寒假作业09 导数的概念与计算（7知识点+7大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 导数的概念与运算 一、物体的平均速度与瞬时速度 1、平均速度 设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为 2、瞬时速度 （1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度； （2）一般地，当无限趋近于0时，无限趋近于某一个常数，我们就说当趋近于0时，的极限就是，这时就是物体在时的瞬时速度， 即瞬时速度 二、抛物线切线的斜率 1、抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. 2、抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 三、平均变化率 函数从到的平均变化率 1、定义式： 2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3、意义：刻画函数值在区间上变化的快慢． 4、平均变化率的几何意义： 设，是曲线上任意不同的两点， 函数的平均变化率为割线AB的斜率，如图． 5、求平均变化率的步骤： 第一步：先计算函数值的改变量； 第二步：再计算自变量的改变量； 第三步：求平均变化率； 四、函数在x＝x0处的瞬时变化率 1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 2、定义法求导数步骤： ① 求函数的增量：； ② 求平均变化率：； ③ 求极限，得导数：. 3、导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 【注意】 函数在处的导数，是曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 五、基本初等函数的导数 函数 导函数 函数 导函数 (c是常数) (为实数) 特别地 特别地 六、导数的运算法则 1、加减法： 2、乘法： 3、除法： 七、复合函数的导数 1、复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作. 2、复合函数的求导法则 一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法连接。 3、求复合函数的导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步变量回代：把中间变量代回。 4、求复合函数的导数注意以下几点： （1）分解的函数通常为基本初等函数； （2）求导时分清是对哪个变量求导； （3）计算结果尽量简洁。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 平均变化率与瞬时变化率 1．（23-24高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 3．函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏扬州·月考）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（   ） A． B．1 C．2 D． 5．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 6．如图，有一个无盖的盛水的容器，高为，其可看作将两个完全相同的圆台面积较大的底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（    ） A． B． C． D． 题型二 导数的概念 1．（24-25高二下·上海·月考）某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（   ） A．3秒时水管的流水量 B．3秒内水管的流水总量 C．3秒内水管的流水量的平均变化率 D．3秒时水管流水量的瞬时变化率 2．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 3．（24-25高二下·广东清远·期中）设函数在处存在导数为2，则（   ） A． B． C．2 D．4 4．（23-24高二下·江苏·月考）如果说某物体做直线运动的时间与距离满足，则其在时的瞬时速度为（    ） A．4 B． C．4.8 D． 5．（25-26高二上·贵州黔南·月考）已知函数在上可导，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C． D． 7．已知函数，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型三 导数的几何意义 1．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 2．在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，其导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 题型四 用导数的定义解决切线问题 1．（2025高二·全国·专题练习）过曲线上两点和作曲线的割线． (1)求； (2)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (3)求，并说明其几何意义； (4)求曲线在点处的切线方程． 2．已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 3．（24-25高二·全国·课堂例题）若曲线在点P处的切线垂直于直线，求点P的坐标及切线方程． 4．试求过点且与曲线相切的直线的斜率． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 题型五 求简单函数的导数 1．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏镇江·期中）若函数，则导函数（   ） A． B． C． D． 3．下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏无锡·月考）下列求导运算中错误的是（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 6．（24-25高二下·四川成都·月考）求下列函数的导数 (1)； (2) (3) 题型六 求复合函数的导数 1．指出下列函数是怎样复合而成的． (1)； (2)； (3). 2．（24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 3．（24-25高二下·江苏徐州·月考）求下列函数在给定点处的导数： (1)在处的导数； (2)在处的导数． 4．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型七 求某点处的导数 1．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 2．（24-25高二下·广东中山·月考）已知函数，那么=（　　） A． B．2 C． D． 3．（24-25高二下·陕西铜川·月考）若函数，则（    ） A．3 B．6 C． D． 4．（25-26高二上·陕西·月考）已知，且，则（   ） A．3 B． C．2 D． 5．（23-24高二下·广东肇庆·月考）已知，且满足，，则，的值分别是（    ） A．，1 B．1， C．，1 D．1， 6．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 2．（24-25高二下·江西·月考）若函数在处可导，则等于（    ） A． B． C． D． 3．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江西·月考）下列函数求导正确的是（ ） A． B． C． D． 5．如图，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））在函数f（x）的图象上，且x2＜x1，为f（x）的导函数，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 6．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 7．设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 8．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 10．（24-25高二下·北京·月考）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①② 11．（2024高二下·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A．－2a B．2a C．a D． 12．（24-25高二下·湖北武汉·月考）下列求导运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知，则（    ） A．0 B． C．1 D．2025 14．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 15．（24-25高二下·青海海南·期中）求下列函数的导数 (1)； (2)； (3)； (4). 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线，求曲线过点的切线方程. 1．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 2．（25-26高二上·江苏·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 3．已知函数，则（   ） A．0 B．12 C．24 D． 4．（24-25高二上·山西阳泉·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 5．（24-25高二上·上海·期末）已知函数，则 ． 6．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知函数，则的值为 ． 7．（2026高二上·重庆·专题练习）函数，其导函数为，则 . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业09 导数的概念与运算 一、物体的平均速度与瞬时速度 1、平均速度 设物体的运动规律是，则物体在到这段时间内的平均速度为 2、瞬时速度 （1）物体在某一时刻的速度称为瞬时速度； （2）一般地，当无限趋近于0时，无限趋近于某一个常数，我们就说当趋近于0时，的极限就是，这时就是物体在时的瞬时速度， 即瞬时速度 二、抛物线切线的斜率 1、抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. 2、抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋 近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 三、平均变化率 函数从到的平均变化率 1、定义式： 2、实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． 3、意义：刻画函数值在区间上变化的快慢． 4、平均变化率的几何意义： 设，是曲线上任意不同的两点， 函数的平均变化率为割线AB的斜率，如图． 5、求平均变化率的步骤： 第一步：先计算函数值的改变量； 第二步：再计算自变量的改变量； 第三步：求平均变化率； 四、函数在x＝x0处的瞬时变化率 1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 2、定义法求导数步骤： ① 求函数的增量：； ② 求平均变化率：； ③ 求极限，得导数：. 3、导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 【注意】 函数在处的导数，是曲线在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 五、基本初等函数的导数 函数 导函数 函数 导函数 (c是常数) (为实数) 特别地 特别地 六、导数的运算法则 1、加减法： 2、乘法： 3、除法： 七、复合函数的导数 1、复合函数的概念 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作. 2、复合函数的求导法则 一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法连接。 3、求复合函数的导数的步骤 第一步分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数； 第二步分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数； 第三步相乘：把上述求导的结果相乘； 第四步变量回代：把中间变量代回。 4、求复合函数的导数注意以下几点： （1）分解的函数通常为基本初等函数； （2）求导时分清是对哪个变量求导； （3）计算结果尽量简洁。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 平均变化率与瞬时变化率 1．（23-24高二上·湖南·期末）某物体运动后，其位移（单位：）为.在这段时间里，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均速度的含义，代入数据，计算即可得答案. 【详解】当时，位移为， 当时，位移为， 在这段时间里，该物体的平均速度为. 故选：A. 2．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平均速度的定义求解即可. 【详解】由题意可得平均速度是. 故选：A 3．函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用瞬时变化率的定义可求得结果. 【详解】因为， 所以，函数在处的瞬时变化率为 . 故选：C. 4．（24-25高二下·江苏扬州·月考）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率和瞬时变化率的计算公式求解可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为， 在时的瞬时变化率为， 所以． 故选：C 5．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【详解】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 6．如图，有一个无盖的盛水的容器，高为，其可看作将两个完全相同的圆台面积较大的底面去掉后对接而成.现从顶部向该容器中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度随时间变化的函数为，则下列函数图象中最有可能是图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考虑函数增长速度得到结论可得正确的选项. 【详解】因为单位时间内注水的体积不变，结合容器的形状， 在单位时间内，高度变化率先由快变慢，后由慢变快. 故选：D. 题型二 导数的概念 1．（24-25高二下·上海·月考）某水管的流水量（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则的实际意义是（   ） A．3秒时水管的流水量 B．3秒内水管的流水总量 C．3秒内水管的流水量的平均变化率 D．3秒时水管流水量的瞬时变化率 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义即可得解. 【详解】由导数的几何意义可知，的实际意义是3秒时水管流水量的瞬时变化率. 故选：D. 2．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用导数的定义计算进行求解. 【详解】由， 则. 故选：D. 3．（24-25高二下·广东清远·期中）设函数在处存在导数为2，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用导数的定义计算得解. 【详解】由导数的定义可知. 故选：A 4．（23-24高二下·江苏·月考）如果说某物体做直线运动的时间与距离满足，则其在时的瞬时速度为（    ） A．4 B． C．4.8 D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义即可求解. 【详解】根据导数的定义可得，在时的瞬时速度为 ， 故选：D. 5．（25-26高二上·贵州黔南·月考）已知函数在上可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的定义进行求解． 【详解】对于A，，故A项错误； 对于B，，故B项正确； 对于C，，故C项错误； 对于D，，故D项错误． 故选：B 6．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，，则， 所以. 故选：A 7．已知函数，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用导数的定义，求得，列出方程，即可求解. 【详解】由函数， 则， 所以，解得. 故选：B. 题型三 导数的几何意义 1．函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图像可得解. 【详解】由函数的图像可知， 当时，单调递增， ，，. 随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， . 故选：A. 2．在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据导数值与函数切线斜率的关系即可判断. 【详解】根据导数值与切线斜率的关系可知，在区间上时，函数图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，则显然BCD不合题意， 对A选项，函数在处的切线斜率等于1，且在上，切线斜率不断增大，则恒成立，故A正确. 故选：A. 3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别作曲线在，，三处的切线，，，然后根据切线的斜率的大小可得答案. 【详解】如图，分别作曲线在，，三处的切线，，， 设切线的斜率分别为，，，易知， 又，，， 所以． 故选：A    4．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，结合函数的图象进行判断即可. 【详解】由图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，且斜率为正， ， ，可看作过和的割线的斜率，由图象可知， . 故选：B 5．已知函数，其导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由导函数的图像分析原函数切线斜率，结合选项依次判断即可. 【详解】由导函数图像可知，原函数在区间的切线斜率逐渐减小，在处的切线斜率为1，在区间的切线斜率逐渐增大， 结合选项可知，A、B选项不满足在处的切线斜率为1，排除；C选项在区间的切线斜率先减小再增大，排除；D选项满足要求. 故选：D. 题型四 用导数的定义解决切线问题 1．（2025高二·全国·专题练习）过曲线上两点和作曲线的割线． (1)求； (2)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (3)求，并说明其几何意义； (4)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2)2.1，2.001，2.00001． (3)2，几何意义是“曲线在点处的切线的斜率为2”． (4) 【分析】（1）利用平均变化率的意义计算. （2）利用（1）的结论，代入计算即可. （3）利用极限的意义求出结果，并指出其几何意义. （4）利用直线的点斜式求出切线方程. 【详解】（1）. （2），当，0.001，0.00001时，分别为2.1，2.001，2.00001． （3），几何意义是“曲线在点处的切线的斜率为2”. （4）切线方程为，即. 2．已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义即可求得点处的切线的斜率； （2）根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】（1）点处的切线的斜率为 ， 即点处的切线的斜率是； （2）结合（1）可得切线方程为，即. 3．（24-25高二·全国·课堂例题）若曲线在点P处的切线垂直于直线，求点P的坐标及切线方程． 【答案】， 【分析】设P为，由导数的几何意义即可求解； 【详解】设切点P的坐标为， 因为 ， 所以，解得， 所以，故点P的坐标为， 切线方程为，即． 4．试求过点且与曲线相切的直线的斜率． 【答案】或6 【分析】结合导数的定义求得切线方程，代入点的坐标求得切点的横坐标，进而求得切线的斜率. 【详解】设切点坐标为，则有． 因为，所以． 切线方程为，将点代入，得， 所以，得或． 当时，；当时，． 所以所求直线的斜率为或6． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)和. 【分析】（1）“在”某点处的切线方程，求导，代入点斜式即可求得； （2）“过”某点处的切线方程，设切点，结合切点在曲线上，切点在切线上，联立方程组即可求得. 【详解】（1） ， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为， 故切线方程为， 因为切线过点，所以， 即，所以或， 故过点且与曲线相切的直线有两条， 其方程分别是和， 即和. 题型五 求简单函数的导数 1．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断ABC选项，利用求导法则可判断D选项. 【详解】，，，. ABC均错，D对. 故选：D. 2．（24-25高二下·江苏镇江·期中）若函数，则导函数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的运算法则可求得. 【详解】因为，则. 故选：C. 3．下列求导结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求导公式分别计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 4．（23-24高二下·江苏无锡·月考）下列求导运算中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据求导公式及导数的运算法则一一判断即可得解. 【详解】A选项：，故A正确； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：，故D正确. 故选：C 5．（23-24高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 【答案】(1). (2). (3). (4). (5). (6)y′=. (7). 【分析】根据基本初等函数的导数公式逐个求解即可. 【详解】（1） （2） （3） （4），故 （5），故 （6） （7） 6．（24-25高二下·四川成都·月考）求下列函数的导数 (1)； (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】根据导数的四则运算法则结合基本初等函数的求导公式，求导即可. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为， 所以； （3）因为， 所以. 题型六 求复合函数的导数 1．指出下列函数是怎样复合而成的． (1)； (2)； (3). 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】根据复合函数的定义分析即可. 【详解】（1）是由函数复合而成的． （2）是由函数复合而成的． （3）是由函数复合而成的． 2．（24-25高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】由复合函数的求导法则求解即可； 【详解】（1）函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得：. 所以； （2）函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得：. 所以 （3）函数可以看作函数和的复合函数， ， 所以. 3．（24-25高二下·江苏徐州·月考）求下列函数在给定点处的导数： (1)在处的导数； (2)在处的导数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据复合函数的求导法则求解出的导函数，然后将代入导函数计算出结果即可； （2）先根据复合函数的求导法则求解出的导函数，然后将代入导函数计算出结果即可. 【详解】（1）因为函数可以看作函数和的复合函数， 所以， 所以当时，. （2）因为函数可以看作函数和的复合函数， 所以， 所以当时，. 4．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】由基本初等函数的导数公式结合导数的依次运算可得. 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． （4）． （5）． 题型七 求某点处的导数 1．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】求导，即可代入求解. 【详解】，则 故选：B. 2．（24-25高二下·广东中山·月考）已知函数，那么=（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先应用复合函数求导及导数运算律求出函数的导函数，再代入应用特殊角三角函数值求解即可. 【详解】因为函数，所以， . 故选：A. 3．（24-25高二下·陕西铜川·月考）若函数，则（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据导数运算求得正确答案. 【详解】由，得， 所以，解得. 故选：B 4．（25-26高二上·陕西·月考）已知，且，则（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得， 故选：B. 5．（23-24高二下·广东肇庆·月考）已知，且满足，，则，的值分别是（    ） A．，1 B．1， C．，1 D．1， 【答案】D 【分析】对求导，将代入解方程可求出，再由求出，即可得出答案. 【详解】因为，所以， 所以，则， ，则. 故选：D. 6．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出的值，进而求出. 【详解】因为，所以，令， 则，，令， 则． 故选：A. 1．（24-25高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【答案】C 【分析】由瞬时变化率的物理意义判断． 【详解】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值，即是是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C 2．（24-25高二下·江西·月考）若函数在处可导，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用导数的定义求出极限值. 【详解】依题意，. 故选：D 3．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的运算法则求导后判断. 【详解】，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D 4．（24-25高二下·江西·月考）下列函数求导正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的计算公式与求导法则计算即得. 【详解】，A错误．，B错误．，C错误．，D正确． 故选：D. 5．如图，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））在函数f（x）的图象上，且x2＜x1，为f（x）的导函数，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【解析】根据导数的几何意义，结合图象判断． 【详解】根据题意，点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2），为f（x）的导函数， 则为点A处切线的斜率，设其斜率为k1，为点B处切线的斜率，设其斜率为k2， 由函数的图象可得k1＞k2，即有； 故选：A． 6．（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别作出函数在处的切线，进而得到的大小关系． 【详解】分别作出函数在处的切线， 则 则有， 故选：B． 7．设存在导函数且满足，则曲线上的点处的切线的斜率为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由导数的定义及几何意义即可求解. 【详解】解：因为存在导函数且满足， 所以，即曲线上的点处的切线的斜率为， 故选：A. 8．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义可知为该点切线的斜率，由图可知处的切线斜率比处的切线斜率大，为两点处的斜率，比较即可得出. 【详解】根据导数的几何意义，如图， 分别表示在点处切线的斜率，又因为 由图可知 故选：B. 9．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由求出，再由求出的值. 【详解】因为，所以， 则，解得. 故选：A. 10．（24-25高二下·北京·月考）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】本题可根据的几何意义，结合图象来逐一分析各个结论，从而确定正确答案. 【详解】由图可知，则， 对于①：表示区间上函数图象割线的斜率的相反数. 在这段时间内，甲企业对应图象割线的斜率小于于乙企业对应图象割线的斜率， 所以甲企业对应图象割线的斜率相反数大于乙企业对应图象割线的斜率相反数， 所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，①正确. 对于②：在时刻，甲企业图象切线的斜率小于乙企业图象切线的斜率， 所以甲企业在时刻对应图象割线的斜率相反数大于乙企业对应图象割线的斜率相反数， 所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，②正确. 对于③：从图象可以看出，在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量， 即甲、乙两企业的污水排放都已达标，③正确. 对于④：在，，这三段时间中， 这段时间甲企业图象割线的斜率最小，则其斜率相反数最大， 所以甲企业在的污水治理能力最强，而不是，④错误. 综上，①②③正确. 故选：C 11．（2024高二下·全国·专题练习）已知，则的值为（    ） A．－2a B．2a C．a D． 【答案】B 【分析】由导数的定义变形即可求解. 【详解】. 故选：B． 12．（24-25高二下·湖北武汉·月考）下列求导运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数求导法则对选项ABC逐一判断即可知AB错误，C正确，再结合除法运算法则可得D错误. 【详解】对于A，易知，即A错误； 对于B，，即B错误； 对于C，，可得C正确； 对于D，，即D错误. 故选：C 13．（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知，则（    ） A．0 B． C．1 D．2025 【答案】B 【分析】求导，令，即可得解. 【详解】由，得， ，得. 故选：B. 14．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】利用导数法则求出导函数，令得，求解即可. 【详解】由得，则，解得. 故选：A. 15．（24-25高二下·青海海南·期中）求下列函数的导数 (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用基本初等函数求导公式和积的求导法则求解即可 （2）利用基本初等函数求导公式和求导法则求解即可 （3）利用基本初等函数求导公式和商的求导法则求解即可 （4）利用基本初等函数求导公式和求导法则求解即可 【详解】（1）（1） （2）因为， 所以 （3） （4） 16．（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率； （2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程. 【详解】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 17．（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线，求曲线过点的切线方程. 【答案】或. 【分析】设所求切线与曲线相切于点，根据导数的定义求得切线斜率，列方程求，进而可得切线方程. 【详解】设所求切线与曲线相切于点，显然， 由题意，得切线斜率 又，于是， 解得或，所以或16. 从而所求切线方程为或， 即或. 1．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】由导数的定义化简已知，即可求解. 【详解】已知函数可导， ， 所以. 故选：A 2．（25-26高二上·江苏·期末）为了响应国家节能减排的号召，甲､乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（    ） A．该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多 B．该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快 C．在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快 D．该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同 【答案】D 【分析】选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同. 【详解】选项A，设， 设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为， 结合图像可知：， 所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误； 选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知， 直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度， 而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快， 从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误； 选项C，设为接近的时刻且， 从时刻到时刻，污水排放量平均变化率， 由导数的定义与几何意义可知， 在接近时，污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替. 设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为， 结合图象可知， 所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误； 选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等， 即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同， 所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.故D正确. 故选：D. 3．已知函数，则（   ） A．0 B．12 C．24 D． 【答案】D 【分析】将拆分为与其余因子的乘积，利用乘积求导法则，代入时，含的项会消去，只需计算剩余因子在处的取值，即可得到. 【详解】令，其中； 求导：； 代入：可得. 故选：D. 4．（24-25高二上·山西阳泉·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据得是常数，再由得，即可得函数解析式，进而求函数值. 【详解】由，即，即， 所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得. 故选：D. 5．（24-25高二上·上海·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】运用导数定义分析与导数定义的关系，得解. 【详解】导数的定义为. 对于，我们可以令，当时，. 那么. 而. 然后求函数的导数，可得. 得到. 所以. 故答案为：. 6．（25-26高二上·江苏连云港·月考）已知函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据正切函数的性质与切化弦公式化简函数，根据导数除法运算公式与复合函数求导，从而可得所求. 【详解】因为， 则， 所以. 故答案为：. 7．（2026高二上·重庆·专题练习）函数，其导函数为，则 . 【答案】 【分析】，令，证明函数为奇函数，为偶函数，利用函数奇偶性的性质，代入即可求解. 【详解】， 函数的定义域为， 令，定义域为， ，， 所以函数为奇函数， ， ， ， 所以为偶函数， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $