专题26.1反比例函数图象和性质按知识点分类基础过关篇（解析版）-2024-2025学年九年级数学下册重难点专题突破（典例+变式训练）及提优测试卷

专题26.1反比例函数图象和性质按知识点分类基础过关篇（解析版） 一．反比例函数的定义 1．下列函数是反比例函数的是（　　） A．xy＝k B．y＝kx﹣1 C．y D．y 【分析】根据反比例函数的定义判断即可． 【解答】解：A、当k≠0时，xy＝k是反比例函数，当k＝0时，xy＝k不是反比例函数； B、当k≠0时，y＝kx﹣1是反比例函数，当k＝0时，y＝kx﹣1不是反比例函数； C、y，是反比例函数； D、y，不是反比例函数； 故选：C． 【点评】本题考查的是反比例函数的定义，形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数． 2．（1）已知xy＝a+3是反比例函数，则a的取值范围是 　a≠﹣3　； （2）已知是反比例函数，则m＝　±1　． 【分析】（1）直接利用反比例函数的定义得出a+3≠0，进而得出答案． （2）根据反比例函数的定义得出m2﹣2＝﹣1，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵xy＝a+3是反比例函数， ∴a+3≠0， 解得：a≠﹣3． 故答案为：a≠﹣3． （2）根据题意m2﹣2＝﹣1， ∴m＝±1， 故答案为：±1． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式． 3．（2023秋•澧县月考）将x代入反比例函数y中，所得函数值记为y1，又将x＝y1+1代入函数中，所得函数值记为y2，再将x＝y2+1代入函数中，所得函数值记为y3，…，如此继续下去，则y2023＝　2　． 【分析】根据题意分别得出y1，y2，y3…进而求出变化规律，进而得出答案． 【解答】解：将x代入y中，得y1， 把x1代入y中，得y22， 把x＝2+1＝3代入反比例函数y中，得y3， 把x1代入反比例函数y中，得y4， …， 如此继续下去每三个一循环，2023÷3＝672…2， 所以y2023＝2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了数字变化规律以及反比例函数的定义，得出y值的变化规律是解题关键． 二．反比例函数的图象 4．（2024春•徐闻县期中）如图是下列四个函数中的某个函数的图象，这个函数是（　　） A．y＝5x B．y＝2x+3 C．y D．y 【分析】根据反比例函数图象的性质及与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵此函数的图象是双曲线， ∴此函数为反比例函数； 又∵双曲线的两个分支分别在一、三象限， ∴k＞0，四个选项中只有C符合． 故选：C． 【点评】本题考查反比例函数的图象特点：当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 5．（2022秋•邯山区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y的图象如图所示，点C、D坐标为（﹣2，3）、（1，﹣3），则k的值可以为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．2 【分析】根据函数图象确定k的取值范围． 【解答】解：如图所示，反比例函数y的图象位于第二、四象限，则k＜0． 又∵﹣2×3＜k＜1×（﹣3），即﹣6＜k＜﹣3． ∴观察选项，只有选项A合题意． 故选：A． 【点评】考查了反比例函数的图象，根据函数图象确定k的符号以及k的取值范围是解题的难点． 三．反比例函数的性质 6．（2023•鄂温克族自治旗二模）下列关于反比例函数的说法正确的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象过点（﹣2，4） D．图象是中心对称图形 【分析】直接利用反比例函数的增减性以及图象性质分别分析得出答案． 【解答】解：A、∵反比例函数，k＝8， ∴图象位于第一、三象限，故此选项错误； B、∵反比例函数，k＝8， ∴每个象限内，y随x的增大而减小，故此选项错误； C、当x＝﹣2时，y4，故（﹣2，4）不在函数图象上，故此选项错误； D、反比例函数的图象是中心对称图形，正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的相关性质是解题关键． 7．（2023秋•大连期末）如果反比例函数y（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞1 【分析】反比例函数y图象在一、三象限，可得k＞0，据此列出有关a的不等式求得a的取值范围即可． 【解答】解：∵反比例函数y（a是常数）的图象在第一、三象限， ∴a﹣1＞0， ∴a＞1． 故选：D． 【点评】本题运用了反比例函数y图象的性质，关键要知道k的决定性作用． 8．（2023•河西区一模）已知反比例函数y，当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围是（　　） A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C．2＜y＜3 D．﹣3＜y＜﹣2 【分析】根据反比例函数的增减性可求得答案． 【解答】解：∵在y中，﹣6＜0， ∴第二象限内，y随x的增大而增大， ∴当x＝﹣3时，y有最小值2，当x＝﹣2时，y有最大值3， ∴当﹣3＜x＜﹣2时，2＜y＜3， 故选：C． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 9．（2022秋•陕州区期末）反比例函数y的图象位于（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【分析】直接根据反比例函数的性质进行解答即可． 【解答】解：∵反比例函数y中k＝6＞0， ∴此函数的图象位于一、三象限． 故选：B． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小． 10．（2023秋•辽中区期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（　　） A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小 【分析】根据反比例函数的性质对各项进行逐一分析即可． 【解答】解：A．∵k＝3＞0，∴图象位于第一，第三象限，正确，不符合题意； B．∵，∴图象必经过点，正确，不符合题意； C．∵x≠0，∴y≠0，∴图象不可能与坐标轴相交，正确，不符合题意； D．∵k＝3＞0，∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 11．（2023秋•信都区月考）函数的图象所在的象限是（　　） A．一、二象限 B．二、四象限 C．二、三象限 D．一、三象限 【分析】根据反比例函数的性质解决问题． 【解答】解：∵，k＝1＞0， ∴该函数所在的象限是第一、三象限． 故选：D． 【点评】此题主要考查反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 12．（2023秋•高新区校级期末）若反比例函数y的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＜6 B．k＞﹣6 C．k＞6 D．k＜﹣6 【分析】根据反比例函数的性质可得6﹣k＜0，再解不等式即可． 【解答】解：∵反比例函数y的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大， ∴6﹣k＜0， 解得：k＞6， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，关键掌握以下性质：反比例函数y，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 13．（2023秋•桂平市期中）已知函数y的图象如图所示，下列结论正确的是（　　） A．m＞0 B．y随x的增大而增大 C．若点A（﹣1，a），点B（2，b）在图象上，则a＜b D．若点P（x，y）在图象上，则点Q（﹣x，﹣y）也在图象上 【分析】A：根据双曲线的两支分别位于第二、第四象限，可得m＜0，据此解答即可． B：在每一象限内y随x的增大而增大，据此判断即可． C：根据y，分别求出h、k的值是多少，再比较它们的大小关系即可． D：根据反比例函数y的图象成中心对称，可得若P（x，y）在图象上，则Q（﹣x，﹣y）也在图象上，据此解答即可． 【解答】解：∵双曲线的两支分别位于第二、第四象限， ∴m＜0， ∴选项A不符合题意； ∵在每一象限内y随x的增大而增大， ∴选项B不符合题意； ∵a＝﹣m＞0，b0， ∴a＞b， ∴选项C不符合题意； ∵反比例函数y的图象成中心对称， ∴若P（x，y）在图象上，则Q（﹣x，﹣y）也在图象上， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 14．（2023秋•献县期末）反比例函数的图象在第一、第三象限，则m可能取的一个值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据“反比例函数的图象在第一、第三象限”，可得m﹣1＞0，据此可得k值． 【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、第三象限， ∴m﹣1＞0， ∴m＞1， 符合条件的值只有2， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握当k＞0，反比例函数图象在一、三象限，当k＜0，反比例函数图象在第二、四象限． 