导数拓展专题2：不等式证明，三次函数，利用导数求体积最值等【5类中档题】-【寒假衔接】2024-2025学年高二数学寒假精品讲义

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 导数拓展专题2 5类常考中档题 模块一 题型·解读 【题型1】恒（能）成立问题之分离变量法 【题型2】利用导数证明不等式 【题型3】三次函数问题对称性与根与系数关系 【题型5】利用导数研究函数零点 【题型6】利用导数求几何体最值 【重点题型巩固】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 利用导数研究不等式恒成立问题 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化； ③求最值. （1）恒成立⇔； （2）恒成立⇔； （3）能成立⇔； （4）能成立⇔. 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法（，或，）求解． 3、作差法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 知识点02 三次函数根 三次函数根与系数关系 对于，若有3个交点，则 方程可以写为， 展开后得 比对系数，则有：，，， 三次函数对称中心 二阶导数的零点即为对称中心横坐标，即则为函数的对称中心 设三次函数，则对称中心是； 三次函数f(x)的对称中心为，则 三次函数的切线问题 一般地，过三次函数图象的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论： （1）过区域内的点作的切线，有且仅有3条； （2）过区域Ⅱ、Ⅲ内的点以及对称中心作的切线，有且仅有1条； （3）过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有2条. 知识点03 利用导数研究函数零点 1、函数的零点 (1)函数霉点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． (2)三个等价关系 方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数有零点． 2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一-结论称为函数零点存在性定理。 注意：单调性+存在零点=唯一零点 模块三 核心题型·训练 【题型1】恒（能）成立问题之分离变量法 【例题1】已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数． (1)当时，求的极值； (2)若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围． 【例题2】已知函数. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得成立，求实数m的最小值. 【巩固练习1】当时，函数的图象恒在抛物线的上方，则实数的取值范围是 ． 【巩固练习2】已知在时恒成立，则实数的最小值为 . 【巩固练习3】已知函数. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得成立，求实数m的最小值. 【巩固练习4】已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值． (1)求函数的单调区间和极大值； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； 【题型2】利用导数证明不等式 【例题1】(2023年新高考1卷T19)已知函数． (1)讨论的单调性；(2)证明：当时，． 【巩固练习1】设函数，． 讨论的单调性；(2)当时，记的最小值为，证明：． 【巩固练习2】已知函数. 讨论的单调性；(2)证明：当时，. 【题型3】三次函数问题对称性与根与系数关系 【例题1】（2024·全国一卷真题）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【例题2】对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（    ） A．的极大值为 B．有且仅有2个零点 C．点是的对称中心 D． 【巩固练习1】（多选题）（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数使得 B．方程有唯一正实数解 C．方程有唯一负实数解 D．有负实数解 【巩固练习2】已知三次函数，若，则 . 【拓展提高1】（多选）已知函数，若，其中，则（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【拓展提高2】（多选）已知三次函数有三个不同的零点，若函数也有三个不同的零点，则下列等式或不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【题型4】利用导数研究函数零点 【例题1】已知是自然对数的底数，函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 【例题2】已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】函数，若函数恰有两个零点，则a的取值范围是 ． 【巩固练习2】已知函数，若在存在零点，则实数的最小值是 . 【巩固练习3】已知函数． 求的极值；(2)若在区间有2个零点，求的取值范围． 【题型5】利用导数求几何体最值 三元均值不等式：， 应用：（1）若，求的最小值；（2）求的最小值 （1）；（2） 可以跳过求导的操作得出最值 【例题1】如图，已知一个圆锥的底面半径为，高为，它的内部有一个正三棱柱，且该正三棱柱的下底面在圆锥的底面上，则这个正三棱柱的体积的最大值为 . 【例题2】已知某圆锥的母线长为3，则当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表达出圆锥的体积，通过求导得出其单调性，即可求出当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数. 【详解】由题意，圆锥的母线长为3， 设圆锥的底面半径为，高为，则，， ∴ 体积：， ∴， ∴当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，取得最大值， 此时，侧面展开图的圆心角. 【巩固练习1】将一个体积为的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为 . 