第05讲 三角形的内切圆（1个知识点+3种题型+分层练习） - 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第05讲 三角形的内切圆（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 题型强化 题型一．三角形的内切圆与内心 1．（2024春•宣州区校级月考）如图，在中，，，，为的内心，连接并延长交于点．记的面积为，的面积为，则　　 A． B． C． D． 2．（2024•芜湖二模）如图，内切于，切点分别为，，，且，，，则　　． 3．（2024春•无为市月考）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． （1）求证：； （2）如果，于．求证：． 题型二、三角形内心有关应用 4．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为 ． 5．（22-23九年级下·安徽芜湖·自主招生）一条直线平分三角形的周长和面积，那么该直线必通过三角形的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 6．（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，O是内心，点E，F都在大边上，已知．    (1)求证：O是的外心； (2)若，求的大小． 题型三、三角形内切圆与外接圆综合 7．（20-21九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，点是的内心，，，，于点，则的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6． 8．（2022·安徽合肥·模拟预测）在华夏文化中有一个重要的审美基础：天圆地方．一个正方形找内切圆和外接圆，在外接圆上继续找外切正方形，则内切圆的半径，外接圆的半径，正方形的边长，是循环的关系，则在如图所示数轴上的位置是点 ．    9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D （1）求证：△BFD∽△ABD； （2）求证：DE=DB． 分层练习 一、单选题 1．如图，在正方形ABCD中，点O是的内心，连接BO并延长交CD于F点，则的度数是（   ） A．45° B．60° C．67.5° D．75° 2．如图，点是的内切圆的圆心，若，则度数等于（    ） A． B． C． D． 3．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是（    ） A． B． C． D． 4．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（ ） A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：2 5．正三角形的内切圆半径为1，则该正三角形的外接圆半径是（    ） A． B． C．2 D．2.5 6．如图，中，，，，内切于，则阴影部分面积为（ ） A．12-π B．12-2π C．14-4π D．6-π 7．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（    ） A．10 B．10 C．14 D．16 8．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．如图，不等边内接于，下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在平整的桌面上画一条直线，将三边都不相等的三角形纸片平放在桌面上，使边与对齐，此时的内心是点；将纸片绕点顺时针旋转，使点落在上的点处，点落在点处，得到的内心点．下列结论正确的是（    ） A．与平行，与平行 B．与平行，与不平行 C．与不平行，与平行 D．与不平行，与不平行 二、填空题 11．边长分别为3、4、5的三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为 . 12．边长为4的正三角形的内切圆半径为 ． 13．等边△ABC的边长为4cm，内切圆的半径为 cm 14．正三角形与它的内切圆及外接圆的三者面积之比为 . 三、解答题 15．如图，是的角平分线，请用尺规作图法求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法）． 16．如图，在中，O是内心，点E，F都在大边上，已知．    (1)求证：O是的外心； (2)若，求的大小． 17．如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的一点，是的内心，的延长线交半圆于点，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BE． （1）求证：DB＝DE； （2）若过C点的切线与BD的延长线交于点F，已知DE，求弧DC、线段DF、CF围成的阴影部分面积． 19．如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 20．综合与探究 抛物线与x轴交于两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知． (1)求两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否存在一点P，使的内心在x轴上？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图①，△ABC的内切圆⊙与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，DO、EO、FO的延长线分别交⊙O于点G、H、I，过点G、H、I分别作AB、BC、AC的平行线，从△ABC上截得六边形JKMNPQ．通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻两角的夹边和它们的对角的夹边称为六边形的对边． (1)求证：六边形JKMNPQ的对角相等； (2)小明在完成（1）的证明后继续探索，如图②，连接OJ、OM、ON、OQ，他发现△DOM≌△GOQ、△DON≌△GOJ，于是猜想六边形JKMNPQ的对边也相等．请你证明他的发现与猜想． 22．（1）如图①，在中，，，垂足为D．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出的半径，若不可以，请说明理由． 23．如图，有一块三角形余料、，，，现有两种余料的再利用方案，分别制作正方形和圆形桌面.     图1               图2 方案一：如图1，作正方形使它的四个顶点都在边上； 方案二：如图2，作的内切圆，它与三边分别相切于点，，. 请通过计算，比哪种方案的利用率高. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 三角形的内切圆（1个知识点+3种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 题型强化 题型一．三角形的内切圆与内心 1．（2024春•宣州区校级月考）如图，在中，，，，为的内心，连接并延长交于点．记的面积为，的面积为，则　　 A． B． C． D． 【分析】由为的内心知，是的角平分线，是的角平分线，根据角平分线定理得出，利用三角形的面积公式可知同高的两个三角形面积之比等于底边之比，得到，再由等比定理得出． 【解答】解：为的内心， 是的角平分线，是的角平分线， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了角平分线定理，三角形的面积，等比定理． 2．（2024•芜湖二模）如图，内切于，切点分别为，，，且，，，则　　． 【分析】由切线长定理得，，，则，于是得，求得，由，证明，即可求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：内切于，切点分别为，，， ，，， ，，， ， ， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义、切线长定理、勾股定理及其逆定理等知识，推导出，进而求得是解题的关键． 3．（2024春•无为市月考）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． （1）求证：； （2）如果，于．求证：． 【分析】（1）连接，由点是的内心，得，，则，而，所以，则，所以； （2）连接交于点，由，得，则，，而，，则，，再推导出，进而证明，得，所以． 【解答】证明：（1）连接， 点是的内心， ，， ， ， ， ，， ， ． （2）连接交于点， ， ， ，， ，， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题重点考查圆周角定理、垂径定理、三角形的内心的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型二、三角形内心有关应用 4．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）下面就是欧拉发现的一个定理：在中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则．若的外接圆的半径为，内切圆的半径为，则的外心与内心之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】三角形内心有关应用、 三角形外接圆的概念辨析 【分析】本题考三角形的内心与外心，理解题意是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知，， ∴的外心与内心之间的距离， 故答案为：． 5．（22-23九年级下·安徽芜湖·自主招生）一条直线平分三角形的周长和面积，那么该直线必通过三角形的（    ） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 【答案】D 【知识点】三角形内心有关应用 【分析】设平分的面积和周长的直线分别交和于D和E，设I为的内心，为内切圆半径，易得，那么，，再结合，所以，即可作答． 【详解】解：如图，设平分的面积和周长的直线分别交和于D和E，    设I为的内心，为内切圆半径， 则，， ∵平分的周长， ∴， 即， ∵平分的面积， ∴， 即 ∴， 那么必定通过点I． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆性质以及内心的概念，内切圆性质包括在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（2023九年级下·安徽·专题练习）如图，在中，O是内心，点E，F都在大边上，已知．    (1)求证：O是的外心； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是 【知识点】三角形内心有关应用、 三角形外接圆的概念辨析 【分析】 （1）连接，证，推出即可； （2）根据三角形的内角和定理求出，再根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】（1） 证明：连接，    ∵O是的内心， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴O是的外心； （2） 解：∵O是的外心， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴ ， 答：的度数是． 【点睛】 本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 题型三、三角形内切圆与外接圆综合 7．（20-21九年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，点是的内心，，，，于点，则的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．6． 【答案】B 【分析】如图，作交AC于点E，作交BC于点F，连接AO，BO，CO．由题意易证为直角三角形．即推出四边形OECF为正方形．由⊙O是的内切圆，可推出，．设⊙O半径为r，再利用，即 ，即可列出关于r的方程，求出r即可求出AD的长． 【详解】如图，作交AC于点E，作交BC于点F，连接AO，BO，CO． ∵，，即． ∴为直角三角形． ∵O是的内心， ∴⊙O是的内切圆． ∴， ∴四边形OECF为正方形， ∴， 在和中， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． 设⊙O半径为r，则 由题意可知，， 又∵， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内切圆，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理逆定理．综合型强，为典型例题． 8．（2022·安徽合肥·模拟预测）在华夏文化中有一个重要的审美基础：天圆地方．一个正方形找内切圆和外接圆，在外接圆上继续找外切正方形，则内切圆的半径，外接圆的半径，正方形的边长，是循环的关系，则在如图所示数轴上的位置是点 ．    【答案】 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、无理数的大小估算 【分析】通过估算的方法确定无理数在数轴的位置便可． 【详解】解：，， ， 故在如图所示数轴上的位置是点， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数轴，无理数的估算，关键是掌握正确估算的大小的方法． 9．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D （1）求证：△BFD∽△ABD； （2）求证：DE=DB． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合 【详解】试题分析：（1）由内心的性质和圆周角定理可证得结论； （2）连接BE，由内心的性质及三角形外角的性质可证得∠DBE=∠DEB，可证得DE=DB． 试题解析：（1）∵E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∵∠CAD=∠CBD， ∴∠BAD=∠CBD； （2）连接BF，如图， ∵E是△ABC的内心，∴∠ABE=∠EBF，∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∠DBE=∠EBF+∠CBD， 且∠BAD=∠CBD，∴∠BED=∠DBE，∴DE=DB． 【考点】三角形的内切圆与内心；三角形的外接圆与外心． 分层练习 一、单选题 1．如图，在正方形ABCD中，点O是的内心，连接BO并延长交CD于F点，则的度数是（   ） A．45° B．60° C．67.5° D．75° 【答案】C 【知识点】三角形角平分线的定义、根据正方形的性质求角度、三角形内心有关应用 【分析】先由性质求出，再由三角形内心的概念得是的平分线，由角平分线定义即可求解． 【详解】解：在正方形中，， ∵点是的内心， ∴是的平分线 ∴， ∴． 故选：． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形内心的概念，角平分线的定义，掌握三角形内心是三角形角平分线的交点是解题的关键． 2．如图，点是的内切圆的圆心，若，则度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内心有关应用 【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理．利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案． 【详解】解：∵O是的内心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、三角形内心有关应用 【分析】本题考查三角形内心的定义，作图—基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．掌握三角形内心为三角形内角平分线的交点是解题关键．利用基本作图和三角形内心的定义进行判断即可． 【详解】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线． 故选B． 4．等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为（ ） A．3：2：1 B．1：2：3 C．2：3：1 D．3：1：2 【答案】B 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合 【分析】如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，设⊙O 的半径为 r，作 AH⊥BC 于 H，利用等边三角形的性质得 AH 平分∠BAC，则可判断点 O 在 AH 上，所以 OH＝r，连接 OB，再证明 OA＝OB＝2r，则 AH＝3r，所以 OH：OA：AH＝1：2：3． 【详解】解： 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，设⊙O 的半径为 r，作 AH⊥BC 于 H， ∵△ABC 为等边三角形， ∴AH 平分∠BAC，即∠BAH＝30°， ∴点 O 在 AH 上， ∴OH＝r， 连接 OB， ∵⊙O 为△ABC 的内切圆， ∴∠ABO＝∠CBO＝30°， ∴OA＝OB， 在 Rt△OBH 中，OB＝2OH＝2r， ∴AH＝2r+r＝3r， ∴OH：OA：AH＝1：2：3， 即等边三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为 1：2：3． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质 5．正三角形的内切圆半径为1，则该正三角形的外接圆半径是（    ） A． B． C．2 D．2.5 【答案】C 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合 【分析】由正三角形外接圆的半径和它的内切圆的数量关系直接得到． 【详解】解：∵正三角形的内切圆与外接圆的圆心重合， 由三角形的重心可知：等边三角形的外接圆半径是它的内切圆半径的2倍， 所以当正三角形内切圆的半径为1时，它的外接圆的半径为2． 故选：C． 【点睛】熟练掌握等边三角形的有关性质．特别记住等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和它的高的比（）． 6．如图，中，，，，内切于，则阴影部分面积为（ ） A．12-π B．12-2π C．14-4π D．6-π 【答案】D 【分析】显然图中阴影部分的面积是△ABC和其内切圆的面积差，解决本题的关键是求出三角形内切圆的半径；在Rt△ABC中，已知了BC、AC的长，可由勾股定理求得斜边AB的长；进而可根据直角三角形内切圆半径公式求得△ABC的内切圆半径，进而可求出其面积，由此得解． 【详解】在Rt△ABC，∠C=90°，BC=3，AC=4，根据勾股定理AB==5， 若设Rt△ABC的内切圆的半径为R，则有：R==1， ∴S阴影=S△ABC-S圆=AC•BC-πR2=×3×4-π×1=6-π． 故选D． 【点睛】本题考查了直角三角形内切圆的性质、三角形的面积公式、圆的面积公式． 7．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（    ） A．10 B．10 C．14 D．16 【答案】C 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、应用切线长定理求解 【分析】根据切线长定理得到AF=AD=2、BE=BD=2、CF=CE=3，然后根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F， ∴AF=AD=2、BE=BD=2、CF=CE=3 ∴BC=BE+CE =5，AB=AD+BD=4，AC=BF+FC=BC=5， ∴△ABC的周长=2+2+5+5=14． 故答案为C． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识点，灵活利用切线长定理是解题答本题的关键． 8．如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】垂径定理的推论、三角形内心有关应用、根据等角对等边证明边相等、圆周角定理 【分析】本题考查三角形的内心和外接圆的有关知识、垂径定理的推论、圆周角定理、等腰三角形的判定、三角形的内角和和外角性质等知识，根据相关知识逐个判断即可．利用内心定义可判断①；根据垂径定理的推论可判断②；根据三角形的内角和定理和内心定义可判断③；根据三角形的外角性质、圆周角定理和等腰三角形的判定可判断④． 【详解】解：∵点E是的内心， ∴平分， ∴，故①正确； 设外接圆圆心为O，连接，则垂直平分， ∵点G为的中点， ∴点G为与的交点，即，故②正确； ∵， ∴， ∵点E是的内心， ∴，， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确， 综上，正确的有3个， 故选：B． 9．如图，不等边内接于，下列结论不成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合 【分析】利用OB=OC可对A选项的结论进行判断；由于AB≠BC，则∠BOC≠∠AOB，而∠BOC=180°-2∠1，∠AOB=180°-2∠4，则∠1≠∠4，于是可对B选项的结论进行判断；根据圆周角定理可对C选项的结论进行判断；利用∠OCA=∠3，∠1=∠2可对D选项的结论进行判断． 【详解】解：∵OB=OC， ∴∠1=∠2，所以A选项的结论成立； ∵OA=OB， ∴∠4=∠OBA， ∴∠AOB=180°-∠4-∠OBA=180°-2∠4， ∵△ABC为不等边三角形， ∴AB≠BC， ∴∠BOC≠∠AOB， 而∠BOC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1， ∴∠1≠∠4，所以B选项的结论不成立； ∵∠AOB与∠ACB都对弧AB， ∴∠AOB=2∠ACB，所以C选项的结论成立； ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠3， ∴∠ACB=∠1+∠OCA=∠2+∠3，所以D选项的结论成立． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和等腰三角形的性质． 10．如图，在平整的桌面上画一条直线，将三边都不相等的三角形纸片平放在桌面上，使边与对齐，此时的内心是点；将纸片绕点顺时针旋转，使点落在上的点处，点落在点处，得到的内心点．下列结论正确的是（    ） A．与平行，与平行 B．与平行，与不平行 C．与不平行，与平行 D．与不平行，与不平行 【答案】B 【知识点】根据旋转的性质求解、根据平行线的性质探究角的关系、三角形内心有关应用、证明四边形是平行四边形 【分析】根据内心到三边的距离相等，转化为平行四边形的判定与平行，利用反证法判定与不平行． 【详解】∵ PC∥， ∴∠PCA=∠C， ∵的内心是点，的内心点， ∴2∠PCA=2∠C， ∴∠BCA=∠C=∠ABC， ∴AC=AB， 这与三边都不相等的三角形纸片矛盾， 故与不平行， ∵的内心是点，的内心点， ∴内心到三角线三边的距离相等， ∴四边形LK是平行四边形， 故与平行， ∴A，C，D都是错误的，B是正确的， 故选：B． 【点睛】本题考查了内心的性质，平行线的性质，平行四边形的判定，熟练掌握内心的性质，平行四边形的判定是解题的关键． 二、填空题 11．边长分别为3、4、5的三角形的内切圆半径与外接圆半径之比为 . 【答案】2:5 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、求特殊三角形外接圆的半径 【详解】解：设三角形为△ABC， ∵32+42=52， ∴△ABC为直角三角形， ∴外接圆的直径为5， ∴外接圆的半径为2.5， 设内切圆的半径为r， ∵S△ABC=（AB+BC+CA）•r， 即×3×4=×（3+4+5）r，解得r=1， ∴该三角形内切圆半径与外接圆半径之比为2：5， 故答案是：2：5． 12．边长为4的正三角形的内切圆半径为 ． 【答案】/ 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合 【分析】根据题意画出图形，根据正三角形的内切圆的性质可得OD⊥BC，且BD=CD=2，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，圆O为正三角形ABC的内切圆，与BC相切于点D，连接OB， ∵圆O与BC相切于点D，BC=4， ∴OD⊥BC，且BD=CD=2， ∵O是等边三角形ABC的内切圆的圆心， ∴， ∴OB=2OD， ∵， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正三角形的内切圆的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 13．等边△ABC的边长为4cm，内切圆的半径为 cm 【答案】 【分析】取AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，连接AE、BF、CD交于点O，易知OE、OF、OD为△ABC内切圆的半径，根据勾股定理可得AE＝BF＝CD，继而根据三角函数值求得OE的长． 【详解】如图：取AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，连接AE、BF、CD交于点O， ∵△ABC是等边三角形， ∴O是△ABC的内心，也是其内切圆的圆心，即OE、OF、OD为△ABC内切圆的半径，BE＝CE，∠ABF＝∠CBF＝30°，∠AEB＝90° ∵△ABC的边长为4cm， ∴BE＝cm 在Rt△ABE中，由勾股定理可得： 同理：BF＝CD＝ ∵在△BOE中，∠CBF＝30°，∠AEB＝90° ∴ ∴△ABC内切圆的半径： 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内切圆有关知识，求三角形内切圆的半径，解题的关键是作出图形和相应的辅助线，理解△ABC的内心，即是其内切圆的圆心． 14．正三角形与它的内切圆及外接圆的三者面积之比为 . 【答案】3：π：4π . 【分析】设正三角形的边长a，利用直角三角形可以分别求出内切圆和外接圆的半径，然后用圆的面积公式和三角形的面积公式求出它们的面积，计算出它们的比值． 【详解】解：设正三角形的边长为a，则高为a，内切圆半径为a，外接圆半径为a， 其面积分别为、和， 三者之比为：：=3 ：π：4π． 故答案为3：π：4π． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据正三角形与圆的关系，利用直角三角形可以表示出正三角形的内接圆和外接圆的半径，再求出它们的面积，计算出面积的比． 三、解答题 15．如图，是的角平分线，请用尺规作图法求作的内心．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【知识点】三角形内心有关应用、作角平分线(尺规作图) 【分析】如图：作的角平分线交于O，点O即为所求． 【详解】解：如图，点O即为所作． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解答本题的关键． 16．如图，在中，O是内心，点E，F都在大边上，已知．    (1)求证：O是的外心； (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是 【知识点】 三角形外接圆的概念辨析、三角形内心有关应用 【分析】 （1）连接，证，推出即可； （2）根据三角形的内角和定理求出，再根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】（1） 证明：连接，    ∵O是的内心， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴O是的外心； （2） 解：∵O是的外心， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴ ， 答：的度数是． 【点睛】 本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 17．如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的一点，是的内心，的延长线交半圆于点，连结． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、三角形内心有关应用、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角三角性的判定和性质，三角形的内心等知识： （1）根据是半圆的直径，可得，从而得到，进而得到，即可求证； （2）过点O作于点E，可得，从而得到，进而得到，可得到，，再证得是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的内心， ∴是的角平分线， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点O作于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BE． （1）求证：DB＝DE； （2）若过C点的切线与BD的延长线交于点F，已知DE，求弧DC、线段DF、CF围成的阴影部分面积． 【答案】（1）见解析；（2）S阴 【知识点】三角形内心有关应用、切线的性质和判定的综合应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）欲证明DB＝DE，只要证明∠DBE＝∠DEB； （2）连接CD、OD，根据S阴＝S△CDF−（S扇形OCD−S△OCD）计算即可； 【详解】（1）证明：∵E是△ABC的内心． ∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC， ∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DB＝DE． （2）解：连接CD、OD． ∵∠BAD＝∠DAC， ∴， ∴BD＝CD， ∵BC是直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠DBC＝∠DCB＝45°， ∵DE， 由（1）证得DB＝DE ∴DB＝DE=CD=， ∴BC=6，OB=OC=OD=3， ∴△BCD为等腰直角三角形，O为BC的中点， ∴DO⊥BC，即∠DOC=90°， ∵FC是切线， ∴∠BCF＝90°， ∴∠CFD＝90°-45°=45°，∠DCF＝90°-45°=45°， ∴△CDF的等腰直角三角形， ∴DF＝CD＝BD＝3， ∴S阴＝S△CDF﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）33（3×3）． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的性质和判定、直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线． 19．如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【知识点】用勾股定理解三角形、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系、切线的性质定理 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 20．综合与探究 抛物线与x轴交于两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知． (1)求两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否存在一点P，使的内心在x轴上？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、三角形内心有关应用、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）令可得，解之可得； （2）根据，得，可得a的值，即可得抛物线解析式； （3）假设存在点P，使三个内角的角平分线的交点在x轴上，则此时x轴就是的角平分线，从而得知点的对称点在直线上，待定系数法可得直线的解析式，由直线的解析式和抛物线解析式可得点P的坐标． 【详解】（1）解：根据题意知，，即， ∴， 解得：或， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 代入抛物线得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （3）存在， 假设存在点P，使三个内角的角平分线的交点在x轴上，则此时x轴就是的角平分线． ∴C点关于x轴的对称点必在直线上．设为， ∵， ∴， ∴直线过， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵直线与二次函数相交于P点， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，，即为点A， ∴存在一点P，使三个内角的角平分线的交点在x轴上，且点P的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像与坐标轴的交点问题，三角形的内心，待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟练掌握二次函数的性质以及三角形内心的性质是解本题的关键． 21．如图①，△ABC的内切圆⊙与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，DO、EO、FO的延长线分别交⊙O于点G、H、I，过点G、H、I分别作AB、BC、AC的平行线，从△ABC上截得六边形JKMNPQ．通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻两角的夹边和它们的对角的夹边称为六边形的对边． (1)求证：六边形JKMNPQ的对角相等； (2)小明在完成（1）的证明后继续探索，如图②，连接OJ、OM、ON、OQ，他发现△DOM≌△GOQ、△DON≌△GOJ，于是猜想六边形JKMNPQ的对边也相等．请你证明他的发现与猜想． 【答案】(1)见解析； (2)见解析. 【知识点】三角形内心有关应用、切线的性质定理、正多边形的内角问题、全等三角形综合问题 【分析】（1）由∠A+∠AJQ=180°，∠A+∠ANP=180°，可得∠AJQ=∠ANP，同理可得∠BMK=∠BQJ，∠CKM=∠CPN，故六边形JKMNPQ的对角相等； （2）证明△EQO≌△GQO可得∠EOQ=∠GOQ=∠EOG，同理∠DOM=∠HOM=∠DOH，从而可得∠DOM=∠GOQ，△DOM≌△GOQ，同理△DON≌△GOJ，可得DM=GQ，DN=GJ，故MN=JQ，同理JK=NP，KM=PQ，即可得到证明． 【详解】（1）证明：∵JQ∥AB， ∴∠A+∠AJQ=180°， ∵NP∥AC， ∴∠A+∠ANP=180°， ∴∠AJQ=∠ANP， 同理可得：∠BMK=∠BQJ，∠CKM=∠CPN， 即六边形JKMNPQ的对角相等； （2）∵⊙O与AB切于D， ∴OD⊥AB， ∴∠ADO=90°， ∵AB∥JQ， ∴∠ADO=∠QGO=90°， ∵⊙O与BC切于E， ∴OE⊥BC， ∴∠QEO=90°， ∴∠QEO=∠QGO=90°， 又OQ=OQ，OE=OG， ∴Rt△EQO≌Rt△GQO（HL）， ∴∠EOQ=∠GOQ=∠EOG， 同理∠DOM=∠HOM=∠DOH， ∵∠DOH=∠EOG， ∴∠DOM=∠GOQ， ∵OD=OG，∠ODM=∠OGQ， ∴△DOM≌△GOQ（ASA）， 同理△DON≌△GOJ， ∴DM=GQ，DN=GJ， ∴DM+DN=GQ+GJ， 即MN=JQ， 同理JK=NP，KM=PQ， 即六边形JKMNPQ的对边相等． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的外切六边形的性质，涉及全等三角形、切线长定理应用等知识，理解和掌握六边形对角和对边是解本题的关键． 22．（1）如图①，在中，，，垂足为D．若，，则的长为______； 问题解决 （2）如图②所示，某工厂剩余一块型板材，其中，，．为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆型部件．你认为可以吗？若可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出的半径，若不可以，请说明理由． 【答案】（1）；（2）可以．画图见解析，，⊙O的半径为 【知识点】用勾股定理解三角形、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系、切线的性质定理 【分析】（1）首先根据勾股定理求出，然后利用等面积法求解即可； （2）根据三角形内最大的圆是三角形的内切圆可求出点的位置，过点作于，于，于，连接，，，过点作于，设，的半径为，则，再根据勾股定理列出关于的方程得，则，进而得，则，然后根据，得，据此可得的半径． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）可以． 三角形内最大的圆是三角形的内切圆， 所求圆的圆心是△的内心， 作和的平分线，交于点， 则点就是裁出的最大圆型部件的圆心的位置， 过点作于，于，于，连接，，，过点作于，如图所示： 设，的半径为， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 点为的内心， ， ， ， 即， ． 【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆和三角形的内心，勾股定理，理解三角形的内切圆是三角形内最大的圆，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式法进行计算是解决问题的关键． 23．如图，有一块三角形余料、，，，现有两种余料的再利用方案，分别制作正方形和圆形桌面.     图1               图2 方案一：如图1，作正方形使它的四个顶点都在边上； 方案二：如图2，作的内切圆，它与三边分别相切于点，，. 请通过计算，比哪种方案的利用率高. 【答案】方案2的利用率高，理由见解析. 【知识点】利用相似三角形的性质求解、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】在方案一中，设，则，根据相似三角形的性质，可知，即可求出x的值，进而得到正方形的面积；在方案二中，连接OI，OG，OH，根据是的内心，可知，利用面积法，求出圆O的半径r，进而求出圆O的面积；即可比较两种方案的利用率. 【详解】设，则， ， ，即，解得， ， 因为在中，，，， ， 因为是的内心， ， ，即 ，解得， ， ， 所以方案2的利用率高. 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质定理和三角形的内切圆的性质，求出正方形的边长和圆的半径是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$