导数拓展专题4：指对同构【8大题型】-【寒假衔接】2024-2025学年高二数学寒假精品讲义

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 导数拓展专题4：指对同构 模块一 题型·解读 【题型1】同构训练 【题型2】化为和差同构模型 【题型3】化为乘积，商式同构模型 【题型4】添项后构造乘积型同构模型 【题型5】添项后构造和差型同构模型 【题型6】同构后再换元构造新函数 【题型7】同构后放缩 【题型8】必要性探路 【巩固训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 常见同构模型 （1）乘积同构模型： （2）商式同构模型： （3）和差同构模型： 知识点02 六大超越函数图像 表达式 图像 极值点 知识点03 添项同构 乘法同构：，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数 加法同构：，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围. 知识点04 常见结构 ①； ②； ③ ④； 模块三 核心题型·训练 【题型1】同构训练 【例题】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数． (1) 【解析】(1)显然，则，. (2) 【解析】(2)显然，则，. (3) 【解析】(3)，. (4) 【解析】(7)，. (5)． 【解析】(8)，. 【巩固练习1】； 【解析】显然，则，. 【巩固练习2】 【解析】显然，则 ，. 【巩固练习3】 【解析】，，. 【题型2】化为和差同构模型 【例题1】已知，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】 设，显然是增函数， 不等式变形为，即，所以．所以，令，则， 当时，，单调递增，时，，递减， 所以， 不等式恒成立，则．即的最小值是． 【例题2】已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】不等式可变形为. 因为且，所以. 令，则. 所以函数在上单调递增. 不等式等价于，所以. 因为，所以. 设，则. 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以，所以. 故正实数的取值范围是. 【巩固练习1】函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为_________． 【答案】 【分析】将条件转化为，然后设，则问题转化为，进而根据函数为增函数得到，最后通过分离参数求得答案. 【详解】由题意，，设，则问题可转化为. 因为是上增函数（增+增），所以恒成立. 设，则，时，单调递增，时，单调递减，所以，于是. 故答案为：. 【巩固练习2】已知函数，若在，上恒成立，则实数的取值范围为　 　． 【答案】 【解答】解：由在，上恒成立， 得：在，上恒成立， 易知当，，时，，， 令函数， 则，单调递增， 故有，则在，上恒成立， 令，则， 易得在，上单调递增，在，上单调递减， 故（e）， 故，即实数的取值范围是． 总结：结构上的变形处理会麻烦一些，要由定义域所决定的函数单调性 也可以这样构造： 令 【巩固练习3】已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围． 【解答】解析：（1）当时，，，， 显然在单调递增，且， 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 在处取得极小值，无极大值． （2）函数有两个零点，即有两个解，即有两个解， 设，则，单调递增， 有两个解，即有两个解． 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． ，，当时， ． 【题型3】化为乘积，商式同构模型 【例题1】已知函数，，证明：当时，. 原不等式为，即， 即证在上恒成立， 设，则， 所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 令， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，所以， 且在上有，所以可得到，即， 所以在时，有成立. 【例题2】.已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______． 【答案】 【解析】，∴， 构造函数，显然在上单调递增， 故等价于，即任意的实数恒成立，． 令，则， 故在上单调递减，在上单调递增，，得． 【巩固练习1】设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质将不等式等价为恒成立，构造函数，，利用导数求解函数单调性进而得最值即可求解. 【详解】因为，不等式成立，即，进而转化为恒成立， 构造函数，可得， 当，，单调递增，则不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，即恒成立， 设，可得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当，函数取得最大值，最大值为， 所以，即实数m的取值范围是．故选：B． 【巩固练习2】已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为恒成立，令，利用导数求得为单调递增函数，得到恒成立，进而转化为恒成立，构造函数，利用导数求得单调性和最小值，即可求解. 【详解】因为，所以整理不等式， 可得，转化为恒成立， 令，则， 因为，所以在上单调递增，所以恒成立， 又因为，所以， 所以对任意的恒成立，即恒成立， 构造函数，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，当时，，所以，即． 【题型4】添项后构造乘积型同构模型 【例题1】已知是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是 ． 【答案】 解析：由．令，则在上单调递增， 且，所以，即对恒成立． 令，则，所以当时，；当时，， 故在上的最大值是，所以，即实数m的最小值是．故答案为：． 总结：同乘补全结构即可，入门型 【例题2】实数x，y满足，则的最小值为________ 【答案】 令 由洛必达法则可知，由此可得，，令， ，故在，，故 总结：常规指对同构，需要结合洛必达法则作出函数图像 【巩固练习1】对，恒有，则实数a的最小值为________. 【答案】 同乘x： 构造函数：令，则有 研究单调性：，故 (参考图像) 【巩固练习2】 【巩固练习3】 【题型5】添项后构造和差型同构模型 【例题1】已知不等式恒成立,则实数a的最大值为_______ 【答案】 令，则有 可放缩 补充：构造函数求导 令， 故g(x)在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，因此. 因为不等式恒成立，所以Ina≤2，即 总结：指对分离，补全结构，最后的最值可以放缩得出. 补充：对右边的式子配凑也可以 【例题2】已知函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由移项得： （说明：将变量移至一边的原则进行变形） 即，两边同时加（x－1）得 （说明：系数升指数、按左右结构相同的原则进行变形） 即 设，则，所以单增 所以，即 设，则，所以在单减，在单增， 所以，所以. 【巩固练习1】已知不等式对恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 解析：易得：， 即：， 构造函数，∴． 易知在为增函数；∴， 令，， 当时，，在为增函数，，∴； 当时，；，；时，； ∴，∴，综上：． 总结：最后不等式要注意x取值范围 补充：对于，也可以分参 【巩固练习2】设，都为正数，为自然对数的底数，若，则　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由已知，则， 设，则， ，则，又，，则，即，从而， 当时，，则在内单调递增， ，即. 【巩固练习3】关于的不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 解析：由，令，则， 显然在R上单调递增，所以恒成立，即对恒成立． 令，则，所以当时，；当时，， 故在上的最大值是，所以．故答案为：． 【题型6】同构后再换元构造新函数 【例题1】已知，若关于x的恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】 【简证】恒成立等价于恒成立， 即，则有 令，，则有（构造函数求导得出最值，过程略） 总结：同构+换元 【巩固练习1】已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是( ) A． B． C． D． 方法1：同构 要使恒有零点，只需 设，求导可知 而，求导可知函数在上单调递增，故 方法2：分参求导 ，令，则 ∵ 故在递增，递减，故，故选B. 注：由常见不等式得到，即； 或者令，，因为,故 方法3：直接求导（可以消掉k） ， 不难得出在上恒小于0，故在上单调递增，在上递减，故，当时，，故的值域为， 则. 【巩固练习2】已知函数，若函数恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】 恒成立，等价于， 令，，则有等价于y1＝ex的图像恒在y2＝ax的上方 首先，y2＝ax在一，三象限，即a≥0， 过原点作y1＝ex的切线，切线方程方程为y＝ex，故a≤e. 总结：部分同构+过某点的切线斜率 思考1：分参是否可行？ 答：不行，要讨论正负 补充：这样分参可行 ，时也满足， 综上. 【巩固练习3】已知函数，若不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】 法一：部分同构+转换为相切临界问题 函数的定义域为，即在上恒成立 即，令，易证（略） 则有，即图像在图像下方，过原点作切线，切线方程为，切点为 故 法二：部分同构+分参 ，令，易证（略）， 法二：由分离常数，利用构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 函数的定义域为，不等式恒成立， 即在上恒成立， 记，则， 得到在区间上单调递减， 在上单调递增， 则，即在区间上恒成立， 分离变量知：在上恒成立，则， ， 由前面可知，当时，恒成立，即， 所以在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 所以，所以． 【题型7】同构后放缩 【例题1】已知a＞b＞1，若，则 A．ln(a＋b)＞1 B．ln(a－b)＜0 C． D． 【答案】A 总结：一般都是去括号，这题反过来，可能一下子看不出来，后续计算量很小 第一步，提公因式： 第二步，局部同构： 第三步，构造函数：令，易知在，则有， 故，则A正确 【例题2】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 解：由题意得：恒成立， 则需要满足，显然恒成立，故只需，即. 【巩固练习1】已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是____________ . 【答案】 在上恒成立等价于 第一步，错位同构：， 第二步，构造对应函数：令，则有 第三步，分析单调性，定义域：易知，故在上单调递减 第四步，由单调性求出参数范围： 【巩固练习2】若正实数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 解析：由，令 因为，当且仅当取到等号，所以， 故，所以， 令，则，易得在上递增，在递减， 即，所以．故答案为：． 总结：局部构造+放缩不等式 【巩固练习3】已知函数，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 第一步，同乘x： 第二步，同减2x： 第三步，切线放缩：， 故 【题型8】必要性探路 【例题1】已知函数对任意的，恒成立，则实数的取值范围为( ) A．(-∞，0] B．(-∞，2] C．(-∞，1] D．(-∞，3] 【答案】 【简析】由恒成立可得，， 不等式两边同减2x可得，达成局部同构 注意到不等式右边有最小值0，但是不能直接说，因为左边也有x 所以这里用必要性探路：当时，存在使得， 此时，故时，不恒成立，排除D 而当时，显然恒成立，由此排除AC 如果是解答题，再证当时，因为，故，而，故时，恒成立，如果是选填题就直接放缩即可，但是作为解答题时从逻辑的完整性来说需要用必要性探路 【巩固练习1】已知关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为________. 【答案】 第一步，同除a： 第二步，移项，同加： 第三步，指对转化： 第四步，构造函数求出范围：令， 则有 第五步，切线放缩或者构造函数求出最值：由 总结：添项法+切线放缩或构造2次函数 【巩固练习2】已知函数. (1)求的极值； (2)当时，，求实数的取值范围. 【答案】（1）有极小值，无极大值；（2） 【解析】（1）求导得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. （2）由题知不等式在上恒成立， 原问题等价于不等式在上恒成立， 即在上恒成立. 可以令，，则有，故 常规方法 记，则，当单调递减，单调递增， 因为即， 当时， 因为，所以不等式恒成立，所以； 当时，令，显然单调递增，且， 故存在，使得，即，而，此时不满足，所以无解. 综上所述，. 【巩固练习3】若当时，关于x的不等式恒成立，则满足条件的a的最小整数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【详解】第一步，同除同构：，所以，恒成立，即，即 第二步，换元，求导得出参数范围：令，则有 第三步，放缩：，故，即 第四步，分离参数求出范围： 令，令 ，因为， 故，， 也可以取特殊值：令， 又易知，据此可以判断满足不等式成立， 故最小整数为1． 补充：把x=0代入，刚好取等，余弦放缩： 令单调递增；单调递减； 易证， 且，所以，所以，即． 【巩固训练】 1． 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（ ）. 【答案】 【解析】变形为，构造函数，等价转化为，即，只需，答案为. 1． 已知正数x，y满足ylnx+ylny＝ex，则xy﹣2x的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：正数x，y满足ylnx+ylny＝ex， 所以yln（xy）＝ex，即xyln（xy）＝xex， 所以ln（xy）•eln（xy）＝xex， 令g（x）＝xex，（x＞0），则g′（x）＝（x+1）ex＞0， 所以g（x）在x＞0时单调递增，故x＝ln（xy），即xy＝ex，所以xy﹣2x＝ex﹣2x， 令f（x）＝ex﹣2x，（x＞0），则f′（x）＝ex﹣2， 当x＞ln2时，f′（x）＝ex﹣2＞0，f（x）单调递增，当x＜ln2时，f′（x）＝ex﹣2＜0，f（x）单调递减，故当x＝ln2时，f（x）取得最小值f（ln2）＝2﹣2ln2， 所以xy﹣2x的最小值为2﹣2ln2 2． (多选)已知，若关于x的方程存在正零点，则实数的值可能为 A． B． C． D． 【答案】CD ，没完全同结构 令，则有，令， 则则有， 求导可知函数在，在，即. 总结：先除λ再进行局部同构，比较有挑战性 3． 若不等式恒成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D．， 【答案】A 【法一】：同构 构造函数，故 而，则，即 令，则，故，则. 对于还可以直接分类参数： 总结：需要同加x才能补全结构 【法二】：整体求导、取点 设，则，， ， 易知在上为增函数， 存在，使得， 即， 两边取对数，可得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ， 不等式恒成立， 恒成立， 恒成立， ，当且仅当时取等号， ，即，故的取值范围是，． 4． 若不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由题意得恒成立，令，则恒成立，利用的单调性可得在时恒成立，即恒成立，构造函数，由其单调性得，即可得出答案. 【详解】因为，恒成立， 即恒成立． 令，则恒成立． 因为恒成立，故单调递增， 所以在时恒成立， ∴恒成立． 令， ． 令，则 ∴单调递减．∴，即， ∴单调递减，故． 则正实数的取值范围是. 5． 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 解析：由已知， 令，则，显然在上单调递增， 所以对恒成立． 令，则，所以当时，；当时，， 故在上的最大值是，所以．故答案为：． 总结：同乘补全结构，再指对分离即可 6． 对于任意实数，不等式恒成立，则取值范围是__________. 【答案】 【详解】不等式恒成立等价于即， 第一种：，令，故 第二种：，故 ，还取啥对数呀 由于为增函数， 所以由，得，即恒成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减 易得， 所以，所以的取值范围是. 补充： 令，则有 总结：构造比较麻烦，需要多尝试 7． 已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围 【解答】解：方法一：由可得， 设，，，则，令，在单调递减，在单调递增， 故（1）． ①当时，令，当时，单调递减，当时，单调递增， （1），此时在区间内无零点； ②当时，（1），此时在区间内有零点； ③当时，令，解得或1或，且， 此时在单减，，单增，单减，，单增， 当或时，，此时在区间内有两个零点； 综合①②③知在区间内有零点． 方法二：由题意可得 ，即， 因为当时等号成立， 所以，即， ，令，， 易知在单减，在上单增，所以（1）， 又趋近于0和正无穷时，趋近于正无穷， 所以． 8． (多选)若正实数，满足，则下列不等式中可能成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为，所以， 因为，所以，则， 令，，则， 所以在上单调递增， 由，可得， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，即当且仅当时取等号， 即当且仅当时取等号， 又，所以，当且仅当时取等号， 当时或， 结合与的图象也可得到 所以或. 故选：AC 法二：也可以这样构造 令，则，结合图像可知， (x＝y＝1时取等号) 总结：同构+洛必达+放缩 补充： 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 导数拓展专题4：指对同构 模块一 题型·解读 【题型1】同构训练 【题型2】化为和差同构模型 【题型3】化为乘积，商式同构模型 【题型4】添项后构造乘积型同构模型 【题型5】添项后构造和差型同构模型 【题型6】同构后再换元构造新函数 【题型7】同构后放缩 【题型8】必要性探路 【巩固训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 常见同构模型 （1）乘积同构模型： （2）商式同构模型： （3）和差同构模型： 知识点02 六大超越函数图像 表达式 图像 极值点 知识点03 添项同构 乘法同构：，对变形要求低，找亲戚函数与易实现，但构造的函数与均不是单调函数 加法同构：，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围. 知识点04 常见结构 ①； ②； ③ ④； 模块三 核心题型·训练 【题型1】同构训练 【例题】对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数． (1) (2) (3) (4) (5)． 【巩固练习1】； 【巩固练习2】 【巩固练习3】 【题型2】化为和差同构模型 【例题1】已知，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C．0 D．1 【例题2】已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是___________. 【巩固练习1】函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为_________． 【巩固练习2】已知函数，若在，上恒成立，则实数的取值范围为　 　． 【巩固练习3】已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围． 【题型3】化为乘积，商式同构模型 【例题1】已知函数，，证明：当时，. 【例题2】.已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数a的最小值为：_______． 【巩固练习1】设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【巩固练习2】已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型4】添项后构造乘积型同构模型 【例题1】已知是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是 ． 【例题2】实数x，y满足，则的最小值为________ 【巩固练习1】对，恒有，则实数a的最小值为________. 【巩固练习2】 【巩固练习3】 【题型5】添项后构造和差型同构模型 【例题1】已知不等式恒成立,则实数a的最大值为_______ 【例题2】已知函数，若，则的取值范围是 . 【巩固练习1】已知不等式对恒成立，则的取值范围为 ． 【巩固练习2】设，都为正数，为自然对数的底数，若，则　　 A． B． C． D． 【巩固练习3】关于的不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【题型6】同构后再换元构造新函数 【例题1】已知，若关于x的恒成立，求实数a的取值范围. 【巩固练习1】已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是( ) A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数，若函数恒成立，求实数a的取值范围． 【巩固练习3】已知函数，若不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【题型7】同构后放缩 【例题1】已知a＞b＞1，若，则 A．ln(a＋b)＞1 B．ln(a－b)＜0 【例题2】已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是________． 【巩固练习1】已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是____________ . 第四步，由单调性求出参数范围： 【巩固练习2】若正实数，满足，则的最小值为 ． 【巩固练习3】已知函数，当时，恒成立，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【题型8】必要性探路 【例题1】已知函数对任意的，恒成立，则实数的取值范围为( ) A．(-∞，0] B．(-∞，2] C．(-∞，1] D．(-∞，3] 【巩固练习1】已知关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为________. 【巩固练习2】已知函数. (1)求的极值； (2)当时，，求实数的取值范围. 【巩固练习3】若当时，关于x的不等式恒成立，则满足条件的a的最小整数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【巩固训练】 1． 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（ ）. 1． 已知正数x，y满足ylnx+ylny＝ex，则xy﹣2x的最小值为（　　） A． B． C． D． 2． (多选)已知，若关于x的方程存在正零点，则实数的值可能为 A． B． C． D． 3． 若不等式恒成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D．， ，即，故的取值范围是，． 4． 若不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5． 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 6． 对于任意实数，不等式恒成立，则取值范围是__________. 7． 已知函数，若函数在区间内存在零点，求实数的取值范围 8． (多选)若正实数，满足，则下列不等式中可能成立的是（      ） A． B． C． D． 7 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$