第01章 直角三角形的边角关系 章节整合练习（11个知识点+40题练习） -2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第01章 直角三角形的边角关系 章节整合练习（11个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点6．计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 知识点7．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点8．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点9．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点10．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点11．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 章节题型整合练习 题型一．锐角三角函数的定义 1．（2024•桂林一模）已知在△中，，，，则等于　　 A．6 B．16 C．12 D．4 2．（2024•凉州区一模）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是　　． 3．（2024•紫金县一模）在中，，，，则的值是 　　． 4．（2023秋•张店区校级月考）已知中，，，为边上中线，求和的值． 题型二．锐角三角函数的增减性 5．（2023秋•苍梧县期末）在直角三角形中， 如果各边都扩大 1 倍， 则其锐角的三角函数值　　 A ． 都扩大 1 倍 B ． 都缩小为原来的一半 C ． 都没有变化 D ． 不能确定 6．（2023•未央区校级三模）若，则的度数估计在　　 A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 7．（2022春•连山区月考）若为锐角，且，则的取值范围是　　． 8．（2024•鼓楼区校级模拟）直觉的误差：有一张的正方形纸片，面积是．把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了这是为什么？ 小明给出如下证明：如图2，可知，　　，　　．，，，，，因此、、三点不共线，同理、、三点不共线．所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了． （1）将小明的证明补充完整，　　，　　； （2）小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线，请你帮小红完成她的证明． 题型三．同角三角函数的关系 9．（2024•武侯区模拟）已知是锐角，，则的值是　　 A． B． C． D． 10．（2024春•龙凤区校级期末）如图，在中，，，，　　． 11．（2022春•萨尔图区校级期中）规定：，，，据此判断下列等式成立是 　　．（写出所有正确的序号）． ①；②；③；④． 12．（2024春•淮南月考）已知：如图，在中，． （1）求证：； （2）若，求的值． 题型四．互余两角三角函数的关系 13．（2024•宜兴市一模）在中，，若，则的值为　　 A． B． C． D． 14．（2022秋•灵宝市期末）在中，，若，则　　． 15．（2023秋•扶绥县期末）观察下列等式： ①，； ②，； ③，． （1）根据上述规律，计算　　． （2）计算：． 16．在中，，若，求，的值． 题型五．特殊角的三角函数值 17．（2024•永昌县三模）△中，，都是锐角，且，，则△的形状是　　 A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 18．（2024秋•丰城市校级期中）在中，若，则是 　　． 19．（2024•凉州区一模）已知为锐角．若，则　　． 20．（2024春•无为市月考）计算：． 题型六．计算器—三角函数 21．（2024•招远市模拟）若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是　　 A． B． C． D． 22．已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角，的度数． （1），； （2），； （3），． 题型七．解直角三角形 23．（2024•九龙坡区自主招生）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为　　 A． B． C． D． 24．（2024•赣州二模）在中，已知，，，点在边上，点在边上，且，连接，当为等腰三角形时，　　． 25．（2024•江门一模）定义：在△中，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即．请解答下列问题： 已知：在△中，． （1）若，求的值； （2）若，则　　； （3）若是锐角，探究与的数量关系． 26．（2024春•清江浦区期末）如图，在中，，，．解这个直角三角形． 题型八．解直角三角形的应用 27．（2024•南安市模拟）周末，刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起去江边垂钓．如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线的长为，刘老师想看看鱼钩上的情况，把鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是　　 A． B． C． D． 28．（2024•广州一模）如图，为了测量河两岸，两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得米，，则　　 A．米 B．米 C．米 D．米 29．（2024•广西三模）如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，，，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 　　（结果保留根号）． 30．（2024秋•沙坪坝区校级期中）打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点处，表演场地在小明家北偏东．小明有两种方式去看表演，路线①从经过一段楼梯到达点，，再沿到达处，已知点在点的东北方向处；路线②从出发沿正东方向到达点，再沿正北方向到点处．、、、在同一平面内）（参考数据：，，， （1）求楼梯的长度； （2）小明计划出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是，如果选择路线②则可以跑步跑步的平均速度是，表演正式开始时间是，小明能赶在表演前到达点处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）． 