第24期 5.1 导数的概念及其意义-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册同步学案（人教A版2019）

书书书 １６．（１５ 分 ） 某 一 运 动 物 体 ，在 ｘ（ 单 位 ：ｓ） 时 离 开 出 发 点 的 距 离 （ 单 位 ：ｍ ） 满 足 ｆ （ｘ） ＝ ２３ ｘ ３ ＋ ｘ ２ ＋ ２ｘ． （１ ） 求 在 第 １ ｓ 内 的 平 均 速 度 ； （ ２ ） 求 在 第 １ ｓ 末 的 瞬 时 速 度 ； （３ ） 经 过 多 少 时 间 该 物 体 的 运 动 速 度 达 到 １４ ｍ ／ｓ？ １７． （１５ 分 ） 路 灯 距 地 面 ８ ｍ ，一 个 身 高 为 １６ ｍ 的 人 以 ８４ ｍ ／ｍ ｉｎ 的 速 度 在 地 面 上 从 路 灯 在 地 面 上 的 射 影 Ｃ 点 处 沿 直 线 匀 速 离 开 路 灯 ． （１ ） 求 身 影 的 长 度 ｙ（ 单 位 ：ｍ ） 与 人 距 Ｃ 点 的 距 离 ｘ（ 单 位 ：ｍ ） 之 间 的 关 系 式 ； （２ ） 求 人 离 开 Ｃ 点 １０ ｓ 内 身 影 长 度 的 平 均 变 化 率 ． １８． （１７ 分 ） 已 知 函 数 ｆ （ｘ） ＝ － ｘ ２ ＋ ｘ 图 象 上 两 点 Ａ （２ ，ｆ （２ ） ） ， Ｂ （２ ＋ Δ ｘ，ｆ （２ ＋ Δ ｘ） ）． （１ ） 若 割 线 ＡＢ 的 斜 率 不 大 于 － １ ，求 Δ ｘ 的 范 围 ； （２ ） 求 ｆ′（２ ） 及 ｆ （ｘ） 在 点 Ａ 处 的 切 线 方 程 ． １９．（１７ 分 ） 求 函 数 ｆ （ｘ） ＝ ｘ ３ － ３ｘ ２ ＋ ｘ 的 图 象 上 过 原 点 的 切 线 方 程 ． !"#$%&'()*+,-./0 ! 12!"#$%&'( !"3$4&'(5*+,-678 ! 92!")$%&'( : ; < = > ? @ A B C D E < F + ! G ! " # $ ! % ! " 书 一、导数定义的理解出错 例 １ 若 ｆ′（ｘ０） ＝－ ３， 则 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） Δｘ 的值为 （　　） （Ａ）－３　　　　　（Ｂ）－６ （Ｃ）－９　　　　　（Ｄ）－１２ 错解：根据导数定义，则有 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） Δｘ ＝ｆ′（ｘ０）＝－３．故选（Ａ）． 错因分析：由导数的定义，只有当Δｘ→ ０时，ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ 才表 示ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处的导数．以上错解中显然 忽视ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） Δｘ 中的系 数问题，从而导致错误． 正解：（Ｄ） 因为ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） Δｘ ＝ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）－［ｆ（ｘ０－３Δｘ）－ｆ（ｘ０）］ Δｘ ＝ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ －（－３）ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０－３Δｘ）－ｆ（ｘ０） －３Δｘ ， 则ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） Δｘ ＝ｆ′（ｘ０）＋３ｆ′（ｘ０）＝－１２．故选（Ｄ）． 点拨：在解题中会灵活运用导数定义的等价形式： （１）ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋ｍΔｘ）－ｆ（ｘ０） ｍΔｘ （ｍ≠０）； （２）ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍｘ→ｘ０ ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０） ｘ－ｘ０ ． 例２ｆ（ｘ）在点ｘ０处的导数为 ｆ′（ｘ０），则ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０－Δｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ ＝ ． 错解：ｆ′（ｘ０）　由导数的定义可知 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０－Δｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ ＝ｆ′（ｘ０）． 错因分析：本题分子中ｘ的增量是－Δｘ，即ｘ０－Δｘ－ｘ０＝－Δｘ，而错解 分母中 ｘ的增量为 Δｘ，两者不是等量的．导数的定义式为 ｆ′（ｘ０）＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ ，利用定义求极限值时要注意形式的对应． 正解：－ｆ′（ｘ０）ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０－Δｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ ＝ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋（－Δｘ））－ｆ（ｘ０） －（－Δｘ） ＝－ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋（－Δｘ））－ｆ（ｘ０） －Δｘ ＝－ｆ′（ｘ０）． 二、不能灵活应用导数的几何意义 例３定义在区间［ａ，ｂ］上的函数ｆ（ｘ），其图象是连续不断的，若ξ ∈［ａ，ｂ］，使得ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）（ｂ－ａ），则称ξ为函数ｆ（ｘ）在区 间［ａ，ｂ］上的“中值点”．则下列函数：①ｆ（ｘ）＝ｘ；② ｆ（ｘ）＝ｘ２；③ｆ（ｘ） ＝ｌｎ（ｘ＋１）；④ｆ（ｘ） (＝ ｘ－１)２ ３ 中，在区间［０，１］上的“中值点”多于 一个的函数是 ． 错解：②③④ 错因分析：错解中不理解“中值点”的概念，无法将其与导数的几何 意义建立联系． 正解：①④ 由ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）＝ｆ′（ξ）（ｂ－ａ）可知ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｂ－ａ ＝ｆ′（ξ），即函 数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上存在点 ξ处的切线的斜率等于（ａ，ｆ（ａ），（ｂ， ｆ（ｂ）））两点连线的斜率．画出各个函数图象观察可知在区间［０，１］上的 “中值点”多于一个的函数是①④；②③两个函数在区间［０，１］上的“中 值点”仅有一个． 书 一、平均变化率 １．函数平均变化率的定义 如果问题中的函数关系用ｙ＝ｆ（ｘ）表示，那么问题中的变化率可用 式子 ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１） ｘ２－ｘ１ 表示，我们把这个式子称为函数ｙ＝ｆ（ｘ）从ｘ１到ｘ２的 平均变化率．习惯上用Δｘ表示ｘ２－ｘ１，即Δｘ＝ｘ２－ｘ１，可把Δｘ看作是相 对于ｘ１的一个“增量”，可用ｘ１＋Δｘ代替ｘ２；类似地，Δｙ＝ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）， 于是平均变化率可以表示为 Δｙ Δｘ ． 说明：（１）Δｘ是自变量ｘ在ｘ１处的改变量，它可以为正，也可以为负， 但不能等于０；而Δｙ是相应函数值的改变量，它可以为正，可以为负，也 可以等于０．特别地，当函数为常数函数时，Δｙ＝０． （２）在平均变化率式子Δｙ Δｘ ＝ ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１） ｘ２－ｘ１ ＝ ｆ（ｘ１＋Δｘ）－ｆ（ｘ１） Δｘ 中，当ｘ１取定值，Δｘ取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当Δｘ 取定值，ｘ１取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的． ２．求函数平均变化率的步骤 （１）确定函数自变量的改变量Δｘ＝ｘ１－ｘ０； （２）求函数的增量Δｙ＝ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ０）； （３）求平均变化率Δｙ Δｘ ＝ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ ． 说明：求函数在某点附近的平均变化率时，可在函数图象上表示出来． 二、导数的概念 １．