【寒假衔接】专题1-2 数列通项公式与求和的常见方法【13类题型】- 2024-2025学年高二数学寒假精品讲义

【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题1-2 数列通项公式与求和的常见方法 模块一 题型·解读 【题型1】已知等差等比求通项 【题型2】消Sn求an 【题型3】累加法 【题型4】累乘法 【题型5】取倒数问题 【题型6】前n项积问题 【题型7】构造数列问题 【题型9】错位相减法求和 【题型10】裂项相消 【题型11】并项求和 【题型12】分组求和 【题型13】放缩后求和 【综合训练】 模块二 基础知识·梳理 知识点01 通项公式求解的常见方法 1、公式法 要点诠释：借助等差与等比数列的定义、等差中项、等比中项，结合等差数列通项公式与等比数列通项公式求解. （1）常见的等差数列的通项公式 ①；②；③. （2）常见的等比数列的通项公式 ①；②. 2、退位相减（除）法 要点诠释：退位相减法适用于递推关系中同时含有与的形式（其中），求解数列通项公式时借助关系：，操作时一般两种思路： 思路一：将条件中所有的，全部转化为的形式，即使得递推关系中只含有，进而视为新数列，先求出的通项公式，再结合，求出； 思路二：将条件中所有的形式退位，再原递推关系式与退位过后的递推关系作差，将其转化为只含有的形式，再构造等比或等差数列求出的通项公式. 退位相除法适用于递推关系中同时含有与的形式（其中），借助，可以求出在条件下的表达式，最后验证下首项即可. 【注】不论是退位相减法还是退位相除法，一般都需要验证首项符不符合，在不符合的条件下，书写通项公式时，注意分段表达. 3、累加法： 具体如下：先得到如下个式子， 再将上述个式子左右分别累加，可以得到：，即，求和化简后，再验证是否成立即可. 4、累乘法： 具体如下：先得到如下个式子， 再将上述个式子左右分别累乘，可以得到：，即，求积化简后，再验证是否成立即可. 5、待定系数法 ①； 设（其中为待定系数），通过比较系数，可以求出，只需验证，即可得到数列为等比数列，首项为，公比为，从而可以求出数列的通项公式，进而可以求出的通项公式. ②. 设（其中为待定系数），通过比较系数，可以求出，只需验证，即可得到数列为等比数列，首项为，公比为，这样即可求出数列的通项公式，进而可以求出的通项公式. ③，一般利用待定系数法构造等比数列求通项. 6、取倒数法 要点诠释：一般适用于：①；②；③. 针对或，通过对等式两边同时取倒数，将其转化为类型：，此时若，直接借助等差数列通项公式求解即可；若，结合前面的待定系数法求解即可.针对递推关系为：的形式，可以在等式两边同除，再令，将其转化为类型：，进而可以求出通项. 7、同除法： 要点诠释：将等式两边同除，转化为：，再令，将其转化为，再结合累加法求出的通项公式，进而求出的通项公式. 有些时候也可以等式两边同除以，视具体情况而定. 8、取对数法： 针对递推关系：，处理时，可以将等式两边同取常用对数：，即，再令，可以得到：，这样就可以求出的通项公式，进而求出的通项公式. 知识点02 数列求和的常见方法 1、公式法 （1）常见的等差数列的前项和公式 ①； ②； ③（其中）. （2）常见的等比数列的前项和公式 ①； ②； ③； ④（其中）. （3）其他的求和公式 ①； ②； ③. 2、倒序相加法 要点注释：适用于首尾相加为定值的数列求和，求和过程如下： ，再结合定值继续求和.常见的一些定值结论： ①，则； ②，则； ③，则； ④，则； ⑤，则. 3、裂项相消法（含简单的放缩法） （1）适用于，求，其中为等差数列，公差为，为常数.求和过程如下：先裂项，再求和： （2）适用于，求，其中为等差数列，公差为，为常数. 求和过程如下：先裂项，再求和： （3）高中阶段其他的裂项形式 ①②； ③； ④； ⑤； ⑥； 例子： ⑦； ⑧； ⑨；； ⑩. 4、错位相减法 要点注释：适用于当，求，其中分别为等差、等比数列，其中的公差与公比分别为，求和过程如下： 再对部分等比数列实施求和，需注意，此时数列的项数为项，（通常这块求和时，使用公式，可避免对项数的讨论），另外需注意，前面的符号为“”，化简的过程需细心.整个过程中，若没有给出公比的限制条件，还需要对公比的数值进行讨论. 5、分组求和 要点注释：适用于当，求，其中为两类不同性质的数列，诸如等差、等比数列等.求和过程如下： 6、分段求和问题 一般分为三种：①常规分段；②绝对值分段；③周期分段.求和的结果一般需写成分段的形式. 7、并项求和问题 特征：①；②；③求 模块三 核心题型·训练 【题型1】已知等差等比求通项 【例题1】记等差数列的前项和为，公差为，等比数列的公比为，已知，，,求，的通项公式； 【例题2】已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，求数列的通项公式 【巩固练习1】已知等比数列中，，求数列的通项公式及它的前n项和. 【巩固练习2】设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式 【题型2】消Sn求an 【例题1】已知正项数列的前项和为，满足,求数列的通项公式 【例题2】已知数列满足，求数列的通项公式 【巩固练习1】已知数列的前n项和满足，求的通项公式； 【巩固练习2】已知数列满足，求的通项公式. 【巩固练习3】正项递增数列的前项和为，，求的通项公式； 【题型3】累加法 【例题1】在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 【例题2】在数列中，，且，则__________. 【巩固练习1】在数列中，，，，则__________． 【巩固练习2】已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知数列首项为2，且，则（ ） A. B. C. D. 【题型4】累乘法 【例题1】已知数列的前n项和为，，满足，求. 【例题2】为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列，求的通项公式. 【巩固练习1】已知数列的前项和为，且，求的通项公式. 【巩固练习2】已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 . 【题型5】取倒数问题 【例题1】已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______． 【例题2】已知数列的首项，且满足，求. 【巩固练习1】已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【巩固练习2】已知数列满足，，则 ． 【题型6】前n项积问题 【例题1】已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【例题2】已知正项数列的前项和为，前项积为，且满足，则不等式成立的的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．10 【巩固练习1】已知正项数列的前项积为，且满足，则 . 【巩固练习2】已知数列的各项均不为0， 且满足 （1）求通项公式（2）令，求数列的前n项和为. 【题型7】构造数列问题 【例题1】已知数列满足，且，则 . 【例题2】已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 【例题3】假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为 . 【巩固练习1】在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 . 【巩固练习2】已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【巩固练习3】已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的细菌的个数为 （用数字作答）. 【巩固练习4】已知数列满足，，则数列的通项公式为 . 【巩固练习5】已知数列满足，，，求的通项公式． 【题型9】错位相减法求和 【例题1】已知，若，求数列的前项和． 【例题2】已知数列，的前项和分别为，，，且． （1）求；（2）求数列的前项和． 【例题3】已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和. 【巩固练习1】已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，. (1)求数列，的通项公式.(2)若，求数列前项的和. 【巩固练习2】已知等比数列的各项均为正数，且，. (1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的通项公式. 【巩固练习3】已知，若，求数列的前n项和． 【巩固练习4】已知各项均为正数的数列满足：，. (1)求数列的通项公式；(2)设，求. 【题型10】裂项相消 【例题1】已知等差数列满足. （1）求数列的通项公式及前项和；（2）记数列的前项和为，若,求的最小值. 【例题2】已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式；(2)若，记数列的前项和，求并证明：. 【例题3】已知等差数列的首项，且满足. (1)求数列的通项； (2)若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数. 【巩固练习1】设等差数列的公差为非零常数，且，若，，成等比数列，则公差________﹔数列的前100项和________. 【巩固练习2】（多选）在数列和中，，，，下列说法正确的有（    ） A． B． C．36是与的公共项 D． 【巩固练习3】已知数列的前项和为，，则数列的前项和 . 【巩固练习4】设是等比数列，是递增的等差数列，的前n项和为，，，，. (1)求与的通项公式 (2)求证：； (3)设，求数列的前n项和. 【巩固练习5】已知数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，设数列的前项和，求证：. 【巩固练习6】设正项数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围. 【巩固练习7】记为数列的前项和，且． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)数列的前n项和为，且，求证：． 【巩固练习8】已知在数列中，，且当时，. (1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，证明：. 