四．反比例函数系数k的几何意义 15．（2023秋•鱼台县期末）如图，▱ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD∥x轴，当双曲线y经过点D时，则▱ABCD面积为 　6　． 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOD，再根据平行四边形的性质可得S▱ABCD＝4S△AOD＝6，进而得出答案． 【解答】解：连接OD， ∵点D在反比例函数y的图象上， ∴S△AOD|k|， ∵O是AC的中点， ∴S△AOD＝S△COD， ∵▱ABCD的对角线AC在y轴上， ∴S△ABC＝S△ACDS▱ABCD， ∴S▱ABCD＝4S△AOD＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质以及反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键． 16．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，过点A1，A2，A3，…，An分别作x轴的垂线与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点P1，P2，P3，…，Pn，得△OP1A1，△A1P2A2，△A2P3A3，…，△An﹣1PnAn，其面积分别为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn的值为 　　． 【分析】连接OP1、OP2、OP3……OPn，根据反比例函数k值的几何意义可得出Sn的值． 【解答】解：如图，连接OP1、OP2、OP3……OPn，根据反比例函数k值的几何意义， S△OA1P1＝S△OA2P2＝S△OA3P3＝……＝S△OAnPn＝1， ∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An， ∴An﹣1AnOAn， ∴S＝S△An﹣1AnPnS△OAnPn． 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，反比例函数的k值就是图象上点的纵横坐标之积． 17．（2023秋•市南区期末）如图，已知反比例函数和在第一象限的图象，直线AB∥x轴，与两个反比例函数图象分别交于点A、B，若S△AOB＝3，则k＝　11　． 【分析】设AB与y轴交于点C，设点，根据AB∥x轴得点B的纵坐标为，进而可求出点，则，然后S△AOB＝3，得，由此即可求出k的值． 【解答】解：设AB与y轴交于点C，如图所示： ∵点A在反比例函数的图象上， ∴设点A的坐标为）， ∴AC＝a，， ∵AB∥x轴， ∴点B的纵坐标为， ∵点B在反比例函数y＝k/x（k＞5）的图象上， ∴对于（k＞5），当时，得：， ∴， ∴点B的坐标为， ∴， ∴AB＝BC﹣AC， ∴S△AOBAB•OC＝3， ∴， 解得：k＝11． 故答案为：11． 【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，三角形的面积，理解反比例函数图象上的点蛮子反比例函数的表达式，设点A的坐标为，然后用点D的坐标表示出△AOB的面积是解决问题的关键． 18．（2023•太原三模）如图，点A，B是反比例函数y（x＞0）图象上的点，点C，D分别在x轴、y轴正半轴上．若四边形ABCD为菱形，BD∥x轴，S菱形ABCD＝6，则k的值为　6　． 【分析】连接AC，过点B作BE⊥x轴于点E，由菱形的性质及面积可得出OC×BD＝6，证得四边形OCEB为矩形，得出OC＝BE，则可得出答案． 【解答】解：连接AC，过点B作BE⊥x轴于点E， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC， ∵S菱形ABCD＝6， ∴6， ∴OC×BD＝6， ∵BD∥x轴，BE⊥x轴， ∴BE∥OC， ∴四边形OCEB为矩形， ∴OC＝BE， ∴BE×BD＝6， ∴k＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查反比例函数图象点的特点，菱形的性质和面积．熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 19．（2023•兴庆区校级模拟）如图，A、B是双曲线上的两点，过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D，且D为AC的中点，若△AOD的面积为4，点B的坐标为（m，1），则m的值为 　16　． 【分析】由三角形等底同高面积相等，得出S△OCD＝4，S△OAC＝8，再由几何意义求出k，即可求出m． 【解答】解：∵且D为AC的中点， ∴AD＝CD， ∴S△OAD＝S△OCD＝4， ∴S△OAC＝8， 由几何意义得，8， ∵k＞0， ∴k＝16， ∴m•1＝16， 即m＝16． 故答案为：16 【点评】本题考查了反比例函数的性质的应用，几何意义的应用是解题关键． 20．如图，四个都是反比例函数的图象，其中阴影部分面积为5的图形是 　①②④　（填序号）． 【分析】根据反比例函数k的几何意义，依次对所给图形进行判断即可解决问题． 【解答】解：因为反比例函数的解析式为y， 所以①中阴影部分的面积为|xy|＝5． 因为反比例函数的解析式为y， 所以图②中第一象限和第三象限内的阴影部分的面积都是||， 又因为点O为阴影三角形所在边的中点， 则图②中阴影部分的面积为． 因为反比例函数的解析式为y， 所以图③中第一象限和第三象限内的阴影部分的面积都是||， 则图③中阴影部分的面积为． 因为反比例函数的解析式为y， 所以图④中第一象限内的阴影部分的面积为||， 又因为点O为阴影三角形所在边的中点， 则图④中阴影部分的面积为． 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义及反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 21．（2022•建邺区二模）点A在函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上，点C、D在x轴上，若四边形ABCD是正方形且面积为9，则k＝　15或﹣3　． 【分析】根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形且面积为9，点A在函数y的图象上， 根据反比例函数k的几何意义， 可得k＝6+9＝15或k＝6﹣9＝﹣3， 故答案为：15或﹣3． 【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 五．反比例函数图象上点的坐标特征 22．（2010•象山县模拟）已知点M（﹣2，3）在双曲线上，则k的值是（　　） A．﹣6 B．6 C． D． 【分析】将（﹣2，3）代入y即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可． 【解答】解：∵点M （﹣2，3 ）在双曲线上， ∴k＝﹣2×3＝﹣6． 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上． 23．下列各点在反比例函数y的图象上的是（　　） A．（﹣3，﹣1） B．（，） C．（6，） D．（，﹣1） 【分析】根据y得k＝xy＝﹣3，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于﹣3，就在函数图象上． 【解答】解：因为k＝xy＝﹣3，符合题意的只有B（，），即k＝xy3． 故选：B． 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 24．（2023•九龙坡区校级开学）已知点A（﹣2，y1），点B（﹣1，y2）和点C（1，y3）在反比例函数y（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2 【分析】先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论． 【解答】解：∵反比例函数y中k＞0， ∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小． ∵﹣2＜0，﹣1＜0， ∴点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）位于第三象限， ∴y1＜0，y2＜0， ∵﹣2＜﹣1＜0， ∴0＞y1＞y2＞0． ∵1＞0， ∴点C（1，y3）位于第一象限， ∴y3＞0， ∴y3＞y1＞y2． 故选：D． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 25．下列函数中，其图象经过原点的是（　　） A．y B．y＝x+1 C．y D．y＝3﹣x 【分析】分别计算自变量为0时各函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【解答】解：当x＝0时，y＝x+1＝1，y0，y＝2﹣x＝2， 所以函数y过原点，函数y＝x+1和函数y＝2﹣x不过原点，反比例函数y不过原点． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 26．（2023•昭阳区二模）若点A（m，n）在反比例函数的图象上，则代数式mn﹣1的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．4 D．5 【分析】由点A在反比例函数图象上，可得出mn＝5，将其代入代数式mn﹣1中即可得出结论． 【解答】解：∵点A（m，n）在反比例函数y的图象上， ∴mn＝5， ∴mn﹣1＝5﹣1＝4． 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出mn＝5．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由点在反比例函数图象上可以得出点的横纵坐标之积为定值，将其代入代数式即可． 27．（2023春•保亭县期中）下列各点中，在函数的图象上的是（　　） A．（1，1） B．（1，2） C．（2，2） D．（2，﹣1） 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【解答】解：∵1×1＝2，1×2＝2，2×2＝4，2×（﹣1）＝﹣2， ∴点（1，1）、（2，2）、（2，﹣1）不在函数的图象上，点（1，2）在函数的图象上． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k． 28．（2012春•蔡甸区校级月考）反比例函数的图象经过（﹣2，3），下列的点在该反比例函数图象上的是（　　） A．（2，3） B．（﹣3，﹣2） C．（6，1） D．（3，﹣2） 【分析】根据反比例函数的图象经过（﹣2，3），可知k＝xy＝﹣6，根据此特点对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过（﹣2，3）， ∴k＝﹣2×3＝﹣6， A、∵2×3＝6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B、∵﹣3×（﹣2）＝6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； C、∵6×1＝6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； D、∵3×（﹣2）＝6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数中，k＝xy为定值． 29．（2022春•宿豫区期末）如图，在平面直角坐标系中，将一块含有45°角的直角三角板按如图所示的方式放置，直角顶点C的坐标为（2，0），顶点A的坐标为（0，4），顶点B恰好落在第一象限内，反比例函数y的图象经过点B，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△BCD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式． 【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D， ∵∠ACO+∠BCD＝90°， ∠OAC+∠ACO＝90°， ∴∠OAC＝∠BCD， 在△ACO与△BCD中， ， ∴△ACO≌△CBD（AAS）， ∴OC＝BD，OA＝CD， ∵A（0，4），C（2，0）， ∴OD＝6，BD＝2， ∴B（6，2）， ∵反比例函数y的图象经过点B， ∴k＝6×2＝12． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，待定系数法求反比例函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键． 30．（2022•临潼区二模）已知点P1（2，y1）、点P2（x2，3）是同一个反比例函数y（2﹣m2≠0）图象上的两点．若点P1与关于原点P2对称，则m的值为 　2或﹣2　． 【分析】根据题意得到P1的坐标，代入y（2﹣m2≠0）即可求得m的值． 【解答】解：∵点P1（2，y1）、点P2（x2，3），点P1与关于原点P2对称， ∴y1＝﹣3， ∴P1（2，﹣3）， ∵点P1（2，﹣3）在反比例函数y（2﹣m2≠0）图象上， ∴2﹣m2＝2×（﹣3）＝﹣6， 解得m＝±2， 故答案为：2或﹣2． 【点评】本题考查了关于原点对称点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，求得P1的坐标是解题的关键． 31．（2022•道里区三模）已知反比例函数y的图象经过点（﹣2，3），则k的值为 　﹣12　． 【分析】直接把点（﹣2，3）代入反比例函数y，即可求得k的值． 【解答】解：∵反比例函数y的图象经过点（﹣2，3）， ∴3， 解得k＝﹣12． 故答案为：﹣12． 【点评】本题考查的反比例函数图象上点的坐标特点，熟知图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 32．（2023秋•安源区校级月考）若反比例函数y的图象过点（m，﹣4），则m的值为 　　． 【分析】把点（m，﹣4）代入y，即可求得m的值． 【解答】解：∵反比例函数y的图象过点（m，﹣4）， ∴﹣4， ∴m， 故答案为：． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解此题的关键． 33．点A在反比例函数y的图象上，过点A作AH⊥x轴于点H，连接OA，tan∠AOH． （1）如图，当点A在第一象限时，点A的坐标为　（3，1）　． （2）反比例函数图象上有一动点P，若OA平分∠PAH，则点P的坐标为　（，4）　． 【分析】（1）设A（3m，m），根据反比例函数图象经过点A可得，3m•m＝3，据此可得点A的坐标； （2）分两种情况进行讨论：①作点H关于AO的对称点B，连接AB，OB，②作点O关于AH的对称点E，分别根据直线AB、AE与双曲线的交点的位置，判段点P的坐标． 【解答】解：（1）∵tan∠AOH， ∴， ∴OH＝3AH， ∴设A（3m，m），则3m•m＝3， ∴m＝1， ∴A（3，1）， 故答案为（3，1）； （2）分两种情况： ①如图所示，作点H关于AO的对称点B，连接AB，OB，则 AB＝AH＝1，BO＝HO＝3，∠ABO＝∠AHO＝90°， 过B作x轴的平行线，交HA的延长线于C，交y轴于D， 设AC＝a，则CH＝1+a＝DO， 由△ABC∽△BOD可得，DB＝3a， ∵Rt△BOD中，BD2+OD2＝BO2，即（3a）2+（1+a）2＝32， ∴a，a＝﹣1（舍去）， ∴DB，DO，即B（，）， 又∵A（3，1）， ∴直线AB的解析式为yx+5， 解方程组，可得或， ∴直线AB与双曲线交于（，4）和（3，1）两点； ②如图所示，作点O关于AH的对称点E，则E（6，0）， 又∵A（3，1）， ∴直线AE的解析式为yx+2， 解方程组，可得， ∴直线AE与双曲线交于（3，1）一点， 综上所述，点P的坐标为（，4）． 故答案为：（，4）． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k． 34．（2024春•江北区校级月考）已知点（1，5）在函数的图象上，正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数的图象又经过A、E两点，则点E的横坐标为 　　． 【分析】把已知点的坐标代入函数解析式即可求出k的值，把k的值代入得到函数的解析式，然后根据正方形的性质设出A和E的坐标，因为函数图象过这两点，把设出的E点坐标代入到函数解析式中算出m的值，得到E的横坐标，即可解题． 【解答】解：∵点（1，5）在函数的图象上， ∴，解得k＝5， ∴函数解析式为， 设， ∵正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点， ∴， ∵函数过点， ∴，即2m2＝5，解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴点E的横坐标为； 故答案为：． 【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及灵活运用正方形及反比例函数的性质解决实际问题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． 六．反比例函数与一次函数的交点问题 35．（2023•蕉岭县模拟）如图，反比例函数y（x＞0）的图象与直线yx相交于点A，与直线y＝kx（k≠0）相交于点B，若△OAB的面积为18，则k的值为　6或　． 【分析】求出反比例函数与正比例函数的交点A的坐标，分两种情况进行解答，（1）如图1，当y＝kx与反比例函数的交点B在点A的下方，（2）如图2，当y＝kx与反比例函数的交点B在点A的上方，设出点B的坐标，利用△AOB的面积为18，列方程求出点B坐标，进而确定k的值． 【解答】解：由题意得， ，解得：，（舍去）， ∴点A（4，6）， （1）如图1，当y＝kx与反比例函数的交点B在点A的下方， 过点A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M、N， 设点B坐标为（b，），则ON＝b，BN， ∴点A（4，6）， ∴OM＝4，AM＝6； ∵S△AOB＝S△AOM+S梯形AMNB﹣S△BON＝S梯形AMNB， ∴18（6）（b﹣4）， 解得，b1＝8，b2＝﹣2（舍去） ∴点B（8，3），代入y＝kx得， k； （2）如图2，当y＝kx与反比例函数的交点B在点A的上方， 过点A、B分别作AM⊥y轴，BN⊥y轴，垂足分别为M、N， 设点B坐标为（b，），则ON，BN＝b， ∴点A（4，6）， ∴OM＝6，AM＝4； ∵S△AOB＝S△AOM+S梯形AMNB﹣S△BON＝S梯形AMNB， ∴18（b+4）（6）， 解得，b1＝2，b2＝﹣8（舍去） ∴点B（2，12），代入y＝kx得， k＝6； 故答案为：6或． 【点评】考查反比例、正比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标转化为线段的长以及把点的坐标代入函数关系式是常用的方法． 七．反比例函数的应用 36．（2023春•漳州期末）八年级物理教科书对压强做了如下定义，下面有关压强计算公式的结论正确的是（　　） 在物理学中，把物体所受的压力与受力面积的比叫做压强（pressure）．压强的计算公式为 P：压强 F：压力 S：受力面积 A．受力面积S＝20时，压强P与压力F是反比例函数关系 B．压力F不变时，压强P与受力面积S是反比例函数关系 C．压强P不变时，压力F与受力面积S是反比例函数关系 D．受力面积S不变时，压强P与压力F是正比例函数关系，且图象经过第一、三象限 【分析】根据控制变量法分析p即可得出p、F、S之间的关系，据此进行解答． 【解答】解：压强P与受力面积S的关系p中， A、受力面积S＝20时，压强P与压力F是正比例函数关系，故A错误，不符合题意； B、压力F不变时，压强P与受力面积S是反比例函数关系，故B正确，符合题意； C、压强P不变时，压力F与受力面积S是正比例函数关系，故C错误，不符合题意； D、受力面积S不变时，压强P与压力F是正比例函数关系，且图象经过第一象限，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了学生对压强公式的理解与掌握，解题的关键是掌握正比例函数，反比例函数的定义． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.1反比例函数图象和性质按知识点分类基础过关篇（原卷版） 一．反比例函数的定义 1．下列函数是反比例函数的是（　　） A．xy＝k B．y＝kx﹣1 C．y D．y 2．（1）已知xy＝a+3是反比例函数，则a的取值范围是 　 　； （2）已知是反比例函数，则m＝　 　． 3．（2023秋•澧县月考）将x代入反比例函数y中，所得函数值记为y1，又将x＝y1+1代入函数中，所得函数值记为y2，再将x＝y2+1代入函数中，所得函数值记为y3，…，如此继续下去，则y2023＝　 　． 二．反比例函数的图象 4．（202春•徐闻县期中）如图是下列四个函数中的某个函数的图象，这个函数是（　　） A．y＝5x B．y＝2x+3 C．y D．y 5．（2022秋•邯山区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y的图象如图所示，点C、D坐标为（﹣2，3）、（1，﹣3），则k的值可以为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．2 三．反比例函数的性质 6．（2023•鄂温克族自治旗二模）下列关于反比例函数的说法正确的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象过点（﹣2，4） D．图象是中心对称图形 7．（2023秋•大连期末）如果反比例函数y（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（　　） A．a＜0 B．a＞0 C．a＜1 D．a＞1 8．（2023•河西区一模）已知反比例函数y，当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围是（　　） A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C．2＜y＜3 D．﹣3＜y＜﹣2 9．（2022秋•陕州区期末）反比例函数y的图象位于（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 10．（2023秋•辽中区期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（　　） A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小 11．（2023秋•信都区月考）函数的图象所在的象限是（　　） A．一、二象限 B．二、四象限 C．二、三象限 D．一、三象限 12．（2023秋•高新区校级期末）若反比例函数y的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　） A．k＜6 B．k＞﹣6 C．k＞6 D．k＜﹣6 13．（2023秋•桂平市期中）已知函数y的图象如图所示，下列结论正确的是（　　） A．m＞0 B．y随x的增大而增大 C．若点A（﹣1，a），点B（2，b）在图象上，则a＜b D．若点P（x，y）在图象上，则点Q（﹣x，﹣y）也在图象上 14．（2023秋•献县期末）反比例函数的图象在第一、第三象限，则m可能取的一个值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 四．反比例函数系数k的几何意义 15．（2023秋•鱼台县期末）如图，▱ABCD的对角线AC在y轴上，原点O为AC的中点，点D在第一象限内，AD∥x轴，当双曲线y经过点D时，则▱ABCD面积为 　 　． 16．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，过点A1，A2，A3，…，An分别作x轴的垂线与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点P1，P2，P3，…，Pn，得△OP1A1，△A1P2A2，△A2P3A3，…，△An﹣1PnAn，其面积分别为S1，S2，S3，…，Sn，则Sn的值为 　 　． 17．（2023秋•市南区期末）如图，已知反比例函数和在第一象限的图象，直线AB∥x轴，与两个反比例函数图象分别交于点A、B，若S△AOB＝3，则k＝　 　． 18．（2023•太原三模）如图，点A，B是反比例函数y（x＞0）图象上的点，点C，D分别在x轴、y轴正半轴上．若四边形ABCD为菱形，BD∥x轴，S菱形ABCD＝6，则k的值为　 　． 19．（2023•兴庆区校级模拟）如图，A、B是双曲线上的两点，过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D，且D为AC的中点，若△AOD的面积为4，点B的坐标为（m，1），则m的值为 　 　． 20．如图，四个都是反比例函数的图象，其中阴影部分面积为5的图形是 　 　（填序号）． 21．（2022•建邺区二模）点A在函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上，点C、D在x轴上，若四边形ABCD是正方形且面积为9，则k＝　 　． 五．反比例函数图象上点的坐标特征 22．（2010•象山县模拟）已知点M（﹣2，3）在双曲线上，则k的值是（　　） A．﹣6 B．6 C． D． 23．下列各点在反比例函数y的图象上的是（　　） A．（﹣3，﹣1） B．（，） C．（6，） D．（，﹣1） 24．（2023•九龙坡区校级开学）已知点A（﹣2，y1），点B（﹣1，y2）和点C（1，y3）在反比例函数y（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3大小关系正确的是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2 25．下列函数中，其图象经过原点的是（　　） A．y B．y＝x+1 C．y D．y＝3﹣x 26．（2023•昭阳区二模）若点A（m，n）在反比例函数的图象上，则代数式mn﹣1的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．4 D．5 27．（2023春•保亭县期中）下列各点中，在函数的图象上的是（　　） A．（1，1） B．（1，2） C．（2，2） D．（2，﹣1） 28．（2012春•蔡甸区校级月考）反比例函数的图象经过（﹣2，3），下列的点在该反比例函数图象上的是（　　） A．（2，3） B．（﹣3，﹣2） C．（6，1） D．（3，﹣2） 29．（2022春•宿豫区期末）如图，在平面直角坐标系中，将一块含有45°角的直角三角板按如图所示的方式放置，直角顶点C的坐标为（2，0），顶点A的坐标为（0，4），顶点B恰好落在第一象限内，反比例函数y的图象经过点B，则k的值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 30．（2022•临潼区二模）已知点P1（2，y1）、点P2（x2，3）是同一个反比例函数y（2﹣m2≠0）图象上的两点．若点P1与关于原点P2对称，则m的值为 　 　． 31．（2022•道里区三模）已知反比例函数y的图象经过点（﹣2，3），则k的值为 　 　． 32．（2023秋•安源区校级月考）若反比例函数y的图象过点（m，﹣4），则m的值为 　 　． 33．点A在反比例函数y的图象上，过点A作AH⊥x轴于点H，连接OA，tan∠AOH． （1）如图，当点A在第一象限时，点A的坐标为　 　． （2）反比例函数图象上有一动点P，若OA平分∠PAH，则点P的坐标为　 　． 34．（2024春•江北区校级月考）已知点（1，5）在函数的图象上，正方形ABCD的边BC在x轴上，点E是对角线BD的中点，函数的图象又经过A、E两点，则点E的横坐标为 　 　． 六．反比例函数与一次函数的交点问题 35．（2023•蕉岭县模拟）如图，反比例函数y（x＞0）的图象与直线yx相交于点A，与直线y＝kx（k≠0）相交于点B，若△OAB的面积为18，则k的值为　 　． 七．反比例函数的应用 36．（2023春•漳州期末）八年级物理教科书对压强做了如下定义，下面有关压强计算公式的结论正确的是（　　） 在物理学中，把物体所受的压力与受力面积的比叫做压强（pressure）．压强的计算公式为 P：压强；F：压力；S：受力面积 A．受力面积S＝20时，压强P与压力F是反比例函数关系 B．压力F不变时，压强P与受力面积S是反比例函数关系 C．压强P不变时，压力F与受力面积S是反比例函数关系 D．受力面积S不变时，压强P与压力F是正比例函数关系，且图象经过第一、三象限 1 学科网（北京）股份有限公司 $$