【寒假衔接】专题3-3 利用导数研究函数的单调性【8大题型】- 2024-2025学年高二数学寒假精品讲义

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 寒假衔接专题3-3 利用导数研究函数的单调性 模块一 题型·解读 【题型1】求函数的单调区间（不含参） 【题型2】函数与导函数图象间的关系 【题型3】已知函数在的单调区间，求参数 【题型4】已知函数在某区间上单调增（减），求参数 【题型5】已知函数在某区间上存在单调区间，求参数 【题型6】函数在某区间上单调或不单调，求参数范围 【题型7】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型） 【题型8】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型且可因式分解） 【重点题型巩固训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 已知函数在区间内可导， （1）若，则在区间内是单调递增函数； （2）若，则在区间内是单调递减函数； （3）若恒有，则在区间内是常数函数． 要点诠释：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 知识点02 求已知函数（不含参）y＝f(x)的单调性的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 要点诠释：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔开． 知识点03 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 1、已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立． ②已知在区间上单调递减，恒成立． 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号． 2、已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 3、已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 知识点04 含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）．接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负． 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 模块三 核心题型·训练 【题型1】求函数的单调区间（不含参） 【例题1】函数的单调递增区间是（       ） A． B． C． D． 【例题2】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【例题3】已知函数，判断的单调性，并说明理由； 【巩固练习1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ． 【提升训练1】已知函数，讨论函数的单调性． 【提升训练2】已知函数.判断函数的单调性. 【题型2】函数与导函数图象间的关系 【例题1】是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ）    A．   B．   C．   D．   【例题2】函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知函数的导函数的图象如图，则下列结论正确的是（    ）    A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递增 【巩固练习2】已知函数的图象是下列四个图象之一，函数的图象如图所示，则函数图象是（    ） A．B．C．D． 【巩固练习3】（多选）已知函数的定义域为R且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是（　　） 函数的减区间是， 函数的减区间是， C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点 【题型3】已知函数在的单调区间，求参数 【例题1】已知函数的单调递减区间是，则 . 【巩固练习1】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【巩固练习2】（23-24高二下·北京·期中）设，若的单调减区间为，则 ， . 【变式训练】（多选）（2024高三·全国·专题练习）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【题型4】已知函数在某区间上单调增（减），求参数 若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 【例题1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（    ） A．0 B．3 C． D． 【例题2】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高一上·江苏南通·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 【题型5】已知函数在某区间上存在单调区间，求参数 存在增区间或减区间可以转化为导函数大于或小于零的相关不等式有解问题 【例题1】若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【例题2】（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【巩固练习2】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 . 【巩固练习4】若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是 ． 【题型6】函数在某区间上单调或不单调，求参数范围 已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围． 【例题1】（22-23高二下·江苏盐城·开学考试）若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】若函数在区间单调递增，则的取值范围是 ；若函数在区间内不单调，则的取值范围是 ． 【巩固练习1】已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2024·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【巩固练习3】若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 . 【题型7】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型） 利用导数判断函数单调性的步骤 确定函数的定义域； 求出导数的零点； 先讨论零点无意义或不在定义域内的情况，此时的正负是确定的，即单调 当零点在定义域内时，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性； 【例题1】（23-24高二下·广东肇庆·期末）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 【巩固练习1】已知函数，讨论函数的单调性． 【巩固练习2】已知函数．求函数的单调区间． 【巩固练习3】已知函数，为的导数,讨论的单调性； 【题型8】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型且可因式分解） 这类题型最多需要讨论五种情况，具体步骤如下： 第一步：求的定义域 第二步：求出，通分 第三步：令，因式分解求出其2个根，一个含参一个不含参 第四步：先讨论含参的根不在定义域内或无意义的情况，此时只有一个极值点 第五步：论含参的根在定义域内，分3种情况讨论两个根之间的大小关系，令，解出的取值范围，得函数的增区间；令，解出的取值范围，得函数的减区间． 注意：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开. 【例题1】已知函数.讨论函数的单调性； 【例题2】已知，求的单调递减区间. 【巩固练习1】（23-24高二下·浙江杭州·期末）已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【巩固练习2】已知函数，若，讨论函数的单调性． 【巩固练习3】已知函数．讨论的单调性； 【题型9】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型且不可因式分解） 若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论. 【例题1】（23-24高二下·广东江门·期中）已知函数． (1)若，求函数的零点; (2)讨论函数的单调性. 【巩固练习1】已知函数．讨论的单调性 【巩固练习2】已知函数.讨论的单调性． 【重点题型巩固训练】 1． 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2． 的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．   B．   C．   D．     3． 若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 4． 若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 . 5． 已知函数，其中.讨论的单调性； 6． 已知函数，讨论的单调性 7． 已知函数，求的单调区间. 8． 已知函数，其中.求函数的单调区间； 4 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 寒假衔接专题3-3 利用导数研究函数的单调性 模块一 题型·解读 【题型1】求函数的单调区间（不含参） 【题型2】函数与导函数图象间的关系 【题型3】已知函数在的单调区间，求参数 【题型4】已知函数在某区间上单调增（减），求参数 【题型5】已知函数在某区间上存在单调区间，求参数 【题型6】函数在某区间上单调或不单调，求参数范围 【题型7】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型） 【题型8】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型且可因式分解） 【重点题型巩固训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 已知函数在区间内可导， （1）若，则在区间内是单调递增函数； （2）若，则在区间内是单调递减函数； （3）若恒有，则在区间内是常数函数． 要点诠释：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则 知识点02 求已知函数（不含参）y＝f(x)的单调性的步骤： 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 要点诠释：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔开． 知识点03 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 1、已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立． ②已知在区间上单调递减，恒成立． 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号． 2、已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 3、已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 知识点04 含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）．接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负． 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 模块三 核心题型·训练 【题型1】求函数的单调区间（不含参） 【例题1】函数的单调递增区间是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导后，根据导函数的正负即可得到结果. 【详解】由题意得：函数的定义域为，， 当时，；当时，；的单调递增区间为. 【例题2】函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，令求解. 【详解】解：因为， 所以， 令，得， 所以的单调递减区间为 【例题3】已知函数，判断的单调性，并说明理由； 【解析】 令， 在上递增，，， 在上单调递增. 【巩固练习1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据导函数的正负分析单调性即可. 【详解】，定义域为，令，解得，所以在上单调递减. 【巩固练习2】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为 ． 【答案】 【解析】当时，, 由，解得，所以在区间上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以函数图象关于原点对称， 所以在区间上单调递增. 【提升训练1】已知函数，讨论函数的单调性． 【解析】，其中，则， 设，则， 令，可得恒成立， 所以为上的增函数，且， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以，所以在上单调递增． 【提升训练2】已知函数.判断函数的单调性. 【解析】因为，定义域为， ， 令，因为，则， 可得在上单调递减，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 【题型2】函数与导函数图象间的关系 【例题1】是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可. 【详解】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，只有选项C符合 【例题2】函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的图象得到的单调区间，即得的取值情况，从而得解. 【详解】由图可得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则当时， ，当时，， 由，得或，解得或， 所以不等式的解集为. 【巩固练习1】已知函数的导函数的图象如图，则下列结论正确的是（    ）    A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递增 【答案】C 【分析】根据导函数的正负得到的单调性，即可判断. 【详解】由导数的图象可知，当时，，所以在区间，上单调递增，故C正确； 当时，，所以在区间上单调递减， 当时，，则在区间上单调递减，故A、B、D错误 【巩固练习2】已知函数的图象是下列四个图象之一，函数的图象如图所示，则函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设导函数与横轴的交点为，设， 由导函数的图象可知：当时，单调递减，排除C,D 当时，单调递增， 当时，单调递减，由此可以确定选项A符合 【巩固练习3】（多选）已知函数的定义域为R且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是（　　） 函数的减区间是， 函数的减区间是， C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点 【答案】BC 【分析】根据给定的函数图象，确定函数的单调区间及单调性，再逐项判断即得. 【详解】观察图象，由，得或，显然当时，，当，， 由，得或，显然当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，A错误，B正确； 函数在处取得极小值，在处取得极大值，C正确，D错误. 【题型3】已知函数在的单调区间，求参数 【例题1】已知函数的单调递减区间是，则 . 【答案】 【分析】求导，根据函数单调递减区间是，可得为导函数的两个零点，从而可得出答案. 【详解】， 因为函数单调递减区间是， 所以，解得， 则，令，得， 所以函数单调递减区间是， 所以. 【巩固练习1】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）函数的单调递减区间为，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据的单调递减区间为，而的定义域为，的一个极值点为1，利用即可得解，然后再代入验证是否满足题意即可. 【详解】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 【巩固练习2】（23-24高二下·北京·期中）设，若的单调减区间为，则 ， . 【答案】 / 【分析】由题意可得，的解集为，利用三个二次的关系。将其转化为方程的两根为，最后利用韦达定理即可求得. 【详解】由可得， 依题意，的解集为， 即的解集为， 也即，有两根为， 故得：解得. 故答案为：；. 【变式训练】（多选）（2024高三·全国·专题练习）若函数恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】BD 【分析】将问题转化为导函数有两个零点问题，由判别式可解． 【详解】当时，，显然不满足题意； 当时，依题意知，有两个不相等的零点， 所以，解得且 【题型4】已知函数在某区间上单调增（减），求参数 若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 【例题1】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】求导函数，令恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值. 【详解】，令，得， 令， 若函数在上单调递减，则， 当时，， 所以函数在上单调递增，则， 所以. 【例题2】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】由，则， 依题意在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 则的最小值为. 【巩固练习1】（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知函数在区间上单调递增，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】等价转化为在区间上恒成立，再利用分离参数法并结合导数即可求出答案. 【详解】因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立． 令，则在上恒成立， 所以在区间上单调递减，所以，故． 【巩固练习2】（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，对任意的恒成立，利用参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 因为函数在区间上单调递增， 则对任意的，恒成立，则. 因此，实数的取值范围是. 【巩固练习3】（24-25高一上·江苏南通·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】当，符合题意，当，列不等式组，解不等式即可得出答案. 【详解】当时，在区间上单调递减，故成立， 当时，要使函数在区间上单调递减， 所以，解得：. 综上所述，实数的取值范围是. 【题型5】已知函数在某区间上存在单调区间，求参数 存在增区间或减区间可以转化为导函数大于或小于零的相关不等式有解问题 【例题1】若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解. 【详解】，由题意在上有解， 即在上有解， 根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值， 故，故实数的取值范围是. 【例题2】（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递增区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，， 变形得，因为，所以， 所以当，即时，，所以 【巩固练习1】若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】， 由题意知，在上有实数解， 即有实数解， 当时，显然满足， 当时，只需 综上所述 【巩固练习2】若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把题意转化为在上有解，设，利用导数判断单调性，即可求解. 【详解】由可得：. 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在上有解，即在上有解. 设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以. 所以. 【巩固练习3】函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数研究函数的有单调性可得不等关系，参数分离，根据值域求解. 【详解】函数，∴， ∵函数在上存在单调递增区间，，即有解， 令,,∴当时，，即可． 【巩固练习4】若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，则， 函数在区间上存在减区间，只需在区间上有解， 即在区间上有解， 又，则， 所以在区间上有解， 所以，，令，， 则， 令，则在区间恒成立， 所以在上单调递减，所以， 即，所以，所以实数的取值范围是． 【题型6】函数在某区间上单调或不单调，求参数范围 已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围． 【例题1】（22-23高二下·江苏盐城·开学考试）若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求函数的导数，转化为或，利用参变分离转化为最值问题，即可求解. 【详解】，由函数在区间上单调， 则或，即或，， 即，或，， ， 当时，函数取得最小值3，当时，函数取得最大值4， 所以或. 【例题2】若函数在区间单调递增，则的取值范围是 ；若函数在区间内不单调，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出导函数，由导函数在内大于等于0恒成立求解的取值范围；由函数在区间不是单调函数，得函数在区间上有极值，即导函数在区间内有解，由此求得的取值范围． 【详解】解：①由，得， 由函数在区间单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立， ． 的取值范围是； ②函数在区间内不单调， 在区间有解．并且解的两侧，导函数的符号相反， 由，解得，． 而在区间上单调递减，在，上单调递增． 的取值范围是． 【巩固练习1】已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，故在上有零点，令，令，得，令， 则，由，得，单调递增，又由，得， 故，所以，的取值范围 【巩固练习2】（2024·宁夏银川·三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以，解得： 【巩固练习3】若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 . 【答案】(4，5) 【分析】由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数的取值范围. 【详解】解：函数，， 若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点， 由得， 令，，， 在递减，在递增，而，，， 所以. 【题型7】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型） 利用导数判断函数单调性的步骤 确定函数的定义域； 求出导数的零点； 先讨论零点无意义或不在定义域内的情况，此时的正负是确定的，即单调 当零点在定义域内时，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性； 【例题1】（23-24高二下·广东肇庆·期末）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)的极大值为，无极小值 (2)答案见详解 【分析】（1）当时，则，利用导数求的单调性和极值； （2）求导，分和两种情况，利用导数求函数单调性. 【详解】（1）当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以的极大值为，无极小值. （2）由题意可知：的定义域为，且， 若，则，可知在内单调递减； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，在内单调递减； 若，在内单调递增，在内单调递减. 【巩固练习1】已知函数，讨论函数的单调性． 【分析】求得，分，和，三种情况讨论，结合的符号，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，且， 令，解得， 若，当时，；当时，， 所以函数在单调递增，在单调递减. 若，当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增. 若，此时函数为常数函数，无单调性. 【巩固练习2】已知函数．求函数的单调区间． 【答案】增区间为，减区间为． 【分析】求导后，根据导数的符号可得单调区间. 【详解】的定义域为，， 令，解得． 令，得，令，得， ∴的单调递增区间为，单调递减区间为． 【巩固练习3】已知函数，为的导数,讨论的单调性； 【解析】由题知， 令，则， 当时，在区间单调递增， 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【题型8】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型且可因式分解） 这类题型最多需要讨论五种情况，具体步骤如下： 第一步：求的定义域 第二步：求出，通分 第三步：令，因式分解求出其2个根，一个含参一个不含参 第四步：先讨论含参的根不在定义域内或无意义的情况，此时只有一个极值点 第五步：论含参的根在定义域内，分3种情况讨论两个根之间的大小关系，令，解出的取值范围，得函数的增区间；令，解出的取值范围，得函数的减区间． 注意：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开. 【例题1】已知函数.讨论函数的单调性； 【解析】（1）因为的定义域为， 又， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得（舍去），； 当，，在上单调递减； ，，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【例题2】已知，求的单调递减区间. 【分析】求得的定义域和导函数，对进行分类讨论，由此求得的单调性. 【详解】易得的定义域为， ， 令得或. 当时，因为，所以，令得，所以的单调递减区间为. 当时， ①若，即，当时，,当时，， 当时，， 所以的单调递减区间为； ②若，即，当时，恒成立，没有单调递减区间； ③若，即，当时，，当时，， 当时，所以的单调递减区间为. 综上所述，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为； 当时，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为. 【巩固练习1】（23-24高二下·浙江杭州·期末）已知函数，． (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义分析求解； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 【巩固练习2】已知函数，若，讨论函数的单调性． 【分析】讨论的大小关系，根据导数得出单调性. 【详解】，， 当时，令，解得或， 当，即时， 当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当时， 当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当，即时，，所以在上单调递减. 综上， 当时，在上递减，在上递增，在上递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 【巩固练习3】已知函数．讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为， 则， 当时，令，解得，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得或， 在上单调递减，在和上单调递增， 当时，恒成立， 在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得或， 在上单调递减，在和上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增 【题型9】含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型且不可因式分解） 若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论. 【例题1】（23-24高二下·广东江门·期中）已知函数． (1)若，求函数的零点; (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)唯一的零点1 (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数得函数在单调递增，又，得解； （2）先求，令，分类讨论函数的正负性，从而可得函数的单调性. 【详解】（1）若，， 则，   所以函数在单调递增，   又，故有唯一的零点1. （2）因为， 令， ①当时，，在上，，所以单调递增． ②当时， 当时，， 在上恒成立，所以单调递增．   当或时，，令， 得， 当时，注意到， 所以当时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减．   当时， 注意到， 所以当或时，，所以单调递增； 当时，，所以单调递减．    综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 【巩固练习1】已知函数．讨论的单调性 【解析】， ， 当时，，所以在上单调递增． 当时，令，则．            若，即时，恒成立，所以在上单调递增． 若，即时，方程的根为， 当时，或，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增， 在上单调递减． 【巩固练习2】已知函数.讨论的单调性． 【分析】求导后，分别在和的情况下，根据的正负可确定单调性. 【详解】由题意知，定义域为，； 令，则. ①当，即时，（当且仅当，时取等号）， 在上单调递减； ②当，即时，令，解得，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【重点题型巩固训练】 1． 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，解不等式可得. 【详解】的定义域为 解不等式，可得， 故函数的递减区间为. 2． 的图象如图所示，则的图象最有可能是（    ）    A．   B．   C．   D．     【答案】C 【分析】利用导数与函数单调性的关系可得出合适的选项. 【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当时，. 所以，函数的增区间为和，减区间为， 所以，函数的图象为C选项中的图象. 3． 若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解. 【详解】，由题意在上有解， 即在上有解， 根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值， 故，故实数的取值范围是. 4． 若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 . 【答案】(4，5) 【分析】由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数的取值范围. 【详解】解：函数，， 若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点， 由得， 令，，， 在递减，在递增，而，，， 所以. 5． 已知函数，其中.讨论的单调性； 【解析】因为，易知其定义域为，， 当时，在上恒成立， 当时，由，得到， 所以，当时，，时，， 综上所述，当时，的单调增区间为，无减区间， 当时，的单调增区间为，减区间. 6． 已知函数，讨论的单调性 【解析】函数的定义域为， ，所以， 设，因为、都在上单调递增， 所以在上单调递增，且， 所以时，单调递减； 时，单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增. 7． 已知函数，求的单调区间. 【解析】的定义域为， 且， 令，解得；令，解得； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 8． 已知函数，其中.求函数的单调区间； 【分析】求出，分、、讨论可得答案； 【详解】， 令得， 当时，，则函数在上单调递增， 当时， 或时，， 时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 当时， 或时，，时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为在，，单调递减区间为. 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $$