第18期 学业水平测评（二）-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版2019）

&迎.....” 详细答案 详细答案 4版 一......&迎1版 中:性破一人数人效1,第1 高中数学·选择性修第一部1入A级1·第1-18期 4 --1--七.-1.. 11) 一_ -1D 高中数学·选择性必修第一册(人教A版)2024年 rn. 是n-hn-. -.1.1 8-.c0-1-. 第16~18期参考答案 -n 叫。 *_8 3..1sc3.n1 号。 87) mvii.心 班-1--1 i 图3. -0.t1 1)耳算第七10040另1 -. 1字.,. -nor0D 阳--士士士。) -- 1.4...s -.-n I号 in站.. 孟. -1-1-.1 s..1 araic. . -十-完1 -.n.. 七·n n.n -D. -, a11H1-l1.%-A =0-11n -31-+ ..o 习1-: 计 o } 些甚上匹日选 班一 ...) 一)%了nn3 .2-: - -)1xo:0i ---3。 击 3.tt. t1.n ))- 3:11--1.. n+.nr.-4. r-:.-n -C1其 11 -n- △,一十 士 1....7.. -” .i语. -8-(-7 1..11r.7 4.mrt 0n1号1i3 n n 阳-1)计是 -)-. -_111 -12。(1-1A0. hoo. _{ s一。 otrr.8. - - u. trn.-1-1. 16.61-31 a v②口.离 ..-:4. .-- 1--.. 7. 。。 _:11r0-. nt 士-七1士. nn n-)叫士. 况-.:士 s- --r七.m [量士 -1- on. 0-1 nn -A m一 -.m r.a.- r△A十。 t.n-. 七.. or.ō. 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U D VWL XY4 HZ[ \Z] #4^ _=. `aI b Q cde 6fg 91-.+ 6FG 91:;+ cde <=-.+ #hi >?-.+ jkl @ABC+ mno !"pqrstu !"prvwxyz{|} !"pr~€‚ƒ„…t† ‡ˆ‰Š‹Œ- ŠŽ345 ‘’“”•-–—'(!$)"*"*+˜,™ š›œ—#!)#-. 书书书 １７． （１５ 分 ） 如 图 ３ ，在 四 棱 锥 Ｐ － ＡＢＣＤ 中 ，ＢＣ ∥ ＡＤ ，ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ １ ，ＡＤ ＝ ３ ，点 Ｅ 在 ＡＤ 上 ，且 ＰＥ ⊥ ＡＤ ，ＰＥ ＝ Ｄ Ｅ ＝ ２． （１ ） 若 Ｆ 为 线 段 ＰＥ 的 中 点 ，证 明 ：ＢＦ ∥ 平 面 ＰＣＤ ． （２ ） 若 ＡＢ ⊥ 平 面 ＰＡＤ ，求 平 面 ＰＡＢ 与 平 面 ＰＣＤ 夹 角 的 余 弦 值 ． １８． （１７ 分 ） 已 知 ｙ 轴 右 侧 一 动 圆 Ｑ 与 圆 Ｐ ：（ｘ － １ ） ２ ＋ ｙ ２ ＝ １ 相 外 切 ， 与 ｙ 轴 相 切 ． （１ ） 求 动 圆 圆 心 Ｑ 的 轨 迹 Ｍ 的 方 程 ； （ ２ ） 过 Ｐ （１ ，０ ） 分 别 作 两 条 直 线 ｌ１ ，ｌ２ ，ｌ１ 与 轨 迹 Ｍ 相 交 于 Ａ ，Ｂ 两 点 ，ｌ２ 与 轨 迹 Ｍ 相 交 于 Ｃ ，Ｄ 两 点 ，ｌ１ ，ｌ２ 的 倾 斜 角 互 补 ，定 点 Ｅ （４ ，０ ） ，且 △ ＡＢＥ 与 △ ＣＤ Ｅ 面 积 之 和 为 槡 １２ ５ ，求 直 线 ｌ１ 的 斜 率 ． １９． （１７ 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 ｘＯ ｙ 中 ，对 于 直 线 ｌ：ａｘ ＋ ｂｙ ＋ ｃ ＝ ０ 和 点 Ｐ １ （ｘ １ ，ｙ １ ） ，Ｐ ２ （ｘ ２ ，ｙ ２ ） ，记 δ ＝ （ａｘ １ ＋ ｂｙ １ ＋ ｃ） （ａｘ ２ ＋ ｂｙ ２ ＋ ｃ） ａ ２ ＋ ｂ ２ ，若 δ ＜ ０ ， 则 称 点 Ｐ １ ，Ｐ ２ 被 直 线 ｌ 分 隔 ，若 曲 线 Ｃ 与 直 线 ｌ 没 有 公 共 点 ，且 曲 线 Ｃ 上 存 在 点 Ｐ １ ，Ｐ ２ 被 直 线 ｌ 分 隔 ，则 称 直 线 ｌ 为 曲 线 Ｃ 的 一 条 分 隔 线 ． （１ ） 判 断 点 Ａ （１ ，２ ） ，Ｂ （ － １ ，０ ） 是 否 被 直 线 ｘ ＋ ｙ － １ ＝ ０ 分 隔 并 证 明 ； （２） 若 直 线 ｙ ＝ ｋｘ 是 曲 线 ｘ ２ － ４ｙ ２ ＝ １ 的 分 隔 线 ，求 实 数 ｋ 的 取 值 范 围 ； （３ ） 动 点 Ｍ 到 点 Ｑ （０ ，２ ） 的 距 离 与 到 ｙ 轴 的 距 离 之 积 为 １ ，设 点 Ｍ 的 轨 迹 为 曲 线 Ｅ ，证 明 ：通 过 原 点 的 直 线 中 ，有 且 仅 有 一 条 直 线 是 Ｅ 的 分 隔 线 ． )  ž Ÿ   ¡ * ¢ ™ £.‡s¤¥¦§¨©ª“«¬­v ! -®!"#$%& £.‡s¤¥¦§¨©ª“«¬­v ! -®!"#$%& ! ) * ( # & $ ! & 书 一、单项选择题 １～４　ＡＣＣＢ　５～８　ＢＡＤＣ 二、多项选择题 ９．ＡＢＤ；　１０．ＡＢＤ；　１１．ＡＣ． 三、填空题 １２．（２，０）；　１３．（槡２－１，１）；　１４ (． ０，槡２５]５ ． 四、解答题 １５．解：（１）由焦点Ｆ到准线的距离为２，得ｐ＝２， 故抛物线的标准方程为ｙ２ ＝４ｘ． （２）由（１）知Ｆ（１，０），则直线ｌ为ｙ＝２（ｘ－１）， 即２ｘ－ｙ－２＝０， 联立抛物线可得ｘ２－３ｘ＋１＝０，则ｘＡ＋ｘＢ ＝３，ｘＡｘＢ ＝１， 所以｜ＡＢ｜＝ｘＡ＋ｘＢ＋２＝５， 又Ｏ到直线ｌ的距离ｄ＝｜－２｜ 槡５ ＝ 槡２５５， 所以Ｓ△ＯＡＢ ＝ １ ２｜ＡＢ｜ｄ＝槡５． １６．解：（１）由题意有 ２ａ＝４ｂ， ８ ａ２ －１ ｂ２ ＝１{ ，解得 ａ＝２，ｂ＝１{ ， 所以双曲线Ｃ的方程为ｘ ２ ４ －ｙ ２ ＝１． （２）设点Ｐ（ｘ０，ｙ０），则 ｘ２０ ａ２ － ｙ２０ ｂ２ ＝１，即 ｙ２０ ｘ２０－ａ２ ＝ｂ ２ ａ２ ． 又Ａ１（－ａ，０），Ａ２（ａ，０）， 则有ｋＰＡ１·ｋＰＡ２ ＝ ｙ０ ｘ０＋ａ · ｙ０ ｘ０－ａ ＝ ｙ２０ ｘ２０－ａ２ ＝ｂ ２ ａ２ ＝２， 所以 ｂ ａ ＝槡２， 所以渐近线方程为ｙ＝±槡２ｘ． １７．