题型九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 31．（2024•龙华区校级模拟）如图，为跷跷板的中点，支柱与地面垂直，垂足为点，当跷跷板的一端着地时，跷跷板与地面的夹角为，测得，则的长为　　 A． B． C． D． 32．（2024秋•越秀区校级期中）如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座换水站，对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡与水平面所成角的度数是，为使出水口的高度为，那么需要准备的水管的长为 　　． 33．（2024•赣榆区二模）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备厢，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备厢后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，， 题型一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 34．（2024•深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为，则电子厂的高度为　　 （参考数据：，， A． B． C． D． 35．（2024•溧阳市模拟）如图，为了测量铁塔的高度，在离铁塔底部（点米的处，测得塔顶的仰角为，那么铁塔的高度　　米． 36．（2024•广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体” 成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． （1）求的长； （2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间． 参考数据：，，． 题型一十一．解直角三角形的应用-方向角问题 37．（2024•南岗区四模）如图，某货船以24海里时的速度从处向正东方向的处航行，在点处测得某岛在北偏东的方向．该货船航行30分钟后到达处，此时测得该岛在北偏东的方向上．则货船在航行中离小岛的最短距离是　　 A．12海里 B．海里 C．海里 D．海里 38．（2024•五峰县模拟）如图，码头在码头的正东方向，它们之间的距离为20海里．一货船由码头出发，沿北偏东方向航行到达小岛处，此时测得码头在南偏西方向，那么码头与小岛的距离是 　　海里．（结果保留根号） 39．（2024春•九龙坡区校级期中）为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点在点的正东方向．点在点的正北方向，米．点正好在点的东北方向，且在点的北偏东方向，米．（参考数据： （1）求步道的长度（结果保留根号）； （2）体育爱好者小王从跑到有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？ 40．（2024•两江新区自主招生）第三届智跑重庆国际城市定向赛暨重庆（大渡口）体育旅游节于2024年4月13日至21日在重庆市大渡口区举行．如图，为比赛起点，比赛途经点在起点的正东方向，比赛途经点在点的北偏东方向，相距1200米，且点在途经点的正北方向：途经点在点的北偏西方向，相距2400米；终点在点的正西方，点在点的西北方向．（参考数据：，， （1）求的长度．（结果精确到1米） （2）小明和小李参与了该越野赛，两人从起点出发前往终点，小明选择的定向路线为．小李选择的定向路线为．请问小明和小李的比赛路线谁更短？并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 直角三角形的边角关系 章节整合练习（11个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 即sinA＝∠A的对边除以斜边＝． （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝． （3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝． （4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 知识点2．锐角三角函数的增减性 （1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时， ①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； ②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； ③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． （3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0． 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0． 知识点3．同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A＝1； （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA＝或sinA＝tanA•cosA． 知识点4．互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为： ①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）； 也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA． 知识点5．特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值． sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝； sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1； sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝； （2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记． （3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 知识点6．计算器—三角函数 （1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数． （2）求锐角三角函数值的方法： 如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“＝”即可得到结果． 注意：不同型号的计算器使用方法不同． （3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是： 如已知sinα＝0.5678，一般先按键“2ndF”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“＝”即可得到结果． 注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键． 知识点7．解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 知识点8．解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 知识点9．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 知识点10．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 知识点11．解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 章节题型整合练习 题型一．锐角三角函数的定义 1．（2024•桂林一模）已知在△中，，，，则等于　　 A．6 B．16 C．12 D．4 【分析】根据正切，即可求解． 【解答】解：如图： ，， ， 故选：． 【点评】本题考查根据角度的正切值求线段长度，熟记正切的定义是解题关键． 2．（2024•凉州区一模）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的正弦值是　　． 【分析】利用勾股定理求出、、的长，再由可得答案． 【解答】解：由题意可知，，，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查锐角的三角函数，掌握三角形的面积公式是解题的关键． 3．（2024•紫金县一模）在中，，，，则的值是 　　． 【分析】先根据勾股定理求出的长，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：在中，，，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 4．（2023秋•张店区校级月考）已知中，，，为边上中线，求和的值． 【分析】设，则，，根据勾股定理求出，，即可求出答案． 【解答】解： 过作于， 设，则，， 由勾股定理得：， 由勾股定理得：， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力． 题型二．锐角三角函数的增减性 5．（2023秋•苍梧县期末）在直角三角形中， 如果各边都扩大 1 倍， 则其锐角的三角函数值　　 A ． 都扩大 1 倍 B ． 都缩小为原来的一半 C ． 都没有变化 D ． 不能确定 【分析】理解锐角三角函数的概念： 在直角三角形中， 锐角三角函数值即为边的比值 ． 根据概念进行分析 ． 【解答】解： 根据锐角三角函数的概念， 知 如果各边都扩大 1 倍， 则其锐角的三角函数值不变 ． 故选：． 【点评】理解锐角三角函数的概念， 明确三角函数值只与角的大小有关， 与角的边长无关 ． 6．（2023•未央区校级三模）若，则的度数估计在　　 A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间 【分析】利用特殊角的三角函数值得到，则，然后根据正切值随着角度的增大而增大进行判断． 【解答】解：，， 而， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了特殊角的三角函数值． 7．（2022春•连山区月考）若为锐角，且，则的取值范围是　　． 【分析】由，，再根据锐角余弦函数值随角度的增大而减小进行分析即可． 【解答】解：， 又，，锐角余弦函数值随角度的增大而减小， 当时，． 故答案为：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性．熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键． 8．（2024•鼓楼区校级模拟）直觉的误差：有一张的正方形纸片，面积是．把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个的长方形，面积是，面积多了这是为什么？ 小明给出如下证明：如图2，可知，　　，　　．，，，，，因此、、三点不共线，同理、、三点不共线．所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了． （1）将小明的证明补充完整，　　，　　； （2）小红给出的证明思路为：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线，请你帮小红完成她的证明． 【分析】（1）在中，，在中，，由此得，再根据得，则，因此、、三点不共线，同理、、三点不共线．由此得拼合的长方形内部有空隙，故面积多了； （2）以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，延长交于，依题意得，，，，则点，点，点，点，利用待定系数法得直线的表达式，当时，，则点不在直线上，即点，，三点不共线，同理、、三点不共线，由此得拼合的长方形内部有空隙，故面积多了． 【解答】（1）解：依题意得拼接的四边形为矩形， ，， 则在中，， 在中，， ， ， ， ， ， 因此、、三点不共线， 同理、、三点不共线． 所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了． 故答案为：；． （2）证明：以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，延长交于，如图所示： 依题意得拼接的四边形为矩形， 则四边形，四边形，四边形都是为矩形， ，，，， 点，点，点，点， 设直线的表达式：， 将点，点代入，得：，解得：， 直线的表达式：， 对于，当时，， 点不在直线上， 点，，三点不共线， 对于，当时，， 点不在直线上， 、、三点不共线， 拼合的长方形内部有空隙，故面积多了． 【点评】此题主要锐角三角函数的增减，矩形的性质，正方形的性质，待定系数法求一次函数的表达式，一次函数图象上的点的坐标，理解锐角三角函数的增减，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，一次函数图象上的点的坐标满足一次函数的表达式是解决问题的关键． 题型三．同角三角函数的关系 9．（2024•武侯区模拟）已知是锐角，，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】首先利用同角的正弦值和余弦值的关系求出的余弦值，然后根据来得到所求的结论． 【解答】解：是锐角，，且， ， ． 故选：． 【点评】此题主要考查的是同角的三角函数关系，要熟记，这两个关系式． 10．（2024春•龙凤区校级期末）如图，在中，，，，　　． 【分析】先根据设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出的值． 【解答】解：，， ，． ． 【点评】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义． 11．（2022春•萨尔图区校级期中）规定：，，，据此判断下列等式成立是 　　．（写出所有正确的序号）． ①；②；③；④． 【分析】根据题干所给的定义新运算可直接进行排除答案． 【解答】解：①根据可得，故①正确； ②；故②正确； ③，故③正确； ④，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题主要考查三角函数的运算，熟练掌握特殊三角函数的值是解题的关键． 12．（2024春•淮南月考）已知：如图，在中，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【分析】（1）根据正弦、余弦的定义和勾股定理证明即可； （2）将两边同时平方并将左边展开，将（1）的关系式代入计算即可． 【解答】（1）证明：，， ， ， 根据勾股定理，得， ． （2）解：， ，即， ， ， ． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，掌握正弦、余弦的定义是本题的关键． 题型四．互余两角三角函数的关系 13．（2024•宜兴市一模）在中，，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数关系得出设，，根据勾股定理可计算出，进而然后根据余弦的定义得出答案． 【解答】解：，， ， 设，， 故， 则． 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值，一个锐角的正切等于这个角的对边与邻边的比值．也考查了勾股定理． 14．（2022秋•灵宝市期末）在中，，若，则　　． 【分析】根据题意画出图形，进而表示出，，的长，进而求出答案． 【解答】解：如图所示：， 设，，则， 则． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了互余两角三角函数关系，正确表示出三角形各边长是解题关键． 15．（2023秋•扶绥县期末）观察下列等式： ①，； ②，； ③，． （1）根据上述规律，计算　　． （2）计算：． 【分析】（1）根据已知的式子可以得到，根据同角的正弦和余弦之间的关系即可求解； （2）利用（1）的结论即可直接求解． 【解答】解：（1）根据已知的式子可以得到， ； （2） ． 【点评】本题考查在直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系． 16．在中，，若，求，的值． 【分析】设，，由勾股定理求出，代入，求出即可． 【解答】解：， 设，， 由勾股定理得：， ，． 【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，注意：在中，，则，，． 题型五．特殊角的三角函数值 17．（2024•永昌县三模）△中，，都是锐角，且，，则△的形状是　　 A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形 【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出，的度数，进而得出答案． 【解答】解：，， ，， ， △的形状是锐角三角形． 故选：． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 18．（2024秋•丰城市校级期中）在中，若，则是 　　． 【分析】当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0，由此即可求出，的度数，于是即可得到答案． 【解答】解：， ，， ，， ，， ， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值，非负数的性质：绝对值，关键是掌握特殊角的三角函数值，非负数的性质． 19．（2024•凉州区一模）已知为锐角．若，则　　． 【分析】根据特殊角的三角函数值计算． 【解答】解：， ． 故答案为：60． 【点评】本题考查特殊角三角函数值，熟记各特殊角三角函数值是解题的关键． 20．（2024春•无为市月考）计算：． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 题型六．计算器—三角函数 21．（2024•招远市模拟）若，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】按科学计算机的使用方法按键即可． 【解答】解：， 利用科学计算器求的度数，按键顺序为：． 故选：． 【点评】本题考查了三角函数，掌握科学计算器的使用方法是解决本题的关键． 22．已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角，的度数． （1），； （2），； （3），． 【分析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数． 【解答】解：（1），得； 得； （2），得； ，得； （3）由，得； 由，得． 【点评】考查了计算器三角函数，本题结合计算器的用法，熟练掌握计算器的用法是解题关键． 题型七．解直角三角形 23．（2024•九龙坡区自主招生）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：过点作的垂线，垂足为， 令小正方形的边长为， 根据勾股定理得，， ， ． 格点是的中点． ， 在△中， ． 故选：． 【点评】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 24．（2024•赣州二模）在中，已知，，，点在边上，点在边上，且，连接，当为等腰三角形时，　　． 【分析】分三种情况结合等腰三角形的性质和解直角三角形讨论求解即可． 【解答】解：当时，如图1， ， ， ； 当时，如图2，作，则有， ，且， ，即， 解得：； 当时，如图3，作，则有， ，且， ，即， 解得：； 综上所述，答案为：5或或． 【点评】本题考查等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键． 25．（2024•江门一模）定义：在△中，我们把的对边与的对边的比叫做的邻弦，记作，即．请解答下列问题： 已知：在△中，． （1）若，求的值； （2）若，则　　； （3）若是锐角，探究与的数量关系． 【分析】（1）如图，作，垂足为．根据三角函数的定义即可得到结论； （2）根据三角函数值即可得到结果； （3）根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：如图，作，垂足为． （1）在△中，，即． 在△中，，即． ； （2）， ， ， ， ， ， 如图，根据对称性，△是钝角三角形时， 故答案为：60或120； （3）在△中，． 在△中，． 在△中，，即． ． 【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 26．（2024春•清江浦区期末）如图，在中，，，．解这个直角三角形． 【分析】由勾股定理求得的长，再由锐角三角函数定义得到的度数，然后求出的度数即可． 【解答】解：在中，，，， ， ， ， ． 【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数定义和勾股定理的知识解答． 题型八．解直角三角形的应用 27．（2024•南安市模拟）周末，刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起去江边垂钓．如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线的长为，刘老师想看看鱼钩上的情况，把鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是　　 A． B． C． D． 【分析】先在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出，然后在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【解答】解：在中，，， ， ， ， ， 在△中，， ， 露出水面的鱼线长度是， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 28．（2024•广州一模）如图，为了测量河两岸，两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得米，，则　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【分析】已知米，，根据正切定义可得． 【解答】解：， （米， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是掌握正切定义． 29．（2024•广西三模）如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，，，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 　　（结果保留根号）． 【分析】过点作，交的延长线于点，先利用平角定义可得，然后在△中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：过点作，交的延长线于点， ， ， 在△中，， ， ， △的面积， 需要改造的广场面积是， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 30．（2024秋•沙坪坝区校级期中）打铁花，是流传于豫晋地区民间传统的烟火，国家级非物质文化遗产之一，铁花飞溅，寓意着生活多姿多彩．春节前夕，在渝北区龙湖天街广场举行了一次打铁花表演．小明家在点处，表演场地在小明家北偏东．小明有两种方式去看表演，路线①从经过一段楼梯到达点，，再沿到达处，已知点在点的东北方向处；路线②从出发沿正东方向到达点，再沿正北方向到点处．、、、在同一平面内）（参考数据：，，， （1）求楼梯的长度； （2）小明计划出门，如果选择路线①只能走路，走路的最快速度是，如果选择路线②则可以跑步跑步的平均速度是，表演正式开始时间是，小明能赶在表演前到达点处吗？如果能，选择哪条路线，如果不能，具体说明原因（数据保留1位小数）． 【分析】（1）根据勾股定理列方程求解； （2）根据“时间路程速度”列式计算． 【解答】解：（1）如图：取点，过作于，于，连接，， 由题意得：，，，， ，四边形为矩形， ， 设 ， ， ， ， ， 解得：， ，， ， 答：楼梯的长度为1300米； （2）选择路线①能赶在表演前到达点处． 理由：按照路线①需要：， 选择路线①不能赶在表演前到达点处， 按照路线②需要：， 选择路线②能赶在表演前到达点处． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数的意义，勾股定理是解题的关键． 题型九．解直角三角形的应用-坡度坡角问题 31．（2024•龙华区校级模拟）如图，为跷跷板的中点，支柱与地面垂直，垂足为点，当跷跷板的一端着地时，跷跷板与地面的夹角为，测得，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据正弦的定义计算，得到答案． 【解答】解：为跷跷板的中点， ， ， 在中，， 则， 故选：． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正弦的定义是解题的关键． 32．（2024秋•越秀区校级期中）如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座换水站，对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡与水平面所成角的度数是，为使出水口的高度为，那么需要准备的水管的长为 　　． 【分析】根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可以求得的长． 【解答】解：由题意可得， ，，， ， 即需要准备的水管的长为， 故答案为：70． 【点评】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 33．（2024•赣榆区二模）如图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备厢，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备厢后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，， 【分析】（1）过点于，根据正弦的定义求出，进而求出车后盖最高点到地面的距离； （2）过点作于点，根据题意求出，根据余弦的定义求出，再求出点到地面的距离，比较大小证明结论． 【解答】解：（1）如图2，过点于， 在△中，，， ， ， 点到地面的距离为：， 答：车后盖最高点到地面的距离约为； （2）没有碰头的危险， 理由如下：如图2，过点作于点， 在△中，， 则， ， ， ， ， 点到地面的距离为：， ， 没有碰头的危险． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 题型一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题 34．（2024•深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端的仰角为，则电子厂的高度为　　 （参考数据：，， A． B． C． D． 【分析】根据题意可得：，，，，，，，然后设 ，则，分别在△和△中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：，，，，，，， 设 ， ， 在△中，， ， 在△中，， ， ， ， 解得：， ， ， 电子厂的高度约为， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 35．（2024•溧阳市模拟）如图，为了测量铁塔的高度，在离铁塔底部（点米的处，测得塔顶的仰角为，那么铁塔的高度　　米． 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的值进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：， 解得：， 答：铁塔的高度为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键． 36．（2024•广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体” 成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从点垂直下降到点，再垂直下降到着陆点，从点测得地面点的俯角为，米，米． （1）求的长； （2）若模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点，求模拟装置从点下降到点的时间． 参考数据：，，． 【分析】（1）根据题意可得：，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用线段的和差关系求出的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）如图： 由题意得：，， ， 在中，米， （米， 的长约为8米； （2）在中，米，， （米， 在中，米，米， （米， （米， 模拟装置从点以每秒2米的速度匀速下降到点， 模拟装置从点下降到点的时间（秒， 模拟装置从点下降到点的时间约为4.5秒． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 题型一十一．解直角三角形的应用-方向角问题 37．（2024•南岗区四模）如图，某货船以24海里时的速度从处向正东方向的处航行，在点处测得某岛在北偏东的方向．该货船航行30分钟后到达处，此时测得该岛在北偏东的方向上．则货船在航行中离小岛的最短距离是　　 A．12海里 B．海里 C．海里 D．海里 【分析】作交 的延长线于，根据三角形的外角性质求出，得到，根据正弦的定义列式计算即可． 【解答】解：作交 的延长线于， 由题意得，，，， ， ， ， 在中，， （海里）， 故选：． 【点评】本题考查的是直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 38．（2024•五峰县模拟）如图，码头在码头的正东方向，它们之间的距离为20海里．一货船由码头出发，沿北偏东方向航行到达小岛处，此时测得码头在南偏西方向，那么码头与小岛的距离是 　　海里．（结果保留根号） 【分析】过作于，证是等腰直角三角形，得，，设海里，则海里，再由锐角三角函数定义得（海里），然后由得，解得，即可解决问题． 【解答】解：过作于，如图： 则， 由题意得：，， 是等腰直角三角形， ，， 设海里，则海里， 在中，， （海里）， ， ， 解得：， ， 即海里， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 39．（2024春•九龙坡区校级期中）为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点在点的正东方向．点在点的正北方向，米．点正好在点的东北方向，且在点的北偏东方向，米．（参考数据： （1）求步道的长度（结果保留根号）； （2）体育爱好者小王从跑到有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？ 【分析】（1）过点作交的延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，得，，由含角的直角三角形的性质得米，则米，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）可知，（米，米，求得（米，于是得到路线消耗的热量为（千卡），路线（千卡），比较即可得到结论． 【解答】解：（1）如图，过点作交的延长线于点，过点作于点， 则，四边形是矩形， ，， ， ， （米， （米， ， 是等腰直角三角形， （米， 答：步道的长度为米； （2）他选择路线消耗的热量更多，理由如下： 由（1）可知，（米，米， （米， 路线消耗的热量为（千卡）， 路线（千卡）， ， 他选择路线消耗的热量更多． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 40．（2024•两江新区自主招生）第三届智跑重庆国际城市定向赛暨重庆（大渡口）体育旅游节于2024年4月13日至21日在重庆市大渡口区举行．如图，为比赛起点，比赛途经点在起点的正东方向，比赛途经点在点的北偏东方向，相距1200米，且点在途经点的正北方向：途经点在点的北偏西方向，相距2400米；终点在点的正西方，点在点的西北方向．（参考数据：，， （1）求的长度．（结果精确到1米） （2）小明和小李参与了该越野赛，两人从起点出发前往终点，小明选择的定向路线为．小李选择的定向路线为．请问小明和小李的比赛路线谁更短？并说明理由． 【分析】（1）延长、交于点，分别求出，的长，进而求出的长即可； （2）求出两条路线的长，比较即可． 【解答】解：（1）如图，延长、交于点， 米，， 在中， 米， ，米， 在中，米，米， 米， 又， 在中，， （米， 答：的长约为1476米； （2）在中， 米， 米， 在中，， 线路（米， 线路（米， ， 答：小李的比赛路线更短． 【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是构造直角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$