【答案】 【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为，所以正三棱锥外接球半径， 如图所示，设外接球圆心为O，过向底面作垂线垂足为D，， 要使正三棱锥体积最大，则底面与在圆心的异侧， 因为是正三棱锥，所以D是的中心， 所以， 又因为，所以， ， 所以， 令， 解得或， 当，；当，， 所以在递增，在递减， 故当时，正三棱锥的体积最大，此时正三棱锥的高为， 故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为. 【巩固练习3】已知正四棱锥的高为，其顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则当该正四棱锥体积最大时，高的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出体积与高之间的函数关系式，利用导数讨论单调性和最值求解. 【详解】   如图，设高为，底边长为， 则， 又，∴， 又，， , 所以当时，，当时，， 所以函数在单调递增，单调递减， 故 【重点题型巩固】 1． （2024·全国甲卷(文)真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 2． 若关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是 ． 3． （2024·全国2卷·高考真题）（多选）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 4． 直六棱柱的底面是正六边形，其体积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是 . 5． 已知球体的半径为3，当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是（    ） A．1 B． C． D．2 6． 【选做】（多选）已知三次函数有三个不同的零点，函数.则（    ） A． B．若成等差数列，则 C．若恰有两个不同的零点，则 D．若有三个不同的零点，则 7． 已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数． (1)当时，求的极值； (2)若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围． 8． 已知函数满足． 求的单调区间；(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 导数拓展专题2 5类常考中档题 模块一 题型·解读 【题型1】恒（能）成立问题之分离变量法 【题型2】利用导数证明不等式 【题型3】三次函数问题对称性与根与系数关系 【题型5】利用导数研究函数零点 【题型6】利用导数求几何体最值 【重点题型巩固】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 利用导数研究不等式恒成立问题 1、分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤：①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化； ③求最值. （1）恒成立⇔； （2）恒成立⇔； （3）能成立⇔； （4）能成立⇔. 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 2、分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法（，或，）求解． 3、作差法 当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 知识点02 三次函数根 三次函数根与系数关系 对于，若有3个交点，则 方程可以写为， 展开后得 比对系数，则有：，，， 三次函数对称中心 二阶导数的零点即为对称中心横坐标，即则为函数的对称中心 设三次函数，则对称中心是； 三次函数f(x)的对称中心为，则 三次函数的切线问题 一般地，过三次函数图象的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论： （1）过区域内的点作的切线，有且仅有3条； （2）过区域Ⅱ、Ⅲ内的点以及对称中心作的切线，有且仅有1条； （3）过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有2条. 知识点03 利用导数研究函数零点 1、函数的零点 (1)函数霉点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． (2)三个等价关系 方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点的横坐标⇔函数有零点． 2、函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一-结论称为函数零点存在性定理。 注意：单调性+存在零点=唯一零点 模块三 核心题型·训练 【题型1】恒（能）成立问题之分离变量法 【例题1】已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数． (1)当时，求的极值； (2)若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围． 【答案】(1)极小值为0，无极大值 (2) 【分析】（1）求导，即可得函数的单调性，进而可由极值点定义求解， （2）构造函数，利用导数求解最值即可. 【详解】（1） 当时，，∴， 由得，故的单调递增区间为；由得， 故的单调递减区间为； 所以函数有极小值为，无极大值． （2） 当时，不等式化简为，令，则； 令得， ∴在上单调递减，在上单调递增； 因为，所以， 又，所以． 【例题2】已知函数. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得成立，求实数m的最小值. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)4 【分析】（1）直接利用导函数判定函数的单调性及求极值即可； （2）分离参数，利用导函数求函数的最值即可. 【详解】（1）由， 令；令， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值，且为，无极大值； （2）由能成立， 问题转化为， 令， 由；由， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，则， 故m的最小值为4． 【巩固练习1】当时，函数的图象恒在抛物线的上方，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，建立恒成立的不等式，再变形分离参数，构造函数并求其最大值作答. 【详解】因为当时，函数的图象恒在抛物线的上方， 则有，， 令函数，求导得， 令，求导得，函数在上单调递减， ，，即，当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数的取值范围是. 【巩固练习2】已知在时恒成立，则实数的最小值为 .（注：为自然对数的底数） 【答案】 【分析】转化问题为在时恒成立，只需，设，，结合导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由在时恒成立， 即在时恒成立， 即在时恒成立， 设，， 则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 所以，即实数的最小值为. 【巩固练习3】已知函数. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得成立，求实数m的最小值. 【答案】(1)极小值为，无极大值；(2)4 【分析】（1）直接利用导函数判定函数的单调性及求极值即可； （2）分离参数，利用导函数求函数的最值即可. 【详解】（1）由， 令；令， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在处取得极小值，且为，无极大值； （2）由能成立， 问题转化为， 令， 由；由， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，则，故m的最小值为4． 【巩固练习4】已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值． (1)求函数的单调区间和极大值； (2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)单调增区间为和，单调减区间为，极大值为2 (2) 【分析】（1）根据奇偶性及当时，取得极值，可求得，再应用导数求出单调区间和极大值； （2）反解出参数，即在时恒成立，构造函数，应用导数求得最大值即可. 【详解】（1）是上的奇函数， ，即， 得恒成立， 可得，即，， 又当时，取得极值，， 解得，故函数，导函数， 令解得，当，， 当时，， 单调增区间为和，单调减区间为， 故当时，取到极大值； （2），对任意， 都有成立，只需在时恒成立， 构造函数，，则有， 令可得或，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，取到极大值，又， 故的最大值为8， 故实数的取值范围为：. 【题型2】利用导数证明不等式 【例题1】(2023年新高考1卷T19)已知函数． (1)讨论的单调性；(2)证明：当时，． 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）方法一： 由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 方法二： 令，则， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 又， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，则，当且仅当时，等号成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以要证，即证，即证， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. 【巩固练习1】设函数，． 讨论的单调性；(2)当时，记的最小值为，证明：． 【分析】（1）由题意可得的定义域为,求出的导函数,通过判断导函数的符号即可判断的单调性； （2）先结合（1）得到，解法一：先求导，，再根据导数的性质求得，进而即可证明；解法二：根据题意可得要证，即证，从而构造函数，求导，再根据导数的性质求得，进而即可证明． 【详解】（1）依题意可得的定义域为， 由， 则， 当时，，则在上单调递增； 当时， 若，，此时单调递减； 若，，此时单调递增； 综上， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，，即． 解法一： 则， 则，所以单调递减， 又，，所以存在，使得， 则当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 所以， 又，即，即， 所以， 显然在上单调递增， 又，所以，即． 解法二： 要证，即证，即证，即证， 令，则， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 所以， 所以，即． 【巩固练习2】已知函数. 讨论的单调性；(2)证明：当时，. 【分析】（1）求导，根据的符号分类讨论研究函数的单调性； （2）原不等式等价于，等价于证明，构造函数，求导研究函数单调性，求解最大值即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，所以的单调减区间是， 当时，.令得，令得， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）由（1）可得，当时，取得极大值，也是最大值， 所以. 设，则，令得，令得， 所以的单调递减区间是，单调递增区间是， 所以，即. 因为，所以，所以， 所以，所以命题得证. 【题型3】三次函数问题对称性与根与系数关系 【例题1】（2024·全国一卷真题）（多选）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确 【例题2】对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（    ） A．的极大值为 B．有且仅有2个零点 C．点是的对称中心 D． 【答案】ACD 【分析】求得，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；求得，令，求得，得出，可判定C正确；根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确. 【详解】由函数，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 当时，取得极大值，极大值为，所以A正确； 又由极小值，且当时，， 当时，，所以函数有3个零点，所以B错误； 由，可得，令，可得， 又由，所以点是函数的对称中心， 所以C正确； 因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以， 所以，即 【巩固练习1】（多选题）（2024·湖北武汉·模拟预测）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数使得 B．方程有唯一正实数解 C．方程有唯一负实数解 D．有负实数解 【答案】ABC 【分析】求导，分析函数的图象与性质，对个选项逐一验证即可. 【详解】因为，. 由， 设，因为函数定义域为，且，， 可知方程一定有实数根，故A正确； 由或. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 且为极大值，为极小值. 做出函数草图如下：    观察图象可知：方程有唯一正实数解，有唯一负实数解， 故BC正确； 又，结合函数的单调性，当 时，，所以无负实数解.故D错误. 故选：ABC 【巩固练习2】已知三次函数，若，则 . 【答案】 【详解】由题意，，，令解得，又，故的对称中心为.故当时，. 【拓展提高1】（多选）已知函数，若，其中，则（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】对求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象．设，由图象可得知，，的取值范围，从而可判断A；又根据，对照系数可得的值，可得得取值范围，从而可判断C，D；结合A和C即可判断B． 【详解】因为，所以， 令，解得或， 当时，或，所以单调递增区间为和； 当时，，所以单调递减区间为， 的图象如右图所示， 设，则，，故A错误； 又，所以， 即， 对照系数得，故选项C正确； ，故选项D正确； 因为，所以，解得，故选项B正确 【拓展提高2】（多选）已知三次函数有三个不同的零点，若函数也有三个不同的零点，则下列等式或不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对于A，由题意可得有两个不同的实根，则，从而可进行判断，对于B，根据图象分析判断，对于CD，由零点的定义结合方程化简变形进行判断. 【详解】，因为原函数有三个不同的零点，则有两个不同的实根， 即，则，即，所以A错误； 因为三次函数有三个不同的零点， 所以， 所以， 同理， 所以，故C正确，D错误； 由的图象与直线的交点可知，B正确． 故选：BC．    【题型4】利用导数研究函数零点 【例题1】已知是自然对数的底数，函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据条件得到函数有且只有一个零点，等价于方程（）只有一个实数根，即直线与的图像只有一个交点，利用导数求出函数的单调性，从而得到的图像，根据数形结合即可得出实数的取值范围. 【详解】由题意令，可得（）， 设，， 则， 令，可知在上单调递减，又， 则时，，即，所以在上单调递增， 时，，即，所以在上单调递减， 则在处取得极大值，且时，，时，， 作出函数的图像，如图所示： 若函数有且只有一个零点，则直线与的图像只有一个交点， 即或，解得：或， 则实数的取值范围为， 故答案为：. 【例题2】已知函数，若存在两个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性，利用单调性结合零点存在性定理分析零点，列式求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 当时，则，可知在上单调递减， 所以不可能存在两个零点，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可得在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为， 若存在两个零点，则，解得, 当时，则，可得， 且， 令，则， 则在上单调递增，可得，即， 可知在，均只有一个零点，即符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【巩固练习1】函数，若函数恰有两个零点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分离常数法，构造函数法，结合导数求得的取值范围，进而求得正确答案. 【详解】由得， 设， 令，解得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 又， 当时，；当时，， 又当，，由此画出的大致图象如图所示， 由于函数恰有两个零点， 所以的取值范围是.      【巩固练习2】已知函数，若在存在零点，则实数的最小值是 . 【答案】1 【分析】构造函数，，利用导数求解函数的单调性，进而求解函数的最值，即可求解. 【详解】令，即， 令，， 而， 令，， 则，即函数在上单调递增， 因为，，即， 所以存在唯一的，使得，即，即，， 所以当时，，，函数单调递减； 当时，，，函数单调递增， 所以， 又时，， 所以要使在存在零点，则，所以实数a的最小值为1. 【巩固练习3】已知函数． 求的极值；(2)若在区间有2个零点，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在处取极大值；(2) 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则恒成立， 所以在上单调递增，无极值， 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减： 所以当时，在处取极大值，无极小值； （2）， 令，得，令，在区间有2个零点， 即与在区间有2个交点， ，，， 当，，在上单增， 当，，在上单减， ，的最大值为，， 与在区间有2个交点，则． 【题型5】利用导数求几何体最值 三元均值不等式：， 应用：（1）若，求的最小值；（2）求的最小值 （1）；（2） 可以跳过求导的操作得出最值 【例题1】如图，已知一个圆锥的底面半径为，高为，它的内部有一个正三棱柱，且该正三棱柱的下底面在圆锥的底面上，则这个正三棱柱的体积的最大值为 . 【答案】 【分析】设正三棱柱上底面三角形的外接圆半径为，高为，利用相似关系可知，由此可将正三棱柱体积表示为关于的函数的形式，利用导数可求得体积的最大值. 【详解】过三棱柱的上底面的平面平行于圆锥的底面，则该平面截圆锥所得的截面为一个小圆； 要使正三棱柱体积最大，则正三棱柱的上底面三角形内接于该小圆； 设小圆的半径为，正三棱柱的高为， ，解得：；又正三棱柱的底面三角形面积， 正三棱柱的体积，则； 当时，；当时，； 当时，. 【例题2】已知某圆锥的母线长为3，则当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表达出圆锥的体积，通过求导得出其单调性，即可求出当该圆锥的体积最大时，其侧面展开图的圆心角的弧度数. 【详解】由题意，圆锥的母线长为3， 设圆锥的底面半径为，高为，则，， ∴ 体积：， ∴， ∴当时，单调递增，当时，单调递减， 当时，取得最大值， 此时，侧面展开图的圆心角. 【巩固练习1】将一个体积为的铁球切割成正三棱锥的机床零件，则该零件体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正三棱锥的底面边长为，高为，球半径为，由球体积求得球半径，根据边长、高、外接球半径关系及棱锥体积公式得到零件体积关于的函数，利用导数求体积最大值. 【详解】设正三棱锥的底面边长为，高为，球半径为， 由球的体积为，则，解得， ，即，故， 正三棱锥的体积为：， ， 由得：，此时函数单调递增， 由得：，此时函数单调递减， 当时，取得最大值，且最大值为. 【巩固练习2】已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为 . 【答案】 【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为，所以正三棱锥外接球半径， 如图所示，设外接球圆心为O，过向底面作垂线垂足为D，， 要使正三棱锥体积最大，则底面与在圆心的异侧， 因为是正三棱锥，所以D是的中心， 所以， 又因为，所以， ， 所以， 令， 解得或， 当，；当，， 所以在递增，在递减， 故当时，正三棱锥的体积最大，此时正三棱锥的高为， 故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为. 【巩固练习3】已知正四棱锥的高为，其顶点都在同一球面上，若该球的体积为，且，则当该正四棱锥体积最大时，高的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出体积与高之间的函数关系式，利用导数讨论单调性和最值求解. 【详解】   如图，设高为，底边长为， 则， 又，∴， 又，， , 所以当时，，当时，， 所以函数在单调递增，单调递减， 故 【重点题型巩固】 1． （2024·全国甲卷(文)真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 2． 若关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分离参数法，通过构造函数以及利用导数来求得的取值范围. 【详解】依题意，不等式在恒成立， 即在恒成立， 设， ， 其中，所以在区间上，单调递减； 在区间上，单调递增， 所以，所以， 所以的取值范围是. 3． （2024·全国2卷·高考真题）（多选）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 4． 直六棱柱的底面是正六边形，其体积是，则该六棱柱的外接球的表面积的最小值是 . 【答案】 【分析】设正六边形的边长为a, ,表示出直六棱柱的体积建立方程,将a用x表示,该六棱柱的外接球的直径为BC,可求出外接球的表面积，利用导数研究函数的最值即可. 【详解】如图， 设正六边形的边长为a,则底面面积，设，(x>0)， 则六棱柱的体积为即，故 而该六棱柱的外接球的直径为， 所以该六棱柱的外接球的表面积为， 令，则,令,解得x=2， 当 时, ,单调递减， 当时, ，单调递增, 所以当时，取最小值， 所以该六棱柱的外接球的表面积的最小值是 5． 已知球体的半径为3，当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】设球心到底面距离为，通过正四棱锥的对角面求出棱锥的高，与底面边长，计算出体积后，利用导数的知识求出最大值，得出结论． 【详解】如图，是正四棱锥的对角面，其外接圆是四棱锥外接球的大圆，是圆心（球心）， 设正四棱锥底面边长为，则，，设， 则由得，，，， ， ， 当时，，递增，时， ，递减，∴时，取得极大值也是最大值． 此时高，，． 故选：A． 6． 【选做】（多选）已知三次函数有三个不同的零点，函数.则（    ） A． B．若成等差数列，则 C．若恰有两个不同的零点，则 D．若有三个不同的零点，则 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意可得有两个不同实根，则由即可判断；对于B，若成等差数列，则，从而结合即可判断；对于C，若恰有两个零点，则或必为极值点，分类讨论即可判断；对于D，由韦达定理即可判断. 【详解】 ，，，对称中心为，对A：因为有三个零点，所以必有两个极值点，所以，，A正确； 对B，由成等差数列，及三次函数的中心对称性可知， 所以， 又，故，所以，所以，故B正确； 对C：，即， 若恰有两个零点，则或必为极值点； 若为极值点，则该方程的三个根为，，，由一元三次方程的韦达定理可知：； 若为极值点，同理可得，故C错； 对D：由韦达定理， 得， 即，故D正确. 7． 已知函数，，k为常数，e是自然对数的底数． (1)当时，求的极值； (2)若，且对于任意，恒成立，试确定实数k的取值范围． 【答案】(1)极小值为0，无极大值 (2) 【分析】 （1）求导，即可得函数的单调性，进而可由极值点定义求解， （2）构造函数，利用导数求解最值即可. 【详解】（1） 当时，，∴， 由得，故的单调递增区间为；由得， 故的单调递减区间为； 所以函数有极小值为，无极大值． （2） 当时，不等式化简为，令，则； 令得， ∴在上单调递减，在上单调递增； 因为，所以， 又，所以． 8． 已知函数满足． 求的单调区间；(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间;(2) 【详解】（1）因为，所以，   令，则， 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，即恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）由题意在区间上恒成立， 即恒成立，即在区间上恒成立， 令，，只需， 因为， 令，，有， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，   所以，即， 所以实数的取值范围为． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$