专题12 解直角三角形之实际应用模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题12 解直角三角形之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 【知识储备】 图1 图2 图3 图4 图5 如图1，30°-60°-90°三边比值； 如图2，45°-45°-90°三边比值 如图3，30°-30°-120°三边比值；如图4，30°-45°-105°三边比值 如图5，45°-60°-75°三边比值。 上面五个结论在于运用勾股定理和方程，当然也可用三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也是类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。希望同学能够自己动手计算并研究记忆这些特殊角度三角形的三边比值，这些结论在选填题特别好用。 2 模型1.背靠背模型 2 模型2.母子模型 5 模型3.拥抱模型 12 15 模型1.背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 例1．（2024·湖北·模拟预测）学校安排一项综合实践活动，要求测量两栋楼之间的距离．已知对面的楼高为，小明从点A观测对面楼顶部的仰角为，观测楼底部的俯角为，则这两栋楼之间的距离为 ．（参考数据：） 例2．（2024·安徽六安·模拟预测）在综合实践课中，小明同学利用无人机测量小山的高度．如图，是小明同学，无人机飞到小山的右上方时，测得山顶的俯角为米，测得小明同学头顶的俯角为米．已知小明的身高为1.8米，求小山的高度．（已知分别与水平线垂直且在同一平面内，参考数据：，，，，，） 例3．（2024·辽宁·模拟预测）数学来源于实践，服务于实践，因此学习数学贵在解决实际问题，某校数学兴趣小组准备利用所学数学知识来测量一个山脚下的信号塔的高度如图．如图，信号塔刚好在坡角为的斜坡底角处，斜坡的长为，在点处测得信号塔最高点的仰角为，平行于水平线，的长为，求信号塔的高（结果精确到．参考数据：，，，） 例4．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）    模型2.母子模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1.（2024·湖南·模拟预测）如图，某户外运动爱好者欲挑战自我，攀登某陡崖．为测量该陡崖顶端距离地面的高度，他由地面点A处沿水平面行走200米至点B处．点A处的仰角，点B处的仰角，，若人的身高忽略不计，求该陡崖顶端距离地面的高度．（结果保留根号，参考数据：，，） 例2．（2024·辽宁·模拟预测）朝阳市某中学数学兴趣小组要测量大凌河旁一棵大树的高度，他们第一次在点A测得大树顶端B的仰角为，然后从距A点水平距离为7米高1.6米的平台上的D点处测得树顶端点B的仰角为．依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，结果精确到） 例3．（2024·贵州贵阳·一模）2024年春节来临之际，修文县在县城马路两旁人行道路灯杆上悬挂灯笼喜迎新春．图①是一名工人在一台直臂式高空作业车辅助下在路灯杆上挂灯笼，高空作业车第一次在A处以角方向完全伸出“手臂”后达到点B，此时工人不能到达悬挂灯笼的位置，高空作业车向前平移到达点E，在“手臂”长度保持不变的情况下增大与水平面的夹角，“手臂”顶端刚好与路灯悬挂灯笼位置C平齐，工人顺利挂好灯笼．操作示意图如图②所示，已知，量得，．（参考数据，，） (1)求“手臂”完全伸出时的长度；（结果保留根号） (2)求路灯挂灯笼位置到地面的距离．（结果保留一位小数） 例4．（2024·山西·二模）应县木塔，全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内，是中国现存最高最古的一座木构塔式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某校综合与实践小组测量应县木塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 应县木塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1.先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为； 2.再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图 请根据以上测量数据，求应县木塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）． 例5．（2023·浙江温州·一模）甲、乙两幢完全一样的房子如图1，小聪与弟弟住在甲幢，为测量对面的乙幢屋顶斜坡，之间的距离，制定如下方案：两幢房子截面图如图2，，小聪在离屋檐处的点处水平放置平面镜（平面镜的大小忽略不计），弟弟在离点水平距离的点处恰好在镜子中看到乙幢屋顶，此时测得弟弟眼睛与镜面的竖直距离．下楼后，弟弟直立站在处，测得地面点与，，在一条直线上，，，，则甲、乙两幢间距 ，乙幢屋顶斜坡，之间的距离为 ． 例6.（2024·安徽宣城·三模）如图，某机器人在一次操作时，将手臂，，依次展开，测得，垂直于地面，，，求操作手臂的最高点到地面的距离（结果保留根号）． 模型3.拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 例1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）为测量一古塔的高度，数学建模小组同学先在该古塔附近一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是16m，试求该古塔的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：=1.73，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 例2．