复习专题05 因式分解（8重点+13考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪教版2024）

专题05 因式分解 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 因式分解的意义 把一个多项式化为几个整式的积的形式 ，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 . 注意： (1) 因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； (2) 因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需 要因式分解； (3) 因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数； (4) 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止. 判断一个式子的变形是不是因式分解的方法判断一个式子由左边到右边的变形是不是因式分解的关键是看这个变形是不是把一个多项式化成了几个整式的积的形式,并且用整式的乘法验证右边的式子是否等于左边的式子,符合以上条件则是因式分解. 知识点2 公因式 1.定义 一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式. 2.确定公因式的一般步骤 (1)定符号：如果多项式的第一项系数是负数，通常提出“- ”号，使括号内第一项的系数成为正数； (2)定系数：当各项系数都是整数时，取它们的最大公约数为公因式的系数； (3)定字母：(或多项式)及其指数,取多项式各项都 含有的相同字母(或多项式),其指数取最低次. 上述步骤不是绝对的，当第一项是正数时步骤(1)可省略. 知识点3 提取公因式法 1.提取公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.这种分解因 式的方法叫做提取公因式法. 2.提取公因式法的一般步骤 (1)确定各项的公因式； (2)提出这个公因式并确定另一个因式； (3)把多项式写成因式积的形式. 3.提取公因式法的依据 提取公因式法，它的实质是乘法对加法的分配律的逆用 【注意要点】 1.若多项式第一项的系数是负数，则应先提出“﹣”号，提出“﹣”号后，括号里的每一项都要变号 2.提取公因式法因式分解，先在各项中将公因式分解出来，避免遗漏某些项 3.如果某项全部提出，括号里对应的项是1 4.多项式各项的公因式要注意提尽，即公因式为最大公因式 5.提取公因式后，注意运用整式乘法来检验是否正确 知识点4 公式法的定义 逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法. 知识点5 因式分解的平方差公式 1.定义 由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的平方差公式. 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积. 2.特点 (1)等号左边是二项式，两项都是平方的形式，且符号相反； (2)等号右边是两个数的和与这两个数的差的积. 知识点6 因式分解的完全平方公式 1.定义 由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,. 这两个公式叫做因式分解的完全平方公式 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方公式把它分解因式，它等于这两个数的和 (或差)的平方. 2.特征 (1)等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的平方，这两项的符号相同，中间一项是这两个数(或两个式子)乘积的2倍，符号正负均可. (2)等号右边是两个数(或两个式子)的和(或差)的平方 知识点7 十字相乘法 1.定义 一般地，可以用十字交叉线表示: 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 2.用十字相乘法分解的多项式的特征 （1）必须是一个二次三项式; （2）二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a和b的积，且这两个因数的和a+b正好等于多项式乘以多项式= 注意: 公式中的可以表示单项式，也可以表示多项式，是多项式时，要把它看作一个整体. 3.用十字相乘法分解因式的符号规律 （1）当二次项系数为正数且常数项是“+”号时，常数项分解的两个因数的符号与一次项系数的符号相同; （2）当二次项系数为正数且常数项是“-”号时，常数项分解的两个因数异号，若一次项是“+”的，则正因数绝对值大;若一次项是“-”的，则负因数的绝对值大; （3）当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，再分解常数项. 知识点8 分组分解法 分组分解法 如果分解因式的多项式各项既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组,利用分组可以进行多项式的局部分解然后,综合起来,再从总体上用捉取公因式法和公式法或十字相乘法继续进行分解,直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法. 2.分组原则 (1)分组后能直接提取公因式,多见四项多项式. (2)分组后能直接运用公式法,多见四项多项式2-2分组. (3)分组后能直接用十字相乘法，多见四项多项式1-3分组. 考点剖析 【考点1 判断是否是因式分解】 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解；根据因式分解的概念，即把一个多项式化成几个整式的积的形式，进行逐一分析判断即可． 【详解】解：A、，右边不是整式的积，不是因式分解，故本选项不符合； B、，符合因式分解的概念，故本选项符合； C、，该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合； D、，该变形没有分解成积的形式，故本选项不符合． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义是解决本题的关键． 利用“因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解”解题即可． 【详解】解：①是整式乘法； ②结果是和的形式，不是因式分解； ③是整式乘法； ④是因式分解； ⑤是因式分解； ⑥中含有不是整式的式子，不是因式分解； 故是因式分解的有④⑤，①②③⑥不符合定义， 故选：B． 3．（24-25七年级上·上海·期中）下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，理解分解因式概念是解题的关键． 【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、等式右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 【考点2 已知因式分解的结果求参数】 4．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若整式含有一个因式，则m的值是 ． 【答案】 【分析】设，根据多项式的乘法得出，，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴，， 解得：，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解与整式的乘法运算，熟练掌握因式分解以及整式的乘法的关系是解题的关键． 5．（24-25七年级上·上海·期中）若，且a､b为整数，则的值不可能是（   ） A．14 B．2 C．16 D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．根据多多项式的乘法法则把等号右边化简，可得、，然后对a、b的值讨论可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴、， 若、，则； 若、，则； 若、，则； 若、，则； 故选：C． 【考点3 公因式】 6．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式定义，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找出公因式即可． 【详解】解：和的最大公因式是， 故答案为：． 7．（22-23七年级上·上海嘉定·期中）多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】根据找公因式的方法得出答案即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公因式．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 【考点4 提公因式法分解因式】 8．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解-分组分解法，提取公因式法，根据题意，先把分组得，然后再提取公因式，得出，最后再提取公因式即可得出答案． 【详解】解： 、 ． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解 (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因式，再合并同类项后提取公因数2分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可； （4）先把看做一个整体利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式和十字相乘法进一步分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键． 利用提公因式法解答，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ． 11．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是关键，先提公因式，再进行十字相乘法因式分解． 【详解】解： 12．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．先提取公因式，再利用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ． 【考点5 判断能否用公式法分解因式】 13．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可． 【详解】解：A．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； B．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； C．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； D．，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点． 14．（21-22七年级上·上海嘉定·期中）下列各式中，不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】公式法分解因式，主要是平方差公式，完全平方公式，立方公式，由此即可求解． 【详解】解：选项，是平方差公式因式分解，不符合题意； 选项，是完全平方因式分解，不符合题意； 选项，不可以用公式法因式分解，符合题意； 选项，是平方差公式因式分解，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查利用公式法因式分解，掌握公式法中的平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 【考点6 平方差公式分解因式】 15．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 16．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是 ． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：∵两个正整数m，n满足， ∴或或或或，…， 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为8，12，16，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为15，21，27，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为24，32，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为35，45，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为48，60，…； …， 把这些“智慧优数”从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，…， 故第4个“智慧优数”是16， 故答案为：16． 17．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 18．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解． 连续两次利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： 故答案为： 19．（24-25七年级上·上海·期中）已知数、、、满足，，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的乘法和因式分解．首先根据可得，又因为，可得，把分解因式可得：，把代入可得，利用多项式乘多项式的法则展开可得，再把和代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 【考点7 完全平方公式分解因式】 20．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据求出正方形的面积，进而求出其边长即可． 【详解】解：由题意得， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 21．（24-25七年级上·上海·期中）若与互为相反数，把多项式因式分解． 【答案】 【分析】本题考查了公式法分解因式以及互为相反数的概念、绝对值和偶次幂的非负性的性质，灵活运用公式进行因式分解是解题的关键．根据互为相反数的两数和为0以及绝对值和偶次幂的非负性，求得的值，再利用公式法分解因式即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，． ∴ ． 22．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型和因式分解， （1）根据题干示例的方法计算即可作答； （2）根据题意设，根据可得，解方程即可求解； （3）先分组得到，进而得到，则可得到原式，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴（满足条件①）， 当时，（满足条件②）， ∴是的下确界； （2）解：∵代数式的下确界是1， ∴可设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3）解： ， ∵， ∴（满足条件①）， 当，即时，（满足条件②）， ∴6是的下确界 23．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．把看作整体，利用完全平方公式分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解： ． 24．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解：； 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】 ． 【考点8 综合运用公式法分解因式】 25．