专题26.2反比例函数图象与性质进阶篇按题型分类（10大题型）培优拔尖训练（解析版+原卷版）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题突破（典例+变式训练）及提优测试卷

26.2反比例函数图象与性质进阶篇按题型分类（10大题型）培优拔尖训练（解析版） 【题型 1 反比例函数图象的对称性】 1．（2023•八步区一模）如图，⊙M和⊙N都与x轴和y轴相切，圆心M与圆心N都在反比例函数y的图象上，则图中阴影部分面积等于　π　． 【分析】根据两函数的对称性和圆的对称性，将阴影部分面积转化为一个圆的面积来解． 【解答】解：由题意得，图中阴影部分的面积即为一个圆的面积． ⊙M和x轴y轴相切， 因而M到两轴的距离相等，即横纵坐标相等， 设M的坐标是（a，﹣a）， 点M在函数y的图象上，因而a＝﹣1． 故阴影部分的面积等于π． 故答案为：π． 【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性．能够观察到阴影部分的面积是圆面积，是解决本题的关键． 2．（2023•莆田模拟）平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，规定其坐标“积和”运算为：P⊕Q＝x1y1+x2y2．若A，B，C，D四个点的“积和”运算满足：A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B，则以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是（　　） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 【分析】根据新运算得到x1y1＝x2y2＝x3y3＝x4y4，即可得到点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是菱形． 【解答】解：∵A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B， ∴x1y1+x2y2＝x2y2+x3y3＝x3y3+x4y4＝x4y4+x2y2， ∴x1y1＝x2y2＝x3y3＝x4y4， ∴点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上， ∴以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是菱形， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是确定点A，B，C，D在同一反比例函数的图象上． 3．（2023秋•望江县期末）已知直线y＝kx（k＞0，k是常数）与双曲线y交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣x2y1的值为（　　） A．5 B．0 C．﹣5 D．﹣10 【分析】由于正比例函数和反比例函数图象都是以原点为中心的中心对称图形，因此它们的交点A、B关于原点成中心对称，则有x2＝﹣x1，y2＝﹣y1．由A（x1，y1）在双曲线y上可得x1•y1＝5，然后把x2＝﹣x1，y2＝﹣y1代入2x1y2﹣x2y1的就可解决问题． 【解答】解：∵直线y＝kx（k＞0）与双曲线y都是以原点为中心的中心对称图形， ∴它们的交点A、B关于原点成中心对称， ∴x2＝﹣x1，y2＝﹣y1． ∵A（x1，y1）在双曲线y上， ∴x1•y1＝5， ∴2x1y2﹣x2y1＝2x1•（﹣y1）﹣（﹣x1）•y1＝﹣x1•y1＝﹣5． 故选：C． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数及反比例函数图象的对称性等知识，得到A、B关于原点成中心对称是解决本题的关键． 【题型 2 反比例函数概念、性质的综合应用】 4．（2023春•宿迁期中）如果z与y成反比例，y与x成反比例，那么z与x的关系为（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 【分析】根据反比例函数的定义由z与y成反比例，y与x成反比例得到z（k1≠0），y（k2≠0），然后消去y得到zx，再根据正比例函数的定义进行判断即可． 【解答】解：∵z与y成反比例，y与x成反比例， ∴z（k1≠0），y（k2≠0）， ∴zx， ∴z是x的正比例函数． 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数的定义：函数y（k为常数，k≠0）叫反比例函数．也考查了正比例函数． 5．（2023秋•黄浦区校级期中）反比例函数y的图象经过点A（2，3）、B（m，﹣3）． （1）求这个函数的解析式及m的值； （2）请判断点C（1，6）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 【分析】（1）先把A点的坐标代入反比例函数y中，求出k，即可求出函数解析式，然后把B（m，﹣3）代入即可求得m的值； （2）再把C点的横坐标代入反比例函数的解析式，可求出y，若y的值与C点的纵坐标相等，则说明C在函数的图象上，否则就不在函数图象上． 【解答】解：（1）把A（2，3）代入A（2，3），得：k＝2×3＝6， 所以函数的解析式为y， 把B（m，﹣3）代入y，得：﹣3， 解得m＝﹣2； （2）C（1，6）在这个反比例函数的图象上； 理由如下：把x＝1代入y，得：y＝6， 所以点C（1，6）在这个反比例函数的图象上． 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标特征．此题比较容易掌握． 6．（2023•淮阴区校级开学）如图，正比例函数y1＝﹣3x的图象与反比例函数y2的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为12． （1）求k的值； （2）点C的坐标为 　（﹣4，0）　； （3）根据图象，当﹣3x时，写出x的取值范围． 【分析】（1）过点A作AH⊥x轴，结合△ACO的面积得出HO•AH＝12，进而可得k的值． （2）联立，可求得点A的坐标，进而可得点C坐标． （3）由（2）可得，点A的坐标为（﹣2，6），点B的坐标为（2，﹣6），结合图象，即可得出答案． 【解答】解：（1）过点A作AH⊥x轴， ∵AC＝AO， ∴△AOC为等腰三角形， ∴CH＝HO， ∴△ACO的面积为CO•AH＝HO•AH＝12， ∴k＝﹣12． （2）由（1）可得反比例函数的解析式为y， 联立， 解得或， ∴点A的坐标为（﹣2，6）， ∴OH＝2， ∴OC＝4， ∴点D的坐标为（﹣4，0）． （3）由（2）可得，点A的坐标为（﹣2，6），点B的坐标为（2，﹣6）， 根据图象可得，当﹣3x时，x＜﹣2或0＜x＜2． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合题，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解答本题的关键． 7．已知函数是反比例函数． （1）求m的值． （2）根据函数表达式完成下表． x … ﹣4 　﹣3　 ﹣2 ﹣1 1 　2　 3 4 … y … 　1　 　2　 　4　 　﹣4　 ﹣2 　　 　﹣1　 … （3）以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点并画出函数图象． 【分析】（1）由题意函数是反比例函数，则m2﹣5＝﹣1，m﹣2≠0，即可求得m值； （2）根据（1）取得的解析式分别求出x和y的值即可； （3）利用（2）x和y的对应值画出函数的图象即可． 【解答】解：依题意 （1）由m2﹣5＝﹣1，m﹣2≠0得m＝﹣2 故m的值为﹣2； （2）由（1）得该函数解析式为：y， 根据函数表达式完成表格如下： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 … （3）以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点并画出函数图象．对应的图象如下： 【点评】本题考查了反比例函数性质、定义和图象，画图形注意与坐标轴是无限靠近不能相交． 【题型 3 种函数图象的共存问题】 8．（2023秋•嘉定区期中）函数y＝k1x和（k1k2＜0且k1＜k2）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据k1k2＜0且k1＜k2，可得k1＜0，k2＞0，再根据正比例函数的性质可得y＝k1x的图象在第二四象限，根据反比例函数的性质可得的图象在第一三象限，进而可选出答案． 【解答】解：∵k1k2＜0且k1＜k2， ∴k1＜0，k2＞0， ∴正比例函数y＝k1x的图象在第二四象限， 反比例函数的图象在第一三象限， 故选：C． 【点评】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的性质，关键是熟练掌握两个函数的性质． 9．（2023秋•冷水滩区期中）已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x﹣3和y的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用反比例函数以及一次函数图象的性质分别分析得出答案． 【解答】解：∵k1＜0＜k2，函数y＝k1x﹣3和y在同一坐标系中， ∴反比例函数的图象分布在一三象限，一次函数图象经过二四象限，且过（0，﹣3）点， ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象以及一次函数图象，正确掌握各函数图象分布规律是解题关键． 10．