（2024·江苏·一模）如图，某校教学楼（矩形）前是办公楼（矩形），教学楼与办公楼之间是学生活动场所（）和旗杆（），教学楼、办公楼和旗杆都垂直于地面，在旗杆底C处测得教学楼顶的仰角为，在旗杆底C处测得办公楼顶的俯角为，已知教学楼高度为，旗杆底部（C）到办公楼底部（B）的距离比到教学楼底部（A）的距离少，求办公楼的高度．（参考数据，，） 例3．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为．(1)求的长．(2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）某广场中心建有雕塑，某课外实践小组为测量雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，．已知测角仪DA的高度为1.5m．则雕塑BC的高度是 m． 2．（2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为 ．    3、（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度，无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处，测得教学楼顶处的俯角为，则教学楼的高度约为 米．（结果精确到米）（参考数据：，，）    4．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，小明驾车从A地途经B地到C地，在地图上测得B地在A地的北偏西方向，C地在B地的北偏东方向，C地在A地的北偏东方向，A地到B地的距离是，那么A，C两地的距离约为 ．(结果保留到．参考数据：) 5．（23-24九年级下·江苏·期中）如图，为了测量教学楼前一棵大树的高度，王明和王亮拿自制的测倾器分别在教学楼的二楼处测得树顶的仰角为，在四楼处测得大树底部点的俯角为．已知二楼处离地面高米，四楼处离地面高米．试求树高．（参考数据：，结果保留一位小数） 6．（2024·广西柳州·模拟预测）某中学准备把一块四边形的空地整理出来作为学生劳动基地．如图，点C在点D的南偏东方向上，点A在点D的北偏东方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知米，米．（参考数据：） (1)求四边形空地边的长（精确到0.1米）；(2)学校计划用1.5万元在空地四周建立防护栏，每米防护栏的改造费用为30元，请判断费用是否充足？ 7．（2024·安徽·模拟预测）图1是地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，支架的立柱与水平线垂直，支点A在线段上，斜杆与的夹角，拉杆于点D，拉杆与的夹角．(1)求拉杆的长；(2)若要求停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度不超过3.6米，问安装的雨棚高度是否符合要求？（参考数据：） 8．（2024·福建福州·模拟预测）创新考法·项目式学习新中国成立 73周年，又适逢党的二十大召开，为营造隆重热烈、喜庆祥和的氛围，天安门广场及长安街沿线以“喜迎二十大，奋进新征程”为主题布置花坛，以广场中心的“祝福祖国”巨型花果篮为主景，篮内主花材料选取了十种花卉和十种水果，象征十全十美，体现花团锦簇、硕果累累喜迎二十大的美好寓意．某数学兴趣小组的同学利用国庆假期开展了“测量巨型花果篮的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量巨型花果篮的高度 测量方案 如图，AB代表巨型花果篮的高度，在地面C，D处用测角仪分别测得巨型花果篮顶端 A 的仰角α，β，并测得 CD 之间的距离，MC，ND 均代表测角仪的高度 说明:点A，B，C，D，M，N在同一竖直平面内，点B，C，D在同一直线上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角α的度数 仰角β的度数 C，D之间的直线距离 64.1m 63.9 m m 测角仪的高度 1.5m 参考数据 请补全上表并计算巨型花果篮的高度AB(结果精确至0.1m )． 9．（2024·山东聊城·模拟预测）为满足市民的健身需求，某公园在观景亭与湖心小岛之间修建了两条健身骑行道，①；②，点在点的正东方向，点在点的正南方向，在点的南偏西方向，点在点的北偏东方向，点在点的正东方向处，点在点的正北方向处，小东想要选择一条较长的路线骑行，他应该选择哪条路线？ 10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）综合与实践活动中利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知m，，点E、C、A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶B的仰角为，在观景台D处测得塔顶B的仰角为．(1)填空：______，______m；(2)设塔的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；②求塔AB的高度（参考数据：，，，结果取整数）． 11．（2024·内蒙古包头·三模）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．．（参考数据： ， ， ， ）(1)求点P到地面的高度；(2)若挖掘机能挖的最远处点Q，此时，求Q点到N点的距离． 12．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，小敏在参观大风车时，想测一下风叶AB的长度．她首先通过C处的铭牌简介得知每个风车杆子BC的高度为98米，然后沿水平方向走到D处，再沿着斜坡DE走了35米到达E处，她站在E处当风叶AB转到铅垂方向时测得点A的仰角为68°；当风叶AB转到水平方向时测得点的仰角为45°，若斜坡DE的坡度，求风叶AB的长度．