导数的定义 一般地，函数 ｙ＝ｆ（ｘ）在 ｘ＝ｘ０处的瞬时变化率是ｌｉｍ Δｘ→０ Δｙ Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ ，我们称它为函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处的导数，记 作ｆ′（ｘ０）或ｙ′｜ｘ＝ｘ０，即ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍΔｘ→０ Δｙ Δｘ ＝ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ ． ２．导函数 对于函数ｙ＝ｆ（ｘ），当ｘ＝ｘ０时，ｆ′（ｘ０）是一个确定的数，当ｘ变化 时，ｆ′（ｘ）便是ｘ的一个函数，我们称它为 ｆ（ｘ）的导函数（简称导数）．ｙ ＝ｆ（ｘ）的导函数有时也记作ｙ′，即ｆ′（ｘ）＝ｙ′＝ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ） Δｘ ． 说明：（１）导数与导函数之间既有区别又有联系，一般地，导数是对 一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及 ｘ（或 ｘ０）的位置有 关，而与Δｘ无关；导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依 赖于函数本身． （２）当Δｘ→０时，若ｌｉｍ Δｘ→０ Δｙ Δｘ 存在，则称ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处可导（左右 极限存在并相等）；若ｌｉｍ Δｘ→０ Δｙ Δｘ 不存在，则称ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处不可导． （３）并不是所有的函数都有导数． （４）ｆ′（ｘ）与原函数ｆ（ｘ）的定义域都是区间（ａ，ｂ），此区间一般是一 个开区间，这是因为区间的端点不一定都有Δｘ． ３．求函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处导数的基本方法 （１）定义法 Ｓ１求函数值的变化量Δｙ＝ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）； Ｓ２求平均变化率 Δｙ Δｘ ＝ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ ； Ｓ３取极限得导数ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍ Δｘ→０ Δｙ Δｘ ． 待对以上步骤熟练之后，这些步骤可一并写出，即ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍ Δｘ→０ Δｙ Δｘ ＝ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ ． 上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限． （下转第２版） !"#$%&'()*+ #$"%&"'!(')* !",-%&'()*+ +,"%&"'!%!"# !"#$ %& - ./012345 3 63 !!!"7 #$%&8 '%9 %(:;<7= 3 7 !" HIJKL$MN HIJL8OPQRSTUMV 3WXYZ[\9 Y]^_`a bcdefg\9hi^"#$%&'()(*j+k lmnio,$-,./ ! p q r ` s !HI tuv !"!# wxyo "#$ %&$'($)* %$+,-./0 12345$678 9:#;<=>? 2@A$BCD-E FGHIJKLM NOPQRS2T UVWXYZ[\] ^V_`Ha2bc defVghijk 2lm]n.GV-o ,pq/rVst9 ,uvqw. xxyz{|}~f €‚ '$ ƒ„I…- †‡ˆ$‰ŠI‹Œ &Ž. xx‘n ,$ ’“GI” g-•–K/B—˜ ™’š›"#œ 2žŸ.  ¡ 0$¢3£V¤s -¥V ¦§¨©V¦ §/rVªš«†g ¬­®”`2¯°. ±² "$+’³´µ¶ 2·¸V¹§º»¶ 2€@. ¼½¾ )$-,¿šQÀ ÁÂÃÄÅÆVsÇ ÂÃÈÉ©2· ÊVËÌ%*$2Ha+ §ÍÎÏÐ .Ñ ÒÓÔ{ÕIւ !$׌1ØVÙ ™Ú*. ÛÜÝ *$ Þßà’º ƒVáà’âƒVã- äåæVá-`ç èéV ã+’êO. xxëìíî 书 一、单项选择题　１～４　ＣＢＣＢ　５～８　ＡＤＢＡ 二、多项选择题　９．ＡＢＣ；　１０．ＡＤ；　１１．ＡＢＤ． 三、填空题 １２．（ｘ＋１）２＋（ｙ＋３）２ ＝１；　１３．槡６１４；　１４．４． 四、解答题 １５．（１）ｘ＋ｙ－１＝０．　（２）（５，６）． １６．（１）ｐ＝１，ｑ＝２， ａｎ ＝－ｎ＋３． （２）ｂｎ ＝２ｎ＋１＋３． １７．（１）证明略．　（２）６０°． １８．（１）ａ２ ＝槡２，ａ３ ＝２ ３ ４． （２）证明：若λ＝３，则ａ２ｎ＋１－２ａｎ ＝３． 因为ａ２ｎ＋１－９＝２（ａｎ－３）， 即（ａｎ＋１－３）（ａｎ＋１＋３）＝２（ａｎ－３）． 一方面，ａｎ＋１－３与ａｎ－３显然同号． 因为ａ１－３＜０，所以ａｎ－３＜０， 即ａｎ ＜３． 另一方面， ３－ａｎ＋１ ３－ａｎ ＝ ２ａｎ＋１＋３ ． 由ａ２ｎ＋１ ＝２ａｎ＋３＞３， 得ａｎ＋１ ＞槡３＞１， 所以 ３－ａｎ＋１ ３－ａｎ ＜ ２４ ＝ １ ２， 所以３－ａｎ＜（３－ａｎ－１）× １ ２ ＜… ＜（３－ａ１） (× )１２ ｎ－１ (＝ )１２ ｎ－２ （ｎ≥２），所以ａｎ ＞３ (－ )１２ ｎ－２ （ｎ≥２）， 又因为ａ１ ＝１，所以ａｎ≥３ (－ )１２ ｎ－２ ． 综上可得３ (－ )１２ ｎ－２ ≤ａｎ ＜３． １９．解：（１）以ＦＥ所在的直线为ｘ轴，ＦＥ的中点Ｏ为原点建立 平面直角坐标系，设Ｍ（ｘ，ｙ）为椭圆上一点，由题意可知 ｜ＭＦ｜＋ ｜ＭＥ｜＝｜ＡＥ｜＝４＞｜ＥＦ｜＝ 槡２３，所以点Ｍ的轨迹是以Ｆ，Ｅ为 焦点，长轴长２ａ＝４的椭圆，因为２ｃ＝ 槡２３，２ａ＝４，所以ｃ＝槡３， ａ＝２，则ｂ２＝ａ２－ｃ２＝１，所以椭圆Ｃ的方程为ｘ ２ ４ ＋ｙ ２＝１． （２）由（１）知Ｄ（０，－１）， 所以直线ｌ１：ｙ＝ｋｘ－１（ｋ≠０），ｌ２：ｙ＝－ １ ｋｘ－１， 设Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２）， 联立 ｘ２ ４ ＋ｙ ２ ＝１， ｙ＝ｋｘ－１ { ， 整理得（１＋４ｋ２）ｘ２－８ｋｘ＝０， 所以ｘ１ ＝ ８ｋ １＋４ｋ２ ，所以ｙ１ ＝ ８ｋ２ １＋４ｋ２ －１， 所以｜ＤＭ｜＝ ｘ２１＋（ｙ１＋１）槡 ２ ＝８｜ｋ｜ １＋４ｋ２ １＋ｋ槡 ２． 联立 ｘ２ ４ ＋ｙ ２ ＝１， ｙ＝－１ｋｘ－１ { ， 整理得（４＋ｋ２）ｘ２＋８ｋｘ＝０， 所以ｘ２ ＝ －８ｋ ｋ２＋４ ，所以ｙ２ ＝ ８ ｋ２＋４ －１， 所以｜ＤＮ｜＝ ｘ２２＋（ｙ２＋１）槡 ２ ＝ ８ ４＋ｋ２ １＋ｋ槡 ２， 所以Ｓ△ＤＭＮ ＝ １ ２｜ＤＭ｜·｜ＤＮ｜＝ １ ２ × ８｜ｋ｜ １＋４ｋ２ １＋ｋ槡 ２ × ８ ４＋ｋ２ １＋ｋ槡 ２ ＝ ３２｜ｋ｜（１＋ｋ２） （１＋４ｋ２）（４＋ｋ２） ， 由 Ｓ ｜ｋ｜＞ １６ ９得 ３２（１＋ｋ２） （１＋４ｋ２）（４＋ｋ２） ＞１６９， 整理得４ｋ４－ｋ２－１４＜０，得 －７４ ＜ｋ ２ ＜２， 又ｋ２ ＞０，所以０＜ｋ２ ＜２， 所以 －槡２＜ｋ＜０或０＜ｋ＜槡２， 所以ｋ的取值范围为（－槡２，０）∪（０，槡２）． 书 专项小练一、变化率 ◎ 数理报社试题研究中心 １．设地铁在某段时间内进行调试，由始点起 经过ｔ秒后的距离为ｓ（ｔ）＝１４ｔ ４－４ｔ３＋１６ｔ２（单位： 米），则列车运行１０秒的平均速度为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ａ）１０米 ／秒 （Ｂ）８米 ／秒 （Ｃ）４米 ／秒 （Ｄ）０米 ／秒 ２．如果说某物体做直线运动的时间与距离满 足ｓ（ｔ）＝２（１－ｔ）２，则其在ｔ＝０５时的瞬时速度 为 （　　） （Ａ）４ （Ｂ）－４ （Ｃ）４．８ （Ｄ）－２ ３．（多选）下列函数在区间［１，１．３］上的平均 变化率是正数的有 （　　） （Ａ）ｙ＝ｘ （Ｂ）ｙ＝ｘ２ （Ｃ）ｙ＝ｘ３ （Ｄ）ｙ＝１ｘ ４．曲线ｙ＝ｘ３－３ｘ在点（２，２）处的切线斜率 是 ． ５．已知函数 ｆ（ｘ）＝ｌｎ（ｘ＋１），则 ｆ（１）， ｆ（２） ２ ， ｆ（３） ３ 的大小关系为 ． ６．某赛车比赛中，一赛车的位移 ｓ（单位：ｍ） 与比赛时间ｔ（单位：ｓ）存在函数关系ｓ＝１０ｔ＋５ｔ２． （１）当ｔ＝２０，Δｔ＝０１时，求Δｓ与ΔｓΔｔ 的值； （２）求当ｔ＝２０时的瞬时速度． 专项小练二、导数的概念及其几何意义 ◎ 数理报社试题研究中心 １．设ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（２＋Δｘ）－ｆ（２－Δｘ） Δｘ ＝－２，则曲 线ｙ＝ｆ（ｘ）在点（２，ｆ（２））处的切线的斜率是 （　　） （Ａ）－１ （Ｂ）－４ （Ｃ）１ （Ｄ）４ ２．已知函数ｙ＝ｆ（ｘ）的图象是下列四个图象 之一，且其导函数 ｙ＝ｆ′（ｘ）的图象如图所示，则 该函数的图象是 （　　） ３．（多选）下列各点中，在曲线ｙ＝ｘ３－２ｘ上， 且在该点处的切线倾斜角为 π ４的是 （　　 ） （Ａ）（０，０） （Ｂ）（１，－１） （Ｃ）（－１，１） （Ｄ）（１，１） ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ在［０，ｍ］上的平 均变化率是函数ｇ（ｘ）＝２ｘ＋１在［１，４］上的平均 变化率的３倍，则ｍ＝ ． ５．曲线ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ２＋１过点Ｐ（１，０）的切 线方程是 ． ６．设曲线１ｘ在点 Ｐ（１，１）处的切线与 ｘ轴、ｙ 轴分别交于Ａ，Ｂ两点，Ｏ为坐标原点，求△ＯＡＢ的 面积． 书 （上接第１版） （２）导函数的函数值法 Ｓ１求函数ｆ（ｘ）在开区间（ａ，ｂ）内的导函数 ｆ′（ｘ）； Ｓ２将ｘ０∈（ａ，ｂ）代入导函数ｆ′（ｘ）得到函 数值ｆ′（ｘ０），ｆ′（ｘ０）即为函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０ 处的导数． ４．分段函数的求导 对分段表示的非初等函数，在判断函数在区 间的分界点处是否可导时，都应该从定义出发求 其导数．当分界点的两侧函数的对应法则用不同 式子表示时，应分别求函数在该点处的左右导 数，看其是否存在且相等，从而决定在该点处函 数是否可导． 三、导数的意义 １．导数的几何意义 函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处的导数，就是曲线 ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处的切线的斜率， 即ｋ＝ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０） Δｘ ． （１）求曲线在某点处的切线方程的步骤： （２）求曲线过某点的切线方程 设曲线的方程为 ｙ＝ｆ（ｘ），则过某一点 Ｍ（ｘ１，ｙ１）（非切点）的切线方程的求法． ２．导数的物理意义 如果物体的运动方程是ｓ＝ｓ（ｔ），那么函数ｓ ＝ｓ（ｔ）在ｔ＝ｔ０处的导数，就是物体在ｔ＝ｔ０时的 瞬时速度ｖ（ｔ０），即ｖ（ｔ０）＝ｓ′（ｔ０）． 说明：如果物体运动时的速度方程是 ｖ＝ ｖ（ｔ），那么函数ｖ＝ｖ（ｔ）在ｔ＝ｔ０处的导数，就是该 物体在ｔ＝ｔ０时的加速度ａ（ｔ０），即ａ（ｔ０）＝ｖ′（ｔ０）． ! !"#$% ./0 !"#$%&'! * ("'! * ))*+$,-. " !'! * )/ 123 0&-1 #$"'! * )"" !'! * )'!$! * )2"+$34/ 456 5&-167891% ! + ! ! ! " 789:; <23; =23; !+$; ! + ! ! ! " ! # :+&7 #;! * <# * )&= # * '"'! * )<>?@ ! * '! + A<BC$ !'! + <DEFGHI/ " !;! * J" # + $# * ! + $! * / KLMN34<OPQ ! * ,8R34< !O ! * / ST " !U! * )< V0&-1O+$34< WX>?YZ[DE\MC$ !'! + , >?@,-ABCD #'" !;!) ! + (-+ # ! -+ + ( # ! -+ + ( # ! -+ + ( # ! -+ + ( # ;.) ;/) ;0) ;1) 书书书 导 数 的 概 念 及 其 意 义 同 步 核 心 素 养 测 评 ◎ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 第 Ⅰ 卷 选 择 题 （ 共 ５８ 分 ） 一 、 单 项 选 择 题 ： 本 大 题 共 ８ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 ４０ 分 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． 某 水 库 储 水 量 与 水 深 的 关 系 如 下 表 所 示 ： 水 深 （ ｍ ） ０ ５ １０ １５ ２０ ２５ ３０ ３５ 储 水 量 （ １０ ４ ｍ ３ ） ０ １０ ３０ ９０ １６ ０ ２７ ５ ４３ ５ ６５ ０ 在 ３５ ｍ 范 围 内 ，当 水 深 每 增 加 ５ ｍ 时 ，水 库 储 水 量 的 平 均 变 化 率 （ 　 　 ） （ Ａ ） 不 变 （ Ｂ） 越 来 越 小 （ Ｃ） 越 来 越 大 （ Ｄ ） 不 能 确 定 ２． 已 知 函 数 ｆ（ ｘ） 在 ｘ ＝ ｘ ０ 处 可 导 ， 若 ｌｉｍ Δｘ → ０ ｆ（ ｘ ０ ＋ Δ ｘ） － ｆ（ ｘ ０ － ３ Δ ｘ） Δ ｘ ＝ ２， 则 ｆ′ （ ｘ ０ ） ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） １ （ Ｂ） １ ２ （ Ｃ） ２ （ Ｄ ） ８ ３． 一 质 点 做 直 线 运 动 ，其 位 移 ｓ与 时 间 ｔ的 关 系 为 ｓ ＝ ｔ２ ＋ ２ｔ ，设 其 在 ｔ ∈ ［ ２， ３］ 内 的 平 均 速 度 为 ｖ １ ，在 ｔ ＝ ３ 时 的 瞬 时 速 度 为 ｖ ２ ，则 ｖ １ ｖ ２ ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） ７ ６ （ Ｂ） ７ ８ （ Ｃ） ６ ７ （ Ｄ ） ８ ７ ４． 汽 车 行 驶 的 路 程 ｓ和 时 间 ｔ之 间 的 函 数 图 象 如 图 １， 在 时 间 段 ［ ｔ ０ ，ｔ １ ］ ，［ ｔ １ ，ｔ ２ ］ ，［ ｔ ２ ，ｔ ３ ］ 上 的 平 均 速 度 分 别 为 ｖ １ ，ｖ ２ ，ｖ ３ ，则 三 者 的 大 小 关 系 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｖ １ ＜ ｖ ２ ＜ ｖ ３ （ Ｂ） ｖ １ ＜ ｖ ３ ＜ ｖ ２ （ Ｃ） ｖ ３ ＜ ｖ ２ ＜ ｖ １ （ Ｄ ） ｖ ２ ＜ ｖ ３ ＜ ｖ １ ５． 为 响 应 国 家 节 能 减 排 号 召 ， 甲 、 乙 两 个 工 厂 进 行 了 污 水 排 放 治 理 ， 已 知 某 月 内 两 厂 污 水 的 排 放 量 Ｗ 与 时 间 ｔ的 关 系 图 如 图 ２ 所 示 （ ｔ ０ 为 月 末 时 间 ） ．则 该 月 内 ： ① 甲 厂 污 水 排 放 量 逐 渐 减 少 ； ② 乙 厂 的 污 水 排 放 量 比 甲 厂 减 少 得 更 多 ； ③ 乙 厂 总 比 甲 厂 的 污 水 排 放 量 减 少 得 更 快 ．其 中 正 确 说 法 的 序 号 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ① ② （ Ｂ） ① ③ （ Ｃ） ② ③ （ Ｄ ） ① ② ③ ６． 函 数 ｙ ＝ ｆ（ ｘ） ＝ ａｘ ２ ＋ ｂ 在 点 （ １， ３） 处 的 切 线 斜 率 为 ２， 则 ｂ ａ 的 值 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） １ （ Ｂ） ２ （ Ｃ） ３ （ Ｄ ） １ ２ ７． 定 义 １· ２· ３· … ｎ ＝ ｎ！ ， 已 知 函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ（ ｘ － １） （ ｘ － ２） … （ ｘ － ２ ０２ ５） 在 （ － １， ＋ ∞ ） 内 的 导 函 数 为 ｆ′ （ ｘ） ，ｆ ′（ ２ ０２ ４） 的 值 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） ２ ０２ ４！ （ Ｂ） － ２ ０２ ４！ （ Ｃ） ２ ０２ ５！ （ Ｄ ） － ２ ０２ ５！ ８． 如 图 ３ 是 函 数 ｆ（ ｘ） 的 部 分 图 象 ，记 ｆ（ ｘ） 的 导 数 为 ｆ′ （ ｘ） ，则 下 列 选 项 中 值 最 大 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｆ（ ３） （ Ｂ） ３ｆ ′（ ３） （ Ｃ） ｆ（ － １４ ） （ Ｄ ） ｆ′ （ ８） 二 、 多 项 选 择 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ６ 分 ， 共 １８ 分 ． ９． 设 ｆ（ ｘ） 在 ｘ ０ 处 可 导 ，下 列 式 子 中 与 ｆ′ （ ｘ ０ ） 相 等 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｌｉｍ Δｘ → ０ ｆ（ ｘ ０ ） － ｆ（ ｘ ０ － ２ Δ ｘ） ２ Δ ｘ （ Ｂ） ｌｉｍ Δｘ → ０ ｆ（ ｘ ０ ＋ Δ ｘ） － ｆ（ ｘ ０ － Δ ｘ） Δ ｘ （ Ｃ） ｌｉｍ Δｘ → ０ ｆ（ ｘ ０ ＋ ２ Δ ｘ） － ｆ（ ｘ ０ ＋ Δ ｘ） Δ ｘ （ Ｄ ） ｌｉｍ Δｘ → ０ ｆ（ ｘ ０ ＋ Δ ｘ） － ｆ（ ｘ ０ － ２ Δ ｘ） Δ ｘ １０ ．已 知 某 物 体 的 运 动 方 程 为 ｓ（ ｔ） ＝ ７ｔ ２ ＋ ８（ ０ ≤ ｔ ≤ ５） ， 则 （ 　 　 ） （ Ａ ） 该 物 体 当 １ ≤ ｔ ≤ ３ 时 的 平 均 速 度 是 ２８ （ Ｂ） 该 物 体 在 ｔ ＝ ４ 时 的 瞬 时 速 度 是 ５６ （ Ｃ） 该 物 体 位 移 的 最 大 值 为 ４３ （ Ｄ ） 该 物 体 在 ｔ ＝ ５ 时 的 瞬 时 速 度 是 ７０ １１ ．为 了 评 估 某 种 治 疗 肺 炎 药 物 的 疗 效 ，有 关 部 门 对 该 药 物 在 人 体 血 管 中 的 药 物 浓 度 进 行 测 量 ．设 该 药 物 在 人 体 血 管 中 药 物 浓 度 ｃ与 时 间 ｔ的 关 系 为 ｃ ＝ ｆ（ ｔ） ，甲 、 乙 两 人 服 用 该 药 物 后 ，血 管 中 药 物 浓 度 随 时 间 ｔ变 化 的 关 系 如 图 ４ 所 示 ．下 列 四 个 结 论 中 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） 在 ｔ １ 时 刻 ，甲 、乙 两 人 血 管 中 的 药 物 浓 度 相 同 （ Ｂ） 在 ｔ ２ 时 刻 ，甲 、乙 两 人 血 管 中 药 物 浓 度 的 瞬 时 变 化 率 不 同 （ Ｃ） 在 ［ ｔ ２ ，ｔ ３ ］ 这 个 时 间 段 内 ， 甲 、 乙 两 人 血 管 中 药 物 浓 度 的 平 均 变 化 率 相 同 （ Ｄ ） 在 ［ ｔ １ ，ｔ ２ ］ ，［ ｔ ２ ，ｔ ３ ］ 两 个 时 间 段 内 ， 甲 血 管 中 药 物 浓 度 的 平 均 变 化 率 相 同 第 Ⅱ 卷 非 选 择 题 （ 共 ９２ 分 ） 三 、 填 空 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 １５ 分 ． １２ ．函 数 ｆ（ ｘ） ＝ ｘ３ － ｌｎ ｘ 在 区 间 ［ １， ｅ］ 上 的 平 均 变 化 率 是 ． １３ ．若 ｆ（ ｘ） 满 足 ｌｉｍ ｈ → ０ ｆ（ ２） － ｆ（ ２ ＋ ｈ） ｈ ＝ １， 则 曲 线 ｙ ＝ ｆ（ ｘ） 在 点 （ ２， ｆ（ ２） ） 处 切 线 的 倾 斜 角 为 ． １４ ．定 义 ：设 二 元 函 数 ｚ ＝ ｆ（ ｘ ， ｙ） 在 点 （ ｘ ０ ，ｙ ０ ） 的 附 近 有 定 义 ， 当 ｙ固 定 在 ｙ ０ 而 ｘ在 ｘ ０ 处 有 改 变 量 Δ ｘ时 ，相 应 的 二 元 函 数 ｚ ＝ ｆ（ ｘ， ｙ） 有 改 变 量 Δ ｚ ＝ ｆ（ ｘ ０ ＋ Δ ｘ， ｙ ０ ） － ｆ（ ｘ ０ ，ｙ ０ ） ，如 果 ｌｉｍ Δｘ → ０ Δ ｚ Δ ｘ存 在 ，那 么 称 此 极 限 为 二 元 函 数 ｚ ＝ ｆ（ ｘ， ｙ） 在 点 （ ｘ ０ ，ｙ ０ ） 处 对 ｘ的 偏 导 数 ，记 作 ｆ ｘ（ ｘ ０ ， ｙ ０ ） ．若 ｚ ＝ ｆ（ ｘ， ｙ） 在 区 域 Ｄ 内 每 一 个 点 （ ｘ， ｙ） 对 ｘ 的 偏 导 数 都 存 在 ，那 么 这 个 偏 导 数 就 是 一 个 关 于 ｘ， ｙ 的 二 元 函 数 ，它 就 被 称 为 二 元 函 数 ｚ ＝ ｆ（ ｘ， ｙ） 对 自 变 量 ｘ 的 偏 导 函 数 ， 记 作 ｆ ｘ（ ｘ， ｙ） ．已 知 Ｆ（ ｘ， ｙ） ＝ ｘ２ ＋ ｙ２ － ｘｙ ，若 Ｆ（ ｘ， ｙ） ＝ １， 则 Ｆ ｘ （ ｘ， ｙ） ＋ ｆ ｙ（ ｘ， ｙ） 的 取 值 集 合 为 ． 四 、 解 答 题 ： 本 题 共 ５ 小 题 ， 共 ７７ 分 ． １５ ．（ １３ 分 ） 如 果 一 个 质 点 由 定 点 Ａ 开 始 运 动 ， 其 位 移 ｙ 关 于 时 间 ｔ的 函 数 为 ｙ ＝ ｆ（ ｔ） ＝ ｔ３ ＋ ３． （ １） 当 ｔ １ ＝ ４， Δ ｔ ＝ ０ ０１ 时 ，求 Δ ｙ 和 Δ ｙ Δ ｔ； （ ２） 求 函 数 ｙ ＝ ｆ（ ｔ） 在 ｔ １ ＝ ４ 处 的 导 数 ． E F G H I J K L M N O P Q R S T ! U V ! " # $ % & ' ( E F G H I J K L W N O P Q R S T ! U V ! " ) $ % & ' ( ) ) * ] ^ * ( ! ' ) + ) ' ) ) ) + , - . ) * ( ! + ! ) 2 - 2 - + ( ( # ! 3 ) U 4 J ) + ) 5 ) ) / U 6 7 8 6 9 J ] ^ ( ! : "# !XYZ[ZU , !\`abU !cde*f;*3;+-;5<+5;= !ghij;klmnopqrstuv 5*5 wxy`hz{ +5 |G}h~cde !€c';*3***= !pe‚Yƒ„;*3;+$;5<+5=> +;;3==3=22<>…†‡wˆ !‚‰;Š‹XYpejŒŽ‘’>“ˆ !€‚‰ƒ„;+++2; !”•–—‚˜™‚š›‚ ! g h œ Ž   mpˆž TŸ   ¡ h ! g h ¢ £ ¤ ¥ 2 ¦ § ¨ © ª « ¬ ­® ¯ p P ° s ± ² ³ ´ µ ¶ · ¸ ++ wD¹ ¨ º » ª ¨ ¼ ½ ¾ ¿ À º Š ‹ X Y p  e j Œ Á  书 第２２期３，４版 数列核心素养综合测评 一、单项选择题 １～４　ＤＢＢＣ　　５～８　ＣＡＤＣ 提示： １．因为根据数列１，槡３，槡５，槡７，３，…， 所以ａｎ ＝ ２ｎ－槡 １（ｎ∈Ｎ＋）， 又 槡３３＝槡２７， 所以 ２ｎ－槡 １＝槡２７，解得ｎ＝１４． ２．ａ３ ＝ ａ３ ａ２ × ａ２ ａ１ ×ａ１ ＝ ３２ ２２ ×２ ２ １２ ×ａ１ ＝９ａ１ ＝３． ３．设九只茶壶按容积从小到大依次记为ａ１，ａ２，…，ａ９， 由题意可得ａ１＋ａ２＋ａ３ ＝０．５，ａ７＋ａ８＋ａ９ ＝２．５， 所以３ａ２ ＝０．５，３ａ８ ＝２．５ａ２＋ａ８ ＝１， 所以ａ５ ＝ ａ２＋ａ８ ２ ＝０５． ４．设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ（ｄ≠０）， 由题意知ａ２４ ＝ａ２ａ８，ａ４ ＝４， 所以（４－２ｄ）（４＋４ｄ）＝１６， 解得ｄ＝１或ｄ＝０（舍去），所以ａ１ ＝１， 所以Ｓ１０ ＝１０×１＋ １０×９ ２ ×１＝５５． ５．ａ２ ＝ａ１ａ３ａ１ｑ＝１ａ１ ＝ １ ｑ， Ｓ３＋Ｔ３ ＝１２２ｑ＋３＋ ４ ｑ ＝１２， 则２ｑ２－９ｑ＋４＝（２ｑ－１）（ｑ－４）＝０ ｑ１ ＝ １ ２，ｑ２ ＝４， 由于｛ａｎ｝为递增数列，则ｑ＝４，ａ１ ＝ １ ４， 所以｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝４ ｎ－２， 所以Ｓｎ ＝ １ ４（１－４ ｎ） １－４ ＝ １ １２（４ ｎ－１）． ６．根据题意得ａ２ｎ＋１－ａ ２ ｎ ＝２（ｎ≥１，ｎ∈Ｎ＋）， 故｛ａ２ｎ｝是公差为２的等差数列， 所以ａ２ｎ ＝ａ ２ ９＋２（ｎ－９）＝２ｎ， 又｛ａｎ｝各项为正，则ａｎ ＝ ２槡ｎ， 所以 ２ ａｎ＋ａｎ＋１ ＝ ２ ２ｎ＋槡 ２＋ ２槡ｎ ＝ ２（ ２ｎ＋槡 ２－ ２槡ｎ） （ ２ｎ＋槡 ２＋ ２槡ｎ）（ ２ｎ＋槡 ２－ ２槡ｎ） ＝ ２ｎ＋槡 ２－ ２槡ｎ， {故数列 ２ａｎ＋ａｎ＋ }１ 的前２４项和为（槡４－槡２）＋（槡６ －槡４）＋… ＋（槡５０－槡４８）＝槡５０－槡２＝ 槡４２． ７．设数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 由已知得 ａ１＋ｄ＝－７， ２ａ１ ＝５ａ１＋ ５×４ ２ ｄ { ，解得 ａ１ ＝－１０，ｄ＝３{ ， 则Ｓｎ ＝－１０ｎ＋ ｎ（ｎ－１） ２ ×３＝ ３ｎ２－２３ｎ ２ ． 因为ｆ（ｘ）＝１２（３ｘ ２－２３ｘ）的零点为ｘ＝０，ｘ＝２３３， 所以｜ｆ（ｘ）｜（ｘ∈Ｎ＋）的最小值是靠近零点处的函 数值． 又｜Ｓ１｜＝１０，｜Ｓ７｜＝７，｜Ｓ８｜＝４， 所以ｎ＝８时，｜Ｓｎ｜最小． ８．设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ，ｑ＞０，且ａｎ ＞０． 由题意得 ａ１（１＋ｑ ２）＝２０， ａ３（１＋ｑ ２）＝５{ ，两式相除得ｑ２ ＝ １４， 所以ｑ＝ １２，所以ａ１ ＝１６，故ａｎ ＝２ ５－ｎ． 显然当ｎ≤５时，ａ１ａ２…ａｎ ＜１不成立， 所 以 ｎ ＞ ５ 且 ｎ ∈ Ｎ＋， 则 ａ１ａ２…ａｎ ＝ ２４＋３＋２＋１＋０＋（－１）＋（－２）＋…＋（５－ｎ） ＝２ ｎ（９－ｎ） ２ ＜１， 即 ｎ（９－ｎ） ２ ＜０，则ｎ＞９， 故正整数ｎ的最小值为１０． 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＣ． 提示： ９．根据题意，等比数列｛ａｎ｝的首项为３，公比为ｑ，（ｑ ∈Ｚ）， 若２４３是该数列中的一项，设２４３是该数列的第ｎ项， 则ａ１ｑ ｎ－１ ＝２４３，变形可得ｑｎ－１ ＝８１， 又由ｑ∈Ｚ，当ｎ＝２时，ｑ＝８１， 当ｎ＝３时，ｑ＝±９，当ｎ＝５时，ｑ＝±３． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．｛ａｎ｝的前若干项依次为１，２，１，１，０，１，１，０，１，１， ０，．．．， 所以ａ５ ＝０，故（Ａ）正确； 由ａ１ ＝１＞０，ａｎ≥０，可得Ｓｎ ＞０，故（Ｂ）错误； 由ａ５ ＝０，可得Ｓ４ ＝Ｓ５，故（Ｃ）正确； Ｓ３２ ＝１＋２＋１０×（１＋１＋０）＝２３，故（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １１．设等差数列的公差为ｄ，因为ａ１＋３ａ５ ＝Ｓ７， 所以ａ１＋３（ａ１＋４ｄ）＝７ａ１＋２１ｄ， 解得ａ１ ＝－３ｄ． 又ａｎ ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ＝（ｎ－４）ｄ， 所以ａ４ ＝０，所以（Ａ）正确； 因为公差ｄ的正负不能确定，所以Ｓ３可能为最大值， 也可能为最小值，故（Ｂ）不正确； 因为Ｓ６－Ｓ１ ＝ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＋ａ６ ＝５ａ４ ＝０， 所以Ｓ６ ＝Ｓ１，所以（Ｃ）正确； 因为ａ３＋ａ５ ＝２ａ４ ＝０，所以ａ３ ＝－ａ５， 即｜ａ３｜＝｜ａ５｜，所以（Ｄ）错误． 故选（Ａ）（Ｃ）． 三、填空题 １２．ａｎ ＝ ０， ２ｎ－１{ ， ｎ＝１， ｎ≥２； 　１３．３ｎ－１；　１４．５６． 提示： １２．由Ｓｎ＋１ ＝ｎ ２－１＋ａｎ＋１得 ｎ≥２时，Ｓｎ ＝（ｎ－１） ２－１＋ａｎ， 两式相减得ａｎ ＝ｎ ２－（ｎ－１）２ ＝２ｎ－１（ｎ≥２）， 当ｎ＝１时，Ｓ２ ＝１ ２－１＋ａ２ ＝ａ１＋ａ２ａ１ ＝０， 故ａｎ ＝ ０， ２ｎ－１{ ， ｎ＝１， ｎ≥２． １３．“追梦数列”｛ａｎ｝满足 １ ａｎ＋１ －３ａｎ ＝０（ｎ∈Ｎ＋）， 即ａｎ ＝３ａｎ＋１，则数列｛ａｎ｝是公比为 １ ３的等比数列． {若数列 １ｂｎ＋ }１ 为“追梦数列”， 则 １ ｂｎ＋１ ＝ １ｂ１＋１ (× )１３ ｎ－１ ＝ １ ３ｎ ， 则ｂｎ＋１＝３ ｎ，则ｂｎ ＝３ ｎ－１． １４．当ｎ＝１时，ａ１ ＝ ２ ３， 当ｎ≥２时，由ａ１＋３ａ２＋９ａ３＋… ＋３ ｎ－１ａｎ ＝ ｎ＋１ ３ 可得ａ１＋３ａ２＋９ａ３＋… ＋３ ｎ－２ａｎ－１ ＝ ｎ ３， 两式相减，可得３ｎ－１ａｎ ＝ ｎ＋１ ３ － ｎ ３ ＝ １ ３， 解得ａｎ ＝ １ ３ｎ ． 因为当ｎ＝１时，ａ１ ＝ ２ ３不满足上式． 所以ａｎ ＝ ２ ３， １ ３ｎ { ， ｎ＝１， ｎ≥２， 则当ｎ＝１时，Ｓ１ ＝ａ１ ＝ ２ ３， 当ｎ≥２时，Ｓｎ ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋… ＋ａｎ ＝ ２３＋ １ ３２ ＋１ ３３ ＋… ＋１ ３ｎ ＝ ２３＋ １ ３２ － １ ３ｎ＋１ １－１３ ＝ ５６－ １ ２·３ｎ ， 因为当ｎ＝１时，Ｓ１ ＝ ２ ３也满足上式， 所以Ｓｎ ＝ ５ ６－ １ ２·３ｎ ，ｎ∈Ｎ＋． 因为Ｓｎ ＝ ５ ６－ １ ２·３ｎ ＜ ５６， 且Ｓｎ ＜ｋ对任意ｎ∈Ｎ＋恒成立， 所以ｋ≥ ５６，即实数ｋ的最小值为 ５ ６． 四、解答题 １５．解：（１）设｛ａｎ｝的公差为ｄ． 由Ｓ９ ＝－ａ５得ａ５ ＝ａ１＋４ｄ＝０． 由ａ３ ＝４得ａ１＋２ｄ＝４．于是ａ１ ＝８，ｄ＝－２． 因此｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝１０－２ｎ． （２）由（１）得ａ１ ＝－４ｄ， 故ａｎ ＝（ｎ－５）ｄ，Ｓｎ ＝ ｎ（ｎ－９）ｄ ２ ． 由ａ１ ＞０知ｄ＜０， 故Ｓｎ≥ａｎ等价于ｎ ２－１１ｎ＋１０≤０， 解得１≤ｎ≤１０． 所以ｎ的取值范围是｛ｎ｜１≤ｎ≤１０，ｎ∈Ｎ｝． １６．（１）证明：由ａ１ ＝１，ａｎ ＝３ａｎ－１＋４（ｎ≥２） 可得ａｎ＋２＝３ａｎ－１＋６＝３（ａｎ－１＋２），ａ１＋２＝３．， 即数列｛ａｎ＋２｝是首项和公比均为３的等比数列， 则ａｎ＋２＝３ ｎ，即ａｎ ＝３ ｎ－２． （２）解：数列ｃｎ＝ ３ｂｎ ａｎ·ａｎ＋１ ＝ ａｎ＋２ ａｎ·ａｎ＋１ ＝ ３ ｎ （３ｎ－２）（３ｎ＋１－２） ， 则 ｃｎ＋１ ｃｎ ＝ ３ ｎ＋１ （３ｎ＋１－２）（３ｎ＋２－２） · （３ｎ－２）（３ｎ＋１－２） ３ｎ ＝３ ｎ＋１－６ ３ｎ＋２－２ ＜１， 所以｛ｃｎ｝为递减数列，可得ｃｎ≤ｃ１ ＝ ３ ７． 若任意正整数ｎ，不等式ｃｎ≤２λ－１恒成立， 则２λ－１≥ ３７，即有λ≥ ５ ７， 即λ [的取值范围是 ５７，＋ )∞ ． １７．解：（１）当ｎ＝１时，２ａ１ ＝３ａ１－４，即ａ１ ＝４， 所以ａ１＋２＝６， 由２Ｓｎ ＝３ａｎ－４ｎ， ① 当ｎ≥２时，２Ｓｎ－１ ＝３ａｎ－１－４（ｎ－１）， ② ① －②得２ａｎ ＝３ａｎ－３ａｎ－１－４，即ａｎ ＝３ａｎ－１＋４， 所以ａｎ＋２＝３（ａｎ－１＋２）， 所以当λ＝２时，｛ａｎ＋λ｝是等比数列，首项为６，公 比为３． （２）由（１）得ａｎ＋２＝６×３ ｎ－１ ＝２×３ｎ， 所以ｂｎ ＝ ｎ（ａｎ＋２） ２ ＝ｎ×３ ｎ， 所以Ｔｎ ＝１×３＋２×３ ２＋３×３３＋… ＋ｎ×３ｎ， ３Ｔｎ ＝１×３ ２＋２×３３＋… ＋（ｎ－１）×３ｎ＋ｎ×３ｎ＋１， 故２Ｔｎ ＝ｎ×３ ｎ＋１－（３＋３２＋… ＋３ｎ）＝ｎ×３ｎ＋１－ !"#$%& ! '()*+,-./- " ' !"# !!"!#$%&'( )*+,-./ # $$01 %&$2 ! " # $ %& ! 34567#89 书 ３（１－３ｎ） １－３ (＝ ｎ－ )１２ ×３ｎ＋１＋３２， 所以Ｔｎ ＝ （２ｎ－１）３ｎ＋１＋３ ４ ． １８．解：（１）依题意 ａ１＋ａ１ｑ＋ａ１ｑ ２ ＝１４， ２（ａ１ｑ＋１）＝ａ１＋ａ１ｑ ２{ ， 而ｑ＞１，解得ａ１ ＝２，ｑ＝２，则ａｎ ＝２ ｎ， 等差数列｛ｂｎ｝中，由４ｂ１ ＝ａ２ ＝４，得ｂ１ ＝１， 又ｂ８ ＝ａ３ ＝８，则公差ｄ＝ ｂ８－ｂ１ ８－１ ＝１， ｂｎ ＝ｂ１＋（ｎ－１）ｄ＝ｎ， 所以数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝的通项公式是ａｎ ＝２ ｎ，ｂｎ ＝ｎ． （２）由（１）知，数列｛ａｎ｝与数列｛ｂｎ｝都是递增数列， ａ５ ＝３２＜５０，ａ６ ＝６４＞５０， 因此新数列前５０项中，有５项是数列｛ａｎ｝的前５项， 另４５项为数列｛ｂｎ｝的前４５项， 而ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５ ＝ ２－２６ １－２＝６２， ｂ１＋ｂ２＋… ＋ｂ４５ ＝ ４５×（１＋４５） ２ ＝１０３５， 所以新数列的前５０项和为６２＋１０３５＝１０９７． １９．解：（１）因为数列｛ａｎ｝是“指数型数列”，所以对 于任意的ｎ，ｍ∈Ｎ＋，都有ａｎ＋ｍ ＝ａｎ·ａｍ．因为ａ１ ＝２， 所以ａ２ ＝ａ１·ａ１ ＝２×２＝４， ａ３ ＝ａ１·ａ２ ＝２×４＝８． （２） {数列 １ａｎ ＋ }１ 是“指数型数列”． 证明：由ａｎ ＝２ａｎａｎ＋１＋３ａｎ＋１得 １ ａｎ＋１ ＝ ３ａｎ ＋２， 即 １ ａｎ＋１ ＋１＝ (３ １ａｎ ＋ )１ ， {所以数列 １ａｎ ＋ }１ 是等比数列，且 １ａ１ ＋１＝３． 则 １ ａｎ ＋１ (＝ １ａ１ ＋ )１ ×３ｎ－１ ＝３·３ｎ－１ ＝３ｎ ( ， １ ａｎ ＋ ) (１ １ａｍ ＋ )１ ＝３ｎ·３ｍ ＝３ｎ＋ｍ， １ ａｎ＋ｍ ＋１＝３ｎ＋ｍ， {所以数列 １ａｎ ＋ }１ 是“指数型数列”． （３）因为数列｛ａｎ｝是“指数型数列”， 故对任意的ｎ，ｍ∈Ｎ＋， 有ａｎ＋ｍ ＝ａｎ·ａｍ，则ａｎ＋１ ＝ａｎ·ａ１， 所以ａｎ ＝ａｎ－１·ａ１ ＝… ＝ａ ｎ １ (＝ ａ＋２ａ＋ )３ ｎ ，ｎ≥２， ａ１ ＝ ａ＋２ ａ＋３适合该式． 假设数列｛ａｎ｝中存在三项ａｕ，ａｖ，ａｗ构成等差数列， 不妨设ｕ＜ｖ＜ｗ， 则有２ａｖ＝ａｕ＋ａｗ， 则 (２ ａ＋２ａ＋ )３ ｖ (＝ ａ＋２ａ＋ )３ ｕ (＋ ａ＋２ａ＋ )３ ｗ ． 故２（ａ＋３）ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ ＝（ａ＋３）ｗ－ｕ＋（ａ＋２）ｗ－ｕ， 当ａ为偶数且ａ∈Ｎ＋时，２（ａ＋３） ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ是偶 数，而（ａ＋３）ｗ－ｕ是奇数，（ａ＋２）ｗ－ｕ是偶数， 故２（ａ＋３）ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ ＝（ａ＋３）ｗ－ｕ＋（ａ＋２）ｗ－ｕ 不能成立； 当ａ为奇数且ａ∈Ｎ＋时，２（ａ＋３） ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ是偶 数，而（ａ＋３）ｗ－ｕ是偶数，（ａ＋２）ｗ－ｕ是奇数， 故２（ａ＋３）ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ ＝（ａ＋３）ｗ－ｕ＋（ａ＋２）ｗ－ｕ 不能成立； 所以对任意的ａ∈Ｎ＋，２（ａ＋３） ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ ＝（ａ＋ ３）ｗ－ｕ＋（ａ＋２）ｗ－ｕ不能成立． 即数列｛ａｎ｝中任意三项都不能构成等差数列． 第２３期３，４版 核心素养阶段测评（四） 一、单项选择题 １～４　ＣＢＣＢ　５～８　ＡＤＢＡ 提示： １．由ａｎ ＝ｎ ２＋（－１）ｎ×２得， ａ３ ＝３ ２－２＝７，ａ４ ＝４ ２＋２＝１８． ２．若直线ａｘ＋ｙ－１＝０与直线ｘ＋ａｙ＋１＝０平行， 则 ａ２－１＝０， ａ＋１≠{ ０ ａ＝１； 若ａ＝１，则直线ｘ＋ｙ－１＝０与直线ｘ＋ｙ＋１＝０ 平行， 所以直线ａｘ＋ｙ－１＝０与直线ｘ＋ａｙ＋１＝０平行 是ａ＝１的充要条件． ３．因为ｐ在基底｛ａ，ｂ，ｃ｝下的坐标是（１，３，２）， 所以ｐ＝ａ＋３ｂ＋２ｃ， 设ｐ在基底｛ａ＋ｂ，ａ－ｂ，ｃ｝下的坐标为（ｘ，ｙ，ｚ）， 则ｐ＝ｘ（ａ＋ｂ）＋ｙ（ａ－ｂ）＋ｚｃ ＝（ｘ＋ｙ）ａ＋（ｘ－ｙ）ｂ＋ｚｃ， 因此ａ＋３ｂ＋２ｃ＝（ｘ＋ｙ）ａ＋（ｘ－ｙ）ｂ＋ｚｃ， 所以ｘ＋ｙ＝１，ｘ－ｙ＝３，ｚ＝２， 即ｘ＝２，ｙ＝－１，ｚ＝２， 即向量ｐ在基底｛ａ＋ｂ，ａ－ｂ，ｃ｝下的坐标为（２，－１，２）． ４．由等差数列的性质知 ａ１＋ａ９ ＝２ａ５，ａ１＋ａｎ ＝ａ５＋ａｎ－４， 因为Ｓ９ ＝ ９（ａ１＋ａ９） ２ ＝９ａ５ ＝１８，故ａ５ ＝２， 又Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１＋ａｎ） ２ ＝ ｎ（ａ５＋ａｎ－４） ２ ＝２４０， 故 ｎ（２＋３０） ２ ＝２４０，所以ｎ＝１５． ５．当直线的斜率不存在时，直线ｘ＝４满足与点Ａ（１， ２）距离为３，且与点Ｂ（３，２）距离为１， 以点Ａ（１，２）为圆心，ｒ１ ＝３为半径的圆的方程为 （ｘ－１）２＋（ｙ－２）２ ＝９， 以点 Ｂ（３，２）为圆心，ｒ２ ＝１为半径的圆的方程为 （ｘ－３）２＋（ｙ－２）２ ＝１， 因为｜ＡＢ｜＝２＝ｒ１－ｒ２，则两圆相内切， 故两圆的公切线有且仅有１条，即ｘ＝４， 故在坐标平面内，与点Ａ（１，２）距离为３，且与点Ｂ（３， ２）距离为１的直线共有１条． ６．如图１，以Ｄ为原点，以 ＤＡ，ＤＣ，ＤＦ所在直线为ｘ轴， ｙ轴，ｚ轴建立空间直角坐标 系， 则 Ａ（２，０，０），Ｅ（２，３， ２），Ｃ１（０，３，４），Ｇ（１，３，０）， 所以ＡＣ→ １ ＝（－２，３，４），→ＡＥ＝（０，３，２）， →ＧＥ＝（１，０，２）， 设ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）为平面ＡＥＣ１Ｆ的法向量， 则 ｎ·→ＡＥ＝０， ｎ·ＡＣ→ １ ＝０ { ， 所以 ３ｙ＋２ｚ＝０， －２ｘ＋３ｙ＋４ｚ＝０{ ， 令ｚ＝１，所以ｎ (＝ １，－２３， )１ ， 所以点Ｃ到平面ＡＥＣ１Ｆ的距离为 ｄ＝ →｜ＧＥ·ｎ｜ ｜ｎ｜ ＝ 槡９ ２２ ２２ ． ７．双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）渐近线方程为 ｙ＝±ｂａｘ， 由ＯＦ的垂直平分线为ｘ＝ ｃ２， 将ｘ＝ ｃ２，代入ｙ＝ ｂ ａｘ，则ｙ＝ ｂｃ ２ａ， 则交点坐标为 (Ｍ ｃ２，ｂｃ２ )ａ ， 则点Ｍ到ｙ＝－ｂａｘ（即ｂｘ＋ａｙ＝０）的距离为 ｄ＝ ｂｃ ２＋ ｂｃ ２ ａ２＋ｂ槡 ２ ＝ ２３｜ＯＦ｜＝ ２ｃ ３， 解得９ａ２ ＝５ｃ２，则双曲线的离心率ｅ＝ ｃａ ＝ 槡３５ ５． ８．如图２，由题可知Ｆ（１，０）， 设Ａ（ｘ０，ｙ０），ｘ０ ＞０，ｙ０ ＞０， 则｜ＡＦ｜＝ｘ０＋１＝４，所以ｘ０ ＝３，则ｙ０ ＝ 槡２３，Ａ（３，槡２３）， 故ｋＡＦ ＝ 槡 ２３－０ ３－１ ＝槡３， 所以∠ＡＦｘ＝６０°， 则直线ｌ的倾斜角 α＝６０°＋４５°， 所以直线ｌ的斜率 ｋ＝ｔａｎ（６０°＋４５°）＝槡３＋１ １－槡３ ＝－２－槡３， 所以直线ｌ的方程为ｙ＝（－２－槡３）（ｘ－１）， 联立 ｙ＝（－２－槡３）（ｘ－１）， ｙ２ ＝４ｘ{ ， 可得（７＋ 槡４３）ｘ ２－（１８＋ 槡８３）ｘ＋７＋ 槡４３＝０． 设Ｃ（ｘ１，ｙ１），Ｄ（ｘ２，ｙ２）， 则ｘ１＋ｘ２ ＝ １８＋ 槡８３ ７＋ 槡４３ ＝３０－ 槡１６３， 所以｜ＣＤ｜＝ｘ１＋ｘ２＋２＝３２－ 槡１６３． 二、多项选择题 ９．ＡＢＣ；　１０．ＡＤ；　１１．ＡＢＤ． 提示： ９．由题可得Ｔ２ ＝ａ１ａ２ ＝ａ ２ １ｑ＞０， 则ａ３ ＝ Ｔ３ Ｔ２ ＞１，ａ３ａ４ ＝ Ｔ４ Ｔ２ ＜１，即ａ３ ＞１＞ａ３ａ４， 所以ａ３ ＝ａ１ｑ ２ ＞１，ａ４ ＜ １ ａ３ ＜１， 所以ａ１ ＞０，０＜ｑ＝ ａ４ ａ３ ＜１，故（Ａ），（Ｂ）正确； 所以Ｔ５ ＝ａ１·ａ２·ａ３·ａ４·ａ５ ＝ａ ５ ３ ＞１， Ｔ６ ＝ａ１·ａ２·ａ３·ａ４·ａ５·ａ６＝（ａ３·ａ４） ３＜１，故（Ｃ） 正确，（Ｄ）错误． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）． １０．当λ＞０时，方程ｘ２－ｙ ２ λ －４＝０化为ｘ ２ ４－ ｙ２ ４λ ＝１， 曲线Ｃ是焦距为２ ４＋４槡 λ＝４ １＋槡 λ的双曲线，（Ａ） 正确； 当λ＜－１时，方程ｘ２－ｙ ２ λ －４＝０化为ｘ ２ ４＋ ｙ２ ４（－λ） ＝１， 曲线Ｃ是焦点在 ｙ轴上，焦距为２ ４（－λ）－槡 ４＝ ４ －１－槡 λ的椭圆，（Ｂ）错误； 当λ＝－１时，曲线Ｃ表示圆ｘ２＋ｙ２ ＝４，（Ｃ）错误； 当 －１＜λ＜０时，方程ｘ２－ｙ ２ λ －４＝０化为ｘ ２ ４ ＋ ｙ２ ４（－λ） ＝ １，曲线 Ｃ是焦点在 ｘ轴上，焦距为 ２ ４－４（－槡 λ）＝４ １＋槡 λ的椭圆，（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｄ）． １１．取ＢＤ的中点Ｏ，连接ＯＡ，ＯＣ． 在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ 槡４３３，∠ＢＡＤ＝６０°， 所以ＯＡ＝ＯＣ＝ＡＢｓｉｎ６０°＝ 槡４３３ × 槡３ ２ ＝２． 因为ＡＣ＝ 槡２２，所以ＯＡ ２＋ＯＣ２ ＝ＡＣ２， 所以ＯＡ⊥ＯＣ． 又因为ＡＢ＝ＡＤ，Ｏ为ＢＤ的中点，所以ＯＡ⊥ＢＤ， 同理可得ＯＣ⊥ＢＤ． 因为ＯＡ⊥ＯＣ，ＯＡ⊥ＢＤ，ＯＣ∩ＢＤ＝Ｏ，ＯＣ，ＢＤ平 面ＢＣＤ，所以ＯＡ⊥平面ＢＣＤ．因为ＯＡ平面ＡＢＤ， 所以平面ＡＢＤ⊥平面ＢＣＤ，故（Ａ）正确； 又ＯＡ⊥ＢＤ，ＯＡ⊥ＯＣ，ＯＣ⊥ＢＤ， 故以 Ｏ为原点，ＯＢ，ＯＣ，ＯＡ 所在直线分别为ｘ，ｙ，ｚ轴建立如 图３所示的空间直角坐标系， 则 (Ｂ 槡２３３，０， )０ ，Ｃ（０，２， ０），Ａ（０，０，２）， (Ｄ － 槡２３３，０， )０ ． !"#$%& ! '()*+,-./- " ' ! ! " " ! # $ % & ' ! ! ( ) * % ' " & + ) ( ! " " , % + ' # ! # * ( ) - 书 当ＡＱ＝ＱＣ，４ＰＤ＝ＤＢ时， Ｑ（０，１，１）， (Ｐ －槡３３，０， )０ ， → (ＰＱ＝ 槡３３，１， )１ ，→ (ＤＰ＝ 槡３３，０， )０ ， 所 以 点 Ｄ 到 直 线 ＰＱ 的 距 离 为 →｜ＤＰ｜２ (－ →｜ＰＱ·→ＤＰ｜→ )｜ＰＱ｜槡 ２ ＝ １３ (－ １ ３ 槡２１ ) ３槡 ２ ＝ 槡１４ ７ ，故（Ｃ）错误； 设Ｐ（ａ，０，０ (） － 槡２３３ ≤ａ≤ 槡２３)３ ，Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ）， 设 →ＣＱ＝λ→ＣＡ，λ∈［０，１］，得Ｑ（０，２－２λ，２λ）， ｜ＰＱ｜＝ （－ａ）２＋（２－２λ）２＋（２λ）槡 ２ ＝ ａ２＋ (８ λ－ )１２ ２ ＋槡 ２， 当ａ＝０且λ＝１２时，｜ＰＱ｜ｍｉｎ＝槡２，故（Ｂ）正确； 当 Ｐ，Ｑ分别为线段 ＢＤ，ＣＡ的中点时，Ｐ（０，０，０）， Ｑ（０，１，１），→ＰＱ＝（０，１，１），→ (ＡＤ＝ － 槡２３３，０，－ )２ ， 设ＰＱ与ＡＤ所成的角为θ， 则ｃｏｓθ＝ →｜ＰＱ·→ＡＤ｜ → →｜ＰＱ｜｜ＡＤ｜ ＝ ２ 槡２× １６ 槡３ ＝槡６４， 所以ＰＱ与ＡＤ所成角的余弦值为槡６４，故（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．（ｘ＋１）２＋（ｙ＋３）２ ＝１；　１３．槡６１４；　１４．４． 提示： １２．设圆心Ｃ（ａ，ｂ）（ａ＜０，ｂ＜０）， 圆Ｃ：（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２ ＝１， 依题意有ａ＝－１，圆心Ｃ（ａ，ｂ）到直线４ｘ－３ｙ＝０的 距离为 ｜－４－３ｂ｜ ５ ＝１， 解得ｂ＝－３或ｂ＝ １３（舍去）． 所以圆Ｃ的标准方程为（ｘ＋１）２＋（ｙ＋３）２ ＝１． １３．平面α的方程为ｘ－２ｙ＋３ｚ＋３＝０， 所以平面α的法向量为ｍ ＝（１，－２，３）， 平面２ｘ－ｙ＋２＝０与平面ｘ－２ｚ＋１＝０的法向量 分别为ｍ１ ＝（２，－１，０），ｍ２ ＝（１，０，－２）， 设直线ｌ的方向向量为ｎ＝（ｘ０，ｙ０，ｚ０）， 则 ｎ·ｍ１ ＝０， ｎ·ｍ２ ＝０ { ， 即 ２ｘ０－ｙ０ ＝０， ｘ０－２ｚ０ ＝０ { ， 取ｎ＝（２，４，１）， 设直线ｌ与平面α所成的角为θ， 则ｓｉｎθ＝｜ｃｏｓ〈ｍ，ｎ〉｜＝ ｜ｍ·ｎ｜｜ｍ｜·｜ｎ｜ ＝ ３ 槡１４×槡２１ ＝槡６１４． １４．联立 ａ１＋ａ４ ＝１８， ａ２ａ３ ＝ａ１ａ４ ＝３２ { ， 可得 ａ１ ＝２， ａ４ ＝ { １６或 ａ１ ＝１６， ａ４ ＝２ { ． 又因为数列｛ａｎ｝是递增的等比数列， 所以 ａ１ ＝２， ａ４ ＝１６ { ， 则公比ｑ＝２，ａｎ＝２ ｎ，Ｓｋ＋６－Ｓｋ＝ａｋ＋１ ＋ａｋ＋２＋… ＋ａｋ＋６ ＝ ２ｋ＋１（１－２６） １－２ ＝２ ｋ＋７－２ｋ＋１，所以Ｓｋ＋６ －Ｓｋ ＝２ ｋ＋７－２ｋ＋１ ＝２１１－２５，所以ｋ＝４． 四、解答题 １５．解：（１）由题意得边ＢＣ上的高所在直线的斜率为１， 则直线ＢＣ的斜率为 －１， 所以直线ＢＣ的方程为ｙ＝－（ｘ－１），即ｘ＋ｙ－１＝０． （２）设Ａ（ｘ０，ｙ０），因为ＡＣ边上的中线所在直线的方 程为ｙ＝３，且Ｃ（１，０），所以 ｙ０＋０ ２ ＝３，则ｙ０ ＝６． 因为ＢＣ边上高所在直线经过点Ａ， 所以ｘ０－ｙ０＋１＝０，则ｘ０ ＝ｙ０－１＝５， 故Ａ的坐标为（５，６）． １６．解：设｛ａｎ｝的公差为ｄ， 由ａｐ ＝ｑ，ａｑ ＝ｐ得ａｐ－ａ９ ＝（ｐ－ｑ）ｄ＝ｑ－ｐ， 因为ｐ＜ｑ，所以ｐ－ｑ≠０， 所以ｄ＝－１，ａｐ＋ｑ ＝ａｐ＋ｑｄ＝ｑ－ｑ＝０， 所以ｐ＋ｑ－３＝０，ｐ＋ｑ＝３， 因为ｐ＜ｑ，所以ｐ＝１，ｑ＝２， 由ａｐ ＝ｑ得ａ１ ＝２， 所以ａｎ ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ＝２－（ｎ－１）＝－ｎ＋３． （２）由（１）得ａｎ ＝－ｎ＋３，所以ａ４ ＝－１，ａ５ ＝－２， 故ａ４，ａ５，ａｂ１，ａｂ２，…，ａｂｎ是首项为 －１，公比为２的等 比数列． 所以ａｂｎ ＝－１×２ ｎ＋１ ＝－２ｎ＋１， 由ａｎ ＝－ｎ＋３得ａｂｎ ＝－ｂｎ＋３， 所以 －ｂｎ＋３＝－２ ｎ＋１，所以ｂｎ ＝２ ｎ＋１＋３． １７．（１）证明：因为ＡＢ⊥ＢＣ，２ＡＢ＝２ＢＣ＝２，ＡＢ∥ＣＤ， 所以ＡＢ＝ＢＣ＝１，∠ＡＣＤ＝∠ＢＡＣ＝４５°， ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝槡２． 在△ＡＣＤ中，ＣＤ＝２．由余弦定理可知 ＡＤ２ ＝ＡＣ２＋ＣＤ２－２ＡＣ·ＣＤｃｏｓ∠ＡＣＤ ＝（槡２） ２＋２２－２×槡２×２×槡 ２ ２ ＝２， 故ＡＤ２＋ＡＣ２ ＝ＣＤ２，所以ＡＤ⊥ＡＣ． 因为平面ＰＡＣ⊥平面ＡＢＣＤ，平面ＰＡＣ∩平面ＡＢＣＤ ＝ＡＣ，ＡＤ平面ＡＢＣＤ，所以ＡＤ⊥平面ＰＡＣ， 又因为ＡＤ平面ＰＡＤ，所以平面ＰＡＤ⊥平面ＰＡＣ． （２）解：因为ＡＤ⊥平面ＰＡＣ，ＰＡ平面ＰＡＣ， 所以ＡＤ⊥ＰＡ．又因为ＣＤ⊥ＰＡ， ＣＤ∩ＡＤ＝Ｄ，所以ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ． 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＰＢＡ是异面直线ＰＢ与ＣＤ所成 角，即∠ＰＢＡ＝４５°， 所以ｔａｎ∠ＰＢＡ＝ＰＡＡＢ＝１，所以ＰＡ＝ＡＢ＝１． 以点Ａ为坐标原点，ＡＤ， ＡＣ，ＡＰ所在的直线分别为 ｘ， ｙ，ｚ轴建立如图４所示的空间 直角坐标系． 则 (Ｂ －槡２２，槡２２， )０ ， Ｃ（０，槡２，０），Ｐ（０，０，１），所以 → (ＰＢ＝ －槡２２，槡２２，－ )１ ，→ＰＣ＝（０，槡２，－１）． 设平面ＰＢＣ的法向量为ｎ１ ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则 ｎ１· →ＰＢ＝－槡２２ｘ＋ 槡２ ２ｙ－ｚ＝０， ｎ１· →ＰＣ＝槡２ｙ－ｚ＝０ { ， 令ｙ＝１，则ｘ＝－１，ｚ＝槡２，得ｎ１ ＝（－１，１，槡２）， 由题意得ｎ２ ＝（０，１，０）为平面ＰＡＤ的一个法向量， 所以｜ｃｏｓ〈ｎ１，ｎ２〉｜＝ ｜ｎ１·ｎ２｜ ｜ｎ１｜｜ｎ２｜ ＝｜１×１｜２×１ ＝ １ ２， 则〈ｎ１，ｎ２〉＝６０°， 故平面ＰＢＣ与平面ＰＡＤ的夹角为６０°． １８．（１）解：若λ＝０，则ａ２ｎ＋１ ＝２ａｎ． 因为ａ１ ＝１，且数列｛ａｎ｝各项为正， 所以ａ２２ ＝２ａ１ ＝２，则ａ２ ＝槡２， 所以ａ２３ ＝２ａ２ ＝ 槡２２＝２ ３ ２，则ａ３ ＝２ ３ ４． （２）证明：若λ＝３，则ａ２ｎ＋１－２ａｎ ＝３． 因为ａ２ｎ＋１－９＝２（ａｎ－３）， 即（ａｎ＋１－３）（ａｎ＋１＋３）＝２（ａｎ－３）． 一方面，ａｎ＋１－３与ａｎ－３显然同号． 因为ａ１－３＜０，所以ａｎ－３＜０，即ａｎ ＜３． 另一方面， ３－ａｎ＋１ ３－ａｎ ＝ ２ａｎ＋１＋３ ． 由ａ２ｎ＋１ ＝２ａｎ＋３＞３，得ａｎ＋１ ＞槡３＞１， 所以 ３－ａｎ＋１ ３－ａｎ ＜ ２４ ＝ １ ２， 所以３－ａｎ ＜（３－ａｎ－１）× １ ２ ＜… ＜（３－ａ１） ( × )１２ ｎ－１ (＝ )１２ ｎ－２ （ｎ≥２）， 所以ａｎ ＞３ (－ )１２ ｎ－２ （ｎ≥２）， 又因为ａ１ ＝１，所以ａｎ≥３ (－ )１２ ｎ－２ ． 综上可得３ (－ )１２ ｎ－２ ≤ａｎ ＜３． １９．解：（１）如图５，以ＦＥ所在的直线为ｘ轴，ＦＥ的中 点Ｏ为原点建立平面直角坐标系， 设 Ｍ（ｘ，ｙ）为椭圆上一 点，由题意可知 ｜ＭＦ｜＋ ｜ＭＥ｜＝｜ＡＥ｜＝４＞｜ＥＦ｜＝ 槡２３， 所以点Ｍ的轨迹是以 Ｆ， Ｅ为焦点，长轴长２ａ＝４的椭 圆，因为２ｃ＝ 槡２３，２ａ＝４， 所以ｃ＝槡３，ａ＝２， 则ｂ２ ＝ａ２－ｃ２ ＝１，所以椭圆Ｃ的方程为ｘ ２ ４＋ｙ ２＝１． （２）由（１）知Ｄ（０，－１）， 所以直线ｌ１：ｙ＝ｋｘ－１（ｋ ≠０），ｌ２：ｙ＝－ １ ｋｘ－１，如图 ６所示， 设Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２）， 联立 ｘ２ ４＋ｙ ２ ＝１， ｙ＝ｋｘ－１ { ， 整理 得（１＋４ｋ２）ｘ２－８ｋｘ＝０， 所以ｘ１ ＝ ８ｋ １＋４ｋ２ ，所以ｙ１ ＝ ８ｋ２ １＋４ｋ２ －１， 所以｜ＤＭ｜＝ ｘ２１＋（ｙ１＋１）槡 ２ ＝ ６４ｋ ２ （１＋４ｋ２）２ ＋ ６４ｋ ４ （１＋４ｋ２）槡 ２ ＝８｜ｋ｜ １＋４ｋ２ １＋ｋ槡 ２． 联立 ｘ２ ４＋ｙ ２ ＝１， ｙ＝－１ｋｘ－１ { ，整理得（４＋ｋ２）ｘ２＋８ｋｘ＝０， 所以ｘ２ ＝ －８ｋ ｋ２＋４ ，所以ｙ２ ＝ ８ ｋ２＋４ －１， 所以｜ＤＮ｜＝ ｘ２２＋（ｙ２＋１）槡 ２ ＝ ６４ｋ ２ （４＋ｋ２）２ ＋ ６４ （４＋ｋ２）槡 ２ ＝ ８ ４＋ｋ２ １＋ｋ槡 ２， 所以Ｓ△ＤＭＮ ＝ １ ２｜ＤＭ｜·｜ＤＮ｜ ＝１２× ８｜ｋ｜ １＋４ｋ２ １＋ｋ槡 ２× ８ ４＋ｋ２ １＋ｋ槡 ２ ＝ ３２｜ｋ｜（１＋ｋ ２） （１＋４ｋ２）（４＋ｋ２） ， 由 Ｓ ｜ｋ｜＞ １６ ９得 ３２（１＋ｋ２） （１＋４ｋ２）（４＋ｋ２） ＞１６９， 整理得４ｋ４－ｋ２－１４＜０，得 －７４ ＜ｋ ２ ＜２， 又ｋ２ ＞０，所以０＜ｋ２ ＜２， 所以 －槡２＜ｋ＜０或０＜ｋ＜槡２， 所以ｋ的取值范围为（－槡２，０）∪（０，槡２）． 第２４期２版 专项小练一 １．Ａ；　２．Ｄ；　３．ＡＢＣ． ４．９；　５．ｆ（３）３ ＜ ｆ（２） ２ ＜ｆ（１）． ６．解：（１）Δｓ＝ｓ（２０＋Δｔ）－ｓ（２０）＝１０×（２０＋Δｔ） ＋５（２０＋Δｔ）２－１０×２０－５×２０２＝１０Δｔ＋２００Δｔ＋５Δｔ２ ＝１＋２０＋００５＝２１０５，Δｓ Δｔ ＝２１０５０１ ＝２１０５． （２）由（１）知Δｓ Δｔ ＝１０Δｔ＋２００Δｔ＋５Δｔ ２ Δｔ ＝２１０＋５Δｔ， !"#$%& ! '()*+,-./- " ' ! " # $ % ! ! & ' ( ( % ) * " + & , * # ! $ ! ! - . # ! % + ( & ) 书 当Δｔ趋于０时，ΔｓΔｔ 趋于２１０， 所以赛车在ｔ＝２０时的瞬时速度为２１０ｍ／ｓ． 专项小练二 １．Ａ；　２．Ｄ；　３．ＢＣ． ４．３；　５．ｙ＝（２＋ 槡２２）ｘ－（２＋ 槡２２）或 ｙ＝（２－ 槡２２）ｘ－（２－ 槡２２）． ６．解：点Ｐ（１，１）处的切线的斜率 ｋ＝ｌｉｍ ｈ→０ ｆ（１＋ｈ）－ｆ（１） ｈ ＝ｌｉｍｈ→０ １ １＋ｈ－１ ｈ ＝ｌｉｍ ｈ→０ －１ １＋ｈ＝－１， 故切线方程为ｙ－１＝－（ｘ－１），即ｘ＋ｙ－２＝０， 令ｘ＝０，ｙ＝２，则Ｂ（０，２）， 令ｙ＝０，ｘ＝２，则Ａ（２，０），则Ｓ△ＯＡＢ ＝ １ ２×２×２＝２． 第２４期３，４版 导数的概念及其意义同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＣＢＢＡ　５～８　ＡＢＢＡ 提示： １．根据平均变化率的定义，在３５ｍ范围内，当水深每 增加５ｍ时，水库储水量的平均变化率依次为： 水深（ｍ） ０ ５ １０ １５ ２０ ２５ ３０ ３５ 平均变化率 （１０４ｍ２） ０ ２ ４ １２ １４ ２３ ３２ ４３ 平均变化率越来越大． ２．因为ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） Δｘ ＝４ｌｉｍ ４Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） ４Δｘ ＝２， 所以ｌｉｍ ４Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） ４Δｘ ＝ １２， 即ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍ４Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） ４Δｘ ＝ １２． ３．根据平均速度定义可知， 在ｔ∈［２，３］内的平均速度为 ｖ１ ＝ Δｓ Δｔ ＝３ ２＋２×３－２２－２×２ ３－２ ＝７； 在ｔ＝３时的瞬时速度为 ｖ２ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ （３＋Δｔ）２＋２×（３＋Δｔ）－３２－２×３ Δｔ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ （８＋Δｔ）＝８； 所以 ｖ１ ｖ２ ＝ ７８． ４．因为ｖ１ ＝ｋＯＡ，ｖ２ ＝ｋＡＢ，ｖ３ ＝ｋＢＣ，由图象知ｋＯＡ ＜ ｋＡＢ ＜ｋＢＣ，所以ｖ１ ＜ｖ２ ＜ｖ３． ５．由图可知，甲厂污水排放量逐渐减少，故①正确； 乙厂的污水排放量比甲厂减少得更多，故②正确， 在接近ｔ０时，甲工厂污水排放量减少得比乙的更加 快，故③错误．故选（Ａ）． ６．由题意得ｆ′（１）＝２， 所 以 ｌｉｍ ｄ→０ ｆ（１＋ｄ）－ｆ（１） ｄ ＝ ｌｉｍｄ→０ ａ（１＋ｄ）２＋ｂ－ａ－ｂ ｄ ＝ｌｉｍｄ→０（２ａ＋ａｄ）＝２ａ＝２， 解得ａ＝１，又ｆ（１）＝ａ＋ｂ＝３，则ｂ＝２，所以 ｂａ＝２． ７．因为 ｆ（２０２４＋Δｘ）＝（２０２４＋Δｘ）（２０２３＋ Δｘ）…（１＋Δｘ）Δｘ（－１＋Δｘ）， ｆ（２０２４＋Δｘ）－ｆ（２０２４） Δｘ ＝（２０２４＋Δｘ）（２０２３＋ Δｘ）…（１＋Δｘ）（－１＋Δｘ）， 所以 ｆ′（２０２４）＝ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（２０２４＋Δｘ）－ｆ（２０２４） Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ［（２０２４＋Δｘ）（２０２３＋Δｘ）…（１＋Δｘ）（－１＋Δｘ）］ ＝－２０２４！ ８．由图可知，ｆ（－１４），ｆ′（８） 为负数，ｆ（３），３ｆ′（３）为正数，故 不选ｆ（－１４），ｆ′（８）， 设ｆ（ｘ）在ｘ＝３处的点为Ａ，显然ＯＡ的斜率ｋＯＡ大于 ｆ′（３）， 则 ｆ（３）－０ ３－０ ＞ｆ′（３），可转化为ｆ（３）＞３ｆ′（３），所以 ｆ（３）的值最大． 二、多项选择题 ９．ＡＣ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＡＢＣ． 提示： ９． ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０）－ｆ（ｘ０－２Δｘ） ２Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０－２Δｘ＋２Δｘ）－ｆ（ｘ０－２Δｘ） ２Δｘ ＝ｆ′（ｘ０），（Ａ）满足； ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－Δｘ） Δｘ ＝ ２ ｌｉｍ ２Δｘ→０ ｆ（ｘ０－Δｘ＋２Δｘ）－ｆ（ｘ０－Δｘ） ２Δｘ ＝２ｆ′（ｘ０），（Ｂ）不满足； ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋２Δｘ）－ｆ（ｘ０＋Δｘ） Δｘ ＝ｆ′（ｘ０），（Ｃ）满足； ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－２Δｘ） Δｘ ＝ ３ ｌｉｍ ３Δｘ→０ ｆ（ｘ０－２Δｘ＋３Δｘ）－ｆ（ｘ０－２Δｘ） ３Δｘ ＝３ｆ′（ｘ０），（Ｄ）不满 足． 故选（Ａ）（Ｃ）． １０．该物体在１≤ｔ≤３时的平均速度是ｓ（３）－ｓ（１）３－１ ＝７１－１５２ ＝２８，（Ａ）正确； ｌｉｍ Δｔ→０ ７×（４＋Δｔ）２＋８－７×４２－８ Δｔ ＝ ｌｉｍ Δｔ→０ ５６·Δｔ＋７（Δｔ）２ Δｔ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ （５６＋７·Δｔ）＝５６，（Ｂ）正确； 当ｔ＝５时，ｓ（５）＝７×５２＋８＝１８３，（Ｃ）错误； ｌｉｍ Δｔ→０ ７×（５＋Δｔ）２＋８－７×５２－８ Δｔ ＝ ｌｉｍ Δｔ→０ ７０·Δｔ＋７·（Δｔ）２ Δｔ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ （７０＋７·Δｔ）＝７０，（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． １１．在ｔ１时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同， （Ａ）正确； 在ｔ２时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率 不同，（Ｂ）正确； 在［ｔ２，ｔ３］这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度 的平均变化率相同，（Ｃ）正确； 在［ｔ１，ｔ２］这个时间段内甲血管中药物浓度的平均变 化率大于在［ｔ２，ｔ３］这个时间段内甲血管中药物浓度的平 均变化率，（Ｄ）错误．故选（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）． 三、填空题 １２．ｅ ３－２ ｅ－１；　１３． ３π ４；　１４．［－２，２］． 提示： １２．因为ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｌｎｘ， 所以ｆ（ｅ）＝ｅ３－ｌｎｅ＝ｅ３－１，ｆ（１）＝１３－ｌｎ１＝１， 所以ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｌｎｘ在区间［１，ｅ］上的平均变化率 为 ｆ（ｅ）－ｆ（１） ｅ－１ ＝ ｅ３－１－１ ｅ－１ ＝ ｅ３－２ ｅ－１． １３．ｆ′（２）＝ｌｉｍ ｈ→０ ｆ（２＋ｈ）－ｆ（２） ｈ ＝－ｌｉｍ ｈ→０ ｆ（２）－ｆ（２＋ｈ） ｈ ＝－１， 设其倾斜角为α，则有ｔａｎα＝－１， 又α∈［０，π），故α＝３π４． １４．依题意，Ｆｘ（ｘ，ｙ）＝ｌｉｍ Δｘ→０ Δｚ Δｘ ＝ｌｉｍ Δｘ→０ （ｘ＋Δｘ）２＋ｙ２－（ｘ＋Δｘ）ｙ－ｘ２－ｙ２＋ｘｙ Δｘ ＝ｌｉｍ Δｘ→０ （２ｘ－ｙ＋Δｘ）＝２ｘ－ｙ， 同理可求得Ｆｙ（ｘ，ｙ）＝２ｙ－ｘ， 所以Ｆｘ（ｘ，ｙ）＋Ｆｙ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｙ，设ｚ＝ｘ＋ｙ， 则ｙ＝－ｘ＋ｚ，由Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ２＋ｙ２－ｘｙ＝１， 得ｘ２＋（－ｘ＋ｚ）２－ｘ（－ｘ＋ｚ）－１＝０， 即３ｘ２－３ｚｘ＋ｚ２－１＝０，此方程有解， 所以Δ＝９ｚ２－１２（ｚ２－１）＝－３ｚ２＋１２≥０， 即ｚ２≤４，－２≤ｚ≤２． 故Ｆｘ（ｘ，ｙ）＋Ｆｙ（ｘ，ｙ）的取值范围为［－２，２］． 四、解答题 １５．解：（１）Δｙ＝ｆ（ｔ１＋Δｔ）－ｆ（ｔ１） ＝３ｔ２１·Δｔ＋３ｔ１·（Δｔ） ２＋（Δｔ）３， 故当ｔ１ ＝４，Δｔ＝００１时， Δｙ＝０４８１２０１，ΔｙΔｔ ＝４８１２０１． （２）由（１）得ｌｉｍ Δｔ→０ ＝Δｙ Δｔ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ ［３ｔ２１＋３ｔ１·Δｔ＋（Δｔ） ２］ ＝３ｔ２１ ＝４８， 故函数ｙ＝ｆ（ｔ）在ｔ１ ＝４处的导数是４８． １６．解：（１）物体在第１ｓ内的平均变化率（即平均速 度）为 ｆ（１）－ｆ（０） １－０ ＝ １１ ３（ｍ／ｓ）； （２）Δｙ Δｘ ＝ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ） Δｘ ＝ ２ ３（ｘ＋Δｘ） ３＋（ｘ＋Δｘ）２＋２（ｘ＋Δｘ） (－ ２３ｘ３＋ｘ２＋２ )ｘ Δｘ ＝２ｘ２＋２ｘ＋２＋２３（Δｘ） ２＋２ｘ·Δｘ＋Δｘ， 当Δｘ→０时，Δ ｙ Δｘ→ ２ｘ２＋２ｘ＋２， 当ｘ＝１时，Δｙ Δｘ ＝６， 所以物体在第１ｓ末的瞬时速度为６ｍ／ｓ． （３）由（２）得２ｘ２＋２ｘ＋２＝１４，解得ｘ＝２， 即经过２ｓ该物体的运动速度达到１４ｍ／ｓ． １７．解：（１）设人从Ｃ点运动到Ｂ点位移为ｘｍ，ＡＢ为 身影长度，为ｙｍ， 由于ＣＤ∥ＢＥ，则ＡＢＡＣ＝ ＢＥ ＣＤ，即 ｙ ｘ＋ｙ＝ １６ ８， 所以ｙ＝０２５ｘ． （２）设人离开Ｃ点的时间为ｔｓ， 而８４ｍ／ｍｉｎ＝１４ｍ／ｓ，而ｘ＝１４ｔ，所以ｙ＝０３５ｔ． 在［０，１０］内自变量的增量为ｔ２－ｔ１ ＝１０－０＝１０， 函数值的增量为 ｆ（ｔ２）－ｆ（ｔ１）＝０３５×１０－０３５×０＝３５， 所以 ｆ（ｔ２）－ｆ（ｔ１） ｔ２－ｔ１ ＝３５１０ ＝０３５， 即人离开 Ｃ点 １０ｓ内身影长度的平均变化率为 ０３５ｍ／ｓ． １８．解：（１）由题意得，割线ＡＢ的斜率 ｋ＝－（２＋Δｘ） ２＋（２＋Δｘ）－（－４＋２） Δｘ ＝－４Δｘ＋Δｘ－（Δｘ） ２ Δｘ ＝－３－Δｘ， 由 －３－Δｘ≤－１，得Δｘ≥－２，又Δｘ≠０， 所以Δｘ的取值范围是［－２，０）∪（０，＋∞）． （２）由（１）知函数ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋ｘ在ｘ＝２时的导数 为ｆ′（２）＝－３， 又ｆ（２）＝－２２＋２＝－２， 所以函数ｆ（ｘ）在点Ａ处的切线斜率为 －３， 所以函数ｆ（ｘ）在点Ａ处的切线的方程为ｙ－（－２） ＝－３（ｘ－２），即３ｘ＋ｙ－４＝０． １９．解：设切点坐标为（ｘ０，ｙ０），则ｙ０ ＝ｘ ３ ０－３ｘ ２ ０＋ｘ０， 因为Δｙ＝ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）＝（ｘ０＋Δｘ） ３－３（ｘ０ ＋Δｘ）２＋（ｘ０＋Δｘ）－（ｘ ３ ０－３ｘ ２ ０＋ｘ０）＝３ｘ ２ ０Δｘ＋３ｘ０（Δｘ） ２ ＋（Δｘ）３－６ｘ０Δｘ－３（Δｘ） ２＋Δｘ， 所以 Δｙ Δｘ ＝３ｘ２０＋３ｘ０Δｘ＋（Δｘ） ２－６ｘ０－３Δｘ＋１， 所以ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍ Δｘ→０ Δｙ Δｘ ＝３ｘ２０－６ｘ０＋１， 所以切线方程为ｙ－（ｘ３０－３ｘ ２ ０＋ｘ０）＝（３ｘ ２ ０－６ｘ０＋ １）（ｘ－ｘ０）． 因为切线过原点，所以ｘ３０－３ｘ ２ ０＋ｘ０＝３ｘ ３ ０－６ｘ ２ ０＋ｘ０， 即２ｘ３０－３ｘ ２ ０ ＝０，解得ｘ０ ＝０或ｘ０ ＝ ３ ２， 所以切线方程为ｘ－ｙ＝０或５ｘ＋４ｙ＝０． !"#$%& ! 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