专题12一次函数的两种常见应用（两种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

专题12一次函数的两种常见应用（两种技巧精讲精练+过关检测） 题型01利用一次函数解实际问题 1行程问题 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．小数比小文先出发15秒 B．小文提速后的速度为 C． D．从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息．根据图像信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得以及各段的函数解析式，结合函数图像即可判断D选项． 【详解】解：结合图像可知，小数比小文早出发15秒，故选项A正确，不符合题意； ∵当秒时，，当秒时，厘米， 故小文提速前的速度是厘米/秒， ∵小文发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为30厘米/秒，故选项B正确，不符合题意； 故提速后小文行走所用时间为：秒， ∴秒， ∴， ∴小数的速度为厘米/秒 ∴秒，故选项C错误，符合题意； 设段对应的函数表达式为， 将点代入，可得， 可得， ∴可有， 当时，小数和小文之间距离最大值为厘米； 当时，设， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， ∴小数和小文之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 设段对应的函数表达式为， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， 当时，小数和小文之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 当时，小数和小文之间距离最大值为厘米． 综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为150厘米，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 【例1-2】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图①，在、两地之间有汽车站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．图②是客车、货车离站的路程、与行驶时间之间的函数图象，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象可以分别求得和所在直线的解析式，然后联立方程组即可求得点的坐标，根据题意可以得到点代表的实际意义． 【详解】解：由图象可得，， 设客车由到对应的函数解析式为，代入， 解得： 即客车由到对应的函数解析式为， 货车由地到地的所用的时间是：(小时)，则 货车由到对应的函数解析式为，代入， 得 解得： 即货车由到对应的函数解析式为， 联立 解得： 点的坐标为， 故答案为：． 【例1-3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示． (1)写出乙无人机距离地面的高度y与上升时间x之间的关系式__________，表达式中一次项系数的实际意义是________________，常数项的实际意义是____________________ ； (2)无人机上升多少秒后，两架无人机的高度差为10米？ 【答案】(1)，乙无人机每秒上升，乙无人机开始离地面； (2)2.5或7.5秒． 【分析】本题主要考查了实际问题与一次函数．熟练掌握一次函数的图象关键数据，待定系数法求解析式，函数与方程，是解题的关键． （1）根据，可求得，其中4表示乙无人机每秒上升，20表示乙无人机开始离地面； （2）根据求得，当时，求得，当时，求得． 【详解】（1）设， 把，代入， 得， 解得， ∴； 一次项系数的实际意义是乙无人机每秒上升，常数项的实际意义是乙无人机开始离地面； 故答案为：，乙无人机每秒上升，乙无人机开始离地面． （2）设， 把代入， 得， 解得， ∴， 当两架无人机的高度差为10米时， 有， 得， 解得， 或， 得， 解得． 故无人机上升2.5秒或7.5秒后，两架无人机的高度差为10米． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·山东青岛·期中）甲、乙两人在一条长米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ ） ①乙的速度为米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； ③甲、乙两人之间的距离超过米的时间范围是； ④乙到达终点时，甲距离终点还有米． A．①③ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，方程思想是解答的关键． 根据速度等于路程除以时间求解． 先求出甲的速度，再根据相遇时间路程相等，列方程求解． 根据甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒，列出不等式求出的取值，再求当乙到达终点停止运动后的取值，即可求解． 用总路程减去甲走过的路程即可． 【详解】解：①∵乙用秒跑完米 ∴乙的速度为米/秒； 故①正确； ②∵乙出发时，甲先走米，用秒钟， ∴甲的速度为米/秒， ∴乙追上甲所用时间为秒， ， 秒， ∴米， ∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； 故②不正确； ③甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒， ， ， 当乙到达终点停止运动后， ， ， 甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是； 故③正确； ④乙到达终点时， 甲距终点距离为：米， 即甲距离终点还有米． 故④正确； 正确的个数为①③④． 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了2分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图象小明从家出发，经过 分钟在返回途中追上爸爸． 【答案】20 【分析】此题考查一次函数的实际运用．根据题意，可求出，，，，由此用待定系数法可分别求出直线的关系式，，从可列出一元一次方程，解出即可得出结果． 【详解】解：， 由题意得：，，，， 设直线的关系式分别为，， 把，，，代入相应的关系式得： ，， 解得：，， ∴直线的关系式分别为，， 当时，即：， 解得：． 故答案为：20． 【变式1-3】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）小华骑自行车从家出发沿公路匀速前往图书馆，小华妈妈骑电动车从图书馆出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小华的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题． (1)小华家到图书馆的路程是________；线段对应的函数表达式为________（）； (2)求线段对应的函数表达式；（不必写自变量的取值范围） (3)图象中线段与线段的交点K的坐标为________．点K坐标表示的实际意义是________； (4)设小华和妈妈两人之间的距离为，t的值为________． 【答案】(1)，； (2) (3)；小华骑自行车行驶小时，在离家处与回家的妈妈相遇． (4)或． 【分析】本题本题主要考查求一次函数解析式以及一次函数的应用： （1）由函数图象可得：小华家到图书馆的路程是；设的解析式为，代入，求出的值即可； （2）设的函数表达式为，把代入，求出的值即可； （3）联立方程组，再解方程组求出方程组的解即可； （4）根据题意四种情况：当时，小华离家，当时，小华和妈妈两人之间的距离为，可得，当时，小华和妈妈两人之间的距离为，可得，当不符合题意，舍去，从而可得答案． 【详解】（1）解：由函数图象可得：小华家到图书馆的路程是； 设的函数表达式为， 把代入函数表达式得：， 解得， ∴的函数表达式为； （2）解：由图象知，， 设的函数表达式为， 则， 解得， ∴的函数表达式为． （3）解：联立方程组， 解得， ∴点K的坐标为； ∴的坐标的实际意义是小华骑自行车行驶小时，在离家处与回家的妈妈相遇． （4）解：当时，小华离家， 当时，小华和妈妈两人之间的距离为， ∴， 解得：， 当时，小华和妈妈两人之间的距离为， ∴， 解得：， 当不符合题意，舍去， ∴当小华和妈妈两人之间的距离为时，t的值为或． 2方案最值问题 【典例分析】 【例2-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆，才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元 (2)该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使最大，最大为350万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设中级型汽车进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元，由题意得， 解得： 答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元； （2）解：设购进中级型汽车辆，则购进紧凑型汽辆， 由题意得：， 获利， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当，取最大值，最大值为， 此时，， 答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使最大，最大为350万元． 【例2-2】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）高邮市大力发展本地特色产业——高邮湖大闸蟹养殖，中秋前后进入大闸蟹成熟期，某运输公司经过多轮竞标获得60吨大闸蟹转运权，负责运往市，该公司中标的大闸蟹转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了、、型货车20辆用于装运大闸蟹，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示： 车型 A B C 最大装载量（吨） 5吨 3吨 2吨 运输费用（元/辆） 2000 1500 800 规定所有大闸蟹必须一次性同时发货，每辆车都必须装满才能出发，应公司要求，运输货物时型车的装载量不超过型车和型车的装载量总和，同时型车的数量不超过6辆，设这次运输使用型车辆，型车辆，根据以上信息回答下列问题： (1)求与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (2)设此次转运的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润转运初始总费用运输总费用） (3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆型车的运输费用要增加元，该公司在本次转运中获得的最大利润为17400元，请求出的值． 【答案】(1) (2)；当用6辆A型车，2辆B型车，12辆C型车能获得最大利润23400元 (3)1050 【分析】本题主要考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答的关键是理解清楚题意，找到相应的等量关系． （1）表示出C型车的数量，从而可求y与x之间的函数关系式； （2）根据利润=转运初始费用-运输费用，列出相应的关系式，再结合x的取值分析即可； （3）根据利润=转运初始费用-运输费用，列出相应的关系式，再结合x的取值分析即可． 【详解】（1）解：由题意得：C型车有：辆， 则， 整理得：． ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∵， ∴Q随x的增大而增大， ∴当时，Q的最大值为：（元）， B型车有：辆，C型车有：（辆）， 答：当用6辆A型车，2辆B型车，12辆C型车能获得最大利润23400元； （3）解：， ①当时，无解，故； ②当时，即，则时取到最大值17400元， ∴， 解得：，不符合题意； ③当时，即，则时取到最大值17400元， ∴ 解得：，符合题意． 综上可知，a的值为1050． 【例2-3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中140件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售B型产品利润每件340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元． (1)若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？ (2)为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 【答案】(1)有四种不同的分配方案 (2)见解析 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，不等式组的应用，得到总利润的关系式是解决本题的关键． （1）根据所有产品数量及所给产品数量分别得到甲店B型商品，乙店A型商品，乙店B型商品的数量，那么总利润等于每件相应商品的利润相应件数之和，再根据根据各个店面的商品的数量为非负数可得自变量的取值范围； （2）根据让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润可得m的取值，结合（1）得到相应的总利润，根据m的取值结合函数的性质可得最大值的方案即可． 【详解】（1）解：设公司给甲店A型产品x件，则甲店B型产品有件；乙店A型有件，B型有件．公司总利润为W元，根据题意得： ． 由， ， 由，解得 ， 为整数， ， ∴有四种不同的分配方案； （2）解：依题意：， ， ， 当时，越大，W越大，得出即甲店A型80件，B型60件；乙店A型0件，B型60件，能使总利润最大， 当时，为定值，符合题意的各种方案使总利润最大， 当时，越小，W越大，得出即甲店A型20件，B型120件；乙店A型60件，B型0件，使总利润最大． 【变式演练】 【变式2-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为16万元 (2)该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使最大，最大为350万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设中级型汽车进货单价为万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为万元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为万元， 由题意得： 解得： 答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车汽车的进货单价为16万元 （2）设购进中级型汽车辆，则购进紧凑型汽辆， 由题意得：， ， ， 随的增大而减小， 当，取最大值，最大值， 此时，， 答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使最大，最大为350万元． 【变式2-2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进中级和紧凑两种型号的新能源汽车，据了解6辆中级型汽车、4辆紧凑型汽车的进价共计208万元；3辆中级型汽车比2辆紧凑型汽车的进价多40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进a辆中级型汽车，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？（利润=售价-进价） 【答案】(1)中级型汽车进货单价为24万元和紧凑型汽车进货单价为48万元 (2)该经销商应购进中级型汽车25辆，紧凑型汽车75辆时，W最大为375万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设中级型汽车进货单价为x元和紧凑型汽车进货单价为y元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设中级型汽车进货单价为x万元和紧凑型汽车进货单价为y万元． ， 解得， 答：中级型汽车进货单价为24万元和紧凑型汽车进货单价为48万元； （2）由题可得， ∵ ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值为375万元， 答：该经销商应购进中级型汽车25辆，紧凑型汽车75辆时，W最大为375万元． 