专题12 解直角三角形的最值模型之胡不归模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题12 解直角三角形的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型1.胡不归模型（最值模型） 1 14 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（23-24九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，．点是在边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点作交于的延长线于点，当时，此时，取最小值． 【详解】解：过点作交于的延长线于点， ，，， 当时，，此时，取最小值， ∵，，设，则， 根据勾股定理可得：，即，解得：（舍）， ，，，，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了胡不归问题，掌握胡不归求最小值的方法，利用直角三角形，三角函数对的系数进行转化是解题的关键． 例2．（2024·河南漯河·一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理和解直角三角形，过作，由四边形矩形，得，，根据三角函数得，则，再由角所对直角边是斜边的一半可得，即有，当三点共线时，取得最小值，最后由三角函数即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过作， ∵四边形矩形，∴，， ∴，， ∴，∴，在中，，∴， ∴当三点共线时，取得最小值，∵，∴， 在中，，即的最小值为，故答案为：． 例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过作，由菱形，，得到为平分线，求出，在中，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，故，求出的最小值即为所求最小值，当、、三点共线时最小，求出即可． 【详解】解：过作，菱形，， ，，即为等边三角形，， 在中，，，当、、三点共线时，取得最小值， ，，， 在中，，则的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 【答案】0 【分析】作于，可得出，从而得的最小值，将变形为，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作于， ∵四边形是正方形，，，的最小值为0， ∵，∴的最小值为0，故答案为：0． 【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形等知识，解题关键是作辅助线转化线段． 例5．（2024九年级·江苏·专题练习）如图，内接于，，，过点作交于点，点是上一动点，求的最小值． 【答案】的最小值为9． 【分析】过点作于点，过点作于点，利用三角函数求出，推出即，由此得到当点，，三点共线时，的值最小，最小值为的长，此时点与点重合，根据三角形中位线的性质求出即可得到答案. 【详解】如解图，过点作于点，过点作于点， ∵，，是的直径，∴，∴， ∴，∴，∴， 当点，，三点共线时，的值最小，最小值为的长，此时点与点重合， ∵，∴，∴，即的最小值为9. 【点睛】此题考查了圆周角的性质：直径所对的圆周角是直角，锐角三角函数，三角形中位线的性质，线段的最小值的问题. 例6．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A点，且与轴的正半轴交于点，点为该抛物线对称轴上一点，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】连接、，，作于，于，先利用抛物线解析式求出、，利用勾股定理求出，得到为等边三角形，，再利用30度角所对的直角边等于斜边一半求出，根据垂直平分线的性质得到，推出当、、共线时，的值最小，最小值为的长，通过正弦函数求出，即可得到的最小值． 【详解】解：连接、，，作于，于，如图， 时，，解得，，的坐标为，， ，的坐标为，，， ，为等边三角形，，，， 垂直平分，，， 当、、共线时，的值最小，最小值为的长， ，的最小值为6，故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的判定和性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，垂直平分线的性质，锐角三角函数等知识，学会转换线段解决问题是解题关键． 例7．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________． 【答案】6 【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点， ∴点A（3，0），点，∴AO＝3，，∴， 作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示： ∴，∴，∴，∴是等边三角形， ∵，∴，∵CH⊥AB，∴， ∴， ∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值， 此时，，是等边三角形，∴，， ∴，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6． 【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键． 例8．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC=，D、E两点在△ABC边上运动．（1）如图1，当∠BAC=120°时，D在边BC上，E在边AC上，BD=CE=2，求△ADE的面积． （2）如图2，当∠BAC=60°时，D在边BC上，E在AC延长线上，BD=CE，连接AD、BE，取BE中点F，连接CF，H为CF上一点，G为AD上一点，连接BG、HG，且满足CH=AG，求证：∠BGH=60°． （3）如图3，当∠A=90°时，D在边AC上，E在边AB上，连接DE，求CD+DE的最小值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）过点作于点，过点作于点；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得；根据等腰三角形三线合一和三角函数性质，得、、、，通过关系式计算，即可得到答案； （2）边上作,连接、，连接；根据三角形中位线的性质，得，结合平行线性质，得；根据三角形内角和，得：；根据全等三角形性质，分别通过证明和，得，；根据等腰三角形性质得：，结合三角形内角和性质，即可完成证明； （3）过点作交于点，延长线上，作，连接、，过点作交于点、交于点；结合题意，根据直角三角形和三角函数的性质，得，从而得；根据全等三角形性质，通过证明，得；根据两点之间线段最短、点到直线最小距离的性质，得；设，根据三角函数和一次函数的性质计算，即可得到答案． 【详解】（1）如图，过点作于点，过点作于点， ∵AB=AC=，∠BAC=120°∴ ∴， ∴ ∵BD=CE=2∴， ∴； （2）如图，边上作,连接、，连接 ∵BD=CE∴∵点F是BE中点∴ ∴ ∵∠BAC=60°，AB=AC=∴ ∴为等边三角形∴ ∴ ∴ ∴∴，即 ∴∴∴， ∴ ∵ ∴ ∴； （3）如图，过点作交于点，延长线上，作，连接、，过点作交于点、交于点 ∵AB=AC=，∠A=90°∴， ∵，即 ∴∴ ∵ ∴ ∴ ∵，且 ∴∴ 设 则 ∴ ∴ ∵随着的增大而增大 ∴当时，取最小值，即取最小值，， ∴最小值为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和、等腰三角形、等边三角形、全等三角形、三角形中位线、平行线、二次根式、三角函数、两点之间线段最短、点到直线最短距离、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、等腰三角形、等边三角形、三角形中位线、平行线、三角函数、两点之间线段最短、点到直线最短距离、一次函数的性质，从而完成求解． 例9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接．(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________． (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接、．若的面积，求点P的坐标． (3)设E为线段上任意一点（不含端点），连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．    【答案】(1)，(2)或或(3)点M的运动时间的最小值为7秒 【分析】（1）根据抛物线计算即可；（2）利用同底等高的三角形面积相等构造与平行直线，找到与抛物线的交点P；（3）如图，在x轴上取一点G，连接，使得，作于N．作于交于．由点M的运动时间，，推出点M的运动时间，根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与重合，点E与重合时，点M的运动时间最少．由此即可解决问题； 【详解】（1）解：当时，，当时，，解得：，， 故答案为：，； （2）解：设x轴上点D，使得的面积，，解得：， ，，则可求直线解析式为：，故点D坐标为或， 当D坐标为时，过点D平行于的直线l与抛物线交点为满足条件的P， 则可求得直线l的解析式为：， 求直线l与抛物线交点得：，解得：，， 则P点坐标为或，同理当点D坐标为时，直线l的解析式为， 求直线l与抛物线交点得：，解得：（舍弃），， 则点P坐标为，综上满足条件P点坐标为：或或； （3）解：如图，在x轴上取一点G，连接CG，使得，作于N．作于交BC于．      ，，， ，直线的解析式为， 点M的运动时间， ，点M的运动时间， 根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与重合，点E与重合时，点M的运动时间最少． 由题意，，，点M的运动时间的最小值为7秒，此时． 【点睛】本题为代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一次函数图象性质及圆的有关性质是解答本题的关键． 1．（2024·江苏苏州·一模）如图，矩形的对角线交于点，，，点是上的动点，则的最小值是（    ）    A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】过点B作射线BH，使得∠CBH＝30°，过点P作PE⊥BH，垂足为点E，由此可得PE＝BP，再过点O作OF⊥BH，由此可证得OP＋BP≥OE≥OF，根据垂线段最短可得OP＋BP的最小值为线段OF的长，再利用特殊角的三角函数值及矩形性质进行计算即可求得答案． 【详解】解：如图，过点B作射线BH，使得∠CBH＝30°，过点P作PE⊥BH，垂足为点E，则∠BEP＝90°，    在Rt△BPE中，sin∠PBE＝，∴sin30°＝＝，∴PE＝BP， 过点O作OF⊥BH，垂足为点F，则∠OFB＝90°， ∵OP＋PE≥OE≥OF，垂线段最短，∴OP＋BP≥OE≥OF，∴OP＋BP的最小值为线段OF的长， ∵在矩形ABCD中，∴∠BCD＝90°，，，， ∴，， ∴∠CBD＝30°，，∴∠HBD＝∠CBH＋∠CBD＝60°，， ∵在Rt△BOF中，sin∠OBF＝，∴sin60°＝，解得：， ∴OP＋BP的最小值为，故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数值的应用，正确作出辅助线，证得OP＋BP的最小值为线段OF的长是解决本题的关键． 2．（2024·安徽·三模）如图，在中，，，，于点，点在上，且，点是线段上的动点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形性质，解直角三角形，垂线段最短的性质及轴对称的性质，先证出点，关于对称，作于，交于，根据垂线段最短求出即可． 【详解】解：，， ， ，，，，，关于对称，作于，交于， ，，，的最小值， 又，的最小值为．故选D． 3．（2024·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（    ） A．4 B．2＋2 C．2 D． 【答案】A 【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题． 【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H． ∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3， ∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°， 设，则,∵，∴，∴，∴， ∵PJ⊥CB，∴，∴，∴， ∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，∴的最小值为4．故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 4．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，中，，于点，，是线段上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，求解，，证明，可得，证明，结合，从而可得答案． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， ，，，，，， 或（舍去），，， ，，，，， 在中，，， ，，的最小值是：，故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，垂线段最短的应用，锐角三角函数的应用，证明是解本题的关键． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是直径，，，点是弦上的一个动点，那么的最小值为（　  　） A．1+ B．1+ C． D． 【答案】C 【分析】作，过点作于点，过点作于点，连接，在中，，则，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为，再利用已知条件求得值即可． 【详解】解：作，过点作于点，过点作于点，连接． ，，∴在中，，， 根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，最小值为， ∵，，，∴， ∵，∴∴在中，， ∴由勾股定理得：，的最小值为故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，平行线的性质，等腰三角形的性子，熟练掌握知识点，将转化为是解题的关键． 6．（2023·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时的长度最小为MH，再算出MC的长度， 在中利用三角函数即可解得MH． 【详解】解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点， ∵菱形中，，∴，为等边三角形， ∴，，∴在中，，∴， ∴此时得到最小值，， ∵，，∴，又∵，∴,故选：B. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与三角函数，能够找到最小值时的P点是解题关键． 7．（23-24九年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D、F分别是边、上的动点，连接，过点A作交于点E，垂足为G，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先由，，发现在以为直径的圆上运动，再通过构造直角三角形将转化为，将所求问题转化为常规两条线段和最小问题来解决． 【详解】解：，，点在以为直径的圆上运动， 过作，作于，如图， ，，在中，， ，当、、共线时，最小，过作于， 在中，，，，，，， 作于，四边形是矩形，， ，，，最小值为，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查以直角三角形为背景的两条线段和最小问题，解决问题的关键是发现点的运动路径． 8.（2024·广西校考一模）如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则 ． 【答案】 【详解】解：作，过M作交于一点即为点P， ∵，∴，∴，∴当时的值最小， ∴在中，,故答案为； 9．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）已知等边中，，，若点P在线段上运动时，的最小值为 ． 【答案】12 【分析】根据题意易得，则有，过点P作于点E，进而可得，当取最小时，即为最小，则有当点B、P、E三点共线且时最短，进而可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵，∴，过点P作于点E，如图所示： ∴，∴，∴当取最小时，即为最小， ∴当点B、P、E三点共线时且时最小，如图所示： ∵为等边三角形，∴，∴最小值为；故答案为：12． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质，垂线段最短，两点之间线段最短，熟练掌握等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质是解题的关键． 10.（2024·山东校考一模）如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间，由，推出，可得，推出当共线且和重合时，运动时间最短． 【详解】如图，作于H，于，交AO于． ∵运动时间，∵，，∴， ∵，C（1，0），，，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴， ∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短， ，∴，∴， ∵，设，则，则有： ∴或（舍去），∴∴ 11．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于， 四边形是平行四边形，，∴ ∵PH丄AD∴∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，，∴ ， 则最小值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 12．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】过点C作，垂足为D，取，即可说明是等腰直角三角形，求出，进一步求出，继而将转化为，推出点D在以为直径的圆上，从而可知当为等腰直角三角形时，最大，再求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为D，取， ∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴， ∵，而一定， ∴当的面积最大时，最大，∵，∴点D在以为直径的圆上， ∴当D平分时，点D到的距离最大，即高最大，则面积最大， 此时，则为等腰直角三角形，∴，故答案为：．   ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为的长． 13．（2024·四川成都·模拟预测）6．如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为． （1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？ 【答案】（1）；（2）或；（3）F． 【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，依次求出的值得到直线的解析式、点D的纵坐标、的值得到抛物线的函数表达式； （2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC两种情况讨论即可； （3）过点D作DH⊥y轴于点H，过点A作AG⊥DH于点G，交BD于点F，则点F即为所求，理由是，由于点M在线段AF上以每秒1个单位的速度运动，在线段FD上以每秒2个单位的速度运动，从而根据直线BD的倾斜角是30°知道，又根据垂直线段最短的性质知点F即为所求，从而根据含30°直角三角形的性质求解即可． 解：（1）抛物线，令，解得或，，． 直线经过点，，解得， 直线解析式为：．当时，，，． 点，在抛物线上，，． 抛物线的函数表达式为：．即． （2）由抛物线解析式，令，得，，． 因为点在第一象限内的抛物线上，所以为钝角． 因此若两个三角形相似，只可能是或． ①若，则有，如答图所示． 设，过点作轴于点，则，． ，即：，．，代入抛物线解析式， 得，整理得：，解得：或（与点重合，舍去），． ，，即，解得：． ②若，则有，如答图所示． 设，过点作轴于点，则，． ，即：，． ，代入抛物线解析式，得，整理得：， 解得：或（与点重合，舍去），． ，，，解得， ，，综上所述，或． （3）方法一：如答图3，由（1）知：，，如答图，过点作轴于点， 则，，，，． 过点作轴，则．过点作于点，则． 由题意，动点运动的路径为折线，运动时间：， ，即运动的时间值等于折线的长度值． 由垂线段最短可知，折线的长度的最小值为与轴之间的垂线段． 过点作于点，则，与直线的交点，即为所求之点． 点横坐标为，直线解析式为：， ，，． 综上所述，当点坐标为，时，点在整个运动过程中用时最少． 方法二：作，，交直线于点， ，，， 当且仅当时，最小，点在整个运动中用时为：， ，， 【点睛】本题考查单动点问题；二次函数和一次函数交点问题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；相似三角形的判定；垂直线段最短的性质；分类思想和数形结合思想的应用． 14．（2023春·广东广州·八年级校考期中）在菱形中，． (1)如图1，过点B作于点E，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度；(2)如图2，连接．点Q是对角线上的一个动点，若，求的最小值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用含30度的直角三角形的性质求出，从而得到，，利用勾股定理求出，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案； （2）过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点，连接，则，，当点与重合时，的值最小，当点与重合时，．再根据菱形性质和等腰直角三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）解：，，， 在菱形中，，，在中，， 点是线段的中点，； （2）如图，过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点， 连接，则，、关于直线对称，， ，当点与重合时，的值最小， 当点与重合时，．当点与不重合时，． 四边形是菱形，，， 又，，，，， 即的最小值是．的最小值是． 【点睛】本题是菱形综合题，考查的是轴对称最短路径问题、点到直线的距离垂线段最短，菱形的性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，掌握轴对称最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键． 15.（2024.广东九年级期中）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）AB=；（3）． 【详解】解：（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°， ∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线； （2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，由题可得CH=h，在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH， ∴h=OC•sin60°=OC，∴OC==，∴AB=2OC=； （3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF， 如图3，则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°， ∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形， ∴根据对称性可得DF=DO，过点D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°， ∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC，∴CD+OD=DH+FD． 根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6，则OF=，AB=2OF=， ∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为． 16．（2024·广西·校考一模）如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作轴交轴于点，线段的延长线交于点，连接、交于点，连接．（1）求二次函数的表达式；（2）当时，求点的坐标及；（3）在（2）的条件下，点是轴上一个动点，求的最小值． 【答案】（1）；（2），；（3） 【分析】（1）把点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(1，0)代入y=ax2+bx+1，解方程组即可得到结论； （2）由条件可得BE•DE=OE•EM，设D(a，-x2−x+1)，则可表示BE、DE、OE、EM的长，得到关于a的方程，解方程可求出D点的坐标，求出AE、DE长，则sin∠DAE的值可求； （3）作D关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AD于点H，交轴于点P，则∠DAE=∠HFD，DP+AP=FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可． 【详解】解：（1）把点，点代入得 ，解得，∴二次函数的表达式为； （2）∵二次函数的表达式为，令，得，∴点的坐标为． 设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为． ∵轴，∴，． ∵，∴．设，则， ∴，，，， ∴，解得，（舍去），（舍去）， ∴， ∴，，∴， ∴； （3）如图，作点关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，连接，则， ∵，∴，∴， ∴，由垂线段最短可知此时长度最小， ∵，∴，∴， ∴，∴的最小值为． 【点睛】主要考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理，垂线段最短，轴对称的性质，以及解直角三角形的知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 17．（2023·广东·东莞市三模）已知，如图，二次函数图像交轴于，交交轴于点，是抛物线的顶点，对称轴经过轴上的点．（1）求二次函数关系式；（2）对称轴与交于点，点为对称轴上一动点．①求的最小值及取得最小值时点的坐标； ②在①的条件下，把沿着轴向右平移个单位长度时，设与重叠部分面积记为，求与之间的函数表达式，并求出的最大值． 　　　　 【答案】（1）；（2）最小值为，点坐标为； 【分析】（1）函数对称轴为x=1，则点B（3，0），用交点式表达式得：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），即可求解；（2）连接BD，过点A作AH⊥BD于点H，交DF于点P，AP+PD=AP+PD，此时AP+PD=AH最小，即可求解． 【详解】解：（1）二次函数对称轴为，点坐标为，则点坐标为． 又∵点坐标，则，解得：，∴函数表达式为； （2）连接∵∴ 在中，依勾股定理得： ∴ 过点作于点，交抛物线对称轴于点 则 则 依“垂线段最短”得此时长度为最小值， 即最小值为的长度， ∵ 则， 即最小值为． 点坐标为． 【点睛】本题考查的二次函数综合应用，解直角三角形，轴对称的性质，求二次函数的解析式和二次函数的最值，勾股定理，以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想和分类讨论的思想进行分析. 18．（2023·重庆九龙坡·校考模拟预测）已知，在中，，D为线段AB上一点，连接CD，过点C作，，连接DF，延长CA到点E，连接BE，使得． (1)如图1，若，求DF的长；(2)如图2，点G是线段DF上一点，连接CG，过点G作，过点D作，交GH于点H，求证：； (3)如图3，点M为BC上一点，连接DM，若，请直接写出的最小值． 【答案】(1)；(2)见解析(3)的最小值为. 【分析】（1）先证明，利用证明，推出，再利用勾股定理即可求解； （2）过点H作交的延长线于点P，交的延长线于点Q，证明四边形为矩形，推出，再证明五点共圆，推出是等腰直角三角形，即可证明结论；（3）作交线段于点I，则，，，求得，，在的下方作，过点M作于点N，则，当D、M、N在同一直线上时，有最小值，最小值为的长，再利用勾股定理即可求解. 【详解】（1）解：∵在中，，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴是等腰直角三角形，∴； （2）证明：过点H作交的延长线于点Q，交的延长线于点P， ∵是等腰直角三角形，∴，，， ∴是等腰直角三角形，∴，∵， ∴四边形为矩形，∴，则， ∵，  ∴，∴五点共圆， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∴，∴，∴是等腰直角三角形，   ∴，∴； （3）解：由（1）得，∴，， 作交线段于点I，则，∴，， ∴，∴，∴， 在的下方作，过点M作于点N，∴， 当D、M、N在同一直线上时，有最小值，最小值为的长， 在中，，，∴， 在中，，， ∴，∴，∴的最小值为. 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题难度大，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 解直角三角形的最值模型之胡不归模型 胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。 1 模型1.胡不归模型（最值模型） 1 14 模型1.胡不归模型（最值模型） 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（23-24九年级上·重庆·期末）如图，在中，，，．点是在边上的动点，则的最小值是 ． 例2．（2024·河南漯河·一模）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 例3．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 例4．（2023·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形中，是边的中点，是对角线上的动点，则的最小值为 ___________． 例5．（2024九年级·江苏·专题练习）如图，内接于，，，过点作交于点，点是上一动点，求的最小值． 例6．（2024九年级下·广东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A点，且与轴的正半轴交于点，点为该抛物线对称轴上一点，则的最小值为 ． 例7．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________． 例8．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）在等腰△ABC中，AB=AC=，D、E两点在△ABC边上运动．（1）如图1，当∠BAC=120°时，D在边BC上，E在边AC上，BD=CE=2，求△ADE的面积． （2）如图2，当∠BAC=60°时，D在边BC上，E在AC延长线上，BD=CE，连接AD、BE，取BE中点F，连接CF，H为CF上一点，G为AD上一点，连接BG、HG，且满足CH=AG，求证：∠BGH=60°． （3）如图3，当∠A=90°时，D在边AC上，E在边AB上，连接DE，求CD+DE的最小值． 例9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接．(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________． (2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接、．若的面积，求点P的坐标． (3)设E为线段上任意一点（不含端点），连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．    1．（2024·江苏苏州·一模）如图，矩形的对角线交于点，，，点是上的动点，则的最小值是（    ）    A． B．3 C． D．6 2．（2024·安徽·三模）如图，在中，，，，于点，点在上，且，点是线段上的动点，连接，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 3．（2024·山东·九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（    ） A．4 B．2＋2 C．2 D． 4．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，中，，于点，，是线段上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D．10 5．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是直径，，，点是弦上的一个动点，那么的最小值为（　  　） A．1+ B．1+ C． D． 6．（2023·山东济南·统考二模）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且，点P是线段BD上的一个动点，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D． 7．（23-24九年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，D、F分别是边、上的动点，连接，过点A作交于点E，垂足为G，连接，则的最小值为 ． 8.（2024·广西校考一模）如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则 ． 9．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）已知等边中，，，若点P在线段上运动时，的最小值为 ． 10.（2024·山东校考一模）如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ． 11．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______． 12．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．    13．（2024·四川成都·模拟预测）6．如图，已知抛物线为常数，且与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为． （1）若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点，使得以，，为顶点的三角形与相似，求的值；（3）在（1）的条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少？ 14．（2023春·广东广州·八年级校考期中）在菱形中，． (1)如图1，过点B作于点E，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度；(2)如图2，连接．点Q是对角线上的一个动点，若，求的最小值． 15.（2024.广东九年级期中）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长． 16．（2024·广西·校考一模）如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作轴交轴于点，线段的延长线交于点，连接、交于点，连接．（1）求二次函数的表达式；（2）当时，求点的坐标及；（3）在（2）的条件下，点是轴上一个动点，求的最小值． 17．（2023·广东·东莞市三模）已知，如图，二次函数图像交轴于，交交轴于点，是抛物线的顶点，对称轴经过轴上的点．（1）求二次函数关系式；（2）对称轴与交于点，点为对称轴上一动点．①求的最小值及取得最小值时点的坐标； ②在①的条件下，把沿着轴向右平移个单位长度时，设与重叠部分面积记为，求与之间的函数表达式，并求出的最大值． 　　　　 18．（2023·重庆九龙坡·校考模拟预测）已知，在中，，D为线段AB上一点，连接CD，过点C作，，连接DF，延长CA到点E，连接BE，使得． (1)如图1，若，求DF的长；(2)如图2，点G是线段DF上一点，连接CG，过点G作，过点D作，交GH于点H，求证：； (3)如图3，点M为BC上一点，连接DM，若，请直接写出的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$