【题型11】并项求和 【例题1】已知数列的前项和是，且． （1）求数列的通项公式；（2）令，求数列前项的和． 【例题2】已知数列，满足，，. (1)证明：为等差数列.(2)设数列的前项和为，求. 【巩固练习1】在数列中，已知且，则其前项和的值为（ ） A. B. C. D. 【巩固练习2】记等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和. 【巩固练习3】已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式及；(2)记，求数列的前项和． 【题型12】分组求和 【例题1】在公差为的等差数列中,已知，且成等比数列. （Ⅰ）求；（Ⅱ）若,求. 【例题2】已知数列满足， (1)记，写出，，并证明数列为等比数列；(2)求的前项和． 【巩固练习1】在等差数列中，已知公差，前项和 (其中)． （1）求；（2）求和：． 【巩固练习2】设为数列的前n项和，满足. (1)求证：数列是等比数列，并求通项公式；(2)记，求. 【巩固练习3】已知数列满足. (1)记，写出，并求数列的通项公式；(2)求的前100项和. 【题型13】放缩后求和 【例题1】已知数列的前n项和为，且满足，． (1)判断是否为等差数列？并证明你的结论；(2)求和；(3)求证：． 【例题2】已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 【巩固练习1】已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：. 【巩固练习2】已知数列，满足，且，数列满足． (1)求的通项公式；(2)证明：． 【综合训练】 1． 已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 . 2． 已知数列的前n项和为，，且，求通项公式． 3． 已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式________ 4． 已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 5． （多选）设数列满足，（），则（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递减数列 D．的前n项和 6． (2022全国乙卷)记为数列的前n项积，已知，，求数列的通项公式 7． 已知数列，满足，，. (1)证明：为等差数列.(2)设数列的前项和为，求. 8． 已知数列的首项，且满足 (1)记，证明：为等比数列；(2)求数列的通项公式及其前项和. 9． 已知数列满足：. (1)求；(2)证明：. 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 1 / 23 专题 1-2 数列通项公式与求和的常见方法 【题型 1】已知等差等比求通项 【题型 2】消 Sn求 an 【题型 3】累加法 【题型 4】累乘法 【题型 5】取倒数问题 【题型 6】前 n项积问题 【题型 7】构造数列问题 【题型 9】错位相减法求和 【题型 10】裂项相消 【题型 11】并项求和 【题型 12】分组求和 【题型 13】放缩后求和 【综合训练】 知识点 01 通项公式求解的常见方法 1、公式法 要点诠释：借助等差与等比数列的定义、等差中项、等比中项，结合等差数列通项公式与等比数列 通项公式求解. （1）常见的等差数列的通项公式 ①  1 1na a n d   ；②  n ma a n m d   ；③ na pn q  . （2）常见的等比数列的通项公式 ① 1 1 n na a q   ；② n m n ma a q   . 2、退位相减（除）法 要点诠释：退位相减法适用于递推关系中同时含有 nS 与 na 的形式（其中 1 2n nS a a a    ），求 解数列 na 通项公式时借助关系： 1 1 , 1 , 2 n n n S n a S S n      ，操作时一般两种思路： 思路一：将条件中所有的 na ，全部转化为 nS 的形式，即使得递推关系中只含有 nS ，进而视 nS 为 模块一 题型·解读 模块二 基础知识·梳理 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 2 / 23 新数列，先求出 nS 的通项公式，再结合 1 1 , 1 , 2 n n n S n a S S n      ，求出 na ； 思路二：将条件中所有的 nS 形式退位，再原递推关系式与退位过后的递推关系作差，将其转化为只 含有 na 的形式，再构造等比或等差数列求出 na 的通项公式. 退位相除法适用于递推关系中同时含有 nT 与 na 的形式（其中 1 2n nT a a a ），借助   1 2nn n T a n T    ， 可以求出 na 在 2n  条件下的表达式，最后验证下首项即可. 【注】不论是退位相减法还是退位相除法，一般都需要验证首项符不符合，在不符合的条件下，书 写通项公式时，注意分段表达. 3、累加法：   *1 Nn na a f n n    具体如下：先得到如下 1n 个式子，        2 1 3 2 1 1 2 1 2n n a a f a a f a a f n n         再将上述 1n 个式子左右分别累加，可以得到：      1 1 2 1na a f f f n      ，即       1 1 2 1 2na a f f f n n       ，求和化简后，再验证 1n  是否成立即可. 4、累乘法：   1 *Nn n a f n n a    具体如下：先得到如下 1n 个式子，        2 1 3 2 1 1 2 1 2n n a f a a f a a f n n a       再将上述 1n 个式子左右分别累乘，可以得到：        1 1 2 1 2n a f f f n n a       ，即       1 1 2 1 2na a f f f n n       ，求积化简后，再验证 1n  是否成立即可. 5、待定系数法 ①  1 1, 0n na pa q p q     ； 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 3 / 23 设  1n na p a     （其中  为待定系数），通过比较系数，可以求出 1 q p    ，只需验证 1 0 1 q a p    ，即可得到数列 na  为等比数列，首项为 1 1 q a p   ，公比为 p ，从而可以求出 数列 na  的通项公式，进而可以求出 na 的通项公式. ②  1 1, 0n na pa qn r p q      . 设    1 1 2 1 21n na n p a n          （其中 1 2,  为待定系数），通过比较系数，可以求出 1 2,  ， 只需验证 1 1 2 0a     ，即可得到数列 1 2na n   为等比数列，首项为 1 1 2a    ，公比为 p ， 这样即可求出数列 1 2na n   的通项公式，进而可以求出 na 的通项公式. ③ 1 1( 0, 2, )n n na pa qa pq n n N        ，一般利用待定系数法构造等比数列求通项. 6、取倒数法 要点诠释：一般适用于：① 1 n n n pa a qa r    ；② 1 1 n n n pa a qa r     ；③ 1 1 0n n n npa qa ra a    . 针对 1= n n n pa a qa r   或 1 1 n n n pa a qa r     ，通过对等式两边同时取倒数，将其转化为类型： 1 1 1 n n x y a a   ， 此时若 1x  ，直接借助等差数列通项公式求解即可；若 1x  ，结合前面的待定系数法求解即可.针对 递推关系为： 1 1 0n n n npa qa ra a    的形式，可以在等式两边同除 1n na a  ，再令 1 n n b a  ，将其 转化为类型： 1n nb pb q   ，进而可以求出 na 通项. 7、同除法： 1 + ,( 2, 0) n n na pa q c n pq    要点诠释：将等式两边同除 1np  ，转化为：  1 1 1 n n n n n f na a p p p      ，再令 n n n a b p  ，     1n f n g n p   将 其转化为  1n nb b g n   ，再结合累加法求出 nb 的通项公式，进而求出 na 的通项公式. 有些时候也可以等式两边同除以 np ，视具体情况而定. 8、取对数法：  1 0, 0 q n n na pa a p    针对递推关系：  1 0 q n na pa p   ，处理时，可以将等式两边同取常用对数：  1lg lg q n na pa  ， 即 1lg lg lgn na q a p   ，再令 lgn nb a ， lgr p 可以得到： 1n nb qb r   ，这样就可以求出 nb 的通项公式，进而求出 na 的通项公式. 知识点 02 数列求和的常见方法 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 4 / 23 1、公式法 （1）常见的等差数列的前n项和公式 ①  1 2 n n a a n S   ； ②     1 1 1 2 2 n n n n n n S na d na d       ； ③ 2 nS An Bn  （其中 1, 2 2 d d A B a   ）. （2）常见的等比数列的前n项和公式 ①  1 1nS na q  ； ②     1 1 1, 0 1 n n a q S q q q      ； ③  1 1, 0 1 n n a a q S q q q      ； ④ n nS mq m  （其中 1, 0q q  ）. （3）其他的求和公式 ①   2 2 2 2 1 1 2 3 1 2 1 6 n n n n       ； ②   23 3 3 3 2 211 2 3 (1 2 3 ) 1 4 n n n n           ； ③ 0 1 2n nn n nC C C    . 2、倒序相加法 要点注释：适用于首尾相加为定值的数列求和，求和过程如下： 1 2 3 1 2 1 n n n n n n S c c c c S c c c c            1 2 1 12 ( ) ( ) ( )n n n nS c c c c c c       ，再结合定值继续求和.常见的一些定值结论： ①   x x a f x a a   ，则    1 1f x f x   ； ②   1 x f x a a   ，则     1 1f x f x a    ； ③   1 1x f x a   ，则     1f x f x   ； ④   2 1 1 f x x   ，则   1 1f x f x        ； ⑤   1 log 2 1 a x f x x    ，则      1 1 0 1f x f x x     . 3、裂项相消法（含简单的放缩法） 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 5 / 23 （1）适用于 1 n n n m c a a    ，求 1 2 3n nS c c c c     ，其中{ }na 为等差数列，公差为d ，m 为 常数.求和过程如下：先裂项 1 1 1 1 n n n n n m m c a a d a a           ，再求和： 1 2 3 1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n m m m m S c c c c d a a d a a d a a d a a                                     1 2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n m d a a a a a a a a                                   1 1 1 1 n m d a a         （2）适用于 2 n n n m c a a    ，求 1 2 3n nS c c c c     ，其中{ }na 为等差数列，公差为d ，m 为 常数. 求和过程如下：先裂项 2 2 1 1 2 n n n n n m m c a a d a a           ，再求和： 1 2 3 1 3 2 4 3 5 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n m m m m S c c c c d a a d a a d a a d a a                                    1 3 2 4 2 1 1 1 1 1 1 2 n n m d a a a a a a                          1 2 1 2 1 1 1 1 2 n n m d a a a a           （3）高中阶段其他的裂项形式 ①         1 1 1 1 1 2 2 1 1 2n n n n n n n            ②  1 1 n k n kn k n      ； ③  ln 1 ln ln k n k n n          ； ④  ! 1 ! !n n n n    ； ⑤    1 1 1 1 1 1 1n nn n n n n n a a a a a a             ； ⑥ ； 例子： ⑦    1 2 1 1 1 2 2 1 2n n n n n n n n          ； ⑧ 1 1 m m m n n nC C C    ； ⑨ 2 2 2 1 4 4 1 1 2 4 4 1 2 1 2 1n n n n n            ；   1 2 2 2 1 1 n n n n n n n         ；          1 1 1 1 1 nn na kn a kn ab ba kn b k n b a k k n b a b                  1 2 2( 1) 2 1 1 1 1 ( 1) 2 ( 1) 2 1 2 2 ( 1) 2                      n n n n n n n n n n n n n n n n 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 6 / 23 ⑩      11 1 1 1 1 1 1 11 1 n n nn n q q q q qq q              . 4、错位相减法 要点注释：适用于当 n n nc a b  ，求 1 2 3n nS c c c c     ，其中{ },{ }n na b 分别为等差、等比数 列，其中{ },{ }n na b 的公差与公比分别为  , 1d q q  ，求和过程如下： 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 1 1 1 1 2 3 1 (1) (2) (1) (2) (1 ) ( ) n n n n n n n n n n n n n n S c c c c S a b a b a b a b qS a b a b a b a b q S a b d b b b a b                           由 得 再对 2 3 nb b b   部分等比数列实施求和，需注意，此时数列的项数为 1n 项，（通常这块求和 时，使用公式 1 1 n n a a q S q    ，可避免对项数的讨论），另外需注意， 1n na b  前面的符号为“ ”，化简 的过程需细心.整个过程中，若没有给出公比的限制条件，还需要对公比q的数值进行讨论. 5、分组求和 要点注释：适用于当 n n nc a b  ，求 1 2 3n nS c c c c     ，其中{ },{ }n na b 为两类不同性质的 数列，诸如等差、等比数列等.求和过程如下： 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n S c c c c a b a b a b a b a a a a b b b b T H                           6、分段求和问题 一般分为三种：①常规分段；②绝对值分段；③周期分段.求和的结果一般需写成分段的形式. 7、并项求和问题 特征：① ( 1) n n na b  ；② 1 ( )n na a f n  ；③求 2nS 【题型 1】已知等差等比求通项 【例题 1】记等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，等比数列 的公比为 ，已知 ， ， ,求 ， 的通项公式；  na n nS d  nb ( 0)q q  1 2 4a b  2 3 q d 9 49S b  na  nb 模块三 核心题型·训练 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 7 / 23 【例题 2】已知各项均为正数的等比数列 na ，其前n项和为 nS ，满足 22 6n nS a   ，求数列 na 的 通项公式 【巩固练习 1】已知等比数列 na 中，  1 *1 3 2nn na a n   N ，求数列 na 的通项公式及它的前 n 项和 nS . 【巩固练习 2】设等差数列 na 前n项和 nS ， 1 1a  ，满足  12 5 2n nS n a    ， •nN ，求数列 na 的通项公式 【题型 2】消 Sn 求 an 【例题 1】已知正项数列 na 的前 n 项和为 nS ，满足  22 1 2n n nS a a n    N ,求数列 na 的通 项公式 【例题 2】已知数列 na 满足 1 2 3 1 3 5 2 1 n n n a a a a       ，求数列 na 的通项公式 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 8 / 23 【巩固练习 1】已知数列 na 的前 n项和 nS 满足2 3n nS a  ，求 na 的通项公式； 【巩固练习 2】已知数列 na 满足   12 1 2 2 1 3 3 3 3 3 4 n n n n a a a        ，求 na 的通项公式. 【巩固练习 3】正项递增数列 na 的前 n项和为 nS ，   2 *4 4 1n nS a n n   N ，求 na 的通项公式； 【题型 3】累加法 【例题 1】在数列 na 中， 1 2n na a n  ，则数列 na 前 24 项和 24S 的值为（ ） A．144 B．312 C．288 D．156 【例题 2】在数列 na 中， 1 2a  ，且  1 lg 2 1 n n n a a n n     ，则 100a  __________. 【巩固练习 1】在数列 na 中， 1 1a  ， 1n n na a   ， *Nn ，则 10a  __________． 【巩固练习 2】已知数列 na 满足 1 133, 2n na a a n   ，则 n a n 的最小值为（ ） A． 21 2 B．2 33 1 C． 53 5 D． 33 5 【巩固练习 3】已知数列 首项为 2，且 ，则 （ ） A. B. C. D.  na 1 1 2 n n na a     na  2n 12 1n  2 2n  12 2n  【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 9 / 23 【题型 4】累乘法 【例题 1】已知数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 1a  ，满足 12 n nS na  ，求 na . 【例题 2】为数列 na 的前 n项和，已知 1 1, n n S a a        是公差为 1 3 的等差数列，求 na 的通项公式. 【巩固练习 1】已知数列 na 的前n项和为 nS ，且4 (2 1) 1n nS n a   ，求 na 的通项公式. 【巩固练习 2】已知数列 na 的首项为 1，前 n项和为 nS ，且  1 2n nnS n S   ，则数列 na 的通项公 式 na  . 【题型 5】取倒数问题 【例题 1】已知数列 na 满足 1 1a  ，且 1 1 n n n a a a    ．则数列 na 的通项公式为 na  _______． 【例题 2】已知数列 na 的首项 1 2 5 a  ，且满足 1 2 2 1 n n n a a a    ，求 1 na       . 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 10 / 23 【巩固练习 1】已知数列 na 满足 1 1 2 a  ，且 +1= 3 +1 n n n a a a ，则数列 na 的通项公式为 =na ． 【巩固练习 2】已知数列 na 满足 1 1 2 a  ， 1 2 4 n n n a a a    ，则 na  ． 【题型 6】前 n 项积问题 【例题 1】已知 nT 为正项数列 na 的前n项的乘积，且 2 1 1 2, n n na T a   ，则 5a （ ） A．16 B．32 C．64 D．128 【例题 2】已知正项数列{ }na 的前n项和为 nS ，前n项积为 nT ，且满足 ( N )3 1 n n n T a n T    ，则不等 式 11nS  成立的n的最小值为（ ） A．11 B．12 C．13 D．10 【巩固练习 1】已知正项数列 na 的前n项积为 nT ，且满足    *3 1 Nn n na T T n   ，则 nT  . 【巩固练习 2】已知数列 的各项均不为 0， 且满足 （1）求 通项公式（2）令 ，求数列 的前 n项和为 .  na  Nn  ( 1) 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 n n na a a                        na 1 n n b n a    Nn   nb nT 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 11 / 23 【题型 7】构造数列问题 【例题 1】已知数列 na 满足 1 3 4n na a   ，且 1 0a  ，则 na  . 【例题 2】已知数列 na 中， 1 3a  ， 1 2 2 3n na a n    ， *nN ， nS 为数列 na 的前项和，则数列 na 的通项公式 na  ； 8S  . 【例题 3】假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂 1 次（1 个正常细菌分裂成 2 个正常细 菌和 1 个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂 1 次（1 个非正常细菌分裂成 2 个非正常细菌）.若 1 个正常细菌经过 14 小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为 . 【巩固练习 1】在数列 na 中， 1 11, 3 4n na a a   ，若对于任意的   *, 2 3 5nn k a n   N 恒成立， 则实数 k的最小值为 . 【巩固练习 2】已知数列 na 的首项 1 1 2 a  ，且满足 1 2 n n n a a a    ，若 1 2 3 1 1 1 1 1000 na a a a       ，则 满足条件的最大整数n （ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【巩固练习 3】已知某种细菌培养过程中，每小时 1 个正常细菌分裂成 2 个正常细菌和 1 个非正常 细菌），1 个非正常细菌分裂成 2 个非正常细菌.则 1 个正常细菌经过 8 小时的培养，可分裂成的细菌 的个数为 （用数字作答）. 【巩固练习 4】已知 na 数列满足 1 2a  ， 1 1 2 2 n n na a     ，则数列 na 的通项公式为 . 【巩固练习 5】已知数列 na 满足 2 12 3n n na a a   ， 1 1 2 a  ， 2 3 2 a  ，求 na 的通项公式． 【题型 9】错位相减法求和 【例题 1】已知 2 1na n  ，若 1 3 n n nb a        ，求数列 nb 的前n项和 nT ． 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 12 / 23 【例题 2】已知数列 na ， nb 的前n项和分别为 nS ， nT ， 2 1 n n nb a   ，且 1 22 2nn nS T n     ． （1）求 n nT S ；（2）求数列 2 n n b      的前n项和 nR ． 【例题 3】已知数列 na 的前n项和为 nS ， 1 2a  且  *1 2 2n nS S n   N . (1)求数列 na 的通项公式；(2)设  2 1n nb n a  ，求数列 nb 的前n项和 nT . 【巩固练习 1】已知数列 na 是公差大于 1 的等差数列， 2 3a  ，且 1 1a  ， 3 1a  ， 6 3a  成等比数列， 若数列 nb 前n项和为 nS ，并满足 2n nS b n  ， *n N . (1)求数列 na ， nb 的通项公式.(2)若   1 1n n nc a b   ，求数列 nc 前n项的和 nT . 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 13 / 23 【巩固练习 2】已知等比数列 na 的各项均为正数，且 3 1 2a a a ， 1 2 32a a a  . (1)求数列 na 的通项公式；(2)若 1 2 3 1 2 3 n n n b a a a a      ，求数列 nb 的通项公式. 【巩固练习 3】已知 na n ，若 3 n n nb a  ，求数列 nb 的前 n项和 nT ． 【巩固练习 4】已知各项均为正数的数列 na 满足： 1 3a  ，  2 2 *1 2 5 Nn na a n n     . (1)求数列 na 的通项公式；(2)设 2 2 , 2 , n n an a n b n       为奇数 为偶数 ，求 1 2 3 4 19 20b b b b b b   . 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 14 / 23 【题型 10】裂项相消 【例题 1】已知等差数列{ }na 满足 1 3 4 24, 2a a a a    . （1）求数列{ }na 的通项公式及前 n 项和 nS ；（2）记数列 1 { } nS 的前n 项和为 nT ，若 99 50 nT  ,求n 的 最小值. 【例题 2】已知数列 na 的前n项和为 nS ，且 12 n nS na  ， 1 1a  . (1)求 na 的通项公式；(2)若 2 2 1 2 1n n n n a b a a    ，记数列 nb 的前n项和 nT ，求 nT 并证明： 3 1 4 nT  . 【例题 3】已知等差数列 na 的首项 1 1a  ，且满足 1 2 2 3 1 1 2 5a a a a   . (1)求数列 na 的通项 na ； (2)若 1 1 n n n b a a    ，记数列 nb 的前n项的和为 nT ，求满足 4nT  的最小整数n . 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 15 / 23 【巩固练习 1】设等差数列 na 的公差为非零常数d ，且 1 1a  ，若 1a ， 2a ， 4a 成等比数列，则公 差 d ________﹔数列 1 1 n na a        的前 100 项和 100S  ________. 【巩固练习 2】（多选）在数列 na 和 nb 中， 1 1 1a b  ， 1 1n na a n    ， * 1 1,n nb b n   N ， 下列说法正确的有（ ） A． 2 nb n B．   1 2 2 n n n a    C．36 是 na 与 nb 的公共项 D． 1 1 1 1 2 n i i ib a      【巩固练习 3】已知数列 na 的前n项和为   *2 2 Nn nS a n   ，     *N 1 1 n n n n a b n a S     ，则数 列 nb 的前n项和 nT  . 【巩固练习 4】设 na 是等比数列， nb 是递增的等差数列， nb 的前 n项和为 nS ， 1 2a  ， 1 1b  ， 4 1 3S a a  ， 2 1 3a b b  . (1)求 na 与 nb 的通项公式 (2)求证：   2 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n b b b a a b a b        ； (3)设   2 11 n n n n n b c b b a     ，求数列 nc 的前 n项和 nM . 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 16 / 23 【巩固练习 5】已知数列 na 的前n项和为 nS ，且满足  2 1n nS a  ，n N . (1)求数列 na 的通项公式； (2)设 1 n n n n a b S S   ，设数列 nb 的前n项和 nT ，求证： 1 4 nT  . 【巩固练习 6】设正项数列 na 的前n项和为 nS ，若 2 2 n n n a a S   . (1)求数列 na 的通项公式； (2)若不等式  1 2 1 1 1 1 3 4 2 2n nS S n S S        对任意正整数n均成立，求的取值范围. 【巩固练习 7】记 nS 为数列 na 的前n项和，且4 3 4n nS a  ． (1)证明：数列 1nS  为等比数列； (2)求数列 1( 1) 4 n nna      的前n项和； (3)数列 nb 的前 n项和为 nT ，且   1 * 2 ( 1) (2 3) ( 1) n n n n b n n n a        N ，求证： 1 12 nT  ． 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 17 / 23 【巩固练习 8】已知在数列 na 中， 2 14a a ，且当 2n  时， 13 2n na a   . (1)求 na 的通项公式；(2)设 1 1n n n n a b a a    ，数列 nb 的前n项和为 nS ，证明： 1 4 nS  . 【题型 11】并项求和 【例题 1】已知数列 na 的前n项和是 nS ，且  *2 1 Nn nS a n   ． （1）求数列 na 的通项公式；（2）令 2logn nb a ，求数列   21 n nb 前2n项的和T ． 【例题 2】已知数列 ， 满足 ， ， . (1)证明： 为等差数列.(2)设数列 的前 项和为 ，求 .  na  nb 1 1a   1 1 1 3 n n a a      1 2 n n b a    nb  2( 1)n nb n nS nS 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 18 / 23 【巩固练习 1】在数列 na 中，已知 1 1a  且 1 2n na a n   ，则其前27项和 27S 的值为（ ） A. 56 B. 365 C. 481 D. 666 【巩固练习 2】记等差数列 na 的前n项和为 nS ，等比数列 nb 的前n项和为 nT ，且     2 2 1 1 1,4 1 ,4 1n n n na b S a T b      . (1)求数列   ,n na b 的通项公式；(2)求数列 n na b 的前n项和. 【巩固练习 3】已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ． (1)求 的通项公式及 ；(2)记 ，求数列 的前 项和 ．  na n nS 4 24S S  *2 2 1n na a n  N  na nS  1 n n nb S   nb 50 50T 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 19 / 23 【题型 12】分组求和 【例题 1】在公差为d 的等差数列 na 中,已知 1 10a  ，且 1 2 3,2 2,5a a a 成等比数列. （Ⅰ）求 na ；（Ⅱ）若 0d  ,求 1 2 3 na a a a    . 【例题 2】已知数列 na 满足 1 1a  ， 1 1, 2 2, n n n a n a a n      为奇数 为偶数 (1)记 2n nb a ，写出 1b ， 2b ，并证明数列 3nb  为等比数列；(2)求 na 的前2n项和 2nS ． 【巩固练习 1】在等差数列 na 中，已知公差 1 , 3 2 nd a    ，前n 项和 3nS   (其中 2n  )． （1）求n；（2）求和： 1 n i i a   ． 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 20 / 23 【巩固练习 2】设 nS 为数列 na 的前 n项和，满足   *1n nS a n  N . (1)求证：数列 na 是等比数列，并求通项公式；(2)记 2 2 2 1 2n nT S S S    ，求 nT . 【巩固练习 3】已知数列 满足 . (1)记 ，写出 ，并求数列 的通项公式；(2)求 的前 100 项和.  na 1 1 1, 1, 2, n n n a n a a a n       为奇数 为偶数 2n nb a 1 2,b b  nb  na 【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 21 / 23 【题型 13】放缩后求和 【例题 1】已知数列 的前 n项和为 ，且满足 ， ． (1)判断 是否为等差数列？并证明你的结论；(2)求 和 ；(3)求证： ． 【例题 2】已知数列 的前 n项和为 ，满足 ， ， . (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 的前 n项和为 ，证明：当 时 . 【巩固练习 1】已知数列 满足 ，且 . (1)求数列 的通项公式；(2)若数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，求证： .  na nS 1 1 2 a   1 12 0 2n n n nS S S S n     1 nS       nS na 2 2 2 1 2 1 1 2 4 nS S S n        na nS 1( 1) ( 3) 2n n nn S n S a    2n  1 1a   nS 2 1 na       nT 2n  2 1 1 n n n T n n      na 1 1 1 1 2 1 n n n n n a a a a     1 1a   na  nb 2 n n b a   nb n nT 4nT  【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 22 / 23 【巩固练习 2】已知数列 ，满足 ，且 ，数列 满足 ． (1)求 的通项公式；(2)证明： ． 【综合训练】 1．已知数列 na 的首项为 1，前 n项和为 nS ，且  1 2n nnS n S   ，则数列 na 的通项公式 na  . 2．已知数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 1S  ，且 1 2 1n na a n    ，求通项公式 na ． 3．已知数列{ }na 的前 n项和为 S ，若 1 1a  ， 12 n nS a  ，则数列{ }na 的通项公式________ 4．已知数列 na 满足 1 3a  ，  1 1 1 n na a n n     ，则 na （ ） A． 1 4 n  B． 1 4 n  C． 1 2 n  D． 1 2 n  5．（多选）设数列 na 满足 1 1a   ， 1 2 5 n n n a a a    （ *nN ），则（ ） A． 1 5 na       为等比数列 B． na 的通项公式为 1 1 2 5 n n a    C． na 为递减数列 D． 1 na       的前 n项和 22 5 4nnT n    6．(2022 全国乙卷)记 nb 为数列 na 的前 n项积，已知 1 3a  ， 1 2 1 n na b   ，求数列 nb 的通项公式  na  1 ( 1) ( 1)n nna n a n n n      N 1 1a   nb 3n nnb a n   na 2 2 2 2 1 2 3 1 1 1 1 1 3nb b b b      【寒假衔接】2024-2025 学年高二年级下学期数学重点题专练 23 / 23 7．已知数列 ， 满足 ， ， . (1)证明： 为等差数列.(2)设数列 的前 项和为 ，求 . 8．已知数列 的首项 ，且满足 (1)记 ，证明： 为等比数列；(2)求数列 的通项公式及其前 项和 . 9．已知数列 满足： . (1)求 ；(2)证明： .  na  nb 1 1a   1 1 1 3 n n a a      1 2 n n b a    nb  2( 1)n nb n nS nS  na 1 1a  1 3, , 4 , . n n n a n a a n      为奇数 为偶数 2n nb a  1nb   na 2 1n 2 1nS   na 1 2 1 20242 , 1, 2024n n na a a a a     na   2 1 1 1 1 16 33 1 n k ka     【寒假衔接】2024-2025学年高二年级下学期数学重点题专练 专题1-2 数列通项公式与求和的常见方法 模块一 题型·解读 【题型1】已知等差等比求通项 6 【题型2】消Sn求an 8 【题型3】累加法 9 【题型4】累乘法 11 【题型5】取倒数问题 13 【题型6】前n项积问题 14 【题型7】构造数列问题 17 【题型9】错位相减法求和 21 【题型10】裂项相消 25 【题型11】并项求和 34 【题型12】分组求和 37 【题型13】放缩后求和 41 【综合训练】 45 模块二 基础知识·梳理 知识点01 项公式求解的常见方法 1、公式法 要点诠释：借助等差与等比数列的定义、等差中项、等比中项，结合等差数列通项公式与等比数列通项公式求解. （1）常见的等差数列的通项公式 ①；②；③. （2）常见的等比数列的通项公式 ①；②. 2、退位相减（除）法 要点诠释：退位相减法适用于递推关系中同时含有与的形式（其中），求解数列通项公式时借助关系：，操作时一般两种思路： 思路一：将条件中所有的，全部转化为的形式，即使得递推关系中只含有，进而视为新数列，先求出的通项公式，再结合，求出； 思路二：将条件中所有的形式退位，再原递推关系式与退位过后的递推关系作差，将其转化为只含有的形式，再构造等比或等差数列求出的通项公式. 退位相除法适用于递推关系中同时含有与的形式（其中），借助，可以求出在条件下的表达式，最后验证下首项即可. 【注】不论是退位相减法还是退位相除法，一般都需要验证首项符不符合，在不符合的条件下，书写通项公式时，注意分段表达. 3、累加法： 具体如下：先得到如下个式子， 再将上述个式子左右分别累加，可以得到：，即，求和化简后，再验证是否成立即可. 4、累乘法： 具体如下：先得到如下个式子， 再将上述个式子左右分别累乘，可以得到：，即，求积化简后，再验证是否成立即可. 5、待定系数法 ①； 设（其中为待定系数），通过比较系数，可以求出，只需验证，即可得到数列为等比数列，首项为，公比为，从而可以求出数列的通项公式，进而可以求出的通项公式. ②. 设（其中为待定系数），通过比较系数，可以求出，只需验证，即可得到数列为等比数列，首项为，公比为，这样即可求出数列的通项公式，进而可以求出的通项公式. ③，一般利用待定系数法构造等比数列求通项. 6、取倒数法 要点诠释：一般适用于：①；②；③. 针对或，通过对等式两边同时取倒数，将其转化为类型：，此时若，直接借助等差数列通项公式求解即可；若，结合前面的待定系数法求解即可.针对递推关系为：的形式，可以在等式两边同除，再令，将其转化为类型：，进而可以求出通项. 7、同除法： 要点诠释：将等式两边同除，转化为：，再令，将其转化为，再结合累加法求出的通项公式，进而求出的通项公式. 有些时候也可以等式两边同除以，视具体情况而定. 8、取对数法： 针对递推关系：，处理时，可以将等式两边同取常用对数：，即，再令，可以得到：，这样就可以求出的通项公式，进而求出的通项公式. 知识点02 数列求和的常见方法 1、公式法 （1）常见的等差数列的前项和公式 ①； ②； ③（其中）. （2）常见的等比数列的前项和公式 ①； ②； ③； ④（其中）. （3）其他的求和公式 ①； ②； ③. 2、倒序相加法 要点注释：适用于首尾相加为定值的数列求和，求和过程如下： ，再结合定值继续求和.常见的一些定值结论： ①，则； ②，则； ③，则； ④，则； ⑤，则. 3、裂项相消法（含简单的放缩法） （1）适用于，求，其中为等差数列，公差为，为常数.求和过程如下：先裂项，再求和： （2）适用于，求，其中为等差数列，公差为，为常数. 求和过程如下：先裂项，再求和： （3）高中阶段其他的裂项形式 ①②； ③； ④； ⑤； ⑥； 例子： ⑦； ⑧； ⑨；； ⑩. 4、错位相减法 要点注释：适用于当，求，其中分别为等差、等比数列，其中的公差与公比分别为，求和过程如下： 再对部分等比数列实施求和，需注意，此时数列的项数为项，（通常这块求和时，使用公式，可避免对项数的讨论），另外需注意，前面的符号为“”，化简的过程需细心.整个过程中，若没有给出公比的限制条件，还需要对公比的数值进行讨论. 5、分组求和 要点注释：适用于当，求，其中为两类不同性质的数列，诸如等差、等比数列等.求和过程如下： 6、分段求和问题 一般分为三种：①常规分段；②绝对值分段；③周期分段.求和的结果一般需写成分段的形式. 7、并项求和问题 特征：①；②；③求 模块三 核心题型·训练 【题型1】已知等差等比求通项 【例题1】记等差数列的前项和为，公差为，等比数列的公比为，已知，，,求，的通项公式； 【答案】，. 【解析】由，得，因为，所以. 结合，可得，，，解得，， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. 【例题2】已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，求数列的通项公式 【答案】. 【详解】设的公比为，则，又， 当时，，当时，， 两式相减可得，，所以， 所以或(舍去)， 所以，即， 所以等比数列的通项公式为 【巩固练习1】已知等比数列中，，求数列的通项公式及它的前n项和. 【答案】 【详解】设等比数列公比为q，∵， ∴，解得，， ∴， 【巩固练习2】设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式 【答案】 【详解】依题意有， ，， 又为等差数列，设公差为， ， 【题型2】消Sn求an 【例题1】已知正项数列的前项和为，满足,求数列的通项公式 【答案】（1） 【分析】（1）利用可得关于的递推关系，整理得到，从而为等差数列，利用公式可求其通项. 【详解】时，，又，所以， 当时，，， 作差整理得：，因为，故，所以， 故数列为等差数列，所以． 【例题2】已知数列满足，求数列的通项公式 【答案】(1) 【详解】（1）∵①， 当时，，故， 时，② ①②得（），而也满足上式， ∴. 【巩固练习1】已知数列的前n项和满足，求的通项公式； 【答案】 【解析】∵，当可得， ， ∴，即是以1为首项，的等比数列，∴. 【巩固练习2】已知数列满足，求的通项公式. 【答案】(1) 【详解】（1）解：当时，， 所以； 当时，由， 得， 两式相减得， 所以， 当时也成立．所以． 【巩固练习3】正项递增数列的前项和为，，求的通项公式； 【答案】或 【详解】当时，，解得或. 当时，，即，解得或，∴. 当时，，即，解得. 由， 当时，， 两式相减得，即， 当时，，所以，即， ∴或. 【题型3】累加法 【例题1】在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 【答案】C 【分析】根据题意，结合，将前24项和转化为等差数列求和问题. 【详解】因为， 所以 【例题2】在数列中，，且，则__________. 【答案】4 【解析】【分析】利用递推公式累加即可求解. 【详解】由题意可得，所以，，……，， 累加得， 所以，故答案为：4 【巩固练习1】在数列中，，，，则__________． 【答案】46 【解析】 【分析】利用累加法求解即可. 【详解】由，则有， 所以当时， ，所以，故答案为： 【巩固练习2】已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列的递推公式，利用累加法可得通项公式，再根据对勾函数的性质，可得答案. 【详解】因为，所以由递推公式可得 当时，等式两边分别相加，得 ， 因为，则，而满足上式，所以， 即，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，当时，， 当时，，因为，所以的最小值为. 【巩固练习3】已知数列首项为2，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知的递推公式，利用累加法可求数列通项. 【详解】由已知得，，则当时，有 ， 经检验当时也符合该式．∴. 故选：D 【题型4】累乘法 【例题1】已知数列的前n项和为，，满足，求. 【答案】 【分析】由的关系得的递推式，由累乘法即可求解； 【详解】，当时，， 两式作差得， 即，所以， 所以， 当时也成立，所以 【例题2】为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列，求的通项公式. 【答案】(1) 【详解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立，∴的通项公式 【巩固练习1】已知数列的前项和为，且，求的通项公式. 【答案】 【分析】根据与的关系结合累乘法求解即可； 【详解】令，得， 当时，因为，所以， 两式相减得， 即，所以， 所以，即， 所以，又，符合上式，所以 【巩固练习2】已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 . 【答案】n 【详解】解：∵，∴ 当时，， 当时，成立， ∴， 当时，， 当时，满足上式 【题型5】取倒数问题 【例题1】已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】倒数型求数列通项公式，第一步求倒数，第二步构造数列，求通项. 【详解】因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以 【例题2】已知数列的首项，且满足，求. 【详解】证明：由，可得， 又 故数列为等比数列，，故. 【巩固练习1】已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【详解】在等式两边取到数，推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项公式，进而可求得数列的通项公式. 【分析】因为数列满足，且，则， ，， 以此类推可知，对任意的，， 在等式两边取倒数可得，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，，所以，. 【巩固练习2】已知数列满足，，则 ． 【答案】 【解析】取倒数得， ，故是首项为公比为2的等比数列 【题型6】前n项积问题 【例题1】已知为正项数列的前项的乘积，且，则（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【分析】利用给定的递推公式，结合对数运算变形，再构造常数列求出通项即可得解. 【详解】由，得，于是，则， 两边取对数得，因此，数列是常数列， 则，即，所以，. 【例题2】已知正项数列的前项和为，前项积为，且满足，则不等式成立的的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．10 【答案】B 【分析】根据题意得到，再利用构造法得到数列为等比数列，从而求得的通项公式，再利用放缩法，结合等比数列的求和公式即可得解. 【详解】，， ，则， 时，，，则， 故， 因此是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即. 根据题中条件， 则，， 因此. 当时，； 当时，. 综上，不等式成立的的最小值为12. 【巩固练习1】已知正项数列的前项积为，且满足，则 . 【答案】 【分析】根据题设得，且，进而得到，由等比数列定义写出通项公式，即可得. 【详解】由题意，且，所以， 又，且， 所以，则，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故， 所以. 【巩固练习2】已知数列的各项均不为0， 且满足 （1）求通项公式 （2）令，求数列的前n项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，当时，直接求，当时，用前n项积除以前n-1项积的方法化简，可求通项公式；（2），然后利用分组求和的方法即可求解． 【小问1详解】当时， 解得 ， 当时，由 得， 两式相除得： ，即 ， 当时 满足， 所以. 【小问2详解】由（1）可知， 所以 . 所以 【题型7】构造数列问题 【例题1】已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式. 【详解】设，解得：， 所以， 又，则， 故是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即 【例题2】已知数列中，，，，为数列的前项和，则数列的通项公式 ； . 【答案】 574 【分析】整理可得，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，即可得的通项公式，再利用分组求和结合等差、等比数列求和公式求解. 【详解】因为，， 则，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，即， 可得 ， 所以. 【例题3】假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为 . 【答案】 【分析】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，，由等比数列的性质求出的通项公式，再证得是与首相和公差均为的等差数列，即可求出的通项公式，进而求出答案. 【详解】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌， 则，. 又，，所以，， 则，所以， 所以是首项和公差均为的等差数列， 所以， 所以，所以. 【巩固练习1】在数列中，，若对于任意的恒成立，则实数k的最小值为 . 【答案】 【分析】利用构造法分析得数列是等比数列，进而求得，从而将问题转化为恒成立，令，分析数列的最值，从而得解. 【详解】由，得，又， 故数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 则不等式可化为，令， 当时，；当时，； 又， 则当时，，当时，， 所以，则，即实数的最小值为. 【巩固练习2】已知数列的首项，且满足，若，则满足条件的最大整数（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】令，根据构造法求得，结合等比数列前n项求和公式建立不等式即可求解. 【详解】，令， 则，又， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 得，所以， ∴， 由，解得. 【巩固练习3】已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的细菌的个数为 （用数字作答）. 【答案】 【分析】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，，由等比数列的性质求出的通项公式，再证得是与首相和公差均为的等差数列，即可求出的通项公式，进而求出答案. 【详解】设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌， 则，. 又，，所以，， 则，所以， 所以是首项和公差均为的等差数列， 所以， 所以，所以， 即1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成个细菌. 【巩固练习4】已知数列满足，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】由得， 故为等差数列，公差为1，首项为1， 所以 所以. 故答案为： 【巩固练习5】已知数列满足，，，求的通项公式． 【答案】(1) 【分析】将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可； 【详解】由可得，且， 故是以2为首项，3为公比的等比数列，故， 所以，又， 故，即. 【题型9】错位相减法求和 【例题1】已知，若，求数列的前项和． 【答案】 【分析】利用错位相减法求解即可. 【详解】， 则， ， 两式作差得， 即，所以． 【例题2】已知数列，的前项和分别为，，，且． （1）求； （2）求数列的前项和． 【解析】（1）依题意可得，，…，， ∴ ． （2）∵ ，∴，∴． 又，∴，∴， ∴ ，则 ， ∴ ，故 ． 【总结】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 【例题3】已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，求出的值，令，由可得，两个等式作差可推出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）因为数列的前项和为，且， 则，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，且， 所以，数列是首项为，公比也为的等比数列， 所以，. （2）因为， 所以，①， 则②， ②得 ， 因此，. 【巩固练习1】已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，. (1)求数列，的通项公式. (2)若，求数列前项的和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出；利用和的关系，构造出即可求出； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，且，，成等比数列知： ，整理得：， 即或者，因为公差大于1，故. 且，故. 数列前项和为，并满足 ①， 且，解得， 故当时， ②， ①式减②式得：， 即，故是公比为2的等边数列， 则， 故 （2）， 故 则 故 故 则 【巩固练习2】已知等比数列的各项均为正数，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列定义可求得，可得其通项公式； （2）利用错位相减法以及等比数列前项和公式计算可得. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意得， 解得（舍去）， 所以. 即数列的通项公式为. （2）由（1）知①， 所以②. ①－②得 所以. 【巩固练习3】已知，若，求数列的前n项和． 【答案】 【分析】直接由等比数列求和公式、错位相减法即可求解. 【详解】由， 所以， 所以， 所以， 所以. 【巩固练习4】已知各项均为正数的数列满足：，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用累加法求得，并检验是否符合，即可求解； （2）利用错位相减法求和可得． 【详解】（1）由条件，知，，，， 累加，得， 所以，又，所以，又符合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1），知， 设，则， 两边同乘以2，得， 两式相减，得 ， 所以，即. 【题型10】裂项相消 【例题1】已知等差数列满足. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）记数列的前项和为，若,求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解； （2）利用（1）的结论及裂项相消法求数列的前项和，结合不等式的解法即可求解. 【小问1详解】设等差数列的公差为，则因为， 所以，即，解得. 所以数列的通项公式为， 所以数列的通项公式及前项和为. 【小问2详解】由（1）知，，所以， 所以数列的前项和为 . 因为，所以，即，于是有，解得， 因为，所以的最小值为. 【例题2】已知数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求并证明：. 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）利用与的关系式，分类讨论与两种情况，分析得是常数列，从而得解； （2）由裂项相消法求出，再结合数列的增减性即可得证； 【详解】（1）因为，， 当时，，故， 当时，， 两式作差可得，整理可得， 则，又， 所以是各项为的常数列， 则，故. （2）由（1）可得， 所以， 类比复合函数的单调性可知为递增数列，又， 所以的最小值为， 又，所以， 综上，. 【例题3】已知等差数列的首项，且满足. (1)求数列的通项； (2)若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数. 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）方法1：将化为，代入计算，即可得到结果；方法2：将原式裂项，然后计算，即可得到结果； （2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设公差为， 方法1.，， ，. 方法2.. ，，. （2）由（1）知， . ， 即， ，. 【巩固练习1】设等差数列的公差为非零常数，且，若，，成等比数列，则公差________﹔数列的前100项和________. 【答案】 ① 1 ②. 【解析】 【分析】利用等差、等比数列的性质列出关于的方程，解之可得，然后得出通项公式，用裂项相消法求和． 【详解】∵，，成等比数列，∴，即，又，解得． ∴，，∴． 【巩固练习2】（多选）在数列和中，，，，下列说法正确的有（    ） A． B． C．36是与的公共项 D． 【答案】ACD 【分析】A：根据等差数列定义求的通项公式，则可求；B：累加法求的通项公式；C：根据通项公式计算并判断；D：采用裂项相消法求和并证明. 【详解】对于A：因为，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以，故正确； 对于B：因为， 所以，所以， 当时，符合条件， 所以，故错误； 对于C：令，解得(负值舍去)，所以，令，解得(负值舍去)，所以， 所以，即是与的公共项，故正确； 对于D：因为， 所以，故正确 【巩固练习3】已知数列的前项和为，，则数列的前项和 . 【答案】 【分析】先根据与的关系求出数列的通项公式，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】由， 当时，，所以， 当时，， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以. 【巩固练习4】设是等比数列，是递增的等差数列，的前n项和为，，，，. (1)求与的通项公式 (2)求证：； (3)设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式，再根据等差数列以及等比数列的通项公式求解； （2）由（1）分别计算，可得结论成立； （3）由（2）易求. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由已知条件得，即， 解得（舍去）或，所以； （2）因为， ， 所以； （3）， . 【巩固练习5】已知数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)设，设数列的前项和，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）令，可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，即可求得该数列的通项公式； （2）求出，求得，利用裂项相消法求出，即可证得结论成立. 【详解】（1）数列的前项和为，对任意的，， 当时，则有，可得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 所以数列为等比数列，且其首项和公比都为，所以. （2）由（1）可得，则，则， 所以， 所以 . 【巩固练习6】设正项数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用及等差数列定义得出为等差数列，再利用等差数列通项公式求解即可； （2）先利用裂项相消法求，然后结合不等式恒成立列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，，所以； 当时，且， 两式相减并整理可得． 因为为正项数列，所以，所以为等差数列，所以． （2）由（1）可知， ， ， 故，可化为， 因为恒成立，所以. 【巩固练习7】记为数列的前项和，且． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和； (3)数列的前n项和为，且，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据和的关系可得，进而求证即可； （2）先求出，可得，进而结合错位相减法求和即可； （3）结合（2）可得，进而结合裂项相消法求和即可. 【详解】（1）证明：当时，，则， 当时，，即，而， 所以数列成首项为3，公比为的等比数列， （2）由（1）知，，则， 由，所以， 则，设前n项和记为， 所以①， 则②， ①②得， 则，即数列的前n项和为. （3）证明：由（2）知，，则， 所以 所以 ， 因为，所以． 【巩固练习8】已知在数列中，，且当时，. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用，变形得到，证明出数列是等比数列，即可求出数列的通项公式； （2）利用裂项相消求出数列的前项和为，再利用不等式的性质即可得到. 【详解】（1）当时，， 又，可得， 当时，，则，即， 又， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，故； （2）由（1）知， 则， 则数列的前项和 ， 又，则， 故. 【题型11】并项求和 【例题1】已知数列的前项和是，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列前项的和． 【解析】 (1)由计算求得，并验证当时是否成立（2）由（1）得代入求得前项的和． 解析：（1）由得，于是是等比数列． 令得，所以． （2），于是数列是首项为0，公差为1的等差数列． ， 所以 【例题2】已知数列，满足，，. (1)证明：为等差数列. (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知代入化简得出，即可证明； （2）根据（1）得出数列的通项，当为偶数时，利用并项求和法得出，当为奇数时，为偶数，由得出，即可综合得出答案. 【详解】（1）由题意得，， 则， 所以是首项，公差为1的等差数列. （2）由（1）得，则， 当为偶数时， . 当为奇数时，为偶数， 则. 综上，. 【巩固练习1】在数列中，已知且，则其前项和的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分组求和和等差数列求和公式即可求解． 【详解】依题意得 ． 【巩固练习2】记等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据得到和的关系式，同理得到和的关系式，根据是等比数列和是等比数列求出和的通项； （2）令，对分偶数和奇数讨论即可. 【详解】（1）得：， 或， 同理：或， 是等差数列，， 是等比数列； （2）令，其前项和为， 当为偶数时， 当为奇数时，. 综上所述，. 【巩固练习3】已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式及； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的通项公式及； （2）对任意的，计算得出，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由可得，可得， 因为，则， 所以，，解得，则， 所以，. 所以，. （2）解：因为， 对任意的，， 所以，数列的前项和. 【题型12】分组求和 【例题1】在公差为的等差数列中,已知，且成等比数列. （Ⅰ）求； （Ⅱ）若,求. 【答案】(Ⅰ)或 .(Ⅱ) 【解析】 【详解】试题分析： (Ⅰ)由题意求得数列的公差后可得通项公式．(Ⅱ)结合条件可得，分和两种情况去掉中的绝对值后，利用数列的前n项和公式求解． 试题解析：（Ⅰ）∵成等比数列，∴， 整理得，解得或， 当时，;当时，． 所以或 ． （Ⅱ）设数列 前项和为 ，∵ ，∴ ， 当 时，， ∴； 当时， ． 综上 【例题2】已知数列满足， (1)记，写出，，并证明数列为等比数列； (2)求的前项和． 【答案】(1)，，证明见解析 (2) 【分析】（1）构造法，结合等比数列定义证明（2）运用分组求和，结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）显然为偶数，则，． 所以，即． 且． 所以是以5为首项，2为公比的等比数列， 于是，，． （2）记，则 从而数列的前项和为： 【巩固练习1】在等差数列中，已知公差，前项和 (其中)． （1）求； （2）求和：． 【答案】（1）12 （2）18 【解析】 【分析】（1）根据已知的,利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可列式求解； （2）由第（1）问中求解出的的通项公式，要求前12项绝对值的和，可以发现，该数列前6项为正项，后6项为负项，因此在算和的时候，后6项和可以取原通项公式的相反数即可计算，即为，然后再加上前6项和，即为要求的前12项绝对值的和. 【小问1详解】由题意可得，在等差数列中，已知公差，前项和 所以，，解之得，所以n=12 【小问2详解】由（1）可知数列{an}的通项公式为， 所以， 即 【巩固练习2】设为数列的前n项和，满足. (1)求证：数列是等比数列，并求通项公式； (2)记，求. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据的关系，即可作差得，进而判断是等比数列求解， （2）根据等比求和可得，进而可得，利用分组求和，结合等比求和公式即可求解. 【详解】（1）证明：因为，① 当时，可得，解得， 当时，可得，② 由①②相减得， 即，所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为q=， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，可得， 所以， 则 ++......+. +....... . 【巩固练习3】已知数列满足. (1)记，写出，并求数列的通项公式； (2)求的前100项和. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据已知条件结合，可求得，，根据递推式可得，然后利用等差数列定义及通项公式求解即可. （2）根据递推式求得，然后利用分组求和结合等差数列求和公式求解即可. 【详解】（1）由题意知：，又且， 所以，， 所以，所以， 因为，所以， 所以数列是以0为首项，以为公差的等差数列， 所以. （2）当为奇数时，为偶数，则， 两式相减得：， 因为，所以， 当为偶数时，为奇数，则， 两式相减得：， 因为，所以，所以； 所以 . 【题型13】放缩后求和 【例题1】已知数列的前n项和为，且满足，． (1)判断是否为等差数列？并证明你的结论； (2)求和； (3)求证：． 【答案】(1)是等差数列，证明见解析； (2)，； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题设有，且，即可证结论； （2）由（1）得即可求，再由关系求； （3）应用放缩法及裂项相消即可证结论. 【详解】（1）是等差数列，证明如下： 由题设，显然不可能为0，则，且， 所以是首项、公差都为2的等差数列. （2）由（1）知：，显然时也满足，则， 当时，， 而不满足上式，则. （3）由 ，且， 又当时成立， 综上，. 【例题2】已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）根据题意，当时， 法一： ∴ 当时，，也满足. 法二：可得，所以数列是常数列， . （2），， 首项满足，所以， 所以， 设数列， 数列前n项和为， 分析可得，数列从第2项开始放缩成， 设数列 数列前n项和为， 所以. 【巩固练习1】已知数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，记数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）对已知等式进行去分母变形，利用累加法，结合等差数列前项和公式进行求解即可； （2）利用裂项相消法进行证明即可. 【详解】（1）由题可得，则，…，，， 将这项相加，可得， 所以，经检验成立，所以. （2）由题可得，，当时，， 又因为当时，， 所以. 【巩固练习2】已知数列，满足，且，数列满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据递推关系式变形可构造等差数列，利用等差数列求解； （2）求出，放缩后利用裂项相消法求和可证不等式成立. 【详解】（1）， ，又， 数列是首项为1，公差为1的等差数列， ，即. （2）由（1）知， ， ， . 【综合训练】 1． 已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 . 【答案】n 【详解】解：∵，∴ 当时，， 当时，成立， ∴， 当时，， 当时，满足上式 2． 已知数列的前n项和为，，且，求通项公式． 【解答】 又 是以2为公比和首项的等比数列 ，即 3． 已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式________ 【答案】 【解析】当时，，作差得，即当时，是公比为3的等比数列，而，则，故 4． 已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 所以，，…，， 上式累加可得 ， 又，所以. 5． （多选）设数列满足，（），则（    ） A．为等比数列 B．的通项公式为 C．为递减数列 D．的前n项和 【答案】ABD 【分析】对于A、B：根据题意利用构造法结合等比数列的定义运算求解；对于C：检验前两项即可判断；对于D：利用等比数列求和结合分组求和运算求解. 【详解】因为，则， 整理得，且， 所以是以首项，公比的等比数列，故A正确； 可得，解得，故B正确； 因为，即，所以不是递减数列，故C错误； 因为，所以的前n项和，故D正确 6． (2022全国乙卷)记为数列的前n项积，已知，，求数列的通项公式 由题意可得，因为， 所以，即， 所以. 又，， 所以， 故是以3为首项，2为公差的等差数列， 7． 已知数列，满足，，. (1)证明：为等差数列. (2)设数列的前项和为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知代入化简得出，即可证明； （2）根据（1）得出数列的通项，当为偶数时，利用并项求和法得出，当为奇数时，为偶数，由得出，即可综合得出答案. 【详解】（1）由题意得，， 则， 所以是首项，公差为1的等差数列. （2）由（1）得，则， 当为偶数时， . 当为奇数时，为偶数， 则. 综上，. 8． 已知数列的首项，且满足 (1)记，证明：为等比数列；(2)求数列的通项公式及其前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)，. 【分析】（1）先求出的递推关系式，利用等比数列的定义可证结论； （2）利用分组求和的方法可求答案. 【详解】（1）因为且， 则， 可得. 且，所以是以5为首项，4为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以，即. 又因为，则. 所以数列的通项公式为 又， 所以 . 所以数列的前项的和. 9． 已知数列满足：. (1)求； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差中项证明为等差数列，然后求出公差即可求出通项公式； （2）令，先利用，则一定有，然后将进行放缩，然后再裂项，通过裂项相消求和，最后放缩证明不等式. 【详解】（1）因为，所以数列为等差数列， 公差， 所以. （2）证明：令，因为，且， 所以； 因为， 所以 ，因为，所以，故. 综上，. 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $$