第23期 核心素养阶段测评（四）-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册同步学案（人教A版2019）

书书书 １７． （１５ 分 ） 如 图 ４ ，在 四 棱 锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 中 ，四 边 形 ＡＢＣＤ 为 直 角 梯 形 ，其 中 ＡＢ ⊥ ＢＣ ，ＡＢ ∥ ＣＤ ，ＣＤ ＝ ２ＡＢ ＝ ２ＢＣ ＝ ２ ，平 面 ＰＡＣ ⊥ 平 面 ＡＢＣＤ ． （１ ） 证 明 ：平 面 ＰＡＤ ⊥ 平 面 ＰＡＣ ； （２ ） 若 ＣＤ ⊥ ＰＡ ， 且 异 面 直 线 ＰＢ 与 ＣＤ 所 成 角 为 ４５°， 求 平 面 ＰＢＣ 与 平 面 ＰＡＤ 的 夹 角 ． １８． （１７ 分 ） 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 ｛ａ ｎ ｝ 满 足 ａ １ ＝ １ ，ａ ２ｎ＋１ － ２ａ ｎ ＝ λ ． （１ ） 若 λ ＝ ０ ，求 ａ ２ ，ａ ３ 的 值 ． （２ ） 若 λ ＝ ３ ，证 明 ：３ ( － ) １２ ｎ－２≤ ａ ｎ ＜ ３． １９． （１７ 分 ） “ 工 艺 折 纸 ” 是 一 种 把 纸 张 折 成 各 种 不 同 形 状 物 品 的 艺 术 活 动 ，在 我 国 源 远 流 长 ．某 些 折 纸 活 动 蕴 含 丰 富 的 数 学 内 容 ， 例 如 ：用 一 张 圆 形 纸 片 ，按 如 下 步 骤 折 纸 （ 如 图 ５ ）． 步 骤 １ ：设 圆 心 是 Ｅ ，在 圆 内 异 于 圆 心 处 取 一 点 ，标 记 为 Ｆ ； 步 骤 ２ ：把 纸 片 折 叠 ，使 圆 周 正 好 通 过 点 Ｆ ； 步 骤 ３ ：把 纸 片 展 开 ，并 留 下 一 道 折 痕 ； 步 骤 ４ ：不 停 重 复 步 骤 ２ 和 ３ ，就 能 得 到 越 来 越 多 的 折 痕 （ 如 图 ６ ）． 已 知 这 些 折 痕 所 围 成 的 图 形 是 一 个 椭 圆 ． 若 取 半 径 为 ４ 的 圆 形 纸 片 ，设 定 点 Ｆ 到 圆 心 Ｅ 的 距 离 为 槡 ２ ３ ，按 上 述 方 法 折 纸 ． （１ ） 以 点 Ｆ ，Ｅ 所 在 的 直 线 为 ｘ 轴 ，建 立 适 当 的 坐 标 系 ，求 折 痕 围 成 的 椭 圆 Ｃ 的 标 准 方 程 ； （２ ） 设 椭 圆 Ｃ 的 下 顶 点 为 Ｄ ，过 点 Ｄ 作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 ｌ１ ， ｌ２ ，这 两 条 直 线 与 椭 圆 Ｃ 的 另 一 个 交 点 分 别 为 Ｍ ，Ｎ ． 设 ｌ１ 的 斜 率 为 ｋ（ｋ ≠ ０ ） ，△ Ｄ Ｍ Ｎ 的 面 积 为 Ｓ ，当 Ｓ ｜ ｋ ｜ ＞ １ ６９ 时 ，求 ｋ 的 取 值 范 围 ． !"#$%&'()*+,-./0 ! 12!"#$%&'( !"3$4&'(5*+,-678 ! 92)"#$%&'( : ; < = > ? @ A B C D E < F + ! G ! " # $ % ! " ! ! & ' ! ! & ' # ! # ! $ ( 书 一、利用法向量求线面角 例１在棱长为１的正方体 ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，求 Ａ１Ｂ１ 与平面 Ａ１Ｃ１Ｂ所成角的正弦 值． 解析：建立如图１所示的 空间直角坐标系 Ｄｘｙｚ，则 Ａ１（１，０，１），Ｂ１（１，１， １），Ｃ１（０，１，１），Ｂ（１，１，０），于是Ａ１ →Ｂ ＝（０，１， －１），Ａ１ →Ｃ１ ＝（－１，１，０），Ａ１ →Ｂ１ ＝（０，１，０）． 设平面Ａ１Ｃ１Ｂ的法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），则 ｎ·Ａ１ →Ｂ＝０， ｎ·Ａ１ →Ｃ１ ＝ { ０ ｙ－ｚ＝０，－ｘ＋ｙ＝{ ０ ｙ＝ｚ，{ｙ＝ｘ． 取ｙ＝１，得ｎ＝（１，１，１）． 设直线Ａ１Ｂ１与平面Ａ１Ｃ１Ｂ所成的角为θ， 则ｓｉｎθ＝｜ｃｏｓ〈ｎ，Ａ１ →Ｂ１〉｜＝ ｜ｎ·Ａ１ →Ｂ１｜ ｜ｎ｜｜Ａ１ →Ｂ１｜ ＝｜０＋１＋０｜ 槡３×１ ＝槡３３， 即直线Ａ１Ｂ１与平面Ａ１Ｃ１Ｂ所成角的正弦值 为槡 ３ ３． 二、利用法向量求二面角 例２在四棱锥Ｖ－ＡＢＣＤ中，底面ＡＢＣＤ是 正方形，侧面ＶＡＤ是正三角形，平面ＶＡＤ⊥底面 ＡＢＣＤ．求平面 ＶＡＤ与平面 ＶＤＢ的夹角的余弦 值． 解析：取 ＡＤ的中点 Ｏ， 则ＶＯ⊥底面ＡＢＣＤ．建立如 图２所示的空间直角坐标系 Ｏｘｙｚ． 设正方形ＡＢＣＤ的边长 为 １， 则 Ａ １ ２，０，( )０， Ｂ １ ２，１，( )０， (Ｄ －１２，０， )０ ，Ｖ０，０，槡３( )２ ． 可知 →ＡＢ＝（０，１，０）是平面ＶＡＤ的法向量． 设ｎ＝（１，ｙ，ｚ）是平面ＶＤＢ的法向量，则 ｎ· →ＶＢ＝０， ｎ· →ＢＤ＝{ ０ （１，ｙ，ｚ）· １ ２，１，－ 槡３( )２ ＝０， （１，ｙ，ｚ）·（－１，－１，０）＝ { ０  ｙ＝－１， ｚ＝－槡３{ ３ｎ＝ １，－１，－槡３( )３ ． 所以 ｜ｃｏｓ〈→ＡＢ，ｎ〉｜＝ ｜０－１＋０｜ １×槡２１３ ＝ 槡２１ ７ ． 所以平面ＶＡＤ与平面ＶＤＢ夹角的余弦值为 槡２１ ７ ． 三、利用法向量证面面垂直 例３如图３，在棱长为１的正方体ＡＢＣＤ－ Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′中，ＡＰ＝ＢＱ＝ｂ（０＜ｂ＜１），截面 ＰＱＥＦ∥ Ａ′Ｄ，截面 ＰＱＧＨ∥ ＡＤ′．证明：平面 ＰＱＥＦ⊥平面ＰＱＧＨ． 证明：以 Ｄ为原点，射线 ＤＡ，ＤＣ，ＤＤ′分别 为ｘ，ｙ，ｚ轴的正半轴建立如图４所示的空间直角坐 标系Ｄｘｙｚ． 由题意得ＤＦ＝１－ｂ， 则有Ｄ（０，０，０），Ａ（１，０，０），Ａ′（１，０，１）， Ｄ′（０，０，１），Ｐ（１，０，ｂ），Ｑ（１，１，ｂ），Ｅ（１－ｂ，１，０）， Ｆ（１－ｂ，０，０），Ｇ（ｂ，１，１），Ｈ（ｂ，０，１）． 于是 →ＰＱ＝（０，１，０），→ＰＦ＝（－ｂ，０，－ｂ）， →ＰＨ＝（ｂ－１，０，１－ｂ），→ＡＤ′＝（－１，０，１）， →Ａ′Ｄ＝（－１，０，－１）． 因为 →ＡＤ′· →ＰＱ＝０，→ＡＤ′· →ＰＦ＝０， 所以 →ＡＤ′是平面ＰＱＥＦ的法向量． 因为 →Ａ′Ｄ· →ＰＱ＝０，→Ａ′Ｄ· →ＰＨ＝０， 所以 →Ａ′Ｄ是平面ＰＱＧＨ的法向量． 因为 →ＡＤ′· →Ａ′Ｄ＝０，所以 →ＡＤ′⊥ →Ａ′Ｄ， 即平面ＰＱＥＦ⊥平面ＰＱＧＨ． 书 例 １ 如右图，过点 Ｃ（０，１）的椭圆ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝ １（ａ＞ｂ＞０）的离心率为 槡３ ２，椭圆与 ｘ轴交于两点 Ａ（ａ，０），Ｂ（－ａ，０），过点Ｃ的直线ｌ与椭圆交于 另一点Ｄ，并与ｘ轴交于点Ｐ，直线ＡＣ与直线ＢＤ 交于点Ｑ． （１）当直线 ｌ过椭圆右焦点时，求线段 ＣＤ 的长； （２）当点Ｐ异于点Ｂ时，证明：→ＯＰ·→ＯＱ为定值． （１）解：由题意知ｂ＝１，ｃａ＝ 槡３ ２，解得ａ＝２， 所以椭圆的方程为 ｘ２ ４＋ｙ ２ ＝１． 椭圆的右焦点为（槡３，０）， 此时直线ｌ的方程为ｙ＝－槡３３ｘ＋１， 代入椭圆方程得７ｘ２－ 槡８３ｘ＝０， 解得ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝ 槡 ８３ ７， 代入直线ｌ的方程得ｙ１ ＝１，ｙ２ ＝－ １ ７， 所以点Ｄ的坐标为 槡８３ ７，－( )１７ ， 故｜ＣＤ｜＝ 槡８３ ７ －( )０ ２ ＋ －１７－( )１槡 ２ ＝１６７． （２）证明：当直线ｌ与ｘ轴垂直时与题意不 符，故直线ｌ与ｘ轴不垂直，即直线ｌ的斜率存在． 设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ (１ ｋ≠０且ｋ≠ )１２ ， 代入椭圆方程得（４ｋ２＋１）ｘ２＋８ｋｘ＝０， 解得ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝ －８ｋ ４ｋ２＋１ ， 代入直线ｌ的方程得ｙ１ ＝１，ｙ２ ＝ １－４ｋ２ ４ｋ２＋１ ， 所以点Ｄ的坐标为 －８ｋ ４ｋ２＋１ ， １－４ｋ２ ４ｋ２＋( )１． 又直线ＡＣ的方程为ｘ２＋ｙ＝１， 直线ＢＤ的方程为ｙ＝１＋２ｋ２－４ｋ（ｘ＋２）， 联立解得ｘ＝－４ｋ，ｙ＝２ｋ＋１， 因此Ｑ（－４ｋ，２ｋ＋１）． 又点Ｐ的坐标为 －１ｋ，( )０． 所以 →ＯＰ· →ＯＱ＝ －１( )ｋ ×（－４ｋ）＝４． 故 →ＯＰ· →ＯＱ为定值． 例２已知椭圆Ｃ过点Ａ１，( )３２ ，两个焦点分 别为（－１，０），（１，０）． （１）求椭圆Ｃ的标准方程； （２）Ｅ，Ｆ是椭圆Ｃ上的两个动点，如果直线 ＡＥ的斜率与 ＡＦ的斜率互为相反数，证明直线 ＥＦ的斜率为定值，并求出这个定值． （１）解：椭圆的标准方程为ｘ ２ ４＋ ｙ２ ３＝１．（过 程略） ① （２）证明：设直线ＡＥ方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１）＋ ３ ２，代入 ① 得（３＋４ｋ ２）ｘ２ ＋４ｋ（３－２ｋ）ｘ＋ ４ ３ ２( )－ｋ ２ －１２＝０． 设Ｅ（ｘＥ，ｙＥ），Ｆ（ｘＦ，ｙＦ）， 因为点Ａ１，( )３２ 在椭圆上，所以 ｘＥ ＝ ４ ３ ２( )－ｋ ２ －１２ ３＋４ｋ２ ，ｙＥ ＝ｋｘＥ＋ ３ ２－ｋ． 又直线ＡＥ的斜率与 ＡＦ的斜率互为相反 数，在 上 式 中 以 －ｋ代 ｋ， 可 得 ｘＦ ＝ ４ ３ ２( )＋ｋ ２ －１２ ３＋４ｋ２ ，ｙＦ ＝－ｋｘＦ＋ ３ ２＋ｋ， 所以直线ＥＦ的斜率 ｋＥＦ ＝ ｙＦ－ｙＥ ｘＦ－ｘＥ ＝ －ｋ（ｘＦ＋ｘＥ）＋２ｋ ｘＦ－ｘＥ ＝１２． 即直线ＥＦ的斜率为定值，其值为１２． !"#$%&'()*+ %&'()#*!+*$, !",-%&'()*+ %&#+)#*!+!"# !"#$ %& - ./012345 3 63 !!!"7 #$%&8 '%9 !(:;<7= 3 7 !" HIJKL$MN HIJL8OPQRSTUMV 3WXYZ[\9 Y]^_`a bcdefg\9hi^"#$%&'()(*j+k lmnio,$-,./ ! pq rst ) * + , - $ " # ! % ! " # $ # + " + ! + % + . % & ! $ ! " ' # $ / . % & ! * !( "( #( $( 0 ) ! " # $ * ' & 1 ! " . % & !( "( #( $( 0 ) ! " # $ * ' & ! & 1 ! uq v` w !"!# xyzo "#$ %&$'($)* +% +,-../ 012.3456/ 7889: *%;<=>?@ A$ BCDEFG HI ;<=JKL M$BCDNOPQ/ 88RS &% TUVW5 XYZ$ [\]1 ^I _`5abc$ [\d1E/ 88efghijkl "%mn+opq r@stuvwx yz${|}~€/ 88‚ƒ-„ '%…†|‡$B ˆ~yI …†^‡$ Bˆ~b/ 88‰: $% @vŠ‹Œ $1Ž‘’“” •–—˜™/~• –$šs›iœ… žI~˜™$šs Ÿ ¡5¢/ 88£¤£ !%¥‡5¦§¨. ©ª5¦«¬.­t5 ¦® .̄°±5¦²³ ´µ~F¶.·¸¹º »–5¼. ½¾¿5 ¦€<ÀÁ5Â/ 77ÃÄÅgÆ­Çl ,% @¦UÈÉ …ž$5¦UÈʅ ž/77Ë̽gÍÎ ÏÐl 0%…¦Ñ$`¦ Ò$ÓW¦¯ //Ô ÕÖ$5¦×Ø/ 77ÙÚÛ (1%Ü}ÝÞv @$ß5àáÅâ2 Wãväåæç’ èÂéêvëì/ 88íîï 书 一、单项选择题 １～４　ＤＢＢＣ　　５～８　ＣＡＤＣ 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＣ． 三、填空题 １２．ａｎ ＝ ０， ２ｎ－１{ ， ｎ＝１， ｎ≥２； 　１３．３ｎ－１；　１４．５６． 四、解答题 １５．（１）ａｎ ＝１０－２ｎ． （２）｛ｎ｜１≤ｎ≤１０，ｎ∈Ｎ｝． １６．（１）ａｎ ＝３ ｎ－２．证明略． （２ [） ５７，＋ )∞ ． １７．解：（１）当ｎ＝１时，２ａ１ ＝３ａ１－４，即ａ１ ＝４， 所以ａ１＋２＝６， 由２Ｓｎ ＝３ａｎ－４ｎ， ① 当ｎ≥２时，２Ｓｎ－１ ＝３ａｎ－１－４（ｎ－１）， ② ① －②得２ａｎ ＝３ａｎ－３ａｎ－１－４，即ａｎ ＝３ａｎ－１＋４， 所以ａｎ＋２＝３（ａｎ－１＋２）， 所以当λ＝２时，｛ａｎ＋λ｝是等比数列，首项为６，公比 为３． （２）由（１）得ａｎ＋２＝６×３ ｎ－１ ＝２×３ｎ， 所以ｂｎ ＝ ｎ（ａｎ＋２） ２ ＝ｎ×３ ｎ， 所以Ｔｎ ＝１×３＋２×３ ２＋３×３３＋… ＋ｎ×３ｎ， ３Ｔｎ ＝１×３ ２＋２×３３＋… ＋（ｎ－１）×３ｎ＋ｎ×３ｎ＋１， 故２Ｔｎ ＝ｎ×３ ｎ＋１－（３＋３２＋… ＋３ｎ）＝ｎ×３ｎ＋１－ ３（１－３ｎ） １－３ (＝ ｎ－ )１２ ×３ｎ＋１＋３２， 所以Ｔｎ ＝ （２ｎ－１）３ｎ＋１＋３ ４ ． １８．解：（１）依题意 ａ１＋ａ１ｑ＋ａ１ｑ ２ ＝１４， ２（ａ１ｑ＋１）＝ａ１＋ａ１ｑ ２{ ， 而ｑ＞１，解得ａ１ ＝２，ｑ＝２，则ａｎ ＝２ ｎ， 等差数列｛ｂｎ｝中，由４ｂ１ ＝ａ２ ＝４，得ｂ１ ＝１， 又ｂ８ ＝ａ３ ＝８，则公差ｄ＝ ｂ８－ｂ１ ８－１ ＝１， ｂｎ ＝ｂ１＋（ｎ－１）ｄ＝ｎ， 所以数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝的通项公式是ａｎ ＝２ ｎ，ｂｎ ＝ｎ． （２）由（１）知，数列｛ａｎ｝与数列｛ｂｎ｝都是递增数列， ａ５ ＝３２＜５０，ａ６ ＝６４＞５０， 因此新数列前５０项中，有５项是数列｛ａｎ｝的前５项， 另４５项为数列｛ｂｎ｝的前４５项， 而ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５ ＝ ２－２６ １－２＝６２， ｂ１＋ｂ２＋… ＋ｂ４５ ＝ ４５×（１＋４５） ２ ＝１０３５， 所以新数列的前５０项和为６２＋１０３５＝１０９７． １９．解：（１）因为数列｛ａｎ｝是“指数型数列”，所以对于 任意的ｎ，ｍ∈Ｎ＋，都有ａｎ＋ｍ ＝ａｎ·ａｍ．因为ａ１ ＝２， 所以ａ２ ＝ａ１·ａ１ ＝２×２＝４， ａ３ ＝ａ１·ａ２ ＝２×４＝８． （２） {数列 １ａｎ ＋ }１ 是“指数型数列”． 证明：由ａｎ ＝２ａｎａｎ＋１＋３ａｎ＋１得 １ ａｎ＋１ ＝ ３ａｎ ＋２， 即 １ ａｎ＋１ ＋１＝ (３ １ａｎ ＋ )１ ， {所以数列 １ａｎ ＋ }１ 是等比数列，且 １ａ１ ＋１＝３． 则 １ ａｎ ＋１ (＝ １ａ１ ＋ )１ ×３ｎ－１ ＝３·３ｎ－１ ＝３ｎ ( ， １ ａｎ ＋ ) (１ １ａｍ ＋ )１ ＝３ｎ·３ｍ ＝３ｎ＋ｍ， １ ａｎ＋ｍ ＋１＝３ｎ＋ｍ， {所以数列 １ａｎ ＋ }１ 是“指数型数列”． （３）因为数列｛ａｎ｝是“指数型数列”， 故对任意的ｎ，ｍ∈Ｎ＋， 有ａｎ＋ｍ ＝ａｎ·ａｍ，则ａｎ＋１ ＝ａｎ·ａ１， 所以ａｎ ＝ａｎ－１·ａ１ ＝… ＝ａ ｎ １ (＝ ａ＋２ａ＋ )３ ｎ ，ｎ≥２， ａ１ ＝ ａ＋２ ａ＋３适合该式． 假设数列｛ａｎ｝中存在三项ａｕ，ａｖ，ａｗ构成等差数列， 不妨设ｕ＜ｖ＜ｗ， 则有２ａｖ＝ａｕ＋ａｗ， 则 (２ ａ＋２ａ＋ )３ ｖ (＝ ａ＋２ａ＋ )３ ｕ (＋ ａ＋２ａ＋ )３ ｗ ． 故２（ａ＋３）ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ ＝（ａ＋３）ｗ－ｕ＋（ａ＋２）ｗ－ｕ， 当ａ为偶数且ａ∈Ｎ＋时，２（ａ＋３） ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ是偶 数，而（ａ＋３）ｗ－ｕ是奇数，（ａ＋２）ｗ－ｕ是偶数， 故２（ａ＋３）ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ ＝（ａ＋３）ｗ－ｕ＋（ａ＋２）ｗ－ｕ不 能成立； 当ａ为奇数且ａ∈Ｎ＋时，２（ａ＋３） ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ是偶 数，而（ａ＋３）ｗ－ｕ是偶数，（ａ＋２）ｗ－ｕ是奇数， 故２（ａ＋３）ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ ＝（ａ＋３）ｗ－ｕ＋（ａ＋２）ｗ－ｕ不 能成立； 所以对任意的 ａ∈ Ｎ＋，２（ａ＋ ３）ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ ＝（ａ＋３）ｗ－ｕ＋（ａ＋ ２）ｗ－ｕ不能成立． 即数列｛ａｎ｝中任意三项都不能 构成等差数列． 书 一、位置关系的判定 例１已知圆Ｃ：（ｘ－１）２＋（ｙ－１）２＝ｒ２，直线 ｌ：ｘ＋ｙ－１０＝０，则当ｒ满足什么条件时，圆Ｃ与直 线ｌ（１）相交；（２）相切；（３）相离． 解：圆心为Ｃ（１，１）， 圆心Ｃ到直线ｌ的距离 ｄ＝｜１＋１－１０｜ １２＋１槡 ２ ＝ 槡４２． 则（１）当ｒ＞ 槡４２时，圆与直线相交； （２）当ｒ＝ 槡４２时，圆与直线相切； （３）当ｒ＜ 槡４２时，圆与直线相离． 点评：直线与圆的位置关系，共有三种，可利 用圆心到直线的距离与半径的关系求解，也可联 立直线与圆的方程，但较为复杂． 例２求两圆Ｃ１：ｘ ２＋ｙ２－２ｘ－３５＝０，Ｃ２：ｘ ２＋ ｙ２－２６ｘ－１０ｙ＋１４５＝０的公切线的条数． 解：先把两圆的一般方程化为标准方程： Ｃ１：（ｘ－１） ２＋ｙ２ ＝３６， Ｃ２：（ｘ－１３） ２＋（ｙ－５）２ ＝４９． 因为｜Ｃ１Ｃ２｜＝１３＝｜ｒ１＋ｒ２｜，所以两圆外切． 所以两圆有３条公切线． 点评：求到两定点Ａ，Ｂ的距离分别为定长 ｒ１， ｒ２的直线的条数问题，可转化为求两圆公切线的条 数问题，即转化为两圆位置关系问题． 二、线圆方程的应用之对称性 例 ３在物理放射性实验中，一粒子从点 Ａ（－３，３）发出，射到临界面ｘ轴上，反射以后经过 的路线与圆Ｃ：ｘ２＋ｙ２－４ｘ－４ｙ＋７＝０相切进入 铅制收集箱．求粒子从点Ａ发出时经过的路线所在 的直线ｌ的方程． 解：将圆Ｃ的方程写成标准方程为 （ｘ－２）２＋（ｙ－２）２ ＝１． 因为路线经ｘ轴后反射， 所以粒子从点Ａ发出时经 过的路线所在的直线ｌ一定与 圆Ｃ关于 ｘ轴的对称圆 Ｃ１相 切．如图１． 因为Ｃ（２，２），所以Ｃ１（２，－２），半径ｒ＝１． 设ｌ的方程为ｙ－３＝ｋ（ｘ＋３）， 即ｋｘ－ｙ＋３ｋ＋３＝０． 因为直线ｌ与圆Ｃ１相切，则点Ｃ１到ｌ的距离等 于圆的半径，即 ｜２ｋ＋２＋３ｋ＋３｜ ｋ２＋槡 １ ＝１． 解得ｋ＝－４３或ｋ＝－ ３ ４． 分别代入直线方程，整理得直线ｌ的方程为 ４ｘ＋３ｙ＋３＝０或３ｘ＋４ｙ－３＝０． 点评：解决与圆有关的对称问题，要注意题中 隐含的信息，本例中“反射”是一个常见的与对称 有关的词． 三、线圆方程的应用之几何意义 例４如果实数ｘ，ｙ满足ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋１＝０， （１）求ｙｘ的最大值；　（２）求ｙ－ｘ的最小值． 解：（１）ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋１＝０可以化为 （ｘ－２）２＋ｙ２ ＝３．则 ｙｘ表示 圆上的点与原点连线的斜率．由图 ２可知，当直线ＯＡ和圆相切时，且 切点在第一象限时，ｋＯＡ即为所求 的最大值． 由ＯＣ＝２，ＡＣ＝槡３，∠ＯＡＣ＝９０°， 可得∠ＡＯＣ＝６０°，所以ｋＯＡ ＝槡３． 即 ｙ ｘ的最大值是槡３． （２）设ｙ－ｘ＝ｂ，则ｙ＝ｘ＋ｂ， 所以ｂ为直线ｙ＝ｘ＋ｂ在ｙ轴上的截距． 当直线与圆相切且切点在 第四象限时，ｂ最小，如图３． 由 ｜２＋ｂ｜ 槡２ ＝槡３， 解得ｂ＝－槡６－２或ｂ＝槡６－２（舍去）． 所以ｙ－ｘ的最小值为 －槡６－２． 点评：此类问题涉及的知识点包括斜率，相 切，线距，点距，最值等，比较综合，同学们重点在 于掌握其包含的基础知识． ! !"#$% ! " # $ % ! ' ! $ % ! ) ! " ! ! ! ! ' ) ! ' ) "!"'") "! "' ") " # $ #*+,-). ! / ! ./ 011 书书书 核 心 素 养 阶 段 测 评 （ 四 ） 测 试 范 围 ： 选 择 性 必 修 １ ～ ４ 章 ◎ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 第 Ⅰ 卷 选 择 题 （ 共 ５８ 分 ） 一 、 单 项 选 择 题 ： 本 大 题 共 ８ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 ４０ 分 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． 已 知 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 的 通 项 公 式 是 ａ ｎ ＝ ｎ２ ＋ （ － １） ｎ × ２， 则 其 第 ３， ４ 项 分 别 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ９， １４ （ Ｂ） ９， １８ （ Ｃ） ７， １８ （ Ｄ ） ７， １４ ２． 设 ａ ∈ Ｒ ，则 “ 直 线 ａｘ ＋ ｙ － １ ＝ ０ 与 直 线 ｘ ＋ ａｙ ＋ １ ＝ ０ 平 行 ” 是 “ ａ ＝ １” 的 （ 　 　 ） （ Ａ ） 充 分 不 必 要 条 件 （ Ｂ） 充 要 条 件 （ Ｃ） 必 要 不 充 分 条 件 （ Ｄ ） 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 ３． 若 向 量 ｐ 在 空 间 的 一 组 基 底 ｛ ａ， ｂ， ｃ｝ 下 的 坐 标 是 （ １， ３， ２） ，则 ｐ 在 基 底 ｛ ａ ＋ ｂ， ａ － ｂ， ｃ｝ 下 的 坐 标 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） （ ４， － ２， ２） （ Ｂ） （ ２， １， ２） （ Ｃ） （ ２， － １， ２） （ Ｄ ） （ １， ３， ２） ４． 等 差 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 中 ，若 Ｓ ９ ＝ １８ ，Ｓ ｎ ＝ ２４ ０， ａ ｎ －４ ＝ ３０ ，则 ｎ ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） １４ （ Ｂ） １５ （ Ｃ） １６ （ Ｄ ） １７ ５． 在 坐 标 平 面 内 ，与 点 Ａ（ １， ２） 距 离 为 ３， 且 与 点 Ｂ（ ３， ２） 距 离 为 １ 的 直 线 共 有 （ 　 　 ） （ Ａ ） １ 条 （ Ｂ） ２ 条 （ Ｃ） ３ 条 （ Ｄ ） ４ 条 ６． 如 图 １ 所 示 的 多 面 体 是 由 底 面 为 ＡＢ ＣＤ 的 长 方 体 被 截 面 ＡＥ Ｃ １ Ｆ 所 截 得 到 的 ， 其 中 ＡＢ ＝ ３， ＢＣ ＝ ２， ＣＣ １ ＝ ４， ＢＥ ＝ ２， 则 ＢＣ 中 点 Ｇ 到 平 面 ＡＥ Ｃ １ Ｆ 的 距 离 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） 槡 ２ １１ （ Ｂ） 槡３ ２ １１ （ Ｃ） 槡 ３ ２ ２ ２２ （ Ｄ ） 槡 ９ ２２ ２２ ７ ． 设 Ｆ 为 双 曲 线 ｘ２ ａ２ － ｙ２ ｂ２ ＝ １（ ａ ＞ ｂ ＞ ０） 的 右 焦 点 ，Ｏ 为 坐 标 原 点 ，若 Ｏ Ｆ 的 垂 直 平 分 线 与 渐 近 线 在 第 一 象 限 内 的 交 点 到 另 一 条 渐 近 线 的 距 离 为 ２ ３ ｜ Ｏ Ｆ ｜， 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） 槡２ ３ （ Ｂ） 槡３ ５ ５ （ Ｃ） 槡２ ５ （ Ｄ ） ５ ８． 设 抛 物 线 Ｔ： ｙ２ ＝ ４ｘ 的 焦 点 为 Ｆ， Ａ 为 抛 物 线 上 一 点 且 Ａ 在 第 一 象 限 ， ｜ ＡＦ ｜ ＝ ４， 若 将 直 线 ＡＦ 绕 点 Ｆ 逆 时 针 旋 转 ４５ °得 到 直 线 ｌ， 且 直 线 ｌ与 抛 物 线 交 于 Ｃ， Ｄ 两 点 ，则 ｜ Ｃ Ｄ ｜ ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） 槡 ３２ － １６ ３ （ Ｂ） 槡 ３２ － １ ６ ２ （ Ｃ） 槡 １６ － ８ ３ （ Ｄ ） 槡 １６ － ８ ２ 二 、 多 项 选 择 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ６ 分 ， 共 １８ 分 ． ９． 已 知 等 比 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 的 公 比 为 ｑ（ ｑ ＞ ０） ，前 ｎ 项 积 为 Ｔ ｎ ，若 Ｔ ３ ＞ Ｔ ２ ＞ Ｔ ４ ，则 （ 　 　 ） （ Ａ ） ａ １ ＞ ０ （ Ｂ） ０ ＜ ｑ ＜ １ （ Ｃ） Ｔ ５ ＞ １ （ Ｄ ） Ｔ ６ ＞ １ １０ ．曲 线 Ｃ 的 方 程 为 ｘ２ － ｙ２ λ － ４ ＝ ０， 则 （ 　 　 ） （ Ａ ） 当 λ ＞ ０ 时 ，曲 线 Ｃ 是 焦 距 为 ４ １ ＋ 槡 λ 的 双 曲 线 （ Ｂ） 当 λ ＜ － １ 时 ，曲 线 Ｃ 是 焦 距 为 ４ １ － 槡 λ 的 双 曲 线 （ Ｃ） 曲 线 Ｃ 不 可 能 为 圆 （ Ｄ ） 当 － １ ＜ λ ＜ ０ 时 ，曲 线 Ｃ 是 焦 距 为 ４ １ ＋ 槡 λ 的 椭 圆 １１ ．如 图 ２， 在 菱 形 ＡＢ ＣＤ 中 ，Ａ Ｂ ＝ 槡４ ３ ３ ， ∠ ＢＡ Ｄ ＝ ６０ °， 沿 对 角 线 ＢＤ 将 △ ＡＢ Ｄ 折 起 ，使 点 Ａ， Ｃ 之 间 的 距 离 为 槡２ ２（ 如 图 ３） ．若 Ｐ， Ｑ 分 别 为 线 段 ＢＤ ，Ｃ Ａ 上 的 动 点 ，则 下 列 说 法 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） 平 面 ＡＢ Ｄ ⊥ 平 面 ＢＣ Ｄ （ Ｂ） 线 段 ＰＱ 长 度 的 最 小 值 为 槡 ２ （ Ｃ） 当 ＡＱ ＝ Ｑ Ｃ， ４Ｐ Ｄ ＝ Ｄ Ｂ 时 ，点 Ｄ 到 直 线 ＰＱ 的 距 离 为 槡 １４ １４ （ Ｄ ） 当 Ｐ， Ｑ 分 别 为 线 段 ＢＤ ，Ｃ Ａ 的 中 点 时 ，Ｐ Ｑ 与 ＡＤ 所 成 角 的 余 弦 值 为 槡 ６ ４ 第 Ⅱ 卷 非 选 择 题 （ 共 ９２ 分 ） 三 、 填 空 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 １５ 分 ． １２ ．若 圆 Ｃ 的 半 径 为 １， 圆 心 在 第 三 象 限 ，且 与 直 线 ４ｘ － ３ｙ ＝ ０ 和 ｙ 轴 都 相 切 ，则 该 圆 的 标 准 方 程 是 ． １３ ．已 知 空 间 直 角 坐 标 系 ｘＯ ｙ 中 ，过 点 Ｐ（ ｘ ０ ，ｙ ０ ，ｚ ０ ） 且 一 个 法 向 量 为 ｍ ＝ （ ａ， ｂ， ｃ） 的 平 面 α 的 方 程 为 ａ（ ｘ － ｘ ０ ） ＋ ｂ（ ｙ － ｙ ０ ） ＋ ｃ（ ｚ － ｚ ０ ） ＝ ０， 过 点 Ｐ（ ｘ ０ ，ｙ ０ ，ｚ ０ ） 且 方 向 向 量 为 ｎ ＝ （ ｕ， ｖ， ｗ） （ ｕｖ ｗ ≠ ０） 的 直 线 ｌ的 方 程 为 ｘ － ｘ ０ ｕ ＝ ｙ － ｙ ０ ｖ ＝ ｚ － ｚ ０ ｗ ．用 以 上 知 识 解 决 下 面 问 题 ： 已 知 平 面 α 的 方 程 为 ｘ － ２ｙ ＋ ３ｚ ＋ ３ ＝ ０， 直 线 ｌ是 两 个 平 面 ２ｘ － ｙ ＋ ２ ＝ ０ 与 ｘ － ２ｚ ＋ １ ＝ ０ 的 交 线 ，则 直 线 ｌ与 平 面 α 所 成 角 的 正 弦 值 为 ． １４ ．已 知 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 是 递 增 的 等 比 数 列 ，ａ １ ＋ ａ ４ ＝ １８ ，ａ ２ ａ ３ ＝ ３ ２ ． 若 ｛ ａ ｎ ｝ 的 前 ｎ 项 和 为 Ｓ ｎ ， 且 Ｓ ｋ ＋６ － Ｓ ｋ ＝ ２１ １ － ２５ ， 则 正 整 数 ｋ 等 于 ． 四 、 解 答 题 ： 本 题 共 ５ 小 题 ， 共 ７７ 分 ． １５ ．（ １３ 分 ） 已 知 △ ＡＢ Ｃ 的 顶 点 Ｃ（ １ ，０ ） ， ＢＣ 边 上 的 高 所 在 直 线 的 方 程 为 ｘ － ｙ ＋ １ ＝ ０． （ １） 求 直 线 ＢＣ 的 一 般 式 方 程 ； （ ２） 若 ＡＣ 边 上 的 中 线 所 在 直 线 的 方 程 为 ｙ ＝ ３， 求 顶 点 Ａ 的 坐 标 ． １６ ．（ １５ 分 ） 已 知 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 是 等 差 数 列 ， 且 ａ ｐ ＝ ｑ， ａ ｑ ＝ ｐ（ ｐ ＜ ｑ ） ，ａ ｐ＋ ｑ ＝ ｐ ＋ ｑ － ３． （ １） 求 ｐ， ｑ 的 值 及 数 列 ｛ ａ ｎ ｝ 的 通 项 公 式 ； （ ２） 若 ａ ４ ，ａ ５ ，ａ ｂ １ ，ａ ｂ ２ ，… ，ａ ｂ ｎ 成 等 比 数 列 ，求 数 列 ｛ ｂ ｎ ｝ 的 通 项 公 式 ． 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; < = > ? @ A ! B C ! " # $ % & ' ( 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; < = > D @ A ! E F ) " # $ % & ' ( ! & " " / ' ( ) * + ! / " ,) # " - ) . + , ! ' ! ) !! "GHIJIE 0 "KQRSB "TUV*WX2)1/+1'3/'14 "GHYZX./[\]^_`abcd 52' efgQhij /' k4lhmTUV "noT'O2)2224 "^pVqhrsO2)1/"1'3/'46 /11)44)4773tuvwex "qyXz{Gh^pVZ|}~€n‚ƒ„… "noqyrsX///71 "†‡ˆ‰qŠ‹qŒq " G H Ž ~  € [^… A‘ ’ “ H " G H ” • – — ˜ ™ š › œ  ž Ÿ  ¡ ¢ ^ = £ a ¤ ¥ ¦ § ¨ © ª « // e…¬ › ­ ®  › ¯ ° ± ² ³ ­ z { ´ h ^ p V Z | µ ¶ 书 第２２期３，４版 数列核心素养综合测评 一、单项选择题 １～４　ＤＢＢＣ　　５～８　ＣＡＤＣ 提示： １．因为根据数列１，槡３，槡５，槡７，３，…， 所以ａｎ ＝ ２ｎ－槡 １（ｎ∈Ｎ＋）， 又 槡３３＝槡２７， 所以 ２ｎ－槡 １＝槡２７，解得ｎ＝１４． ２．ａ３ ＝ ａ３ ａ２ × ａ２ ａ１ ×ａ１ ＝ ３２ ２２ ×２ ２ １２ ×ａ１ ＝９ａ１ ＝３． ３．设九只茶壶按容积从小到大依次记为ａ１，ａ２，…，ａ９， 由题意可得ａ１＋ａ２＋ａ３ ＝０．５，ａ７＋ａ８＋ａ９ ＝２．５， 所以３ａ２ ＝０．５，３ａ８ ＝２．５ａ２＋ａ８ ＝１， 所以ａ５ ＝ ａ２＋ａ８ ２ ＝０５． ４．设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ（ｄ≠０）， 由题意知ａ２４ ＝ａ２ａ８，ａ４ ＝４， 所以（４－２ｄ）（４＋４ｄ）＝１６， 解得ｄ＝１或ｄ＝０（舍去），所以ａ１ ＝１， 所以Ｓ１０ ＝１０×１＋ １０×９ ２ ×１＝５５． ５．ａ２ ＝ａ１ａ３ａ１ｑ＝１ａ１ ＝ １ ｑ， Ｓ３＋Ｔ３ ＝１２２ｑ＋３＋ ４ ｑ ＝１２， 则２ｑ２－９ｑ＋４＝（２ｑ－１）（ｑ－４）＝０ ｑ１ ＝ １ ２，ｑ２ ＝４， 由于｛ａｎ｝为递增数列，则ｑ＝４，ａ１ ＝ １ ４， 所以｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝４ ｎ－２， 所以Ｓｎ ＝ １ ４（１－４ ｎ） １－４ ＝ １ １２（４ ｎ－１）． ６．根据题意得ａ２ｎ＋１－ａ ２ ｎ ＝２（ｎ≥１，ｎ∈Ｎ＋）， 故｛ａ２ｎ｝是公差为２的等差数列， 所以ａ２ｎ ＝ａ ２ ９＋２（ｎ－９）＝２ｎ， 又｛ａｎ｝各项为正，则ａｎ ＝ ２槡ｎ， 所以 ２ ａｎ＋ａｎ＋１ ＝ ２ ２ｎ＋槡 ２＋ ２槡ｎ ＝ ２（ ２ｎ＋槡 ２－ ２槡ｎ） （ ２ｎ＋槡 ２＋ ２槡ｎ）（ ２ｎ＋槡 ２－ ２槡ｎ） ＝ ２ｎ＋槡 ２－ ２槡ｎ， {故数列 ２ａｎ＋ａｎ＋ }１ 的前２４项和为（槡４－槡２）＋（槡６ －槡４）＋… ＋（槡５０－槡４８）＝槡５０－槡２＝ 槡４２． ７．设数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 由已知得 ａ１＋ｄ＝－７， ２ａ１ ＝５ａ１＋ ５×４ ２ ｄ { ，解得 ａ１ ＝－１０，ｄ＝３{ ， 则Ｓｎ ＝－１０ｎ＋ ｎ（ｎ－１） ２ ×３＝ ３ｎ２－２３ｎ ２ ． 因为ｆ（ｘ）＝１２（３ｘ ２－２３ｘ）的零点为ｘ＝０，ｘ＝２３３， 所以｜ｆ（ｘ）｜（ｘ∈Ｎ＋）的最小值是靠近零点处的函 数值． 又｜Ｓ１｜＝１０，｜Ｓ７｜＝７，｜Ｓ８｜＝４， 所以ｎ＝８时，｜Ｓｎ｜最小． ８．设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ，ｑ＞０，且ａｎ ＞０． 由题意得 ａ１（１＋ｑ ２）＝２０， ａ３（１＋ｑ ２）＝５{ ，两式相除得ｑ２ ＝ １４， 所以ｑ＝ １２，所以ａ１ ＝１６，故ａｎ ＝２ ５－ｎ． 显然当ｎ≤５时，ａ１ａ２…ａｎ ＜１不成立， 所 以 ｎ ＞ ５ 且 ｎ ∈ Ｎ＋， 则 ａ１ａ２…ａｎ ＝ ２４＋３＋２＋１＋０＋（－１）＋（－２）＋…＋（５－ｎ） ＝２ ｎ（９－ｎ） ２ ＜１， 即 ｎ（９－ｎ） ２ ＜０，则ｎ＞９， 故正整数ｎ的最小值为１０． 二、多项选择题 ９．ＡＣＤ；　１０．ＡＣＤ；　１１．ＡＣ． 提示： ９．根据题意，等比数列｛ａｎ｝的首项为３，公比为ｑ，（ｑ ∈Ｚ）， 若２４３是该数列中的一项，设２４３是该数列的第ｎ项， 则ａ１ｑ ｎ－１ ＝２４３，变形可得ｑｎ－１ ＝８１， 又由ｑ∈Ｚ，当ｎ＝２时，ｑ＝８１， 当ｎ＝３时，ｑ＝±９，当ｎ＝５时，ｑ＝±３． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １０．｛ａｎ｝的前若干项依次为１，２，１，１，０，１，１，０，１，１， ０，．．．， 所以ａ５ ＝０，故（Ａ）正确； 由ａ１ ＝１＞０，ａｎ≥０，可得Ｓｎ ＞０，故（Ｂ）错误； 由ａ５ ＝０，可得Ｓ４ ＝Ｓ５，故（Ｃ）正确； Ｓ３２ ＝１＋２＋１０×（１＋１＋０）＝２３，故（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｃ）（Ｄ）． １１．设等差数列的公差为ｄ，因为ａ１＋３ａ５ ＝Ｓ７， 所以ａ１＋３（ａ１＋４ｄ）＝７ａ１＋２１ｄ， 解得ａ１ ＝－３ｄ． 又ａｎ ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ＝（ｎ－４）ｄ， 所以ａ４ ＝０，所以（Ａ）正确； 因为公差ｄ的正负不能确定，所以Ｓ３可能为最大值， 也可能为最小值，故（Ｂ）不正确； 因为Ｓ６－Ｓ１ ＝ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＋ａ６ ＝５ａ４ ＝０， 所以Ｓ６ ＝Ｓ１，所以（Ｃ）正确； 因为ａ３＋ａ５ ＝２ａ４ ＝０，所以ａ３ ＝－ａ５， 即｜ａ３｜＝｜ａ５｜，所以（Ｄ）错误． 故选（Ａ）（Ｃ）． 三、填空题 １２．ａｎ ＝ ０， ２ｎ－１{ ， ｎ＝１， ｎ≥２； 　１３．３ｎ－１；　１４．５６． 提示： １２．由Ｓｎ＋１ ＝ｎ ２－１＋ａｎ＋１得 ｎ≥２时，Ｓｎ ＝（ｎ－１） ２－１＋ａｎ， 两式相减得ａｎ ＝ｎ ２－（ｎ－１）２ ＝２ｎ－１（ｎ≥２）， 当ｎ＝１时，Ｓ２ ＝１ ２－１＋ａ２ ＝ａ１＋ａ２ａ１ ＝０， 故ａｎ ＝ ０， ２ｎ－１{ ， ｎ＝１， ｎ≥２． １３．“追梦数列”｛ａｎ｝满足 １ ａｎ＋１ －３ａｎ ＝０（ｎ∈Ｎ＋）， 即ａｎ ＝３ａｎ＋１，则数列｛ａｎ｝是公比为 １ ３的等比数列． {若数列 １ｂｎ＋ }１ 为“追梦数列”， 则 １ ｂｎ＋１ ＝ １ｂ１＋１ (× )１３ ｎ－１ ＝ １ ３ｎ ， 则ｂｎ＋１＝３ ｎ，则ｂｎ ＝３ ｎ－１． １４．当ｎ＝１时，ａ１ ＝ ２ ３， 当ｎ≥２时，由ａ１＋３ａ２＋９ａ３＋… ＋３ ｎ－１ａｎ ＝ ｎ＋１ ３ 可得ａ１＋３ａ２＋９ａ３＋… ＋３ ｎ－２ａｎ－１ ＝ ｎ ３， 两式相减，可得３ｎ－１ａｎ ＝ ｎ＋１ ３ － ｎ ３ ＝ １ ３， 解得ａｎ ＝ １ ３ｎ ． 因为当ｎ＝１时，ａ１ ＝ ２ ３不满足上式． 所以ａｎ ＝ ２ ３， １ ３ｎ { ， ｎ＝１， ｎ≥２， 则当ｎ＝１时，Ｓ１ ＝ａ１ ＝ ２ ３， 当ｎ≥２时，Ｓｎ ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋… ＋ａｎ ＝ ２３＋ １ ３２ ＋１ ３３ ＋… ＋１ ３ｎ ＝ ２３＋ １ ３２ － １ ３ｎ＋１ １－１３ ＝ ５６－ １ ２·３ｎ ， 因为当ｎ＝１时，Ｓ１ ＝ ２ ３也满足上式， 所以Ｓｎ ＝ ５ ６－ １ ２·３ｎ ，ｎ∈Ｎ＋． 因为Ｓｎ ＝ ５ ６－ １ ２·３ｎ ＜ ５６， 且Ｓｎ ＜ｋ对任意ｎ∈Ｎ＋恒成立， 所以ｋ≥ ５６，即实数ｋ的最小值为 ５ ６． 四、解答题 １５．解：（１）设｛ａｎ｝的公差为ｄ． 由Ｓ９ ＝－ａ５得ａ５ ＝ａ１＋４ｄ＝０． 由ａ３ ＝４得ａ１＋２ｄ＝４．于是ａ１ ＝８，ｄ＝－２． 因此｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝１０－２ｎ． （２）由（１）得ａ１ ＝－４ｄ， 故ａｎ ＝（ｎ－５）ｄ，Ｓｎ ＝ ｎ（ｎ－９）ｄ ２ ． 由ａ１ ＞０知ｄ＜０， 故Ｓｎ≥ａｎ等价于ｎ ２－１１ｎ＋１０≤０， 解得１≤ｎ≤１０． 所以ｎ的取值范围是｛ｎ｜１≤ｎ≤１０，ｎ∈Ｎ｝． １６．（１）证明：由ａ１ ＝１，ａｎ ＝３ａｎ－１＋４（ｎ≥２） 可得ａｎ＋２＝３ａｎ－１＋６＝３（ａｎ－１＋２），ａ１＋２＝３．， 即数列｛ａｎ＋２｝是首项和公比均为３的等比数列， 则ａｎ＋２＝３ ｎ，即ａｎ ＝３ ｎ－２． （２）解：数列ｃｎ＝ ３ｂｎ ａｎ·ａｎ＋１ ＝ ａｎ＋２ ａｎ·ａｎ＋１ ＝ ３ ｎ （３ｎ－２）（３ｎ＋１－２） ， 则 ｃｎ＋１ ｃｎ ＝ ３ ｎ＋１ （３ｎ＋１－２）（３ｎ＋２－２） · （３ｎ－２）（３ｎ＋１－２） ３ｎ ＝３ ｎ＋１－６ ３ｎ＋２－２ ＜１， 所以｛ｃｎ｝为递减数列，可得ｃｎ≤ｃ１ ＝ ３ ７． 若任意正整数ｎ，不等式ｃｎ≤２λ－１恒成立， 则２λ－１≥ ３７，即有λ≥ ５ ７， 即λ [的取值范围是 ５７，＋ )∞ ． １７．解：（１）当ｎ＝１时，２ａ１ ＝３ａ１－４，即ａ１ ＝４， 所以ａ１＋２＝６， 由２Ｓｎ ＝３ａｎ－４ｎ， ① 当ｎ≥２时，２Ｓｎ－１ ＝３ａｎ－１－４（ｎ－１）， ② ① －②得２ａｎ ＝３ａｎ－３ａｎ－１－４，即ａｎ ＝３ａｎ－１＋４， 所以ａｎ＋２＝３（ａｎ－１＋２）， 所以当λ＝２时，｛ａｎ＋λ｝是等比数列，首项为６，公 比为３． （２）由（１）得ａｎ＋２＝６×３ ｎ－１ ＝２×３ｎ， 所以ｂｎ ＝ ｎ（ａｎ＋２） ２ ＝ｎ×３ ｎ， 所以Ｔｎ ＝１×３＋２×３ ２＋３×３３＋… ＋ｎ×３ｎ， ３Ｔｎ ＝１×３ ２＋２×３３＋… ＋（ｎ－１）×３ｎ＋ｎ×３ｎ＋１， 故２Ｔｎ ＝ｎ×３ ｎ＋１－（３＋３２＋… ＋３ｎ）＝ｎ×３ｎ＋１－ !"#$%& ! '()*+,-./- " ' !"# !!"!#$%&'( )*+,-./ # $$01 %&$2 ! " # $ %& ! 34567#89 书 ３（１－３ｎ） １－３ (＝ ｎ－ )１２ ×３ｎ＋１＋３２， 所以Ｔｎ ＝ （２ｎ－１）３ｎ＋１＋３ ４ ． １８．解：（１）依题意 ａ１＋ａ１ｑ＋ａ１ｑ ２ ＝１４， ２（ａ１ｑ＋１）＝ａ１＋ａ１ｑ ２{ ， 而ｑ＞１，解得ａ１ ＝２，ｑ＝２，则ａｎ ＝２ ｎ， 等差数列｛ｂｎ｝中，由４ｂ１ ＝ａ２ ＝４，得ｂ１ ＝１， 又ｂ８ ＝ａ３ ＝８，则公差ｄ＝ ｂ８－ｂ１ ８－１ ＝１， ｂｎ ＝ｂ１＋（ｎ－１）ｄ＝ｎ， 所以数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝的通项公式是ａｎ ＝２ ｎ，ｂｎ ＝ｎ． （２）由（１）知，数列｛ａｎ｝与数列｛ｂｎ｝都是递增数列， ａ５ ＝３２＜５０，ａ６ ＝６４＞５０， 因此新数列前５０项中，有５项是数列｛ａｎ｝的前５项， 另４５项为数列｛ｂｎ｝的前４５项， 而ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５ ＝ ２－２６ １－２＝６２， ｂ１＋ｂ２＋… ＋ｂ４５ ＝ ４５×（１＋４５） ２ ＝１０３５， 所以新数列的前５０项和为６２＋１０３５＝１０９７． １９．解：（１）因为数列｛ａｎ｝是“指数型数列”，所以对 于任意的ｎ，ｍ∈Ｎ＋，都有ａｎ＋ｍ ＝ａｎ·ａｍ．因为ａ１ ＝２， 所以ａ２ ＝ａ１·ａ１ ＝２×２＝４， ａ３ ＝ａ１·ａ２ ＝２×４＝８． （２） {数列 １ａｎ ＋ }１ 是“指数型数列”． 证明：由ａｎ ＝２ａｎａｎ＋１＋３ａｎ＋１得 １ ａｎ＋１ ＝ ３ａｎ ＋２， 即 １ ａｎ＋１ ＋１＝ (３ １ａｎ ＋ )１ ， {所以数列 １ａｎ ＋ }１ 是等比数列，且 １ａ１ ＋１＝３． 则 １ ａｎ ＋１ (＝ １ａ１ ＋ )１ ×３ｎ－１ ＝３·３ｎ－１ ＝３ｎ ( ， １ ａｎ ＋ ) (１ １ａｍ ＋ )１ ＝３ｎ·３ｍ ＝３ｎ＋ｍ， １ ａｎ＋ｍ ＋１＝３ｎ＋ｍ， {所以数列 １ａｎ ＋ }１ 是“指数型数列”． （３）因为数列｛ａｎ｝是“指数型数列”， 故对任意的ｎ，ｍ∈Ｎ＋， 有ａｎ＋ｍ ＝ａｎ·ａｍ，则ａｎ＋１ ＝ａｎ·ａ１， 所以ａｎ ＝ａｎ－１·ａ１ ＝… ＝ａ ｎ １ (＝ ａ＋２ａ＋ )３ ｎ ，ｎ≥２， ａ１ ＝ ａ＋２ ａ＋３适合该式． 假设数列｛ａｎ｝中存在三项ａｕ，ａｖ，ａｗ构成等差数列， 不妨设ｕ＜ｖ＜ｗ， 则有２ａｖ＝ａｕ＋ａｗ， 则 (２ ａ＋２ａ＋ )３ ｖ (＝ ａ＋２ａ＋ )３ ｕ (＋ ａ＋２ａ＋ )３ ｗ ． 故２（ａ＋３）ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ ＝（ａ＋３）ｗ－ｕ＋（ａ＋２）ｗ－ｕ， 当ａ为偶数且ａ∈Ｎ＋时，２（ａ＋３） ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ是偶 数，而（ａ＋３）ｗ－ｕ是奇数，（ａ＋２）ｗ－ｕ是偶数， 故２（ａ＋３）ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ ＝（ａ＋３）ｗ－ｕ＋（ａ＋２）ｗ－ｕ 不能成立； 当ａ为奇数且ａ∈Ｎ＋时，２（ａ＋３） ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ是偶 数，而（ａ＋３）ｗ－ｕ是偶数，（ａ＋２）ｗ－ｕ是奇数， 故２（ａ＋３）ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ ＝（ａ＋３）ｗ－ｕ＋（ａ＋２）ｗ－ｕ 不能成立； 所以对任意的ａ∈Ｎ＋，２（ａ＋３） ｗ－ｖ（ａ＋２）ｖ－ｕ ＝（ａ＋ ３）ｗ－ｕ＋（ａ＋２）ｗ－ｕ不能成立． 即数列｛ａｎ｝中任意三项都不能构成等差数列． 第２３期３，４版 核心素养阶段测评（四） 一、单项选择题 １～４　ＣＢＣＢ　５～８　ＡＤＢＡ 提示： １．由ａｎ ＝ｎ ２＋（－１）ｎ×２得， ａ３ ＝３ ２－２＝７，ａ４ ＝４ ２＋２＝１８． ２．若直线ａｘ＋ｙ－１＝０与直线ｘ＋ａｙ＋１＝０平行， 则 ａ２－１＝０， ａ＋１≠{ ０ ａ＝１； 若ａ＝１，则直线ｘ＋ｙ－１＝０与直线ｘ＋ｙ＋１＝０ 平行， 所以直线ａｘ＋ｙ－１＝０与直线ｘ＋ａｙ＋１＝０平行 是ａ＝１的充要条件． ３．因为ｐ在基底｛ａ，ｂ，ｃ｝下的坐标是（１，３，２）， 所以ｐ＝ａ＋３ｂ＋２ｃ， 设ｐ在基底｛ａ＋ｂ，ａ－ｂ，ｃ｝下的坐标为（ｘ，ｙ，ｚ）， 则ｐ＝ｘ（ａ＋ｂ）＋ｙ（ａ－ｂ）＋ｚｃ ＝（ｘ＋ｙ）ａ＋（ｘ－ｙ）ｂ＋ｚｃ， 因此ａ＋３ｂ＋２ｃ＝（ｘ＋ｙ）ａ＋（ｘ－ｙ）ｂ＋ｚｃ， 所以ｘ＋ｙ＝１，ｘ－ｙ＝３，ｚ＝２， 即ｘ＝２，ｙ＝－１，ｚ＝２， 即向量ｐ在基底｛ａ＋ｂ，ａ－ｂ，ｃ｝下的坐标为（２，－１，２）． ４．由等差数列的性质知 ａ１＋ａ９ ＝２ａ５，ａ１＋ａｎ ＝ａ５＋ａｎ－４， 因为Ｓ９ ＝ ９（ａ１＋ａ９） ２ ＝９ａ５ ＝１８，故ａ５ ＝２， 又Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１＋ａｎ） ２ ＝ ｎ（ａ５＋ａｎ－４） ２ ＝２４０， 故 ｎ（２＋３０） ２ ＝２４０，所以ｎ＝１５． ５．当直线的斜率不存在时，直线ｘ＝４满足与点Ａ（１， ２）距离为３，且与点Ｂ（３，２）距离为１， 以点Ａ（１，２）为圆心，ｒ１ ＝３为半径的圆的方程为 （ｘ－１）２＋（ｙ－２）２ ＝９， 以点 Ｂ（３，２）为圆心，ｒ２ ＝１为半径的圆的方程为 （ｘ－３）２＋（ｙ－２）２ ＝１， 因为｜ＡＢ｜＝２＝ｒ１－ｒ２，则两圆相内切， 故两圆的公切线有且仅有１条，即ｘ＝４， 故在坐标平面内，与点Ａ（１，２）距离为３，且与点Ｂ（３， ２）距离为１的直线共有１条． ６．如图１，以Ｄ为原点，以 ＤＡ，ＤＣ，ＤＦ所在直线为ｘ轴， ｙ轴，ｚ轴建立空间直角坐标 系， 则 Ａ（２，０，０），Ｅ（２，３， ２），Ｃ１（０，３，４），Ｇ（１，３，０）， 所以ＡＣ→ １ ＝（－２，３，４），→ＡＥ＝（０，３，２）， →ＧＥ＝（１，０，２）， 设ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）为平面ＡＥＣ１Ｆ的法向量， 则 ｎ·→ＡＥ＝０， ｎ·ＡＣ→ １ ＝０ { ， 所以 ３ｙ＋２ｚ＝０， －２ｘ＋３ｙ＋４ｚ＝０{ ， 令ｚ＝１，所以ｎ (＝ １，－２３， )１ ， 所以点Ｃ到平面ＡＥＣ１Ｆ的距离为 ｄ＝ →｜ＧＥ·ｎ｜ ｜ｎ｜ ＝ 槡９ ２２ ２２ ． ７．双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）渐近线方程为 ｙ＝±ｂａｘ， 由ＯＦ的垂直平分线为ｘ＝ ｃ２， 将ｘ＝ ｃ２，代入ｙ＝ ｂ ａｘ，则ｙ＝ ｂｃ ２ａ， 则交点坐标为 (Ｍ ｃ２，ｂｃ２ )ａ ， 则点Ｍ到ｙ＝－ｂａｘ（即ｂｘ＋ａｙ＝０）的距离为 ｄ＝ ｂｃ ２＋ ｂｃ ２ ａ２＋ｂ槡 ２ ＝ ２３｜ＯＦ｜＝ ２ｃ ３， 解得９ａ２ ＝５ｃ２，则双曲线的离心率ｅ＝ ｃａ ＝ 槡３５ ５． ８．如图２，由题可知Ｆ（１，０）， 设Ａ（ｘ０，ｙ０），ｘ０ ＞０，ｙ０ ＞０， 则｜ＡＦ｜＝ｘ０＋１＝４，所以ｘ０ ＝３，则ｙ０ ＝ 槡２３，Ａ（３，槡２３）， 故ｋＡＦ ＝ 槡 ２３－０ ３－１ ＝槡３， 所以∠ＡＦｘ＝６０°， 则直线ｌ的倾斜角 α＝６０°＋４５°， 所以直线ｌ的斜率 ｋ＝ｔａｎ（６０°＋４５°）＝槡３＋１ １－槡３ ＝－２－槡３， 所以直线ｌ的方程为ｙ＝（－２－槡３）（ｘ－１）， 联立 ｙ＝（－２－槡３）（ｘ－１）， ｙ２ ＝４ｘ{ ， 可得（７＋ 槡４３）ｘ ２－（１８＋ 槡８３）ｘ＋７＋ 槡４３＝０． 设Ｃ（ｘ１，ｙ１），Ｄ（ｘ２，ｙ２）， 则ｘ１＋ｘ２ ＝ １８＋ 槡８３ ７＋ 槡４３ ＝３０－ 槡１６３， 所以｜ＣＤ｜＝ｘ１＋ｘ２＋２＝３２－ 槡１６３． 二、多项选择题 ９．ＡＢＣ；　１０．ＡＤ；　１１．ＡＢＤ． 提示： ９．由题可得Ｔ２ ＝ａ１ａ２ ＝ａ ２ １ｑ＞０， 则ａ３ ＝ Ｔ３ Ｔ２ ＞１，ａ３ａ４ ＝ Ｔ４ Ｔ２ ＜１，即ａ３ ＞１＞ａ３ａ４， 所以ａ３ ＝ａ１ｑ ２ ＞１，ａ４ ＜ １ ａ３ ＜１， 所以ａ１ ＞０，０＜ｑ＝ ａ４ ａ３ ＜１，故（Ａ），（Ｂ）正确； 所以Ｔ５ ＝ａ１·ａ２·ａ３·ａ４·ａ５ ＝ａ ５ ３ ＞１， Ｔ６ ＝ａ１·ａ２·ａ３·ａ４·ａ５·ａ６＝（ａ３·ａ４） ３＜１，故（Ｃ） 正确，（Ｄ）错误． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）． １０．当λ＞０时，方程ｘ２－ｙ ２ λ －４＝０化为ｘ ２ ４－ ｙ２ ４λ ＝１， 曲线Ｃ是焦距为２ ４＋４槡 λ＝４ １＋槡 λ的双曲线，（Ａ） 正确； 当λ＜－１时，方程ｘ２－ｙ ２ λ －４＝０化为ｘ ２ ４＋ ｙ２ ４（－λ） ＝１， 曲线Ｃ是焦点在 ｙ轴上，焦距为２ ４（－λ）－槡 ４＝ ４ －１－槡 λ的椭圆，（Ｂ）错误； 当λ＝－１时，曲线Ｃ表示圆ｘ２＋ｙ２ ＝４，（Ｃ）错误； 当 －１＜λ＜０时，方程ｘ２－ｙ ２ λ －４＝０化为ｘ ２ ４ ＋ ｙ２ ４（－λ） ＝ １，曲线 Ｃ是焦点在 ｘ轴上，焦距为 ２ ４－４（－槡 λ）＝４ １＋槡 λ的椭圆，（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｄ）． １１．取ＢＤ的中点Ｏ，连接ＯＡ，ＯＣ． 在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ 槡４３３，∠ＢＡＤ＝６０°， 所以ＯＡ＝ＯＣ＝ＡＢｓｉｎ６０°＝ 槡４３３ × 槡３ ２ ＝２． 因为ＡＣ＝ 槡２２，所以ＯＡ ２＋ＯＣ２ ＝ＡＣ２， 所以ＯＡ⊥ＯＣ． 又因为ＡＢ＝ＡＤ，Ｏ为ＢＤ的中点，所以ＯＡ⊥ＢＤ， 同理可得ＯＣ⊥ＢＤ． 因为ＯＡ⊥ＯＣ，ＯＡ⊥ＢＤ，ＯＣ∩ＢＤ＝Ｏ，ＯＣ，ＢＤ平 面ＢＣＤ，所以ＯＡ⊥平面ＢＣＤ．因为ＯＡ平面ＡＢＤ， 所以平面ＡＢＤ⊥平面ＢＣＤ，故（Ａ）正确； 又ＯＡ⊥ＢＤ，ＯＡ⊥ＯＣ，ＯＣ⊥ＢＤ， 故以 Ｏ为原点，ＯＢ，ＯＣ，ＯＡ 所在直线分别为ｘ，ｙ，ｚ轴建立如 图３所示的空间直角坐标系， 则 (Ｂ 槡２３３，０， )０ ，Ｃ（０，２， ０），Ａ（０，０，２）， (Ｄ － 槡２３３，０， )０ ． !"#$%& ! '()*+,-./- " ' ! ! " " ! # $ % & ' ! ! ( ) * % ' " & + ) ( ! " " , % + ' # ! # * ( ) - 书 当ＡＱ＝ＱＣ，４ＰＤ＝ＤＢ时， Ｑ（０，１，１）， (Ｐ －槡３３，０， )０ ， → (ＰＱ＝ 槡３３，１， )１ ，→ (ＤＰ＝ 槡３３，０， )０ ， 所 以 点 Ｄ 到 直 线 ＰＱ 的 距 离 为 →｜ＤＰ｜２ (－ →｜ＰＱ·→ＤＰ｜→ )｜ＰＱ｜槡 ２ ＝ １３ (－ １ ３ 槡２１ ) ３槡 ２ ＝ 槡１４ ７ ，故（Ｃ）错误； 设Ｐ（ａ，０，０ (） － 槡２３３ ≤ａ≤ 槡２３)３ ，Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ）， 设 →ＣＱ＝λ→ＣＡ，λ∈［０，１］，得Ｑ（０，２－２λ，２λ）， ｜ＰＱ｜＝ （－ａ）２＋（２－２λ）２＋（２λ）槡 ２ ＝ ａ２＋ (８ λ－ )１２ ２ ＋槡 ２， 当ａ＝０且λ＝１２时，｜ＰＱ｜ｍｉｎ＝槡２，故（Ｂ）正确； 当 Ｐ，Ｑ分别为线段 ＢＤ，ＣＡ的中点时，Ｐ（０，０，０）， Ｑ（０，１，１），→ＰＱ＝（０，１，１），→ (ＡＤ＝ － 槡２３３，０，－ )２ ， 设ＰＱ与ＡＤ所成的角为θ， 则ｃｏｓθ＝ →｜ＰＱ·→ＡＤ｜ → →｜ＰＱ｜｜ＡＤ｜ ＝ ２ 槡２× １６ 槡３ ＝槡６４， 所以ＰＱ与ＡＤ所成角的余弦值为槡６４，故（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． 三、填空题 １２．（ｘ＋１）２＋（ｙ＋３）２ ＝１；　１３．槡６１４；　１４．４． 提示： １２．设圆心Ｃ（ａ，ｂ）（ａ＜０，ｂ＜０）， 圆Ｃ：（ｘ－ａ）２＋（ｙ－ｂ）２ ＝１， 依题意有ａ＝－１，圆心Ｃ（ａ，ｂ）到直线４ｘ－３ｙ＝０的 距离为 ｜－４－３ｂ｜ ５ ＝１， 解得ｂ＝－３或ｂ＝ １３（舍去）． 所以圆Ｃ的标准方程为（ｘ＋１）２＋（ｙ＋３）２ ＝１． １３．平面α的方程为ｘ－２ｙ＋３ｚ＋３＝０， 所以平面α的法向量为ｍ ＝（１，－２，３）， 平面２ｘ－ｙ＋２＝０与平面ｘ－２ｚ＋１＝０的法向量 分别为ｍ１ ＝（２，－１，０），ｍ２ ＝（１，０，－２）， 设直线ｌ的方向向量为ｎ＝（ｘ０，ｙ０，ｚ０）， 则 ｎ·ｍ１ ＝０， ｎ·ｍ２ ＝０ { ， 即 ２ｘ０－ｙ０ ＝０， ｘ０－２ｚ０ ＝０ { ， 取ｎ＝（２，４，１）， 设直线ｌ与平面α所成的角为θ， 则ｓｉｎθ＝｜ｃｏｓ〈ｍ，ｎ〉｜＝ ｜ｍ·ｎ｜｜ｍ｜·｜ｎ｜ ＝ ３ 槡１４×槡２１ ＝槡６１４． １４．联立 ａ１＋ａ４ ＝１８， ａ２ａ３ ＝ａ１ａ４ ＝３２ { ， 可得 ａ１ ＝２， ａ４ ＝ { １６或 ａ１ ＝１６， ａ４ ＝２ { ． 又因为数列｛ａｎ｝是递增的等比数列， 所以 ａ１ ＝２， ａ４ ＝１６ { ， 则公比ｑ＝２，ａｎ＝２ ｎ，Ｓｋ＋６－Ｓｋ＝ａｋ＋１ ＋ａｋ＋２＋… ＋ａｋ＋６ ＝ ２ｋ＋１（１－２６） １－２ ＝２ ｋ＋７－２ｋ＋１，所以Ｓｋ＋６ －Ｓｋ ＝２ ｋ＋７－２ｋ＋１ ＝２１１－２５，所以ｋ＝４． 四、解答题 １５．解：（１）由题意得边ＢＣ上的高所在直线的斜率为１， 则直线ＢＣ的斜率为 －１， 所以直线ＢＣ的方程为ｙ＝－（ｘ－１），即ｘ＋ｙ－１＝０． （２）设Ａ（ｘ０，ｙ０），因为ＡＣ边上的中线所在直线的方 程为ｙ＝３，且Ｃ（１，０），所以 ｙ０＋０ ２ ＝３，则ｙ０ ＝６． 因为ＢＣ边上高所在直线经过点Ａ， 所以ｘ０－ｙ０＋１＝０，则ｘ０ ＝ｙ０－１＝５， 故Ａ的坐标为（５，６）． １６．解：设｛ａｎ｝的公差为ｄ， 由ａｐ ＝ｑ，ａｑ ＝ｐ得ａｐ－ａ９ ＝（ｐ－ｑ）ｄ＝ｑ－ｐ， 因为ｐ＜ｑ，所以ｐ－ｑ≠０， 所以ｄ＝－１，ａｐ＋ｑ ＝ａｐ＋ｑｄ＝ｑ－ｑ＝０， 所以ｐ＋ｑ－３＝０，ｐ＋ｑ＝３， 因为ｐ＜ｑ，所以ｐ＝１，ｑ＝２， 由ａｐ ＝ｑ得ａ１ ＝２， 所以ａｎ ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ＝２－（ｎ－１）＝－ｎ＋３． （２）由（１）得ａｎ ＝－ｎ＋３，所以ａ４ ＝－１，ａ５ ＝－２， 故ａ４，ａ５，ａｂ１，ａｂ２，…，ａｂｎ是首项为 －１，公比为２的等 比数列． 所以ａｂｎ ＝－１×２ ｎ＋１ ＝－２ｎ＋１， 由ａｎ ＝－ｎ＋３得ａｂｎ ＝－ｂｎ＋３， 所以 －ｂｎ＋３＝－２ ｎ＋１，所以ｂｎ ＝２ ｎ＋１＋３． １７．（１）证明：因为ＡＢ⊥ＢＣ，２ＡＢ＝２ＢＣ＝２，ＡＢ∥ＣＤ， 所以ＡＢ＝ＢＣ＝１，∠ＡＣＤ＝∠ＢＡＣ＝４５°， ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ ＝槡２． 在△ＡＣＤ中，ＣＤ＝２．由余弦定理可知 ＡＤ２ ＝ＡＣ２＋ＣＤ２－２ＡＣ·ＣＤｃｏｓ∠ＡＣＤ ＝（槡２） ２＋２２－２×槡２×２×槡 ２ ２ ＝２， 故ＡＤ２＋ＡＣ２ ＝ＣＤ２，所以ＡＤ⊥ＡＣ． 因为平面ＰＡＣ⊥平面ＡＢＣＤ，平面ＰＡＣ∩平面ＡＢＣＤ ＝ＡＣ，ＡＤ平面ＡＢＣＤ，所以ＡＤ⊥平面ＰＡＣ， 又因为ＡＤ平面ＰＡＤ，所以平面ＰＡＤ⊥平面ＰＡＣ． （２）解：因为ＡＤ⊥平面ＰＡＣ，ＰＡ平面ＰＡＣ， 所以ＡＤ⊥ＰＡ．又因为ＣＤ⊥ＰＡ， ＣＤ∩ＡＤ＝Ｄ，所以ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ． 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＰＢＡ是异面直线ＰＢ与ＣＤ所成 角，即∠ＰＢＡ＝４５°， 所以ｔａｎ∠ＰＢＡ＝ＰＡＡＢ＝１，所以ＰＡ＝ＡＢ＝１． 以点Ａ为坐标原点，ＡＤ， ＡＣ，ＡＰ所在的直线分别为 ｘ， ｙ，ｚ轴建立如图４所示的空间 直角坐标系． 则 (Ｂ －槡２２，槡２２， )０ ， Ｃ（０，槡２，０），Ｐ（０，０，１），所以 → (ＰＢ＝ －槡２２，槡２２，－ )１ ，→ＰＣ＝（０，槡２，－１）． 设平面ＰＢＣ的法向量为ｎ１ ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则 ｎ１· →ＰＢ＝－槡２２ｘ＋ 槡２ ２ｙ－ｚ＝０， ｎ１· →ＰＣ＝槡２ｙ－ｚ＝０ { ， 令ｙ＝１，则ｘ＝－１，ｚ＝槡２，得ｎ１ ＝（－１，１，槡２）， 由题意得ｎ２ ＝（０，１，０）为平面ＰＡＤ的一个法向量， 所以｜ｃｏｓ〈ｎ１，ｎ２〉｜＝ ｜ｎ１·ｎ２｜ ｜ｎ１｜｜ｎ２｜ ＝｜１×１｜２×１ ＝ １ ２， 则〈ｎ１，ｎ２〉＝６０°， 故平面ＰＢＣ与平面ＰＡＤ的夹角为６０°． １８．（１）解：若λ＝０，则ａ２ｎ＋１ ＝２ａｎ． 因为ａ１ ＝１，且数列｛ａｎ｝各项为正， 所以ａ２２ ＝２ａ１ ＝２，则ａ２ ＝槡２， 所以ａ２３ ＝２ａ２ ＝ 槡２２＝２ ３ ２，则ａ３ ＝２ ３ ４． （２）证明：若λ＝３，则ａ２ｎ＋１－２ａｎ ＝３． 因为ａ２ｎ＋１－９＝２（ａｎ－３）， 即（ａｎ＋１－３）（ａｎ＋１＋３）＝２（ａｎ－３）． 一方面，ａｎ＋１－３与ａｎ－３显然同号． 因为ａ１－３＜０，所以ａｎ－３＜０，即ａｎ ＜３． 另一方面， ３－ａｎ＋１ ３－ａｎ ＝ ２ａｎ＋１＋３ ． 由ａ２ｎ＋１ ＝２ａｎ＋３＞３，得ａｎ＋１ ＞槡３＞１， 所以 ３－ａｎ＋１ ３－ａｎ ＜ ２４ ＝ １ ２， 所以３－ａｎ ＜（３－ａｎ－１）× １ ２ ＜… ＜（３－ａ１） ( × )１２ ｎ－１ (＝ )１２ ｎ－２ （ｎ≥２）， 所以ａｎ ＞３ (－ )１２ ｎ－２ （ｎ≥２）， 又因为ａ１ ＝１，所以ａｎ≥３ (－ )１２ ｎ－２ ． 综上可得３ (－ )１２ ｎ－２ ≤ａｎ ＜３． １９．解：（１）如图５，以ＦＥ所在的直线为ｘ轴，ＦＥ的中 点Ｏ为原点建立平面直角坐标系， 设 Ｍ（ｘ，ｙ）为椭圆上一 点，由题意可知 ｜ＭＦ｜＋ ｜ＭＥ｜＝｜ＡＥ｜＝４＞｜ＥＦ｜＝ 槡２３， 所以点Ｍ的轨迹是以 Ｆ， Ｅ为焦点，长轴长２ａ＝４的椭 圆，因为２ｃ＝ 槡２３，２ａ＝４， 所以ｃ＝槡３，ａ＝２， 则ｂ２ ＝ａ２－ｃ２ ＝１，所以椭圆Ｃ的方程为ｘ ２ ４＋ｙ ２＝１． （２）由（１）知Ｄ（０，－１）， 所以直线ｌ１：ｙ＝ｋｘ－１（ｋ ≠０），ｌ２：ｙ＝－ １ ｋｘ－１，如图 ６所示， 设Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２）， 联立 ｘ２ ４＋ｙ ２ ＝１， ｙ＝ｋｘ－１ { ， 整理 得（１＋４ｋ２）ｘ２－８ｋｘ＝０， 所以ｘ１ ＝ ８ｋ １＋４ｋ２ ，所以ｙ１ ＝ ８ｋ２ １＋４ｋ２ －１， 所以｜ＤＭ｜＝ ｘ２１＋（ｙ１＋１）槡 ２ ＝ ６４ｋ ２ （１＋４ｋ２）２ ＋ ６４ｋ ４ （１＋４ｋ２）槡 ２ ＝８｜ｋ｜ １＋４ｋ２ １＋ｋ槡 ２． 联立 ｘ２ ４＋ｙ ２ ＝１， ｙ＝－１ｋｘ－１ { ，整理得（４＋ｋ２）ｘ２＋８ｋｘ＝０， 所以ｘ２ ＝ －８ｋ ｋ２＋４ ，所以ｙ２ ＝ ８ ｋ２＋４ －１， 所以｜ＤＮ｜＝ ｘ２２＋（ｙ２＋１）槡 ２ ＝ ６４ｋ ２ （４＋ｋ２）２ ＋ ６４ （４＋ｋ２）槡 ２ ＝ ８ ４＋ｋ２ １＋ｋ槡 ２， 所以Ｓ△ＤＭＮ ＝ １ ２｜ＤＭ｜·｜ＤＮ｜ ＝１２× ８｜ｋ｜ １＋４ｋ２ １＋ｋ槡 ２× ８ ４＋ｋ２ １＋ｋ槡 ２ ＝ ３２｜ｋ｜（１＋ｋ ２） （１＋４ｋ２）（４＋ｋ２） ， 由 Ｓ ｜ｋ｜＞ １６ ９得 ３２（１＋ｋ２） （１＋４ｋ２）（４＋ｋ２） ＞１６９， 整理得４ｋ４－ｋ２－１４＜０，得 －７４ ＜ｋ ２ ＜２， 又ｋ２ ＞０，所以０＜ｋ２ ＜２， 所以 －槡２＜ｋ＜０或０＜ｋ＜槡２， 所以ｋ的取值范围为（－槡２，０）∪（０，槡２）． 第２４期２版 专项小练一 １．Ａ；　２．Ｄ；　３．ＡＢＣ． ４．９；　５．ｆ（３）３ ＜ ｆ（２） ２ ＜ｆ（１）． ６．解：（１）Δｓ＝ｓ（２０＋Δｔ）－ｓ（２０）＝１０×（２０＋Δｔ） ＋５（２０＋Δｔ）２－１０×２０－５×２０２＝１０Δｔ＋２００Δｔ＋５Δｔ２ ＝１＋２０＋００５＝２１０５，Δｓ Δｔ ＝２１０５０１ ＝２１０５． （２）由（１）知Δｓ Δｔ ＝１０Δｔ＋２００Δｔ＋５Δｔ ２ Δｔ ＝２１０＋５Δｔ， !"#$%& ! '()*+,-./- " ' ! " # $ % ! ! & ' ( ( % ) * " + & , * # ! $ ! ! - . # ! % + ( & ) 书 当Δｔ趋于０时，ΔｓΔｔ 趋于２１０， 所以赛车在ｔ＝２０时的瞬时速度为２１０ｍ／ｓ． 专项小练二 １．Ａ；　２．Ｄ；　３．ＢＣ． ４．３；　５．ｙ＝（２＋ 槡２２）ｘ－（２＋ 槡２２）或 ｙ＝（２－ 槡２２）ｘ－（２－ 槡２２）． ６．解：点Ｐ（１，１）处的切线的斜率 ｋ＝ｌｉｍ ｈ→０ ｆ（１＋ｈ）－ｆ（１） ｈ ＝ｌｉｍｈ→０ １ １＋ｈ－１ ｈ ＝ｌｉｍ ｈ→０ －１ １＋ｈ＝－１， 故切线方程为ｙ－１＝－（ｘ－１），即ｘ＋ｙ－２＝０， 令ｘ＝０，ｙ＝２，则Ｂ（０，２）， 令ｙ＝０，ｘ＝２，则Ａ（２，０），则Ｓ△ＯＡＢ ＝ １ ２×２×２＝２． 第２４期３，４版 导数的概念及其意义同步核心素养测评 一、单项选择题 １～４　ＣＢＢＡ　５～８　ＡＢＢＡ 提示： １．根据平均变化率的定义，在３５ｍ范围内，当水深每 增加５ｍ时，水库储水量的平均变化率依次为： 水深（ｍ） ０ ５ １０ １５ ２０ ２５ ３０ ３５ 平均变化率 （１０４ｍ２） ０ ２ ４ １２ １４ ２３ ３２ ４３ 平均变化率越来越大． ２．因为ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） Δｘ ＝４ｌｉｍ ４Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） ４Δｘ ＝２， 所以ｌｉｍ ４Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） ４Δｘ ＝ １２， 即ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍ４Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－３Δｘ） ４Δｘ ＝ １２． ３．根据平均速度定义可知， 在ｔ∈［２，３］内的平均速度为 ｖ１ ＝ Δｓ Δｔ ＝３ ２＋２×３－２２－２×２ ３－２ ＝７； 在ｔ＝３时的瞬时速度为 ｖ２ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ （３＋Δｔ）２＋２×（３＋Δｔ）－３２－２×３ Δｔ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ （８＋Δｔ）＝８； 所以 ｖ１ ｖ２ ＝ ７８． ４．因为ｖ１ ＝ｋＯＡ，ｖ２ ＝ｋＡＢ，ｖ３ ＝ｋＢＣ，由图象知ｋＯＡ ＜ ｋＡＢ ＜ｋＢＣ，所以ｖ１ ＜ｖ２ ＜ｖ３． ５．由图可知，甲厂污水排放量逐渐减少，故①正确； 乙厂的污水排放量比甲厂减少得更多，故②正确， 在接近ｔ０时，甲工厂污水排放量减少得比乙的更加 快，故③错误．故选（Ａ）． ６．由题意得ｆ′（１）＝２， 所 以 ｌｉｍ ｄ→０ ｆ（１＋ｄ）－ｆ（１） ｄ ＝ ｌｉｍｄ→０ ａ（１＋ｄ）２＋ｂ－ａ－ｂ ｄ ＝ｌｉｍｄ→０（２ａ＋ａｄ）＝２ａ＝２， 解得ａ＝１，又ｆ（１）＝ａ＋ｂ＝３，则ｂ＝２，所以 ｂａ＝２． ７．因为 ｆ（２０２４＋Δｘ）＝（２０２４＋Δｘ）（２０２３＋ Δｘ）…（１＋Δｘ）Δｘ（－１＋Δｘ）， ｆ（２０２４＋Δｘ）－ｆ（２０２４） Δｘ ＝（２０２４＋Δｘ）（２０２３＋ Δｘ）…（１＋Δｘ）（－１＋Δｘ）， 所以 ｆ′（２０２４）＝ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（２０２４＋Δｘ）－ｆ（２０２４） Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ［（２０２４＋Δｘ）（２０２３＋Δｘ）…（１＋Δｘ）（－１＋Δｘ）］ ＝－２０２４！ ８．由图可知，ｆ（－１４），ｆ′（８） 为负数，ｆ（３），３ｆ′（３）为正数，故 不选ｆ（－１４），ｆ′（８）， 设ｆ（ｘ）在ｘ＝３处的点为Ａ，显然ＯＡ的斜率ｋＯＡ大于 ｆ′（３）， 则 ｆ（３）－０ ３－０ ＞ｆ′（３），可转化为ｆ（３）＞３ｆ′（３），所以 ｆ（３）的值最大． 二、多项选择题 ９．ＡＣ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＡＢＣ． 提示： ９． ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０）－ｆ（ｘ０－２Δｘ） ２Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０－２Δｘ＋２Δｘ）－ｆ（ｘ０－２Δｘ） ２Δｘ ＝ｆ′（ｘ０），（Ａ）满足； ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－Δｘ） Δｘ ＝ ２ ｌｉｍ ２Δｘ→０ ｆ（ｘ０－Δｘ＋２Δｘ）－ｆ（ｘ０－Δｘ） ２Δｘ ＝２ｆ′（ｘ０），（Ｂ）不满足； ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋２Δｘ）－ｆ（ｘ０＋Δｘ） Δｘ ＝ｆ′（ｘ０），（Ｃ）满足； ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０－２Δｘ） Δｘ ＝ ３ ｌｉｍ ３Δｘ→０ ｆ（ｘ０－２Δｘ＋３Δｘ）－ｆ（ｘ０－２Δｘ） ３Δｘ ＝３ｆ′（ｘ０），（Ｄ）不满 足． 故选（Ａ）（Ｃ）． １０．该物体在１≤ｔ≤３时的平均速度是ｓ（３）－ｓ（１）３－１ ＝７１－１５２ ＝２８，（Ａ）正确； ｌｉｍ Δｔ→０ ７×（４＋Δｔ）２＋８－７×４２－８ Δｔ ＝ ｌｉｍ Δｔ→０ ５６·Δｔ＋７（Δｔ）２ Δｔ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ （５６＋７·Δｔ）＝５６，（Ｂ）正确； 当ｔ＝５时，ｓ（５）＝７×５２＋８＝１８３，（Ｃ）错误； ｌｉｍ Δｔ→０ ７×（５＋Δｔ）２＋８－７×５２－８ Δｔ ＝ ｌｉｍ Δｔ→０ ７０·Δｔ＋７·（Δｔ）２ Δｔ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ （７０＋７·Δｔ）＝７０，（Ｄ）正确． 故选（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）． １１．在ｔ１时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同， （Ａ）正确； 在ｔ２时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率 不同，（Ｂ）正确； 在［ｔ２，ｔ３］这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度 的平均变化率相同，（Ｃ）正确； 在［ｔ１，ｔ２］这个时间段内甲血管中药物浓度的平均变 化率大于在［ｔ２，ｔ３］这个时间段内甲血管中药物浓度的平 均变化率，（Ｄ）错误．故选（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）． 三、填空题 １２．ｅ ３－２ ｅ－１；　１３． ３π ４；　１４．［－２，２］． 提示： １２．因为ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｌｎｘ， 所以ｆ（ｅ）＝ｅ３－ｌｎｅ＝ｅ３－１，ｆ（１）＝１３－ｌｎ１＝１， 所以ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｌｎｘ在区间［１，ｅ］上的平均变化率 为 ｆ（ｅ）－ｆ（１） ｅ－１ ＝ ｅ３－１－１ ｅ－１ ＝ ｅ３－２ ｅ－１． １３．ｆ′（２）＝ｌｉｍ ｈ→０ ｆ（２＋ｈ）－ｆ（２） ｈ ＝－ｌｉｍ ｈ→０ ｆ（２）－ｆ（２＋ｈ） ｈ ＝－１， 设其倾斜角为α，则有ｔａｎα＝－１， 又α∈［０，π），故α＝３π４． １４．依题意，Ｆｘ（ｘ，ｙ）＝ｌｉｍ Δｘ→０ Δｚ Δｘ ＝ｌｉｍ Δｘ→０ （ｘ＋Δｘ）２＋ｙ２－（ｘ＋Δｘ）ｙ－ｘ２－ｙ２＋ｘｙ Δｘ ＝ｌｉｍ Δｘ→０ （２ｘ－ｙ＋Δｘ）＝２ｘ－ｙ， 同理可求得Ｆｙ（ｘ，ｙ）＝２ｙ－ｘ， 所以Ｆｘ（ｘ，ｙ）＋Ｆｙ（ｘ，ｙ）＝ｘ＋ｙ，设ｚ＝ｘ＋ｙ， 则ｙ＝－ｘ＋ｚ，由Ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ２＋ｙ２－ｘｙ＝１， 得ｘ２＋（－ｘ＋ｚ）２－ｘ（－ｘ＋ｚ）－１＝０， 即３ｘ２－３ｚｘ＋ｚ２－１＝０，此方程有解， 所以Δ＝９ｚ２－１２（ｚ２－１）＝－３ｚ２＋１２≥０， 即ｚ２≤４，－２≤ｚ≤２． 故Ｆｘ（ｘ，ｙ）＋Ｆｙ（ｘ，ｙ）的取值范围为［－２，２］． 四、解答题 １５．解：（１）Δｙ＝ｆ（ｔ１＋Δｔ）－ｆ（ｔ１） ＝３ｔ２１·Δｔ＋３ｔ１·（Δｔ） ２＋（Δｔ）３， 故当ｔ１ ＝４，Δｔ＝００１时， Δｙ＝０４８１２０１，ΔｙΔｔ ＝４８１２０１． （２）由（１）得ｌｉｍ Δｔ→０ ＝Δｙ Δｔ ＝ｌｉｍ Δｔ→０ ［３ｔ２１＋３ｔ１·Δｔ＋（Δｔ） ２］ ＝３ｔ２１ ＝４８， 故函数ｙ＝ｆ（ｔ）在ｔ１ ＝４处的导数是４８． １６．解：（１）物体在第１ｓ内的平均变化率（即平均速 度）为 ｆ（１）－ｆ（０） １－０ ＝ １１ ３（ｍ／ｓ）； （２）Δｙ Δｘ ＝ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ） Δｘ ＝ ２ ３（ｘ＋Δｘ） ３＋（ｘ＋Δｘ）２＋２（ｘ＋Δｘ） (－ ２３ｘ３＋ｘ２＋２ )ｘ Δｘ ＝２ｘ２＋２ｘ＋２＋２３（Δｘ） ２＋２ｘ·Δｘ＋Δｘ， 当Δｘ→０时，Δ ｙ Δｘ→ ２ｘ２＋２ｘ＋２， 当ｘ＝１时，Δｙ Δｘ ＝６， 所以物体在第１ｓ末的瞬时速度为６ｍ／ｓ． （３）由（２）得２ｘ２＋２ｘ＋２＝１４，解得ｘ＝２， 即经过２ｓ该物体的运动速度达到１４ｍ／ｓ． １７．解：（１）设人从Ｃ点运动到Ｂ点位移为ｘｍ，ＡＢ为 身影长度，为ｙｍ， 由于ＣＤ∥ＢＥ，则ＡＢＡＣ＝ ＢＥ ＣＤ，即 ｙ ｘ＋ｙ＝ １６ ８， 所以ｙ＝０２５ｘ． （２）设人离开Ｃ点的时间为ｔｓ， 而８４ｍ／ｍｉｎ＝１４ｍ／ｓ，而ｘ＝１４ｔ，所以ｙ＝０３５ｔ． 在［０，１０］内自变量的增量为ｔ２－ｔ１ ＝１０－０＝１０， 函数值的增量为 ｆ（ｔ２）－ｆ（ｔ１）＝０３５×１０－０３５×０＝３５， 所以 ｆ（ｔ２）－ｆ（ｔ１） ｔ２－ｔ１ ＝３５１０ ＝０３５， 即人离开 Ｃ点 １０ｓ内身影长度的平均变化率为 ０３５ｍ／ｓ． １８．解：（１）由题意得，割线ＡＢ的斜率 ｋ＝－（２＋Δｘ） ２＋（２＋Δｘ）－（－４＋２） Δｘ ＝－４Δｘ＋Δｘ－（Δｘ） ２ Δｘ ＝－３－Δｘ， 由 －３－Δｘ≤－１，得Δｘ≥－２，又Δｘ≠０， 所以Δｘ的取值范围是［－２，０）∪（０，＋∞）． （２）由（１）知函数ｆ（ｘ）＝－ｘ２＋ｘ在ｘ＝２时的导数 为ｆ′（２）＝－３， 又ｆ（２）＝－２２＋２＝－２， 所以函数ｆ（ｘ）在点Ａ处的切线斜率为 －３， 所以函数ｆ（ｘ）在点Ａ处的切线的方程为ｙ－（－２） ＝－３（ｘ－２），即３ｘ＋ｙ－４＝０． １９．解：设切点坐标为（ｘ０，ｙ０），则ｙ０ ＝ｘ ３ ０－３ｘ ２ ０＋ｘ０， 因为Δｙ＝ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）＝（ｘ０＋Δｘ） ３－３（ｘ０ ＋Δｘ）２＋（ｘ０＋Δｘ）－（ｘ ３ ０－３ｘ ２ ０＋ｘ０）＝３ｘ ２ ０Δｘ＋３ｘ０（Δｘ） ２ ＋（Δｘ）３－６ｘ０Δｘ－３（Δｘ） ２＋Δｘ， 所以 Δｙ Δｘ ＝３ｘ２０＋３ｘ０Δｘ＋（Δｘ） ２－６ｘ０－３Δｘ＋１， 所以ｆ′（ｘ０）＝ｌｉｍ Δｘ→０ Δｙ Δｘ ＝３ｘ２０－６ｘ０＋１， 所以切线方程为ｙ－（ｘ３０－３ｘ ２ ０＋ｘ０）＝（３ｘ ２ ０－６ｘ０＋ １）（ｘ－ｘ０）． 因为切线过原点，所以ｘ３０－３ｘ ２ ０＋ｘ０＝３ｘ ３ ０－６ｘ ２ ０＋ｘ０， 即２ｘ３０－３ｘ ２ ０ ＝０，解得ｘ０ ＝０或ｘ０ ＝ ３ ２， 所以切线方程为ｘ－ｙ＝０或５ｘ＋４ｙ＝０． !"#$%& ! 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