精品解析：山东省淄博市第十一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

高58级12月月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知幂函数在上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 3. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为，若级地震释放的相对能量为，级地震释放的相对能量为，记，n约等于　　 A. 16 B. 20 C. 32 D. 90 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，，当时，都有成立，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下说法正确的是（ ） A. “，”的否定是“， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 D. ""是真命题，则 10. 若角是第二象限角，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，对任意，，都有，当时，，且，则（ ） A. ，都有 B. 当时， C. 是减函数 D. 若，则不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数为偶函数，则实数的值为______. 13. 已知，且，则______． 14. 已知，若、、是方程的三个相异实根，则实数的取值范围为______，的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 17. 已知函数（，）在上的最大值为2，集合. （1）求的值，并用区间的形式表示集合； （2）若，对，都，使得，求实数的值. 18. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数有两个零点，求的取值范围； （3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围． 19. 定义：为函数在上的平均变化率． （1）若函数在上的平均变化率为3，证明：． （2）设，，，且． ①证明：； ②求的取值范围． 参考公式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高58级12月月考 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用三角函数的诱导公式求解即可. 【详解】 故选：B. 2. 已知幂函数在上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的定义与性质列式即可得解. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以且，所以. 故选：D. 3. “”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数的定义及复合函数的单调性结合充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】由题意易知，解得或， 且开口向上，且对称轴为， 结合复合函数的单调性知在上单调递增， 所以当时不能得出在上单调递增，即不满足充分性； 而函数在上单调递增可知， 显然成立，满足必要性. 故选：B. 4. 已知，，，则、、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性比较大小即得. 【详解】依题意，，，，， 所以、、的大小关系为. 故选：A 5. 科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r可定义为，若级地震释放的相对能量为，级地震释放的相对能量为，记，n约等于　　 A. 16 B. 20 C. 32 D. 90 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得分别代值计算，比较即可 【详解】， 当时，， 当时，， 故选 【点睛】本题主要考查了指数与对数的相互转化及指数与对数值的计算，属于基础试题． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先分析得的取值范围，再利用的解析式代入计算即可得解. 【详解】因为，即， 则，又， 所以 . 故选：C. 7. 已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，，当时，都有成立，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意分析出的单调性，且得到时，，时，的结论，然后分类讨论解不等式即可. 【详解】对于任意的，当时，都有成立， 所以在单调递增，又是定义在上的奇函数， 所以在上单调递增，且， 所以时，，时，， 又不等式或， 所以解该不等式得， 综上，不等式的解集为， 故选：D. 8. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，代入，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 由，得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为12. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下说法正确的是（ ） A. “，”的否定是“， B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为 D. ""是真命题，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A，根据充分条件和必要条件的定义可判断B选项；由扇形的弧长与面积公式可求C，对二次项系数进行讨论，分为和两种情形，结合判别式可得结果判断D. 【详解】对于A，“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，即，解得， 因为，反之不一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，扇形弧长为，圆心角为，所以扇形的半径长为， 则该扇形面积为，故C正确； 对于D，因为“，”是真命题，即，对恒成立. 当时，命题成立； 当时，，解得， 综上可得，，故D正确； 故选：ACD. 10. 