专题13 平行线间的三种拐点问题（三种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

专题13平行线间的三种拐点问题（三种技巧精讲精练+过关检测） 题型01构造截线 【典例分析】 【例1-1】如图是一个汉字“互”字，其中，，，M、H、G三点在同一直线上，N、E、F三点在同一直线上．    求证： (1)； (2)． 【例1-2】如图，，分别平分和，，与互补，则的度数为 【例1-3】（23-24七年级下·广西桂林·期末）阅读下列文字，完成推理填空： 已知：如图，，，请说明：； 如图，延长交于点G． 因为， 所以 (内错角相等，两直线平行)． 所以 (两直线平行，同位角相等)． 因为， 所以 ( )． 所以 ( )． 题型02构造三角形 【典例分析】 【例2-1】如图，，，，判断与的大小关系（   ）    A． B． C． D．不能确定 【例2-2】如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3=（　　） A．200° B．180° C．160° D．120° 【例2-3】如图，当∠ABC，∠C，∠D满足条件 时，AB∥ED．    【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级下·河北承德·期中）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 已知：如图，．求证：．证明：延长交 ※ 于点，则 ◎ （三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又 ，得 ▲ ．故（ @ 相等，两直线平行）．    则回答正确的是（   ） A．◎代表 B．@代表同位角 C．▲代表 D．※代表 【变式2-2】如图是汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，若∠ABO=20°, ∠DCO=60°，则的度数为 . 【变式2-3】如图，已知，求证： ．    题型03构造平行线 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）已知，如图，，则，，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24八年级上·河南南阳）如图所示，、则、、的关系为 ．    【例3-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线与射线平行，点E是上一点，点G是上一点，，平分．若，求的度数．      【变式演练】 【变式3-1】如图，已知∥，，分别平分和，且交于点，则(    ) A． B． C． D． 【变式3-2】（22-23八年级·江苏苏州·期末）如图，已知，，记，则m的值为 ．    【变式3-3】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．    (1)如图1，，点在、内部，，则　　　　； (2)如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为　　　　； (3)如图3，直接写出之间的数量关系为　　　　，并证明． 一、单选题 1．如图，，则下列等式正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，已知直线AB∥CD，当点E在直线AB与CD之间时，下列关系式成立的是（    ） A．∠BED＝∠ABE＋∠CDE B．∠BED＝∠ABE－∠CDE C．∠BED＝∠CDE－∠ABE D．∠BED＝2∠CDE－∠ABE 3．如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（22-23八年级上·广东惠州）如图，于点N，点P在上，，当 度时，．    6．（21-22七年级下·山东淄博·期中）如图，直线，若，则 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）特例感知 （1）如图1，直线，c是截线，则__________．（填“”“”或“”） 类比迁移 （2）如图2，，求证：． 拓展应用 （3）如图3，已知，在的平分线上取两个点M，N，使得，求证：． 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨）数学活动课上，欣欣为了探究在平行线的条件下角之间的变化规律，进行了如下的探究实验．如图1，已知：直线，点M、N分别为上的点，点P为上一个动点， (1)初步探究：当点P在上方时，连接，她通过测量发现两个结论①；②；请你证明①中的结论； (2)大胆尝试：当点P在与之间时，她通过测量发现①；②请你猜想、、之间的关系式为______． (3)思维拓展：当点P运动到下方时，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点Q，请你猜想与的关系，并证明你的结论． 9．（24-25八年级上·湖北黄冈）如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 10.（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，，点P为平面内一点．    (1)如图①，当点P在与之间时，若，则＝　 　°； (2)如图②，当点P在点B右上方时，之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据） (3)如图③，平分平分，若，则＝　 　°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13平行线间的三种拐点问题（三种技巧精讲精练+过关检测） 题型01构造截线 【典例分析】 【例1-1】如图是一个汉字“互”字，其中，，，M、H、G三点在同一直线上，N、E、F三点在同一直线上．    求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，得出，则，即可求证； （2）延长交直线于点P，根据，得出，根据，得出，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：延长交直线于点P，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 【例1-2】如图，，分别平分和，，与互补，则的度数为 【答案】/36度 【分析】本题考查平行线的性质、余角和补角，根据题意作出合适的辅助线，然后根据平行线的性质和角平分线的性质，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵，与互补， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， 即的度数为， 故答案为： 【例1-3】（23-24七年级下·广西桂林·期末）阅读下列文字，完成推理填空： 已知：如图，，，请说明：； 如图，延长交于点G． 因为， 所以 (内错角相等，两直线平行)． 所以 (两直线平行，同位角相等)． 因为， 所以 ( )． 所以 ( )． 【答案】；；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的判定定理和性质定理进行解答即可． 【详解】解：如图，延长交于点G． 因为， 所以 (内错角相等，两直线平行)． 所以(两直线平行，同位角相等)． 因为， 所以(等量代换)． 所以 (内错角相等，两直线平行)． 题型02构造三角形 【典例分析】 【例2-1】如图，，，，判断与的大小关系（   ）    A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和直角三角形锐角互余即可求解； 【详解】过C作 于H， ，， H、C、D三点共线， 则 ， ∵， ∴， ， ； 故选：C      【点睛】该题考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，解答该题的关键是将角度进行等量转换 【例2-2】如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3=（　　） A．200° B．180° C．160° D．120° 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B+∠C=180°，从而得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解． 【详解】AB∥CD， ∴∠B+∠C=180°， ∴∠4+∠5=180°， 根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， ∴∠1+∠2+∠3=360°-180°=180°． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键． 【例2-3】如图，当∠ABC，∠C，∠D满足条件 时，AB∥ED．    【答案】∠ABC＝∠C＋∠D 【分析】延长CB交DE于F，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠EFB=∠C+∠D，再根据同位角相等，两直线平行解答即可． 【详解】如图，延长CB交DE于F，    则∠EFB=∠C+∠D， 当∠ABC=∠EFB时，AB∥ED， 所以，当∠ABC=∠C+∠D时，AB∥ED． 故答案为∠ABC=∠C+∠D． 【点睛】本题考查了平行线的判定，作辅助线，把∠C、∠D转化为一个角的度数是解题的关键． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24七年级下·河北承德·期中）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容 已知：如图，．求证：．证明：延长交 ※ 于点，则 ◎ （三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．又 ，得 ▲ ．故（ @ 相等，两直线平行）．    则回答正确的是（   ） A．◎代表 B．@代表同位角 C．▲代表 D．※代表 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定以及三角形外角的性质，延长交于点F，利用三角形外角的性质可得出，结合可得出，利用“内错角相等，两直线平行”可证出，找出各符号代表的含义，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】证明：延长交于点F， 则（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又，得． 故（内错角相等，两直线平行）． 故※代表，◎代表，▲代表，@代表内错角． 故选：C． 【变式2-2】如图是汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，若∠ABO=20°, ∠DCO=60°，则的度数为 . 【答案】80° 【详解】分析：连接BC，由AB∥CD可以推出∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD=180°，而∠CBO+∠BCO+∠O=180°，由此可以证明∠O=∠ABO+∠DCO． 详解：连接BC．∵AB∥CD，∴∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠OCD=180°，而∠CBO+∠BCO+∠O=180°，∴∠O=∠ABO+∠DCO=60°+20°．     故答案为80°．      点睛：本题用到的知识点为：三角形的内角和是180°以及平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补． 【变式2-3】如图，已知，求证： ．    【答案】见解析 【分析】如图，延长EA交CD于H．证明∠EAB=∠EHD即可． 【详解】解：如图，延长EA交CD于H．    ∵∠EHD=∠C+∠E，∠EAD=∠C+∠E， ∴∠EAB=∠EHD， ∴AB∥CD． 【点睛】本题考查平行线的判定，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． 题型03构造平行线 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）已知，如图，，则，，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键． 作，根据平行线的性质可得，，然后由整理后可得答案． 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 即． 故选：C． 【例3-2】（23-24八年级上·河南南阳）如图所示，、则、、的关系为 ．    【答案】 【分析】过M作，利用平行于同一条直线的两直线平行，可得，再根据两直线平行，内错角相等求解． 【详解】解：过M作，    ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的 【例3-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，直线与射线平行，点E是上一点，点G是上一点，，平分．若，求的度数．      【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，掌握判定及性质，作出辅助线构建平行线是解题的关键．过点F作，由平行线的判定方法得 ，由平行线的性质得，，由角的和差得，即可求解； 【详解】解：如图，过点F作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式演练】 【变式3-1】如图，已知∥，，分别平分和，且交于点，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，利用平行线的性质可证得，可以得到与的关系 【详解】解：过点作，如图： ， ∴CD∥EM ， ∴ ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 整理得：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意数形结合思想的运用． 【变式3-2】（22-23八年级·江苏苏州·期末）如图，已知，，记，则m的值为 ．    【答案】 【分析】过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案． 【详解】解：如图所示：过点F作． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 同理：． ∴ ∵， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 【变式3-3】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．    (1)如图1，，点在、内部，，则　　　　； (2)如图2，，点在、外部（的下方），则之间的数量关系为　　　　； (3)如图3，直接写出之间的数量关系为　　　　，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，掌握相关知识并结合题意正确做出辅助线是解题的关键． （1）延长交于点，根据平行线的性质、三角形外角的性质即可求解； （2）根据，得，再由三角形外角的性质即可求证； （3）连接，由，，即可求解． 【详解】（1）解：延长交于点，   ，， ， ， ， 故答案为；； （2）解： ， ， ， ； （3）证明：，证明： 连接并延长，   ，， ， ． 一、单选题 1．如图，，则下列等式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作EFCDAB, 可得，，将这两个代数式等量代换即可得到答案. 【详解】如图，过点E作EFCDAB ABEF, ， EFCD， ， ， , 即. 故答案为：B. 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线三线八角的关系是解题的关键. 2．（21-22七年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，已知直线AB∥CD，当点E在直线AB与CD之间时，下列关系式成立的是（    ） A．∠BED＝∠ABE＋∠CDE B．∠BED＝∠ABE－∠CDE C．∠BED＝∠CDE－∠ABE D．∠BED＝2∠CDE－∠ABE 【答案】A 【分析】过E作EFAB，则CDABEF，于是得到∠FED=∠CDE，∠BEF=∠ABE，进而可求解∠BED，∠CDE，∠ABE的关系． 【详解】解：如图，过E作EFAB， ∵CDAB， ∴EFCD， ∴∠FED=∠CDE，∠BEF=∠ABE， ∴∠BED=∠ABE+∠CDE， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平行线，根据平行线的性质即可求出结论． 3．如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补、内错角相等这两条性质来解答. 【详解】解：过点C作MN//AB，则MN//DE ∵MN//DE，∠2=36° ∴∠DCM=∠2=36° ∵AB//MN，∠1=130° ∴∠MCB+∠1=180° ∴∠MCB=50° ∴∠3=∠MCB+∠MCD=50°+36°=86°. 故选B. 【点睛】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的. 4．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论； ②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断； ③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A； ④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可． 【详解】解： ①如图1，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°， ∴∠A+∠AEC+∠C=360°， 故①正确； ②如图2，∵∠1是△CEP的外角， ∴∠1＝∠C+∠P， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠1， 即∠P＝∠A﹣∠C， 故②正确； ③如图3，过点E作直线EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°， 即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A， 故③错误； ④如图4，∵AB∥EF， ∴∠α＝∠BOF， ∵CD∥EF， ∴∠γ+∠COF＝180°， ∵∠BOF＝∠COF+∠β， ∴∠COF＝∠α﹣∠β， ∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°， 故④正确； 综上结论正确的个数为3， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 二、填空题 5．（22-23八年级上·广东惠州）如图，于点N，点P在上，，当 度时，．    【答案】 【分析】过点M作，则，根据平行线的判定与性质得到即可得出结论． 【详解】解：过点M作，则，    ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴当时，, ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、垂直定义，添加平行线求解是解答的关键． 6．（21-22七年级下·山东淄博·期中）如图，直线，若，则 ． 【答案】35°/35度 【分析】过点E作EF11，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：如下图，过点E作EF11， ∵1112，EF11， ∴EF1112， ∴∠1=∠AEF=35°，∠FEC=∠3， ∴∠2=∠AEF+∠FEC=∠1+∠3=35°+∠3， ∴∠2-∠3=35°+∠3-∠3=35°， 故答案为：35°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，利用数形结合的思想解答． 三、解答题 7．（24-25八年级上·陕西安康·阶段练习）特例感知 （1）如图1，直线，c是截线，则__________．（填“”“”或“”） 类比迁移 （2）如图2，，求证：． 拓展应用 （3）如图3，已知，在的平分线上取两个点M，N，使得，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键． （1）根据平行线性质即可求解； （2）过作，则，由平行线的性质得出，，即可得出结论； （3）过点作，交于点，则，由平行线的性质得出，，由三角形的外角性质得出，证出，得出，由角平分线得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：过作，如图①所示： 则， ，， ， 即； （3）证明：过点作，交于点，如图②所示： 则， ，， 是的一个外角， ， 又，， ， ， 平分， ， ． 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨）数学活动课上，欣欣为了探究在平行线的条件下角之间的变化规律，进行了如下的探究实验．如图1，已知：直线，点M、N分别为上的点，点P为上一个动点， (1)初步探究：当点P在上方时，连接，她通过测量发现两个结论①；②；请你证明①中的结论； (2)大胆尝试：当点P在与之间时，她通过测量发现①；②请你猜想、、之间的关系式为______． (3)思维拓展：当点P运动到下方时，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点Q，请你猜想与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1），过点P作，则，由平行线的性质得到，据此根据角之间的关系可得答案； （2）根据，即可得到答案； （3）同理可得过点P作，则，可得，，则，再由角平分线的定义得到；由平角的定义得到，则． 【详解】（1）证明：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （3）解：，证明如下； 同理可得 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·湖北黄冈）如图，． (1)如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)．理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）过点作，结合，利用平行线的性质，结合角的和的意义计算即可． （2）①过点作，结合，得到，利用平行线的性质，结合（1）的结论变形计算即可． ②过作，而，则，利用平行线的性质解答即可． 本题考查了利用平行线探究角的之间关系，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，，三个角之间的数量关系是：． 理由如下： 过点作， ， ， ，， ， 即：． （2）解：①过点作， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 即：， ，， ． ②解：与的数量关系是：． 理由如下： 为的平分线，为的平分线， ，， 过作，而， ， 则 设， 则， 故， 故． 10.（22-23七年级上·吉林长春·期末）如图，，点P为平面内一点．    (1)如图①，当点P在与之间时，若，则＝　 　°； (2)如图②，当点P在点B右上方时，之间存在怎样的数量关系？请给出证明；（不需要写出推理依据） (3)如图③，平分平分，若，则＝　 　°． 【答案】(1)65 (2)，见解析 (3)120 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质求解即可； （2）延长交于点H，根据三角形外角求解即可； （3）延长交于点H，过点G，作，根据角平分线的性质和平行线的性质求解即可 【详解】（1）解：过点P作，如图，   ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴； （2）解：延长交于点H，如图，   ∴是的一个外角， ∵， ∴， ∴在中，， ∴之间存在的数量关系为：； （3）解：延长交于点H，过点G，作，如图，   ∵， ∴， ∴， ∵平分平分，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$