（参考数据：，，） 13．（2023年四川省达州市中考数学真题）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）    14．（2023年山东省聊城市中考数学真题）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，，，）    15．（2023·河北沧州·模拟预测）如图1，嘉淇在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点．    (1)在图1中，过点画出水平线，并标记观测的仰角．若铅垂线在量角器上的读数为，求的值； (2)如图2，已知嘉淇眼睛离地米，站在处观测的仰角为（1）中的，向前走米到达处，此时观测点的仰角为，求树的高度．（注：，，） 16．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．(1)求点离地面的高度；(2)求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：)    17.（2023春·湖南株洲·九年级统考期中）小军和小明在同一个班，他们都是数学爱好者，并且住在同一个小区的A栋楼，学完解直角三角形后，他们决定用所学知识来求距离，如图：A、B两栋楼，他们站在自家阳台上测得对面B栋楼的楼顶P点的仰角分别为．已知小军家与小明家阳台垂直距离为30米． （参考数据：） (1)求A、B两栋楼的楼间距为多少米？（结果精确到米） (2)已知小明家阳台与地面的垂直距离为6米，求对面B栋楼的高度．（结果精确到米）    18．（2023年内蒙古数学真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．    19．（2023年湖北省恩施州中考数学真题）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 20．（2023年四川省内江市中考数学真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．    21．（2023年贵州省中考数学真题）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）      (1)求索道的长（结果精确到）；(2)求水平距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 22．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 解直角三角形之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 【知识储备】 图1 图2 图3 图4 图5 如图1，30°-60°-90°三边比值； 如图2，45°-45°-90°三边比值 如图3，30°-30°-120°三边比值；如图4，30°-45°-105°三边比值 如图5，45°-60°-75°三边比值。 上面五个结论在于运用勾股定理和方程，当然也可用三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也是类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。希望同学能够自己动手计算并研究记忆这些特殊角度三角形的三边比值，这些结论在选填题特别好用。 2 模型1.背靠背模型 2 模型2.母子模型 5 模型3.拥抱模型 12 15 模型1.背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 例1．（2024·湖北·模拟预测）学校安排一项综合实践活动，要求测量两栋楼之间的距离．已知对面的楼高为，小明从点A观测对面楼顶部的仰角为，观测楼底部的俯角为，则这两栋楼之间的距离为 ．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作垂线构造直角三角形，在两个直角三角形中，由锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】如图，过点作于，则， 在中，，，， 在中，，，， ， 答：这栋楼的高度大约为． 例2．（2024·安徽六安·模拟预测）在综合实践课中，小明同学利用无人机测量小山的高度．如图，是小明同学，无人机飞到小山的右上方时，测得山顶的俯角为米，测得小明同学头顶的俯角为米．已知小明的身高为1.8米，求小山的高度．（已知分别与水平线垂直且在同一平面内，参考数据：，，，，，） 【答案】59.8米 【分析】本题考查了仰俯角的解直角三角形的应用，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，过点作于点，解，求出，解，求出，最后再根据线段和差进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形，， 在中，由题意知米， ∴（米） 在中，由题意知米， ∴（米）， （米）． 答：小山的高度约为59.8米． 例3．（2024·辽宁·模拟预测）数学来源于实践，服务于实践，因此学习数学贵在解决实际问题，某校数学兴趣小组准备利用所学数学知识来测量一个山脚下的信号塔的高度如图．如图，信号塔刚好在坡角为的斜坡底角处，斜坡的长为，在点处测得信号塔最高点的仰角为，平行于水平线，的长为，求信号塔的高（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，解直角三角形的实际应用．延长交于点，在中，求出的长，在中，求出的长，利用求出的长即可．解题的关键是构造直角三角形． 【详解】解：延长交于点，则：，∵，∴    ∵，∴，，∴ 在中，，∴， 在中，，∴． 答：信号塔的高为． 例4．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）    【答案】斜坡的长约为10米 【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形， 在中，， ．∴． ∵，∴在中，（米）．答：斜坡的长约为10米． 【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 模型2.母子模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1.（2024·湖南·模拟预测）如图，某户外运动爱好者欲挑战自我，攀登某陡崖．为测量该陡崖顶端距离地面的高度，他由地面点A处沿水平面行走200米至点B处．点A处的仰角，点B处的仰角，，若人的身高忽略不计，求该陡崖顶端距离地面的高度．（结果保留根号，参考数据：，，） 【答案】该陡崖顶端距离地面的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设米，则米，在和中，分别表示出，建立方程，求出的值即可得解． 【详解】解：由题意得：，米，设米，则米， 在中，，∴米， 在中，，∴米， ∴，解得：，∴（米）． ∴该陡崖顶端距离地面的高度为米． 例2．（2024·辽宁·模拟预测）朝阳市某中学数学兴趣小组要测量大凌河旁一棵大树的高度，他们第一次在点A测得大树顶端B的仰角为，然后从距A点水平距离为7米高1.6米的平台上的D点处测得树顶端点B的仰角为．依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：，结果精确到） 【答案】米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形是解答的关键．过点D作于点G，设米，先求得米，在中，利用正切定义列方程求解x值即可． 【详解】解：如图所示：过点D作于点G，设米， 在中，，∴米， 又米，∴在矩形中，米，米， 在中，由解得： 经检验，是方程的解． 答：大树的高度约为米． 例3．（2024·贵州贵阳·一模）2024年春节来临之际，修文县在县城马路两旁人行道路灯杆上悬挂灯笼喜迎新春．图①是一名工人在一台直臂式高空作业车辅助下在路灯杆上挂灯笼，高空作业车第一次在A处以角方向完全伸出“手臂”后达到点B，此时工人不能到达悬挂灯笼的位置，高空作业车向前平移到达点E，在“手臂”长度保持不变的情况下增大与水平面的夹角，“手臂”顶端刚好与路灯悬挂灯笼位置C平齐，工人顺利挂好灯笼．操作示意图如图②所示，已知，量得，．（参考数据，，） (1)求“手臂”完全伸出时的长度；（结果保留根号） (2)求路灯挂灯笼位置到地面的距离．（结果保留一位小数） 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，在中，，， ， “手臂”完全伸出时的长度为； （2）解：由题意得：，，在中，， ，， 路灯挂灯笼位置到地面的距离约为． 例4．（2024·山西·二模）应县木塔，全称佛宫寺释迦塔，位于山西省朔州市应县西北佛宫寺内，是中国现存最高最古的一座木构塔式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某校综合与实践小组测量应县木塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 应县木塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1.先将无人机从地面的点G处垂直上升至点P，测得塔的顶端A的俯角为； 2.再将无人机从点P处沿水平方向飞行至点C，然后沿垂直方向上升至点Q，测得塔的顶端A的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图 请根据以上测量数据，求应县木塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长交于点，延长交于点，根据题意可得：，，，，，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长交于点，延长交于点， 由题意得：，，，，，， 设，， 在中，，， 在中，，， ，，解得：，， ，应县木塔的同度约为． 例5．（2023·浙江温州·一模）甲、乙两幢完全一样的房子如图1，小聪与弟弟住在甲幢，为测量对面的乙幢屋顶斜坡，之间的距离，制定如下方案：两幢房子截面图如图2，，小聪在离屋檐处的点处水平放置平面镜（平面镜的大小忽略不计），弟弟在离点水平距离的点处恰好在镜子中看到乙幢屋顶，此时测得弟弟眼睛与镜面的竖直距离．下楼后，弟弟直立站在处，测得地面点与，，在一条直线上，，，，则甲、乙两幢间距 ，乙幢屋顶斜坡，之间的距离为 ． 【答案】 25 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．过点作交于点，交于点，根据，利用三角形函数解直角三角形即可解得． 【详解】解：如图，交于，过点作交于点，交于点， 则四边形是矩形，， 由题意得，，即，， ，设， ，即，，， ，∴，解得：， ，故答案为：． 例6.（2024·安徽宣城·三模）如图，某机器人在一次操作时，将手臂，，依次展开，测得，垂直于地面，，，求操作手臂的最高点到地面的距离（结果保留根号）． 【答案】操作手臂的最高点到地面的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，，从而可得，进而可得，然后利用角的和差关系可得，从而分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，由题意得：，，， ，，， ，， 在中，，， 在中，，，， 操作手臂的最高点到地面的距离为． 模型3.拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 例1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）为测量一古塔的高度，数学建模小组同学先在该古塔附近一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是16m，试求该古塔的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：=1.73，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 【答案】59.2米 【分析】根据“爬到该楼房顶端B点处古塔底部D处的俯角是30°”可以求出AD的长，然后根据“一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°”可以求出CD的长． 【详解】解：∵爬到该楼房顶端B点处观测古塔底部D处的俯角是30°，由题意知：∠ADB=30°， ∴在Rt△ABD中，tan30°=，∴，∴AD=16， ∵一栋楼房的底端A点处观测古塔顶端C处的仰角是65°， ∴在Rt△ACD中，CD=AD•tan65°=48×1.73×2.14≈59.2（米）． 答：楼高CD为59.2米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角、俯角构造直角三角形并解直角三角形． 例2．（2024·江苏·一模）如图，某校教学楼（矩形）前是办公楼（矩形），教学楼与办公楼之间是学生活动场所（）和旗杆（），教学楼、办公楼和旗杆都垂直于地面，在旗杆底C处测得教学楼顶的仰角为，在旗杆底C处测得办公楼顶的俯角为，已知教学楼高度为，旗杆底部（C）到办公楼底部（B）的距离比到教学楼底部（A）的距离少，求办公楼的高度．（参考数据，，） 【答案】m 【分析】设，分别在和中求出、，利用列方程即可求解． 【详解】解：设，在中，，∴， 在中，，，∴， ∵，∴，解得，∴办公楼的高度的高度为m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 例3．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，塔前有一座高为的山坡，已知，，点，，在同一条水平直线上．某学习小组在山坡处测得塔顶部的仰角为，在山坡处测得塔顶部的仰角为．(1)求的长．(2)求塔的高度．（参考数据：，，，，结果取整数） 【答案】(1)的长为(2)塔的高度约为 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，（1）根据含角的直角三角形的性质即可求解； （2）根据含角的直角三角形的性质可得，设，根据等腰直角三角形的性质可得，，如图，过点作．垂足为，在中，，根据角的正切值可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，在中，，， ∴,∴的长为． （2）解：由题意得，在中，，， ∴，在中，设， ∵，∴，∴， 如图，过点作．垂足为， 由题意得，，∵，∴， 在中，，∴， ∴，解得，∴， 答：塔的高度约为． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）某广场中心建有雕塑，某课外实践小组为测量雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，．已知测角仪DA的高度为1.5m．则雕塑BC的高度是 m． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形实际应用．根据题意可知，利用正弦函数值即可求出，继而求得本题答案． 【详解】解：∵，，，∴， ∴，∴， ∵的高度为，∴，故答案为：． 2．（2023春·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为 ．    【答案】 【分析】根据题意得，，，，过B作于E，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，，，，过B作于E，∴，    在中，∵，，∴， 在中，∵，∴， ∴，∴， ∴A，C两港之间的距离为，故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 3、（2023春·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的高度，无人机在离教学楼底部处米的处垂直上升米至处，测得教学楼顶处的俯角为，则教学楼的高度约为 米．（结果精确到米）（参考数据：，，）    【答案】 【分析】过作于点，可得，根据题意可知米，米，由作图知，米，在中利用三角函数可求出的长，即可求得的长 【详解】过作于点，    ，米，米，，米， 在中，，， 米， 米， 答：教学楼的高度约为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，借助仰角构造出直角三角形，然后利用三角函数进行求解是关键． 4．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，小明驾车从A地途经B地到C地，在地图上测得B地在A地的北偏西方向，C地在B地的北偏东方向，C地在A地的北偏东方向，A地到B地的距离是，那么A，C两地的距离约为 ．(结果保留到．参考数据：) 【答案】5.5 【分析】本题解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作于点，根据正弦的定义求出，余弦定义求出，再根据等腰直角三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，， 在中，，， ，， ∵，∴， 在中，，∴，∴，则， ∴，答：A，C两地的距离约为．故答案为：5.5． 5．（23-24九年级下·江苏·期中）如图，为了测量教学楼前一棵大树的高度，王明和王亮拿自制的测倾器分别在教学楼的二楼处测得树顶的仰角为，在四楼处测得大树底部点的俯角为．已知二楼处离地面高米，四楼处离地面高米．试求树高．（参考数据：，结果保留一位小数） 【答案】树高约为． 【分析】根据题意，首先过点C作CF⊥ED，求出FC的长，再利用锐角三角函数关系进而得出答案． 【详解】过点C作CF⊥ED， 在Rt△ABD中，∠ADB=∠ABD=45°， ∴AD=AB=12， ∴CF=12， 在Rt△CEF中，tan30°=， ∴EF=CF•tan30°=12×=4（m）， ∴DE=EF+FD=4+4≈10.9（m）． 答：树高DE约为10.9m． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 6．（2024·广西柳州·模拟预测）某中学准备把一块四边形的空地整理出来作为学生劳动基地．如图，点C在点D的南偏东方向上，点A在点D的北偏东方向上，点B在点A的正东方向，点C在点B的正南方向．已知米，米．（参考数据：） (1)求四边形空地边的长（精确到0.1米）； (2)学校计划用1.5万元在空地四周建立防护栏，每米防护栏的改造费用为30元，请判断费用是否充足？ 【答案】(1)57.7米(2)费用充足 【分析】本题主要考查解直角三角形中方位角的计算，解题的关键是熟悉方位角的计算方法和三角函数公式，延长 交 于点E，过点C作 于点 F．则四边形 是矩形，可知，在 中利用解直角三角形求得和，即可知．在 中， 利用解直角三角形求得； 求得和，即可求 进一步求得需要改造费用，并和计划费用比较即可． 【详解】（1）解：延长 交 于点E，过点C作 于点 F．如图， 由题意知，四边形 是矩形， ∵米，米，，， ∴． 在 中， （米）， （米）， ∴米，（米）． 在 中， （米）． 答：四边形空地边的长约为57.7米． （2）（米），米， 米， 米， 米， （米）， 需要改造费用： （元）． ∵， ∴改造费用充足． 7．（2024·安徽·模拟预测）图1是地下停车场的入口，图2是安装雨棚左侧支架的示意图，支架的立柱与水平线垂直，支点A在线段上，斜杆与的夹角，拉杆于点D，拉杆与的夹角． (1)求拉杆的长；(2)若要求停车场入口水平地面到顶部雨棚的高度不超过3.6米，问安装的雨棚高度是否符合要求？（参考数据：） 【答案】(1) (2)符合要求，过程见详解 【分析】（1）先在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出的长，再根据已知可求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行比较即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的性质与判定，根据题目的已知条件并结合图形添加适当辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， ， ， 在中，， ， 该支架的边的长为； （2）解：符合要求，过程如下： 过点作，垂足为， ∵， ∴四边形是矩形 则，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 安装雨棚的高度是合格的． 8．（2024·福建福州·模拟预测）创新考法·项目式学习新中国成立 73周年，又适逢党的二十大召开，为营造隆重热烈、喜庆祥和的氛围，天安门广场及长安街沿线以“喜迎二十大，奋进新征程”为主题布置花坛，以广场中心的“祝福祖国”巨型花果篮为主景，篮内主花材料选取了十种花卉和十种水果，象征十全十美，体现花团锦簇、硕果累累喜迎二十大的美好寓意．某数学兴趣小组的同学利用国庆假期开展了“测量巨型花果篮的高度”的课题活动，具体方案及数据如下表： 课题 测量巨型花果篮的高度 测量方案 如图，AB代表巨型花果篮的高度，在地面C，D处用测角仪 分别测得巨型花果篮顶端 A 的仰角α，β，并测得 CD 之间 的距离，MC，ND 均代表测角仪的高度 说明:点A，B，C，D，M，N在同一竖直平面内，点B，C，D在同一直线上 测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值 仰角α的度数 仰角β的度数 C，D之间的直线距离 64.1m 63.9 m m 测角仪的高度 1.5m 参考数据 请补全上表并计算巨型花果篮的高度AB(结果精确至0.1m )． 【答案】补全表格空为 ，巨型花果篮的高度约为 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．在 中，根据三角函数的定义得到，，进而由得到关于的方程，解方程求出，继而即可得到结论． 【详解】解：C，D之间的直线距离 连接，交于E， 由题意得，，， ∴四边形，四边形，四边形为矩形． ∴， 在 中，，，， ， 在 中，，，， ， ， ，即： 解得：． ， 答：巨型花果篮的高度约为． 9．（2024·山东聊城·模拟预测）为满足市民的健身需求，某公园在观景亭与湖心小岛之间修建了两条健身骑行道，①；②，点在点的正东方向，点在点的正南方向，在点的南偏西方向，点在点的北偏东方向，点在点的正东方向处，点在点的正北方向处，小东想要选择一条较长的路线骑行，他应该选择哪条路线？ 【答案】小东应该选择路线② 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先在中，先利用直角三角形的边角间关系求出，在中，利用直角三角形的边角间关系求出，再计算出两条路线的长度，最后比较得结论，掌握直角三角形的边角间关系及实数的运算法则是解决本题的关键． 【详解】解：延长交的延长线于点． ∵点在点的正东方向，点在点的正南方向，点在点的正东方向处，点在点的正北方向处， ∴四边形是矩形． ∴． 在中， ∵，，， ∴，． ∴． ∵在点的南偏西方向， ∴． 在中，∵， ∴，． ∴骑行道①的长为：， 骑行道②的长为：． ∵， ∴小东应该选择路线②． 10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）综合与实践活动中利用测角仪测量塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知m，，点E、C、A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶B的仰角为，在观景台D处测得塔顶B的仰角为． (1)填空：______，______m；(2)设塔的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；②求塔AB的高度（参考数据：，，，结果取整数）． 【答案】(1)，3 (2)①m  ②m 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，注意计算的准确性即可. （1）根据、即可求解； （2）①在中求出，在中求出即可求解；②过点D作，在中，根据即可求解； 【详解】（1）解：如图所示： 由题意得： ∵ ∴ 故答案为：，3 （2）解：①由题意得：， 在中，m，， ∴（m）， 在中， m，， ∴（m）， ∴ m， ∴线段的长为 m； ②过点D作，垂足为F， 由题意得： m， m， ∵ m， ∴ m， 在中，， ∴ m， ∴， 解得：， ∴ m， 答：塔的高度约为 m 11．（2024·内蒙古包头·三模）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．．（参考数据： ， ， ， ） (1)求点P到地面的高度；(2)若挖掘机能挖的最远处点Q，此时，求Q点到N点的距离． 【答案】(1)点P到地面的高度约为 (2)Q点到N点的距离约为 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线是解题的关键． （1）作于点B，延长交于点A．先证明四边形是矩形．则，求出．由 即可得到答案； （2）由勾股定理求出，则．再证明．得到．由即可得到答案． 【详解】（1）解：作于点B，延长交于点A． ∴． ∵， ∴． 由题意得： ， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． ∵， ∴． ∴． 答：点P到地面的高度约为； （2）∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 答：Q点到N点的距离约为． 12．（23-24九年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，小敏在参观大风车时，想测一下风叶AB的长度．她首先通过C处的铭牌简介得知每个风车杆子BC的高度为98米，然后沿水平方向走到D处，再沿着斜坡DE走了35米到达E处，她站在E处当风叶AB转到铅垂方向时测得点A的仰角为68°；当风叶AB转到水平方向时测得点的仰角为45°，若斜坡DE的坡度，求风叶AB的长度．（参考数据：，，） 【答案】AB的长度约为30米． 【分析】过E作EF⊥CD于F，作EG⊥AC于G，A′H⊥EG于H．分别在Rt△DEF和Rt△ABD中，通过解直角三角形求出EF的长，可得BG的长，在Rt△A′EH中，∠A′EH＝45°，则EH＝A′H，设AB＝A′B＝x米，则EG＝（70﹣x）米，AG＝（70+x）米，在Rt△AEG中，解直角三角形得到关于x的方程，解方程即可求得． 【详解】解：过E作EF⊥CD于F，作EG⊥AC于G，于H． ∵斜坡DE的坡度，米， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∵， ∴米，设米， ∴米，米， 在中，， ∴，解得（米）， ∴AB的长度约为30米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 13．（2023年四川省达州市中考数学真题）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）    【答案】座板距地面的最大高度为． 【分析】过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，利用和的余弦值求出，，然后利用线段的和差和矩形的性质求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，    由题意可得，四边形和四边形是矩形，∴，， ∵秋千链子的长度为，∴，∵，， ∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴． ∴座板距地面的最大高度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 14．（2023年山东省聊城市中考数学真题）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）． （参考数据：，，，，，）    【答案】明珠大剧院到龙堤的距离为． 【分析】如图，首先证明四边形是矩形，可得，，然后解直角三角形求出，，进而得出关于的方程，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意得，，，，，，，∵，∴四边形是矩形，∴，， ∵，∴，即， ∵，∴，即， ∵，， ∴，解得：，∴， 答：明珠大剧院到龙堤的距离为．    【点睛】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键． 15．（2023·河北沧州·模拟预测）如图1，嘉淇在量角器的圆心处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点．    (1)在图1中，过点画出水平线，并标记观测的仰角．若铅垂线在量角器上的读数为，求的值； (2)如图2，已知嘉淇眼睛离地米，站在处观测的仰角为（1）中的，向前走米到达处，此时观测点的仰角为，求树的高度．（注：，，） 【答案】(1) (2)树的高度为5.25米 【分析】(1)根据互余的性质计算即可． (2) 过点作，垂足为，则米．设米．解直角三角形求解即可． 【详解】（1）如图1；；       （2）如图，过点作，垂足为，则米．设米． 在中，（米），在中，（米）， （米），解得． 答：树的高度为米． 【点睛】本题考查了仰角的解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键． 16．（2023年湖南省长沙市中考数学真题）年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为．    (1)求点离地面的高度； (2)求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 【答案】(1) (2)飞船从处到处的平均速度约为 【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质即可得到结论； （2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：在中，，，，， （2）在中，，，，， 在中，，， ，，， 飞船从处到处的平均速度． 【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． 17.（2023春·湖南株洲·九年级统考期中）小军和小明在同一个班，他们都是数学爱好者，并且住在同一个小区的A栋楼，学完解直角三角形后，他们决定用所学知识来求距离，如图：A、B两栋楼，他们站在自家阳台上测得对面B栋楼的楼顶P点的仰角分别为．已知小军家与小明家阳台垂直距离为30米． （参考数据：）    (1)求A、B两栋楼的楼间距为多少米？（结果精确到米） (2)已知小明家阳台与地面的垂直距离为6米，求对面B栋楼的高度．（结果精确到米） 【答案】(1)A、B两栋楼的楼间距约为米； (2)对面B栋楼的高度约为米． 【分析】（1）过点P作，交的延长线于点E，根据题意得，，根据三角形的外角性质得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）根据题意可得：米，米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点P作，交的延长线于点E，       由题意得：，， ∵是的一个外角，∴， ∴，∴米， 在中，（米）， ∴米，∴A、B两栋楼的楼间距约为米； （2）解：如图：由题意得：米，米，， 在中，，∴（米）， ∴（米），∴对面B栋楼的高度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18．（2023年内蒙古数学真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．    【答案】河流的宽度约为64米 【分析】过点作于点，分别解、即可． 【详解】解：过点作于点．则四边形是矩形．    ∴， ∵∴ 在中，∴，∴∴ 在中，， ∴，∴，∴ ∴米 答：河流的宽度约为64米． 【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键． 19．（2023年湖北省恩施州中考数学真题）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点，处测出点的仰角度数，可以求出信号塔的高．如图，的长为，高为．他在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔的高吗？若能，请求出信号塔的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，，，结果保留整数） 【答案】能求出信号塔的高，信号塔的高为； 【分析】过作，垂足为，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，进而设根据锐角三角函数解答即可． 【详解】解：过作，垂足为， ∵，，∴四边形是矩形，∴，． ∵的长为，高为，∴． ∴在中，()． ∵，，∴．∴． ∴设．∴，．∴． ∵，，∴．∴．∴． 即信号塔的高为． ∴能求出信号塔的高，信号塔的高为． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键． 20．（2023年四川省内江市中考数学真题）某中学依山而建，校门A处有一坡角的斜坡，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处测得C的仰角，的延长线交水平线于点D，求的长（结果保留根号）．    【答案】的长为米 【分析】作于点，首先根据坡度求出，并通过矩形的判定确定出，然后通过解三角形求出，即可相加得出结论． 【详解】解：如图所示，作于点，则由题意，四边形为矩形，    ∵在中，，，， ∴，∵四边形为矩形，∴， 由题意，，，，， ∴为等腰直角三角形，，设，则， 在中，，∴，即：， 解得：，经检验，是上述方程的解，且符合题意， ∴，∴，∴的长为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，准确构造出直角三角形并求解是解题关键． 21．（2023年贵州省中考数学真题）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）      (1)求索道的长（结果精确到）；(2)求水平距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的余玄直接求解即可得到答案； （2）根据、两段长度相等及与水平线夹角为求出C到的距离即可得到答案； 【详解】（1）解：∵两处的水平距离为，索道与的夹角为， ∴； （2）解：∵、两段长度相等，与水平线夹角为， ∴，， ∴；    【点睛】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数． 22．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）    【答案】(1)(2) 【分析】（）在中，已知 ， ，利用角的正切可得出结果（）在中，由正切函数的定义求出的长，最后解，即可求出的长，即古树的高度． 【详解】（1）由题意知，，， （2），，∴， ，，， ，，， 在中，． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角、俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！40 学科网（北京）股份有限公司 $$