专题12 解直角三角形之实际应用模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题12 解直角三角形之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 【知识储备】 图1 图2 图3 图4 图5 如图1，30°-60°-90°三边比值； 如图2，45°-45°-90°三边比值 如图3，30°-30°-120°三边比值；如图4，30°-45°-105°三边比值 如图5，45°-60°-75°三边比值。 上面五个结论在于运用勾股定理和方程，当然也可用三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也是类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。希望同学能够自己动手计算并研究记忆这些特殊角度三角形的三边比值，这些结论在选填题特别好用。 2 模型1.背靠背模型 2 模型2.母子模型 6 模型3.拥抱模型 12 16 模型1.背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 例1．（2024·陕西·模拟预测）小乐同学家住大楼甲中，某个周末，他站在阳台眺望远方，当看到正对面的大楼乙时，陷入了思考：对面的大楼乙有多高？于是小乐做了一个简易的测角仪用来观测大楼乙的顶端与底端．如图，小乐家在点处，当他抬头观察大楼乙的顶端时，记其仰角为，观测大楼乙的底端时，记其俯角为，整理所测数据：，．已知甲、乙两栋大楼的间距为．请根据题目数据帮助小乐计算出大楼乙的高度．（图中所有点在同一个平面内，，，结果保留根号） 例2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一幢居民楼后面有一处斜坡，已知斜坡的坡角，斜坡长，一人站在坡面的顶端A处看居民楼顶端C点，仰角为，而居民楼底端距离坡面底端长，请根据以上数据求居民楼的高度．（参考数据：，，） 例3．（2024·湖北·模拟预测）在某小区内有两栋楼房（A楼在B楼的左侧）从A楼向B楼的楼底看去，若视线大地的夹角，从B楼向A楼楼顶的最左侧看去，视线与楼顶的夹角，若两楼楼体均与地面垂直，两楼楼体均宽5米，A楼高米，求B楼的高．（可能有用的数据：、、） 例4．（2024·山东威海·中考真题）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整） 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 竹竿，米尺 测量示意图 说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角． 测量数据 …… …… (1)设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏． (2)根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程． (3)假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________． 模型2.母子模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1．（2024·陕西西安·模拟预测）由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于年月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，航母再航行海里到达处，此时测得小岛位于它的北偏东方向．如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长．参考数据：，，，，， 例2．（2023·重庆·一模）为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，． （参考数据：，） (1)求步道的长度（精确到个位）；(2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？ 例3．（2024·新疆昌吉·模拟预测）北庭故城建于唐代，见证了新疆自古以来就是祖国不可分割的一部分，废墟最高处如图所示是故城地标建筑之一，当初是为了防御外敌所建的瞭望角楼．此楼底部距离地平线高度为米，小明在地面A点处测得残楼低N的仰角是，由A往前走30米至点B处，测得的残顶P的仰角是，请求出瞭望角楼的高度（精确到1米）．（，，） 例4．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（    ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 例5．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．(1)求测角仪与塔身的水平距离； (2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 例6.（2024·贵州贵阳·二模）长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由两部分组成，轨道的长度都为200米，若与水平面的夹角，与水平面的夹角． (参考数据：，，结果精确到1米) (1)求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离；(2)若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度． 模型3.拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 例1．（2024·河北·校考一模）如图，在一居民楼AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为38°．从距离楼底B点2米的P处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为28°．已知树高EF＝8米，求塔CD的高度．（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5） 例2．（2024·山东菏泽·模拟预测）北京冬奥村的餐厅由机器人送餐．一送餐机器人从世界餐台处向正南方向走米到达亚洲餐台处，再从处向正东方向走米到达中餐餐台处，然后从处向北偏西走到就餐区处，最后从回到处，已知就餐区在的北偏东方向，求中餐台到就餐区（即）的距离．（结果保留整数，参考数值：，，，，，）    例3．（2024·四川自贡·模拟预测）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A处(点G、A、C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为，沿着坡度的斜坡走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为，点A、B、C、D在同一平面内．参考数据：，，，，） (1)填空：_____；(2)求斜坡上点D到的距离；(3)求大树的高度（结果精确到米）． 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测角仪测得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为，已知测角仪的高度为1米，则楼房的高度为（　　）（） A． B． C． D． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在龟山附近的小山的顶部有一座通讯塔，点位于同一直线上．在地面处，测得塔顶的仰角为，塔底的仰角为．已知通讯塔的高度为29米，则小山的高度为 米．（结果取整数，参考数据：．） 3．（2024·甘肃·中考真题）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 4．（2024·吉林·中考真题）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，） 5．（2024·安徽·中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 6．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 7．（2024·陕西·中考真题）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）    8．（2024·四川泸州·中考真题）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 9．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． (1)求B，C两处的距离；(2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，）    10．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，小明家A与商店C与小刚家D在一条直线上，点B为学校，学校B在小明家北偏东方向．在商店C北偏西，且刚好在小刚家西北方向，千米（参考数据，，）．(1)求小明家到学校的距离（答案保留整数）； (2)一天，小明和小刚约定去学校打篮球，小明计划先打车从家去商店购买文具再沿路线继续打车去学校与小刚汇合，小明在商店C选文具耽误了3分钟，而小刚骑上自己的电瓶车也从家出发按沿路线直接到学校，小明和小刚同时出发，其中小明打车的速度为（等待车的时间忽略不计，两次打车速度相同），谁先到学校？并说明理由． 11．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．(1)求妈妈步行的速度；(2)求明明从C处到D处的距离．    12．（2024·湖南·模拟预测）慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上，．结果精确到．参考数据： (1)求无人机从点到点处的飞行距离；(2)求慈氏塔的高度． 13．（2024·安徽·模拟预测）某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯段坡角为，中转平台，二楼扶梯段坡角为，已知，，，求水平距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 14．（2024·湖南长沙·模拟预测）为推进《学生出入校门智能管理方案》的实施，图1是某校安装的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．（计算结果精确到） (1)头部高度为、身高的小帅站在离摄像头水平距离的点处，请问小帅最少需要下蹲多少厘米才能被识别？ (2)头部高度为，身高的小美踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别，若学校工作人员及时将摄像头的仰角、俯角都调整为，此时小美能被识别吗？请计算说明．（参考数据：，，，，， 15．（2024·重庆南岸·模拟预测）春天是踏青的好季节，小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知为公园入口，景点位于点东北方向米处，景点位于点南偏东方向，景点在景点的正北方向，景点既位于景点正东方向310米处，又位于景点的北偏西方向．景点既位于景点的正东方向，又位于景点的正南方向．米．(1)求的长；（精确到个位）(2)小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/分，小明在景点处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点处． （参考数据：） 16．（2024·浙江·模拟预测）在小组实践活动中，需要测量某建筑内从A点到D点距离，由于之间有障碍物，小明准备利用所学的平面镜成像知识来解决问题．于是他在建筑物直角拐角处放置一个平面镜(如图所示)，经测量，他发现与墙面所成的角即墙面，当小明站在点C处，与点A距离，且点C在上，连线与平行时，他通过平面镜可观察到点D．你能帮小明算一下点D距离点A多远吗？（结果精确到，参考数据：） 17．（2023·山东青岛·二模）如图，显示器的宽为22厘米，支架长14厘米，当支架与显示器的夹角，支架与桌面的夹角，测得长为2厘米，求显示器顶端到桌面的高度的长（，，） 18．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 塔底 B 的仰角为．已知塔高米，塔所在的山高米， 米， 图中的点O， B， C， A， P在同一平面内． (1)求P到的距离； (2)求山坡的坡度．（参考数据∶ ，，，） 19．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）在课堂上，同学们已经学习了一些测量距离的方法．小刚想尝试利用无人机测量一河某处的宽度．如图所示，小刚站在河岸一侧的D点操控无人机，操纵器距地面距离米，在河对岸安放了一标志物F点，无人机在点D正上方的点A，无人机的飞行速度为7米/秒，无人机匀速水平飞行4秒到达点B，此时，小刚手里的操纵器测量无人机的仰角为，然后无人机又继续以同样的速度水平飞行12秒到达点C，测得点F的俯角为（点A，B，C，D，E，F在同一平面内） (1)______米，______；(2)求无人机的飞行高度； (3)求河宽的距离．（参考数据：，，） 20．（2024·山东·校考二模）如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°，从楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°.已知树高EF=6米，求塔CD的高度（结果保留根号）. 21．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是某路段路灯的示意图，灯杆长0.6m，灯柱与灯杆的夹角为．为节能环保并提高路灯的照明效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为12.3，从D，E两处分别测得路灯A的仰角为和，求灯柱的高度（参考数据：，，）． 22．（2024·四川成都·二模）泰姬陵是世界知名的古建筑，被列为“世界文化遗产”．如图所示，为了估测泰姬陵的高度，在泰姬陵的正东方向选取高为参照物，在它们之间的地面上选取点E（B，E，D三点共线），在点E处测得A处、C处的仰角分别是和，在A处测得C处的仰角为，求泰姬陵的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 解直角三角形之实际应用模型 解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。 【知识储备】 图1 图2 图3 图4 图5 如图1，30°-60°-90°三边比值； 如图2，45°-45°-90°三边比值 如图3，30°-30°-120°三边比值；如图4，30°-45°-105°三边比值 如图5，45°-60°-75°三边比值。 上面五个结论在于运用勾股定理和方程，当然也可用三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也是类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。希望同学能够自己动手计算并研究记忆这些特殊角度三角形的三边比值，这些结论在选填题特别好用。 2 模型1.背靠背模型 2 模型2.母子模型 6 模型3.拥抱模型 12 16 模型1.背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 例1．（2024·陕西·模拟预测）小乐同学家住大楼甲中，某个周末，他站在阳台眺望远方，当看到正对面的大楼乙时，陷入了思考：对面的大楼乙有多高？于是小乐做了一个简易的测角仪用来观测大楼乙的顶端与底端．如图，小乐家在点处，当他抬头观察大楼乙的顶端时，记其仰角为，观测大楼乙的底端时，记其俯角为，整理所测数据：，．已知甲、乙两栋大楼的间距为．请根据题目数据帮助小乐计算出大楼乙的高度．（图中所有点在同一个平面内，，，结果保留根号） 【答案】大楼乙的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角与俯角的概念，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作，垂足为，在中，通过算得，在中，通过算得，最后通过，算得答案． 【详解】如图，过点作，垂足为 根据题意可知，在中， 在中， 故大楼乙的高度为． 例2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一幢居民楼后面有一处斜坡，已知斜坡的坡角，斜坡长，一人站在坡面的顶端A处看居民楼顶端C点，仰角为，而居民楼底端距离坡面底端长，请根据以上数据求居民楼的高度．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】过点A作于点E，过点B作于点F，利用解直角三角形的相关知识计算即可． 本题考查了坡角，仰角的应用，熟练掌握解直角三角形的知识是解题的关键． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F， 则四边形是矩形，∴，，，∴， ∵，∴，， ∴，， ∴，∴，答：居民楼的高度为． 例3．（2024·湖北·模拟预测）在某小区内有两栋楼房（A楼在B楼的左侧）从A楼向B楼的楼底看去，若视线大地的夹角，从B楼向A楼楼顶的最左侧看去，视线与楼顶的夹角，若两楼楼体均与地面垂直，两楼楼体均宽5米，A楼高米，求B楼的高．（可能有用的数据：、、） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长交于，分别解直角三角形和直角三角形，即可求解． 【详解】解：延长交于，如图所示： ，，米，米， 米， 又， ，米，又米，米． 例4．（2024·山东威海·中考真题）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整） 课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 竹竿，米尺 测量示意图 说明：是一根笔直的竹竿．点是竹竿上一点．线段的长度是点到地面的距离．是要测量的倾斜角． 测量数据 …… …… (1)设，，，，，，，，请根据表中的测量示意图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏． (2)根据（）中选择的数据，写出求的一种三角函数值的推导过程． (3)假设，，，根据（）中的推导结果，利用计算器求出的度数，你选择的按键顺序为________． 【答案】(1)，，，；(2)，推导见解析；(3)． 【分析】（）根据题意选择需要的数据即可；（）过点作于点，可得，得到，即得，得到，再根据正弦的定义即可求解；（）根据（）的结果即可求解；本题考查了解直角三角形，相似三角形的的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：需要的数据为：，，，； （2）解：过点作于点，则， ∵，∴，∴∴，即 ∴，∴； （3）解：∵，∴按键顺序为，故答案为：． 模型2.母子模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1．（2024·陕西西安·模拟预测）由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于年月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，航母再航行海里到达处，此时测得小岛位于它的北偏东方向．如果航母继续航行至小岛的正南方向的处，求还需航行的距离的长．参考数据：，，，，， 【答案】还需航行的距离的长约为海里 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，理解方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．设海里，利用正切的定义用表示出、，根据题意列出方程、解方程即可解答． 【详解】解：由题意可得，，设海里， 在中，，， 在中，，， 由题意得，，解得: ． 答：还需航行的距离的长约为海里． 例2．（2023·重庆·一模）为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园有一个湖泊，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方向，；点C在点B的北偏东方向，在点D的北偏东方向，． （参考数据：，） (1)求步道的长度（精确到个位）；(2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？ 【答案】(1)848米 (2)走点A经过点B到点C的路线较近 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；（1）过点C作于点E，过点B作于点G，由题意易得，然后根据三角函数可进行求解； （2）由（1）可知，进而问题可求解． 【详解】（1）解：如图，过点C作于点E，过点B作于点G， 则，∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； 答：步道的长度约为848米． （2）解：小王从点A经过点B到点C较近，理由如下： 由（1）可知，， ∴，∴， ∵，∴小王从点A经过点B到点C较近． 例3．（2024·新疆昌吉·模拟预测）北庭故城建于唐代，见证了新疆自古以来就是祖国不可分割的一部分，废墟最高处如图所示是故城地标建筑之一，当初是为了防御外敌所建的瞭望角楼．此楼底部距离地平线高度为米，小明在地面A点处测得残楼低N的仰角是，由A往前走30米至点B处，测得的残顶P的仰角是，请求出瞭望角楼的高度（精确到1米）．（，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由正切函数得，可求，由等腰三角形的性质得，即可求解；掌握直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ，，， ，，在中，， ，， 答：角楼的高度为． 例4．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树．小乐沿着水平面步行17m到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为，那么这棵木棉树的高度约（    ）m．（结果精确到1m）（参考数据：，，） A．22 B．21 C．20 D．19 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可得米，米，最后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，米， 斜坡的坡度，，设米，则米， 在中，（米， 米，，解得：，米，米， 设米，米， 在中，，米， 在中，，米， ，，解得：， （米，这棵木棉树的高度约为20米，故选：C． 例5．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台上架设测角仪，从处测得塔的最高点的仰角为，测出，台阶可抽象为线段，，台阶的坡角为，测角仪的高度为，塔身可抽象成线段．(1)求测角仪与塔身的水平距离； (2)求塔身的高度．（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解． （1）延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，则，，易得，根据勾股定理得出，最后即可解答；（2）由（1）可知，，根据题意得出，，，则，，根据，即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，则，，由题意可知，，，， ，， 答：测角仪与塔身的水平距离为； （2）解：由（1）可知，，由题意可知，，，， ，， ，答：塔身的高度约为． 例6.（2024·贵州贵阳·二模）长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由两部分组成，轨道的长度都为200米，若与水平面的夹角，与水平面的夹角． (参考数据：，，结果精确到1米) (1)求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离；(2)若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度． 【答案】(1)轨道拐点B到轨道底端C的水平距离为173米 (2)小星下降的高度为168米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义和含的直角三角形性质解直角三角形，矩形的判断和性质． （1）过点B作于点G，根据余弦定义得到； （2）设与交于点H，根据含的直角三角形性质和矩形性质，得到，根据正弦定义得到，即得． 【详解】（1）如图，过点B作于点G， ∵在中，，，， ∴；∴轨道拐点B到轨道底端C的水平距离为173米； （2）如图，设与交于点H，∵，∴， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∵在中， ，，， ∴，∴．故小星下降的高度为168米． 模型3.拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 例1．（2024·河北·校考一模）如图，在一居民楼AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为38°．从距离楼底B点2米的P处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为28°．已知树高EF＝8米，求塔CD的高度．（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5） 【答案】CD＝13（米）. 【分析】根据题意求出∠EDF＝38°，通过解直角△EFD求得FD，在Rt△PEH中，利用特殊角的三角函数值分别求出BF，即可求得PG，在Rt△PCG中，继而可求出CG的长度． 【详解】解：由题意知，∠EDF＝α＝38°，∴FD＝＝10（米）．EH＝8﹣2＝6（米） 在Rt△PEH中，∵．∴．∴BF＝12（米）PG＝BD＝BF+FD＝12+10＝22（米）． 在直角△PCG中，∵．∴CG＝PG•tanβ≈22×0.5＝11（米）．∴CD＝11+2＝13（米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度． 例2．（2024·山东菏泽·模拟预测）北京冬奥村的餐厅由机器人送餐．一送餐机器人从世界餐台处向正南方向走米到达亚洲餐台处，再从处向正东方向走米到达中餐餐台处，然后从处向北偏西走到就餐区处，最后从回到处，已知就餐区在的北偏东方向，求中餐台到就餐区（即）的距离．（结果保留整数，参考数值：，，，，，）    【答案】约为米 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据三角函数值计算得出，再根据即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，由题意得，，， 则四边形都是矩形，， 设米，则米， 在中，，即，米， 在中，，即，米， 又米，，解得，即米， 在中，，即，米， 答：中餐台到就餐区即的距离约为米． 例3．（2024·四川自贡·模拟预测）如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A处(点G、A、C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为，沿着坡度的斜坡走6米到达斜坡上点D处，此时测得大树顶端B的仰角为，点A、B、C、D在同一平面内．参考数据：，，，，） (1)填空：_____；(2)求斜坡上点D到的距离；(3)求大树的高度（结果精确到米）． 【答案】(1)61(2)点D到的距离为3米(3)大树的高度约为米 【分析】本题主要考查解直角三角形，含的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握斜坡的坡度即是正切值，利用锐角三角函数列方程求解．（1）由坡度可求，由平行线的性质和已知条件可求；（2）过点D作于点F，利用含的直角三角形的性质进行求解； （3）D作于点H，设，求出，利用两个直角三角形的锐角三角函数进行求解． 【详解】（1）解：斜坡的坡度， ，，，故答案为：61． （2）如图2，过点D作于点F． 在中，，，． 答：点D到的距离为3米． （3）过点D作于点H，则四边形是矩形．． 设，则．在中，， ． 在中，．， 在中，，．解得， 答：大树的高度约为米． 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测角仪测得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为，已知测角仪的高度为1米，则楼房的高度为（　　）（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意得出，设米，则米，米，再解直角三角形求出的值即可得解． 【详解】解：如图， ， 在中，， ∴， 设米，则米，米， 在中，， 解得：， ∴楼房的高度为米， 故选：C． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在龟山附近的小山的顶部有一座通讯塔，点位于同一直线上．在地面处，测得塔顶的仰角为，塔底的仰角为．已知通讯塔的高度为29米，则小山的高度为 米．（结果取整数，参考数据：．） 【答案】102 【分析】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程求解．在中，由求得，在中，由求得，代入求解即可． 【详解】解：由题意可知， 在中， ，， ， ， 在中， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（2024·甘肃·中考真题）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为，在F处测得筒尖顶点A的仰角为．求风电塔筒的高度．（参考数据：，，．） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作于G，连接，则四边形是矩形，可得，，再证明四边形是矩形，则，，进一步证明三点共线，得到；设，解得到；解得到；则，解得，即，则． 【详解】解：如图所示，过点作于G，连接，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 由题意可得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∴； 设， 在中，， ∴ ∴； 在中，， ∴ ∴； ∴， 解得， ∴， ∴， ∴风电塔筒的高度约为． 4．（2024·吉林·中考真题）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求吉塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意和添加辅助线是解题的关键． 先解得到，再解，，即可求解． 【详解】解：延长交于点G，由题意得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：吉塔的高度约为． 5．（2024·安徽·中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角函数，过点于，则，，由题意可得，，，， 解求出、，可求出，再由勾股定理可得，进而得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点于，则，，由题意可得，，，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴在，， ∴， ∴． 6．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 【答案】树的高度为8米 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题． 方案一：作，在中，解直角三角形即可求解； 方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可． 【详解】解：方案一：作，垂足为， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴（米）， 树的高度为米． 方案二：根据题意可得， ∵， ∴ ∴，即 解得：米， 答：树的高度为8米． 7．（2024·陕西·中考真题）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）    【答案】山顶C点处的海拔高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．过点C作交的延长线于点，在和中，利用三角函数的定义列式计算即可求解． 【详解】解：过点C作交的延长线于点，设，    在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴山顶C点处的海拔高度为． 8．（2024·四川泸州·中考真题）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西方向上，再沿北偏东方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）． 【答案】C，D间的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．作于点，利用方向角的定义求得，，，证明是等腰直角三角形，在中，求得的长，再证明，，在中，利用三角函数的定义即可求解． 【详解】解：作于点， 由题意得，，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在中，， 在中，，， 在中，， 答：C，D间的距离为． 9．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向．    (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 【答案】(1)B，C两处的距离为16海里 (2)渔政船的航行时间为小时 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形． （1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答； （2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答． 【详解】（1）解：过点A作于点E， ∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴B，C两处的距离为16海里．    （2）解：过点D作于点F， 设海里， ∵， ∴， 由（1）可知，海里， ∴海里， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴海里，海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∴渔政船的航行时间为（小时）， 答：渔政船的航行时间为小时．    10．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，小明家A与商店C与小刚家D在一条直线上，点B为学校，学校B在小明家北偏东方向．在商店C北偏西，且刚好在小刚家西北方向，千米（参考数据，，）． (1)求小明家到学校的距离（答案保留整数）； (2)一天，小明和小刚约定去学校打篮球，小明计划先打车从家去商店购买文具再沿路线继续打车去学校与小刚汇合，小明在商店C选文具耽误了3分钟，而小刚骑上自己的电瓶车也从家出发按沿路线直接到学校，小明和小刚同时出发，其中小明打车的速度为（等待车的时间忽略不计，两次打车速度相同），谁先到学校？并说明理由． 【答案】(1) (2)小刚先到学校，理由见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用中的方向角问题，关键是构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题． （1）过作于，由三角形内角和定理求出，判定是等腰直角三角形，得到，由，求出，得到，即可求出小明家到学校的距离； （2）过作于，由含度角的直角三角形的性质得到，判定是等腰直角三角形，得到，因此，由三角形内角和定理得到，求出，得到， ，由是等腰直角三角形，得到，求出，分别求出小明、小刚到学校用的时间，即可得到答案． 【详解】（1） 解：过A作于M， 由题意得：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴小明家到学校的距离约为； （2） 小刚先到学校，理由如下： 过A作于N， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵小明到学校用的时间是（分钟），小刚到学校用的时间是（分钟）， ∴小刚先到学校． 11．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 【答案】(1)妈妈步行的速度为 (2)明明从C处到D处的距离约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义． （1）根据正切函数求出的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可； （2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，，进而得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴， ∴， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 过点D作于点F，得矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 12．（2024·湖南·模拟预测）慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告： 课题 测量慈氏塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处，在点处测得塔顶的俯角为，然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上，．结果精确到．参考数据： (1)求无人机从点到点处的飞行距离； (2)求慈氏塔的高度． 【答案】(1) (2)慈氏塔的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的判定与性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于常考题型． （1）先根据题意可求出，，再根据中，即可解答； （2）过点D作，交延长线于点H，设，则，解直角三角形求出x的值，证明四边形是矩形，得到，由即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：，， 在中，， ； （2）解：过点D作，交延长线于点H， ， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ， ， 四边形是矩形， ， ， 答：慈氏塔的高度为． 13．（2024·安徽·模拟预测）某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯段坡角为，中转平台，二楼扶梯段坡角为，已知，，，求水平距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识．分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H，证明四边形是矩形，则，证明四边形是矩形，则，再利用解直角三角形分别求出和，即可得到水平距离的长． 【详解】解：如图，分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ． 在中，，， ， ∴， ． 答：水平距离的长为． 14．（2024·湖南长沙·模拟预测）为推进《学生出入校门智能管理方案》的实施，图1是某校安装的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．（计算结果精确到） (1)头部高度为、身高的小帅站在离摄像头水平距离的点处，请问小帅最少需要下蹲多少厘米才能被识别？ (2)头部高度为，身高的小美踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别，若学校工作人员及时将摄像头的仰角、俯角都调整为，此时小美能被识别吗？请计算说明．（参考数据：，，，，， 【答案】(1)2.9厘米 (2)能；理由见解析 【分析】此题主要考查了解解直角三角形的应用仰角俯角问题，视点、视角和盲区． （1）过作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，在中，根据三角函数的定义得到，根据全等三角形的性质得到结论； （2）如图2，过作的垂线分别交仰角、俯角线于M、N，交水平线于P，根据三角函数的定义得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：过C作的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴小帅最少需要下蹲厘米才能被识别； （2）解：如图3，过B作的垂线分别交仰角、俯角线于M、N，交水平线于P， 在中，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴小美踮起脚尖后头顶的高度为， ∴小美头顶超出点N的高度为：， ∴踮起脚尖小美能被识别． 15．（2024·重庆南岸·模拟预测）春天是踏青的好季节，小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知为公园入口，景点位于点东北方向米处，景点位于点南偏东方向，景点在景点的正北方向，景点既位于景点正东方向310米处，又位于景点的北偏西方向．景点既位于景点的正东方向，又位于景点的正南方向．米． （参考数据：） (1)求的长；（精确到个位） (2)小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/分，小明在景点处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点处． 【答案】(1)长约1092米； (2)小华先到景点处，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方位角问题，矩形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形，灵活运算锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，由题意可知，米，，则是等腰直角三角形，求出米，再利用锐角三角函数值，求出米，即可得出BE的长； （2）过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形和四边形都是矩形，得出米，利用锐角三角函数值，求出米，米，米，再分别求出小明和小华的游览时间，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 米， 米， ， 米，米， （米）． 长约1092米． （2）解：小华先到达景点D处，理由如下： 如图，过点作于点，过点作于点，交于点， 则四边形和四边形都是矩形， ，米，米，， 米， 景点C既位于景点B正东方向310米处，又位于景点D的北偏西方向． （米），， 在中，，， （米），（米）， （米）， 小明选择了游览路线①：，小明行驶的平均速度是72米/秒．小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟， 小明的游览时间为（分钟）， 在中，米，， （米）， 小华选择了游览路线②：，小华行驶的平均速度为96米/秒．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟， 小华的游览时间为（分钟）， 小华的游览时间更短，先到达景点D处． 16．（2024·浙江·模拟预测）在小组实践活动中，需要测量某建筑内从A点到D点距离，由于之间有障碍物，小明准备利用所学的平面镜成像知识来解决问题．于是他在建筑物直角拐角处放置一个平面镜(如图所示)，经测量，他发现与墙面所成的角即墙面，当小明站在点C处，与点A距离，且点C在上，连线与平行时，他通过平面镜可观察到点D．你能帮小明算一下点D距离点A多远吗？（结果精确到，参考数据：） 【答案】能， 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，延长线段，取延长线上一点为E，求得， 由反射角等于入射角，得到，再得到，在中，，求得， 即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：他通过平面镜能观察到点D， 延长线段，取延长线上一点为E，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 由反射角等于入射角，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点 D距离点A 约为． 17．（2023·山东青岛·二模）如图，显示器的宽为22厘米，支架长14厘米，当支架与显示器的夹角，支架与桌面的夹角，测得长为2厘米，求显示器顶端到桌面的高度的长（，，） 【答案】器顶端到桌面的高度的长为． 【分析】作延长线于点F，再延长、交于点G，利用直角三角形性质，即可得到的长，的大小，在根据题意可判断，从而可得，再结合可求得的长，从而可得的长． 【详解】解：如图，作延长线于点F，再延长、交于点G．    ，， ． ∵，， ∴， 由题可知：， 延长线于点F， ， ∴． 在中，． ∵， ∴． 在中，． 故显示器顶端到桌面的高度的长为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，解直角三角形，三角形内角和定理，含角的直角三角形，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 18．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡的坡度，即的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为 塔底 B 的仰角为．已知塔高米，塔所在的山高米， 米， 图中的点O， B， C， A， P在同一平面内． (1)求P到的距离； (2)求山坡的坡度．（参考数据∶ ，，，） 【答案】(1)点P到的距离为400米 (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． （1）过点P作于点H，得出，，根据米，得出，列出方程求解即可； （2）过点P作于点G，先求出米，则米，通过证明四边形为矩形，得出米，米，进而得出米，最后根据即可解答．． 【详解】（1）解：过点P作于点H， ∵， ∴， ， ∵米， ∴，即， 解得：， 答：点P到的距离为400米． （2）解：过点P作于点G， ∵米，， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∴． 19．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）在课堂上，同学们已经学习了一些测量距离的方法．小刚想尝试利用无人机测量一河某处的宽度．如图所示，小刚站在河岸一侧的D点操控无人机，操纵器距地面距离米，在河对岸安放了一标志物F点，无人机在点D正上方的点A，无人机的飞行速度为7米/秒，无人机匀速水平飞行4秒到达点B，此时，小刚手里的操纵器测量无人机的仰角为，然后无人机又继续以同样的速度水平飞行12秒到达点C，测得点F的俯角为（点A，B，C，D，E，F在同一平面内） (1)______米，______； (2)求无人机的飞行高度； (3)求河宽的距离．（参考数据：，，） 【答案】(1)28；63 (2)米 (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据题意可得：，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答； （2）利用（1）中结论，求出可得结论； （3）过点作，垂足为，根据题意可得，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，利用（1）的结论求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 米，米， （米）， 在中，（米）； 故答案为：28；63． （2）解：米，米， （米）． 答：无人机的飞行高度为57.5米； （3）解：（米秒）， 无人机飞行的速度约为7米秒； 过点作，垂足为， 则，米， 在△中，， （米）， （米），米， （米）， （米）， 河宽的距离为54.5米． 20．（2024·山东·校考二模）如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°，从楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°.已知树高EF=6米，求塔CD的高度（结果保留根号）. 【答案】（6+2）米 【分析】根据题意求出∠BAD=∠ADB=45°，进而根据等腰直角三角形的性质求得FD，在Rt△PEH中，利用特殊角的三角函数值分别求出BF，即可求得PG，在Rt△PCG中，继而可求出CG的长度． 【详解】由题意可知∠BAD=∠ADB=45°， ∴FD=EF=6米， 在Rt△PEH中， ∵tanβ==, ∴BF==5， ∴PG=BD=BF+FD=5+6， ∵tanβ= , ∴CG=（5+6）·=5+2， ∴CD=（6+2）米. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度． 21．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是某路段路灯的示意图，灯杆长0.6m，灯柱与灯杆的夹角为．为节能环保并提高路灯的照明效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为12.3，从D，E两处分别测得路灯A的仰角为和，求灯柱的高度（参考数据：，，）． 【答案】灯柱的高度约为 【详解】解：如图，过点A作，垂足为F，过点B作，垂足为G， 由题意，得，， ∵，∴． 在中，，∴．设， ∵，∴． 在中，，∴． 在中，，∴， ∴，，∴， ∴，∴灯柱的高度约为． 22．（2024·四川成都·二模）泰姬陵是世界知名的古建筑，被列为“世界文化遗产”．如图所示，为了估测泰姬陵的高度，在泰姬陵的正东方向选取高为参照物，在它们之间的地面上选取点E（B，E，D三点共线），在点E处测得A处、C处的仰角分别是和，在A处测得C处的仰角为，求泰姬陵的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，）． 【答案】泰姬陵的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A作，垂足为F，设的长为，则，根据等腰三角形的判定可得，由题意知：，，，即四边形是矩形，利用锐角三角函数可得，再求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为F． 设的长为，则． 在中，，，∴．∴． 由题意知：，，， ∴四边形是矩形．∴，． 在中，，即，∴． 在中，，即，∴． ∵，∴． 整理得，，∴ 答：泰姬陵的高度约为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！45 学科网（北京）股份有限公司 $$