精品解析：广西钦州市第四中学2024-2025学年高三上学期11月考试数学试题

广西钦州市第四中学2025届高三上学期第11月考试数学试题 [第I卷 ] 一、单选题（5×8=40分） 1. 已知变量，对于每一个的取值，由确定的点都在直线上，则直线的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将圆上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，则得到的新曲线的曲线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 设为椭圆 上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 过极点且倾斜角为直线的极坐标方程可以为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 和， 6. 下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形. 设点 P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 7. 如图，已知正方形ABCD边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 某人工岛，呈双鱼环抱圆形，半径840米，从空中俯视，像是太极图（由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，它展现了一种相互转化，相对统一的和谐美）．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，若极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，建立极坐标系，则下列有关命题中： ①对于圆的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数； ②函数是圆的一个太极函数； ③直线（t为参数）所对应的函数一定是圆（为参数，）的太极函数； ④若函数是圆的太极函数，则． 其中正确命题（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、多选题（ 5×3=15分） 9. 已知曲线：（为参数），曲线：（为参数），，以下正确的是（ ） A. 曲线是一个圆 B. 曲线是一条直线 C. 若，则曲线与存在公共点 D. 若，则曲线上的点到曲线距离的最大值为 10. 称为点的“和”，下列说法正确的是（ ） A. “和”为1的点的轨迹围成的图形的面积为2 B. 设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2 C. 设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个的充要条件是 D. 设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为 11. 已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ） A. 白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； B. 在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； C. 阴影部分的面积为； D. 阴影部分的内外边界曲线长为. [第II卷 ] 三、填空题（ 5×3=15分） 12. 已知点，，，点满足，则的最大值为______． 13. 在极坐标系中，以极点为圆心，1为半径的圆的极坐标方程为______． 14. 已知，设点P(x,y)是单位圆是上一个动点，且满足，则当t由0连续变到时，线段AP扫过的面积是________. 四、解答题（ 80分） 15. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，曲线的参数方程为（为参数）. （1）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程； （2）设曲线，交于点，，已知点，求. 16. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为. （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）已知直线l与x轴的交点为F，且曲线C与直线l相交于A，B两点，求的值. 17. 在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程； （2）若直线l与圆C的交点为A，B，与x轴的交点为P，求的值． 18. 在直角坐标系中，曲线参数方程为 (是参数)，是曲线上的点，所对应的参数分别为和；以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求点 的直角坐标，并求出间的距离； （2）若点 在曲线上，求 的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上的直径为2的圆，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为． （1）求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线的交点（异于极点）的极径； （2）若曲线参数方程为（为参数），且曲线和曲线相交于除极点以外的两点，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广西钦州市第四中学2025届高三上学期第11月考试数学试题 [第I卷 ] 一、单选题（5×8=40分） 1. 已知变量，对于每一个的取值，由确定的点都在直线上，则直线的方向向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】消去参数得到直线方程，再根据方向向量的概念求解即可. 【详解】由消去参数，得直线的方程为， 所以直线的斜率为，故的一个方向向量为， 与之共线向量均可作为方向向量，所以选项只有D选项可作为方向向量. 故选：D. 2. 在平面直角坐标系中，将圆上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，则得到的新曲线的曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设为上任意一点，通过变换后得，根据点在圆上代入化简即可. 【详解】设为上任意一点， 将点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标压缩到原来的得到点， 则，所以， 因为，所以，所以新的曲线方程为． 故选：D． 3. 已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设椭圆上的点为，结合点到直线的距离公式与辅助角公式计算即可得解. 【详解】设椭圆上的点为， 则点到直线的距离为，其中， 由，故椭圆上的点到直线的距离的最大值为． 故选：D. 4. 设为椭圆 上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可设，利用辅助角公式及三角函数的性质求解． 【详解】∵为椭圆上的任一点， ∴可设， ∴，其中， ∴由，得，即， ∵， ∴，即的取值范围是. 故选：B． 5. 过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程可以为（ ） A. ， B. ， C. ， D. 和， 【答案】D 【解析】 【分析】根据过极点的直线的极坐标方程，可直接得出结果. 【详解】过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程为：和． 故选：D． 6. 下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形. 设点 P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ） A. 18 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】以AD 为x 轴，E 为坐标原点建立平面直角坐标系 ，由圆D 方程设 写出向量的坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识得最大值. 【详解】骑行过程中，ABCDE 相对不动，只有P 点绕D 点作圆周运动. 如图，以AD 为x轴，E 为坐标原点建立平面直角坐标系 ， 由题意 圆D 方程为 设 则 ， 易知当 时，取得最大值36. 故选 ：C . 7. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出坐标，再由平面向呈的坐标运算结合三角函数的有界性计算即可求得. 【详解】如图，以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 则以AB为直径的半圆为， 因为动点P在以AB为直径的半圆上，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 故选：B 8. 某人工岛，呈双鱼环抱圆形，半径840米，从空中俯视，像是太极图（由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，它展现了一种相互转化，相对统一的和谐美）．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，若极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，建立极坐标系，则下列有关命题中： ①对于圆的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数； ②函数是圆的一个太极函数； ③直线（t为参数）所对应的函数一定是圆（为参数，）的太极函数； ④若函数是圆的太极函数，则． 其中正确命题为（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，根据题意圆，根据太极函数的定义作图判断即可，对于②，根据题意得，圆心为，的图象也过，从而可进行判断，对于③，直线恒过定点，圆的圆心为，再根据对称性判断，对于④，根据题意可得，函数为奇函数，求出其与圆的交点，再将两方程联立，分析方程根的个数判断. 【详解】对于①，根据题意圆，如图为圆的太极函数，且是偶函数，所以①错误， 对于②，由，得，所以， 即圆，圆心为， 的图象也过，且是其对称中心， 所以的图象能将圆一分为二，所以②正确， 对于③，因为直线恒过定点，圆的圆心为， 所以直线过圆心，所以直线将圆一分为二，所以③正确， 对于④，根据题意可得， 因为，所以为奇函数， 由，得或， 所以的图象与圆的交点为，且过圆心， 由，得， 令，则， ，得或， 当时，， 当时，当，则方程无解， 当，则， 若，即时，方程无解， 所以时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二， 若，即时，函数与圆有4个交点， 若，即时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分二， 所以，所以④正确. 故选：D 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 二、多选题（ 5×3=15分） 9. 已知曲线：（为参数），曲线：（为参数），，以下正确的是（ ） A. 曲线是一个圆 B. 曲线是一条直线 C. 若，则曲线与存在公共点 D. 若，则曲线上的点到曲线距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】曲线以及曲线的参数方程消去参数和，能求出曲线和曲线的普通方程即可得到轨迹是什么图形；再将代入两个方程即可判断是否有公共点；最后将代入曲线利用曲线的参数方程即可求得最大值. 【详解】A，曲线可化为：，故A错误； B，曲线可化为：，故B正确. C，当，：过曲线的上顶点，故C正确. D，若，：，设曲线上的点， 则点到曲线的距离为 ，故D正确. 故选：BCD. 10. 称为点的“和”，下列说法正确的是（ ） A. “和”为1的点的轨迹围成的图形的面积为2 B. 设是直线上任意一点，则点的“和”的最小值为2 C. 设是直线上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个的充要条件是 D. 设是椭圆上任意一点，则“和”的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据“和”的概念可知的轨迹为边长是的正方形，选项A正确；根据条件可得，讨论的范围得到分段函数的解析式，分析单调性可得选项B正确；类比选项B的分析可知当时，都满足使得“和”最小的点有无数个，选项C错误；设，通过辅助角公式可得选项D正确. 【详解】A.由“和”的定义得， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 根据图形可得点的轨迹为边长是的正方形，其面积为2，选项A正确. B.∵点是直线上任意一点，∴， ∴， 令，由函数解析式可知在上为减函数，在为增函数，故当时，取到最小值2，选项B正确. C．∵点是直线上任意一点，∴，∴， 当时，， 当时，， 分析单调性可知当时，都满足使得“和”最小的点有无数个，选项C错误. D. 由点是椭圆上任意一点可设， 则， 由可得“和”的最大值为，选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”.归纳“举例”提供的解题方法，归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 11. 已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ） A. 白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； B. 在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； C. 阴影部分的面积为； D. 阴影部分的内外边界曲线长为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由“水滴”形状性质可得其与轴的上下两交点之间的距离最大，可得A正确；利用圆的参数方程以及三角函数值域可得B正确；由阴影面积形状并利用割补法求出阴影部分面积，可判断C错误；利用弧长公式计算可得D正确. 【详解】对于A，由于，令时，整理得， 解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A， 则点A的坐标为，点， 白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A正确； 对于B，由于，整理得：， 所以，所以到坐标轴的距离为或， 因为， 所以，， 所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确； 对于C，由于，令时，整理得， 解得， 因为表示以为圆心，半径为的圆， 则， 且，则在x轴上以及x轴上方， 故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆， 根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧， 设，则，即所对的圆心角为， 同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为， 阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧， 设，可得，所对的圆心角为， 同理所在圆的半径为2，所对的圆心角为， 故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成， 所以它的面积是. 轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为， 第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和， 且等于， 所以阴影部分的面积为，故C错误； 对于D，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为， 轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为， 所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：解答本题有三个关键，其一是写出圆的参数方程，设出点的坐标，其二是利用割补法求不规则图形的面积，其三是利用三角函数的值域求出图形与坐标轴的交点的坐标. [第II卷 ] 三、填空题（ 5×3=15分） 12. 已知点，，，点满足，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先明确点的轨迹，再借助三角换元，把问题转化成二次函数的值域问题或辅助角公式结合正弦函数的有界性求解. 【详解】易知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆.其标准方程为：， 设，则（为参数且）， ∴． 方法一：当时，， 当时，， 令，∴， ∴ （时取等号）， 即，故的最大值为． 故答案为： 方法二：设 所以. 即，故的最大值为． 故答案为： 【点睛】方法点睛：可借助圆的参数方程，进行三角换元，把问题转化成与三角函数有关的值域问题. 13. 在极坐标系中，以极点为圆心，1为半径的圆的极坐标方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据极坐标方程的定义，即可求解. 【详解】以极点为圆心，1为半径的圆的极坐标方程为. 故答案为： 14. 已知，设点P(x,y)是单位圆是上一个动点，且满足，则当t由0连续变到时，线段AP扫过的面积是________. 【答案】 【解析】 【分析】首先找出点的轨迹，然后利用图形找到线段扫过的图形，根据三角形以及扇形面积公式即可求解. 【详解】由 可知， 点在圆心在原点，半径为1的单位圆上． 如图，当时，， 当时，点运动到， 当时，点运动到，且运动一周的时间为， 故点是顺时针运动到点，线段扫过的面积， 又， 由可得， 故线段扫过的面积为． 故答案为：． 四、解答题（ 80分） 15. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，曲线的参数方程为（为参数）. （1）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程； （2）设曲线，交于点，，已知点，求. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式化曲线的方程为直角坐标方程，消去参数化曲线的方程为普通方程. （2）求出曲线参数方程的标准形式，并代入曲线的直角坐标方程，利用韦达定理，结合直线参数方程的几何意义求解即得. 【小问1详解】 曲线的极坐标方程可以化为，而，， 因此曲线的直角坐标方程为， 消去曲线参数方程中的参数得曲线的普通方程为. 【小问2详解】 曲线的参数方程可化为（为参数）， 将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得， 整理得，， 不妨设，对应的参数分别为，，则，， 显然，又点，则，， 所以. 16. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（，为参数）.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为. （1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （2）已知直线l与x轴的交点为F，且曲线C与直线l相交于A，B两点，求的值. 【答案】（1）曲线C的普通方程为，直线l的直角坐标方程为 （2）32 【解析】 【分析】（1）由曲线C的参数方程化简可得到为；由直线l的极坐标方程为，化简可得，从而可求解. （2）求出交点，将把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C可得，从而可求解. 【小问1详解】 由曲线C的参数方程为， 则， ，当且仅当，即时，等号成立， 故曲线C的普通方程为. 直线l的极坐标方程为，，得， 由，则直线l的直角坐标方程为. 【小问2详解】 因为直线l的方程为，所以， 把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C，可得， 设A，B两点对应的参数分别为，所以， 由直线参数方程的意义可知，所以. 17. 在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． （1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程； （2）若直线l与圆C的交点为A，B，与x轴的交点为P，求的值． 【答案】（1），． （2）2 【解析】 【分析】（1）①根据圆的参数方程结合三角函数知识消去参数即可得到圆的普通方程；②根据将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程； （2）将直线l的直角坐标方程转化为直线的参数方程，再根据参数的几何意义，即可求得的值. 【小问1详解】 （1）①因为圆C的参数方程为（为参数）， 所以，即， 故圆C的普通方程为； ②因为直线l的极坐标方程为， 又，所以， 即直线l直角坐标方程为． 【小问2详解】 因为直线过定点，所以直线的参数方程为（t为参数）， 将其代入圆的方程，得， 由韦达定理得， 由t的几何意义可知，． 18. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (是参数)，是曲线上的点，所对应的参数分别为和；以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． （1）求点 的直角坐标，并求出间的距离； （2）若点 在曲线上，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分别代入参数方程即可得的坐标，则距离可求； （2）将极坐标方程化为直角坐标方程，再代入A点坐标即可求得a的值. 【小问1详解】 由题意得, 所以， ， 所以， 则； 【小问2详解】 因为,所以， 所以的普通方程为， 将代入可得. 19. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，极轴所在的直线为轴建立极坐标系，曲线是经过极点且圆心在极轴上的直径为2的圆，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为． （1）求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线的交点（异于极点）的极径； （2）若曲线的参数方程为（为参数），且曲线和曲线相交于除极点以外的两点，求线段的长度． 【答案】（1），，； （2）2 【解析】 【分析】（1）求出曲线的直角坐标方程，再化成极坐标方程；与曲线方程联立求出交点的极径. （2）把曲线的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程，与曲线的极坐标方程联立求出点的极坐标即可. 【小问1详解】 曲线的直角坐标方程为，即， 将，代入并化简得的极坐标方程为，， 由消去，并整理得，解得或， 所以所求异于极点的交点的极径为. 【小问2详解】 由消去参数得曲线的普通方程为， 因此曲线的极坐标方程为和， 由和得曲线与曲线两交点的极坐标为， 所以为极点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$