解：（１）易得直线ｌ：ｍｘ＋ｙ－２ｍ－１＝０过定点Ｄ（２，１）， 又圆Ｃ：（ｘ－２）２＋ｙ２ ＝４，所以Ｃ（２，０）． 易得｜ＡＢ｜ｍｉｎ＝２ ４－｜ＣＤ｜槡 ２ ＝ 槡２３． （２）满足题意的定点Ｍ，Ｎ存在，证明如下： 设Ｐ（ｘ，ｙ），Ｍ（２，ａ），Ｎ（２，ｂ）（ａ≠ｂ）， 因为｜ＰＭ｜＝２｜ＰＮ｜，等式两边平方得 （ｘ－２）２＋（ｙ－ａ）２ ＝４［（ｘ－２）２＋（ｙ－ｂ）２］． 又（ｘ－２）２ ＝４－ｙ２， 所以２（ａ－４ｂ）ｙ＋４ｂ２－ａ２＋１２＝０． 所以 ａ＝４ｂ， ４ｂ２－ａ２＋１２＝０{ ，解得 ａ＝４， ｂ＝１{ ，或 ａ＝－４， ｂ＝－１{ ， 所以满足题意的定点为 Ｍ（２，４），Ｎ（２，１）或 Ｍ（２，－４）， Ｎ（２，－１）． １８．解：（１）依题意ｋ１ ＝ｔａｎθ１，ｋ２ ＝ｔａｎθ２， 且θ１，θ２均不为０或 π ２ ， 若选①θ１＋θ２ ＝π，则θ１ ＝π－θ２， 则ｔａｎθ１ ＝ｔａｎ（π－θ２）＝－ｔａｎθ２，即ｋ１＋ｋ２ ＝０； 若选②ｌ１⊥ｌ２，则ｋ１·ｋ２ ＝－１． （２）依题意直线ｌ１：ｙ－１＝ｋ１（ｘ－１）， 直线ｌ２：ｙ－１＝ｋ２（ｘ－１）， 又ｌ１过Ａ（ａ，２），所以２－１＝ｋ１（ａ－１）且ａ≠１， 即１＝ｋ１（ａ－１）且ａ≠１， 又ｌ２过Ｂ（２，ｂ），所以ｂ－１＝ｋ２（２－１）且ｂ≠１， 即ｂ－１＝ｋ２且ｂ≠１； 若选①，则ｋ１＋ｋ２ ＝０，所以ｋ１ ＝－ｋ２ ＝１－ｂ， 即１＝（１－ｂ）（ａ－１）且ａ≠１，ｂ≠１； 若选②，则ｋ１·ｋ２ ＝－１，所以（ｂ－１）× １ ａ－１＝－１， 即ｂ＋ａ＝２且ａ≠１，ｂ≠１． （３）直线ｌ１：ｙ－１＝ｋ１（ｘ－１）， 将直线ｌ１向右平移４个单位长度， 再向上平移２个单位长度得到 ｙ－１＝ｋ１［（ｘ－４）－１］＋２， 即ｙ－１＝ｋ１ｘ－５ｋ１＋２，所以 －５ｋ１＋２＝－ｋ１， 解得ｋ１ ＝ １ ２， 此时直线ｌ１：ｙ－１＝ １ ２（ｘ－１），所以２－１＝ １ ２（ａ－１）， 解得ａ＝３； 若选①，则ｋ２ ＝－ １ ２，此时直线ｌ２：ｙ－１＝－ １ ２（ｘ－１）， 所以ｂ－１＝－１２（２－１），解得ｂ＝ １ ２； 若选②，则ｋ２ ＝－２，此时直线ｌ２：ｙ－１＝－２（ｘ－１）， 所以ｂ－１＝－２（２－１），解得ｂ＝－１． １９．（１）证明：→ＡＰ·→ＡＢ＝－２－２＋４＝０， 所以→ＡＰ⊥→ＡＢ，即ＡＰ⊥ＡＢ； →ＡＰ·→ＡＤ＝－４＋４＋０＝０，所以→ＡＰ⊥→ＡＤ，即ＡＰ⊥ＡＤ． 又ＡＢ∩ＡＤ＝Ａ，所以ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ． （２）解：｜（→ →ＡＢ×ＡＤ）·→ＡＰ｜ ＝｜－４－３２＋０－０－４－８｜＝４８， 又ｃｏｓ〈→ＡＢ，→ＡＤ〉＝ ８－２＋０ ４＋１＋槡 １６· １６＋４＋槡 ０ ＝槡１０５３５ ， 所以ｓｉｎ〈→ＡＢ，→ＡＤ〉＝ 槡４ ７０３５ ， ＶＰ－ＡＢＣＤ ＝ １ ３ →｜ＡＢ｜· →｜ＡＤ ｜· ｓｉｎ〈→ＡＢ，→ＡＤ〉· →｜ＡＰ｜＝１６． ｜（→ →ＡＢ×ＡＤ）·→ＡＰ｜＝３ＶＰ－ＡＢＣＤ． 猜测：｜（→ →ＡＢ×ＡＤ）·→ＡＰ｜在几何上可表 示以ＡＢ，ＡＤ，ＡＰ为棱的平行六面体的体积 （或以ＡＢ，ＡＤ，ＡＰ为棱的四棱柱的体积）． 书 学会在各种条件下确定圆的方程是学习圆的方程 这一部分内容要做的基本功．要想解决好求解圆的方程 这一问题就必须了解各种这方面的题型，以保证再次遇 到这类问题时，解决起来就会有据可依．下面分析四类 这方面的常见问题． 一、当圆心在直线上，且已知圆上两点时如何确定 圆的方程 例１已知一圆经过点Ａ（２，－３）和点Ｂ（－２，－５）， 且圆心Ｃ在直线ｌ：ｘ－２ｙ－３＝０上，求此圆的标准方程． 解：如图１． 因为Ａ（２，－３），Ｂ（－２，－５）， 所以线段 ＡＢ的中点 Ｄ的坐标 为（０，－４）． 又ｋＡＢ ＝ －５－（－３） －２－２ ＝ １ ２， 所以线段 ＡＢ的垂直平分线的 方程是ｙ＝－２ｘ－４． 解方程组 ｘ－２ｙ－３＝０， ｙ＝－２ｘ－{ ４ 得 ｘ＝－１， ｙ＝－２{ ． 所以圆心坐标为Ｃ（－１，－２）， 半径ｒ＝｜ＣＡ｜＝ （２＋１）２＋（－３＋２）槡 ２ ＝槡１０， 所以此圆的标准方程是（ｘ＋１）２＋（ｙ＋２）２ ＝１０． 点评：当圆心在直线上时，一般可阐述如下问题： （１）该直线与任何一条弦的垂直平分线都相交于 圆心； （２）该直线将圆平分为面积相等的两部分； （３）该直线与圆产生的相交弦的弦长的一半为圆 半径． 二、当圆心在直线上，且已知圆的一条切线时如何 确定圆的方程 例２求经过点Ａ（２，－１），和直线ｘ＋ｙ＝１相切，且 圆心在直线ｙ＝－２ｘ上的圆的方程． 分析：已知圆的一条切线时，圆心到切线的距离就 等于半径．此时，可用点到直线的距离公式建立等式求 圆心坐标或是半径． 解：因为圆心在直线ｙ＝－２ｘ上， 所以可设圆心坐标为（ａ，－２ａ）． 据题意得 （ａ－２）２＋（－２ａ＋１）槡 ２ ＝｜ａ－２ａ－１｜ 槡２ ， 解得ａ＝１．圆心为（１，－２），半径为槡２． 故所求圆的方程为（ｘ－１）２＋（ｙ＋２）２ ＝２． 三、当圆内接一个三角形时如何确定圆的方程 例３已知△ＡＢＣ的三个顶点坐标分别是 Ａ（４，１）， Ｂ（６，－３），Ｃ（－３，０），求△ＡＢＣ外接圆的方程． 解法一：待定系数法，请同学们自己动手完成． 解法二：如图２，因为 △ＡＢＣ外 接圆的圆心既在 ＡＢ的垂直平分线 上，又在 ＢＣ的垂直平分线上，所以 先求ＡＢ，ＢＣ的垂直平分线方程，求 得的交点坐标就是圆心坐标． 因为ｋＡＢ ＝ －３－１ ６－４ ＝－２， ｋＢＣ ＝ ０－（－３） －３－６ ＝－ １ ３， 线段ＡＢ的中点为（５，－１），线段 ＢＣ的中点为 ３ ２，－( )３２ ， 所以ＡＢ的垂直平分线方程为 ｙ＋１＝ １２（ｘ－５）， ① ＢＣ的垂直平分线方程为 ｙ＋３２ ＝３ｘ－( )３２ ． ② 联立①②解得 ｘ＝１， ｙ＝－３{ ． 所以△ＡＢＣ外接圆的圆心为Ｅ（１，－３）， 半径ｒ＝｜ＡＥ｜＝ （４－１）２＋（１＋３）槡 ２ ＝５． 故△ＡＢＣ外接圆的方程是 （ｘ－１）２＋（ｙ＋３）２ ＝２５． 点评：相比较而言，应当特别重视解法二的解题思 路．这是一种程式化的解题过程，记住一题，则可通过这 一方法解决所有类似问题． 四、当圆过已知圆与直线的交点时，如何确定圆的 方程 例４已知圆ｘ２＋ｙ２＋ｘ－６ｙ＋３＝０与直线ｘ＋２ｙ －３＝０的两个交点为Ｐ，Ｑ，求以ＰＱ为直径的圆的方程． 分析：这类题目最直观的解法就是求出两交点的坐 标，及由题目给出的数量关系求出半径，即可求出圆的 方程． 解：设点Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），则点Ｐ，Ｑ的坐标满足 方程组 ｘ２＋ｙ２＋ｘ－６ｙ＋３＝０， ｘ＋２ｙ－３＝０{ ． 解方程组得 ｘ１ ＝１，ｙ１ ＝１， ｘ２ ＝－３，ｙ２ ＝３ { ． 即点Ｐ（１，１），Ｑ（－３，３）． 则线段ＰＱ的中点坐标为（－１，２）， ｜ＰＱ｜＝ （ｘ１－ｘ２） ２＋（ｙ１－ｙ２）槡 ２ ＝ 槡２５． 故以ＰＱ为直径的圆的方程是 （ｘ＋１）２＋（ｙ－２）２ ＝５． !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$%&'()*+,-./0 ! 1"+ #$ 2 !"#$%&' ! " # $ $%!&"#$% ! & & ' ! 34 567 $ & ! " ' # ( ! ! !" , 89: $;,<"=> !"#$%&'()* +,-./0123 #4%5 61&789 6!"& 1:;<=> ?@ABC& <=AD EFGHI@& JKL %MNOPQEFG =& 71RSTUVW X#YZ[E%& \) 7]^_`Sa7bO cEde& f7c=T gh&ijklmn&o pqr#Yst7Uu E%& vw)xyz{ 3FG5 j4%bJp|} ~~5 €‚ƒ„#)7 TWXK…$%EJR S& v#$RS\i† 7O<="f‡A3ˆ ‰Š‹Œ€Ž‚ƒ„7 !b!1:4> ‘E’“”G••#4 7–—˜™š›BMœ E& 7ž+b–jŸ  ¡¢:$”%& £* ¤¥1¦§f¢¨©j ŸJ3”%& \)7ª ©b\«S ¡7&¬ b\«S­8®7¯ °&7±l²^M³´& (µ©ž7¶·¸¹ @5 Œ j4%º»~& \)j;'¼½@¾ ¿5 €‚ƒ„ÀEÁ Š‹()©‹©Ã+8) 7EÄG& 7ÅS1J K4’“E_Æ& vÇ ®©O:È& 7E%? ÉS1Êʇ‡EË Ì5 Œ ?@AB ÍÎ&À ÅÏSÐfÑÒRS& ÓÔÕÖMÕERS5 \)Àŗ™¨o×= E%Ø:Ù& ±l²^ ÚÛÜ@ÝÞ& ¯ßR S¸¹& à½E)áâ Eãä5 ±l²^M³ ´å æçèéêvbë ®%ìíåîïèðñ5 òOó+& ÀÅôõö o×=E%؇@:4 ÷ø5 #()ÀÅ6[ y5 ÀÅ\ižòOù ú(ûüRS& ÀÅý ô\iTþÿ!"ÀÅ z{ERS5 "CDEFE1 . "LM,N1 "OPQRSJ!"#-+#&'-&#( "TUVWJXYZ[\]^_`abc -"&defDgh"e$OPQ "ijOkl!"!!!( "]mQnDopl!"#-"#&'--&# !"#-"#&'-&"'.qr> "nsltuCD]mQvwxy7z{i|.}~ "ijnsopl---)# "€‚nƒ„n…†n "CD‡y7zZ.]~ˆ‰Š‹ŒD "Ž‘’dl-,!!!!,!!!--! "ŽQRSl!"#-"#&'-&## "CD“34”•q–—˜™š›œ8žŸ ¡¢£¤¥¦§¨©ª -- d«¬—;­™—®¯°±²³´uCD]mQvwµ¶ 书书书 学 业 水 平 测 评 （ 二 ） 测 试 范 围 ： 选 择 性 必 修 第 一 册 ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 第 Ⅰ 卷 选 择 题 （ 共 ５８ 分 ） 一 、 单 项 选 择 题 ： 本 大 题 共 ８ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 ４０ 分 ．在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． 若 ａ ＝ （ ２， － ３， ５） ，ｂ ＝ （ － ３， １， － ４） ，则 ｜ ａ － ２ｂ ｜ ＝ （ 　 　 ） （ Ａ ） 槡 ３ ８ （ Ｂ） 槡４ ２ （ Ｃ） 槡６ ６ （ Ｄ ） 槡 ２５ ８ ２ ． 若 直 线 ｌ的 方 向 向 量 为 ａ ＝ （ １， ０， ２） ，平 面 α 的 法 向 量 为 ｎ ＝ （ － ２， １， １） ，则 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｌ ∥ α （ Ｂ） ｌ  α 或 ｌ ∥ α （ Ｃ） ｌ ⊥ ａ （ Ｄ ） ｌ与 α 斜 交 ３． 两 平 行 直 线 ５ｘ － １２ ｙ ＋ ２ ＝ ０ 和 １０ ｘ － ２４ ｙ － ３ ＝ ０ 间 的 距 离 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） ５ ２６ （ Ｂ） ７ ２６ （ Ｃ） ５ １３ （ Ｄ ） ７ １３ ４ ． 已 知 Ｆ １ ，Ｆ ２ 为 椭 圆 ｘ２ １２ ＋ ｙ２ ３ ＝ １ 的 两 个 焦 点 ，点 Ｐ 在 椭 圆 上 ，如 果 线 段 ＰＦ １ 的 中 点 在 ｙ 轴 上 ，且 ＰＦ １ ＝ ｔＰ Ｆ ２ ，则 ｔ的 值 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） ５ （ Ｂ） ６ （ Ｃ） ７ （ Ｄ ） ８ ５． 当 直 线 ｌ： ｘ ａ ＋ ｙ ｂ ＝ １（ ａ ＞ ０， ｂ ＞ ０） 过 点 Ｐ（ １， ４） ，当 ａ ＋ ｂ取 得 最 小 值 时 ，直 线 ｌ的 方 程 为 ： （ 　 　 ） （ Ａ ） ｘ ＋ ｙ － ５ ＝ ０ （ Ｂ） ４ｘ ＋ ｙ － ８ ＝ ０ （ Ｃ） ２ｘ ＋ ｙ － ６ ＝ ０ （ Ｄ ） ｘ ＋ ２ｙ － ９ ＝ ０ ６． 已 知 Ｆ １ ，Ｆ ２ 分 别 是 双 曲 线 Ｃ： ｘ２ ４ － ｙ２ ｂ２ ＝ １（ ｂ ＞ ０） 的 左 、右 焦 点 ，Ｍ 是 双 曲 线 Ｃ 右 支 上 的 一 个 动 点 ，且 ｜ Ｍ Ｆ １ ｜２ －｜ Ｍ Ｆ ２ ｜２ 的 最 小 值 是 槡８ ６， 则 双 曲 线 Ｃ 的 渐 近 线 方 程 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） ｙ ＝ ± １ ２ ｘ （ Ｂ） ｙ ＝ ± 槡 ２ｘ （ Ｃ） ｙ ＝ ± 槡 ２ ２ ｘ （ Ｄ ） ｙ ＝ ± 槡 ３ ２ ｘ ７． 如 图 １， 点 Ｆ 是 抛 物 线 Ｃ： ｘ２ ＝ ４ｙ 的 焦 点 ，点 Ａ， Ｂ 分 别 在 抛 物 线 Ｃ 和 圆 ｘ２ ＋ （ ｙ － １） ２ ＝ ４ 的 实 线 部 分 上 运 动 ，且 ＡＢ 总 是 平 行 于 ｙ 轴 ， 则 △ ＡＦ Ｂ 周 长 的 取 值 范 围 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） （ ３， ４） （ Ｂ） （ ３， ５） （ Ｃ） （ ４， ５） （ Ｄ ） （ ４， ６） ８． 几 何 学 史 上 有 一 个 著 名 的 米 勒 问 题 ： “ 设 Ｅ， Ｆ 是 锐 角 ∠ ＡＰ Ｂ 的 一 边 ＰＡ 上 的 两 点 ， 试 在 边 ＰＢ 上 找 一 点 Ｑ ，使 得 ∠ ＥＱ Ｆ 最 大 ．” 如 图 ２， 其 结 论 是 ：点 Ｑ 为 过 Ｅ， Ｆ 两 点 且 和 射 线 ＰＢ 相 切 的 圆 的 切 点 ．根 据 以 上 结 论 解 决 以 下 问 题 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 ｘＯ ｙ中 ，给 定 两 点 Ｅ（ ２， ４） ，Ｆ （ ４， ２） ，点 Ｑ 在 ｙ轴 上 移 动 ，则 ∠ Ｅ Ｑ Ｆ 的 最 大 值 为 （ 　 　 ） （ Ａ ） ３０ ° （ Ｂ） ４５ ° （ Ｃ） ６０ ° （ Ｄ ） １３ ５° 二 、 多 项 选 择 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ６ 分 ， 共 １８ 分 ．在 每 小 题 给 出 的 选 项 中 ， 有 多 项 符 合 题 目 要 求 ．全 部 选 对 的 得 ６ 分 ， 部 分 选 对 的 得 部 分 分 ， 有 选 错 的 得 ０ 分 ． ９． 过 点 Ｐ（ － 槡 ３， － １） 的 直 线 ｌ与 圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １ 相 切 ，则 直 线 ｌ的 倾 斜 角 可 以 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） ０° （ Ｂ） ３０ ° （ Ｃ） ４５ ° （ Ｄ ） ６０ ° １０ ．已 知 ｍ ∈ Ｒ ，则 方 程 （ ２ － ｍ ） ｘ２ ＋ （ ｍ ＋ １） ｙ２ ＝ １ 所 表 示 的 曲 线 为 Ｃ， 则 以 下 命 题 中 正 确 的 是 （ 　 　 ） （ Ａ ） 当 ｍ ( ∈ １ ２ ， ) ２ 时 ，曲 线 Ｃ 表 示 焦 点 在 ｘ 轴 上 的 椭 圆 （ Ｂ） 当 曲 线 Ｃ 表 示 双 曲 线 时 ，ｍ 的 取 值 范 围 是 （ ２， ＋ ∞ ） （ Ｃ） 当 ｍ ＝ ２ 时 ，曲 线 Ｃ 表 示 两 条 直 线 （ Ｄ ） 存 在 ｍ ∈ Ｒ ，使 得 曲 线 Ｃ 为 等 轴 双 曲 线 １１ ．在 平 行 六 面 体 ＡＢ ＣＤ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ Ｄ １ 中 ，Ａ Ｂ ＝ ＡＤ ＝ ＡＡ １ ＝ １， ∠ Ａ １ ＡＢ ＝ ∠ Ａ １ ＡＤ ＝ ６０ °， ∠ Ｄ ＡＢ ＝ ９０ °， 若 → → → ＡＱ ＝ ｍ ＡＢ ＋ ｎ ＡＤ ＋ ｐ ＡＡ→ １ ，其 中 ｍ ，ｎ ， ｐ ∈ （ ０， １］ ，则 下 列 结 论 正 确 的 有 （ 　 　 ） （ Ａ ） 若 ｐ ＝ １ ２ ，则 三 棱 锥 Ｑ － ＡＢ Ｄ 的 体 积 为 定 值 （ Ｂ） 若 ｍ ＝ ｎ， 则 Ｑ Ｃ ⊥ ＢＤ （ Ｃ） 若 ｍ ＝ ｎ， 则 ＢＤ １ 与 平 面 Ｑ ＡＣ 所 成 的 角 的 正 弦 值 为 槡 ３ ３ （ Ｄ ） 当 ｍ ＋ ｎ ＝ １ 时 ，线 段 Ｑ Ｃ 的 长 度 的 最 小 值 为 槡 ６ ４ 第 Ⅱ 卷 非 选 择 题 （ 共 ９２ 分 ） 三 、 填 空 题 ： 本 题 共 ３ 小 题 ， 每 小 题 ５ 分 ， 共 １５ 分 ． １２ ．若 ａ ＝ ｅ １ ＋ ｅ ２ ，ｂ ＝ ｅ ２ ＋ ｅ ３ ，ｃ ＝ ｅ １ ＋ ｅ ３ ，ｄ ＝ ｅ １ ＋ ２ｅ ２ ＋ ３ｅ ３ ，若 ｅ １ ， ｅ ２ ，ｅ ３ 不 共 面 ，当 ｄ ＝ αａ ＋ βｂ ＋ γｃ 时 ，则 α ＋ β ＋ γ ＝ ． １３ ．圆 的 反 演 点 ：已 知 圆 Ｏ 的 半 径 是 ｒ， 从 圆 心 Ｏ 出 发 任 作 一 条 射 线 ， 在 射 线 上 任 取 两 点 Ｍ ，Ｎ ，若 ｜ Ｏ Ｍ ｜· ｜ Ｏ Ｎ ｜ ＝ ｒ２ ，则 Ｍ ，Ｎ 互 为 关 于 圆 Ｏ 的 反 演 点 ．圆 的 反 演 点 还 可 以 由 以 下 几 何 方 法 获 得 ：若 点 Ｍ 在 圆 Ｏ 外 ，过 Ｍ 作 圆 的 两 条 切 线 ，两 切 点 的 连 线 与 Ｏ Ｍ 的 交 点 就 是 点 Ｍ 的 反 演 点 ；若 点 Ｍ 在 圆 Ｏ 内 ，则 连 接 Ｏ Ｍ ，过 点 Ｍ 作 Ｏ Ｍ 的 垂 线 ，该 垂 线 与 圆 两 交 点 处 的 切 线 的 交 点 即 为 Ｍ 的 反 演 点 ．已 知 圆 Ｏ ：ｘ ２ ＋ ｙ２ ＝ ４， 点 Ｍ （ １ ，３ ） ，则 Ｍ 的 反 演 点 的 坐 标 为 ． １４ ．已 知 点 Ａ， Ｂ， Ｃ 是 离 心 率 为 槡 ２ 的 双 曲 线 Γ ： ｘ２ ａ２ － ｙ２ ｂ２ ＝ １（ ａ ＞ ０， ｂ ＞ ０） 上 的 三 点 ，直 线 ＡＢ ，Ａ Ｃ， ＢＣ 的 斜 率 分 别 是 ｋ １ ，ｋ ２ ，ｋ ３ ， 点 Ｄ ，Ｅ ，Ｆ 分 别 是 线 段 ＡＢ ，Ａ Ｃ， ＢＣ 的 中 点 ，Ｏ 为 坐 标 原 点 ， 直 线 Ｏ Ｄ ，Ｏ Ｅ， Ｏ Ｆ 的 斜 率 分 别 是 ｋ′ １ ， ｋ′ ２ ，ｋ ′ ３． 若 １ ｋ′ １ ＋ １ ｋ′ ２ ＋ １ ｋ′ ３ ＝ ３， 则 ｋ １ ＋ ｋ ２ ＋ ｋ ３ ＝ ． 四 、 解 答 题 ： 本 题 共 ５ 小 题 ， 共 ７７ 分 ．解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ． １５ ．（ １３ 分 ） 在 离 心 率 为 槡 ３ ２ 的 椭 圆 中 ， Ｆ １ ，Ｆ ２ 是 两 个 焦 点 ，Ｐ 是 椭 圆 上 一 点 ，且 ∠ Ｆ １ ＰＦ ２ ＝ π ３ ， ｜ ＰＦ １ ｜－ ｜ ＰＦ ２ ｜ ＝ ３， 求 Ｓ △ ＰＦ １Ｆ ２ ． １６ ．（ １５ 分 ） 已 知 圆 ｘ２ ＋ ｙ２ － ４ａ ｘ ＋ ２ａ ｙ ＋ ２０ ａ － ２０ ＝ ０（ ａ ≠ ２） ． （ １） 证 明 ：该 圆 恒 过 一 定 点 ； （ ２） 若 该 圆 与 圆 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ４ 相 切 ，求 ａ 的 值 ． h " e $ ½ & ' ( ¾ * + , - ¿ À ‰ ! < Á ! 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