复习专号 章节测评卷(一) 测试范围：集合与常用逻辑用语-【数理报】2024-2025学年高一数学必修第一册同步学案（人教A版2019）

高中数学必修第一册 1:<21然后他们三人各用一句话来正确述”A”表示的 第II卷非选择题(共92分) 章节测评卷(一) 数字,并上丁同学情出这数字,以下是甲,乙.齿三位回学的描述 甲,比数为小干5的正整数;乙=是t.A的必要不充分条 三、填空题;本题共3小题,每小题5分,共15分 丙:eC是A的充分不必要条件,则“”表示的数字是 测试范围:集合与常用逻辑用语 12.xB +3+90“B+2+0” ) 均为真命题,则。的取范为_, 0 数理报料试题研究中心 (A)34 ()2成3 $3.知合A=x12+1x3-5.B=x (C1或2 (D1或3 第I卷 选择题(共58分) >9.若AC(An&)实数a的数值范国是 7.定义,若一个*位正整数的所有数位上数字的n次方和等干 14.对于任意两个数&yf(x.rN.).定义某种运算”0”如下 一、单项语择题;本题共8小题,每小题5分,共40分 这个数本身,则称这个数是自数已集合A=14.26,81,153 370.-A1:是自数,则的子集个数为 ) -2n.nN 1.命题3:(0.+x)lnx=8x5*的否定是 (A)l6 (B)8 (C)4 (D)7 1-2n-1.-N. 将&)()提 (A)x(0.+×).nx8+5 8.设xx,“s-lx-1-l=”是”(s 1-2w-1.N. &)( (B)x(0.+).lnx8+5 -七.)-)(-)-0”的 () (Cx(0.+)ln=8x+5 (A)完件 -10的真子果个校是 (D)(0.+).nx=8+5 ()充分不必要件 四、解答题:本题共5小题,共77分 2已合A=4.:2l.=-2.1-y若A=. (C)0要不充分件 15.(13分)(1)已知全集U=x1-5110.x=2,集合 () 数:的职值集合为 -l0:7乙.v-l1-242.求 (D)断不充分也不必要件 (B)|-221 (A)1-1.0.2 二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分 (C.V)DM(分到用描这法和到法来示结果): (p)1-2.1.21 (C)1-10.-2 9. 下列说法中正确的有 ) ()全=A=10123.456789.10 3.设有非空集合A.&.C.若”aA”的充要条件是”&BH。 (A)””是”成立的充分不必要条件 合ADCB-2.4.6.8.第合 , () “C”,则。eR”是A”的 (B)题:Vx0均有”0.的否定:3s )() (3)已知合P=xl+2x1=DR.xB.当 20 (A)充分不必要条性 合P只有一个元时,求实数a的笔,并求出这个元素 (B)必要不分件 (C)已知某合满足11.2不句含于且C1.23.4. (C)充要条 所有满足条件的里合过有4个 (D)既不充分也不要条件 (D)设A.B是两个数第.若A凸B②.则A.得;B 4.下列表示集合A-eN. N.]和B=x1( 10.已知合A.B满AO=.AUB=O.全集U=B.则 下说法中可正确的有 5.-361关系的Vean图中正确的是 ) (A)C.A没有最大元素.C.8有一个最小元素 (B)A有一个最大元来,B没有最小元来 (C)A有一个最大元素,有一个最小元素 (D)A没有最大元素,8也没有最小元素 (B) (C) D 11.当一个非空数第6满足”如是a6.a+b-5 6且0时。6”时,我们称6就是一个数域,以下关干数 元和为 ) 说法;①0是任何数域的元素;②答数域6有作零元来,则2024eG p (} (B)) (Aj0 ③合P=xl=2sZ是一个数域:④有理数集是一个数 :③任间一个有阻数域的元老个数必为奇数,其中正确的选项 6.甲乙,面、丁四位民学在玩一个精数字游戏.甲,乙.丙共国 ) (B)② (A)①② (C)④ 写出个集合;=111=¥-35. (D)5 16.(5分)已知命题g对干任意:【1.2].有式-a: 18.(17分)段pl42-30.:x1+(m- 19.(17余)若集合A是整数望的子第,且满足对任意的aeA. 命题:存在xB.倍得+2r+2-=.若p与 中至少有 -m0.m-1. 益存在-A.纯得a-+3.或者a- -.则称合A具有性质P 个是假命题,求实数。的取值范围. (1)若=4.听,是e的充分条件还是必要条件 (2)若,是的,求n的败值集合. (1)若A=1-1.1.2.4.B=10.1.2.41.断A.+哪个集合 从①分不必要务件,②必要不充分条件,这两个条件中任选 具有性质声: 一个.补充在第(2)中的横线上.并给予解答 (2)已知噪合A具有作所P且1A.求元素个数最少的集合A 注:如果选择条件①和条件②分到解答,按第一个解答计分 (3)已知集合A.具有性质P,断AD和AU是否具有 贾P.说理由 士·的)(人))() 将·&1(二 17.(15分)没分A=xlm-.乙n乙. (1)明:所有奇数均国干基合A (2)用险法证期10不是合A的无表 我)() 1, [参考答案见13-14题迎& ·参考答案 13 第18期3,4版 18.解:(1)当m=-6时,函数化为y=-14-5 所以>。 一、单项选择题 令y=0.得x--5.此时涵数有零点-5,符合题意; 1. A: 2. B: 3. B; 4. D; 综上,实数m的取值范围为[-3.*). 5. C: 6.C; 7.C; 8.C. 当m-6时,由函数y=(m+6)x+2(m-1$) x+ n+1有零点,可得A=4(m-1)-4(m+6)(m+1 二、多项选择题 高中数学必修第一册章节测评卷(一) 9. AD; 10. ABD: 11.AD. =0.即 -且m*-6. 一、单项选择题 三、填空题 综上,m的取值范围是(-×,-5] 1.B: 2.B: 3. B: 4.A: 5. C: 6.C: 7.B: 8. D 12.(答案不唯一):13.. 提示: (2)因为函数有两个不同零点,所以(m+6)^+ 14.(0.41 1.命题”3x(0.+x),lnx=8x+5”的否定是 2(m-1)x+n+1=0有两个不同的实根. “Vx=(0.+x).lnx8x+5”. 所以[m×~6. 四、解答题 =4(m-1) -4(m+6)(+1)=0 2.因为A=B.所以-2EA. 15.解:(1)F(r)=f{x)-g(x)=log.(3-)-log (3+). 当x--2时,2v=1-y.得y-; 解得a<--且n≠-6. 当2r=-2时,则x=2 设(m+6)*+2(m-1)x++1=0的两个不同 所以函数F(x)的定义域为(-3.3) 故实数x的取值集合为-2.21. 的实根分别为。和. (2)由(1)知函数F(x)的定义域为(-3.3). 3.由题可知A=BOC.则aeB.不一定aEA. 但a=A.一定得到aeB. n+6 则“asB”是“a“A”的必要不充分条件 则f(-)-10g x..x 4.根据题意由xeN.6N.,可得x-1.2.3.6. 即 (-)+(1)-0_.l0 所以-20m-1)--4.解得m--3.符合题意 m41 即A=11.2,3.6. 综上,m=-3. 由(+5¥) =36可得+5x=6或+5x=-6 $ l.(3_3一)-0.所以F(n)为奇函数. 19.解:(1)函数/(s)是“1.函数”,理由如下; 解得x=1或x=-6或x=-2或x=-3. 由题意,若函数/f(t)在定义域内存在实数,满足 即B=11.-2.-3.-6. 16.解:(1)由题得/=asin-3cs-=0.(-)=-f(x),则(x)是“L函数”。 因此集合A.B有交集,但没有包含关系.故选(A). 5.第合4满足Vx=4.1.A.3A.故13 解得:1. 所以2sin(-x。+吾)--2sin(吾). (2)由(1)可得/(x)=sin2x-3eos2x= 即sin(xo-吾)=sin(*+吾). 1 2(in2x-s2x)-2sin2x-). 当=吾时,上式成立, 因为x[0.*].所以2x-。[-5]. -3A.故4--2.-3. 所以存在x。=-,满足/(-x)=-f(xn)。 令--<2x--=-解得0<x<1 则集合A所有元素之和为-2-+3- 所以函数/(x)=2sin(·+吾)是“乙函数”. 所以(x)在[o.]上单调递增, 6.因为此数为小于5的正整数。 (2)因为函数g(x)=3'+(aeR)为B上的奇 所以A=1x10<x<21-{x0<x<21. ##4<2-解得<1 函数,所以g(0)=1+a-0. 所以(x)在[511正]上单调递减。 因为:=B是xeA的必要不充分条件,x=C是 所以a=-1.经检脸a=-1满足条件. reA的充分不必要条件。 #3<2-=得|1<:<” 所以C是A的喜子集,A是B的真子集。 所以2<5且2,2.解得号<A<3. 所以(x)在["]上单调递增 x-1 域为B 所以“4”表示的数字是1或2. 17.解:(1)由图可知.A-2.3r-5+. 7.因为4-4.所以4是自恋数. ①当在区间[-1,1]上存在x,满足h(-u)= -(o)时, 因为2*+6*=40 26,所以26不是自恋数; 所以T.:。2n.2. 因为8+1*=65 81,所以81不是自恋数; 则(3) -2m·3-4+(3%)}-2m 3-4=0. 即(3+3)-2n·(3+3%)-10=0. 因为1*+5*+3-153,所以153是自恋数; 将点(o)代人/(x)=2os(2x+)5+= 令1-30+3-%. 因为3 +7*+0 -370,所以370是自恋数; 所以B=4.153,370 ,则子集个数为2=8. 2kn+★乙又1l,所以--. 则2v3,3*=2.当且仅当x。=0时取等号。 8.根据题意x.<x。<,由lx-x.1+lx-x。1+ 又s[-1.1].所以ts3'+3*-0.即re [2. 所以(x)=2o(2--哥). 1x-x1=2.不能推出(x-x)(x-x)(v-x)=0 101.所以(3+3%)第-20.(3 3)-10--2-08 例如x-0=1---满足1 -- (2)将/(x)的图象向左平移-个单位长度,得 1x-1+1x-1=2.但(-×)(x-x)(x-x)= -2*^(1·一)---(0) 10-0-故分不成立位; ②当在区间(-*,-1)上存在x.,满足(-x)= 再将所得图象的横坐标短到原来的纵坐标不变.-(n)时,则(3→)-2·3-44. 由(-x)(x-x)(x-x)=得x=x或x=x 或x=,不能推出lx-1+x-xl+x-xrl=2 得y-2co(4x+-). 例如x=*、=1=2x=3.满足(x-x)(x- ($-x)=0但ìx-x1x-rl+l-x=3 所以g(t)-2eos(4x+"). 1 乏2,故必要性不成立。 递诚,所以_> 所以“1x-x.1lx-x1+1 -x1=2”是“(x- 因为x=[0.吾],所以4+=[“] x.)(x-x.)(x-x)=0”的既不充分也不必要条件 ③当在区间(1,+x)上存在t,满足h(-x)= 所以co(4x+-)。[-1.]. 二、多项选择题 - (s)时,则-4--[(3)}-2r·3-4]. 9. AD: 10. BD; 11.AD. 即有解 提示: 即208(4+-)s[-2.1]. 9.由ab>0可以推出a,面由a>可以 故&(x)在[0.吾]上的值域为[-2,1. 推出lal>1bl,则”a>b>0”是“?>b”成立的充 分不必要条件,故(A)正确; 14 ·参考答案 迎& 命题p的否定应为“x>0.使得<0”,故(B)错误;<(x)=1,即a1; 故八)-4# 满足条件的集合有1.12,31,41,1,31. 若命题a为真,则方程}+2ax+2-a=0有解 11.4.23.24.34.134.234和. 则有A=4-4(2-a)0.即a+a-20 -4 故(C)错误; 解得a1或a-2. 若AOB②,则集合A和集合B有公共的元素,即 4.为简便起见.复用A.B.C.D表示A.B.C.D四个同 若p与a都是真命题,则a-2或a=1. 3xeA.使得xeB.故(D)正确. 学的年龄,则A>0.B>0.C>0.D>0. 所以若p与y中至少有一个是假命题,实数a的取值 故选(A)(D). 则A+C=B+D①.C+D>A+B②.BA+D③ 范围是(-2.1)U(1.+×). 10.若A-e0lx>0l,B-xeQlx<0l. ①+②得C>B.①+③得C>2D.②+③得C> 17.证明;(1)eZ时,2k+1表示奇数,由2+1= 则CA和C.B均含遍布(-,+)的全体无理数,从而 24.由干A>0.D>0.故由③得B>A.B D. (&+1)*-&,所以所有奇数均属于集合A. 由①得C-B=D-A.因为C>B,所以C-B> 均没有最大元素和最小元素,故(A)不可能成立;若A= (2)假设l0是集合A的元素,则存在mZ.n eZ.0.所以D-A0.所以D>A.综上,C>B>D>A. x。1x0l,B=x。1x>0l.A有一个最大元 使得10=m{-a=(n-n)(n+n). 素,B没有最小元素,故(B)可能成立;A有一个最大元 5.原不等式可化为(r-a)(t-1)0. 当a<1时,不等式的解集为[a.1],此时只要a 素,B有一个最小元素不可能,因为这样就有一个有理数 -4即可,即-4a<1: 不存在A和B两个集合中,与A和B的抖集是所有的有理 当a=1时,不等式的解为:=1.此时符合要求; 数矛盾,故(C)不可能成立;若A=xe。1x<v21.B 当a>1时,不等式的解集为[1.a],此时只要a3 =r01x②,则A没有最大元素,B也没有最小 四个方程组均无整数解. 即可,即1a3. 元素,故(D)可能成立.故选(B)(D). 所以假设不成立,10不是集合A的元素. 综上a的取值范围是[-4.3]. 11.①当a=&时,由数域的定义可知,若a.G. 18.解:(1)记集合P=1x1+2x-3<0=1xl 6.若ab=0.则kcR: 则有a-bsG.即0eG.故①是真命题; -3<x<1.0=x1+(m-1x-m<0. ②当a=b0时,由数域的定义可知,若a.G. m=4时.0=x1+3-4 0= xl-4$ 则有-G,即1e6.若1G.则1+1=2e6,则2 x<1l,由于P0,所以p是4的充分条件 (2)选①,若一p是一a的充分不必要条件,等价于 若00--(--)-2- +1=3G...-.则1+2023=2024e6.故②是真命题; 是p的充分不必要条件,则0P ③当a-26-4时,--26故③是假命题; 因为P=x1-3<x 1. 因为-(-)-2<-2/(-)·(-) ④若abeO.则a+b.a-babeQ.Hbo时. 当m -1时,0=x11x -m,不成立; 当m -1时,0=x1-m<x 1. _。Q.故④是真命题; -2=-4.所以k-4所以-4k0. 由0P得m1-1<m<3. 7.由题可知1和-4是方程ax+ba+c-0的两个 因为0-G.当&eG且b*0时,则-beG.因 综上,m的取值集合为(-1.3). 实数根,且a<0.由根与系数的关系可得 此只要这个数不为0就一定成对出现,所以有限数域的 选②,若一p是a的必要不充分条件,等价于p是 [-41:-△. 元素个数必为奇数,所以是真命题 “即-3a.c--4a. 故选(A)(D). 的充分不必要条件,则P0. 当m -1时.0=x11<x -ml,P0不可; -x1- 三、填空题 当m-1时.0=xl-m<x<11, #以-。- 12.(-2.1):13.(-.6)U(9.+*); 由P0.得n1n>3. a+3 14.2047. 4 综上,m的取值集合为(3.+x). 提示: --(-4a)=-2-4ax(-) 19.解:(1)结合集合新定义可知,A=-1.1.2.4 1.-6 12.因为“Vx=B.x”+3ax+9>0”为真命题. 不具有性质P.B=10.1.2.41具有性质P 当仅当-4-。_即。-- 则得A=9-36<0.解得-2<a<2. 1时等号成立, (2)已知1EA.因此要么存在b=-2或b=2; 又“x=B.+2x+a<0”为真命题 。(-01. 期得A-4-4a>0.解得a<1. 进一步存在b=-5或b,=-4或b,=-1或b=4; 进一步计篇可得b"-8或b=-10或b=-7或 综上.-2<a<1. 8.由-2-30--1<x3. 13.若AC(A0B).则ACB. b,=-8或b=-4或6,=-2或b。=1或b$=-8. 因此可得取A=11.2.41是使得1eA时,元素个数 当20t1>3-5.即a$6时,4=满足条件 的解集是空集, 当2+1-3a-5.即a6时. 最少的集合A. 所以44r-(1+a)>0在[-1.3]上恒成立。 若ACB.则3-5<0或2a+1 19 (3)4UB具有性质P,A0B不具有性质P 令/(x)=+4x-(1+a),则二次函数/f(x)开口 解得。(舍)或a)9. 因为对任意的aAUB,则aEA或aEB. 向上,且对称轴为直线x=-2. 不妨设aeA.故总存在&eA.使得a=b+3或a 所以/x)在-1.3]上单调递增 综上,实数a的取值范围是(-×6)U(9.+). -因此AUB具有性P 所以要使/x)>0在[-13]上恒成立 14.当x.y同为奇数或者同为偶数时,x0y=10. 则f-1)=-4-a>0.解得a-4 (x.y)可取(1,9).(2.8).(3.7).(4.6).(5.5). 构造A=11.2.41.B=12.4.8...2.1都具有 故实数a的取值范围是[-4,+). (6.4).(7.3).(8.2).(9.1). 性质P,但是ADB不具有性质P 二、多项选择题 当x为偶数,y为奇数时,x0y=10 故AUB具有性质P,AOB不具有性质P 9. ABC: 10.AD: 11. BCD. (x.y)可取(2.5).(10.1). 高中数学必修第一册章节测评卷(二 提示: 所以(t,y)可取的情况共有11种. 9.当a<0时,f不成立,故(A)不正确;当 即集合A中有11个元素。 一、单项选择题 所以集合A的真子集个数为2”-1=2047 1.C: 2.A: 3.B; 4.D; 5.A: 6.B; 7.D; 8.B e<0时,a<b故(B)不正确;当a=1.b=-2.k-2 四、解答题 提示: 时,命题不成立,故(C)不正确:a>0一-a-b 15.解:(1)由题得C.V=s1-5x<-2或4 1.若m=0,n=1.则lml n. 0-e-a<e-b,又c>a.所以0<c-a<c-b.回乘 x10.xZ,所以(C.N)0M=xl4x7x 但#(因为无意义)m<-均 7=14.5.6.71. (2)由题得CB=12.4.6.8. 不成立,故(A)(B)(D)错误; 所以B=10.1.3.5.7.9.10. 由n>1m1n易得(C)正确 (3)当a=0时,P=②,不符合题意。 2.不等式2x-8r+6-a0在1x4时有解. 10.由题得6=a+2a+3n<a+2+3c=0. 当a0时,因集合P只有一个元素,则方程ax{+ 等价于当1x4时,a(2r-8xr+6). 所以a<0.又0=a+2+3c<c+2c+3c=6c 2ax+1-0有等根,A=4a-4-0. y=2-8r+6-2(v-2)-2. 所以e>0.(A)正确; 此时a=1.集合P中的元素为-1. 由题得a+2c+3c>0.所以a+5c>0,得c>-号 当x=4时,y_=6.所以a6. 所以a=1,这个元素是-1. 3.由0<1,则0 3t<1.01-3x1. >0.所以得-250.(B)错误; 16.解:若命题r为真,则对于任意xs[1.2】,部有 &理& ·参考答案 15 四、解答题 由题得3+3c<a+2+3c= 理由如下: 所以a+e<0.(C)错误; 15.解(1)因为9r-y=m(x-y)+a(4r-y= 根据定义,易知3x7<11x2 (m+4n)x-(m+a)y. 由题得a+--2(b+e),所以+2古++6 所以点(3.11)是点(2.7)的”下位点”。 + +6 [-- [m+4a-9得 #-# (2)由题可知ad<be.a.b.c.d均为正数 所以 lm+=1. -## 1{ #<.(n)正确 同项可得一--(#0.即# &ac (2)由(1)知9x-y--5(x-y)+8(4r-y). 故选(A)(D). 11.①当k>0时,不等式可化为(-6)(t- #上。号) H-4-y-1.-1-y5 #知号 -(1)-20.-<(4x-) 4 >.+6-k+6=26>4.所以x<4或x> (3)由已知得[<2 024k。 1(m+1)n>2025k. 40.听以-1<9x-y=20. +6.即解集为(-*.4)U( (,). 即9 -y的取值范围是[-1.20]. 此时集合M有无穷个整数,不合题意; 16.解:(1)由题意得 所以2024(mn+n-1)2024 x2025 2025(mn+1).解得n>2024-m ②当k=0时,不等式为-6(x-4) 0.解得x$ A=4(+2)-4(m-1)-0 4049 4.此时集合M有无穷个整数,不合题意: 2(m+2)>0. 1-1>0. 又该式对集合|m10<n<2024.meN1内的句 个正整数m都成立,所以“>2024-2023=4049. 解得-<a<-1或n>1. 404. 0.所以+6<4. 所以正整数a的最小值为4049 #&6-(-)(-)>2v6. 即m的取值范围是[-5.-1)(1.+*). 高中数学必修第一册章节测评卷(三) 而4<2<5.所以-5<6-4. (2)由趣意得 [4=4(m+2)?-4(m-1)0. 一、单项选择题 1-10. 1.A; 2.D: 3.B: 4.B; 5.B; 6. D: 7.D; 8.A 因此集合M至少有-4.-3.-2.-1.0.1.2.3共8 解得-1<n<1. 提示: 个数,只要+6-5.即-3k-2.否则会多出-5 所以m的取值范围是(-1.1). 1./fx)=2x-1在[-1.2]上单调递增 这个数,所以当^e[-3.-2]时,M中元素个数最少,且M 所以/(x)的值域为[-3.3). 17.解:(1)设(x)-(1):+9 2-1=0. =-4.-3.-2.-10.1.231.故选(B)(C)(D). 2.由题意可知 [) 三、填空题 0{-(1)-~36 2..13.(-*-4)(1+*); 解得-a<0. V(1)-1+2c0. 3.令+2=1.则:>2. 14.4. 所以/)=(t-2) +4 -2)+5=+12). 即a的取值范围为(-21.。o). 提示: 即/t)=+1(x>2). 12.原不等式等价干x(x-1)-(a-2)(a+1)1. 4.因为函数y=f(x)的图象关于x=1对称, (2)设/(x)=-m+1. 即?---1(a+1)(a-2)对任实数x恒成立。 4:-4=0. 则a-/(-)=/() ##--1-(--)--. . 解得2” 因为函数y=/(x)在(1.+)上单调递增. 所以-=--2,解得-<3. 0)=1>0. 且1253. (2)=-2m+5>0. 所以。最大为。 所以(2)/()<(3),即<a< 即实数m的取值范围是[2.5). 13.由-寸(3)(a201)1 (3)设/f(x)=x}+(m-2)x+5-m. 5.函数y=lxl(r-a)-{x(x-a),x=0. 1-(x-a).x<0. -×[44)]=×[4 f(2)>0.4+2(m-2)+5-m>0. 则(3)<0.即9+3(m-2)+5-m<0. 因为a>0. 、01.-. 16+4(m-2)+5-m>0. 4)>0. 当:0时,函数y=x(x-a)的图象为开口向上的 抛物线的一部分,与x轴的交点坐标为(0.0),(a.0); 解得-号 n-4.即的取他题为(-号.-4). 仅41)_.即 =3y-寸时等号成立, 当x<0时,函数y=-x(x-a)的图象为开口向下 18.解:(1)x=2表示2004年及2025年各投资2百万元. 的抛物线的一部分,故选(B). 要使不等式a”}2一有解,只需}+ 6.设初始状态为(xy),则=16r,y:=8y. 由题意得/(2)=v/4×2+3x2=2v2+6.$ 6(2)-4-16-5-242-4-+2. 又y.=k=k,即$y,=$ki16r )"=k·16* .$ 1>4→3m+n-4=(3m+4)(a-1)>0. 2 所以n (-*,-4)(1.+2). 又/(2)-f(2)=6+11-42+2-4=0 所以/(2)>f(2). 7.由题意可得F(x)-2=af(x)+bg(x). 函数/(x),g(x)都是奇函数。 14.因为数y=”+(a=R)的最值为0 (2)两次投资在2027年产生的利润之和为/(x). 所以4-0.所以6-. 所以F(-x)-2=a$f(-x)+bg(-x)=-laf 设2024年初投资;百万元,则2025年初投资(4-×) +bg(x)]=-[F(x)-2]. 百万元,2024年初股资的:百万元在2027年产生的利 所以函数y-&+ax+6-+4-1. 所以F(x)-2=af(x)+br(x)是奇函数 为4r=2/(百万元),2025年初投资的(4-x)百万元 又由F(x)在(0.+x)上有最大值8. “)”.其图象的对称轴为x--号 在2027年产生的利润为V3(4-x)(百万元). 即F(x)8.所以F(x)-26. 所以(x)-2+12-3x. 当x=(-,0)时,-xE(0+)。 因为不等式+ax+b<c的解集为xlm<x< 即[()]=x+43。(4-x)+12-+6 则F(-x)-26.即-[$()-2]6 ”+4),所以方程x - =0的根为m.+4.32-8x+12+6x+32-8r+12-16+12=28. 所以F(x)-2-6.即F(x)-4. 2 所以当x=(-.0)时.F(x)有最小值-4. 当且仅当6x=32-8x,即:-16时取等号, 8.由/fx+2)-2为奇函数,所以/f-x+2)-2= 所以,--2.又因为m+am+-.-0. -x+2)+2,即/f-x+2)+fx+2=4 所以f(x)2v7,所以两次投资在2027年产生的 所以函数(x)关于点(2.2)中心对称. 利润之和的最大值为27百万元。 所以 -”+am+-(1+){-4 由/(3x+1)为偶函数,则(-3x+1)=f(3x+). 19.解:(1)点(3.11)是点(2.7)的“下位点” 即f-x+1)=f(x+1),即f(-x)=f(x+2). 16 ·参考答案 &迎& 所以函数/(x)关于x=1对称. 提示: 30) ]t1.2=$.4-13$$ 所以/(-x+2)+f-x)=4.即/f(x+2)+(x)= 12.设f(x)=¥*a是常数 0<x520. #4--2”--2$解得- 所以y= 4.可得(x+4)+fx+2)=4.所以/(x+4)=/(). 20<:30. 所以函数/(x)为周期为4的函数. 18.4-132.x>30. 由/(1)=0.且/(1)+(3)-4,所以/f(3)=4 则/(4)=4-2. (2)由题可得,当该用户水费为80元时,处于第二档. 又/(2)+f(2)=4.则/(2)=2 13.设P(x.y)为C.上任意一点,则P(xay)关于点 所以4x-20=80.解得x=25 所以/f4)=f-2)=f2)= A(2.-1)的对称点为(4-x.-2-y). 所以该月的用水量为25立方米。 所以(1)+f2)+f3)+f4)=8. 因为点(4-x,-2-y)在f(x)--1的图象上, (3)因为b=-+47a-530. 所以/f(1)+f(2)+/(3)+.+/f(2 026)= 所以+$=-+48a-530=-(-24)+464 506 /(1)+f(2)+f(3)+f{4)]+f1)+f(2)=5 06 1 当a=24时.(+b)=46此时b=22. 8+2=4050. 所以比时两户一共需要支付的水费是y=4x24- 二、多项选择题 20 4x22-20-144(元). 9. ABD; 10. CD; 11. ABD 14.若xe(0.+x),则-x=(-.0),则g(-x) 18.解:(1)由题意f(-x)=-fx).即f-x)+ 提示: =-2r,由g(x)是奇函数,则g(-x)=-g(x), 二6△. 9.()=V 则g(x)=-+2x(x>0). .[g(a)--2- 当n,n是奇数/(x)的定义域为Bf-x)= #(1)-.-,解得-1. V(-x)--VT--fs)f(x)是奇函数.(A)正确; 若0ca<b<1.则满足 12(6)-+20- 所以a=1.b:0. 当n是奇数,“是偶数(x)的定义域为f(-x) (2)由(1)可知(x)-) (-x)”-《x)fx)是偶函数(B)正确; 当n是偶数,n是奇数j(x)的定义域为[0.+). 此时0<g(a)<1.而->1.则方程中的g(a)= 设-1x&<:=1, x)是非奇非偶函数.(C)错误; 则/(x)-f(x)= 根据寡函数的性质可知,当是>1时(x)在(0. 若0<<1b时,函数g(x)的最大值为g(1)-1,x(+1)-(+1)(-1)(-) +)上是增函数.(D)正确 (+1)(+1) (+1)(+1) 故选(A)(B)(D). 因为-1x,对1.所以x<1.即x× ×-1 10.当对任意xE[1.3]时。 则必有1a<b,此时函数g(x)为减函数, 0.->0(x+1)(+1)0. #2)-4=24-4. 所以(x)-f(x)0.即x)f(x). 所以函数/fx)在[-1.1]上单调递增. 当且仅当:-4.即r-2时,等号成立, #l&*(6)=-6+20-士. #-1)--(1)- 所以在[1.3]上f(x)=4; 所以函数(x)在[-1.1]上的值域为[-11. #&()---(--)1- 5+1.即g(x)在(0.+*)上的“倒值区间”为1. (3)由(2)知回题转化为;当0x1时,g(x) 当号2.即a<4时。 #.# &+1-2*>-恒成立. 在[13]上g(t)=g(3)=10-3a. 若>0,则g()在[0.1]上为增函数, 由410-3a.解得a2.所以2a4; 四、解答题 则g(0)>士,解得0<k<寸: 当号>2.卿a>4时. 15.解;因为函数y=x在(0,+)上单调递减, 所以p-3<0.即p 3.又p=N.,所以p=1或 在[13]上g(r)=g(1)=2-a. 若=0.则g(x)=1,此时g(s)>在[0,1]上 由42-a.解得a-2.所以a>4 P=2.又函数y=的图象关于y轴对称, 所以p-3是偶数,所以p=1.即y=x 恒成立; 综上,实数a的取值范围是[2.+×). 若<0,则g(x)在[0.1]上为减函数。 故选(C)(D). 则原不等式可化为(a+1)f<(3-2a). 则*(1)=.解得k<0. 11.由题可知1为z(x)的周期. 因为函数y=x在R上是增函数。 若g(1)=1.则g(20)=g(1)=1.故(A)正确; 所以a+1<3-2-.解得。}. 综上士,即实数的取值范围是(-*]. 因为h(x+l)=g(x+l)+x+l=g(x)+x+l=h 故实数a的取值范围是(-×,2). +1.所以(x)是广周期函数,且1为广周期,故(B)正确; 19.解:(1)由/(x)=r(x)得-x+1=*- 若(x)为广周期函数,可知存在非零常数7,an.使 16.解:(1)因为f(x)为奇函数。 得VxeR,都有/爪x+T)=f(x)+m.则对任意keN. 1)1.解得x-1或:-- fx+7) =fx+(-1)T)+m=/fx+(-2 )$ 即2解得-0 所以/-x)=-fx). 在同一个平面直角坐标系 +2m=...=fx)+k. 中作出函数y-fx),y=g(x) 因为n0,所以tT为fx)的广周期. 又(2)-.所以42-,所以a-2. 的图象,如右图。 所以f(x)的广周期不唯一,故(C)错误 6 (2)由(1)知(x)-22-2-+. 由图可知,不等式/(x)= 由(B)(C) 可得(x+k)=h(x)+kkeN 即h(x)=(x-k)+k.kN. 3 8(x)的解集为(-×-] 若xE[4.5],则x-2= 23],(x-2)= [-14] 则/(x)在(-×,-11上单调递增.证明如下: (0.). 所以h(x)=(x-2)+2=[1.6]; 设是-1. 则( )-{)-2(1-×)(1-) (2)一条隔离直线为y=x 同理可得若xe[5.6],则x-3[2.3] 证明:由(1)知,令/f(x)=g(x),由x>0解得x=1 则&(x)=h(x-3)+3=[2.7]: 因为x<x.-1. 当r=1时f(x)=g(x)=1. 若:e[6.7],则x-4=[2.3]. 所以x-8.<0.x1.1-0. 则(x)=h(x-4)+4=[3.8] 即y=/f(x)y=g(x)有公共点(1.1). 综上,(x)在4.7]上的值域为[1.8],故(D)正确 设y=f{x)与y=g(x)存在隔离直线y=+$ 所以f(x)-fx)<0.即fx)<fx). 则点(1.1)在隔离直线y=k4b上, 故选(A)(B)(D). 故/x)在(-×,-11上单调递增. 三、填空题 $$+$ =1. 即$=1-k所以y =r+1-$$ 17.解:(1)按收费标准可知. 当x>0时,有f(x)kx+b 当0<x20时,y=3r: 即&-x41+(1-b). 当20 x30时y=20x3+4(x-20)=4-20$$ 14.[11. 则-(1+k)x+k→0在(0.+×)上恒成立. 当x→30时,y=[20x3+4x(30-20)+7(t- 即(x-1)(x-b)-0. &理& ·参考答案 17 由于1(0.+*),故此时只有h=1时上式才成 所以有$(0)=$)-b=2/-b-0 即$= $ 三、填空题 立,则b=1-h-0; $.所以g(b)=b-al +b+al -b= 12. lg3; 13.21; 14.(4.2). 下面证明g(x)x(x0),令y=g(x)-x= $2-aì+l2v+al-2=0 提示: -寸(*)1×2-0. $$2.令=0j(1)=f(e)=0. 令x=1fe)=ffe)=lg3. 即y=g(x)-x0,故g(x)x. 2 所以/(1)+fe)=hg3. 当且仅当:--,即x=1时,等号成立, 13.依题意,得l(2^*}-1)-lg2*=67lg2-6 7$$ 当(=1时, ①1-1+ 1+=2不成立 0.301=20.167,所以2-1-10 所以y=*为r=Rx)与y=g(x)的隔离直线方程 则“梅森素数”2”-1的位数为21. 当(1时.vf-I+vt+1=2. 高中数学必修第一册章节测评卷(四 14.因为f(x)为偶函数,故/(2-x)=fx-2). 解得七-5>1.则=86-2-16 所以/(x+2)=fx-2),故/{(x)的周期为4. 一、单项选择题 当0 1 1时,1-1+f+1=2.解得:=0不 因为x[-2.0]时(x)-()'-1. I.D: 2.B: 3.D: 4.A: 5.B: 6.B: 7.A: 8. B. 合题意舍去,所以6-16 提示: 故fx)在(-2.6]上的 # 图象如右图所示: 1.由log.3=y得a=3. 二、多项选择题 ,-log(12) 9. AC: 10. BD: 11. BCD. 故a”=a·a'-4x3-12 因为f(x)-log(x+2) 提示: -0有3个不同的解. 2.由得M=]xl0<x<9,V=x10$$ ) >1. 2. 所以/(x)的图象与y= a>1. 4->0. 则MUN=1x10x<9. 解得8. log.(x+2)的图象有3个不 9.由题得 3.因为e33-=1.6-log.30. 4. 同的交点。 lns. 1=4-2-2. 故(2) lo(242)3 . 4. 所以6 1(6)log.(6+2). 即4乏a<8.故(A)正确.(D)错误; “3<log.8. 4.由题可得(x)在(-,0]上单调递增. 因为log 271log. 256-8,且8=(2/2)(2.8)} 解得4<<2. 所以/ logta)=f(-log. a)=f(log。a),所以 >2=4.所以(B)错误(C)正确. 故实数a的取值范围是(4,2). 故选(A)(C). 四、解答题 flog a)+/log a=2/(0log. a)2f(1). l0.当x=0.1时,代y=5+2lgx得y=5-2 15.解:(1)由题可得六0)-“--0.解得a-3, 即/(log.a)/(1),所以1log.a1=1. 3.代\y=5-l-得y=5-1-4. 即()3-3- 即log.a-1或log.a1. 故选择函数模型②.(A)错误,(B)正确; 3-3_,又因为(x)是R上的奇涵数, 一 解得0<a-或a4. 当y-5时,由y=5-1g-解得x=1. 所以(-x)。3-3- 34b 即实数a的取值范围为(0.-][4.+*). 则小明视力的小数记录数据为1.0.故(C)错误; =-fx).即b·3+1=34b.解得b=1. 当y=4.9时,由y=5-l*-解得x=0.8, 经验证得a=3.b=1时,Jf(x)是奇函数. 5.因为0<a<1.则指数函数y=a”=()单 则小明视力的小数记录数据为0.8.故(D)正确 所以/(x)。3(1-3). 调递增,并过定点(0.1);函数y=logx单调递减,并过 1+3 故选(B)(D). 定点(1.0). (2)由(1)知,g(x)=/f(x)·(3+1)+9-1=3 11.若涵数(t)在R上单调送增,则J-2=0. 而函数y=-lngx与函数y=log.a图象关于x轴 -3-9-1-(3)-3x3 -(3-)4 L-2-1-a. 对称,所以函数y=-log.x单调递增,并过定点(1.0). 解得ae[-1.0],故(A)错误; 当x[0.1]时,13<3,因此当3=时, 对比选项可知,只有选项(B)符合题意。 若函数/代x)有3个零点,则当x<0时(x)=- 6.由题意,桶B中水的体积y=a-am'. -ax-2a有2个零点x, g(x)--士.当x=1时,g(x)=2. 因为:=5时y"y,所以ar=a-ara',得m=2 =-8n0. 所以王+x=-a<0.解得a>8. 所以所求值域为[-2]. 设再经过,分钟后桶A中的水只有升. 1.=2>0. 16.解:(1)由偶涵数定义知:f(-x)=f(x). 则a*”-所以a”-()-。 当0时,f(x)=e'-a有1个等点,则a1. 即a·2-a2+2·2-2+2-2. 所以ae(8,+),故(B)正确; 设函数/f(x)的3个零点分别是x,,(x& 所以,=15.即再经过15分钟,杨A中的水只有升 所以。-2 ),由(B)知,a(8,+x)x.x:=-a. (2)由(1)得/(x)=2(2+2); 7.由图可知,点A(x.2)在函数y=logx的图象上. 令/(x)=e'-a=0,解得:=lna,即x,=lna, 当x(-×0)时,令2=1.则te(0.1). 所以2=log .即x,=()=故A(2) 设(x)=1.+x.-=--ìna,(8. 则点B(x.,2)在函数y=的图象上。 +),得(a)在(8.+x)上单调递减. 听31 4.即-$10 所以fx)>2x(1+1)=4. 所以h(a)=(-x.-8-ln2),故(C)正确; 所以2=,即ri=4.故B(4.2). 当t=[0.1)时j(x)=e -a单调递增。 2 2 则点C(4.ye)在函数y-()的图象上, 则fx)=1-a.-a): 当 >0时,3-8+10 当r=(-1.0)时(x)=--ax-2a,对称轴为 解得4-13413. 所以y()=,故c(4.). 直线:-- 当飞 0时,3-8+10.解得k0; 又&。===yo=4. ①当-=-,即as1时(x)>/(-1)--1 故点D的坐标为(). +-2a=-1-a<1-a.无最小值; ②当-<-.即a>1时(x)>(0)--2a. 4. 8.因为/-*)= --al -x+al= 若f(x)有最小值,则l-a-2a.解得a-1.与 17.解:(1)由题可知每次过游后所含的杂质是前一 x-l+V王+al=/(x),且/(x)定义域为B. a>1矛盾,故无最小值 次的士,故y=·()xN. 听以f(x)为偶函数,则g(x)=fx)-b也为偶函数. 综上,对任意实数a.函数/(x)在(-1.1)内无最小 又g(x)=(x)-b恰有三个不同的零点, 值,故(D)正确故选(B)(C)(D). (2)设至少经过x次过就才能使矿泉水达到要求, 18 ·参考答案 迎报 则y-a%.() s0.0020%, 不妨设P(x)=a(r-x)(x-)(x-x) 所以() 其中, . 则)-)--/()--()] 所以1(){<00即 dg<180 对P(x)=a(r-x)(-)(x-x)展开可得 ##()-/() P(x)=[-(x++x)+(x+x+ 所以3=3-12所以31-3-0301 因为(x)在(0.1)上单逃增,且0<1<1<1. )-×], 0.477 则a -(r++)--a(1-). -5.7.又xN.,所以x6. 所以/()>/(). 而3a:-40,故-3.(1-)-4o, 故至少经过6次过滤才能使矿泉水达到要求 18.解:(1)因为函数g(x)的一个等点是1. 所以()-f()-/()-()>0. 根据a,-0可知,in-. 所以g(1)-0.即f01)=2. 又(x)是奇函数,所以f-1)=-2. 即)>fxo). 所以/(x)在(1.+)上单调递增 [(1)_2. 于是cos8-1-3-4.故tan'-3 所以 高中数学必修第一册章节测评卷(五 ##-1)-.1--2.- 8./(x)=2sin(u+-)+(a-1)sin a= 一、单项选择题 则(x)-七+1-,定义域为(-0(0.+) asin ar+3cos ar,所以x)=va+3. 1.A: 2.D: 3.C: 4.A: 5.A: 6.C: 7.B: 8.A. 又对任意的x,均有(x.)-(x)成立。 提示: VrE(-.0)U(0.+x),都有/f(-x)=-x+ 所以/(x)+(x)4/3恒成立. #--(-~)(). 1. 设这个扇形的圆心角的孤度数为ay=21-. 即(x.)是2/3恒成立,所以/(x)的最大值是2、3. 根据扇形的张长公式I=ar。 所以a+3-2.又a 0.所以a=3. 所以/(x)是奇函数,满足题意, 得吾-ax2.解得a-π 故=1.-0(x)-x+- 所以(x)-3sin ax Seos ar-2/5sin ax+ 2.由题得/3sina+eosa=0. (2)由题可知(x)在(-1.0)U(0.1)上是偶函数 #&_s r)-2v3sin(). 且在(0.1)上单调递减. 因为不等式(4a+1)>(-)恒成立, 因为x。(0 r)a>0,所以ax+。(om 3./(8)-x-sinx+1-2o(+)1. 014+11<1. ·吾(x)-2 in(x)--. 所以 #1411) 当x[0.a]时x,吾。[哥哥]. 则sin(ax吾)--.。是一的,因此有^?} 由余弦函数的单调减区间可知,[,a+”]C (+解得1<。 1-<-# [0.],所以a 吾<-.即a3. 二、多项选择题 故所求a的最大值是3“ 9. BCD: 10. ABD: 11.AD 所以。[--)(-士-]. 提示: 4. △ABC中,sin.A3 0.cosB 0. (3)()-[)_&]1n(+1). 9.因为y=log(x-4)-12.令x-4=1,得x=5 则y=-12.则P(5.-12),故(A)错误 所以B为锐角,又A为锐角, 因为+(-12)-13. 所以n--12.c0s-.un--1. 0.解得 =1.所以b(t)-I3-1]1n(x+1). inB-1-c0-1 则20-n x-1x(-1)×-10. 则cosC=cos[ -(A+B)]=-cos(A+B) 解得x=0或x=2或x=4. =-cos Acos B+ sin Asin B #-4#1#×-6 所以函数(x)的其余零点为0.4. “1,故 19.解:(1)y=/(x)不满足性质P理由如下; 5.依题意,co2(n-8)]=1-2sin(n-p)-7. (B)(C)(D)正确.故选(B)(C)(D). 因为(x)+/(-)-2x+1+2+1-2-+2+ 10.由题可得g(x)=cos(2x+). 所以f(x)= sin xeos(2a-2$)-eos xsin(2a-2) 2-0不恒成立. =sin[x-2(a-$)]. 所以/(0)=g(0)=.(A)正确; 所以y=fx)不满足性质P 当x-2(a-8)---+2hr(k乙), g(x)=cos(2r+-)令2x+吾=ka.-ke (2)①当;>1时,0-<1. 即=2(a-})-+2(k 2)(x)取最小值.2.得其对称中心为(+0)ke乙.(B)正确; 此时( )-/()--(1ogl-3-)-3+ 此时 nx-co2(gn_8)]--. log。x.又当x=1时/(1)+/(1)=0.所以/(1)-0 当x= --π→2+-=o.(v)在此 6.函数fx)=3sin2r-2cos*x+1-3sin2x-区间上单调递减(x)在比区间上单调逸增.(C)错误; 所以/(x)= cos 2x=2in(2x-). =I) /0. 当x[-聂]时2-。[-] 3log.x.x>1. 所以由题可得函数g(x)=2sin4r-吾)+1. *(a)的值域为[0.1j(s)的值域为[-,1]. 假设方程/(x)-255有正整数解n. 则3a+loga=255. 所以函数y=g(x)的值域为[-1.3]. 因此vme[-.].e [-]使得 要使上式能成立,则必有n=3k1,kN. 若g(x)·g(x)=9,则g(x)=3且g(x)=3. 所以3x3-+log3=3*++k=255. 均为函数y=g(x)的最大值. g(m)=f(n)(D)正确.故选(A)(B)(D). 显然y=3“ &为单调递增函数, 其中xx:是三角函数y=g(x)最高点的横坐标。 11.设A(*)a(). 又当k=2时,3-+=3+2=245 2 55 $$ 所以1x.--1的值为函数y=g(x)的最小正周期 r的整数倍,且r-2=-号.故选(C). {in(o)- 当 =3时,3**+k=3+3=2190 2 55 $$$ 故方程/fx)=255没有正整数解. ②x)在(1.+)上单调递增证明如下; 7.由于P(x)=0有三个根,于是a,*0. &迎& ·参考答案· 19 因为卜$l<,所以&=,=.$$$ [o+三+2^, 则GE-HB=(80-60eos 9)米 所以 k=乙 #ax-52r FG=(80-60in )米. 则(s)-2sin(2·). 所以$=(80-60os 6)(80- 60sin )=400[16-12(sin + 因为,(-吾). cos 0)+9sin 6cos 8]08s 1.2--因为1AC|-7.所以IBC1-1AB- 则0< 2+<-0<2*+-< ). # -1-y=# 又因为&,$,则(2+)·(2+)=” (2)令1=sin + cos 8,则sin feos e-1 所以r=-2,所以=2.故(A)正确; 可得=吾,因此x)=/(吾)=2sn(2 因为1=sinθ+eosθ=2sin(+)(0<a 当--时g(x)=2\()+3(+=x+-22-. 是).所以re[1.v2]. 2sin(2x-2-)3sin2(+-2-]=2sin2×x- 四、解答题 所以由(1)得5-400(16-121 -) 0s-2- -n2-.其r8-- no-. 15.解:因为eu(吾-a)-,所以sin (a- )$1-{(-)-- -1800(-4)+1400. 因为x=a时,g(x)有最大值, 所以2a--=-+2krke 乙. 可得co-(-)-sin(a-)-co 因为e[1v2],所以当!时,$ -1400. 所以s2=cn)=()(-)]-(a--2-] 即当sine+eos*=4时,矩形ECFG面积的最小值 --sn--21.故(B)错误; 为1400平方来。 --cos(吾-a)-sin(a-吾) 19.证明;(1)因为h(x)+h(x+)=cosx+eos(a 因为<<.2-<2<+ ---2--_2 +#)=cosx-cosx=0.所以h(x)具有”性质P” 因为eosx+eos+2-)+eos+4)=cos 又因为-<。 16.解:(1)因为(x)的最小正周期为-.>0. - osx=0.所以h(x)具有”性质P”。 所以吾<22<5 故2--.解得a-4.故代(x)-sin(4x+吾). (2)①若a 0.此时取n=m即可; ②若a=0.采取反证法,若不存在neR.使得g(n 因为函数(x)在(-)上单调遂减, 令+2k4x+-<32krk乙. <0.则g(x)0恒成立. 因为g(x)++2)+$(+4) 所以 解得吾·<x-+&” ##27。 故函数(x)的单调递减区问为[吾+,吾+ =+bcos 2x + ccos 5r+ deos 8x+a+ beos 2r+ 因为/(-)-0.所以八x)的一条对称轴方程是 一])乙 43)+cens(5x+10n)+deos(8x+16)++ ---吾,所以o-吾时,g(x)=a+是 (2)根据x。[0.]可得4x+吾=[吾7=], bos(2+8)+co5+20)+deo 8+32= 偶函数,故(D)正确.故选(A)(D). 故(s)。[-]. =3a+ beos 2x+cos 5x+deos 8x -6-cos 21- 三、填空题 12.* 13.[-4.5];14.5. 又a>o故g(x)e[-号+ba+. #n 2)--(s5x-n5)-4(s8x- 提示: 12.由已知得,经过ts.A.,A.第一次相遇,此时A.比 由题-0.解得。-2.6-1. #sn8nx+&(-s 2 in2)c(-eos 5 A.多走一圈,所以4r-2r=2x1,所以.=. la 6=3. n5x)4(-os x n8)-3 0. 13.因为e。(0.于). 17.解:(1)由条件③可知ly=2sin xcosx=sin2x,函 所以 sinθ0.cos e0. tane>0. 数的周期7=*,最大值为1.与②④矛盾,故③不符合 又g(x)=0.g(+2-=)=0.8(x+4)=0. _inB c。 所以g(x)=8×.2-)=x+4)=0. 。0_0。 sin8cos目 所以g(x)=0恒成立,所以b=c=4=0,与b、c. 则/(x)=V②sin(x+). d不全为0矛盾, 由①知(-)-2sin(--)-0. 故存在neB.使得g(n)<0. ③若a→0.由②中可知g(m)+8(m,2=)+ 解得=-+hrnk乙. 所以的最小做为9.。 又-<<,则吾 &(“)-3a,因为g(m)-4a. 所以9 l2x-11,解得-82x$10 故所求函数表达式为(x)-2sin+). 所以&(1+2)+&+41=3-4-< 即实数x的取值范围是[-4.5】. (2)由题意知m/(x) 14.由图象可得A=f(xi)=2. 0.命题成立,综上,原命题得证 若[25],则=[]所以 函数《x)的最小正周期为r=2(-+-)-π. 高中数学必修第一册核心素养综合测评卷(一) (x)先减再递增又/()v2sin=1/(25) 所以-2-2.则{(x)-2sin(2x+). 一、单项选择题 1.D; 2.D; 3.B: 4.C: 5.B; 6. D: 7. C: 8.C. -2 .#以() 因为/(-吾)-2ain(e--)-0.且函数(x) 提示: 所以.即实数m的取值范围为[.+×). 1.因为集合M为涵数y=2r中x的取值集合,为数集. 在:---附近单调递增. 而P为曲线y=2x上的点的集合,为点集, 18.解:(1)如右图,延长FG交AB干IV.则CH= 因此,M与P互不包含. 所以-=2r(☆e2)#,则=2+( ) 60sin e米,A- 60cos 8米. 2.由于log;3<0,又函数y=3在R上单调递增. 20 ·参考答案 迎报 二、多项选择题 提示: 9. ABC: 10. BD; 11. BCD 3.依题意得-40%--”。 12.令logx=log. y=lg(t+y)=1. 提示: _)0 则x=2.=$+= 10$ 9. A=yly1.B-R 化成对数式得-5 -ln2-ln2-lhn5~-0.9. 则ACB=Ixlx1l.(A)错误; 由反比例函数的图象知、(x)-的单调递减区 解得K~0.18. 13./()-1-2-+sinx-1-2-sin 41 +1 4. cos(a)-cos(+吾+)--sina 同是(-*,0)(0,+).(B)错误; 令g()-1-(x)-2-sin,易知xeR. 由于lxl-2r+1=0=111,第合中只有-个 +1 吾),由cos(吾)+eos()-,有cos(a x 元素,和为1.(C)错误; r(-)--2in×(x)+g(-)-0. 由命题“xeR.ax-ar+4<0”是假命题可知. r+1 +)--in(a+语)-,两边平方得1-*in(2a+ 函数/(x)=axr-ax+4的图象全部在x轴上方. 即g(x)为奇函数. 当a>0时,则A<0. =)=分5则ìn(2a,)24,故oo(2a,2) 所以g(x=1-ffx=1-b$ 即A=a-l6a<0.得0<a<16; g(x)=1-f(x)=1-a. #$(2a+吾)-in(2a+)--2- 当a=0时,因为4=0不成立, 结合奇函数性质有g(x)_+g(x)=0. 所以原命题是假命题成立, 即1-a+1-b=0,所以a+b=2. 5.因为x,y为正实数,则x+=(x+4)(+ 综上,实数a的取值范围为[0.16).(D)正确 14.由题可得/x)+/-x)=2. )六- 故选(A)(B)(C). 10.由题可得g(x)=3eos(4x-吾). 即(1)-2.所以e-2. 当且仅当士--.即y-4x-8时等号成立。 r+1 $(x)-/-吾)=3eos(2x-)-3sin2, 若存在正实数x,y.使得不等式x+4<3r-m成 因为h(-)=3sin(-2x)=-3sin 2x=-h(). 令g(x)=f(x)-1. 立,则3-m>4.解得”>4或m<-1. 所以函数(x)-/(-吾)为奇函数.(A)不正确; 因为函数/(x)的图象关于点(0.1)成中心对称 所以g(x)的图象关于点(0.0)对称, 故实数m的取值范围为(-*.-1)(4..*). (1)=3eos(4×0-)--3.所以当x= 且g(x)在R上单调递减. 10时,函数g(n)有最小值,所以直线x-0是函数 6.令g(x)=0可得/(x)=x+a.当x0时$(x) 因为R-?)+f(5t+6) 2. 即/“-)-1>-f(5+6)+1. -(),当x>o时(x)-ln---lnx的图象与 g(x)图象的一条对称轴,(B)正确; 即g(-r)>-g(5t+6),也即g(-r)→g(-5-6) 当x[=-]时,4x-吾=1-3-, y=lnx关干x轴对称. 所以--5 -6.则-5t-60$$$ 所以作出函数y=f(x) 解得1<-1或:>6. -2n],因为函数y=3eos;在[-n,0]上单调递增 与函数y=x+a的图象如右 故实数(的取值范围是(-,-1)U(6.+*). 所以在[-3.-2n]上也单调递增. 图所示: 四、解答题 所以[--]是函数 (x)的一个单调递 由图可知,当a1时, 15.解:()03)----号 函数y=f(x)与函数y=x 增区间.(C)不正确; +a的图象有2个交点. 3-() g(x)的图象向右平移其个单位长度可以得到函数 此时,函数y=g(x)有2个零点. (s(3))-/()-3 因此,实数a的取值范围是[1.+*). 即实数a的最小值为1. (x-)=3eos(4x-)=3sin 4x 的图象,(D) 7.因为A.B.C在直线x)=ax上,且1ABl=1BCl正确 所以B为AC的中点,又因为f(0)=0.g(0)=0. 故选(B)(D). 所以A(o.0),设B(t,ax)C(2t,2ax). 11.a=0时fx)=aln(ax +1+a)=aln(1 又因为B.C均在g(x)上. x)=0.由1+x>0可得定义域为(-1.+x),不关干 [ax=-21o+2' 原点对称,故f(x)为非奇非偶函数,故(A)错误; 即 若f(x)为奇函数,则f(x)+f-x)= 4 2ax。4-4%。+2, 所以(x)+(g(n))-331- aln(va+1+x)+aln(a-x) 1-x)= aln(ar1-?)=0.对函数定义域中任意x成立. 2 42 3-+3-1201)-2.为常数. 所以22-42.化篇可得=1. 所以a=1. 141) 1+ 面a=1时,函数/(x)的定义域为B,故(B)正确; 因为x。e[0.2],所以x。=1. 16.(1)证明:因为1S.所以1-a*0. 当=-1时,/ x)=-ln( -+1+x =0 由 $.则_5. 所以a= , -2-21-2+2=1. 可得-}+1+x=1. 得501-0-1-。 8.因为周期性声音函数是一系列形如y=Asin 得x=0或x=1.故(C)正确; 1-1_ -^-1--。 的简单正弦型函数之和,每一个函数y=Asinax都是奇 若八x)的定义域为B.则1+>0.对任 - 函数,所以声音函数是奇函数,所以(A)错误; 1+1>0 因为f(x)+f(π-x)=2sinx.所以/(x)+/f-x 意rR成立,于是[VaI>-x. (2)解:由2s S.得-1e s: =0不恒成立.所以(B)错误; 因为/-g.,所以y-0.06sin1000rr的频率为 l0. 当x0时,由a0知vx+1>-x恒成立, 2π 由-1s.得-(-1D-1s; 1000m-500,同理可知函数y=0. 02sin200nx的频率 当:<o时,需a1>惊成立,即。-1。 2n 为1000.函数y=0. 01sin3000rx的频率为1500,显然 1--恒成立,所以a1,综上a1时即对任意xeR 500是最小的频率,所以(C)正确; 不等式组恒成立,故(D)正确 因此当2e8时,集合s中必含有-1.-两个元素. 故选(B)(C)(D). 17.解:(1)/()=23cos t+2sin xcos x-3= [sinx-1.无解,所以(D)错误 三、填空题 lin 2=1 sin 2x 3eos 2=2sin2x,). 12.1:13.2;14.2.(-×.-1)U(6.+×). 迎& ·参考答案· 21 因为xE0.],则2+=[4] [>o. 0. 易知(0)-1>o(-()^*-(){> 所以sin(2+)=[-] 解得a=1.b=4. ()=()-() <(= 所以x)[-3,2]. 2v=4. (#){()(1)-. (2)由(1)知/(-)=2sin(- 所以F(x)-x,则F(r)+F()=x+ ]-8,所以rina-. 所以/()()<0. 所以<(7,). 因为ae (0.号).所以 eos a-3. 故函数(x)的零点所在的区向为(3,). 又$=(o吾),所以a+Be(0.n). 即方程( )-的根x属于区间(3). -2·(4)()-2+2)( 因为cos(a→)--12.所以sn(a+B)=5 8.根据题意可知,点C是(x)的一个对称中心. 又直线BC交fx)的图象于点D.利用对称性可知 1)--(2)2.(2() 所以sin8=sin[(a+)-a] B.D两点关于C对称,不妨设B(0,ya).C(x0).D(xo. = sin(a+$)cos a-cos(a+B)sin a yo),由重心坐标公式可得-“+0+。0. ###1- =10(当且仅当x.=x。=1时取“-”)。 所以m是10.故实数m的最大值为10 又0+x。=2-c,即可得xc=. 18.(1)解:因为ffx)=log.(4+1)-bx是偶函数 高中数学必修第一册核心素养综合测评卷(二) 由最小正周期公式可得号-(-n)--吾. 所以/(-x)=log(4+1)+b =log(4'+1)-b=f(x). 一、单项选择题 所以2br=log(4'+1)-log(4”+1) 解得a-}.即/(x)=2sin(}). 1.B: 2.C: 3.A: 4.A: 5.B; 6.B; 7.C: 8.C 10-2 提示: 将A(--0)代入(x)可得2sin(-2-)=0. 1.A=x1(+1)(x-2)<0=x1-1<x2. 所以6=1. B=112=1=1x1. 又o-所以。-2. (2)证明:设g(x)=lbg.(4+1)-2x-sin-= 故A0B=[1.2). 2.因为/(-2)=log.4=2. lo%-in0-01()]1-in-. 即()-2sin(}-). 所以/(-2)=f2) =2 -$=4-h=3 解得-1. 所以1081-y=v(0)=2sin(o+3-)-v5. 因为y=1+()是[0.1]上的单调递减函数, 3.当a b 2时,-2>b-2 0. 二、多项选择题 所以由复合函数单调性可知y=lng:1+ 即a-2>15-21. 所以“a b2”可以推出”a-2>1b-21”; 9. AB: 10. BC: 11. BCD. 若a-21b-21.不妨取b=1.a=5. 提示: ()]是[0.1]上的单调逆减函数, 则ab>2不成立, 9.因为<a<n.所以sing0 则由基本不等式得in=2~na 所以“a-2>1b-21”推不出“a>b>2”. 因为y=-sin-是[0.1]上的单调递减函数, 所以“a>2”是“-2>1-21”的充分不必 所以g(x)是[0.1]上的单调递减函数, 要条件。 又因为g(0)=1>0.g(1)=log.5-30. 4.依题意,对任意的实数me[0.2].不等式(x-取等号.(A)正确; 所以方程/(x)=x+sin-在x[0,1]有唯一的2)(x-3+m)>0恒成立,整理得(x-2)n+(x-2)(x 因为a为锐角,所以tana>0. -3)0.令h()=(x-2)a+(t-2)(x-3). 实数根x。,即g(x)=log1+()]-si=0. 则{(0)=(-2)(-3)0. 1h(2)-2(t-2)+(r-2)(r-3)>0. 所以1tog1+()l1- 0,即i) 解得r1或:>3. lg.所以方程(x)-x,sin-在xe[0,1]有唯一 5. tan A+tanB+tanC=tan(A+B)(1-tan Atan B) 开取等号,(B)正确; +tan C=tan(A+B)-tan(A+B]tan AtanB+tan C= 的实数根xo且2“于,5得证. -tan C+tan Atan Btan C+ tan C= tan Atan Btan C. 令tanA=k(k 0).则tanB=2.tanC=3. 19.解:(1)F(x)为f(x)6(x)的“HC函数”. 所以6=6.k 0.解得}=1.则tanA=1. 2 若F(x)=5x-5是f(s)J6(x)的“HC函数”. 6.如图1所示,在同一个坐 ~21 则F(x)=5x-5=a(-3)+b(-2t+1 标系中,分别作出函数y,=34 =(a-2b)x-3+b. ,_1 1.y:=r-2r+1,y,=-x48的 __-_8 号不成立,(C)错误; 解得。=1.b--2 图象,而(x)=minlt+1,- 2x+1.-1481的图象即是图中 所以存在a=1.b=-2.使得F(x)=5xr-5为 勾勤出的实线部分. 图! 所以它的最小值不可能是2.(D)错误. f(x)(x)的“HC函数”. 则函数/(x)的最大值即图中最高点A的纵必标 (2)由题意可知F(x)=2x2+4. 故选(A)(B). 对干方程f(x)=m(s)+1,即2x2+4=m4 10./(x)-3u(-)+si(号*) +1.即-1-2-令->0.则-v、,则m -Sinx+casx-2sin(x+吾). -1=2-,令g(t)=21-t>0,可知g()=21- 故函数(x)的最大值为。 当x-吾时/(吾)-2sin(吾+吾)-v5.故 ?的图象开口向下,对称为1=1. 可得g(t)g(1)=1,则n-11,即m52. 7.曲()-,得()--。. f(x)的图象不关于直线x="对称.(A)错误; 所以实数m的取值范围为(-x,2). (3)由题意可知F(x)-a+a>0.b>0.xs 设(:)-()”-. 当:-吾时/(-吾)-2sin(-吾+吾)-0. 因为函数y=()”y--在R上单调递减, (0.+x),则F(x)=ax+-2vab,当且仅当ax 故(x)的图象关于点(-吾.o)对称.(B)正确; 所以函数/fx)在R上单调递减,且函数/(x)的图象 x=[2-0]时:x+吾。[-吾],因为y= 是一条连续不断的曲线. 22 ·参考答案 迎& 当>2时()=(-1)-1=* s:在:=-.]上单调逃增, 18.解:(1)由题意可得g(x)=logsx. 一 所以/f(log,5)+g(36)-g(4)=3 +lng 36- 故(1)在区间[--。l 2<x6. 上单调递增,(C)正确; log 4-54lng36-7. x=(2-)时+吾=(-5).故() r>6. (2)h(x)存在零点. 由(1)知&(r)=(logx) -2log。x-k+4 =(-1.2].(D)错误.故选(B)(C). 作出函数y:6(t)在; 11.易知/(x),g(t)的定义域均为R. 令1=log.x.则(B. 0时的图象,利用偶函数 因为()-(x)=2*-2=2. 性历得y=f(x)在B上的 设$y=-2-$+4,则-4-4(4-$=4$ D 所以不存在实数M,使得1/(x)-g(x)1<M在上图象,如图2. -6 -202 ①当A=4-12 0即& 3时,函数&(x)无零点; $②当A=4-12=0.即=3时,令$y=$- +$ 恒成立,(A)错误; 其中点4(o.2). 留2 易知fx),g(x)的定义域均为(0.+x). 1=0.解得r=1.由log。x=1解得x=3. 因为1fx)-g(x)1= ln3x-lnx-31-1ln3-B(2.1).C(6.0).E-2.1).D(-6.0). 所以此时i(t)的琴点为x=3; 31-3-ln3<3在(0.4×)上恒成立. 所以函数y=/(x)的图象与;轴所围成图形中的 ③当A=4-12 0.即$ 3时 v=$-2- 所以根据定义可知(x)-ln3x与g(x)-lnx+3 封团部分的面积是: +4=0的根为1.=1+ -3. =1- k-3. 80o 50-(41)×1-×4-7. 具有“3”近似关系,(B)正确; 由(x)=0可得log,x=1+k-3或logx=1 --3,解得x-3或x-3-. 四,解答题 此时h(x)的点为x-3和x-3. 15.解:由log(4x-3)0.得0<4x-31. 综上,当k3时,函数h(x)无零点; 解得<<1,所以A-(]. 当k=3时,函数(x)的零点为x=3; 因为(x)-()在(1.+*)上单逆减, 当 >3时,函数n(x)的零点为xi=31.和x= 若=2.则(c)=cos x-sini+2=cosx-(1 3-. 所以0<g(x)<&(1)- -03)2=c0+081-(0)}. 19.解:(1)g(x)是/(x)的”a重覆盖函数”。 所以!fx)-g(x)1<1在(1.+×)上恒成立. 由定义可得,对任意xie[0.1],恰好存在n个不同 因为cosxe[-1.1],所以B-[3]. 的实数x,x..x。[0.4]. 使得g(x)=/f(xo)(其中i=1.2.,a.nN.). 因为C-(-*寻](1.+*). ()(>1)具有“1”近似关系。(C)正确; 即1x-11=x。+2[2.3]. 所以(C4)nB-{0(1.3]. 由g(*)-1x-11-1--. 0<x=1. 令1=x-1,则013.则 -+1. 1~1.1<154. 设&()-+1-1-(-)+30<1=3. 16.解:(1)由图象知A-3.-7π---2* 故当0x1时,g(x)=[0.1].比时不存在x使 1×-11=x。+2=[2.3]成立; 根据二次函数的性质可知3<h(1)<7,所以3< 所以r-4-。-2-. 当1<x4时,g(x)e(0.3].且g(x)在(1.4]上 单调递增,故对于任意xe[0.1].都有唯一一个x.e g(x)7.因为f(x)与g(x)=x-Vx-I(1<x10) 将图象上的点(吾o)代入y=/(t)中. (1.4],使得1x-11=x。+2. 的定义域相同,且具有”1”近似关系, 综上,对干任意x。=[0,1],都有唯一一个x=[0. 根据定义可知1fx)-g(x)11在[1.10]上恒成立。 得co(x吾+)=0. 4].使得1x-11=。+2. 所以g(x)-1fx)g(x)+1. 所以g(x)是f(x)的”n重覆盖函数”,且n=1. 因为<g(x) 7.所以--</(x)<8. 结合图象可知吾=2kn+-ke乙, 所以/(x)的值域包含于[-1.8].(D)正确. 则=2^+吾h=7. 故x0.即Vx。s(0.+x),存在2个不同的实数 故选(B)(C)(D). ,x:eR,使得(x)=fxo).其中i=1.2. 三、填空题 又lel,所以,, 又#(x)=l0-1-10 12.25: 13.4: 14.7. 故(t)-3o(). -10(1) 提示: 12. 由 2sin 2r = cos 2r-1得4sin acoe a=-2sin'a. (2)因为:=[-“]. 又ae(吾=).所以2cosa=-sina. 所以士吾。[-吾]. 即log(1)>0.故(i) (0), 所以当士+吾-0.即x---时(x)取最大值3. 所以ina-2 故对任意x。(0+×)(x)(0+x). 又不等式(x)-as0在x= -“是】上恒成立, 则(y)-lo(12)。(0.+). 13.若a=0.则)<0无解,不符合题意; 所以a3,即实数a的取值范围为[3.+×). 若0由-r-2<0(x-4)(话+3)<0 即对任意k>0.g(x)=k都有2个实根。 17.解:(1)设每件零售价为:元. 当a0时,得-3a<x<4a. 当x1时,logìe(0.+x),且y=logax在(1. 由题意可得[18-0.2(x-15)]x>15x18. 依题意4a-(-3a)14.得0<a2. +x)上单调递增. 即-105x+15x90<0. 当a<0时,得4ax<-30. 故x>1时,g(x)=logx=b都有唯一确定的实根; 依题意得-3a-4a14,得-2a<0. (x-15)(t-90)<0.所以15=x=90 当x1时,g(x)=ar+(2a-3)x+1=k亦有且 综上,a的取值范围为[-2.0)U(0.2]。 故要使年销售总收人不低于原收入,该削笔器每件 有一个实根. 所以a的最大值与最小值的差是2-(-2)=4. 售价最多为90元. 14.依题意函数(t)-]1x1-1|-1的 当=0时.g(x)=-3x+1[-2.+x),且g(x] (2)当x>15时,t=15x18+30+有解, 在(-×,1]上单调递减,符合题意; 定义域为.(-x) 1-x1-1|-1-6(x). 当a<0时,g(x)为开口向下的抛物线,不符合要 求,故舍去; 因为300.-=2v100=20. 即函数/(x)是偶函数, 当a0时,则需对称轴x-3-20=1. 当,时.(x)--1|-1. 2 当且仅当300-,即:-30时等号成立, 且g(1)=a+2a-3+1<0. 当0<: 2时.(x)=寸(1-)-1- 所以:20.因此,该削笔器的年销售量i至少达到 即<a3,且a即0<a<2. #---。. 20万个时,才能使革新后的年销售收入不低于原收入与 综上,实数a的取值范围是[o.2] 总投入之和,此时每个削笔器售价30元.