第02讲 二次根式的乘除（4个知识点+6大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（人教版）

第02讲 二次根式的乘除 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简； 2.掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简； 3．理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。 知识点1： 二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 知识点2： 二次根式的乘法法则的逆用 1.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 2.二次根式的乘法法则的逆用的推广 知识点3：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意（1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 知识点4：最简二次根式的概念 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 考点一：二次根式的乘法 例1.计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可 （3）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可； （4）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1-1】计算∶ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的乘法： （1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 【变式1-2】计算： (1) ； (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法运算法则求解，结果要为最简； （2）根据二次根式的乘法运算法则求解，结果要为最简； 【详解】（1） ； （2） 【变式1-2】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法法则，熟练运用法则进行化简是解决问题的关键． （1）根据二次根式的乘法法则计算即可求解； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可求解． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)63 【分析】本题考查二次根式的乘法运算： （1）根据乘法法则进行计算即可； （2）利用乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 考点二：二次根式的除法 例2.化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式乘的除法及二次根式的化简． （1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案； （3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，根据二次根式的除法法则逐个计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)（，）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式的除法计算法则求解即可； （3）根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式2-2】计算： (1)； (2)4÷2． (3) (4)． 【答案】(1)5 (2) (3) (4)6a 【分析】（1）根据二次根式的性质直接化简即可； （2）根据二次根式的除法运算法则直接化简即可； （3）根据二次根式的性质直接化简即可； （4）根据二次根式的除法运算法则直接化简即可． 【详解】（1）解： ＝5； （2） （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】题目主要考查二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 考点三：二次根式的乘除混合运算 例3.计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案； （2）直接根据二次根式乘法计算法则求解即可； （3）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案； （4）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式3-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案． （2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． （3）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． 考点四：最简二次根式的判断 例4.下列选项中的式子，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、不能再化简，是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式4-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含有分母，且被开方数中不含开得尽方的因数或因式”进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴是最简二次根式， 故选：A． 【变式4-2】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C 【变式4-3】请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式， ． 【答案】1 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得或等，从而可得答案． 【详解】解：∵是最简二次根式，m为正整数， ∴正整数m的值可以为1或3等， 故答案为：1（答案不唯一）． 考点五：化为最简二次根式, 例5.化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质进行求解． 【详解】解：， 故选B． 【变式5-1】将化成最简二次根式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简二次根式，直接根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式5-2】下列各组式子中，化简后被开方数相同的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质，化简二次根式，进而即可得到答案． 【详解】A．，，被开方数不一样，故不符合题意； B．，，被开方数不一样，故不符合题意； C．，与被开方数一样，故符合题意； D．，，被开方数不一样，故不符合题意， 故选C． 【变式5-3】将化成最简二次根式的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化为最简二次根式，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 考点六：已知最简二次根式求参数 例6.与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【答案】A 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解： 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故选：A． 【变式6-1】若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式． 【变式6-2】若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，由同类二次根式的定义可知，从而可求得a的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：3 【变式6-3】若与最简二次根式能合并成一项，则 ． 【答案】-2 【分析】先化简，因为它与最简二次根式能合并成一项，所以它们是同类二次根式，被开方数相同，列出方程即可得到a的值． 【详解】解：∵，它与最简二次根式能合并成一项， ∴1-a=3， ∴a=-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，牢记同类二次根式的概念是解题的关键． 一、单选题 1．化简的正确结果是（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键在于能够熟练掌握二次根式的乘法运算法则． 利用二次根式的乘法进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判别．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数中不能含有分母；②被开方数不能含有开得尽的因数或因式．根据最简二次根式的定义，依次作出判断即可． 【详解】解：A．被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项错误； B．是最简二次根式，故该选项正确； C．被开方数含有开的尽的因数，故该选项错误； D．被开方数含有分母，故该选项错误． 故选：B． 3．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查化最简二次根式，掌握化最简二次根式的方法是解题关键．根据化简即可． 【详解】解：． 故选B． 4．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式的乘法．根据乘方可得：，再利用二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 5．下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的性质，根据二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的性质逐项判断即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、、没有意义，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：A． 二、填空题 6．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化最简二次根式的方法是解题关键．由即可化简． 【详解】解：． 故答案为：． 7．计算 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查二次根式的乘方，直接根据二次根式的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：8． 8．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用，如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，那么圆的半径应是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法的应用，算术平方根的应用，先根据长方形的面积求出长方形的面积，即可得出圆的面积，然后根据圆的面积公式求出结果即可． 【详解】解：∵长方形的长是，宽是， ∴长方形的面积为：， ∵圆的面积等于长方形的面积， ∴圆的面积为， ∴圆的半径为． 故答案为：． 三、解答题 10．计算： (1)； (2)，． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算： （1）先把带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质和乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 12．计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除法．根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次根式的乘除 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.掌握二次根式的乘法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简； 2.掌握二次根式的除法法则：，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简； 3．理解最简二次根式的概念，会进行二次根式的乘除法混合运算，并能将二次函数化为最简形式。 知识点1： 二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 知识点2： 二次根式的乘法法则的逆用 1.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 2.二次根式的乘法法则的逆用的推广 知识点3：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意（1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 知识点4：最简二次根式的概念 1.最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 考点一：二次根式的乘法 例1.计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1-1】计算∶ (1)； (2)； (3)． 【变式1-2】计算： (1) ； (2) 【变式1-2】计算： (1)； (2)； 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 考点二：二次根式的除法 例2.化简： (1)； (2)； (3)． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2-1】计算： (1)； (2)； (3)（，）． 【变式2-2】计算： (1)； (2)4÷2． (3) (4)． 考点三：二次根式的乘除混合运算 例3.计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． (3)． 考点四：最简二次根式的判断 例4.下列选项中的式子，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式， ． 考点五：化为最简二次根式, 例5.化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】将化成最简二次根式为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】下列各组式子中，化简后被开方数相同的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式5-3】将化成最简二次根式的结果为 ． 考点六：已知最简二次根式求参数 例6.与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【变式6-1】若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【变式6-3】若与最简二次根式能合并成一项，则 ． 一、单选题 1．化简的正确结果是（   ） A．2 B． C． D．3 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 4．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 5．下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．化简： ． 7．计算 ． 8．计算： ． 9．二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用，如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，那么圆的半径应是 ．    三、解答题 10．计算： (1)； (2)，． 11．计算： (1)； (2)． 12．计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$