若角是第二象限角，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由条件表示角的范围，求角的范围，判断其象限，结合三角函数性质判断各选项. 【详解】因为角是第二象限角， 所以，， 所以，，，， 所以当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角， 是第三象限角或是第四象限角或终边位于轴的非正半轴， 所以，，BC正确； 又当是第三象限角时，，A错误；当是第四象限角时，，D错误. 故选：BC. 11. 已知函数的定义域为，对任意，，都有，当时，，且，则（ ） A. ，都有 B. 当时， C. 是减函数 D. 若，则不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，即可求出；根据题意，当时，，所以，再结合即可得到，进而得可判断A、B；利用单调性定义结合题意证明即可判断C；由，结合题意可得，再借助函数单调性解不等式即可判断D. 【详解】对于AB，令，则，又，所以， 当时，，所以， 又， 所以，即，A错误，B正确， 对于C，设，则 ， 又，所以，所以， 又当时，，当时，，， 所以，即，所以在上单调递减，C正确， 对于D，因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以，解得， 所以不等式的解集为，D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数为偶函数，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质得到关于的方程，解之再进行检验即可得解. 【详解】因为函数为偶函数，则， 所以， 所以， 则，即，则，由的任意性得， 当时， ，其定义域为， 所以， 所以为偶函数，即满足题意. 故答案为：. 13. 已知，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由两边平方可求，判断的象限，再结合同角关系求结论. 【详解】由两边平方可得， 又， 所以，又， 所以，故， 又， 所以. 故答案为：. 14. 已知，若、、是方程的三个相异实根，则实数的取值范围为______，的取值范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作出函数的图象，数形结合可得出的取值范围；不妨设，则，利用对数的运算性质可求得的值，求出方程在时的根，数形结合可得出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】当时，， 当时，由，可得， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 所以，实数的取值范围是， 不妨设，则，则， 所以，，， 由可得，即， 所以，， 当时，由可得， 由图可得，因此，. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由求出点的值，结合三角函数定义可得； （2）利用诱导公式化简可得. 【小问1详解】 由题意知，因角的终边与轴的正半轴重合，且终边过点， 则点到原点的距离， 则； 【小问2详解】 ． 16. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合、，利用交集的定义可求得集合； （2）由题意可得，分、两种情况讨论，根据题意可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 由可得，解得，则， 因此. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，得，满足题意； 当时，则，解得， 综上所述，的取值范围是. 17. 已知函数（，）在上的最大值为2，集合. （1）求的值，并用区间的形式表示集合； （2）若，对，都，使得，求实数的值. 【答案】（1）；； （2）. 【解析】 【分析】（1）通过换元，先求得的范围，在通过，和讨论确定，再代入，利用对数函数的单调性即可得解； （2）通过换元，构造，将问题转化为为的值域的子集，再分类讨论、与三种情况，结合二次函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以在上单调递增，故， 当时，，则（舍去）； 当时，，则； 综上，； 则， 因为在上单调递增且，函数为增函数， 所以在上单调递增，， 故集合. 【小问2详解】 由（1）集合， 设，则当即时， 由对勾函数的性质可知， 故， 设，设在上的值域为，即在上的值域为， 因为对，都，使得，所以， 当，即时，则在上单调递增， 故，得； 当，即时，在上的最大值为和中的较大值， 若得，若得， 而，故不合题意； 当，即时，则在上单调递减， 故，不等式组无解， 综上，实数的值为. 【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 18. 已知函数． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数有两个零点，求的取值范围； （3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，求出，从而可求解的解集； （2）由题意可知有两个不相等的实根，化简可得，从而得，令，即在上只有两解，从而可求解； （3）当，求出在区间上的最大小值的和对恒成立，令，，从而可得，利用二次函数的性质从而可求解. 【小问1详解】 ，则， ，，，即， ． 故不等式的解集为； 【小问2详解】 函数有两个零点，即方程有两个不相等的实根， ，， ，令，则， 即方程在上只有两解，令，， 则． 当时，直线和函数的图象只有两个公共点， 即函数只有两个零点， 实数的范围是； 【小问3详解】 ，函数在上单调递增， 即函数在定义域内单调递增， 函数在区间上的最小值为，最大值为， ， 对恒成立． 令，， 对，恒成立， 在上单调递增， ， 解得，又， ． 实数的取值范围是． 19. 定义：为函数在上的平均变化率． （1）若函数在上的平均变化率为3，证明：． （2）设，，，且． ①证明：； ②求的取值范围． 参考公式：． 【答案】（1） 因为在上的平均变化率为3， 所以， 由，得， 从而，则． （2）①因为， 所以， 又，所以， 则，从而， 又， 因为a，，所以，，则，即， 又，所以，即. ②． 【解析】 【分析】（1）利用在上的平均变化率的定义求解； （2）①根据，得到，再利用证明；②先利用函数单调性定义得到在上单调递减，再由，得到的范围求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②任取， 则， 即，所以在上单调递减， 由，得， 因为，所以，解得， 则， 则，即， 故的取值范围为． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $