1）解：延长到点D，使得，如图， 则为等边三角形，过点B作交于点P，则此时最小， ∵为等边三角形，∴，∴，∴， 则，故答案为：； （2）解：①由题意得， ∴，解得，故抛物线的解析式为； ②过点B作交于点P，如图， 则此时的值最小，∵，∴， 则，∴，那么，， 【点睛】本题主要考查胡不归的应用，涉及等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质得、 待定系数法求二次函数的解析式和解直角三角形．解题的关键是熟悉胡不归的背景及其使用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！36 学科网（北京）股份有限公司 $$