精品解析：江苏省扬州市邗江中学2024-2025学年高一上学期12月检测期末模拟(一)数学试题

2024-2025学年第一学期高一数学期末模拟（一） 命题人：王瑞丁 审核人：陈惠 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式求解即可. 【详解】. 故选：D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再结合交集的定义，即可求解． 【详解】由，得，解得， 故， ， 所以. 故选：D. 3. 关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 4. 已知是定义在R上的奇函数，时，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数运算性质，奇函数性质结合时的解析式可得答案. 【详解】. 故选：D 5. 已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ） A. 10 B. 20 C. 21 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出函数在上的零点，再根据函数的周期性计算可得. 【详解】因为当时，，令，即，解得，， 所以在上有且仅有个零点、， 又定义在上的函数满足，所以是以为周期的周期函数， 所以函数在区间上的零点个数为个. 故选：B 6. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数以及幂函数结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数在上为减函数，函数在上为增函数， 则，即， 因为对数函数在上为增函数，则， 因此，. 故选：B. 7. 设方程的根为，方程的根为，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反函数的性质，解得直线的位置关系，建立方程，可得答案. 【详解】由题意，作图如下：    由方程的根为，则函数与的交点为； 由方程的根为，则函数与的交点为. 由函数与的图象关于对称，且直线与直线垂直， 则与关于直线对称，即，， 由题意可得：，，则，， 所以. 故选：A. 8. 已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可. 【详解】令，则，且定义域， 所以为奇函数， 因为函数在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 因为， 所以原不等式可转化为， 即， 由单调性可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构造函数，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式，是解决本题的关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据同角三角函数的关系求出，再根据诱导公式逐一判断即可. 【详解】因为，， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 10. 给出下列四个选项中，其中正确的选项有（ ） A. 若角的终边过点且，则 B. C. 命题“，使得”的否定是：“，均有” D. 若，则“”是“”充分不必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A、B：根据三角函数的定义分析运算；对于C：根据特称命题的否定分析判断；对于D：根据与的推出关系判断. 【详解】对于选项A：由题意可得：，解得，故A正确； 对于选项B：设的终边与单位圆的交点为， 单位圆与x轴正方向的交线为A，作轴， 由为锐角可知：等于的长，，则，故B正确； 对于选项C：“，使得”的否定是： “，均有”，故C错误； 对于选项D：由可得，故充分性成立， 若成立，则不一定成立，如， 所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确； 故选：ABD. 11. 波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ） A. B. ，， C. 的值域为 D. 为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的定义，代入自变量的值计算函数值求解，注意根据题目所给条件对自变量的值进行分类讨论. 【详解】通过题目信息可知对于有理数和无理数具有不同的取值，且当为无理数时，： 对于A选项，代入验证易知其正确； 对于B选项，不妨设，根据的性质可得的最小值为， 当时，，当时，， 当时，若和中有无理数，则， 若和均为有理数，不妨设，其中，，，均为正整数，则，， 若与互质，则， 若与有大于的公约数，则， 综上可得，B选项正确； 对于C选项，计算可知的函数值只能是有理数，C选项错误； 对于D选项，的定义域为，，， 对于任意的，当为无理数时，和均为无理数，， 当为有理数时，可令,其中和是互质的正整数且， 则，， 综上可知对于任意都有，是偶函数，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 12. 函数的图象恒过定点P，P在幂函数的图象上，则___________. 【答案】64 【解析】 【分析】由题意可求得点，求出幂函数的解析式，从而求得. 【详解】令，则，故点； 设幂函数， 则， 则； 故； 故答案为：64. 13. 如图，分别以正五边形的顶点C、D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，的长为，则扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易知△为等边三角形，若正五边形边长为且各内角为，利用弧长公式、扇形面积公式求结果. 【详解】如下图，△为等边三角形，若正五边形边长为，且各内角为， 所以，则，故， 所以，故扇形的面积为. 故答案为： 14. 已知正实数满足方程，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】通过构造函数，通过判断其单调性得到，再利用基本不等式求最值. 【详解】令， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又由得， 即， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：通过构造函数，通过判断其单调性得到，是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂运算与对数运算公式求解. （2）利用诱导公式结合同角三角函数关系计算即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 . 16. 已知角满足. （1）若，求的值； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）确定，根据，结合角度范围解得答案. （2）确定，，，变换，计算得到答案. 【小问1详解】 ，即，又， 故，， 又，故，. 【小问2详解】 角的终边与角的终边关于轴对称，则， ，， 故. 17. 已知，，． （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得； （3）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得. 【小问1详解】 因为，，， 所以，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； 【小问3详解】 因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间，存在，，，求正数的最小值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）根据三个二次之间的关系列式求解； （2）令，根据恒成立问题结合参变分离运算求解； （3）由二次函数的对称性分和两种情况，根据题意分析运算. 【小问1详解】 ∵不等式的解集为， 则方程的根为，且， ∴，解得， 故； 【小问2详解】 若，即， 令，则， 则， ∵开口向上，对称轴为， 则在单调递减，在单调递增，且当时，， ∴，即， 故实数a的取值范围为； 【小问3详解】 的开口向上，对称轴为， ∵，根据二次函数的对称性不妨设，则有： 当时，在上单调递增， 则可得 ， 即，解得； 当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 则可得， ∵，则， ∴，即； 综上所述：， 故正数a的最小值为4. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 19. 已知函数满足．函数． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件构造关于和的方程组，即可求解； （2）首先不等式转化为在上恒成立，再通过换元，并参变分离为，，在上恒成立，转化为求函数的最值问题； （3）根据函数的解析式，并将不等式转化为，并利用换元，转化为二次函数零点分布问题，即可求解. 【小问1详解】 因为①， 则②， 故联立上述方程组，解得； 【小问2详解】 由（1）知，， 因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 设，则， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，所以， 当时，取得最大值，最大值为， 所以， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 方程等价于， 即，， 令，则方程化为，（）， 因为方程有四个不同的实数解， 所以，（），有两个不同的正根、， 记， 所以，解得. 所以． 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期高一数学期末模拟（一） 命题人：王瑞丁 审核人：陈惠 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（ ） A 或 B. C. D. 4. 已知是定义在R上的奇函数，时，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知定义在上的函数满足，当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ） A. 10 B. 20 C. 21 D. 30 6. 若，，，则、、的大小关系为（ ） A B. C. D. 7. 设方程根为，方程的根为，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 8. 已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 给出下列四个选项中，其中正确选项有（ ） A. 若角的终边过点且，则 B. C. 命题“，使得”的否定是：“，均有” D. 若，则“”是“”的充分不必要条件 11. 波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（ ） A. B. ，， C. 的值域为 D. 为偶函数 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 12. 函数的图象恒过定点P，P在幂函数的图象上，则___________. 13. 如图，分别以正五边形的顶点C、D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，的长为，则扇形的面积为______． 14. 已知正实数满足方程，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1）； （2）． 16. 已知角满足. （1）若，求的值； （2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值. 17. 已知，，． （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）求的最小值． 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间，存在，，，求正数的最小值． 19. 已知函数满足．函数． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； （3）若关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$