（2023秋•兴庆区校级期末）二次函数y＝ax2+bx和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别根据反比例函数确定b的符号，再由抛物线确定a、b的符号，如果一致则正确． 【解答】解：A、由反比例函数得：b＞0， ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∴抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∴b＜0， ∴选项A不正确； B、由反比例函数得：b＞0， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∴b＞0， ∴选项B正确； C、由反比例函数得：b＞0， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴抛物线的对称轴在y轴左侧， ∴a、b同号， ∴b＜0， ∴选项C不正确； D、由反比例函数得：b＜0， ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∴抛物线的对称轴在y轴左侧， ∴a、b同号， ∴b＞0， ∴选项D不正确； 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数和二次函数图象的性质，明确反比例图象根据分支的位置确定比例系数的符号：①当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，②当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，反之也成立；并熟练掌握二次函数图象的性质． 11．（2023•济南）反比例函数y（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的性质可得k＞0，从而可判断出﹣k＜0，然后再判断一次函数y＝kx﹣k的图象所经过象限即可． 【解答】解：∵反比例函数y（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∴k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象图象经过第一、三、四象限， 故选：D． 【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，关键是掌握反比例函数y，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小． 【题型 4 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】 12．（2024•龙湖区校级一模）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与反比例函数y的图象有唯一公共点，若直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象有2个公共点，则b的取值范围是 　b＜﹣2或b＞2　． 【分析】利用图象法结合对称性解决问题即可． 【解答】解：由题意，当b＞2时，直线y＝﹣x+b与反比例函数有两个交点， 根据对称性，b＜﹣2时，直线y＝﹣x+b与反比例函数也有两个交点， 故满足条件的b的值为b＜﹣2或b＞2， 故答案为：b＜﹣2或b＞2． 【点评】本题主要考查函数的交点问题，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． 13．（2023春•仪征市期末）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，直尺的宽度为2cm，AB＝3cm，OB＝2cm． （1）求反比例函数解析式： （2）若经过A，C两点的直线关系式为y＝mx+b，请直接写出不等式的解集： （3）连接OA、OC，求△OAC的面积． 【分析】（1）由图象确定出A的坐标，然后将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值，即可求得反比例函数解析式； （2）先求得点C的横坐标，然后根据图象求得即可； （3）根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△AOB＝S△COD＝3，再计算S梯形ABDC（3）×2，然后利用△OAC＝S△AOB+S梯形ABDC﹣S△COD＝S梯形ABDC进行计算即可． 【解答】解：（1）由题意可知A（2，3），D（4，0）， 将A点坐标代入y中，得：3， ∴k＝6， ∴双曲线的解析式为y； （2）∵D（4，0）， ∴C点的横坐标为4， 由图象可知，不等式的解集是0＜x＜2或x＞4； （3）把x＝4代入y，得y， ∴C（4，）， ∵S△AOB＝S△COD6＝3，S梯形ABDC（3）×2， ∴S△OAC＝S△AOB+S梯形ABDC﹣S△COD＝S梯形ABDC． 【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，函数与不等式的关系，比例系数的几何意义． 14．如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），B（﹣4，n），点C为一次函数与y轴的交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△OAB的面积； （3）直接写出不等式x+b0的解集． 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出k，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可； （2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可； （3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案． 【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y，一次函数y＝x+b， 得k＝1×4，1+b＝4， 解得k＝4，b＝3， 所以反比例函数的解析式是y，一次函数解析式是y＝x+3； （2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C， 当x＝﹣4时，y＝﹣1， ∴B（﹣4，﹣1）， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， ∴S△OAB＝S△AOC+S△BOC3×13×4； （3）由图象可知，不等式x+b0的解集为x＞1或﹣4＜x＜0． 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，用了数形结合思想． 【题型 5 反比例函数与一次函数的综合应用】 15．（2023•淮北一模）如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形ABCD，AB＝2AD，曲线在第一象限经过C，D两点，则k的值是（　　） A．3 B．6 C．8 D．24 【分析】将y＝0，x＝0分别代入直线的解析式，然后解得x、y的值，从而可求得点A、B的坐标，通过证得△ADH∽△BAO，求得DH＝AH＝1，从而得到点D的坐标为（3，1），进而即可求得k的值． 【解答】解：作DH⊥x轴于H， 将y＝0代入直线y＝﹣x+2得﹣x+2＝0， 解得：x＝2． ∴点A的坐标为（2，0）． 将x＝0代入直线y＝﹣x+2得；y＝2， ∴点B的坐标为（0，2）， ∴OA＝2，OB＝2， ∵∠BAD＝90°， ∴∠DAH+∠BAO＝90°． ∵∠BAO+∠ABO＝90°， ∴∠DAH＝∠ABO． 又∵∠DHA＝∠BOA＝90°， ∴△ADH∽△BAO， ∴，即． ∴DH＝AH＝1． ∴点D的坐标为（3，1）． ∵曲线在第一象限经过D点， ∴k＝3×1＝3， 故选：A． 【点评】本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质、一次函数与坐标轴的交点、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质求得D点的坐标是解题的关键． 16．（2023•镇江二模）如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C（﹣1，0），点B在反比例函数y的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是（　　） A．﹣1 B． C． D．﹣2 【分析】过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE＝OC，连接CE，由等腰直角三角形的性质可求∠CEO＝45°，CE，由角平分线的性质和外角的性质可得∠ECA＝∠OAC＝22.5°，可证CE＝AE，由“AAS”可证△OAC≌△DCB，可得AO＝CD＝1，OC＝BD＝1，可得点B坐标，即可求解． 【解答】解：如图，过点B作BD⊥x轴于D，在OA上截取OE＝OC，连接CE， ∵点C（﹣1，0）， ∴CO＝1， ∴CO＝EO＝1， ∴∠CEO＝45°，CE， ∵△BAC为等腰直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴BC＝AC，∠OCA+∠DCB＝90°，∠CAB＝45°， ∵∠OCA+∠OAC＝90°， ∴∠OAC＝∠BCD， 在△OAC和△DCB中 ， ∴△OAC≌△DCB（AAS）， ∴AO＝CD，OC＝BD＝1， ∵y轴平分∠BAC， ∴∠CAO＝22.5°， ∵∠CEO＝∠CEA+∠OAC＝45°， ∴∠ECA＝∠OAC＝22.5°， ∴CE＝AE， ∴AO＝1CD， ∴DO， ∴点B坐标为（，﹣1）， ∵点B在反比例函数y的图象上， ∴k＝﹣1， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标性质以及全等三角形的判定与性质，求得B的坐标是解题关键． 17．（2023•政和县模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O在坐标原点，且与反比例函数的图象相交于A（m，，C两点，已知点，，则k的值为 　﹣6　． 【分析】根据菱形的性质、平行线的性质和全等三角形的判定与性质可以求得点A的坐标，然后根据点A在反比例函数图象上，即可求k的值． 【解答】解：作AE⊥x轴交x轴于点E，作CF⊥x轴交x轴于点F，作BD//x轴交AE于点D，AB与y轴交点记为M； ∵四边形AOCB是菱形， ∴AB//CO，AB＝CO， ∴∠ABO＝∠COB， 又∵BD//x轴， ∴∠DBO＝∠FOB， ∴∠ABD＝∠COF， ∵AD⊥BD，CF⊥OF， ∴∠ADB＝∠CFO＝90°， 在△ADB和△CFO中， ， ∴△ADB≌△CFO（AAS）， ∴AD＝CF， ∵A（m，），B（，） ∴AD， ∴CF， ∵四边形AOCB是菱形， ∴∠AOB＝∠COB， ∵B（，）， ∴∠BOF＝∠BOM＝45°， ∵AE//y轴， ∴∠EAO＝∠AOM， ∴∠AOM＝∠COF， ∴∠EAO＝∠COF， ∵AE⊥x，CF⊥x轴， ∴∠AEO＝∠CFO， 在△AEO和△OFC中， ∴△AEO≌△OFC（AAS）， ∴OE＝CF， ∴点A的坐标为（，）， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， 解得：k＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质、菱形的性质、解题本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18．（2023•镇江）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y的图象交于点A（n，2）和点B． （1）n＝　﹣4　，k＝　　； （2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标； （3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式求得n，再把求得的A点坐标代入正比例函数解析式求得k； （2）可设点C（0，b），只要求出b的值就行，求值一般的方法是相似和勾股定理，此题用相似，只需证明△ACD∽△CBE即可； （3）在x轴上找到点P1，P2，使AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，则点P在P1的左边，在P2的右边就符合要求了． 【解答】解：（1）把A（n，2）代入反比例函数y中，得n＝﹣4， ∴A（﹣4，2）， 把A（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，得k， 故答案为：﹣4；； （2）过A作AD⊥y轴于点D，过B作BE⊥y轴于点E， ∵A（﹣4，2）， ∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2）， 设C（0，b），则CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝4，CE＝b+2， ∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°， ∴∠ACO＝∠CBE， ∵∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴△ACD∽△CBE， ∴，即， 解得，b＝2，或b＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴C（0，2）； 另一解法：∵A（﹣4，2）， ∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2）， ∴， ∵∠ACB＝90°，OA＝OB， ∴， ∴）； （3）如图2，在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得OP1＝OP2＝OA＝OB， ∴， ∴P1（﹣2，0），P2（2，0）， ∵OP1＝OP2＝OA＝OB， ∴四边形AP1BP2为矩形， ∴AP1⊥P1B，AP2⊥BP2， ∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角， ∴P点必在P1的左边或P2的右边， ∴m＜﹣2或m＞2． 另一解法：在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得∠AP1B＝∠AP2B＝90°， 则， ∴， ∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角， ∴P点必在P1的左边或P2的右边， ∴m＜﹣2或m＞2． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象与性质，正比例函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，矩形的判定，待定系数法，第（2）小题关键是证明相似三角形，第（3）小题关键在于构造矩形． 19．（2023•邓州市一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（1，0），D（0，2），反比例函数y的图象经过了矩形的顶点B，且tan∠ABD． （1）求反比例函数表达式； （2）动手画直线OB，记为y＝mx，结合图象直接写出关于x的不等式mx0的解集． 【分析】（1）根据直角三角形的勾股定理和矩形的性质求出点B的坐标，进而求出反比例函数的关系式； （2）根据对称性求出直线y＝mx与双曲线y的交点坐标，根据图象可直接得出关于x的不等式mx0的解集． 【解答】解：点A（1，0），D（0，2），即OA＝1，OD＝2， ∴AD， 在Rt△ABD中， ∵tan∠ABD， ∴AB＝2， ∴BD5， ∵tan∠ODAtan∠ABD， ∴∠ODA＝∠ABD， 又∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝90°， ∴∠ADB+∠ABD＝90°， ∵∠OAD+∠ODA＝90°， ∴∠OAD＝∠ADB， ∴BD∥OA， ∴点B的坐标为（5，2）， ∵点B在反比例函数y的图象上， ∴k＝10， ∴反比例函数的关系式为y； （2）如图，直线OB与反比例函数图象的另一个交点为E，由对称性可得点E的坐标为（﹣5，﹣2）， 由图象可知，关于x的不等式mx0的解集为﹣5＜x＜0或x＞5． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数与反比例函数图象的交点坐标，求出点B的坐标是解决问题的关键． 【题型 6 反比例函数与几何图形的面积的综合】 20．（2023•前进区三模）如图，双曲线y（x＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，过点D作DE⊥OA于点E，连接OC，若△OBC的面积是6，则k的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S|k|． 【解答】解：∵Rt△OAB中，∠OAB＝90°， ∴DE∥AB， ∵D为Rt△OAB斜边OB的中点D， ∴DE为Rt△OAB的中位线， ∵△OED∽△OAB， ∴． ∴S△AOC＝S△DOEk， ∴S△AOB＝4S△DOE＝2k， 由S△AOB﹣S△AOC＝S△OBC＝6，得2kk＝6， 解得k＝4． 故选：B． 【点评】主要考查了反比例函数y中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 21．（2023•洪山区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．若点C的坐标为（2，2），当阴影部分面积S最小时，则点E的坐标为　（2，1）　． 【分析】根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，而点C的坐标为（2，2），则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y＝2或x＝2代入y可得到A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2，），然后计算S阴影部分＝S△ACE+S△OBE，配方得（k﹣2）2，当k＝2时，S阴影部分最小值为，则E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点． 【解答】解：∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB， 而点C的坐标为（2，2）， ∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0）， 把y＝2代入y得x；把x＝2代入y得y， ∴A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2，）， ∴S阴影部分＝S△ACE+S△OBE （2）×（2）2 k2k+2 （k﹣2）2． 当k﹣2＝0，即k＝2时，S阴影部分最小，最小值为； ∴E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点， ∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小； 故答案为：（2，1）． 【点评】本题考查了反比例函数综合题以及二次函数最值问题等知识，根据已知表示出图形面积是解题关键． 22．（2024•中山市二模）如图，反比例函数y（x＞0）的图象与矩形ABCO的边AB交于点G，与边BC交于点D，过点A，D作DE∥AF，交直线y＝kx（k＜0）于点E，F，若OE＝OF，BGGA，则的值为 　　；四边形ADEF的面积为 　15　. 【分析】延长DE交x轴于K，作DH⊥OA于H，证得△OEK≌△OFA，即可证得S四边形ADEF＝S四边形ADEO+S△KEO＝S△ADK，设G（a，），用a表示CD和DB可得比值，根据三角形面积公式即可求得． 【解答】解：延长DE交x轴于K，作DH⊥OA于H， 设G（a，），则OA＝a，AG， ∵BGGA， ∴BG， ∴DH＝AB＝AG+BG， yD时，xD， ∴CD，BD＝BC﹣CD＝a． ∴． ∵DE∥AF， ∴∠EKO＝∠FAO， 在△OEK和△OFA中， ， ∴△OEK≌△OFA（AAS）， ∴OK＝OA＝a， ∴AK＝2a， ∴S四边形ADEF＝S四边形ADEO+S△KEO＝S△ADK2a15． 故答案为：，15． 【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，矩形的性质，三角形面积公式，证得S四边形ADEF＝S四边形ADEO+S△KEO＝S△ADK是解题的关键． 23．（2023•九龙坡区校级自主招生）已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y的图象都经过点A（1，﹣5），B（m，）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式；并在网格中画出一次函数的图象； （2）若点C与点A关于原点成中心对称，连接BC、AC．求△ABC的面积； （3）根据图象，不等式ax+b的解集． 【分析】（1）由点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数的表达式，由点B的纵坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，再根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）先求得C的坐标，然后根据面积差可得S△ABC的值即可； （3）观察两函数图象的上下位置关系，即可找出不等式ax+b的解集． 【解答】解：（1）∵点A（1，﹣5））和B（m，）在反比例函数y的图象上， ∴k＝1×（﹣5）m＝﹣5， ∴反比例函数的表达式为y，m＝﹣3； ∴点B的坐标为（﹣3，）． 将A（1，﹣5），B（﹣3，）代入y＝ax+b，得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为yx； 图象如图1所示： （2）如图2，∵点A的坐标为（1，﹣5），点C与点A关于原点成中心对称， ∴点C的坐标为（﹣1，5）， ∵点B的坐标为（﹣3，）， ∴S△ABC＝4×104×（5）2×10． （3）观察函数图象，可知：当x≥1或﹣3≤x＜0时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， ∴不等式ax+b的解集是x≥1或﹣3≤x＜0． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征及待定系数法，求出函数的表达式；（2）利用分割法求解；（3）由两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集． 24．（2023•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数 的图象上． （1）求k的值； （2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值． 【分析】（1）根据点P（1，2）在函数 的图象上，代入即可得到k的值； （2）根据点A（t，0）在x轴负半轴上得到OA＝﹣t，根据正方形的性质得到OC＝BC＝OA＝﹣t，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵点P（1，2）在函数 的图象上， ∴2， ∴k＝2， 即k的值为2； （2）∵点A（t，0）在x轴负半轴上， ∴OA＝﹣t， ∵四边形OABC为正方形， ∴OC＝BC＝OA＝﹣t，BC∥x轴， ∴△BCP的面积为S（﹣t）×（2﹣t）t2﹣t， ∴T＝2S﹣2t2＝2（t2﹣t）﹣2t2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1， ∵﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当t＝﹣1时，T有最大值，T的最大值是1． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，正方形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 25．（2023•潼南区一模）已知一次函数y＝k1x﹣1（k1≠0）的图象与反比例函数y（k2≠0）的图象相交于点A（m，﹣2），B（﹣3，1）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； （2）根据函数图象，直接写出不等式k1x﹣1的解集； （3）若点C是y轴上一点，连接AC，BC，且△ABC的面积为，求点C的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据图象即可求解； （3）求得直线与y轴的交点D的坐标，然后利用三角形面积公式得到S△ACD+S△BCD•（3），即可求得CD＝2，进一步求得点C的坐标． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝k1x﹣1（k1≠0）的图象与反比例函数的图象相交于点A（m，﹣2），B（﹣3，1）， ∴﹣3k1﹣1＝1，1 解得k1，k2＝﹣3， ∴一次函数解析式为yx﹣1，反比例函数解析式为y， 把A（m，﹣2）代入y得m， ∴A（，﹣2）， 画出一次函数的图象如图： ； （2）不等式的解集为x＜﹣3或0＜x； （3）设一次函数图象与y轴的交点为D，则D（0，﹣1）， ∵△ABC的面积为， ∴S△ACD+S△BCD•（3）， ∴CD＝2， ∴C（0，1）或（0，﹣3）． 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系以及三角形面积，数形结合是解题的关键． 【题型 7 反比例函数的图象与几何变换问题】 26．（2023•武汉模拟）如图，A（2，3）是双曲线上的一点，P为x轴正半轴上一点，将A点绕P点顺时针旋转90°，恰好落在双曲线上的另一点B，则P点的坐标为　（3，0）　． 【分析】分别过A、B两点作x轴的垂线AC，BD，由旋转的性质证明△APC≌△PBD，设PC＝a，根据A的坐标，表示B点坐标，由双曲线上的点横坐标与纵坐标的即相等，列方程求a的值，确定P点坐标． 【解答】解：分别过A、B两点作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足为C、D，设PC＝a， ∵∠APB＝90°， ∴∠APC+∠BPD＝90°， 又∠APC+∠PAC＝90°， ∴∠PAC＝∠BPD， 在△APC和△PBD中， ∵， ∴△APC≌△PBD， ∴CP＝BD＝a，AC＝PD＝3， 则B（a+5，a）， ∵A、B两点在双曲线y上，∴（a+5）a＝2×3， 解得a1＝1，a2＝﹣6（舍去）， 则P（3，0）， 故答案为：（3，0）． 【点评】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是旋转的性质得出三角形全等，根据全等三角形的性质表示B点坐标，根据双曲线上点的坐标性质列方程． 27．（2023•浉河区校级三模）如图，已知反比例函数的图象经过点A（2，﹣2），AB⊥y轴于点B，点C为y轴正半轴上一点，连接AC． （1）求反比例函数的表达式； （2）请用无刻度的直尺和圆规，在x轴正半轴上找一点D，使得∠OBD＝∠BAC（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）； （3）在（2）的条件下，求证：AC＝BD． 【分析】（1）把点A（2，﹣2）代入反比例函数，即可得到结论；（2）如图所示，根据作一个角等于已知角的作法作出图形即可； （3）根据已知条件得到AB＝OB＝2，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（2，﹣2）， ∴﹣2， ∴k＝﹣4， ∴反比例函数的表达式为y； （2）如图所示，点D即为所求； （3）∵点A（2，﹣2），AB⊥y轴于点B， ∴AB＝OB＝2， ∵∠BOD＝∠ABC＝90°，∠DBO＝∠BAC， ∴△ABC≌△BOD（ASA）， ∴AC＝BD． 【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，基本作图，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 28．（2023春•阳春市期末）如图，一次函数l1：y＝3x﹣3的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，3）． （1）求一次函数l2的解析式． （2）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＜3x﹣3的解集． 【分析】（1）把点C的坐标代入y＝3x﹣3，求出m，再把B、C的坐标代入y＝kx+b得出方程组，再求出k、b即可； （2）根据函数的图象得出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）∵两函数图象交于点C（m，3）， ∴把点C的坐标代入y＝3x﹣3得：3＝3m﹣3， 解得：m＝2， 即C（2，3）， ∵函数y＝kx+b经过点B（3，1），点C（2，3）， ∴， 解得：， 即y＝﹣2x+7， 所以一次函数l2的解析式是y＝﹣2x+7； （2）由图象可知不等式kx+b＜3x﹣3的解集是x＞2． 【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质等知识点，能求出点C的坐标是解此题的关键． 29．（2023•丹阳市模拟）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数交于点C，点A的坐标为（3，0），CD⊥x轴于点D． （1）点B的坐标为　（0，1）　； （2）若点B为AC的中点，求反比例函数的解析式； （3）在（2）条件下，以CD为边向右作正方形CDEF，EF交AC于点G，直接写出△CGF的周长与△ABO的周长的比． 【分析】（1）把点A的坐标为（3，0）代入得，解方程即可得到结论； （2）根据三角形的中位线定理得到C（﹣3，2），由点C在双曲线上，于是得到结论； （3）根据正方形的性质得到GF＝CD＝3，根据平行线的性质得到∠FCG＝∠BAO，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）把点A的坐标为（3，0）代入得，0b， 解得：b＝1， ∴点B的坐标为（0，1）； 故答案为：（0，1）． （2）∵AB＝BC，OB∥CD， ∴OA＝OD，CD＝2OB， ∵A（3，0），B（0，1）， ∴C（﹣3，2）， ∵点C在双曲线上， ∴， ∴k＝﹣6， ∴反比函数解析式为； （3）∵C（﹣3，2）， ∴CD＝2， ∵四边形CDEF是正方形， ∴GF＝CD＝3， ∵CF∥AD， ∴∠FCG＝∠BAO， ∵∠F＝∠AOB＝90°， ∴△CFG∽△AOB， ∴△CGF的周长与△ABO的周长的比． 【点评】本题考查了反比例函数的综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，正方形的性质，三角形中位线定理，正确的识别图形是解题的关键． 30．（2023秋•海淀区校级月考）平面直角坐标系xOy中，点A（2，m）是反比例函数的图象与直线y＝x+1的交点． （1）求m和k的值； （2）已知点P（n，0），过点P作垂直于x轴的直线，交直线y＝x+1于点B，交函数图象于点C． ①当n＝3时，求∠ACB的度数； ②若∠ACB＞45°，结合图象，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）把点A坐标代入一次函数解析式中求出点A坐标，即求出m的值，再把点A坐标代入反比例函数解析式，求出k的值即可； （2）①根据（1）所求求出B（3，4），C（3，2），进而利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明AC2+AB2＝BC2，AC＝BC，即可得到∠ACB＝45°； ②设E（3，4），F（3，2），当n＞3时，设直线BC交直线AF于G，先证明AGB＝∠AFE＝45°，则由三角形外角的性质可得∠ACB＝∠AGB+∠CAG＝45°+∠CAG＞45°，类似可得当0＜n＜3时，∠ACB＜45°，同理可得当n＜﹣3时∠AC′B′＝∠AHB′+∠C′AH＝45°+∠C′AH＞45°；综上所述，当n＞3或n＜﹣3，∠ACB＞45°． 【解答】解：（1）把A（2，m）代入y＝x+1中得：m＝2+1＝3， ∴A（2，3）， 把A（2，3）代入中得：， ∴k＝6； （2）①在y＝x+1中，当x＝3时，y＝4，在中，当x＝3时，y＝2， ∴B（3，4），C（3，2）， ∴，，BC＝2， ∴AC2+AB2＝BC2，AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°， ∴∠ACB＝45°； ②n＞3或n＜﹣3；理由如下： 设E（3，4），F（3，2）， 当n＞3时，设直线BC交直线AF于G， ∵EF∥BG， ∴AGB＝∠AFE＝45°， ∴∠ACB＝∠AGB+∠CAG＝45°+∠CAG＞45°， 类似可得当0＜n＜3时，∠ACB＜45°， ∴当n＞3时，∠ACB＞45°； 同理当n＜0时，可求得当n＝﹣3时，∠AMN＝45°， 同理可得当n＜﹣3时，∠AC′B′＝∠AHB′+∠C′AH＝45°+∠C′AH＞45°； 综上所述，当n＞3或n＜﹣3时，∠ACB＞45°． ． 【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，利用待定系数法求出对应的函数解析式，以及利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． 【题型 8 与反比例函数的图象、性质有关的阅读理解题】 31．（2023春•镇江期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点C（2，3）　不是　“美好点”（填“是”或“不是”）；若点D（4，b）是第一象限内的一个“美好点”，则b＝　4　； 【深入探究】 （2）①若“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线（k≠0，且k为常数）上，则k＝　18　； ②在①的条件下，F（2，n）在双曲线上，求S△EOF的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象的草图，观察图象可知该图象可由函数 　　（x＞0）的图象平移得到； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 　A，B　；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点（2，2）且平行于坐标轴的直线没有交点； B．y随着x的增大而减小； C．y随着x的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）•（y﹣2）是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 【分析】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点C是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到2×（4+b）＝4b，进行计算即可得到b的值； （2）①根据“美好点”的定义求出m的值，得到E的坐标，将点E代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； ②先由①得出点F的坐标，再用待定系数法求出直线EF的解析式，令直线EF与x轴交于点G，当y＝0时，求出点G的坐标，最后根据S△EOF＝S△FOG﹣S△EOG进行计算即可； （3）①根据“美好点”的定义可得2（x+y）＝xy，化简整理即可得到答案； ②描点连线即可得到图象，由图象观察可知，该图象可由平移得到； ③先画出草图，再根据图象逐一判断即可得到答案； ④将代入（2﹣x）⋅（y﹣2）进行计算即可得到答案． 【解答】解：（1）∵（2+3）×2＝10≠2×3＝6， ∴点C（2，3）不是“美好点”， ∵点D（4，b）是第一象限内的一个“美好点”， ∴2×（4+b）＝4b， 解得：b＝4， 故答案为：不是，4； （2）①∵E（m，6）（m＞0）是“美好点”， ∴2×（m+6）＝6m， 解得：m＝3， ∴E（3，6）， 将E（3，6）代入双曲线， 得k＝18， 故答案为：18； ②∵F（2，n）在双曲线上， ∴， ∴F（2，9）， 设直线EF的解析式为：y＝ax+b， ∴， 解得， ∴直线EF的解析式为：y＝﹣3x+15， 令直线EF与x轴交于点G， 当y＝0时，﹣3x+15＝0， 解得：x＝5， ∴G（5，0）， 画出图如图所示： ∴； （3）①∵点P（x，y）是第一象限内的“美好点”， ∴2（x+y）＝xy， 化简得：， ∵第一象限内的点的横坐标为正， ∴， 解得：x＞2， ∴y关于x的函数表达式为：（x＞2）； ②画出草图如图所示： 该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； ③由图象可得： A．图象与经过点（2，2）且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B．由图象可知y随着x的增大而减小，故B正确，符合题意； C．y随着x的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D．当x＝10时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④“对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）•（y﹣2）为定值．” ∵， ∴， ∴对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）⋅（y﹣2）是为定值，定值为﹣4． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 32．（2023秋•渠县期末）研究与应用： 【自学研究】兴趣小组深入探究，发现：在平面直角坐标系中已知点P1（a，b）、P2（c，d），则线段P1P2的中点坐标为（，），已知点A（2，1）、B（0，1），则线段AB的中点坐标为 　（1，1）　． 【学以致用】如图1，在平面直角坐标系中，长方形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F，一次函数y＝kx+b的图象经过E、F两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标． 【深入研究】（3）小组成员又发现：如图1中，连接AC，则EF∥AC．（如图2），于是想到：如果在双曲线y（x＞0）上任取两点E、F，作EA⊥y轴于A点，作FC⊥x轴于C点，是否仍存在EF∥AC（如图3）．若存在，请证明． 【分析】【自学研究】 由中点坐标公式即可求解； 【学以致用】 （1）用待定系数法即可求解； （2）作点E关于x轴的对称点E′（1，﹣2），连接E′F交x轴于点P，此时，PE+PF的值最小，进而求解； 【深入研究】 （3）证明1，即可求解． 【解答】【自学研究】 解：由中点坐标公式得：中点坐标为（，）， 即中点的坐标为（1，1）， 故答案为：（1，1）； 【学以致用】 （1）解：由题意得，点B（4，2），则OB的中点坐标为（2，1）， 将点（2，1）代入反比例函数表达式得：1， 解得：m＝2， 即反比例函数表达式为：y， 当x＝4时，则y，即点F（4，）， 同理可得，点E（1，2）， 则，解得：， 即一次函数的表达式为：yx； （2）解：作点E关于x轴的对称点E′（1，﹣2），如图，连接E′F交x轴于点P，此时，PE+PF的值最小， 理由：PE+PF＝PE′+PF＝E′F为最小， 由点E′、F的坐标得，直线E′F的表达式为：yx， 令yx0， 解得：x， 即点P的坐标为（，0）； 【深入研究】 （3）存在，理由： 证明：如图，延长CF交AE的延长线于点B， 设点B（s，t），则点E、F的坐标分别为（，t）、（s，）， 则BE＝s，BA＝s， 则1， 同理可得：1， ∴EF∥AC． 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了平行线分线段成比例定理，坐标轴上，任意线段的中点公式，反比例函数图象上点的坐标特点、中点坐标公式是解答此题的关键． 33．（2023•河南模拟）引入：初中阶段的我们共学习了三种函数，分别是一次函数、反比例函数和二次函数，补全表格内容： x 图象 经过的象限 对称性 y 双曲线 一、三 关于原点对称 y＝x 直线 　一、三　 关于原点对称 y＝x2 抛物线 一、二 关于 　y轴　对称 探究：九年级二班的数学小组在探究y＝x3的图象时，经过列表、描点、连线得出函数的图象，根据表格中的点画出函数的图象； x ⋯ ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ⋯ y＝x3 ⋯ ﹣27 ﹣8 ﹣1 0 1 8 27 ⋯ 拓展：对于四个函数①y＝x﹣2；②y＝x﹣3；③y＝x4；④y＝x5和如图四个函数图象，其中y＝x﹣2的图象对应 　B　；y＝x﹣3对应的图象是 　A　；y＝x4对应的图象是 　D　；y＝x5对应的图象是 　C　． 归纳：写出函数y＝xn（n为整数）的图象的两条性质． 【分析】引入：根据一次函数和二次函数的性质填空即可； 探究：描点、连线画出函数图象即可； 拓展：根据解析式，观察图象判断即可； 归纳：观察图象即可得到函数的性质． 【解答】解：引入： x 图象 经过的象限 对称性 y 双曲线 一、三 关于原点对称 y＝x 直线 一、三 关于原点对称 y＝x2 抛物线 一、二 关于y轴对称 故答案为一、三；y轴； 探究：画出函数的图象如图； 拓展：对于四个函数①y＝x﹣2；②y＝x﹣3；③y＝x4；④y＝x5和如图四个函数图象，其中y＝x﹣2的图象对应B；y＝x﹣3对应的图象是A；y＝x4对应的图象是D；y＝x5对应的图象是C． 故答案为B、A、D、C； 归纳：函数y＝xn（n为整数）的图象的性质： ①当x＞0时，n＜0，则y随x的增大而减小，n＞0，则y随x的增大而增大； ②当n为偶数时，y＞0． 【点评】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，熟练掌握函数的性质、数形结合是解题的关键． 【题型 9 反比例函数中的存在性问题】 34．（2024•涪城区模拟）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（a≠0）的图象在第一象限交于A，B两点，A点的坐标为（m，6），B点的坐标为（2，3），连接OA，过B作BC⊥y轴，垂足为C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）在射线CB上是否存在一点D，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的D点坐标． 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而确定出点A的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式； （2）分两种情形分别讨论求解即可解决问题． 【解答】解：（1）∵点B（2，3）在反比例函数y的图象上， ∴a＝3×2＝6， ∴反比例函数的表达式为y， ∵点A的纵坐标为6， ∵点A在反比例函数y图象上， ∴A（1，6）， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为y＝﹣3x+9； （2）如图，①当∠OD1A＝90°时， 设BC与AO交于E，则E（，3）， ∴AE＝OE＝D1E， ∵E（，3）， ∴D1的坐标为（，3）； ②当∠OAD2＝90°时， 可得直线AD2的解析式为：yx， 当y＝3时，x＝19， ∴D2的坐标为（19，3）， 综上所述，当△AOD是直角三角形，D点坐标为（，3）或（19，3） 【点评】此题主要考查了反比例函数综合题、待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定和性质，解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 35．（2024•莱芜区模拟）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点M在y轴上，且△BMC的面积为4，求点M的坐标； （3）将线段AB在平面内平移，当AB一个端点的对应点P在x轴上，另一个端点的对应点Q是平面内一点，是否存在以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由△BMC的面积＝4CM•xB|3﹣y|×2，即可求解； （3）当AP是对角线时，由中点坐标公式和AP＝BQ列出方程组，即可求解；当AQ是对角线时，同理可解． 【解答】解：（1）当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，即点A（1，2）， 将点A的坐标代入反比例函数表达式得：k＝2， 即房比例函数表达式为：y； （2）联立一次函数和反比例函数表达式得：x+3， 解得：x＝1或2， 即点B（2，1）； 设点M的坐标为：（0，y）， 则△BMC的面积＝4CM•xB|3﹣y|×2， 解得：y＝7或﹣1， 即点M的坐标为：（0，7）或（0，﹣1）； （3）存在，理由： 设点P（x，0），点Q（s，t）， 当AP是对角线时，由中点坐标公式和AP＝BQ得： ，解得：， 即点P（1，0）； 当AQ是对角线时，由中点坐标公式和AQ＝BP得： ， 解得：x＝﹣1， 即点P的坐标为：（﹣1，0）； 综上，点P的坐标为：（1，0）或（﹣1，0）． 【点评】本题为反比例函数综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、矩形的性质等，有一定的综合性，难度适中． 【题型 10 反比例函数中的规律问题】 36．（2023•杭州模拟）如图，A1、A2、A3…An在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，分别过点A1、A2、A3…An作y轴的平行线，与反比例函数y（x＞0）的图象分别交于点B1、B2、B3…Bn，分别过点B1、B2、B3…Bn作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1、C2、C3…∁n，连接OB1、OB2、OB3…OBn得到n个阴影三角形，那么图中第n个阴影三角形的面积是　　． 【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到第1个阴影三角形的面积＝4，由于第2个阴影三角形与三角形OB2C2相似，根据相似得性质得则第2个阴影三角形的面积S△OB2C2，同理可得第3个阴影三角形的面积S△OB3C3＝（）28，于是得到第n个阴影三角形的面积S△OBnCn＝（）28． 【解答】解：第1个阴影三角形的面积8＝4， 第2个阴影三角形的面积S△OB2C2＝（）28， 第3个阴影三角形的面积S△OB3C3＝（）28， 所以第n个阴影三角形的面积S△OBnCn＝（）28． 故答案为． 【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方． 37．（2023•浙江自主招生）如图，若点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）在双曲线y第一象限的分支上，△P1OA1，△P2A1A2，…，△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，且斜边OA1，A1A2，…，An﹣1An都在x轴上，则y1+y2+…+y10＝　2　． 【分析】根据等腰直角三角形的性质，知P1的横、纵坐标相等，即可求得P1的坐标为（2，2），再根据等腰直角三角形的性质和双曲线的解析式首先求得各个点的横坐标，再进一步求得其纵坐标，发现抵消的规律，从而求得代数式的值． 【解答】解：过点P1作P1E⊥x轴于点E，过点P2作P2F⊥x轴于点F，过点P3作P3G⊥x轴于点G， ∵△P1OA1是等腰直角三角形， ∴P1E＝OE＝A1E＝OA1， ∵点P1（x1，y1）在双曲线y上， ∴y1＝x1＝2， ∴点P1的坐标为（2，2）． ∴OA1＝4， ∴设点P2的坐标为（b+4，b），将点P2（b+4，b）代入y，可得b＝22， ∴y2＝22， ∴OA2＝4， 设点P3的坐标为（4c，c），代入y，可得c＝22， ∴y3＝22， ，…， yn＝22， ∴y1+y2+…+y10＝2+22+22222 故答案为2． 【点评】此题主要是综合考查了等腰直角三角形的性质以及结合反比例函数的解析式求得点的坐标．解答本题时同学们要找出其中的规律． 38．（2023•垦利区二模）如图，一次函数y＝x与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B1；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去••••••则点A2023的横坐标为 　　． 【分析】根据直OA的关系式为y＝x，以及OA⊥AB，可得到△AOB是等腰直角三角形，进而得到△A1BB1、△A2B1B2、△A3B2B3……都是等腰直角三角形，设OC＝a＝AC，则点A（a，a），点A在反比例函数y的图象上，可求出a＝1，进而得到点A的横坐标为1，同理BC1＝b＝A1C1，则点A1（2+b，b），求出点A1的横坐标为1， 同理得出点A2的横坐标为；点A3的横坐标为；点A4的横坐标为；点A5的横坐标为；根据规律可得答案． 【解答】解：如图，过点A、A1、A2、A3…分别作AC⊥x轴，A1C1⊥x轴，A2C2⊥x轴，A3C3⊥x轴…，垂足分别为C、C1、C2、C3… ∵直线OA的关系式为y＝x，OA⊥AB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴OC＝AC， 同理可得△A1BB1、△A2B1B2、△A3B2B3……都是等腰直角三角形， 设OC＝a＝AC，则点A（a，a），点A在反比例函数y的图象上， ∴a×a＝1， 解得a＝1， ∴点A的横坐标为1， 设BC1＝b＝A1C1，则点A1（2+b，b），点A1在反比例函数y的图象上， ∴（2+b）×b＝1， 解得b1， ∴点A1的横坐标为211； 设B1C2＝c＝A2C2，则点A2（2c，c），点A2在反比例函数y的图象上， ∴（2c）×c＝1， 解得c， ∴点A2的横坐标为2+22； 同理可得点A3的横坐标为； 点A4的横坐标为； 点A5的横坐标为； … ∴点A2023的横坐标为； 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.2反比例函数图象与性质进阶篇按题型分类（10大题型）培优拔尖训练（原卷版） 【题型 1 反比例函数图象的对称性】 1．（2023•八步区一模）如图，⊙M和⊙N都与x轴和y轴相切，圆心M与圆心N都在反比例函数y的图象上，则图中阴影部分面积等于　 　． 2．（2023•莆田模拟）平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，规定其坐标“积和”运算为：P⊕Q＝x1y1+x2y2．若A，B，C，D四个点的“积和”运算满足：A⊕B＝B⊕C＝C⊕D＝D⊕B，则以A，B，C，D为顶点的四边形不可能是（　　） A．等腰梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 3．（2023秋•望江县期末）已知直线y＝kx（k＞0，k是常数）与双曲线y交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2﹣x2y1的值为（　　） A．5 B．0 C．﹣5 D．﹣10 【题型 2 反比例函数概念、性质的综合应用】 4．（2023春•宿迁期中）如果z与y成反比例，y与x成反比例，那么z与x的关系为（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法判断 5．（2023秋•黄浦区期中）反比例函数y的图象经过点A（2，3）、B（m，﹣3）． （1）求这个函数的解析式及m的值； （2）请判断点C（1，6）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 6．（2023•淮阴区开学）如图，正比例函数y1＝﹣3x的图象与反比例函数y2的图象交于A、B两点．点C在x轴负半轴上，AC＝AO，△ACO的面积为12． （1）求k的值； （2）点C的坐标为 　 　； （3）根据图象，当﹣3x时，写出x的取值范围． 4．已知函数是反比例函数． （1）求m的值． （2）根据函数表达式完成下表． x … ﹣4 　 　 ﹣2 ﹣1 1 　 　 3 4 … y … 　 　 　 　 　 　 　 　 ﹣2 　 　 　 … （3）以表中各组对应值为点的坐标，在平面直角坐标系中描点并画出函数图象． 【题型 3 种函数图象的共存问题】 8．（2023秋•嘉定区期中）函数y＝k1x和（k1k2＜0且k1＜k2）的图象大致是（　　） A．B． C． D． 9．（2023秋•冷水滩区期中）已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x﹣3和y的图象大致为（　　） A． B． C． D． 10．（2023•兴庆期末）二次函数y＝ax2+bx和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A．B． C． D． 11．（2023•济南）反比例函数y（k≠0）图象的两个分支分别位于第一、三象限，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【题型 4 利用反比例函数与一次函数图象的交点解方程或不等式】 12．（2024•龙湖区一模）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与反比例函数y的图象有唯一公共点，若直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象有2个公共点，则b的取值范围是 　． 13．（2023春•仪征市期末）如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，直尺的宽度为2cm，AB＝3cm，OB＝2cm． （1）求反比例函数解析式： （2）若经过A，C两点的直线关系式为y＝mx+b，请直接写出不等式的解集： （3）连接OA、OC，求△OAC的面积． 14．如图，反比例函数y的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），B（﹣4，n），点C为一次函数与y轴的交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求△OAB的面积； （3）直接写出不等式x+b0的解集． 【题型 5 反比例函数与一次函数的综合应用】 15．（2023•淮北一模）如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，过A，B两点作矩形ABCD，AB＝2AD，曲线在第一象限经过C，D两点，则k的值是（　　） A．3 B．6 C．8 D．24 16．（2023•镇江二模）如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，点C（﹣1，0），点B在反比例函数y的图象上，且y轴平分∠BAC，则k的值是（　　） A．﹣1 B． C． D．﹣2 17．（2023•政和县模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的顶点O在坐标原点，且与反比例函数的图象相交于A（m，，C两点，已知点，，则k的值为 　 　． 18．（2023•镇江）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y的图象交于点A（n，2）和点B． （1）n＝　 　，k＝　　； （2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标； （3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围． 19．（2023•邓州市一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（1，0），D（0，2），反比例函数y的图象经过了矩形的顶点B，且tan∠ABD． （1）求反比例函数表达式； （2）动手画直线OB，记为y＝mx，结合图象直接写出关于x的不等式mx0的解集． 【题型 6 反比例函数与几何图形的面积的综合】 20．（2023•前进区三模）如图，双曲线y（x＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于点C，过点D作DE⊥OA于点E，连接OC，若△OBC的面积是6，则k的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 21．（2023•洪山区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．若点C的坐标为（2，2），当阴影部分面积S最小时，则点E的坐标为　 　． 22．（2024•中山市二模）如图，反比例函数y（x＞0）的图象与矩形ABCO的边AB交于点G，与边BC交于点D，过点A，D作DE∥AF，交直线y＝kx（k＜0）于点E，F，若OE＝OF，BGGA，则的值为 　；四边形ADEF的面积为 　 　. 23．已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y的图象都经过点A（1，﹣5），B（m，）． （1）求一次函数与反比例函数的解析式；并在网格中画出一次函数的图象； （2）若点C与点A关于原点成中心对称，连接BC、AC．求△ABC的面积； （3）根据图象，不等式ax+b的解集． 24．（2023•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点A（t，0），点P（1，2）在函数 的图象上． （1）求k的值； （2）连接BP、CP，记△BCP的面积为S，设T＝2S﹣2t2，求T的最大值． 25．（2023•潼南区一模）已知一次函数y＝k1x﹣1（k1≠0）的图象与反比例函数y（k2≠0）的图象相交于点A（m，﹣2），B（﹣3，1）． （1）求反比例函数与一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象； （2）根据函数图象，直接写出不等式k1x﹣1的解集； （3）若点C是y轴上一点，连接AC，BC，且△ABC的面积为，求点C的坐标． 【题型 7 反比例函数的图象与几何变换问题】 26．（2023•武汉模拟）如图，A（2，3）是双曲线上的一点，P为x轴正半轴上一点，将A点绕P点顺时针旋转90°，恰好落在双曲线上的另一点B，则P点的坐标为　 　． 27．（2023•浉河区三模）如图，已知反比例函数的图象经过点A（2，﹣2），AB⊥y轴于点B，点C为y轴正半轴上一点，连接AC． （1）求反比例函数的表达式； （2）请用无刻度的直尺和圆规，在x轴正半轴上找一点D，使得∠OBD＝∠BAC（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）；（3）在（2）的条件下，求证：AC＝BD． 28．（2023春•阳春市期末）如图，一次函数l1：y＝3x﹣3的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，3）． （1）求一次函数l2的解析式． （2）根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b＜3x﹣3的解集． 29．（2023•丹阳市模拟）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数交于点C，点A的坐标为（3，0），CD⊥x轴于点D． （1）点B的坐标为　 　； （2）若点B为AC的中点，求反比例函数的解析式； （3）在（2）条件下，以CD为边向右作正方形CDEF，EF交AC于点G，直接写出△CGF的周长与△ABO的周长的比． 30．（2023秋•海淀区月考）平面直角坐标系xOy中，点A（2，m）是反比例函数的图象与直线y＝x+1的交点． （1）求m和k的值； （2）已知点P（n，0），过点P作垂直于x轴的直线，交直线y＝x+1于点B，交函数图象于点C． ①当n＝3时，求∠ACB的度数； ②若∠ACB＞45°，结合图象，直接写出n的取值范围． 【题型 8 与反比例函数的图象、性质有关的阅读理解题】 31．（2023春•镇江期末）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点C（2，3）　 　“美好点”（填“是”或“不是”）；若点D（4，b）是第一象限内的一个“美好点”，则b＝　 　； 【深入探究】 （2）①若“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线（k≠0，且k为常数）上，则k＝　 　； ②在①的条件下，F（2，n）在双曲线上，求S△EOF的值； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点P（x，y）是第一象限内的“美好点”． ①求y关于x的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象的草图，观察图象可知该图象可由函数 　 　（x＞0）的图象平移得到； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 　 　；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点（2，2）且平行于坐标轴的直线没有交点； B．y随着x的增大而减小； C．y随着x的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点（x，y），代数式（2﹣x）•（y﹣2）是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． 32．（2023秋•渠县期末）研究与应用： 【自学研究】兴趣小组深入探究，发现：在平面直角坐标系中已知点P1（a，b）、P2（c，d），则线段P1P2的中点坐标为（，），已知点A（2，1）、B（0，1），则线段AB的中点坐标为 　 　． 【学以致用】如图1，在平面直角坐标系中，长方形OABC的两边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝2，OC＝4，连接OB．反比例函数y（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与AB、BC分别交于点E、F，一次函数y＝kx+b的图象经过E、F两点． （1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式； （2）点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标． 【深入研究】（3）小组成员又发现：如图1中，连接AC，则EF∥AC．（如图2），于是想到：如果在双曲线y（x＞0）上任取两点E、F，作EA⊥y轴于A点，作FC⊥x轴于C点，是否仍存在EF∥AC（如图3）．若存在，请证明． 33．（2023•河南模拟）引入：初中阶段的我们共学习了三种函数，分别是一次函数、反比例函数和二次函数，补全表格内容： x 图象 经过的象限 对称性 y 双曲线 一、三 关于原点对称 y＝x 直线 　 　 关于原点对称 y＝x2 抛物线 一、二 关于 　 　对称 探究：九年级二班的数学小组在探究y＝x3的图象时，经过列表、描点、连线得出函数的图象，根据表格中的点画出函数的图象； x ⋯ ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ⋯ y＝x3 ⋯ ﹣27 ﹣8 ﹣1 0 1 8 27 ⋯ 拓展：对于四个函数①y＝x﹣2；②y＝x﹣3；③y＝x4；④y＝x5和如图四个函数图象，其中y＝x﹣2的图象对应 　 　；y＝x﹣3对应的图象是 　；y＝x4对应的图象是 　；y＝x5对应的图象是 　 　． 归纳：写出函数y＝xn（n为整数）的图象的两条性质． 【题型 9 反比例函数中的存在性问题】 34．（2024•涪城区模拟）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y（a≠0）的图象在第一象限交于A，B两点，A点的坐标为（m，6），B点的坐标为（2，3），连接OA，过B作BC⊥y轴，垂足为C． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）在射线CB上是否存在一点D，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的D点坐标． 35．（2024•莱芜区模拟）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点M在y轴上，且△BMC的面积为4，求点M的坐标； （3）将线段AB在平面内平移，当AB一个端点的对应点P在x轴上，另一个端点的对应点Q是平面内一点，是否存在以A、B、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【题型 10 反比例函数中的规律问题】 36．（2023•杭州模拟）如图，A1、A2、A3…An在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，分别过点A1、A2、A3…An作y轴的平行线，与反比例函数y（x＞0）的图象分别交于点B1、B2、B3…Bn，分别过点B1、B2、B3…Bn作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1、C2、C3…∁n，连接OB1、OB2、OB3…OBn得到n个阴影三角形，那么图中第n个阴影三角形的面积是　 　． 37．（2023•浙江自主招生）如图，若点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）在双曲线y第一象限的分支上，△P1OA1，△P2A1A2，…，△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，且斜边OA1，A1A2，…，An﹣1An都在x轴上，则y1+y2+…+y10＝ ． 38．（2023•垦利区二模）如图，一次函数y＝x与反比例函数y（x＞0）的图象交于点A，过点A作AB⊥OA，交x轴于点B；作BA1∥OA，交反比例函数图象于点A1；过点A1作A1B1⊥A1B交x轴于点B1；再作B1A2∥BA1，交反比例函数图象于点A2，依次进行下去••••••则点A2023的横坐标为 　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$