精品解析： 江苏省南京外国语学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学卷

初三年级数学学科阶段练习2 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的图象先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点在轴上，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是已知线段，经过点B作，使，连接，在上截取；在截取，点C就是线段的黄金分割点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是边上中线，F是线段上一点，且，连接并延长交于E，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线与x轴交点为和C，对称轴为直线且，且顶点为D，以下结论正确的个数是（ ） ①；②；③；④的解集为；⑤可以为等腰直角三角形也可以为等边三角形；⑥在x轴上方且在抛物线内部满足横纵坐标均为整数的点最多15个（不包括边界） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题2分，共20分） 7. 若，则______． 8. 已知点，，都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是______． 9. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____． 10. 二次函数在内的取值范围是______． 11. 下列各组的两个图形：①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是_____（只填序号） 12. 抛物线绕坐标原点旋转所得的抛物线的解析式是______． 13. 如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 14. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____． 15. 已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________． 16. 已知二次函数的顶点在第二象限，且过点，当为整数时，则______． 三．解答题（共10小题，共88分） 17. 请利用配方法求出下列函数的最值． （1）； （2）． 18. 函数是关于x的二次函数，求： （1）满足条件的m值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？写出这个最低点坐标．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小． 19. 观察下面两组多边形： （1）在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ （2）在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 20. 已知线段a、b、c满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 21. 对于抛物线． （1）将抛物线的解析式化为顶点式； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … （3）结合图象，当时，x的取值范围______． 22. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD． （1）求此抛物线的解析式． （2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积． 23. 已知是关于的方程的两实根，求的最小值． 24. 已知函数，常数， (1)该函数的图象与轴公共点的个数是___． A．0 B．1 C．2 D．1或2 (2)求证：不论为何值，该函数图象的顶点都在函数的图象上． (3)当时，求该函数图象的顶点纵坐标的取值范围． 25. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 26. 请阅读以下材料，并完成相应的问题． 作业15中有这样一道题：如图1，在中，平分，则． （1）如图2，若是的外角的平分线，则=______．请完成证明； （2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的面积与周长的比值是______； （3）如图4，请用直尺和圆规在上画一点P使得．（写出必要的文字说明） 27. 已知抛物线与x轴的两个交点和与y轴交点为点C． （1）直接写出抛物线解析式； （2）如图1，若在线段下方的抛物线上有一点P，若P到距离最大，求P的横坐标； （3）如图2，若在线段BC下方的抛物线上有两点P和Q且，连接射线和相交于点M，请猜想点M运动轨迹（填一条线段、一段抛物线、一段圆弧）并尝试证明你的猜想； （4）如图3，用直尺和圆规容易在BC上画出一点N使得，若点在抛物线上，你能利用直尺和圆规画出点使得吗？请尝试．（写出必要文字说明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初三年级数学学科阶段练习2 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 下列函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义及一般式是解题的关键． 根据二次函数的定义及一般式“”进行判定即可求解． 【详解】解：A、是二次函数，符合题意； B、自变量的最高次数是3次，不是二次函数，不符合题意； C、自变量在分母上，是反比例函数，不是二次函数，不符合题意； D、是一次函数，不是二次函数，不符合题意； 故选：A ． 2. 二次函数的图象先向左平移4个单位，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握其平移规律是解题的关键． 根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：二次函数的图象先向左平移4个单位，再向下平移3个单位， ∴新的二次函数解析式为， 故选：C ． 3. 抛物线的顶点在轴上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标．首先把二次函数的解析式写成顶点坐标式，可得抛物线的顶点坐标为，因为抛物线的顶点在轴上，所以纵坐标为，可得，解方程即可求出的值． 【详解】解：把写成顶点坐标式， 可得：， 抛物线的顶点坐标为， 又抛物线的顶点在轴上， ， 解得：． 故选：A． 4. 如图，是已知线段，经过点B作，使，连接，在上截取；在截取，点C就是线段的黄金分割点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，熟知黄金分割的定义及巧妙运用勾股定理是解题的关键．先得出，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，， ． 又， ． 又， ， 则， ． 故选：C． 5. 如图，在中，是边上中线，F是线段上一点，且，连接并延长交于E，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，过点过点D作，交于H，，先根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理得到，进一步即可得到答案． 【分析】解：如图，过点D作，交于H， ∵是边上中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，抛物线与x轴交点为和C，对称轴为直线且，且顶点为D，以下结论正确的个数是（ ） ①；②；③；④的解集为；⑤可以为等腰直角三角形也可以为等边三角形；⑥在x轴上方且在抛物线内部满足横纵坐标均为整数的点最多15个（不包括边界） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可得，，时，，即可判断①；而，则，由对称轴直线，得到，则，即可判断②；因为抛物线与x轴有两个交点，故，则，即可判断③∵抛物线与x轴交点，而，那么的解集为，即可判断④当为等边三角形时，，记对称轴直线与x轴交于点G，可求，可设解析式为：，代入点，求得，符合题意，当为等腰直角三角形时，可求，同理可求，符合题意，即可判断⑤；当时，解析式为，那么在x轴上方且在抛物线内部满足横纵坐标均为整数的点有16个，由于，当无限接近时，抛物线开口幅度大一点点，仍然满足整点为16个，即可判断⑥． 【详解】解：由图象可得， 而对称轴为直线， 则， 由图象可得时，， ∴，故①错误； ∵ ∴， ∵对称轴， ∴， ∴， 故②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴， 故③正确； ∵抛物线与x轴交点为和C，对称轴为直线， ∴， ∵ ∴的解集为， 故④正确； 当为等边三角形时，，记对称轴直线与x轴交于点G，如图： ∴ ∴， ∴ ∴可设解析式为：， 代入点得：， 解得：，符合题意， 当为等腰直角三角形时，如图： 此时， ∵轴， ∴也等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴可设解析式为：， 代入点得：， 解得：，符合题意， 故⑤正确； ∵当时，解析式为，如图： 当， 那么在x轴上方且在抛物线内部满足横纵坐标均为整数的点有16个， ∵， ∴当无限接近时，抛物线开口幅度大一点点，仍然满足整点为16个， 故⑥错误， ∴正确的有③④⑤， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，等边三角形的性质，解直角三角形，二次函数与不等式的关系． 二、填空题（每题2分，共20分） 7. 若，则______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意可设，然后代入进行求解即可． 【详解】解：由可设， ∴； 故答案为:． 8. 已知点，，都在二次函数的图象上，则、、的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．首先根据二次函数的解析式可得抛物线的对称轴是，可以判断点在对称轴的右侧，点、在对称轴的左侧，找到点关于对称轴的对称点，根据抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，判断三个函数值的大小关系． 【详解】解：二次函数的对称轴是， 点在对称轴的右侧，点、在对称轴的左侧， 点关于对称轴的对称点为， 抛物线开口向上， 在对称轴左侧随的增大而减小， ， ． 故答案为： ． 9. 抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是_____． 【答案】－3＜x＜1 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围． 【详解】解：根据抛物线的图象可知： 抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0）， 根据对称性，则另一交点为（﹣3，0）， 所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 故答案为：﹣3＜x＜1． 【点睛】考点：二次函数的图象． 10. 二次函数在内的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，能根据二次函数的性质求出函数的最值是解答本题的关键． 根据二次函数的性质求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可． 【详解】解：二次函数， 抛物线的开口向下，对称轴为轴， 当时，有最大值，最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 在内的取值范围是， 故答案为：． 11. 下列各组的两个图形：①两个等腰三角形；②两个矩形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形．其中一定相似的是_____（只填序号） 【答案】③④； 【解析】 【分析】根据相似图形定义，形状相同的图形是相似图形．具体的说就是对应的角相等，对应边的比相等，对每个命题进行判断． 【详解】①两个等腰三角形的对应角不一定相等，故错误； ②两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故错误； ③两个等边三角形一定相似； ④两个正方形一定相似； ⑤各有一个内角是45°的两个等腰三角形不一定相似，故错误， 故答案为③④． 【点睛】本题考查的是相似图形，根据相似图形的定义进行判断．对多边形主要是判断对应的角和对应的边． 12. 抛物线绕坐标原点旋转所得的抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，先将化为顶点式，得出原抛物线的顶点坐标为，进而得出旋转后抛物线的顶点坐标为，旋转180度后，抛物线开口方向改变，即可得出旋转后抛物线的解析式为． 【详解】解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∴绕坐标原点旋转后，得到的抛物线的顶点坐标为， ∴旋转后抛物线的解析式为， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，点P从点A出发，以的速度沿运动；同时，点Q从点B出发，以的速度沿运动，当点Q到达C时，P、Q两点同时停止运动，则的最大面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，设动点运动的时间为t s，从而，故，再结合二次函数的性质可以判断得解． 【详解】解：根据题意，点运动的时间为，点运动的时间为，设动点运动的时间为，则， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为：， 故答案为：． 14. 若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为_____． 【答案】-1或2或1 【解析】 【分析】分该函数是一次函数和二次函数两种情况求解，若为二次函数，由抛物线与x轴只有一个交点时b2-4ac=0，据此求解可得． 【详解】∵函数y=(a-1)x2-4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4(a-1)×2a=0， 解得：a1=-1，a2=2， 当函数为一次函数时，a-1=0，解得：a=1. 故答案为：-1或2或1 15. 已知二次函数，当时，二次函数的最大值为6，则的值为____________． 【答案】的值为8或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标，当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．先求得抛物线的对称轴，再分情况讨论：①当时，②当时，当时，根据二次函数的性质，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ①当时，即时， ，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，有最大值为6， ， 解得：； ②当时，即时， 当时，有最大值为6， ， 解得：， ， （不合题意，舍去）， ③当时，即时， ，在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，有最大值为6， ， 解得：， 综上所述，的值为8或． 16. 已知二次函数的顶点在第二象限，且过点，当为整数时，则______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，顶点坐标的运用，一次函数图象的综合，掌握二次函数图象顶点坐标的计算，一次函数图象的性质是解题的关键． 根据题意，结合二次函数图象的顶点坐标可得，，，则，，设，由一次函数图象的性质可得，由此可得的值，代入计算即可求解． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， ∵顶点坐标在第二象限， ∴， ∵二次函数图象过点， ∴，即， ∴，整理得，， ∵， ∴当时，，则，矛盾，不符合题意，舍去； ∴，则， 解得，， ∴在中得到，， ∵为整数， ∴设，则关于的一次函数图形如下， 即可满足条件， ∴，， ∴， 故答案为： ． 三．解答题（共10小题，共88分） 17. 请利用配方法求出下列函数的最值． （1）； （2）． 【答案】（1）最大值为； （2）最小值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法、二次函数的图象与性质．首先用配方法把二次函数的解析式化为顶点坐标式，再根据顶点坐标和函数的开口方向确定是最大值还是最小值． 【小问1详解】 解：， 配方得：， 整理得：， ， 抛物线开口向上，函数有最大值，最大值是； 【小问2详解】 解：， 整理得：， ， ， 抛物线开口向上，函数有最小值，最小值是． 18. 函数是关于x的二次函数，求： （1）满足条件的m值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？写出这个最低点坐标．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小． 【答案】（1）2或； （2），抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大； （3），当时，y随x的增大而减小． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由二次函数的定义可知且，求解即可； （2）根据抛物线有最低点，即，即可得出抛物线解析式，从而即可解答； （3）根据抛物线有最大值，开口向下，即，即可得出抛物线解析式，从而即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得：且， 解得：，， 所以满足条件的m值为2或； 【小问2详解】 解：当时，抛物线有最低点， 所以，此时抛物线解析式为， 所以抛物线的最低点为，且当时，y随x的增大而增大； 【小问3详解】 解：当时，抛物线开口向下，函数有最大值， 此时抛物线解析式为， 所以当时，y随x增大而减小． 19. 观察下面两组多边形： （1）在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ （2）在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 【答案】（1）不相似，见解析； （2）是相似图形，见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查相似多边形的概念，根据相似图形的概念可知，必须满足两个条件：①两个多边形的对应角相等；②两个多边形的对应边成比例； （1）根据相似多边形的概念判断即可； （2）根据相似多边形的概念判断即可． 【小问1详解】 解：∵矩形和矩形， ∴矩形的四个角都是直角，即相等， ∵，， ∴矩形和矩形不相似； 【小问2详解】 ∵多边形和多边形都是各边相等，各角相等的正六边形， ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形． 20. 已知线段a、b、c满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； （2）由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可． 【小问1详解】 解：设，则，， ∵，所以，解得， ∴，，． 【小问2详解】 ∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）． 【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． 21. 对于抛物线． （1）将抛物线的解析式化为顶点式； （2）坐标系中利用描点法画出此抛物线； x … … y … … （3）结合图象，当时，x的取值范围______． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数一般式转化为顶点式，画二次函数图象，根据函数图象求不等式的解集，解题的关键是熟练掌握描点法画函数图象的方法． （1）根据配方法，将抛物线的一般式化为顶点式即可； （2）先列表，然后再描点，最后连线画出函数图象即可； （3）由函数图象得出当时，，从而得出不等式的解集． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：列表： x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 函数图象如图所示： 【小问3详解】 解：根据函数图象可知：当时，， ∴不等式的解集为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD． （1）求此抛物线的解析式． （2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积． 【答案】（1）解析式为y=﹣x2+2x+4；（2）抛物线顶点D的坐标为（2，6），四边形ABCD的面积为12． 【解析】 【分析】（1）由正方形性质，得到C（0，4），B（4，4），将其代入y=﹣x2+bx+c，利用待定系数法解题； （2）利用配方法，将解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，最后根据Ｓ四边形ABDC=Ｓ△ABC+Ｓ△BCD结合三角形面积公式解题． 【详解】解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4）， 把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得 ， 解得：， 则解析式为； （2）∵， ∴抛物线顶点D坐标为（2，6）， 则Ｓ四边形ABDC=Ｓ△ABC+Ｓ△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的顶点式解析式、三角形面积等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 23. 已知是关于的方程的两实根，求的最小值． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次函数最值的计算，掌握一元二次方程根与系数的关系，二次函数最值的计算方法是解题的关键． 根据一元二次方程有两实根，运用根的判别式可得或，再运用一元二次方程根与系数的关系可得，，把二次函数表达式展开得，代入计算，结合二次函数最值的计算方法即可求解． 【详解】解：依题意， 整理得，， ∴或， 由，， ， ， ， ∴关于的函数图象的开口向上，对称轴为，且或，则函数图象如图所示， 当时，；当时，； ∴时，y的最小值为8． 24. 已知函数，为常数， (1)该函数的图象与轴公共点的个数是___． A．0 B．1 C．2 D．1或2 (2)求证：不论为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上． (3)当时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由，从而可得答案； （2）先通过配方：可得函数的顶点坐标，再把顶点坐标代入可得结论； （3）设函数，利用二次函数的性质可得顶点纵坐标的范围，从而可得答案． 【详解】（1）解：由 所以该函数的图象与轴公共点的个数是1个或2个． 故选D； （2）证明：， 该函数的图象的顶点坐标为． 把代入，得， 不论为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上； （3）解：设函数， 当时，有最小值0； 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大． 又当时，； 当时，， 当时，该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围是． 【点睛】本题考查的是二次函数与轴的交点问题，二次函数的图像与性质，二次函数的最大值与最小值，掌握以上知识是解题的关键． 25. 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 【答案】（1）y=﹣20x+1600； （2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元； （3）超市每天至少销售粽子440盒． 【解析】 【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答； （3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解． 【详解】解：（1）由题意得，==； （2）P===， ∵x≥45，a=﹣20＜0， ∴当x=60时，P最大值=8000元， 即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元； （3）由题意，得=6000， 解得，， ∵抛物线P=的开口向下， ∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润， 又∵x≤58， ∴50≤x≤58， ∵在中，＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒． 【点睛】考点：二次函数的应用． 26. 请阅读以下材料，并完成相应的问题． 作业15中有这样一道题：如图1，在中，平分，则． （1）如图2，若是的外角的平分线，则=______．请完成证明； （2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的面积与周长的比值是______； （3）如图4，请用直尺和圆规在上画一点P使得．（写出必要的文字说明） 【答案】（1），见解析； （2）； （3）见解析． 【解析】 【分析】（１）作，结合是的平分线，得到，，根据相似三角形的判定，得到，，即，根据平行线截线段成比例得到，即可求解， （2）作，根据角平分线的性质，设，通过，求出，进而求出，，即可求解， （3）根据垂径定理，找到的中点，结合圆周角定理，及的三等分点，根据图１的结论，即可求解， 本题考查了相似三角形的性质与判定，平行线截线段成比例，角平分线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是：充分利用材料提供的结论． 【小问1详解】 解：过点作，交于点， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴设， ∵， ∴，，， ∴，即：，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：作的中垂线，交于点，交于点，作的中垂线，交于点，作直线与交于点， ∵是的中垂线， ∴，， ∴， 由（）可知，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． 27. 已知抛物线与x轴的两个交点和与y轴交点为点C． （1）直接写出抛物线解析式； （2）如图1，若在线段下方的抛物线上有一点P，若P到距离最大，求P的横坐标； （3）如图2，若在线段BC下方的抛物线上有两点P和Q且，连接射线和相交于点M，请猜想点M运动轨迹（填一条线段、一段抛物线、一段圆弧）并尝试证明你的猜想； （4）如图3，用直尺和圆规容易在BC上画出一点N使得，若点在抛物线上，你能利用直尺和圆规画出点使得吗？请尝试．（写出必要的文字说明） 【答案】（1）； （2）； （3）点M运动轨迹是一条线段，见解析； （4）见解析． 【解析】 【分析】（1）将点和代入，解方程组即得； （2）设P到距离为，过P作轴，交于点D，根据，，得，推出，得，求出直线解析式，，，得，得时，有最大值，即有最大值，P的横坐标为； （3）取的中点F，G，连接，根据，得，得，得，得，得点M运动轨迹是一条线段； （4）根据，得，根据，得，得，由作图知，得，得，以为圆心以长为半径作圆交于点H，交延长线于点G，连接，则，得，得，同理；故． 【小问1详解】 解：将点和代入， 得， 解得， ∴ 【小问2详解】 解：设P到距离为，过P作轴，交于点D， 则，， ∴， ∵中，时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 设， 则， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值， 故P的横坐标为； 【小问3详解】 点M运动轨迹是一条线段 证明：取的中点F，G，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴M、G、F共线， 故点M运动轨迹是一条线段； 【小问4详解】 作法： 以A为圆心以适当长为半径画弧交射线于点I、J， 为圆心以同样长为半径画弧交射线于点K， 以K为圆心以线段长为半径画弧，交前弧于点L， 作射线交于点N， 分别以B、C为圆心以大于长为半径画弧，两弧交于P、Q两点， 作直线交于点D； 延长到点F，使， 分别以N、F为圆心以大于长为半径画弧，两弧交于R、S两点； 作直线交于点E， 以E为圆心以长为半径画弧，交抛物线于点； 就是所求作的点． 证明： 由作图知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 以为圆心以长为半径作圆交于点H，交延长线于点G，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理； 故． 【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，求一次函数解析式，等腰直角三角形判定和性质，二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，相似三角形判定和性质，尺规作图，平行线分线段成比例，分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$