导数拓展专题5：导数中的数列不等式放缩问题与极值点偏移【5大题型】-【寒假衔接】2024-2025学年高二数学寒假精品讲义

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 导数拓展专题5：导数中的数列不等式放缩与极值点偏移 模块一 题型·解读 【题型1】指对数常用不等式化为数列不等式 【题型2】三角函数不等式化为数列不等式 【题型3】其它函数不等式化为数列不等式 【题型4】极值点偏移 【课后巩固训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 由函数不等式化为数列不等式的方法 取： 则： 取：则： 知识点02 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且， （1）若，则称函数在区间上极值点偏移； （2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏； （3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏 极值点偏移解题套路 构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效 极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 模块三 核心题型·训练 【题型1】指对数常用不等式化为数列不等式 【例题1】已知函数，其中 (1)若函数的图象恒不在轴上方，求实数的取值范围； (2)证明：，其中． 【例题2】已知函数. (1)若在上单调递增，求的值；(2)证明：（且）. 【巩固练习1】已知函数． (1)求函数的极值；(2)求证：． 【巩固练习2】已知函数. (1)若在上单调递增，求的值；(2)证明：（且）. 【巩固练习3】如由在点处的切线写出不等式，进而用替换x得到一系列不等式，叠加后有．这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知函数 (1)若单调递增，求a的值； (2)判断（且）与的大小，并说明理由. 【题型2】三角函数不等式化为数列不等式 【例题1】已知函数. (1)若，求实数的值；(2)已知且，求证：. 【例题2】已知函数，. (1)证明：当时，； (2)若，求a的取值范围；(3)证明：. 【巩固练习1】已知函数. (1)若，求实数的值； (2)已知且，求证：. 【巩固练习2】已知函数. (1)求的极值；(2)求证：. 【巩固练习3】已知函数. (1)当对，求函数的最小值； (2)若对恒成立，求实数取值集合； (3)求证：对，都有 【题型3】其它函数不等式化为数列不等式 【例题1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)设，，证明：． 【例题2】已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)（i）若恒成立，求的取值范围； （ii）当时，证明：. 【例题3】已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围； (3)设，证明：． 【巩固练习1】已知为正实数，函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)求证：（）. 【巩固练习2】已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)用表示出，； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 【巩固练习3】已知函数,为自然对数的底数）． (1)若对任意的恒成立，写出实数的值，然后再证明； (2)证明：（其中 ）． 【巩固练习4】已知函数． (1)若函数在区间上为增函数，求的取值范围； (2)设，证明：． 【题型4】极值点偏移 【例题1】已知函数有两个不同的零点，． （1）求实数的取值范围；（2）证明：． 【例题2】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 【例题3】已知函数有两个不同的零点． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 【巩固练习1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且，证明：，且． 【巩固练习2】已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知函数.若有两个零点，证明：. 【巩固练习4】已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若存在，且，使得，求证：. 【课后巩固训练】 1． 已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2． 设，为函数（）的两个零点． (1)求实数的取值范围；(2)证明：． 3． 已知函数. (1)求的极值； (2)对任意的，求证：. 4． 已知函数. (1)是的导函数，求的最小值； (2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数） 5． 已知函数，其中． (1)讨论函数零点个数；(2)求证：． 6． 已知函数，且. (1)求实数的取值范围； (2)设为整数，且对任意正整数，不等式恒成立，求的最小值； (3)证明：. 7． 已知函数，. (1)当时，，求实数的取值范围； (2)已知，证明：. 8． 已知函数． (1)若函数在定义域内是单调增函数，求实数的取值范围； (2)求证：，． 9． 已知函数 (1)判断函数的零点个数； (2)证明：当时，证明： 10． 设函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：当时，恒成立； (3)证明：当且时，． 11． 已知函数． (1)若，求的值； (2)证明：当且时，． 12． 已知函数． (1)证明：对恒成立； (2)是否存在，使得成立？请说明理由． 13． 函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若，求证：； (3)求证：对于任意都有. 8 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 导数拓展专题5：导数中的数列不等式放缩与极值点偏移 模块一 题型·解读 【题型1】指对数常用不等式化为数列不等式 【题型2】三角函数不等式化为数列不等式 【题型3】其它函数不等式化为数列不等式 【题型4】极值点偏移 【课后巩固训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 由函数不等式化为数列不等式的方法 取： 则： 取：则： 知识点02 极值点偏移 极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且， （1）若，则称函数在区间上极值点偏移； （2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏； （3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏 极值点偏移解题套路 构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效 极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 模块三 核心题型·训练 【题型1】指对数常用不等式化为数列不等式 【例题1】已知函数，其中 (1)若函数的图象恒不在轴上方，求实数的取值范围； (2)证明：，其中． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）解：由函数的图象恒不在轴上方，且，即恒成立，即在上恒成立，令，可得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以， 即实数的取值范围为． （2）解：由（1）知，当时，，即，当且仅当时取等号，令，可得，所以，即当时，． 【例题2】已知函数. (1)若在上单调递增，求的值； (2)证明：（且）. 【答案】(1)1；(2)证明见解析. 【详解】（1）函数，求导得，由于函数在R上单调递增，则恒成立，令，则，当时，，当时，，不满足条件；当时，，在R上单调递增，又，即，不满足条件； 当时，令，得，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，于是当时，取得最小值， 于是，即，令，则，当时，，单调递增；时，，单调递减，则，由于恒成立，因此，则有，所以单调递增时，的值为1. （2）由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号，即当时，， 因此当且时，， 而当时，，所以， 则，所以，. 【巩固练习1】已知函数． (1)求函数的极值； (2)求证：． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)证明见解析 【分析】（1）求出，分、讨论，可得答案；     （2）当时，令，可知，然后利用累加法可得答案. 【详解】（1），     当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数有极小值，无极大值． （2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号， 令，，可知，即， 即，，⋯，， 累加得． 【巩固练习2】已知函数. (1)若在上单调递增，求的值； (2)证明：（且）. 【答案】(1)1；(2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，根据给定条件可得恒成立，再利用导数分类讨论求解作答. （2）利用（1）的结论得当时，，取，利用不等式的性质结合裂项相消法求和作答. 【详解】（1）函数，求导得， 由于函数在R上单调递增，则恒成立， 令，则， 当时，，当时，，不满足条件； 当时，，在R上单调递增， 又，即，不满足条件； 当时，令，得， 则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 于是当时，取得最小值， 于是，即， 令，则， 当时，，单调递增；时，，单调递减， 则，由于恒成立，因此，则有， 所以单调递增时，的值为1. （2）由（1）知，当时，，即有，当且仅当时取等号，即当时，， 因此当且时， ， 而当时，， 所以， 则，所以，. 【巩固练习3】建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换x得到一系列不等式，叠加后有．这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】令，则，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，，故，当且仅当时等号成立，A选项：时不等式左右两端相等，故错误；B选项：将中的替换为，可得，当且仅当时等号成立， 令，可得，所以，故，其中， 所以，B正确；C选项：将中的替换为，显然，则， 故，当时，，故成立；当时，显然成立，故正确；选项：将中的替换为，其中，且，则，则，故，则，又，D错误.故选：BC． 【巩固练习4】已知函数 (1)若单调递增，求a的值； (2)判断（且）与的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题意，由单调递增，转化为恒成立，然后分，，讨论，即可得到结果； （2）根据题意，由（1）可得时，，然后再由放缩，裂项即可得到结果. 【详解】（1）由可得，， 由于函数单调递增，则恒成立， 设，则， 当时，，可知时，，不满足题意； 当时，，函数单调递增， 又因为，即，不满足题意； 当时，令，解得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 由可得，，令，则， 可知时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 则，由于恒成立， 所以，当且仅当时取等号， 故函数单调递增时，实数的值为. （2）. 理由如下： 由（1）可知，当时，，即有， 则时，， 故当且时， ， 因为时，， 所以， 则， 所以. 【题型2】三角函数不等式化为数列不等式 【例题1】已知函数. (1)若，求实数的值； (2)已知且，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意分析得到是函数的极小值点，则解得再代入验证符合题意； （2）由（1）可得，.令得到.令，利用导数证明出，得到，累加即可证明. 【详解】（1）由，得. 令，则. 注意到，所以是函数的极小值点，则， 所以，得. 当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，满足条件，故. （2）由（1）可得，. 令，则， 所以，即. 令，则，且不恒为零， 所以函数在上单调递增， 故，则， 所以， 令分别取，累加得： . 即证. 【例题2】已知函数，. (1)证明：当时，； (2)若，求a的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析 【详解】（1），记，，故单调递增，又，单调递增，所以，即. （2），，若时，，则存在区间，使得单调递增， 故必有，即，验证：当时，.由（1）可知， ，即在上单调递增，满足题意，综上，. （3）由（2）可知，当，时，，取，则①， .②，，综上. 【巩固练习1】已知函数. (1)若，求实数的值； (2)已知且，求证：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）由，得.令，则. 注意到，所以是函数的极小值点，则，所以，得.当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，满足条件，故. （2）由（1）可得，.令，则，所以，即. 令，则，且不恒为零，所以函数在上单调递增， 故，则，所以，令分别取，累加得：.即证. 【巩固练习2】已知函数. (1)求的极值； (2)求证：. 【答案】(1)的极大值为，没有极小值；(2)证明见解析 【详解】（1）因为函数，所以， 设，，所以在上单调递增.又，所以当时，；当时，.又因为对恒成立，所以当时，；当时，.即在区间上单调递增，在区间上单调递减，故，没有极小值. （2）由（1）可知，所以当且仅当，取“＝”. 由（1）得，累加得；由②得， 累加得.综上所述，. 【巩固练习3】已知函数. (1)当对，求函数的最小值； (2)若对恒成立，求实数取值集合； (3)求证：对，都有 【答案】(1)0 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，得到函数单调性，从而求出最小值； （2）先根据，得到，再证明出充分性成立，而与均不合要求，从而得到答案； （3）由第一问结论得到，只需证明，由（2）可知，，得到，结合等比数列求和公式证明出. 【详解】（1）在上单调递增， 所以. （2）， 由于，故， 下证当时，恒成立， 此时令，解得：， 令，解得：， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，也是最小值， 且， 故对恒成立； 当时，，则，显然不合要求，舍去 当时，令，解得：， 令，解得：，其中， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，故当时，，不合题意，舍去； 综上：实数取值集合为. （3）由（1）可知，，， 所以 故只需证明：即可 由（2）可知，， 则， ， 令，则， ， . 【题型3】其它函数不等式化为数列不等式 【例题1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)设，，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，分，和讨论导函数的正负，进而判断函数的单调性； （2）将不等式等价转化为，构造函数（），利用导数判断函数的单调性，进而求解即可； （3）结合前面的解析，取时，则，利用不等式的放缩即可证明. 【详解】（1）由题意可知的定义域为， 令，则， ①当时，，在上恒成立，在上单调递减． ②当时，， 时，， 时，，时，， 故在单调递减，在单调递增，在单调递减． ③当时，，时，， 时，，时，， 故在单调递减，在单调递增，在单调递减． （2）当时，恒成立， 故，所以，即， 由得，令（）， 则， 令，则， 在单调递增，则， 即在恒成立，故在单调递增． 所以，故在恒成立． 由在单调递增，而，，故． （3）取时，，则， 所以， 因此， 则. 【例题2】已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)（i）若恒成立，求的取值范围； （ii）当时，证明：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）（i）由题意可得，设，其中，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，在、的情况下，验证在上能否恒成立，在时，可得出，求出实数的取值范围，综合即可得解； （ii）当时，；结合（i）中所求，可得，在时，直接验证结论即可；在时，利用不等式进行适度放缩，结合裂项求和，即可容易证明. 【详解】（1）解：因为，则，其中， 所以，，， 所以，函数在点处的切线方程为，即. （2）解：（i），可得. 令，其中，则. ①当时，，合乎题意； ②当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 所以，， 所以，不恒成立，不合乎题意； ③当时，， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是； （ii）当时，，所以. 由（i）知：，即，所以. 令，得，即，所以. 当时，，则，显然，结论成立； 当时， ，结论成立. 因此，当时，成立. 【例题3】已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，若不等式恒成立，求的取值范围； (3)设，证明：． 【答案】(1)递增区间为，递减区间为 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出单调区间； （2）转化为在上恒成立，令，分和两种情况，求导，结合导函数特征，再分类讨论，求出的取值范围； （3）在（2）基础上得到，赋值得到，利用累加法得到结论. 【详解】（1）当时，， 则， 令，得；令，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）由，得， 设， 当时，， 所以当时，，不符合题意． 当时，， 设， 其图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 当，即时， 因为， 所以当时，，即， 此时单调递增，所以，不符合题意． 当，即时，在上单调递减， 所以， 所以，所以在上单调递减， 所以，符合题意． 综上所述，的取值范围为． （3）由（2）可得当时，，即， 令，则， 所以， 以上各式相加得， 即， 所以． 【巩固练习1】已知为正实数，函数. (1)若恒成立，求的取值范围； (2)求证：（）. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分类讨论判断单调性，结合恒成立问题运算求解； （2）根据（1）可得不等式可证，构建，利用导数证明，结合裂项相消法可证. 【详解】（1）， ①若，即，，函数在区间单调递增，故，满足条件； ②若，即，当时，，函数单调递减，则，矛盾，不符合题意. 综上所述：. （2）先证右侧不等式，如下： 由（1）可得：当时，有，则， 即，即， 则有 即，右侧不等式得证. 下证左侧不等式，如下： 构建，则在上恒成立， 故在上单调递减，则， 即，可得，即， 则有， 即， ∵， 则， 故，左侧得证. 综上所述：不等式成立. 【巩固练习2】已知函数的图象在点处的切线方程为. (1)用表示出，； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1). (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）根据导数的结合意义，列出等式，即可求解； （2）由在上恒成立，设函数，求得其导数，分类讨论，判断函数单调性，根据不等式恒成立，求得参数范围. （3）利用（2）的结论，可得当时，，令 ，则可推得，将这n个不等式累加,即可证明结论. 【详解】（1）由可得， 则，且， 则. （2）由（1）知，， 令， 则 ， 当时，， 若，则，是减函数，所以 ，这与题意不符； 当时， ， 若，则，仅当时等号成立，是增函数， 所以，即恒成立，仅当时等号成立， 综上所述，所求a的取值范围为. （3）由（2）知，当 时，有 ， 取，有，且当时，， 令，则 ， 即， 即，，，， 将上述n个不等式依次相加得 ， 两边加，整理得 【点睛】关键点点睛：证明不等式时，要利用（2）中结论，即当 时，有 ，取，有，且当时，，因此解答的关键点就在于要采用赋值的方法，即令，得到，然后采用累加的方法，即可证明. 【巩固练习3】已知函数,为自然对数的底数）． (1)若对任意的恒成立，写出实数的值，然后再证明； (2)证明：（其中 ）． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1) 对任意的恒成立, 即在上, .构造函数 ，由, 确定函数的单调性, 即可求得实数的值; (2) 由 (1) 知, 对任意实数 均有, 即 , 令 ,, 可得 , 从而有 , 由此即可证得结论. 【详解】（1）由题意，由得. 当时， ；当时，. ∴在单调递减，在单调递增.   即在处取得极小值，且为最小值， 其最小值为   对任意的恒成立，即在上，. 设，所以.由得. ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减 ∴在处取得极大值.因此的解为，∴ （2）因为，所以对任意实数均有，即. 令,，则. . . 【巩固练习4】已知函数． (1)若函数在区间上为增函数，求的取值范围； (2)设，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性可得相应不等式恒成立，分离参数，结合基本不等式即可求得答案； （2）集合（1）可得，变形可得，令，则可得，累加即可证明结论. 【详解】（1）由已知得， 则． 因为在上单调递增，所以恒成立， 即， 由于，当且仅当时取等号， 所以，当时，， 仅在时取等号，适合题意， 故. （2）由（1）可知当时，，即， 即，可得． 令，则，即， 所以， 即． 【题型4】极值点偏移 【例题1】已知函数有两个不同的零点，． （1）求实数的取值范围；（2）证明：． 【解析】解：（1）函数 ， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 故当时，函数取最小值， 若函数有两个不同的零点，． 则，即； 证明：（2）若函数有两个不同的零点，．不妨设， 则，且， 若证．即证， 构造函数，， 所以， 所以，， 令，则，所以单调递增， 所以（1）， 所以，所以（1）， 即，， 又，所以 因为在区间上单调递增， 所以，故原不等式得证． 【例题2】已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 【答案】（1）在上单调递增，上单调递减， （2）见解析 【解析】 【小问1详解】 由题意可得，所以， 的定义域为， 又，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 【小问2详解】 由，得，设， ，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又，，且当趋近于正无穷，趋近于， 的图象如下图， 所以当时，方程有两个根， 证明：不妨设，则，， 设， ，所以在上单调递增， 又，所以，即， 又，所以， 又，，在上单调递减，所以， 故. 【例题3】已知函数有两个不同的零点． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求出导函数，当时，不满足题意；当时，求出函数的单调性，再求出极大值，即可得解； （2）要证，即证，构建函数，即可得证，再证，即证，只需证，即，构建函数，即可得证. 【详解】（1）由题意，， 当时，，函数单调递增，不满足要求； 当时，令，得， + 0 递增 极大值 递减 令，得． 设，于是， 所以在上单调递增，故， 故， 所以由零点存在定理可知，存在，使得； 存在，使得. 故当时，函数有两个不同的零点． （2）由题意，令，且不妨令，则有（*） 两式相减可得，， 要证．即证． （**） 令，则（**）即为． 设，则， 所以在上单调递减，所以，即有 （*）两式子相加得，， 则要证即证，由上式只需证， 即证（***） 令（***）． 设，则， 所以在上单调递增，所以，即有． 故. 【巩固练习1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且，证明：，且． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数的单调性； （2）变形为是方程的两个实数根，构造函数，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到，再构造差函数，证明出. 【详解】（1）的定义域为R， 由题意，得，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当，且当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）证明：由，得，是方程的两个实数根， 即是方程的两个实数根． 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以． 因为当时，；当时，，，所以． 不妨设，因为，是方程的两个实数根，则． 要证，只需证． 因为，， 所以只需证． 因为， 所以只需证． 令，， 则 在恒成立． 所以在区间上单调递减， 所以， 即当时，． 所以， 即成立． 【巩固练习2】已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知与有两个不同的交点，利用导数研究函数性质，结合图象确定的范围，判断A，要证明只需证明，结合函数单调性只需证明，故构建函数，利用导数证明结论，判断B，利用比差法比较，判断C，利用的范围，结合指数函数性质证明，判断D. 【详解】方程，可化为， 因为方程有两个不等的实根， 所以与有两个不同的交点， 令，则， 令，可得， 当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增， ， 当时，，且，当时，， 当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长， 故， 当时，，， 根据以上信息，可得函数的大致图象如下： ，且，故A正确． 因为， 构造， ， 在上单调递增， ， ，即， 由在单调递增 所以，故B正确． 对于C，由，， 所以， 又，所以，则，所以，故C错误． 对于D，由，可得， 所以，D正确． 【巩固练习3】已知函数.若有两个零点，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】利用构造函数法，从而只需证明，即可求解. 【详解】由题意得，令，则，， 所以在上单调递增，故至多有解； 又因为有两个零点，所以，有两个解， 令，，易得在上递减，在上递增，所以. 此时，两式相除，可得：. 于是，欲证只需证明：， 下证： 因为， 不妨设，则只需证， 构造函数，则， 故在上单调递减，故，即得证， 综上所述：即证. 【巩固练习4】已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若存在，且，使得，求证：. 【解】（1）当时，，所以， 又，所以， 曲线在点处的切线方程为：； （2）因为，且， 令，，因为，， 即函数在上单调递增， 由，得， 所以函数在上小于零，在上大于零， 因为，的符号和函数的符号一致， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； （3）因为， 所以时，，且， 则，即， 若，且，， 所以，取自然对数得：， 即， 由得：， 即， 所以， 令， 设，所以， 所以时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 下面证明：，又，即证， 即证，即证， 令， ， 所以在区间上单调递增， 所以，从而得证； 故， 即，所以， 所以，得证. 【课后巩固训练】 1． 已知函数有两个零点，，则下列判断：①；②；③；④有极小值点，且.则正确判断的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【解析】利用函数的导数，判断函数的单调性，对四个选项分别进行判断，即可得出结论. 【详解】对于① 当时，在上恒成立，在上单调递增,不符合. 当时，由，，解得， ，解得 在单调递减，在单调递增．在有极小值， 函数有两个零点， ，， ①不正确； 对于② 因为， ， 取，，，，， ②不正确； 对于④ 函数的极小值点为 要证，只要证 因为函数在单调递减，故只需要证 构造函数 求导得到 所以函数单调递增，恒成立， 即，故得到 进而得证：，. 故④正确. 对于③ 因为 根据，可得到. ③不正确. 综上正确的只有一个 2． 设，为函数（）的两个零点． (1)求实数的取值范围；(2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出定义域，求导，得到的单调性和极值情况，根据函数零点个数，得到，求出，结合题目条件，得到当时，，根据零点存在性定理得到在内存在唯一零点，同理得到在内存在唯一零点，从而求出答案； （2）设，由可得，令，故，，推出要证，即证，构造，，求导，对分子再构造函数，证明出，在定义域内单调递减，故，即，证明出结论. 【详解】（1）的定义域为R，， 当时，，当时，， 故在内单调递减，在单调递增， 故要使有两个零点，则需，故， 由题目条件，可得， 当时，因为，又， 故在内存在唯一零点， 又，故在内存在唯一零点， 则在R上存在两个零点，故满足题意的实数的取值范围为； （2）证明：由（1）可设，由可得， 令，则，所以，故， 所以， 要证， 即证， 即证， 因为，即证，即， 令，，， 令，则，当时，， 当时，， 故在内单调递减，在单调递增，所以， 所以，令得， 故，在定义域内单调递减， 故，即，，， 则，证毕． 3． 已知函数. (1)求的极值； (2)对任意的，求证：. 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)证明见解析 【分析】（1）根据导函数求单调性求极值即可； （2）根据（1）结论结合数列求和得证. 【详解】（1）因为， 则， 当时，，时， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，无极大值. （2）由（1）知在上单调递增， 故时， 即：，令得， 化简得：， 于是有：，，， 累加得： 即 4． 已知函数. (1)是的导函数，求的最小值； (2)证明：对任意正整数，都有（其中为自然对数的底数） 【答案】(1)0； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意得，求导判断单调性即可求解； （2）由（1）可得可知，当且仅当时等号成立，令，则.借助数列的裂项求和的方法和对数的运算性质即可证明. 【详解】（1）由题意，， ， ， 令，解得， 又时，时，， 所以在上单调递减，在单调递增， ，即的最小值为0. （2）证明：由（1）得，， 可知，当且仅当时等号成立， 令，则. ， 即， 也即， 所以， 故对任意正整数，都有. 5． 已知函数，其中． (1)讨论函数零点个数；(2)求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分类讨论的取值，即可根据导函数的正负确定函数的单调性，进而可求解， （2）根据，取，利用累加法，结合指对互化即可求解. 【详解】（1） ①当时，即在单调递减， 又，只有一个零点. ②当时，令则， 当时，当时， 故在单调递增，在单调递减， ， 令，则， 故当时，单调递减，当时，单调递增， 故， 又，， 故当时，只有一个零点， 当且时，有两个零点， 综上可知：故当或时，只有一个零点， 当且时，有两个零点， （2）由（1）可知，当时，在单调递减， 故当时，，故， 取，则，即， 相加可得， ， 6． 已知函数，且. (1)求实数的取值范围； (2)设为整数，且对任意正整数，不等式恒成立，求的最小值； (3)证明：. 【答案】(1)；(2)2；(3)证明见解析 【详解】（1）法一：在上恒成立在上恒成立 设，①当时，恒成立在上单调递增，且时，不符合题意，舍去，②当时，令，则；令，则. 在上单调递减，在上单调递增.设，令，则；令，则.在上单调递增，在上单调递减，即当时，的取值范围是：. 法二：在上恒成立，是上最小值，也是极小值，即，当时， 令，则；令，则，在上单调递减，在上单调递增 即，满足：在上恒成立， （2）由（1）知，，即在上恒成立（当且仅当时取等）令，则. 即又且的最小值为2. （3）不等式在上恒成立（当且仅当时取等）令，则，即.令，则，即故. 7． 已知函数，. (1)当时，，求实数的取值范围； (2)已知，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）解：令，则，当时，，则函数在上单调递增，当时，，则函数在上单调递减，所以，，即，所以，当时，，即，当时，取， 由于，而，得，故，不合乎题意. 综上所述，. （2）证明：当时，由（1）可得，则，可得，即，即， 令，所以，，所以，，即，所以，，，令，则，且不恒为零，所以，函数在上单调递增，故，则，所以，，，所以， . 8． 已知函数． (1)若函数在定义域内是单调增函数，求实数的取值范围； (2)求证：，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）分析可知在上恒成立，利用参变量分离法结合基本不等式可求得实数的取值范围； （2）利用（1）中的结论分析可得出当且，，推导出，，，，，利用不等式的基本性质结合等差数列的求和公式可证得结论成立. (1) 解：因函数在定义域为，， 因为函数在定义域内是单调增函数，所以在上恒成立， 所以，， 当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以，，解得. (2) 证明：由（1）知当时，函数在上是单调增函数， 且当时，， 则，所以，， 所以，当且，， 所以，，，，，， 将上述不等式相加得 ， 即，故原不等式得证. 9． 已知函数 (1)判断函数的零点个数； (2)证明：当时，证明： 【答案】(1)2个；(2)证明见解析 【详解】（1）函数，定义域为，，，设，则，则在上单调递减，即在上单调递减，当时，，此时单调递增，，故函数无零点.下证：当时，，令，则， 当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 故，也即，故，当时，单调递减，， ，所以存在唯一的，使得函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以在上存在一个零点. 综上：函数恰有两个零点. （2）由（1）可知，在上恒成立，于是可得，其中，以上各式左右相加得，，所以. 10． 设函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：当时，恒成立； (3)证明：当且时，． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析 【详解】（1）因为定义域为，又，故，故切线方程为，即. （2）令，，则 当时，，单调递增，故，即当时，，即当时，恒成立； （3）由（2）可知当时，恒成立，且当且仅当时，所以当时，恒成立，令，且，得，即，由此可得，，，…… ，将以上个式子相加得，且. 11． 已知函数． (1)若，求的值； (2)证明：当且时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出的导数，分类讨论，确定函数的单调性，利用成立，求出； （2）由（1），当时，即，令，则有，可得，累乘可证得结果. 【详解】（1）由题意知，，， ①当时，，在上单调递减， 所以，当时，，不合题意； ②当时，由得，，则在上单调递增， 由得，，则在上单调递减， 所以，，不合题意； ③当时，由得，，则在上单调递增， 由得，，则在上单调递减， 所以，对于任意的，，符合题意； ④当时，由得，，则在上单调递增， 由得，，则在上单调递减， 所以，，不合题意． 综上所述，． （2）由（1）知，时，即，当且仅当时等号成立． 令，其中且，则有， 又，所以，，即 所以． 所以，原不等式得证． 12． 已知函数． (1)证明：对恒成立； (2)是否存在，使得成立？请说明理由． 【解析】（1）证明：由，得，令，得， 令，得，，且当且仅当， 所以在上单调递增，故，且当且仅当，所以在上也单调递增，故，且当且仅当，所以在上仍单调递增，故； （2）对于右侧：由（1）可知，当时，，即，故， 所以 ， 所以该侧不等号始终成立；对于左侧：由（1）可知当时，．设，，则．在上有，所以在上单调递增，故当时，．此时，令，可知，所以当时， ，令，注意到，所以可得到一个充分条件，即，所以任取，则该侧不等式成立，（表示整数部分），因此，对于任意，原不等式都成立．即所求的n是存在的 13． 函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，若，求证：； (3)求证：对于任意都有. 【答案】(1)答案见解析,(2)证明见解析,(3)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，分，和三种情况，求解函数单调区间； （2）令，构造，求导得到其单调性，进而得到，进而得到，不妨设，则，推出，由的单调性得到，证明出结论； （3）由（2）知，时，，变形得到在时恒成立，从而得到不等式，相加得到答案. 【详解】（1）函数的定义域是. 由已知得，. ①当时， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. ②当时， 当时，单调递增. ③当时， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 综上，①当时，函数单调递增区间为，，单调递减区间为； ②当时，函数单调递增区间为，无单调递减区间； ③当时，函数单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）当时，. 由（1）知，函数在单调递增且； 令 ， 令， 令，解得；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 令，则，则， 故， 所以恒成立， 不妨设，则， 所以，所以， 因为，而在单调递增， 所以，所以. （3）由（2）知，时，， 即， 故在时恒成立， 所以， ， ， ……， ， 相加得. 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $$