第05章 二次函数 章节整合练习（15个知识点+40题练习） -2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第05章 二次函数 章节整合练习（15个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点4．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点5．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点6．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 知识点7．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点8．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点9．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点10．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点11．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点12．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点13．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点14．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点15．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 章节题型整合练习 题型一．二次函数的定义 1．（2022•亭湖区校级开学）下列函数中是二次函数的是　　 A． B． C． D． 2．（沭阳县校级模拟）当　　时，函数是二次函数． 题型二．二次函数的图象 3．（2023•高新区校级开学）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 4．（2021•宿迁模拟）若直线为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，则常数的取值范围是　　． 题型三．二次函数的性质 5．（2024•溧阳市模拟）已知二次函数图象上、两点关于原点对称，若经过点的反比例函数的解析式是，则该二次函数的对称轴是直线　　 A． B． C． D． 6．（2024•滨湖区校级模拟）已知：抛物线的顶点为，以为圆心，为半径作，为圆上一动点，，则的最小值为 　　． 7．（2021•宝应县二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为（其中为常数），点与点关于轴对称．在实数范围内定义函数（其中为常数）的图象为． （1）当点在上时，则的值是 　　； （2）求点在上时，求的值； （3）当最小值的取值范围是时，请直接写出的取值范围． 题型四．二次函数图象与系数的关系 8．（2024•姜堰区一模）已知二次函数为常数），如果当自变量分别取，，1时，所对应的值只有一个小于0，则的值可能是　　 A． B． C．0 D．2 9．（2023•海州区校级二模）已知关于的二次函数，当时，的值随的增大而减小，则的取值范围为　　． 题型五．二次函数图象上点的坐标特征 10．（2024•亭湖区三模）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 11．（2024•苏州）二次函数的图象过点，，，，其中，为常数，则的值为 　　． 12．（2023春•东台市期中）已知抛物线经过点，． （1）求，的值． （2）若，是抛物线上不同的两点，且，求的值． 题型六．二次函数图象与几何变换 13．（2024•南通）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为　　 A． B． C． D． 14．（2024•南通模拟）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为　　． 15．（2023春•江宁区月考）已知二次函数的图象如图所示． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）将该抛物线进行左右平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方法． 题型七．二次函数的最值 16．（2024•江阴市一模）如图，四边形是边长为4的菱形，，将沿着对角线平移到△，在移动过程中，与交于点，连接、、．则下列结论： ①； ②当时，； ③当时，的长为； ④的面积最大值为． 其中正确的为　　 A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 17．（2024•宜兴市一模）如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 　　；运动过程中，的面积的最小值是 　　． 18．（2023秋•虎丘区校级月考）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． （1）试写出的面积与之间的函数表达式； （2）当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 题型八．待定系数法求二次函数解析式 19．（2022春•海陵区校级月考）设函数，，是实数，，当时，；当时，，　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 20．（2024•滨湖区二模）一条抛物线的顶点坐标为，则该二次函数的函数表达式可以为 　　． 21．（2024春•赣榆区校级月考）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“和谐二次函数”． （1）请写出两个为“和谐二次函数”的函数； （2）已知关于的二次函数和，其中的图象经过点，若与为“和谐二次函数”，求函数的表达式． 题型九．二次函数的三种形式 22．（2022•邳州市校级模拟）把函数写成的形式，则　　． 23．（滨海县期末）已知二次函数． （1）将化成的形式　　； （2）写出随增大而减小时自变量的取值范围　　； （3）当时，的最小值是　　，最大值是　　． 题型一十．抛物线与x轴的交点 24．（2024•武进区校级模拟）抛物线与轴相交于、两点．将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴相交于、两点，下列式子正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 25．（2024•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点、，则　　． 26．（2024•玄武区二模）已知二次函数为常数）． （1）求证：该二次函数的图象与轴总有两个公共点； （2）设该函数图象的顶点为，与轴交于、两点，与轴交于点，当的面积与的面积相等时，求的值． 题型一十一．图象法求一元二次方程的近似根 27．（2021•盐都区二模）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是　　 A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3 28．（靖江市模拟）对于二次函数，当时，，当时，；所以方程的一个正根的近似值是 　　．（精确到 题型一十二．二次函数与不等式（组） 29．（2024•天宁区校级二模）已知函数为常数），当时，随的增大而增大，，，，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 30．（2024春•东台市期中）若二次函数、、为常数）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 　　． 31．（2024•泗洪县一模）一次函数的图象与二次函数的图象交于点，． （1）确定二次函数的表达式； （2）请在如图所示的网格中画出二次函数的图象； （3）根据函数的图象直接写出不等式的解集． 题型一十三．根据实际问题列二次函数关系式 32．（2022秋•青县校级月考）在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下一个圆环的面积为，则与的函数关系式为　　 A． B． C． D． 33．（沭阳县月考）某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点到水面的距离为，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是　　． 34．（宜兴市校级期末）某公司销售一种新型节能电子小产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售：①若只在国内销售，销售价格（元件）与月销量（件的函数关系式为，成本为20元件，月利润为（元；②若只在国外销售，销售价格为150元件，受各种不确定因素影响，成本为元件为常数，，当月销量为（件时，每月还需缴纳元的附加费，月利润为（元． （1）若只在国内销售，当（件时，　　（元件）； （2）分别求出、与间的函数关系式（不必写的取值范围）； （3）若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求的值． 题型一十四．二次函数的应用 35．（2022秋•周村区校级期末）用长为的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成　　 A．， B．， C．， D．， 36．（2024•启东市一模）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用 　　． 37．（2024秋•鼓楼区校级月考）某超市在中秋节前夕购进价格为3元个的月饼．根据市场预测，该月饼每个售价4元时，每天能售出500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．为了维护消费者的利益，物价部门规定，该月饼售价不能超过进价的． （1）如果该超市想从月饼销售中每天获得800元的利润，应该怎样给月饼定价？ （2）定价为多少时每天的利润最大？最大利润是多少？ 题型一十五．二次函数综合题 38．（2023•靖江市校级模拟）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，以为直径在轴上方画半圆交轴于点，圆心为，是半圆上一动点，连接，点为的中点．下列四种说法： ①点在上； ②； ③当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为； ④线段的长可以是3.2． 其中正确说法的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．（2023•滨湖区二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，则　　；是二次函数在第四象限内图象上一点，作轴交于，交于点，若是以为腰的等腰三角形，则线段的长为 　　． 40．（2024春•海州区校级月考）我们定义：点在一次函数上，点在反比例函数上，若存在、两点关于轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，、两点关于轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”． （1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理由； （2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式； （3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点” 、在左侧），其“向光函数” 与轴交于、两点在左侧），若有以下条件： ①②“向光函数”经过点，③，记四边形的面积为，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05章 二次函数 章节整合练习（15个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．二次函数的定义 （1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． （2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点2．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点4．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点5．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点6．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 知识点7．二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 知识点8．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点9．二次函数的三种形式 二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点10．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 知识点11．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点12．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点13．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点14．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点15．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 章节题型整合练习 题型一．二次函数的定义 1．（2022•亭湖区校级开学）下列函数中是二次函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用二次函数定义可得答案． 【解答】解：、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意； 、是二次函数，故此选符合题意； 、是反比例函数，不是二次函数，故此选项不合题意； 、不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2．（沭阳县校级模拟）当　　时，函数是二次函数． 【分析】根据二次函数的定义列式计算即可得解． 【解答】解：根据题意得：且， 解得且， 所以． 故答案为：1． 【点评】本题考查了二次函数的定义，要注意二次项系数不能等于0，这也是本题容易出错的地方． 题型二．二次函数的图象 3．（2023•高新区校级开学）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的大致图象是　　 A． B． C． D． 【分析】可先根据一次函数的图象判断、的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故正确； 、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向上，顶点的纵坐标大于零，故错误； 、由一次函数的图象可得：，，此时二次函数的图象应该开口向上，故错误； 、由一次函数的图象可得：，，此时抛物线的顶点的纵坐标大于零，故错误； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 4．（2021•宿迁模拟）若直线为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，则常数的取值范围是　　． 【分析】根据已知解析式画出函数图象，进而得出常数的取值范围． 【解答】解：如图所示：当时，， 故直线为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点， 则常数的取值范围是：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次函数与反比例函数的图象，利用数形结合得出的取值范围是解题关键． 题型三．二次函数的性质 5．（2024•溧阳市模拟）已知二次函数图象上、两点关于原点对称，若经过点的反比例函数的解析式是，则该二次函数的对称轴是直线　　 A． B． C． D． 【分析】设点坐标为，则可求得点坐标，把两点坐标代入抛物线的解析式可得到关于和的方程组，可求得的值，则可求得二次函数的对称轴． 【解答】解：在反比例函数图象上， 可设点坐标为， 、两点关于原点对称， 点坐标为， 又、两点在二次函数图象上， 代入二次函数解析式可得， 解得或 二次函数对称轴为． 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，根据条件先求得的值是解题的关键，注意掌握关于原点对称的两点的坐标的关系． 6．（2024•滨湖区校级模拟）已知：抛物线的顶点为，以为圆心，为半径作，为圆上一动点，，则的最小值为 　　． 【分析】先用表示出点的坐标，再用表示出，对此表达式进行配方，求出的最小值即可解决问题． 【解答】解：抛物线， 顶点， ， 则， 当，即时， 取得最小值为， 的最小值为， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的性质，能用表示出，并进行配方求出的最小值是解题的关键． 7．（2021•宝应县二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为（其中为常数），点与点关于轴对称．在实数范围内定义函数（其中为常数）的图象为． （1）当点在上时，则的值是 　　； （2）求点在上时，求的值； （3）当最小值的取值范围是时，请直接写出的取值范围． 【分析】（1）直接代入求值即可； （2）求得点的坐标，分两种求得代入求值即可； （3）分两种情况：①图形上最低点落在左侧函数部分的图象上，根据题意解不等式组即可，②图形上最低点落在右侧部分的图象上时，解不等式组即可． 【解答】解：（1）把点代入，则， ； （2）点的坐标为（其中为常数），点与点关于轴对称， 点的坐标为， 当时，即时， 把点代入，则，解得（舍去）， 当时，即时， 把点代入，则，解得（负值舍去）， 综上，； （3）当图形上最低点落在函数的图象上时，则最低点坐标为， ， 解得：； 当图形上最低点落在函数的图象上时， 同理：； 的顶点，， 当时，的点， ， 解得， 当时，为最低点； 当时，为最低点． 综上所述，的取值范围为：或． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，其中（3）要确定临界点的情况，进而求解． 题型四．二次函数图象与系数的关系 8．（2024•姜堰区一模）已知二次函数为常数），如果当自变量分别取，，1时，所对应的值只有一个小于0，则的值可能是　　 A． B． C．0 D．2 【分析】依据题意，根据题意得到，即，解得，把的值分别代入即可求得． 【解答】解：由题意得， ． ， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 的取值范围是且，． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要能熟练掌握并得到关于的不等式组是关键． 9．（2023•海州区校级二模）已知关于的二次函数，当时，的值随的增大而减小，则的取值范围为　　． 【分析】根据对称轴的左侧的增减性，可得，根据增减性，可得对称轴大于或等于，可得答案． 【解答】解：由当时，的值随的增大而减小可知，抛物线开口向上，， 且对称轴， 解得， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的增减性得出抛物线的开口方向且是解题关键． 题型五．二次函数图象上点的坐标特征 10．（2024•亭湖区三模）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【分析】求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案． 【解答】解：， 二次函数的开口向下，对称轴是直线， 时，随的增大而减小， ， ， 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质． 11．（2024•苏州）二次函数的图象过点，，，，其中，为常数，则的值为 　　． 【分析】将、、的坐标代入，求出、、，然后把的坐标代入可得出、的关系，即可求解． 【解答】解：将，，代入， 得：， ， 把代入， 得：， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握方程组的求解是解题的关键． 12．（2023春•东台市期中）已知抛物线经过点，． （1）求，的值． （2）若，是抛物线上不同的两点，且，求的值． 【分析】（1）把点，代入解方程组即可得到结论； （2）把代入得到，于是得到，即可得到结论． 【解答】解：（1）把点，代入得，， 解得：； （2）由（1）得函数解析式为， 把代入得，， ， ，且对称轴为直线， ． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解方程组，正确的理解题意是解题的关键． 题型六．二次函数图象与几何变换 13．（2024•南通）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再结合所给平移方式即可解决问题． 【解答】解：因为， 所以抛物线的顶点坐标为， 所以将此抛物线向右平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点坐标为． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，能根据所给二次函数解析式得出抛物线的顶线坐标及熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 14．（2024•南通模拟）将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为　　． 【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式． 【解答】解：将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的表达式为， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律． 15．（2023春•江宁区月考）已知二次函数的图象如图所示． （1）求该抛物线的顶点坐标； （2）将该抛物线进行左右平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方法． 【分析】（1）把点代入求值即可求得抛物线解析式，根据将所求抛物线解析式利用配方法求得顶点坐标即可； （2）设平移后抛物线解析式为：，然后将点代入求得的值． 【解答】解：（1）把代入，得， 解得， 抛物线的解析式为． ． 该抛物线的顶点坐标为； （2）设平移后抛物线解析式为：， 把点代入，得． 解得或． 故将该抛物线向左平移3个单位或向右平移1个单位，使其经过坐标原点． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 题型七．二次函数的最值 16．（2024•江阴市一模）如图，四边形是边长为4的菱形，，将沿着对角线平移到△，在移动过程中，与交于点，连接、、．则下列结论： ①； ②当时，； ③当时，的长为； ④的面积最大值为． 其中正确的为　　 A．①③ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【分析】证明四边形是平行四边形，△都是等边三角形，即可判断①；利用三角形内角和定理，通过计算即可判断②；设，证明△△，得到关于的一元二次方程，解方程即可判断③；设，利用，得到关于的二次函数，利用二次函数的性质即可判断④． 【解答】解：连接， 四边形是边长为4的菱形，， 和都是等边三角形， ， 由平移的性质得，四边形是平行四边形， ，，，， △都是等边三角形， ， ，①正确； ， ， ， ，即， ，②正确； 设，则，， ， ， ， △△， ，即， 整理得，解得， ，③错误； 作于点，于点， 设，则，， ，， 等边、、△的高都是， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， ④正确． 综上，①②④正确， 故选：． 【点评】本题考查了菱形的性质，平移的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，解一元二次方程，难度较大，解题的关键是熟练掌握相关知识，根据题意画出正确的图形，并作出辅助线． 17．（2024•宜兴市一模）如图，已知矩形，，，、分别是边、上的动点，且，将沿着方向向右平移到，连接、，当时，长是 　　；运动过程中，的面积的最小值是 　　． 【分析】结合图形，由已知先证明为正方形，设，则，求出的长，进而求出；由得到，利用二次函数的性质即可求得的面积的最小值． 【解答】解：连接， ， ，，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 四边形为正方形， ， 设，则， ， ， ， 解得， ， ， ； ， ， 的面积的最小值是． 故答案为：，． 【点评】本题考查了二次函数的最值，矩形的性质，平移的性质，三角形全等的判定和性质，得到的面积关于的函数关系式是解题的关键． 18．（2023秋•虎丘区校级月考）如图，在中，，，．点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设动点运动的时间为． （1）试写出的面积与之间的函数表达式； （2）当为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】（1）利用两点运动的速度表示出，的长，进而表示出的面积即可； （2）利用配方法求出函数顶点坐标即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得：，， ； ； （2）， 当时，的面积最大，最大值是． 【点评】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出，的长是解题关键． 题型八．待定系数法求二次函数解析式 19．（2022春•海陵区校级月考）设函数，，是实数，，当时，；当时，，　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】当时，；当时，；代入函数式整理得，将的值分别代入即可得出结果． 【解答】解：当时，；当时，；代入函数式得：， ， 整理得：， 若，则，故错误； 若，则，故错误； 若，则，故正确； 若，则，故错误； 故选：． 【点评】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键． 20．（2024•滨湖区二模）一条抛物线的顶点坐标为，则该二次函数的函数表达式可以为 　　． 【分析】设函数表达式为，满足，即可． 【解答】解：设函数表达式为， 顶点坐标为， 函数表达式可以为（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二次函数的顶点式，只要满足顶点坐标为即可． 21．（2024春•赣榆区校级月考）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“和谐二次函数”． （1）请写出两个为“和谐二次函数”的函数； （2）已知关于的二次函数和，其中的图象经过点，若与为“和谐二次函数”，求函数的表达式． 【分析】（1）写出顶点都为，开口向上的两个抛物线即可； （2）把坐标代入，求出的值，确定出解析式，进而得到其顶点坐标，由与为“和谐二次函数”，得到的顶点坐标与相同，利用顶点坐标公式求出，的值，确定出解析式即可． 【解答】解：（1）二次函数与为“和谐二次函数”的函数（答案不唯一）； （2）把代入得：，即， 解得：，即，顶点坐标为， ， 与为“和谐二次函数”， 的顶点坐标为，， ，，， 解得：，， 则函数的表达式为． 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，弄清题中的新定义是解本题的关键． 题型九．二次函数的三种形式 22．（2022•邳州市校级模拟）把函数写成的形式，则　　． 【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，计算即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次函数的最值问题，灵活运用配方法把一般式化为顶点式、掌握二次函数的性质是解题的关键． 23．（2015秋•滨海县期末）已知二次函数． （1）将化成的形式　　； （2）写出随增大而减小时自变量的取值范围　　； （3）当时，的最小值是　　，最大值是　　． 【分析】（1）运用配方法把一般式化为顶点式即可； （2）利用开口方向以及顶点坐标得出的取值范围； （3）分别分析当时，当时，进而得出答案． 【解答】解：（1），即． 故答案为：． （2）由得图象的对称轴为直线， ， 随的增大而减小，自变量取值范围是：； 故答案为：； （3）在的范围内，， 函数有最小值为， 时离对称轴远，则当时，， 故答案为：，8． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及图象与坐标轴的交点坐标求法，利用二次函数增减性得出函数最值是解题关键． 题型一十．抛物线与x轴的交点 24．（2024•武进区校级模拟）抛物线与轴相交于、两点．将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴相交于、两点，下列式子正确的是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】因为抛物线开口向下，所以抛物线向下平移，对称轴不变，与轴的两交点距离变短解答即可． 【解答】解：抛物线与轴相交于、两点， 抛物线的对称轴为直线， 将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴相交于、两点， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线上下平移对称轴不变， ，即， 抛物线开口向下， 将此抛物线向下平移，平移后的抛物线与轴两交点间距离会变短， ， 故选：． 【点评】本题考查抛物线与轴交点问题，解答涉及交点与对称轴的关系，会用数形结合思想是解题的关键． 25．（2024•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴有两个公共点、，则　　． 【分析】根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于的方程，解方程求出，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【解答】解：将二次函数的图像向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或2024， ， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质和抛物线与轴的交点，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式． 26．（2024•玄武区二模）已知二次函数为常数）． （1）求证：该二次函数的图象与轴总有两个公共点； （2）设该函数图象的顶点为，与轴交于、两点，与轴交于点，当的面积与的面积相等时，求的值． 【分析】（1）求出△，所以二次函数的图象与轴总有两个公共点； （2）求出点和点的坐标，再根据面积相等，得出，求出的值． 【解答】解：（1）△， 二次函数的图象与轴总有两个公共点； （2） ，， 的面积与的面积相等， ， ． 【点评】本题考查了二次函数系数与图象的关系，二次函数与三角形面积的结合，掌握计算方法是解题的关键． 题型一十一．图象法求一元二次方程的近似根 27．（2021•盐都区二模）下表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 1 1.2 1.3 1.4 0.04 0.59 1.16 那么方程的一个近似根是　　 A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3 【分析】观察表格可得0.04更接近于0，得到所求方程的近似根即可． 【解答】解：观察表格得：方程的一个近似根为1.2， 故选：． 【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键． 28．（靖江市模拟）对于二次函数，当时，，当时，；所以方程的一个正根的近似值是 　　．（精确到 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时随的增大而增大，本题易解． 【解答】解：二次函数中， 抛物线开口方向向上， 对称轴， 时随的增大而增大， 当时，，当时，， 方程的一个正根：， 近似值是1.4． 答案1.4． 【点评】解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 题型一十二．二次函数与不等式（组） 29．（2024•天宁区校级二模）已知函数为常数），当时，随的增大而增大，，，，是该函数图象上的两点，对任意的和，，总满足，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】依据题意，由时，随的增大而增大，可得，即；又由二次函数的增减性可知，时，；时，；根据，建立不等式，并求出的取值范围，即可得出结论． 【解答】解：由题意，抛物线开口向上， 当时，随的增大而增大， 对称轴直线，即． 抛物线上的点离对称轴越远就越大， 又，， 当时，， 当时，． ， 解得，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查二次函数图象的性质及二次函数最值问题，弄清楚二次函数的增减性与二次函数的最值何时取到是解题基础． 30．（2024春•东台市期中）若二次函数、、为常数）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为 　　． 【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：由函数图象可知， 当或时， 二次函数的图象在轴的下方， 所以关于的不等式的解集为：或． 故答案为：或． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． 31．（2024•泗洪县一模）一次函数的图象与二次函数的图象交于点，． （1）确定二次函数的表达式； （2）请在如图所示的网格中画出二次函数的图象； （3）根据函数的图象直接写出不等式的解集． 【分析】（1）将、点坐标代入二次函数解析式，求解出、，即可求出解析式； （2）先确定顶点、与坐标轴的交点，再描点作图即可； （3）不等式表示一次函数在抛物线上方的部分，根据图象以及交点的横坐标，可以直接求解． 【解答】解：（1）把，代入中， 得： 解得： 抛物线的解析式为 （2）如图所示： （3）根据图象得，不等式表示一次函数在抛物线上方的部分，根据交点坐标可得对应解集为： ． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，描点法画函数图象，二次函数与一次函数的交点等知识，熟练掌握各个知识点是解答的关键． 题型一十三．根据实际问题列二次函数关系式 32．（2022秋•青县校级月考）在半径为的圆中，挖去一个半径为的圆面，剩下一个圆环的面积为，则与的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【分析】剩下面积半径为4的圆的面积半径为的圆的面积 【解答】解：半径为4的圆的面积， 半径为的圆的面积． 因而函数解析式是：． 故选：． 【点评】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 33．（沭阳县月考）某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽，涵洞顶点到水面的距离为，在图中直角坐标系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是　　． 【分析】根据此抛物线经过原点，可设函数关系式为．根据，涵洞顶点到水面的距离为，那么点坐标应该是，利用待定系数法即可求解． 【解答】解：设函数关系式为， 点坐标应该是， 那么， 即， 即． 【点评】根据题中的信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键． 34．（宜兴市校级期末）某公司销售一种新型节能电子小产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售：①若只在国内销售，销售价格（元件）与月销量（件的函数关系式为，成本为20元件，月利润为（元；②若只在国外销售，销售价格为150元件，受各种不确定因素影响，成本为元件为常数，，当月销量为（件时，每月还需缴纳元的附加费，月利润为（元． （1）若只在国内销售，当（件时，　　（元件）； （2）分别求出、与间的函数关系式（不必写的取值范围）； （3）若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求的值． 【分析】（1）将代入函数关系式求得即可； （2）根据等量关系“利润销售额成本广告费”“利润销售额成本附加费”列出两个函数关系式； （3）对函数的函数关系式求得最大值，再求出的最大值并令二者相等求得值． 【解答】解：（1）当时，， 故答案为：140． （2）． ． （3）， ， 由题意得． 解得或． 经检验，不合题意，舍去， ． 【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，难度适中，根据利润的关系式分别写出，与间的函数关系式是解题的关键 题型一十四．二次函数的应用 35．（2022秋•周村区校级期末）用长为的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】本题考查二次函数最小（大值的求法． 【解答】解：设长为，则宽为，，即， 要使做成的窗框的透光面积最大， 则． 于是宽为， 所以要使做成的窗框的透光面积最大， 则该窗的长，宽应分别做成，． 故选：． 【点评】求二次函数的最大（小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如，等用配方法求解比较简单． 36．（2024•启东市一模）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系，则小球从飞出到落地要用 　4　． 【分析】令，求即可． 【解答】解：令， 解得（舍去），， 小球从飞出到落地要用． 故答案为：4． 【点评】本题考查了二次函数，解决本题的关键是熟练地解一元二次方程． 37．（2024秋•鼓楼区校级月考）某超市在中秋节前夕购进价格为3元个的月饼．根据市场预测，该月饼每个售价4元时，每天能售出500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个．为了维护消费者的利益，物价部门规定，该月饼售价不能超过进价的． （1）如果该超市想从月饼销售中每天获得800元的利润，应该怎样给月饼定价？ （2）定价为多少时每天的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设该品牌月饼定价为元，则每个月饼的销售利润为元，每天可售出个，利用该超市每天销售该品牌月饼获得的利润每个月饼的销售利润每天的销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合该品牌月饼的售价不能超过进价的，即可确定该品牌月饼的定价； （2）利用配方法求出利润的最大值即可判断． 【解答】解：（1）设该品牌月饼定价为元，则每个月饼的销售利润为元，每天可售出个， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又该品牌月饼的售价不能超过进价的， ， ． 答：该品牌月饼定价为5元时，该超市每天的销售利润为800元． （2）设每个粽子的定价为元时，每天的利润为元， 根据题意，得： ， 当时，取得最大值，最大值为900， 答：定价为6元时每天的利润最大，最大利润是900元． 【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 题型一十五．二次函数综合题 38．（2023•靖江市校级模拟）如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，顶点为，以为直径在轴上方画半圆交轴于点，圆心为，是半圆上一动点，连接，点为的中点．下列四种说法： ①点在上； ②； ③当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长为； ④线段的长可以是3.2． 其中正确说法的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线得，，，可得，顶点， ①根据勾股定理求出，即可求解； ②根据垂径定理即可求解； ③点的运动轨迹为以为圆心的半圆，则点的运动轨迹为以为圆心的半圆，即可求解； ④根据勾股定理即可求解． 【解答】解：抛物线的图象与坐标轴交于点，，， ，，， 点，的半径为2， ， 顶点的坐标为：， ， 点在上． ①，故点不在上，故①不正确； ②圆心为，是半圆上一动点，点在上，点为的中点． ， 当为直径时，不成立 故②不正确； ③图中实点、、、是点运动中所处的位置， 则是等腰直角三角形的中位线，，交于点，则四边形为正方形， 当点在半圆任意位置时，中点为，连接，则，连接， 则，则点的运动轨迹为以为圆心的半圆， 则运动的路径长，故③正确； ④由③得，当点运动到点的位置时，的长最大， 最大值为， 线段的长不可以是3.2，故④不正确． 故正确说法有：③． 故选：． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的中位线，点的运动轨迹，点和圆的位置关系等，本题综合性较强，关键在于确定点运动的路径，本题综合性强，难度较大． 39．（2023•滨湖区二模）如图，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，则　　；是二次函数在第四象限内图象上一点，作轴交于，交于点，若是以为腰的等腰三角形，则线段的长为 　　． 【分析】由可得，，，即得，，，故，从而；当时，过作轴于，设交轴于，可证，即得，，有，由，得，求出，故；当时，过作轴于，可证，得，，，，求出，由，可得，求得，故． 【解答】解：在中，令得，令得或， ，，， ，，， ， ； 当时，过作轴于，设交轴于，如图： ， 轴， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， ，即， ， ； 当时，过作轴于，如图： ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ，， ， ，， ， 即， ， ， 线段的长为或． 故答案为：90，或． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，等腰三角形性质及应用，相似三角形判定及性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形判定定理． 40．（2024春•海州区校级月考）我们定义：点在一次函数上，点在反比例函数上，若存在、两点关于轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点称为“幸福点”．例如：点在上，点在上，、两点关于轴对称，此时二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点是“幸福点”． （1）判断一次函数和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理由； （2）若一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式； （3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点” 、在左侧），其“向光函数” 与轴交于、两点在左侧），若有以下条件： ①②“向光函数”经过点，③，记四边形的面积为，求的取值范围． 【分析】（1）假设存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为，则，分别代入一次函数和反比例函数，得到关于的一元二次方程，解方程可得，，根据向光函数的定义，即可得到“幸福点”坐标； （2）因为一次函数和反比例函数只有一个“幸福点”，则一次函数与反比例函数只有一个交点，联立一次函数与反比例函数得到关于的一元二次方程，得到关于的一元二次方程，令△，求出的值，即可求出“向光函数”的解析式； （3）一次函数与反比例函数有两个“幸福点” 、在左侧），则、关于轴对称的点、一定在，上，根据“向光函数” 满足的条件可以得出，，进而表示边形的面积为，即可求的取值范围． 【解答】解：（1）一次函数和反比例函数存在“向光函数”，理由如下： 点在一次函数上，点在反比例函数上，若存在、两点关于轴对称，我们称二次函数为一次函数和反比例函数的“向光函数”，点称为“幸福点”．设“幸福点”坐标为，则， ， 解并检验得：，， 一次函数和反比例函数是存在“向光函数”，“幸福点”坐标为，； （2）一次函数关于轴对称的直线函数解析式为，而且一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”， 所以与反比例函数只有一个交点， ③，， 整理得：， △， 解得：，， 当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，向光函数”的解析式为：， 当时，则一次函数与反比例函数只有一个“幸福点”，向光函数”的解析式为：， “向光函数”的解析式为：或． （3）已知一次函数与反比例函数有两个“幸福点” 、在左侧），其“向光函数” 与轴交于、两点在左侧）， 、关于轴对称的点、一定在上，且是与的交点坐标， ， 整理得：， 又 “向光函数”为， 与“向光函数”为关于轴对称， ， “向光函数” 与轴交于、两点在左侧），若有以下条件：①②“向光函数”经过点，③， ，， ， ， 即“向光函数”为， 又， ， ， 又 “向光函数” 与轴交于、两点在左侧），与“向光函数”为关于轴对称， ， ，， ，， ，， ，， 令“向光函数” 中，得即， 解得，， ，， ， ， ， ， ， ， 的取值范围是：． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及到一次函数、反比例函数，理解题意是解答新定义题型的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$