（24-25七年级上·上海崇明·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解．熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用平方差、完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 26．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 种填法． 【答案】5 【分析】本题主要考查了分解因式，由于和都可以分解因式，那么添加单项式消去或者都符合题意，由于，那么添加符合题意；根据平方差公式的特点可添加一个单项式让构成一个完全平方式也满足题意，据此可得答案． 【详解】解：当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 当填入时，原式； 故答案为：5． 27．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 28．（24-25七年级上·上海·期中）（1）分解因式：               （2）分解因式： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式和完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【考点9 综合提公因式和公式法分解因式】 29．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 30．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 31．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 32．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求的值． 【答案】36或60 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，先根据完全平方公式求出，再把所求式子因式分解为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴当时， ； 当时， ； ∴的值为36或60． 33．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先对每个选项进行因式分解，然后再进行判断即可． 【详解】解：； ； ； ； 综上分析可知：整式中不含有这个因式的是，故B符合题意． 故选：B． 【考点10 因式分解在有理数简算中的应用】 34．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：= ． 【答案】8016 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算． 【详解】解：， 故答案为：8016． 35．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了因式分解的应用，先设，然后通过十字相乘法因式分解进行解答即可，解题的关键是熟练掌握十字相乘法因式分解的应用． 【详解】解：设， 则原式， ， ， ∴原式． 【考点11 十字相乘法】 36．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是提取公因式法和十字相乘法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解即可得出答案． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 37．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．前三项利用十字相乘法分解，再将看作整体，然后利用十字相乘法分解继续分解即可． 【详解】解： ． 38．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式．把16分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】解：， 所以或或或或或． ∴整数k的值是或或， 观察四个选项，C选项符合题意． 故选：C． 39．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式，运用了整体思想；把作为一个整体，利用多项式乘多项式展开并整理得，再连续两步利用十字相乘法分解即可． 【详解】解： ． 40．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键．首先提公因式，然后利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 【考点12 分组分解法】 41．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解（直接写出答案） （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）运用平方差公式进行因式分解； （2）运用完全平方公式进行因式分解； （3）先提公因式后，运用十字相乘法进行因式分解； （4）先分组运用完全平方公式分解后，再运用平方差公式金色因式分解． 【详解】解：（1）． 故答案为： （2）． 故答案为： （3）． 故答案为： （4）． 故答案为： 42．（21-22九年级下·上海徐汇·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先运用分解分组法，得，再进行提公因式，得，即可作答． 【详解】解： 故答案为：． 43．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式后，运用平方差公式进行因式分解； （2）运用十字相乘法进行因式分解； （3）运用分组分解法进行因式分解； （4）将原式变形为，将看成整体，运用十字相乘法进行分解后，再次运用十字相乘法和提公因式法进行因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 44．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法成为解题的关键． 先将分组成，然后再运用提取公因式、公式法求解即可． 【详解】解： ． 45．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 【答案】． 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据分组分解法和提取公因式法进行分解即可，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ． 【考点13 因式分解的应用】 46．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，将等式右边的式子利用多项式乘以多项式的法则展开，根据恒等式，得到对应项相同，得到，根据最小，得到的绝对值相差最大，且负数大于正数，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴异号， ∵最小， ∴为负，的绝对值差值最大，且负数大于正数， ∵， ∴的最小值为：； 故答案为：． 47．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，，那么 【答案】 【分析】本题考查了利用因式分解进行简便计算，解题关键是要将因式分解．先将因式分解为，再将其值代入计算即可． 【详解】解：，，， 故答案为：． 48．（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2)空白部分的面积为． 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键 （1）先用两种方式图形的面积，然后写成等式即可解答． （2）①先根据长方形的周长公式列出关于的方程，然后整体求解即可；②由图可得空白部分的面积是，几何第一步中求出的的值以及阴影部分的面积，即可求得空白部分的面积． 【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：， 长方形的长是，宽是， 由此可得：， 故答案为：； （2）解：①根据长方形的周长为，可得： ，整列得： ，解得：． 答：的值为5； ②由图形可知：空白部分的面积为， 根据②得：， ∵阴影部分的面积为，且阴影部分的面积表示为， ∴， ∵， ∴，解：， ∴． 答：空白部分的面积为． 49．（24-25七年级上·上海·期中）正数，，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键．将式子因式分解为，求得，同理可得，，推出，再可化为，求出的值，即可求解． 【详解】解：， ，即， ， ， ， ， 同理求得：，， ， 可化为， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ． 过关检测 １．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的判断，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据因式分解的定义，把一个多项式分成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，据此依次进行判断即可． 【详解】解：A、是几个整式的积的形式化为一个多项式，是整式的乘法，不符合题意； B、是把一个多项式分成几个整式的积的形式，是因式分解，符合题意； C、，分解错误，不符合题意； D、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选B． ２．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． ３．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找到系数的最大公因数，再找到因式的公共部分即可． 【详解】解：由于3和9的公因数是3，和的公共部分为, 所以．和的公因式为. 故选A． 【点睛】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键． ４．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 【答案】． 【分析】本题考查了分解因式．先分组，提取公因式即可求解． 【详解】解： ． ５．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，因式分解的应用，先提公因式分解因式，再根据多项式乘以多项式的计算法则去小括号后合并同类项，进一步根据多项式乘以多项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． ６．（24-25七年级上·上海宝山·期中）（1）填空： 第一行：________； 第二行：________； 第三行：________； 第四行：________． （2）找出规律，写出第n行的等式：________； （3）请说明第行等式成立的理由． 【答案】（1）1；25；121；361（2）（3）见解析 【分析】本题考查了规律型:数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）根据有理数的乘法和加法可以计算出相应的结果； （2）根据题目中式子的特点，可以写出第n行的等式； （3）根据因式分解的方法可以说明第n行等式成立的理由． 【详解】解：（1）第一行：； 第二行：； 第三行：； 第四行：； 故答案为：1；25；121；361； （2）第n行的等式是：， 故答案为：； （3）证明：∵ ∴ ７．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据完全平方公式进行判断，即可． 【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④； ⑤．， 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解——运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：；完全平方公式：． ８．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握公式法与十字乘法分解因式是解本题的关键，先利用十字乘法可得，再进一步利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． ９．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解． 先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： １０．（24-25七年级上·上海·期中）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 【详解】解：A、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； C、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； D、能用完全平方公式分解因式，符合题意； 故选：D． １１．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．将看作一个整体，利用完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解： ． １２．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合应用，掌握这两种分解法是关键；先提取公因式，再用完全平方公式分解即可． 【详解】解： １３．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先利用平方差公式分解因式，再合并同类项后提取公因数2分解因式即可． 【详解】解： ． １４．（24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，解题的关键是理解题意，熟练掌握十字相乘法． （1）根据题干中提供的信息，进行因式分解即可； （2）分两种情况对将进行因式分解，得出或，然后再分别代入进行验证即可． 【详解】（1）解：∵式子相乘分解得：， ∴原式一定可以分解成的形式， 分别对与进行十字相乘分解，如图所示： ∴． （2）解：将进行因式分解，如图所示： 或 ∴或 ∴或， 当时，无法用十字相乘法进行因式分解； 当时，可以用十字相乘法进行因式分解， 此时原式为，对，，用十字相乘法因式分解，如图所示： ∴此时， ∴时，符合题意． １５．（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算： 【答案】16 【分析】本题考查了平方差公式因式分解；根据平方差公式去括号化简即可． 【详解】解：原式 ． １６．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将原式变形为，然后再用平方差公式，完全平方公式和十字相乘法，分解因式即可． 【详解】解： ． １７．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是利用分组分解法分解因式，先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练的分组是解本题的关键． 【详解】解： ． １８．（23-24七年级上·上海崇明·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，先分组得到，再利用平方差公式和提公因式法分解因式，进一步提取公因式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ． １９．（24-25七年级上·上海·期中）已知，那么下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式乘法，分解因式的应用，利用整式乘法运算法则将右边的式子展开，根左边对比，等号成立则正确，等号不成立则错误，据此解答即可． 【详解】解：， ； A、，左边不等于右边，故本选项错误，符合题意； B、，左边等于右边，故本选项正确，不符合题意； C、，左边等于右边，故本选项正确，不符合题意； D、，左边等于右边，故本选项正确，不符合题意； 故选：A． ２０．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 【答案】528 【分析】本题主要考查了代数式求值，分解因式的应用，解题的关键是将进行因式分解为，然后根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 因式分解 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点1 因式分解的意义 把一个多项式化为几个整式的积的形式 ，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 . 注意： (1) 因式分解与整式乘法是互逆的等式变形，可以用整式的乘法来检验因式分解结果的正确性； (2) 因式分解是恒等变形，因式分解的对象是多项式，单项式不需 要因式分解； (3) 因式分解的结果必须是乘积形式，这个乘积中可以有单项式，也可以有多项式，但必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数； (4) 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止. 判断一个式子的变形是不是因式分解的方法判断一个式子由左边到右边的变形是不是因式分解的关键是看这个变形是不是把一个多项式化成了几个整式的积的形式,并且用整式的乘法验证右边的式子是否等于左边的式子,符合以上条件则是因式分解. 知识点2 公因式 1.定义 一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式. 2.确定公因式的一般步骤 (1)定符号：如果多项式的第一项系数是负数，通常提出“- ”号，使括号内第一项的系数成为正数； (2)定系数：当各项系数都是整数时，取它们的最大公约数为公因式的系数； (3)定字母：(或多项式)及其指数,取多项式各项都 含有的相同字母(或多项式),其指数取最低次. 上述步骤不是绝对的，当第一项是正数时步骤(1)可省略. 知识点3 提取公因式法 1.提取公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.这种分解因 式的方法叫做. 2.提取公因式法的一般步骤 (1)确定各项的公因式； (2)提出这个公因式并确定另一个因式； (3)把多项式写成因式积的形式. 3.提取公因式法的依据 提取公因式法，它的实质是乘法对加法的分配律的逆用 【注意要点】 1.若多项式第一项的系数是负数，则应先提出“﹣”号，提出“﹣”号后，括号里的每一项都要变号 2.提取公因式法因式分解，先在各项中将公因式分解出来，避免遗漏某些项 3.如果某项全部提出，括号里对应的项是1 4.多项式各项的公因式要注意提尽，即公因式为最大公因式 5.提取公因式后，注意运用整式乘法来检验是否正确 知识点4 公式法的定义 逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法. 知识点5 因式分解的平方差公式 1.定义 由平方差公式反过来可得这个公式叫做因式分解的平方差公式. 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，那么就可以运用平方差公式把它因式分解，它等于这两个数的和与这两个数的差的积. 2.特点 (1)等号左边是二项式，两项都是平方的形式，且符号相反； (2)等号右边是两个数的和与这两个数的差的积. 知识点6 因式分解的完全平方公式 1.定义 由乘法公式中完全平方公式,反过来可得,. 这两个公式叫做因式分解的完全平方公式 语言叙述：如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上(或减去)这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方公式把它分解因式，它等于这两个数的和 (或差)的平方. 2.特征 (1)等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的平方，这两项的符号相同，中间一项是这两个数(或两个式子)乘积的2倍，符号正负均可. (2)等号右边是两个数(或两个式子)的和(或差)的平方 知识点7 十字相乘法 1.定义 一般地，可以用十字交叉线表示: 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 2.用十字相乘法分解的多项式的特征 （1）必须是一个二次三项式; （2）二次三项式的系数为1时，常数项能分解成两个因数a和b的积，且这两个因数的和a+b正好等于多项式乘以多项式= 注意: 公式中的可以表示单项式，也可以表示多项式，是多项式时，要把它看作一个整体. 3.用十字相乘法分解因式的符号规律 （1）当二次项系数为正数且常数项是“+”号时，常数项分解的两个因数的符号与一次项系数的符号相同; （2）当二次项系数为正数且常数项是“-”号时，常数项分解的两个因数异号，若一次项是“+”的，则正因数绝对值大;若一次项是“-”的，则负因数的绝对值大; （3）当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，再分解常数项. 知识点8 分组分解法 分组分解法 如果分解因式的多项式各项既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为一组,利用分组可以进行多项式的局部分解然后,综合起来,再从总体上用捉取公因式法和公式法或十字相乘法继续进行分解,直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做. 2.分组原则 (1)分组后能直接提取公因式,多见四项多项式. (2)分组后能直接运用公式法,多见四项多项式2-2分组. (3)分组后能直接用十字相乘法，多见四项多项式1-3分组. 考点剖析 【考点1 判断是否是因式分解】 1．（24-25七年级上·上海·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海松江·期中）下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·上海·期中）下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（   ） A． B． C． D． 【考点2 已知因式分解的结果求参数】 4．（22-23七年级上·上海青浦·期中）若整式含有一个因式，则m的值是 ． 5．（24-25七年级上·上海·期中）若，且a､b为整数，则的值不可能是（   ） A．14 B．2 C．16 D． 【考点3 公因式】 6．（23-24七年级上·上海长宁·期中）和的最大公因式是 ． 7．（22-23七年级上·上海嘉定·期中）多项式的公因式是 ． 【考点4 提公因式法分解因式】 8．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 9．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解 (1)． (2)． (3)． (4)． 10．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 11．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 12．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 【考点5 判断能否用公式法分解因式】 13．（22-23七年级上·上海青浦·期中）下列多项式中可以用完全平方公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 14．（21-22七年级上·上海嘉定·期中）下列各式中，不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【考点6 平方差公式分解因式】 15．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解： 16．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是 ． 17．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 18．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 19．（24-25七年级上·上海·期中）已知数、、、满足，，求的值． 【考点7 完全平方公式分解因式】 20．（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 21．（24-25七年级上·上海·期中）若与互为相反数，把多项式因式分解． 22．（24-25七年级上·上海·期中）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M；条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M；我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 4是的下确界． 又例如： ，由于，所以，（不满足条件②）故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)求的下确界． (2)若代数式的下确界是1，求m的值． (3)求代数式的下确界． 23．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． 24．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解：； 【考点8 综合运用公式法分解因式】 25．（24-25七年级上·上海崇明·期中）因式分解： ． 26．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 种填法． 27．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 28．（24-25七年级上·上海·期中）（1）分解因式：               （2）分解因式： 【考点9 综合提公因式和公式法分解因式】 29．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 30．（24-25七年级上·上海松江·期中）因式分解： ． 31．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 32．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求的值． 33．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列整式中不含有这个因式的是（    ） A． B． C． D． 【考点10 因式分解在有理数简算中的应用】 34．（23-24七年级上·上海青浦·期中）利用平方差公式计算：= ． 35．（23-24七年级上·上海青浦·期中）用简便方法计算：． 【考点11 十字相乘法】 36．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 37．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 38．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）若能分解成两个一次因式的积，且为整数，那么不可能是（    ） A．10 B．17 C．15 D．8 39．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 40．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 【考点12 分组分解法】 41．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解（直接写出答案） （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 42．（21-22九年级下·上海徐汇·期中）因式分解： ． 43．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 44．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式： ． 45．（23-24七年级上·上海杨浦·期末）分解因式：． 【考点13 因式分解的应用】 46．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 47．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，，那么 48．（24-25七年级上·上海·期中）如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形． (1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ； (2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为． ①求的值； ②求图中空白部分的面积． 49．（24-25七年级上·上海·期中）正数，，满足，求的值． 过关检测 １．（24-25七年级上·上海·期中）下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． ２．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． ３．（22-23七年级上·上海青浦·期中）单项式与单项式的公因式是（    ） A． B． C． D． ４．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）分解因式：． ５．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）先化简，再求值：，其中． ６．（24-25七年级上·上海宝山·期中）（1）填空： 第一行：________； 第二行：________； 第三行：________； 第四行：________． （2）找出规律，写出第n行的等式：________； （3）请说明第行等式成立的理由． ７．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ８．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． ９．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 10．（24-25七年级上·上海·期中）下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 12．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）因式分解：． 13．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： 14．（24-25七年级上·上海宝山·期中）阅读：关于，的二次六项式如果可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，那么可以用一种称为双十字相乘的方法来进行因式分解，具体方法如图所示：先对进行十字相乘分解得，则原式一定可以分解成的形式，然后分别对与进行十字相乘分解，从而确定，，所以． 根据阅读，要求如下： (1)因式分解：； (2)若关于，的多项式可以分解成二个关于，的一次三项式的乘积，求k的值． 15．（23-24七年级上·上海闵行·期中）简便计算： 16．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 17．（23-24七年级上·上海·期末）因式分解：． 18．（23-24七年级上·上海崇明·期末）分解因式：． 19．（24-25七年级上·上海·期中）已知，那么下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求的值． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$