【变式2-3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）小李在某网店选中两款玩偶，决定从该网店进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如表： 类别价格 款 款 进货价（元个） 销售价（元个） (1)第一次小李用元购进了两款玩偶共个，求两款玩偶分别购进了多少个？ (2)第二次进货时，网店规定款玩偶进货数量不得低于款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)款玩偶购进个，款玩偶购进； (2)按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元 【分析】（）设款玩偶购进个，款玩偶购进个， 由用元购进了，两款玩偶建立方程求出其解即可； （）设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元，根据题意可以得到利润与款玩偶数量的函数关系，然后根据款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半，可以求得款玩偶数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何设计进货方案才能获得最大利润； 本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一次函数的运用，由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个， 由题意得：， 解之得：， ∴， 答：款玩偶购进个，款玩偶购进； （2）解：设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利元， 由题意，得， ∵款玩偶进货数量不得低于款玩偶进货数量的一半， ∴， ∴， ∴且为整数， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时，取得最大值元， ∴款玩偶有， 答：按照款玩偶购进个、款玩偶购进个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是元． 3分段计费问题 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费，该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元． (1)请写出y与x的函数关系式． (2)如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【答案】(1)； (2)这个月该户用了11吨水． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，理解题意，根据题意列出一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意，分类和两种情况分别列出函数关系式即可； （2）先判断该户居民用了超过6吨水，再代入求解方程得出x的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，分2种情况讨论： ①当时，； ②当时，； 与x的函数关系式为． （2）， 该户居民用了超过6吨水， 当时，， 解得：， 答：这个月该户用了11吨水． 【例3-2】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)应交水费14元 (3)该户居民用水12立方米 【分析】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据收费方式，分2种情况，列出函数关系式即可； （2）将代入对应的函数解析式进行求解即可； （3）令，求出对应的自变量的值即可． 【详解】（1）解：由题意，当时，， 当时，， ∴； （2）当时，（元）； 答：应交水费14元； （3）∵， ∴， ∴当时，，解得：； 答：该户居民用水12立方米． 【例3-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某城市为了节约用水，采用分段收费标准．居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)请写出与之间的函数表达式． (2)若该城市某户居民某月交了水费42元，求该户居民本月的用水量． 【答案】(1) (2)该户居民用水13吨 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用信息，列出函数关系式． （1）分两种情况，用待定系数法求出函数关系式即可； （2）把代入（1）所得对应的函数解析式计算即可求解； 【详解】（1）解：当时，设， 把，代入得，解得， ∴； 当时，设， 把代入得， 解得， ∴； 综上所述，与之间的关系式为； （2）解：∵， ∴用水量超过10吨， 把代入得， 解得， 答：该户居民用水13吨． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取．居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． (1)若用水不超过10吨，水费为______元/吨． (2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式． (3)若某户居民8月共交水费65元，求该户居民8月共用水多少吨？ 【答案】(1)2.5 (2) (3)20吨 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式及一次函数的应用；根据自变量或函数值的取值使用相应的函数解析式是解决本题的关键． （1）根据图象列式求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意将代入求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， ∴用水不超过10吨，水费为2.5元/吨； （2）解：设当用水超过10吨时 ，该函数图象对应的一次函数的表达式为． 将点，代入， 得 解得 ∴； （3）解：∵， ∴该户居民用水量超过10吨． 由（2），得． 将代入，得， 解得， 故该户居民8月共用水20吨． 【变式3-2】（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系如图所示． (1)当用水18立方米以上时，求y与x之间的函数关系式． (2)若小敏家某月交水费81元，求这个月用水量为多少立方米． 【答案】(1) (2)30立方米 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，代入（1）中解析式，即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， ∵直线过点，， ∴ 解得 ∴． （2）∵， ∴当时，，解得． 答：这个月用水量为30立方米． 【变式3-3】（21-22八年级上·宁夏中卫·期末）某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某用户居民每月应交水费（元）是用户量（方）的函数，其图像如图所示，根据图像回答下列问题： (1)分别求出和时，与的函数关系式； (2)自来水公司的收费标准是什么？ (3)若某户居民交水费9元，该月用水多少方？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)每户每月用水量不超过5方的，按每方元收费；超过5方时，其中的5方按每方元收费，超过5方的部分，按每方元收费 (3)10方 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得； （2）根据（1）的结论中的两个函数的一次项系数即可得； （3）先根据判断出用水量超过了5方，再将代入函数求出的值即可得． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 将点代入得：，解得， 则当时，与的函数关系式为， 当时，设与的函数关系式为， 将点代入得：， 解得， 则当时，与的函数关系式为． （2）解：由（1）可知，当时，；当时，， 则自来水公司的收费标准是每户每月用水量不超过5方的，按每方元收费；超过5方时，其中的5方按每方元收费，超过5方的部分，按每方元收费． （3）解：因为， 所以这户居民的月用水量超过了5方， 则将代入得：，解得， 答：该月用水10方． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，读懂函数图像，熟练掌握待定系数法是解题关键． 题型02利用一次函数解几何问题 1一次函数中的面积问题 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、都是直线（为常数）上的点，、的横坐标分别是，，轴，轴，则的面积为（   ） A． B． C． D．因不确定，故面积不确定 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质、三角形的面积．此题采用了“数形结合”的数学思想．根据题意求得点、的纵坐标，据此可以求得、的长度，然后由直角三角形的面积公式求得的面积． 【详解】解：点、都是直线（为常数）上的点，、的横坐标分别是，， ，， 又轴，轴， ，，， ， 故选：B． 【例4-2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点、的坐标分别为，，点是第一象限内直线上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积 （填“变大”、“变小”或“不变” 【答案】不变 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行的关系以及三角形面积求法等知识，根据一次函数的平移得出已知两直线平行是解题关键．先求出直线的解析式得出直线与点所在直线平行，从而得到在点移动过程中，三角形的面积不变，即可求解． 【详解】解：∵点、的坐标分别为，， 设直线的解析式为， 点代入得， ∴直线与点所在直线平行． ∴在点移动过程中，三角形的面积不变，三角形的面积不变， ∴四边形的面积不变． 故答案为：不变． 【例4-3】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，直线与轴、轴分别交与两点，． (1)求点的坐标和的值； (2)若点是第一象限内的直线上的一个动点．当点运动过程中，试写出的面积与的函数关系式； (3)探索： 若点在第一象限时，点运动到什么位置时，的面积是； 在成立的情况下，轴上是否存在一点，使是等腰三角形．若存在，请写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)；或 或或． 【分析】（）可求得，从而得出的值，将点坐标代入直线解析式，求得； （）由即可求解； （）把代入的解析式即可求解； 分为，和三种情况分析即可； 本题考查了一次函数图象和点的坐标之间的关系，等腰三角形的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：当时， ∴， ∴， ∴， ∴， 把，，代入得，， ∴； （2）解：由（）得：， ∴； （3）解：由得，， 当时，， ∴； 如图， ∵， ∴， 当时，，； 当时，； 当时，； 综上所述：或 或或． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（    ）    A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】设轴于点；轴于点；于点，然后求出各点的坐标，计算出长度，利用三角形面积公式即可计算出答案． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及函数图象，根据一次函数上点的坐标特征，得出三个三角形均是底为1，高为2的直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，设轴于点；轴于点；于点    由题意可得: 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为 所以， , 所以图中阴影部分的面积和等于 故选：D． 【变式4-2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点、点，直线经过点，且恰好将平均分成面积相等的两个部分，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式，利用等腰三角形的性质，找到恰好经过点是解题的关键．根据坐标得到点是线段的中点，过点作轴于点，有点坐标得出线段的长，再根据勾股定理求出的长，得出恰好经过点，再用待定系数法计算即可． 【详解】解：点，点O为坐标原点， 线段的中点坐标为，即， 点为线段的中点， 过点作轴于点， 点、点， ， ， ， ， 直线经过点， 将代入， 得， 解得， 的值为． ， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级上·全国·期末）边长为4的正方形，将此正方形置于平面直角坐标系中，使边落在x轴的正半轴上，且A点的坐标是． (1)直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形的面积； (2)若直线l经过点E且将正方形分成面积相等的两部分求直线l的解析式； (3)若直线经过点且与直线平行，将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位交x轴于点M，交直线于点N，求的面积． 【答案】(1)10 (2) (3)27 【分析】（1）四边形是直角梯形，根据梯形的面积公式，只要求出的长，即可； （2）若直线经过点且将正方形分成面积相等的两部分，则直线一定经过正方形的中心，根据待定系数法即可求得解析式； （3）直线与直线平行，则直线的一次项系数是3，根据待定系数法，即可求得的解析式；将（2）中直线沿着轴向上平移1个单位，则所得函数解析式可以求得．即可求得，，的坐标，则三角形的面积即可求得． 本题主要考查了一次函数的几何应用，平移的性质，坐标与图形以及待定系数法求函数解析式．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 当时，， ， ， ，， ； （2）解：连接、相交于点， ∵边长为4的正方形， ∴ ∵A点的坐标是． ∴, ∴， 直线将正方形面积平分， 过点， 设直线， 过点 ， ， ； （3）解：直线与平行， 设直线， ∵过点， ， 则． ， ∵直线： ∴直线向上平移1个单位得直线， 当时，，则； ， 又 解得 ， ， ． 2一次函数中的动点问题 【典例分析】 【例5-1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，直线分别与轴、轴交于点，，在轴上有一点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】D 【分析】由直线的函数解析式，令求点坐标，求点坐标；根据题意可知，，则，所以，则时间内移动了，可算出值． 本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定定理是关键． 【详解】解：对于直线， 当时，；当时，， ，， ， ∵当运动到与全等时 ∴，分为两种情况： ①当在上时，， ， 动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； ②当在的延长线上时，， 则，此时所需要的时间（秒）， 故选：D． 【例5-2】（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上运动，当点到两点距离之差的绝对值最大时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形两边之差小于第三边，最短路径的计算，一次函数图象的运用，根据三角形三边数量关系可得，在中，，当点三点共线时，，此时距离之差的绝对值最大，设直线的解析式为，运用待定系数法求出解析式，令即可求解． 【详解】解：如图所示， 在中，， ∴当点三点共线时，，此时距离之差的绝对值最大， ∴设直线的解析式为，把点代入得， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为， 故答案为： ． 【例5-3】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，在等边中，，过点A作于点D，两动点P，Q分别以每秒1个单位的速度同时从D出发，点P沿折线运动，点Q沿折线运动，当P，Q两点相遇时停止运动．设运动时间为x秒（），线段的长度记为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变盐x的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，当线段的长度为4时，直接写出x的值． 【答案】(1) (2)画图见解析，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质等知识． （1）当P在上、Q在上运动时，根据路程等于速度×时间即可求解；当P在上、Q在上运动时，证明是等边三角形即可求解； （2）当时，；当时，，当时，，即可画出函数图象，进而求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：在等边中，， ∴，， ∵， ∴， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， 当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：如图， 由图可知：当时，或． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，点A的坐标为，点B在第二、四象限的角平分线(直线l)上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了垂线段最短，等腰三角形的性质，一次函数的综合运用，题目综合性较强，有一定的难度．过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．作轴于点C，先证明为等腰直角三角形．求出，再求点坐标，即可得到答案． 【详解】当线段最短时， ∵l 为第二、四象限的角平分线， ∴ 又∵， ∴． ∴为等腰直角三角形． 作轴于点C， 则 ∵点B 在第四象限， 故选 B． 【变式5-2】（22-23八年级上·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上运动，当的值最小时．    （1）点的坐标为 ； （2）此时的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）由题意可得两点关于轴对称，连接，与轴的交点即为点，即此时的值最小，待定系数法求出直线的解析式，令，即可求出点的坐标； （2）由轴对称的性质及勾股定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）点的坐标为，点的坐标为， 两点关于轴对称， 如图，连接，与轴的交点即为点，即此时的值最小，   ， 直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 的坐标为， 故答案为：； （2）由轴对称的性质可知，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式、一次函数的性质、勾股定理、轴对称的性质、最短路径问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式5-3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动到点停止，设运动时间为秒，的面积为． (1)求出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出的面积为6时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或4 【分析】本题是一次函数综合题，考查了三角形的面积，直角三角形的性质，一次函数的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）分两种情况，当点在上，，当点在上时，，分别表示出，，然后由三角形面积公式可得出答案； （2）由题意画出图象； （3）由（2）中的图象及一次函数图象上点的坐标特征可得出答案． 【详解】（1）解：∵，为中点， ∴ ∵动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动到点停止，设运动时间为秒， ∴当点在上，即时， ∴； 当点在上，即时， ∴， ∴综上所述，； （2）解：当时，；当时，； 当时，； 图象如图所示： （3）解：由图象可得，当或4时，，即的面积为6． 一、单选题 1．（2024八年级上·全国·专题练习）一辆汽车由A地匀速驶往相距的B地，汽车的速度是，那么汽车距离B地的路程S（单位：）与行驶时间t（单位：）的函数关系用图象表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了行程问题的函数图象问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图是解题的关键．分析S随t的变化而变化的趋势以及自变量的范围，而不一定要通过求解析式来解决． 【详解】解：一辆汽车由A地匀速驶往相距的B地，汽车的速度是，那么汽车距离B地的路程S（单位：）与行驶时间t（单位：）的函数关系为一次函数，并且S随t的增大而减小，自变量t的取值范围是． ∴D符合题意； 故选D． 2．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数与x轴交于点B，一次函数与x轴交于点A，一次函数与图像交于点C．在y轴负半轴上找一点P使得的面积等于．则满足条件的点P是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出A、B的坐标，进而求出的长，再联立两直线解析式求出C点坐标，进一步求出，设，直线交y轴于D，则，根据建立方程求解即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴， 同理， ∴， 联立，解得， ∴， ∴， ∴， 设，直线交y轴于D，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选D．    【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正确求出的面积是解题的关键． 3．（22-23八年级上·辽宁铁岭·期末）小明家与超市在同一条笔直道路上，妈妈从超市回家，小明发现漏买了文具就从家去了超市，两人都匀速步行且同时出发，妈妈先到家．两人之间的距离与时间之间的函数关系如图所示，其中说法正确的是（　　） A．小明的速度是 B．妈妈的速度是 C．线段的函数表达式为 D．点A的坐标为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程之间的关系是解题的关键． 根据“速度=路程÷时间”计算小明的速度即可判定A；当时，两人相遇，根据“两相遇时人人一共走过的路程是”计算妈妈的速度，即可判定B；根据“路程=速度×时间”求出线段的函数表达式，写出自变量的取值范围即可判定C；根据“时间=路程÷速度”计算妈妈到家所用的时间，再根据“路程=速度×时间”计算小明此时离家的距离，从而求出点A的坐标，即可判定D． 【详解】解：A、小明的速度是，故此选项不符合题意； B、妈妈的速度是，故此选项不符合题意； C、妈妈到家所用的时间是，当时，妈妈已经到家，之后两人之间的距离就是小明离家的距离，∴线段的函数表达式为，故此选项符合题意； D、妈妈到家所用的时间是，当时，两人之间的距离，即小明离家的距离是，∴点A的坐标为，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（20-21八年级上·山西太原·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在轴、轴上，，直线与长方形的边分别交于，则的面积是（    ） A．6 B．3 C．12 D． 【答案】B 【分析】先令y=0求出x的值，故可得出F点坐标，再把x=4代入直线y=x-求出y的值，故可得出E点的坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵当y=0时，x-=0，解得x=1， ∴F(1，0)，OF=1， ∴FC=OC-OF=4-1=3， 将x=4代入y=x-，得y=2， ∴E(4，2)，即CE=2， ∴S△CEF=CF•CE=×3×2=3， 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 二、填空题 5．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，点Q在直线上运动，点A的坐标为，当线段最短时，点Q的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键；由题意可知当时，线段最短，然后根据等腰直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意可知当时，即点Q与重合时，线段最短，如图所示， 过点作轴于点B，则可设点， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当线段最短时，点Q的坐标为； 故答案为：． 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B．点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为．定义：坐标轴距离．若一次函数的关系式为，则（1）当时，点P的横坐标为 ；（2）当点P在直线上运动时，d的最小值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． （1）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设点的横坐标为，则点的纵坐标为，根据题意得：， 再进行分类讨论，即可求出的最小值． 【详解】解：（1）设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 根据题意得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：． 综上所述，点的横坐标为或． 故答案为：或． （2）设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 根据题意得：， 当时，， 当时，， 当时，有最小值，为， 当时，， 综上所述，d的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． AI (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与三角形面积的综合应用； （1）分别令，，即可求解； （2）当时求出的纵坐标，由三角形的面积，即可求解； （3）求出的面积，由，即可求解； 掌握一次函数与坐标轴的交点的求法，并熟练利用三角形面积求解是解题的关键． 【详解】（1）解：当时， ， 当时， ， 解得：， ，； （2）解：当时， ， ； （3）解：由题意得 ， ， ， ， 解得：或， 故m的值为或． 8．（24-25八年级上·广西贺州·期中）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是多少万元．（利润销售额种植成本） 【答案】125万元 【分析】本题考查一次函数的应用，设甲种火龙果种植x亩，乙种火龙果种植亩，此项目获得利润w，根据题意列出不等式求出x的范围，然后根据题意列出w与x的函数关系即可求出答案． 【详解】解：设甲种火龙果种植亩，乙种火龙果种植亩，此项目获得利润，甲、乙两种火龙果每亩利润为1.1万元，1.4万元，由题意可知： ， 解得：， 所以此项目获得利润， 因为，随的增大而减小， 所以当时，有最大值， 的最大值为万元． 答：该县在此项目中获得的最大利润是125万元． 9．（24-25八年级上·四川成都·期中）甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往城，乙车开往A城．由于墨迹覆盖，甲车与乙车距B城的距离（千米）与时间（小时）的函数关系部分图像如图所示． (1)甲车的速度为______千米/时，A、B两地相距______千米，两车出发______小时后相遇； (2)当两车相距60千米时，求t的值． 【答案】(1)180；600；2 (2)小时或小时 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数解析式的应用；得到两个函数的关系式是解决问题的突破口；用数形结合的方法判断出所求值与得到函数关系式的关系是解决本题的难点． （1）根据图象可计算出甲车的速度，再根据图象求出与行驶时间t的函数表达式，当时求出函数的值，即为A、B两地的相距，再求出与行驶时间t的函数表达式，根据建立方程即可求出相遇的时间； （2）让甲的函数关系式减去乙的函数关系式为60或乙的函数关系式减去甲的函数关系式为60即可求得所求的时间． 【详解】（1）解：由题意可得，甲两小时行驶了千米， ∴甲的行驶速度为：千米/时， 设与行驶时间t的函数关系为：， 则：， 解方程组得：， ∴， 当时，千米， ∴A、B两地相距600千米， 设与行驶时间t的函数关系为：， 则：， ∴， 当时，， 解得：小时， ∴两车出发2小时后相遇， 故答案为：180；600；2； （2）解：当相遇前两车相距60千米时：， 解得：小时， 当相遇后两车相距60千米时：， 解得：小时， 故t的值为：小时或小时． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元． (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元． ①求的最大值． ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4400元，求的值． 【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元 (2)a的值为 【分析】本题主要考查一次函数和二元一次方程组的应用等知识点， （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是x元和y元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）①根据甲、乙头盔的购进数量关系以及利润公式得到利润函数，再结合甲头盔数量的限制条件求出利润最大值，②根据进价调整后的利润表达式，分情况讨论不同条件下利润最小值时对应的a值； 熟练掌握二元一次方程组的解法、根据各量之间的数量关系写函数关系式并判断其增减性是解题的关键． 【详解】（1）设甲种型号头盔的进货单价是x元，乙种型号头盔的进货单价是y元， 根据题意，得 ，解得， ∴甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元； （2）①∵甲种型号头盔购进了x个，甲、乙两种型号头盔共300个， ∴乙种型号头盔购进了个， ∴ ， ∵甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍， ∴解不等式组得，， ∴， ∵，其中， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， (元)； ②∵甲种头盔进货单价上调了元后变为元，乙种头盔进货单价下调了a元后变为元， ∴ ， ∵， ∴当，即/时，w随x的增大而增大。 ∴当时，w取得最小值4400， ∴， ∴， 当，即号时，w随x的增大而减小。 ∴当时，w取得最小值4400， ∴， ∴， 又∵时取不符合条件，舍去， ∴a的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12一次函数的两种常见应用（两种技巧精讲精练+过关检测） 题型01利用一次函数解实际问题 1行程问题 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·河南郑州·期中）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（   ） A．小数比小文先出发15秒 B．小文提速后的速度为 C． D．从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距 【例1-2】（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）如图①，在、两地之间有汽车站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．图②是客车、货车离站的路程、与行驶时间之间的函数图象，则点的坐标为 ． 【例1-3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示． (1)写出乙无人机距离地面的高度y与上升时间x之间的关系式__________，表达式中一次项系数的实际意义是________________，常数项的实际意义是____________________ ； (2)无人机上升多少秒后，两架无人机的高度差为10米？ 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·山东青岛·期中）甲、乙两人在一条长米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，正确的个数为（ ） ①乙的速度为米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； ③甲、乙两人之间的距离超过米的时间范围是； ④乙到达终点时，甲距离终点还有米． A．①③ B．①③④ C．③④ D．①②③④ 【变式1-2】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的图书馆还书．小明出发的同时，他的爸爸以每分钟96米的速度从图书馆沿同一条道路步行回家，小明在图书馆停留了2分钟后沿原路按原速返回．设他们出发后经过（分）时，小明与家之间的距离为（米），小明爸爸与家之间的距离为（米），图中折线、线段分别表示、与之间的函数关系的图象小明从家出发，经过 分钟在返回途中追上爸爸． 【变式1-3】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）小华骑自行车从家出发沿公路匀速前往图书馆，小华妈妈骑电动车从图书馆出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离与小华的行驶时间之间的函数关系的图象，请解决以下问题． (1)小华家到图书馆的路程是________；线段对应的函数表达式为________（）； (2)求线段对应的函数表达式；（不必写自变量的取值范围） (3)图象中线段与线段的交点K的坐标为________．点K坐标表示的实际意义是________； (4)设小华和妈妈两人之间的距离为，t的值为________． 2方案最值问题 【典例分析】 【例2-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆，才能使最大？最大为多少万元？ 【例2-2】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）高邮市大力发展本地特色产业——高邮湖大闸蟹养殖，中秋前后进入大闸蟹成熟期，某运输公司经过多轮竞标获得60吨大闸蟹转运权，负责运往市，该公司中标的大闸蟹转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了、、型货车20辆用于装运大闸蟹，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示： 车型 A B C 最大装载量（吨） 5吨 3吨 2吨 运输费用（元/辆） 2000 1500 800 规定所有大闸蟹必须一次性同时发货，每辆车都必须装满才能出发，应公司要求，运输货物时型车的装载量不超过型车和型车的装载量总和，同时型车的数量不超过6辆，设这次运输使用型车辆，型车辆，根据以上信息回答下列问题： (1)求与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (2)设此次转运的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润转运初始总费用运输总费用） (3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆型车的运输费用要增加元，该公司在本次转运中获得的最大利润为17400元，请求出的值． 【例2-3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）某公司有A型产品80件，B型产品120件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中140件给甲店，60件给乙店，且都能卖完．甲店销售A型产品利润每件400元，销售B型产品利润每件340元；乙店销售A型产品利润每件320元，销售B型产品利润每件300元． (1)若公司要求总利润不低于70280元，求出公司能采用几种不同的分配方案？ (2)为了促销，公司决定仅对甲店A型产品让利销售，每件让利m元，但让利后A型产品的每件利润仍高于甲店B型产品的每件利润．甲店的B型产品以及乙店的型产品的每件利润不变，问该公司又如何设计分配方案，使总利润达到最大？ 【变式演练】 【变式2-1】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 【变式2-2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进中级和紧凑两种型号的新能源汽车，据了解6辆中级型汽车、4辆紧凑型汽车的进价共计208万元；3辆中级型汽车比2辆紧凑型汽车的进价多40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为27万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进a辆中级型汽车，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使W最大？W最大为多少万元？（利润=售价-进价） 【变式2-3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）小李在某网店选中两款玩偶，决定从该网店进货并销售，两款玩偶的进货价和销售价如表： 类别价格 款 款 进货价（元个） 销售价（元个） (1)第一次小李用元购进了两款玩偶共个，求两款玩偶分别购进了多少个？ (2)第二次进货时，网店规定款玩偶进货数量不得低于款玩偶进货数量的一半，小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 3分段计费问题 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·福建漳州·期中）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6吨时，水价为每吨2元，超过6吨时，超过的部分按每吨3元收费，该市某户居民5月份用水x吨，应交水费y元． (1)请写出y与x的函数关系式． (2)如果该户居民这个月交水费27元，那么这个月该户用了多少吨水？ 【例3-2】（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为y（元），用水量为x（立方米）． 用水量（立方米） 收费（元） 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月用水量为7立方米，则应交水费多少元？ (3)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 【例3-3】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）某城市为了节约用水，采用分段收费标准．居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)请写出与之间的函数表达式． (2)若该城市某户居民某月交了水费42元，求该户居民本月的用水量． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取．居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． (1)若用水不超过10吨，水费为______元/吨． (2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式． (3)若某户居民8月共交水费65元，求该户居民8月共用水多少吨？ 【变式3-2】（22-23八年级上·江苏无锡·阶段练习）某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系如图所示． (1)当用水18立方米以上时，求y与x之间的函数关系式． (2)若小敏家某月交水费81元，求这个月用水量为多少立方米． 【变式3-3】（21-22八年级上·宁夏中卫·期末）某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某用户居民每月应交水费（元）是用户量（方）的函数，其图像如图所示，根据图像回答下列问题： (1)分别求出和时，与的函数关系式； (2)自来水公司的收费标准是什么？ (3)若某户居民交水费9元，该月用水多少方？ 题型02利用一次函数解几何问题 1一次函数中的面积问题 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、都是直线（为常数）上的点，、的横坐标分别是，，轴，轴，则的面积为（   ） A． B． C． D．因不确定，故面积不确定 【例4-2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点、的坐标分别为，，点是第一象限内直线上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积 （填“变大”、“变小”或“不变” 【例4-3】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，直线与轴、轴分别交与两点，． (1)求点的坐标和的值； (2)若点是第一象限内的直线上的一个动点．当点运动过程中，试写出的面积与的函数关系式； (3)探索： 若点在第一象限时，点运动到什么位置时，的面积是； 在成立的情况下，轴上是否存在一点，使是等腰三角形．若存在，请写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（    ）    A．1 B． C． D．3 【变式4-2】（24-25八年级上·广东深圳·期中）平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点、点，直线经过点，且恰好将平均分成面积相等的两个部分，则k的值是 ． 【变式4-3】（24-25八年级上·全国·期末）边长为4的正方形，将此正方形置于平面直角坐标系中，使边落在x轴的正半轴上，且A点的坐标是． (1)直线经过点C，且与x轴交于点E，求四边形的面积； (2)若直线l经过点E且将正方形分成面积相等的两部分求直线l的解析式； (3)若直线经过点且与直线平行，将（2）中直线l沿着y轴向上平移1个单位交x轴于点M，交直线于点N，求的面积． 2一次函数中的动点问题 【典例分析】 【例5-1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，直线分别与轴、轴交于点，，在轴上有一点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，的值为（    ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【例5-2】（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上运动，当点到两点距离之差的绝对值最大时，点的坐标是 ． 【例5-3】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，在等边中，，过点A作于点D，两动点P，Q分别以每秒1个单位的速度同时从D出发，点P沿折线运动，点Q沿折线运动，当P，Q两点相遇时停止运动．设运动时间为x秒（），线段的长度记为y． (1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变盐x的取值范围； (2)在图2所示的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，当线段的长度为4时，直接写出x的值． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，点A的坐标为，点B在第二、四象限的角平分线(直线l)上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23八年级上·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上运动，当的值最小时．    （1）点的坐标为 ； （2）此时的最小值为 ． 【变式5-3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，，，为中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动到点停止，设运动时间为秒，的面积为． (1)求出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)结合函数图象，直接写出的面积为6时的值． 一、单选题 1．（2024八年级上·全国·专题练习）一辆汽车由A地匀速驶往相距的B地，汽车的速度是，那么汽车距离B地的路程S（单位：）与行驶时间t（单位：）的函数关系用图象表示为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数与x轴交于点B，一次函数与x轴交于点A，一次函数与图像交于点C．在y轴负半轴上找一点P使得的面积等于．则满足条件的点P是（　　）    A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·辽宁铁岭·期末）小明家与超市在同一条笔直道路上，妈妈从超市回家，小明发现漏买了文具就从家去了超市，两人都匀速步行且同时出发，妈妈先到家．两人之间的距离与时间之间的函数关系如图所示，其中说法正确的是（　　） A．小明的速度是 B．妈妈的速度是 C．线段的函数表达式为 D．点A的坐标为 4．（20-21八年级上·山西太原·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，长方形的边分别在轴、轴上，，直线与长方形的边分别交于，则的面积是（    ） A．6 B．3 C．12 D． 二、填空题 5．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，点Q在直线上运动，点A的坐标为，当线段最短时，点Q的坐标为 ． 6．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B．点P在该函数的图象上，P到x轴、y轴的距离分别为．定义：坐标轴距离．若一次函数的关系式为，则（1）当时，点P的横坐标为 ；（2）当点P在直线上运动时，d的最小值为 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． AI (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 8．（24-25八年级上·广西贺州·期中）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是多少万元．（利润销售额种植成本） 9．（24-25八年级上·四川成都·期中）甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往城，乙车开往A城．由于墨迹覆盖，甲车与乙车距B城的距离（千米）与时间（小时）的函数关系部分图像如图所示． (1)甲车的速度为______千米/时，A、B两地相距______千米，两车出发______小时后相遇； (2)当两车相距60千米时，求t的值． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元． (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元． ①求的最大值． ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4400元，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$