【寒假衔接】专题3-2 切线问题综合【10大题型】- 2024-2025学年高二数学寒假精品讲义

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题3-2 10类切线问题 模块一 题型·解读 【题型1】给切点求切线 【题型2】给切线求切点 【题型3】已知切线斜率求参数 【题型4】求过某点的切线 【题型5】奇偶函数的切线斜率问题 【题型6】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 【题型7】切线斜率取值范围问题 【题型8】过一点的切线条数问题 【题型9】公切线问题 【题型10】两条切线平行、垂直、重合问题 【关键题型课后训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 求在曲线上一点的切线 要点诠释：函数在点处的切线方程为， 抓住关键 知识点02 求过某点的切线 要点诠释：设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值． 以上是“在点”与“过点”的区别，授课时可参考下图 知识点03 已知切线斜率求参数 要点诠释：已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上． 知识点04 通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 要点诠释：用平移直线，直到与该函数切线重合. 知识点05 奇偶函数的切线斜率问题 要点诠释：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数. 知识点06 切线斜率取值范围问题 要点诠释：利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题. 一般地，直线的斜率与倾斜角的关系是：直线都有倾斜角，但不一定都有斜率 知识点07 判断切线条数 要点诠释：切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断 知识点08 公切线问题 要点诠释：公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 公切线问题主要有以下3类题型 求2个函数的公切线 解题方法：设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解 （2）2个函数存在公切线，求参数范围 解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题 已知两个函数之间公切线条数，求参数范围 解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题 模块三 核心题型·训练 【题型1】给切点求切线 【例题1】曲线在点处的切线方程为______. 【例题2】（2024年高考全国甲卷数学（文））曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（    ） A． B． C．1 D．2 【巩固练习2】（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知点在曲线上，则曲线在点处的切线方程为_________. 【题型2】给切线求切点 【例题1】已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例题2】曲线在点处的切线方程是，则切点的坐标是____________. 【巩固练习1】曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ） A． B． C．和 D．和 【巩固练习2】（23-24高三·福建宁德·期末）已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 巩固练习3】已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线垂直，则切点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【题型3】已知切线斜率求参数 【例题1】已知曲线的一条切线方程为，则实数（　　） A． B． C．1 D．2 【例题2】（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【巩固练习1】已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______. 【巩固练习2】（23-24高三·安徽合肥·期末）若函数与在处有相同的切线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【巩固练习3】（23-24高三·山西晋城·期末）过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（    ） A．e B．2 C． D． 【题型4】求过某点的切线 【例题1】过原点作曲线的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________. 【例题2】（2022年新高考全国I卷T15）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【巩固练习1】（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则 . 【巩固练习2】过点与曲线相切的直线方程为______________. 【题型5】奇偶函数的切线斜率问题 【例题1】（2024·福建福州·模拟预测）已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知是奇函数，当时，，则函数的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【巩固练习2】 （2024·湖北·一模）已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（    ） A． B． C． D．2 【巩固练习3】（23-24高三·河南洛阳·期末）已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（    ） A．2 B． C． D． 【题型6】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 【例题1】点A在直线y＝x上，点B在曲线上，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D．2 【例题2】若，则的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习1】已知点M在函数图象上，点N在函数图象上，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D．3 【巩固练习2】已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为 ． 【巩固练习3】已知，，则的最小值为______． 【题型7】切线斜率取值范围问题 【例题1】已知点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是 . 【巩固练习1】点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习2】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【题型8】过一点的切线条数问题 【例题1】（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【巩固练习1】已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则实数的取值是（ ） A．0 B．4 C．0或-4 D．0或4 【巩固练习2】过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．3 【巩固练习3】已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（ ） A． B． C． D． 【题型9】公切线问题 【例题1】函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【巩固练习1】已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 . 【巩固练习2】已知直线与曲线和均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为___________. 【题型10】两条切线平行、垂直、重合问题 【例题1】已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【巩固练习1】（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【关键题型课后训练】 1． 已知直线是曲线的切线，则实数（ ） A． B． C． D． 2． （2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3． (2024·山东济宁·三模)已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 4． 已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5． 知是函数图象上的任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A． B．5 C．6 D． 6． 与曲线和都相切的直线方程为__________. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 1 / 8 专题 3-2 10 类切线问题 【题型 1】给切点求切线 【题型 2】给切线求切点 【题型 3】已知切线斜率求参数 【题型 4】求过某点的切线 【题型 5】奇偶函数的切线斜率问题 【题型 6】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 【题型 7】切线斜率取值范围问题 【题型 8】过一点的切线条数问题 【题型 9】公切线问题 【题型 10】两条切线平行、垂直、重合问题 【关键题型课后训练】 知识点 01 求在曲线上一点的切线 要点诠释：函数 ( )y f x 在点 0 0( ( ))A x f x， 处的切线方程为 0 0 0( ) ( )( )y f x f x x x   ， 抓住关键 0 0 0 ( ) ( ) y f x k f x    知识点 02 求过某点的切线 要点诠释：设切点为 0 0( )P x y， ，则斜率 0( )k f x ，过切点的切线方程为： 0 0 0( )( )y y f x x x   ， 又因为切线方程过点 ( , )A a b ，所以 0 0 0( )( )b y f x a x   然后解出 0x 的值． 以上是“在点”与“过点”的区别，授课时可参考下图 知识点 03 已知切线斜率求参数 模块一 题型·解读 模块二 基础知识·梳理 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 2 / 8 要点诠释：已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上． 知识点 04 通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 要点诠释：用平移直线，直到与该函数切线重合. 知识点 05 奇偶函数的切线斜率问题 要点诠释：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数. 知识点 06 切线斜率取值范围问题 要点诠释：利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题. 一般地，直线的斜率与倾斜角的关系是：直线都有倾斜角，但不一定都有斜率 知识点 07 判断切线条数 要点诠释：切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断 知识点 08 公切线问题 要点诠释：公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上， 罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 公切线问题主要有以下 3类题型 求 2个函数的公切线 解题方法：设 2 个切点坐标，利用切线斜率相同得到 3 个相等的式子，联立求解 （2）2个函数存在公切线，求参数范围 解题方法：设 2 个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题 已知两个函数之间公切线条数，求参数范围 解题方法：设 2 个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题 【题型 1】给切点求切线 【例题 1】曲线    1 xf x x e x   在点  0,1 处的切线方程为______. 模块三 核心题型·训练 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 3 / 8 【例题 2】（2024 年高考全国甲卷数学（文））曲线   6 3 1f x x x   在  0, 1 处的切线与坐标轴围成 的面积为（ ） A． 1 6 B． 3 2 C． 1 2 D． 3 2  【巩固练习 1】已知曲线   lnf x x x 在点   1, 1f 处的切线为 l，则 l在 y 轴上的截距为（ ） A． 2 B． 1 C．1 D．2 【巩固练习 2】（2024 年高考全国甲卷数学（理））设函数   2 e 2sin 1 x x f x x    ，则曲线  y f x 在  0,1 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A． 1 6 B． 1 3 C． 1 2 D． 2 3 【巩固练习 3】已知点  1,1P  在曲线 2x y x a   上，则曲线在点 P 处的切线方程为_________. 【题型 2】给切线求切点 【例题 1】已知直线 e 2y x  是曲线 lny x 的切线，则切点坐标为（ ） A． 1 , 1 e       B．  e,1 C． 1 ,1 e       D．  0,1 【例题 2】曲线 sin 2 1y x x   在点 P 处的切线方程是3 1 0x y   ，则切点 P 的坐标是 ____________. 【巩固练习1】曲线   3 2f x x x   在 0p 处的切线平行于直线 4 1y x  ，则 0p 点的坐标为（ ） A．  1,0 B．  2,8 C．  1,0 和  1, 4  D．  2,8 和  1, 4  【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 4 / 8 【巩固练习 2】（23-24 高三·福建宁德·期末）已知函数  f x 在点 = 1x  处的切线方程为 1 0x y   ， 则    1 1f f    （ ） A． 1 B．0 C．1 D． 2 巩固练习 3】已知函数 ( ) x x a f x e e   为偶函数，若曲线 ( )y f x 的一条切线与直线2 3 0x y  垂 直，则切点的横坐标为（ ） A． 2 B．2 C．2ln 2 D． ln 2 【题型 3】已知切线斜率求参数 【例题 1】已知曲线 2 3lny x x  的一条切线方程为 y x m   ，则实数m （ ） A． 2 B． 1 C．1 D．2 【例题 2】（2024·全国·高考真题）若曲线 exy x  在点  0,1 处的切线也是曲线 ln( 1)y x a   的切线， 则 a . 【巩固练习 1】已知函数   2 ln x f x ax x   ，若曲线  y f x 在   1, 1f 处的切线与直线 2 1 0x y   平行，则a ______. 【巩固练习 2】（23-24 高三·安徽合肥·期末）若函数   lnx f x x  与   ex a bg x   在 1x  处有相同的 切线，则a b （ ） A． 1 B．0 C．1 D．2 【巩固练习 3】（23-24 高三·山西晋城·期末）过原点 O作曲线 ( ) exf x ax  的切线，其斜率为 2，则 实数 a （ ） A．e B．2 C．e+2 D． e 2 【题型 4】求过某点的切线 【例题 1】过原点作曲线 lny x 的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________. 【例题 2】（2022 年新高考全国 I 卷 T15）曲线 ln | |y x 过坐标原点的两条切线的方程 为 ， ． 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 5 / 8 【巩固练习 1】（2024·山西吕梁·二模）若曲线   lnf x x 在点  0 0,P x y 处的切线过原点  0,0O ，则 0x  . 【巩固练习 2】过点 ( 1, 1)  与曲线 xy e x  相切的直线方程为______________. 【题型 5】奇偶函数的切线斜率问题 【例题 1】（2024·福建福州·模拟预测）已知函数  f x 是偶函数，当 0x  时，   3 2f x x x  ，则曲 线  y f x 在 = 1x  处的切线方程为（ ） A． 5 2y x   B． 5 8y x   C． 5 2y x  D． 5 8y x  【例题 2】已知  f x 是奇函数，当 0x  时，   2 x f x x   ，则函数  f x 的图象在 1x  处的切线方程 为（ ） A．2 1 0x y   B． 2 1 0x y   C．2 1 0x y   D． 2 1 0x y   【巩固练习 1】已知  f x 为奇函数，且当 0x  时，   ex x f x  ，其中 e为自然对数的底数，则曲线  f x 在点   1, 1f 处的切线方程为 ． 【巩固练习 2】 （2024·湖北·一模）已知函数  f x 为偶函数，其图像在点   1, 1f 处的切线方程 为 2 1 0x y   ，记  f x 的导函数为  f x ，则  1f   （ ） A． 1 2  B． 1 2 C． 2 D．2 【巩固练习 3】（23-24 高三·河南洛阳·期末）已知函数  g x 为奇函数，其图象在点   ,a g a 处的切 线方程为2 1 0x y   ，记  g x 的导函数为  g x ，则  g a  （ ） A．2 B． 2 C． 1 2 D． 1 2  【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 6 / 8 【题型 6】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 【例题 1】点 A在直线 y＝x上，点 B在曲线 lny x 上，则 AB 的最小值为（ ） A． 2 2 B．1 C． 2 D．2 【例题 2】若 1 2,x x R ，则    2 1 2 2 1 2e e x xx x   的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习 1】已知点 M在函数 ( ) xf x e 图象上，点 N在函数 ( ) lng x x 图象上，则 | |MN 的最小值 为（ ） A．1 B． 2 C．2 D．3 【巩固练习 2】已知点 P 在函数   2e 9xf x x   的图象上，则 P 到直线 : 3 10 0l x y   的距离的最 小值为 ． 【巩固练习 3】已知a R ，b R ，则     22 1 ba b a e    的最小值为______． 【题型 7】切线斜率取值范围问题 【例题 1】已知点 P 在曲线 3y x x  上移动，设点 P 处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围 是 . 【巩固练习 1】点 P 在曲线 3 2 3 y x x   上移动，设点 P 处切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（ ） A．[0, ] 2  B． 3 ( , ] 2 4   C． 3 [ , ) 4   D． 3 [0, ) [ , ) 2 4    【巩固练习 2】过函数 21( ) 2 xf x e x  图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（ ） A． 3 0, 4      B． 3 0, , 2 4               C． 3 , 4         D． 3 , 2 4        【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 7 / 8 【题型 8】过一点的切线条数问题 【例题 1】（2022 年新高考全国 I 卷数学真题）若曲线 ( )exy x a  有两条过坐标原点的切线，则 a 的取值范围是 ． 【巩固练习 1】已知过点 ( ,0)A a 作曲线 : xC y x e  的切线有且仅有 1条，则实数a 的取值是（ ） A．0 B．4 C．0或-4 D．0或 4 【巩固练习 2】过点  3,0 作曲线   exf x x 的两条切线，切点分别为   1 1,x f x ，   2 2,x f x ，则 1 2x x （ ） A． 3 B． 3 C． 3 D．3 【巩固练习 3】已知曲线 3: 3S y x x  ，则过点  2,2P 可向 S 引切线，其切线条数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．0 【题型 9】公切线问题 【例题 1】函数 ( ) 2 lnf x x  与函数 ( ) xg x e 公切线的斜率为（ ） A．1 B． e C．1或 e D．1或 2e 【巩固练习 1】已知直线 ( , 0)y ax b a b   R 是曲线   exf x  与曲线   ln 2g x x  的公切线，则 a b 的值为 . 【巩固练习 2】已知直线 l与曲线 2 1 :C y x 和 2 1 :C y x   均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角 形的面积为___________. 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 8 / 8 【题型 10】两条切线平行、垂直、重合问题 【例题 1】已知函数        3 23 2 1f x a x a x a x a       若对任意 0 Rx  ，曲线  y f x 在点   0 0,x f x 和   0 0,x f x  处的切线互相平行或重合，则实数 a （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【巩固练习 1】（2024·河北邢台·二模）已知函数   2 2lnf x x x  的图像在   1 1,A x f x ，   2 2,B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ） A． 1 2 2x x  B． 1 2 10 3 x x  C． 1 2 2x x  D． 1 2 10 3 x x  【巩固练习 2】已知函数     2 lnf x x a x   的图象上存在不同的两点 ,A B，使得曲线  y f x 在点 ,A B处的切线都与直线 2 0x y  垂直，则实数a的取值范围是（ ） A．  ,1 2  B．  1 2,0 C．  ,1 2  D．  0,1 2 【关键题型课后训练】 1．已知直线 y ax 是曲线 lny x 的切线，则实数a （ ） A． 1 2 B． 1 2e C． 1 e D． 2 1 e 2．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线    2e 2 2xf x x x   的切线，则切线共有（ ） A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 3．(2024·山东济宁·三模)已知函数 ( )f x 为偶函数，当 0x  时， 2( ) ln( )f x x x   ，则曲线 ( )y f x 在 点 (1, (1))f 处的切线方程是（ ） A．3 2 0x y   B．3 2 0x y   C．3 2 0x y   D．3 2 0x y   4．已知过点  ,0A a 可以作曲线  1 xy x e  的两条切线，则实数a的取值范围是（ ） A．  1, B．    , e 2,     C．    , 2 2,     D．    , 3 1,    5．知 P 是函数   2exf x x  图象上的任意一点，则点 P 到直线 9 0x y   的距离的最小值是（ ） A．3 2 B．5 C．6 D．5 2 6．与曲线 exy  和 2 4 x y   都相切的直线方程为__________. 【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题3-2 10类切线问题 模块一 题型·解读 【题型1】给切点求切线 【题型2】给切线求切点 【题型3】已知切线斜率求参数 【题型4】求过某点的切线 【题型5】奇偶函数的切线斜率问题 【题型6】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 【题型7】切线斜率取值范围问题 【题型8】过一点的切线条数问题 【题型9】公切线问题 【题型10】两条切线平行、垂直、重合问题 【关键题型课后训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 求在曲线上一点的切线 要点诠释：函数在点处的切线方程为， 抓住关键 知识点02 求过某点的切线 要点诠释：设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值． 以上是“在点”与“过点”的区别，授课时可参考下图 知识点03 已知切线斜率求参数 要点诠释：已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上． 知识点04 通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 要点诠释：用平移直线，直到与该函数切线重合. 知识点05 奇偶函数的切线斜率问题 要点诠释：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数. 知识点06 切线斜率取值范围问题 要点诠释：利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题. 一般地，直线的斜率与倾斜角的关系是：直线都有倾斜角，但不一定都有斜率 知识点07 判断切线条数 要点诠释：切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断 知识点08 公切线问题 要点诠释：公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 公切线问题主要有以下3类题型 求2个函数的公切线 解题方法：设2个切点坐标，利用切线斜率相同得到3个相等的式子，联立求解 （2）2个函数存在公切线，求参数范围 解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程有解问题 已知两个函数之间公切线条数，求参数范围 解题方法：设2个切点坐标，列出斜率方程，再转化为方程解的个数问题 模块三 核心题型·训练 【题型1】给切点求切线 【例题1】曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解，先对函数求导，然后将点的横坐标代入导函数所得的值就是切线的斜率，再利用点斜式可与出切线方程. 解：由，得， 所以在点处的切线的斜率为， 所以所求的切线方程为，即， 故答案为： 【例题2】（2024年高考全国甲卷数学（文））曲线在处的切线与坐标轴围成的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以，故切线方程为， 故切线的横截距为，纵截距为，故切线与坐标轴围成的面积为 【巩固练习1】已知曲线在点处的切线为，则在轴上的截距为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由得，所以直线的斜率， 又，所以直线的方程为，令，得，即在轴上的截距为. 【巩固练习2】（2024年高考全国甲卷数学（理））设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 【巩固练习3】已知点在曲线上，则曲线在点处的切线方程为_________. 【答案】 【分析】将点的坐标代入曲线方程，可求得的值，然后利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程. 【详解】因为点在曲线上，，可得，所以，， 对函数求导得， 则曲线在点处的切线斜率为， 因此，曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 【题型2】给切线求切点 【例题1】已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，对比系数即可求出切点坐标. 【详解】设切点坐标为，因为，所以在点处切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，所以，解得， 所以切点为. 【例题2】曲线在点处的切线方程是，则切点的坐标是____________. 【答案】 【分析】 由导数的几何意义，求得切点处的切线的斜率，得到，求得，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数，则， 设切点的坐标为，则斜率， 所以，解得， 当时，切点为，此时切线方程为； 当，切点为，不满足题意， 综上可得，切点为.故答案为：. 【巩固练习1】曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（ ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【详解】令，解得，，故点的坐标为，故选C. 【巩固练习2】（23-24高三·福建宁德·期末）已知函数在点处的切线方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线的几何意义得，将代入切线方程得，从而得解. 【详解】由切线方程，得， 将代入切线方程，得，所以， 则. 巩固练习3】已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线垂直，则切点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数求参数，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果. 【详解】为偶函数，则，，设切点得横坐标为，则解得，（负值舍去）所以.故选：D 【题型3】已知切线斜率求参数 【例题1】已知曲线的一条切线方程为，则实数（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出. 【详解】设切点为 因为切线， 所以， 解得（舍去） 代入曲线得， 所以切点为 代入切线方程可得，解得. 【例题2】（2024·全国·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 【巩固练习1】已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______. 【答案】 【分析】根据函数，求导，再根据曲线在处的切线与直线平行，由求解. 【详解】因为函数，所以， 又因为曲线在处的切线与直线平行， 所以，解得，故答案为： 【巩固练习2】（23-24高三·安徽合肥·期末）若函数与在处有相同的切线，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】对，求导，根据题意得到，再解方程组即可得到答案. 【详解】因为，，则，， 可得，，，， 因为，在处有相同的切线，即切点为，切线斜率， 所以，解得，所以. 【巩固练习3】（23-24高三·山西晋城·期末）过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（    ） A．e B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设出切点，求导，得切点处的切线方程，即可代入原点求解. 【详解】设切点，则， 故切点处的切线方程为，故， 将代入得，故，解得或， 若，则，此时无解，故不符合题意， 若，则，故，此时满足题意 【题型4】求过某点的切线 【例题1】过原点作曲线的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________. 【答案】 【分析】设切点坐标为；利用导数求切线方程并求切点坐标． 解：设切点坐标为；；故由题意得，；解得，；故切点坐标为；切线的斜率为 【例题2】（2022年新高考全国I卷T15）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 【巩固练习1】（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则 . 【答案】 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可代入求解. 【详解】因为，所以， 所以在点处的切线方程为. 又切线过原点，则，所以. 【巩固练习2】过点与曲线相切的直线方程为______________. 【答案】. 【详解】设切点坐标为，由得，切线方程为， 切线过点，，即，， 即所求切线方程为.故答案为：. 【题型5】奇偶函数的切线斜率问题 【例题1】（2024·福建福州·模拟预测）已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求出当时函数的解析式，然后求导，利用导数的几何意义进行求解即可. 【详解】当时，，函数是偶函数， 当时，，， 当时，， ，即曲线在处切线的斜率为-5. 而，所以曲线在处的切线方程为：. 所求即为. 【例题2】已知是奇函数，当时，，则函数的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求出当时的解析式，然后利用导数求出处的切线斜率，以及切点坐标，从而求出切线方程. 【详解】当时，，，是奇函数, ，， ，,切点为，切线方程为． 切线方程为． 【巩固练习1】已知为奇函数，且当时，，其中为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【解析】由题设，当时，，故时，， 所以，而， 故切线方程为，即． 故答案为： 【巩固练习2】 （2024·湖北·一模）已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先推导出偶函数的导数为奇函数，再根据条件得到，再利用奇函数的的性质求. 【详解】因为为偶函数，所以，两边求导，可得. 又在处的切线方程为：， 所以. 所以. 【巩固练习3】（23-24高三·河南洛阳·期末）已知函数为奇函数，其图象在点处的切线方程为，记的导函数为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数的导数为偶函数可知为偶函数，结合导数的几何意义即可求解. 【详解】因为在点处的切线方程为，. 又两边求导得：，即为偶函数， 【题型6】通过切线求曲线上的点到直线距离最小值 【例题1】点A在直线y＝x上，点B在曲线上，则的最小值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】 设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线相切，将题意转化为两平行线间的距离，由导数的几何意义可得的值，进而可得结果. 【详解】 设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线相切， 则两平行线间的距离即为的最小值． 设直线y＝x＋b与曲线的切点为， 则由切点还在直线y＝x＋b上可得， 由切线斜率等于切点的导数值可得， 联立解得m＝1，b＝－1， 由平行线间的距离公式可得的最小值为， 【例题2】若，则的最小值是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 原题等价于函数上的点与函数上的点间的距离最小值的平方，结合两个函数关于对称，将其转化为函数与的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后转化求两平行线间的距离平方即可. 【详解】 由题意可转化为点与点间的距离最小值的平方， 点A在函数上，点B在函数上，这两个函数关于对称， 所以转化为函数与的距离的最小值2倍的平方， 此时， ∴斜率为1的切线方程为，它与的距离为. 故原式的最小值为2. 【巩固练习1】已知点M在函数图象上，点N在函数图象上，则的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】 根据函数与函数互为反函数，将问题转化为求函数的图象与直线平行的切线的切点到直线的距离的两倍，利用导数求出切点坐标，根据点到直线的距离公式可得结果. 【详解】 因为函数与函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 所以的最小值为函数的图象上的点到直线的距离的2倍，即为函数的图象与直线平行的切线的切点到直线的距离的两倍， 因为，所以函数的图象上与直线平行的切线的斜率，所以，所以切点为，它到直线的距离， 所以的最小值为. 【巩固练习2】已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】求导，设的坐标，根据平行关系得到切线斜率，进而得到，利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】由，可得， 又点在曲线上，设， 则过点和平行的切线的斜率为3， 令，则， ，点与直线的最小距离为． 【巩固练习3】已知，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】 利用算术根的几何意义，把所求转化为两个图形上点的距离最小值即可作答. 【详解】 可看成点到点的距离， 而点的轨迹是直线，点的轨迹是曲线， 则所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值，而曲线在直线上方， 平移直线使其与曲线相切，则切点到直线距离即为所求， 设切点，，由得，切点为 则到直线距离. 【题型7】切线斜率取值范围问题 【例题1】已知点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出导函数的值域后可得切线的斜率的范围，根据斜率与倾斜角的关系可求的取值范围. 【详解】∵，∴，∴，∵， ∴过点的切线的倾斜角的取值范围是， 故答案为：. 【巩固练习1】点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则，则， 又，所以 【巩固练习2】过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，函数，可得， 因为，所以，即切线的斜率， 设切线的倾斜角为，则 又因为，所以或， 即切线的倾斜角的范围为. 【题型8】过一点的切线条数问题 【例题1】（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是 【巩固练习1】已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则实数的取值是（ ） A．0 B．4 C．0或-4 D．0或4 【答案】C 【解析】 【分析】 求出导函数，转化求解切线方程，通过方程有两个相等的解，推出结果即可． 【详解】 设切点为，且函数的导数， 所以，则切线方程为， 切线过点，代入得， 所以，即方程有两个相等的解， 则有，解得或， 【巩固练习2】过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，设切点坐标为，即可得到切线方程，依题意关于的方程有两个不同的解、，利用韦达定理计算可得. 【详解】因为，所以，设切点坐标为， 所以，所以切线方程为， 所以，即， 依题意关于的方程有两个不同的解、， 即关于的方程有两个不同的解、 【巩固练习3】已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数求出曲线在切点处的切线方程，再将点的坐标代入切线方程，可得出关于的方程，解出该方程，得出该方程根的个数，即为所求. 【详解】 设在曲线上的切点为，，则， 所以，曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得，即， 解得，，. 因此，过点可向引切线，有三条.故选：C. 【题型9】公切线问题 【例题1】函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先设切点分别为，并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算值即可. 【详解】设切点分别为， 且导数为， 所以切斜方程为既为， 也为，所以，且， 所以，所以或， 所以公切线的斜率为或. 【巩固练习1】已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 . 【答案】2 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图像上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 【巩固练习2】已知直线与曲线和均相切，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为___________. 【答案】2 【分析】由基本初等函数的导数及其的几何意义解得直线的解析式即可求得结果. 【详解】由已知得的导函数分别为：，设上的切点分别为，则有：， 解之得：，故：， 与坐标轴交点分别为，围成的三角形面积为：. 【题型10】两条切线平行、垂直、重合问题 【例题1】已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求得，根据题意转化为为偶函数，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为曲线在点和处的切线互相平行或重合， 可得为偶函数，所以，解得. 【巩固练习1】（2024·河北邢台·二模）已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到的关系，在结合不等式求的取值范围即可. 【详解】因为，. 所以，. 由因为在，两个不同点处的切线相互平行， 所以，又，所以，故CD错误； 因为且，所以，故A不成立； 当时，.故B成立. 【巩固练习2】已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意知有两个不相等的正实数根，结合一元二次方程根的分布即可求得参数的范围. 【详解】由题意知，因为切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线斜率都是， 即关于的方程有两个不相等的正实数根， 化简得，有两个不相等的正实数根， 则，解得. 【关键题型课后训练】 1． 已知直线是曲线的切线，则实数（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，求出切线方程，即得，解方程即得a的值. 【详解】设切点为，∴切线方程是， ∴，故答案为：C 2． （2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】A 【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解. 【详解】设切点为， 由可得， 则过坐标原点的切线的斜率， 故，即， 解得，故过坐标原点的切线共有1条． 3． (2024·山东济宁·三模)已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用偶函数的性质求出的解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数为偶函数，当时，， 则当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程是，即. 4． 已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，表示出切线方程，根据题意可得方程有两个不同的根，由此可得a的范围． 【详解】设切点为，∴切线的斜率， ∴切线方程是， ∵切线过点A（a，0）， ∴，即， ∵过点A（a，0）可以作两条切线， ∴方程有两个不同的根， ∴＝（a+1）2﹣4＞0，解得a＞1或a＜﹣3． 5． 知是函数图象上的任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】D 【分析】结合导数的几何意义转化为点到直线距离求解即可． 【详解】设直线与直线平行，且与函数的图象相切， 设切点为，因为是单调递增函数， 直线的斜率为1，所以，解得， 即切点为， 所以点到直线的距离的最小值是点到直线的距离， 即为． 6． 与曲线和都相切的直线方程为__________. 【答案】 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，所以该直线的方程为，即， 设直线与曲线相切于点， 因为，所以该直线的方程为，即， 所以，解得，所以该直线的方程为 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$