【寒假衔接】专题3-1 导数的概念与运算【8大题型】- 2024-2025学年高二数学寒假精品讲义

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题3-1 导数的概念与运算 模块一 题型·解读 【题型1】平均速度（变化率） 【题型2】瞬时速度（变化率） 【题型3】导数的定义理解与应用 【题型4】导数的几何意义初步 【题型5】利用求导公式求导运算 【题型6】复合函数求导 【题型7】导数的赋值运算 【题型8】求切线方程问题 模块二 基础知识·梳理 知识点01 平均速度（变化率）与瞬时速度（变化率） 1.求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率. 2．瞬时速度是当Δt→0时，运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度的极限值，瞬时速度与平均速度二者不可混淆． 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）. 知识点02 导数的定义中极限的简单计算 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即． 导数的物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 知识点03 导数的运算 一、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 （为常数） 二、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 特别地： ①，；②， 知识点04 导数的几何意义初步 （1）割线的定义：函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线． （2）切线的定义：当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线． （3）导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 知识点05 简单复合函数求导 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). （2）复合函数的求导法则　正确地拆分复合函数是求导的前提 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 模块三 核心题型·训练 【题型1】平均速度（变化率） 求平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和; ②作商：对所求得的差作商，即. 【例题1】某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间上的平均变化率为 ．    【巩固练习2】函数在区间，上的平均变化率为15，则实数的值为　　 A． B． C．1 D．2 【巩固练习3】若函数在区间，△上的平均变化率为，在区间△，上的平均变化率为，则　　 A． B． C． D．与的大小关系与的取值有关 【题型2】瞬时速度（变化率） 【例题1】如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【例题2】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为 m/s． 【巩固练习1】某物体的运动方程为，若（位移单位：，时间单位：，则下列说法中正确的是　　 A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到△这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到△这段时间内的平均速度 【巩固练习2】物体在自由落体运动中，根据，估算物体在时的瞬时速度． 【题型3】导数的定义理解与应用 【例题1】已知，当时， . 【例题2】对于函数，若，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（    ）． A． B． C． D． 【巩固练习1】已知函数在处的导数为1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【巩固练习2】若函数在区间内可导，且，则 的值为（    ） A． B． C． D．0 【巩固练习3】设函数在处可导，以下有关的值的说法中不正确的是（    ） A．与，都有关 B．仅与有关而与无关 C．仅与有关而与无关 D．与，均无关 【巩固练习4】（多选题）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4】导数的几何意义初步 【例题1】函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【例题2】曲线在点处的切线方程是 . 【巩固练习1】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是　　 A．（2）（4）（2）（4） B．（4）（2）（4）（2） C．（2）（4）（4）（2） D．（4）（2）（4）（2） 【巩固练习2】已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率；(2)点处的切线方程. 【题型5】利用求导公式求导运算 【例题1】求下列函数的导数． (1) (2)； 【例题2】设函数，则的值为（    ） A．10 B．59 C． D．0 【巩固练习1】求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) 【巩固练习2】求下列函数的导函数． (1)； (2)； 【巩固练习3】在等比数列中，，若函数，则（    ） A． B． C． D． 【题型6】复合函数求导 【例题1】求下列各函数的导数：(1)；(2) 【巩固练习1】求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) 【巩固练习2】求下列函数的导数． (1)； (2)； 【巩固练习3】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) 【题型7】导数的赋值运算 若导函数中含有某个数的导数时，可以通过对x赋值来求出解 【例题1】已知函数的导函数为，且满足，则______ 【例题2】已知函数，则__________. 【巩固练习1】已知函数（是的导函数），则________ 【巩固练习2】已知函数满足满足；求的解析式 【巩固练习3】已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ． 【巩固练习4】已知，则 . 【题型8】求切线方程问题 【例题1】设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（      ） A．1 B．3 C．6 D．9 【巩固练习1】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题3-1 导数的概念与运算 模块一 题型·解读 【题型1】平均速度（变化率） 【题型2】瞬时速度（变化率） 【题型3】导数的定义理解与应用 【题型4】导数的几何意义初步 【题型5】利用求导公式求导运算 【题型6】复合函数求导 【题型7】导数的赋值运算 【题型8】求切线方程问题 模块二 基础知识·梳理 知识点01 平均速度（变化率）与瞬时速度（变化率） 1.求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率. 2．瞬时速度是当Δt→0时，运动物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度的极限值，瞬时速度与平均速度二者不可混淆． 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）. 知识点02 导数的定义中极限的简单计算 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即． 导数的物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 知识点03 导数的运算 一、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 （为常数） 二、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 特别地： ①，；②， 知识点04 导数的几何意义初步 （1）割线的定义：函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线． （2）切线的定义：当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线． （3）导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 知识点05 简单复合函数求导 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). （2）复合函数的求导法则　正确地拆分复合函数是求导的前提 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 模块三 核心题型·训练 【题型1】平均速度（变化率） 求平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和; ②作商：对所求得的差作商，即. 【例题1】某质点沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案. 【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 则该质点在这段时间内的平均速度为（）. 【巩固练习1】如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间上的平均变化率为 ．    【答案】 【知识点】平均变化率 【分析】根据图象求解函数表达式，即可由平均变化率的计算公式求解. 【详解】由图可知在上的函数表达式为，即可， 故当时，， 在上的函数表达式为，即可， 当 在区间上的平均变化率为 【巩固练习2】函数在区间，上的平均变化率为15，则实数的值为　　 A． B． C．1 D．2 【解答】解：由区间，，可知，可得， 又由，解得． 【巩固练习3】若函数在区间，△上的平均变化率为，在区间△，上的平均变化率为，则　　 A． B． C． D．与的大小关系与的取值有关 【解答】解：函数在到△之间的平均变化量为：△△△△△， △， 函数在△到之间的平均变化量为：△△△△△，△，△，而△，故． 【题型2】瞬时速度（变化率） 【例题1】如果质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可. 【详解】， 所以. 【例题2】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为 m/s． 【答案】3 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、平均变化率 【分析】利用平均变化率来求瞬时变化率即可得到瞬时速度. 【详解】该物体在时间段上的平均速度为: ， 当无限趋近于0时， 无限趋近于3，即该物体在时的瞬时速度为3m/s． 【巩固练习1】某物体的运动方程为，若（位移单位：，时间单位：，则下列说法中正确的是　　 A．是物体从开始到这段时间内的平均速度 B．是物体从到△这段时间内的速度 C．是物体在这一时刻的瞬时速度 D．是物体从到△这段时间内的平均速度 【解答】解：根据题意，， 即物体在这一时刻的瞬时速度是， 故选：． 【巩固练习2】物体在自由落体运动中，根据，估算物体在时的瞬时速度． 【答案】 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用瞬时变化率的定义即可估算物体在时的瞬时速度. 【详解】因为， 所以， 则，所以物体在时的瞬时速度为. 【题型3】导数的定义理解与应用 【例题1】已知，当时， . 【答案】1 【分析】根据导数的定义即可直接求解. 【详解】由导数的定义知，， 由，得，所以. 【例题2】对于函数，若，则当h无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用平均变化率的定义以及导数的定义对四个选择逐一判断即可．. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 【巩固练习1】已知函数在处的导数为1，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义将式子变形可得答案. 【详解】因为函数在处的导数为1， 所以. 【巩固练习2】若函数在区间内可导，且，则 的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】由题意知， 【巩固练习3】设函数在处可导，以下有关的值的说法中不正确的是（    ） A．与，都有关 B．仅与有关而与无关 C．仅与有关而与无关 D．与，均无关 【答案】B 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用导数和极限的关系结合导数的定义求解即可. 【详解】易知函数在处可导，故， 显然此极限仅与有关而与无关，故B正确. 【巩固练习4】（多选题）已知，在R上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】，故A错； ，故B对； ，由导数的定义知C对； ，故D对 【题型4】导数的几何意义初步 【例题1】函数的图像如图所示，下列不等关系正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示切线斜率， 表示切线斜率， 又由平均变化率的定义，可得，表示割线的斜率， 结合图象，可得，即. 【例题2】曲线在点处的切线方程是 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求出函数在点处的切线斜率，根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意得在处的切线斜率为， 故切线方程是，即 【巩固练习1】函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是　　 A．（2）（4）（2）（4） B．（4）（2）（4）（2） C．（2）（4）（4）（2） D．（4）（2）（4）（2） 【解答】解：由函数的图象可知， 当时，单调递增， 所以（2），（4），（4）（2）， 由此可知，在上恒大于0， 因为直线的斜率逐渐增大， 所以单调递增，所以（2）（4），则（2）（4）， 因为（2）（4），所以（2）（4）（2）（4） 【巩固练习2】已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率；(2)点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 【分析】（1）根据导数的定义即可求得点处的切线的斜率； （2）根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】（1）点处的切线的斜率为 ， 即点处的切线的斜率是； （2）结合（1）可得切线方程为，即. 【题型5】利用求导公式求导运算 【例题1】求下列函数的导数． (1) (2)； 【解析】（1）； （2） 【例题2】设函数，则的值为（    ） A．10 B．59 C． D．0 【答案】C 【解析】函数的定义域为， 设，则， 所以 所以. 【巩固练习1】求下列函数的导数． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据基本初等函数的求导公式，结合求导法则即可逐一求解. 【详解】（1）由可得 （2）由可得 由得 由得 【巩固练习2】求下列函数的导函数． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】利用导函数求导法则和复合函数求导法则进行计算. 【详解】（1） ； （2）； 【巩固练习3】在等比数列中，，若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 则，， 所以，. 因为是等比数列，且， 所以，， 所以，， 所以，. 【题型6】复合函数求导 【例题1】求下列各函数的导数： (1)；(2) 【答案】(1)，(2) (1)，. (2)因为所以. 【巩固练习1】求下列函数的导数． (1)； (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用基本函数的导数和求导法则，逐一对各个求导即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. 因为，所以 因为，所以 【巩固练习2】求下列函数的导数． (1)； (2)； 【解析】（1） （2） 【巩固练习3】求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用复合函数求导公式计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【题型7】导数的赋值运算 若导函数中含有某个数的导数时，可以通过对x赋值来求出解 【例题1】已知函数的导函数为，且满足，则______ 【答案】 【分析】先对进行求导，然后把代入，可列出关于的等式，即可解出，从而得出的解析式，即可求出. 【详解】解：因为， 所以，把代入， 得，解得：， 所以，所以. 【例题2】已知函数，则__________. 【答案】-2 【解析】利用复合函数求导法则求导，求出函数，再求函数值作答. 【详解】由函数求导得：，当时，，解得，因此，，所以. 【巩固练习1】已知函数（是的导函数），则________ 【答案】 【分析】对函数进行求导，求出，再令代入解析式，即可得到答案； 【详解】，，， 【巩固练习2】已知函数满足满足；求的解析式 【解析】 令得： 得： 【巩固练习3】已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ． 【答案】． 【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率，再求出切点坐标，有点斜式求出切线方程即可. 【详解】由题意设切点，因为 ， 令，得， 由导数几何意义知：， 又，所以， 故曲线在处的切线方程为：， 整理得： . 【巩固练习4】已知，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以，所以，故 【题型8】求切线方程问题 【例题1】设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（      ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据给定条件，利用导数的定义及几何意义求解即得. 【详解】依题意，，则，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是9. 【巩固练习1】曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，的导函数，故曲线在点处的切线斜率为， 则切线方程，即 【巩固练习2】已知直线与曲线在原点处相切，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数几何意义求直线的斜率，进而确定倾斜角. 【详解】由，则，即直线的斜率为， 根据倾斜角与斜率关系及其范围知：的倾斜角为. 【巩固练习3】若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】求出的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为，求得函数的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得的值，进而得到的值. 【详解】由曲线，得， 在处的切线斜率为，当时，， 曲线在处的，即， 曲线，导数为， 设切点为，则，解得，切点在切线上， 即有，得. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 1 / 10 专题 3-1 导数的概念与运算 【题型 1】平均速度（变化率） 【题型 2】瞬时速度（变化率） 【题型 3】导数的定义理解与应用 【题型 4】导数的几何意义初步 【题型 5】利用求导公式求导运算 【题型 6】复合函数求导 【题型 7】导数的赋值运算 【题型 8】求切线方程问题 知识点 01 平均速度（变化率）与瞬时速度（变化率） 1.求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量 Δy＝f(x2)－f(x1). (2)再计算自变量的改变量 Δx＝x2－x1. (3)得平均变化率 2 1 2 1 ( ) ( )f x f xy x x x     . 2．瞬时速度是当 Δt→0 时，运动物体在 t0 到 t0＋Δt这段时间内的平均速度的极限值，瞬时速度与平 均速度二者不可混淆． 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即 （ 都是正 整数）. 知识点 02 导数的定义中极限的简单计算 函数 ( )f x 在 0x x 处瞬时变化率是 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x f x x f xy x x          ，我们称它为函数  y f x 在 0x x 处的导数，记作 0( )f x 或 0x xy  ． 知识点诠释： m n p m n pa a a a     , ,m n p 模块一 题型·解读 模块二 基础知识·梳理 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 2 / 10 ①增量 x 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于 0． 0x  的意义： x 与 0 之间距离要多近 有多近，即 | 0 |x  可以小于给定的任意小的正数； ②当 0x  时， y 在变化中都趋于 0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 0 0( ) ( )f x x f xy x x       无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一 时刻的瞬间变化率，即 0 00 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim x x f x x f xy f x x x            ． 导数的物理意义 函数 ( )s s t 在点 0t 处的导数 0( )s t 是物体在 0t 时刻的瞬时速度 v ，即 0( )v s t ； ( )v v t 在点 0t 的导 数 0( )v t 是物体在 0t 时刻的瞬时加速度 a，即 0( )a v t ． 知识点 03 导数的运算 一、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 ( )f x c （ c为常数） ( ) 0f x  ( ) af x x ( )a Q 1( ) af x ax   ( ) xf x a ( 0 1)a a ， ( ) lnxf x a a  ( ) log ( 0 1)af x x a a  ， 1( ) ln f x x a   ( ) xf x e ( ) xf x e  ( ) lnf x x 1 ( )f x x   ( ) sinf x x ( ) cosf x x  ( ) cosf x x ( ) sinf x x   二、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：[ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x f x g x     ； （2）函数积的求导法则：[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x    ； （3）函数商的求导法则： ( ) 0g x  ，则 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) f x f x g x f x g x g x g x    ． 特别地： 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 3 / 10 ① ( )xy e f x ，  ' ( ) '( )xy e f x f x  ；② ( ) x f x y e  ， '( ) ( ) ' x f x f x y e   知识点 04 导数的几何意义初步 （1）割线的定义：函数 y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为 y x   ，它是过 A(x0，f(x0))和 B(x0＋Δx， f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线 y＝f(x)在点 A处的一条割线． （2）切线的定义：当 Δx 趋于零时，点 B 将沿着曲线 y＝f(x)趋于点 A，割线 AB 将绕点 A 转动最后 趋于直线 l，直线 l和曲线 y＝f(x)在点 A 处“相切”，称直线 l为曲线 y＝f(x)在点 A处的切线． （3）导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x0处的导数，是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多． 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 知识点 05 简单复合函数求导 （1）复合函数的概念 一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过中间变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这 个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)). （2）复合函数的求导法则 正确地拆分复合函数是求导的前提 一般地，对于由函数 y＝f(u)和 u＝g(x)复合而成的函数 y＝f(g(x))，它的导数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数 间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 【题型 1】平均速度（变化率） 求平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出 2 1( ) ( )y f x f x   和 2 1x x x   ; ②作商：对所求得的差作商，即 2 1 2 1 ( ) ( )f x f xy x x x     . 【例题 1】某质点沿直线运动，其位移 y（单位：m）与时间 t（单位：s）之间的关系为 2( ) 2y t t t  ， 则该质点在1 3t  这段时间内的平均速度为（ ） A．6m/s B．7m/s C．8m/s D．9m/s 模块三 核心题型·训练 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 4 / 10 【巩固练习 1】如图是某变量变化的折线图，则该变量在区间[0,2]上的平均变化率为 ． 【巩固练习 2】函数 在区间 ， 上的平均变化率为 15，则实数 的值为 A． B． C．1 D．2 【巩固练习 3】若函数 在区间 ， △ 上的平均变化率为 ，在区间 △ ， 上的平均变化率为 ，则 A． B． C． D． 与 的大小关系与 的取值有关 【题型 2】瞬时速度（变化率） 【例题 1】如果质点A 运动的位移S（单位：m）与时间 t（单位：s）之间的函数关系是   2 S t t   ， 那么该质点在 3st  时的瞬时速度为（ ） A． 2 3  B． 2 3 C． 2 9  D． 2 9 【例题 2】某物体的运动路程 s（单位：m）与时间 t（单位：s）的关系可用函数   2 1s t t t   表示， 则该物体在 1st  时的瞬时速度为 m/s． 【巩固练习 1】某物体的运动方程为 ，若 （位移单位： ， 时间单位： ，则下列说法中正确的是 A． 是物体从开始到 这段时间内的平均速度 B． 是物体从 到 △ 这段时间内的速度 C． 是物体在 这一时刻的瞬时速度 D． 是物体从 到 △ 这段时间内的平均速度 4( )f x x [a 2 ]a a ( ) 1 3 1 2 2( )f x x 0[x 0x  ]x 1k 0[x  x 0 ]x 2k ( ) 1 2k k 1 2k k 1 2k k 1k 2k 0x 2( ) 3s t t 0 (3 ) (3) lim 18 / t s t s v m s t     m )s ( ) 18 /m s 3s 18 /m s 3s (3 )t s 18 /m s 3s 18 /m s 3s (3 )t s 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 5 / 10 【巩固练习 2】物体在自由落体运动中，根据 21 2 h gt ，估算物体在 2st  时的瞬时速度． 【题型 3】导数的定义理解与应用 【例题 1】已知   3 2f x x x  ，当 0h 时，    1 1f h f h    . 【例题 2】对于函数  y f x ，若  0 2f x  ，则当 h 无限趋近于 0 时，在下列式子中无限趋近于 2 的式子有（ ）． A．    0 0f x h f x h   B．    0 0 2 f x h f x h   C．    0 02f x h f x h   D．    0 02 2 f x h f x h   【巩固练习 1】已知函数  y f x 在 0x x 处的导数为 1，则    0 0 0 lim 2x f x x f x x       （ ） A．0 B． 1 2 C．1 D．2 【巩固练习 2】若函数  y f x 在区间 ( , )a b 内可导，且 0 ( , )x a b ，则 0 0 0 ( ) ( ) lim h f x h f x h h    的值 为（ ） A．  0f x B．  02 f x C．  02 f x D．0 【巩固练习 3】设函数  f x 在 0x x 处可导，以下有关    0 0 0 lim h f x h f x h   的值的说法中不正确的 是（ ） A．与 0x ， h都有关 B．仅与 0x 有关而与h无关 C．仅与h有关而与 0x 无关 D．与 0x ， h均无关 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 6 / 10 【巩固练习 4】（多选题）已知  f x ，  g x 在 R上连续且可导，且  0 0 f x ，下列关于导数与极 限的说法中正确的是（ ） A．      0 0 0 Δ 0 Δ lim Δx f x x f x f x x    B．       Δ 0 Δ Δ lim 2Δh f t h f t h f t h     C．      0 0 0 Δ 0 3Δ lim 3Δx f x x f x f x x    D．             0 0 0 Δ 0 0 0 0 Δ lim Δx g x x g x g x f x x f x f x      【题型 4】导数的几何意义初步 【例题 1】函数 ( )y f x 的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ） A．0 (2) (3) (3) (2)f f f f     B．0 (2) (3) (2) (3)f f f f     C．0 (3) (3) (2) (2)f f f f     D．0 (3) (2) (2) (3)f f f f     【例题 2】曲线 1 y x   在点 1 , 2 2       处的切线方程是 . 【巩固练习 1】函数 的图象如图所示， 是函数 的导函数，则下列数值排序正确的 是 A． （2） （4） （2） （4） B． （4） （2） （4） （2） C． （2） （4） （4） （2） D． （4） （2） （4） （2） ( )y f x ( )f x ( )f x ( ) 2 f  f f 2 f  2 f  2 f  f f 2 f  2 f  f f f f 2 f  2 f  【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 7 / 10 【巩固练习 2】已知函数  y f x ，其中   1 f x x x   ，求： (1)点 5 2, 2 A       处的切线的斜率；(2)点 5 2, 2 A       处的切线方程. 【题型 5】利用求导公式求导运算 【例题 1】求下列函数的导数． (1) exy x (2) 2 ln 1 x y x   ； 【例题 2】设函数       1 2 10f x x x x x    ，则 (0)f  的值为（ ） A．10 B．59 C．10 9 2 1   … D．0 【巩固练习 1】求下列函数的导数． (1)   3 22 4f x x x   (2) ( ) exf x x (3) ( ) sin cosf x x x x  (4) 1 ( ) 1 x f x x    【巩固练习 2】求下列函数的导函数． (1)    1 lnf x x x x   ； (2)   1 ex x f x   ； 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 8 / 10 【巩固练习 3】在等比数列 na 中， 1013 2a  ，若函数       1 2 2025 1 2 f x x x a x a x a    ， 则  0f  （ ） A． 20242 B． 20242 C． 20252 D． 20252 【题型 6】复合函数求导 【例题 1】求下列各函数的导数：(1) ln(3 2)y x  ；(2)  2 1 1 ln 2 2 xy e x  【巩固练习 1】求下列函数的导数． (1)     2 2 1f x x   (2)    ln 4 1f x x  (3)   3 22 xf x  (4)   5 4f x x  【巩固练习 2】求下列函数的导数． (1) 2sin(1 3 )y x  ； (2) 23 ln 1 4 y x x    ； 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 9 / 10 【巩固练习 3】求下列函数的导数： (1)   10 2 3y x  ； (2) 2 1e xy  ； (3)  ln 3 2y x  ； (4) sin 4y x 【题型 7】导数的赋值运算 若导函数中含有某个数的导数时，可以通过对 x 赋值来求出解 【例题 1】已知函数  f x 的导函数为  f x ，且满足    3 2 1 2 1f x x x f x    ，则  2f   ______ 【例题 2】已知函数 2( ) (0)e ex xf x f   ，则 (0)f  __________. 【巩固练习 1】已知函数     2 2 2 3 ln 9 f x f x x x   （  f x 是  f x 的导函数），则  1f  ________ 【巩固练习 2】已知函数 ( )f x 满足满足 1 21( ) (1) (0) 2 xf x f e f x x   ；求 ( )f x 的解析式 【巩固练习 3】已知函数    4e 0 2xf x f x   （  f x 是  f x 的导函数），则曲线  y f x 在 0x  处的切线方程为 ． 【巩固练习 4】已知    2 1 2 2024 2024ln 2 f x x xf x   ，则  2024f   . 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 10 / 10 【题型 8】求切线方程问题 【例题 1】设 ( )f x 为可导函数，且满足 0 (3 ) lim 3 ( 3 3) x f x f x       ，则曲线 ( )y f x 在点 (3, (3))f 处的切 线的斜率是（ ） A．1 B．3 C．6 D．9 【巩固练习 1】曲线 ln 2y x 在点 1 ,0 2       处的切线方程为（ ） A．2 1 0x y   B．2 1 0x y   C．2 2 0x y   D．2 2 0x y   【巩固练习 2】已知直线 l与曲线 3y x x  在原点处相切，则 l的倾斜角为（ ） A． π 6 B． π 4 C． 3π 4 D． 5π 6 【巩固练习 3】若曲线 exy a  在 0x  处的切线也是曲线 lny x 的切线，则 a （ ） A． 2 B．1 C． 1 D． e