专题03 指对幂等函数值大小比较的深度剖析（9大题型）（课件）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

高考二轮数学讲练测 专题03 指对幂等函数值大小 比较的深度剖析 目录 01 03 05 02 04 考情透视·目标导航 知识导图·思维引航 知识梳理·方法技巧 真题研析·精准预测 核心精讲·题型突破（8大题型，1个重难点） 2 考点要求 目标要求 考题统计 考情分析 指对幂比较大小 掌握指对幂大小比较的方法与技巧 2024年北京卷第9题，5分 2024年天津卷第5题，5分 2022年新高考I卷第7题，5分 2022年天津卷第5题，5分 2022年甲卷第12题，5分 2021年II卷第7题，5分 2021年天津卷第5题，5分 预测2025年高考趋势，指对幂比较大小或以小题压轴，预计： （1）以选择、填空题型呈现，侧重综合推理。 （2）构造灵活函数比较大小将成为考查热点。 考情透视·目标导航 3 (1)以选择、填空题型呈现，侧重综合推理。 (2)构造灵活函数比较大小将成为考查热点。 知识导图·思维引航 4 （1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小． （2）指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性； ②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小； ③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量， 借助中间量进行大小关系的判定. 知识梳理·方法技巧 （3）转化为两函数图象交点的横坐标 （4）特殊值法 （5）估算法 （6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 知识梳理·方法技巧 (7)常见函数的麦克劳林展开式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 知识梳理·方法技巧 真题研析 1.(2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题)已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是( ) A. B. C. D. ，， ， 依次推出： ，，，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 枚举法 真题研析·精准预测 真题研析 2.(2024年天津高考数学真题)设，则的大小关系为( ) A. B. C. D. ∵在R上递增，且，∴， ∴，即， ∵在上递增，且， ∴，即， ∴， 真题研析·精准预测 真题研析 3.(2024年北京高考数学真题)已知，是函数的图象上两个不同的点，则( ) A. B. C. D. 设 例如，则 例如，则 举反例 真题研析·精准预测 真题研析 7.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)已知，则( ) A. B. C. D. [方法一]：构造函数 ∵当 故∴； 设，， ∴在单调递增，故，∴， ∴，∴，故选A 真题研析·精准预测 真题研析 7.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)已知，则( ) A. B. C. D. [方法二]：不等式放缩 ，故 ，且 当时， 此时， 故 ，故 ∴，∴，故选A 真题研析·精准预测 真题研析 7.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)已知，则( ) A. B. C. D. [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选 真题研析·精准预测 真题研析 7.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)已知，则( ) A. B. C. D. [方法四]：构造函数 ∵，∵当，∴,即，∴；设，， ∴在单调递增，则,∴，∴,∴， 故选： 【点评】利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法； 真题研析·精准预测 真题研析 7.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)已知，则( ) A. B. C. D. [方法五]：【最优解】不等式放缩 ∵，∵，∴,即，∴； ∵当，， 故，∴ 故选： 【点评】方法5：利用二倍角公式以及不等式 放缩，即可得出大小关系， 属于最优解. 真题研析·精准预测 含变量问题 题型三 核心精讲·题型突破 引入媒介值 题型二 直接利用单调性 题型一 数形结合 题型五 特殊值法、估算法 题型六 放缩法 题型六 泰勒展开、帕德逼近估算法 重难点突破 构造函数 题型四 同构法 题型六 题型一：直接利用单调性 【典例1-1】设，则的大小顺序为( ) A. B. C. D. 由函数在上单调递增，可得， 因函数在R上单调递增，则故， 即 核心精讲·题型突破 题型突破 题型一：直接利用单调性 利用指对幂函数的单调性判断 【典例1-2】高三·黑龙江鸡西·期中)已知函数， ，的零点分别为，则的大小顺序为( ) A. B. C. D. 三个函数在定义域上均为单调递增函数. ，，故， ，，故， ，故， 核心精讲·题型突破 题型突破 【变式1-1】已知，比较的大小为( ) A. B. C. D. ∵函数在上单调递增， ∴， 又，∴，又∵函数在上单调递减， ∴，∵， ∴，综上， 核心精讲·题型突破 ， ∴ 1.江西新余·一模)故，，，则的大小顺序是 ( ) A. B. C. D. 命题预测 真题研析·精准预测 题型二：引入媒介值 【典例2-1】高三·江西·期中)已知，则的大小顺序为( ) A. B. C. D. ，，，则 核心精讲·题型突破 题型突破 题型二：引入媒介值 【典例2-2】三个数，，的大小顺序是( ) A. B. C. D. ，， ， ∴最大， ∵，，∴， 即 寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定. 核心精讲·题型突破 题型突破 【变式2-1】已知，，，比较，，的大小为( ) A. B. C. D. 易知， 故选：B 核心精讲·题型突破 ， 而，则， 又，∴ 1.已知，，，则( ) A. B. C. D. 命题预测 真题研析·精准预测 题型三：含变量问题 【典例3-1】[新考法]若，，，，，则( ) A. B. C. D. 方法一：∵函数，在上单调递增. ∴， ， ∵在上单调递减，∴， ∴ ∴ 方法二：【特殊值法】 令，， 则，， ， ∵， ∴ 核心精讲·题型突破 题型突破 题型三：含变量问题 【典例3-2】高三·河北邢台·期中)已知， 则的大小关系是( ) A. B. C. D. ∵，∴在上均单调递增， ∴，即， 构造函数，易知时，即此时函数单调递增，则，∴， ∵在上单调递增，∴，综上 对变量取特殊值代入或者构造函数 核心精讲·题型突破 题型突破 【变式3-1】(多选题)已知正数满足，则( ) A. B. C. D. ，，∴ 当且仅当即时等号成立 ， ，， 核心精讲·题型突破 ∵，∴，则， 又由于，∴，，，则，故B正确； ∵，∴，故C正确； 当，，时，可，故A错误； 当，，时，，故D错误. 1.(多选题)若，且，则下列各式一定成立的是( ) A. B. C. D. 命题预测 真题研析·精准预测 题型四：构造函数 【典例4-1】陕西咸阳·模拟预测)已知，则的大小为( ) A. B. C. D. ∵，， 设，则， ∴当时，单调递增；当时，单调递减； ∴，， 又∵，∴ 核心精讲·题型突破 题型突破 题型四：构造函数 【典例4-2】全国·模拟预测)若，，，则，，的大小顺 序为( )A. B. C. D. 构造函数，则，，， 由则在上单调递增，在上单调递减. ∴，∴；∵，∴； 令且，则， 令∴在上单调递增又， ∴，∴，∴，∴ 核心精讲·题型突破 题型突破 构造函数比大小是高考数学的重点题型，它可以从“形”与“数”两个角度入手解题。 “形”的构造：不等式两边的结构相似时，我们可以构建一个函数，通过分析这个函数 的单调性，进而根据 “若函数g(x)单调递增，则x1≥x2g(x1)≥g(x2)，； 若函数f(x)单调递减，则x1≥x2g(x1)≤g(x2)”判断 “数”的构造：观察到待比较式子间数与数的关系后，我们可据此构造函数. 题型四：构造函数 核心精讲·题型突破 题型突破 【变式4-1】[新考法]设函数，，在上的零点分别为，则的大小顺序为( ) A. B. C. D. ∵，∴， ， ∴ 在上单调递增 ∵∴ ，令， ∵ ，∴ 核心精讲·题型突破 ∵在内单调递增，则，即， 又∵在内单调递增， 则，，可得； 令，则，， 构建， 则， 可知在上递减，则，即； 综上所述： 1.已知，，，则( ) A. B. C. D. 命题预测 真题研析·精准预测 题型五：数形结合 【典例5-1】函数，，的零点分别为， ，，则，，，的大小顺序为( ) A. B. C. D. 令，即， 令，即， 令，即， 分别作出，，和的图象， 由图象可知：，∴ 核心精讲·题型突破 题型突破 题型五：数形结合 【典例5-2】实数满足，，， 则，，的大小为( ) A. B. C. D. 设，则， 在上单调递增，在上单调递减， 由条件可知， 且，，，故有， 如下图所示，作出函数简图，可知，由， 【解题技巧】转化为两函数图象交点的横坐标 核心精讲·题型突破 题型突破 【变式5-1】[新考法]已知函数设，则( ) A. B. C. D. ，则， ∴为奇函数，且在R单调递增，如图所示， 不妨设，设点， 则为，如图， ∴，∵， ∴， ∴，即 核心精讲·题型突破 由已知得，易知， 设直线：，作出，， 直线图象，如图：当时，，， 当时，，， ∴不可能成立， 1.若实数满足，则下列不等关系中不可能成立的是( ) A. B. C. D. 命题预测 真题研析·精准预测 题型六：特殊值法、估算法 【典例6-1】高三·四川·期中)已知、是函数图象上不同的两点，则( ) A. B. C. D. 由题意不妨设，∵是增函数，∴，即 ，则，A正确，B错误； 取 ， 取，， ， 核心精讲·题型突破 题型突破 题型六：特殊值法、估算法 估算要比较数值的大致范围， 从而判断其大小关系。 【典例6-2】已知，且，则( ) A. B. C. D. 反例为：， 此时 ∵，∴，函数为增函数， ∴，故，B正确， 当时，，C错误， 当时，，D错误. 核心精讲·题型突破 题型突破 【变式6-1】设，，，则( ) A. B. C. D. ∵， 59，， ∴，∴， ∴ 核心精讲·题型突破 ∵，∴，又，∴， ，则，， ∴，∴ 1.已知，，，则，，的大小关系是( ) A. B. C. D. 命题预测 真题研析·精准预测 题型七：放缩法 【典例7-1】高三·四川德阳·开学考试)已知，，， 比较的大小为( ) A. B. C. D. ，， ，即， ，且，， 又，∴，综上，， 核心精讲·题型突破 题型突破 【典例7-2】河南·模拟预测)已知，则的大小关系是( )A. B. C. D. 构造函数则∴在递增，在递减， 当时有； 令则，故在递增， ； 综上可得， 题型七：放缩法 核心精讲·题型突破 题型突破 题型七：放缩法 放缩法比较指对幂大小，关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值， 转化为更易比较的形式，如利用指数、对数的性质进行放缩，或结合均值不等式等。 需注意保持放缩方向的一致性，以确保比较结果的准确性。 核心精讲·题型突破 题型突破 1.已知，，则( ) A. B. C. D. ，， ， ，等号取不到，， ， ，， 令， ，单调递减且， ， ， 核心精讲·题型突破 题型八：同构法 【典例8-1】[新考法]已知，且，则 ( ) A. B. C. D.无法确定，的大小 当时，， 当时，， 在递减，在递增 又，， 当时恒成立， 故在上单调递增， 又，， ∴ 核心精讲·题型突破 题型突破 题型八：同构法 【典例8-2】高三·浙江绍兴·期末)已知， 则下列说法正确的是( ) A.当时， B.当时， C.当时， D.当时，大小不确定 ， 当时，，此时，即，故A错，B对， 当时，，此时，即，故A错，B对， 当时，，此时，即，故C，D错 ，， 核心精讲·题型突破 题型突破 题型八：同构法 同构法比较指对幂大小，核心在于构造相同结构的函数。通过变形使待比较式具 有相同函数形式，利用函数单调性或图像直观比较大小。关键在于准确识别并构造同 构函数，简化比较过程。 核心精讲·题型突破 题型突破 【变式8-1】高三·江西·期中)已知，则( ) A. B. C. D. 当时，，∵ ， 令，则，，由，得，由，得， 则在上递减，在上递增， 且时，，当时，， ∵，由，得，即，∴，选项C正确 ，则，即 ∵， ∴， 得 核心精讲·题型突破 令，显然在R上单调递增， 又，，为正数，∴，即，∴， 令，则在R上单调递增，又，即 ，∴， 综上可得 1.若正数，，满足 (e为自然对数底数)，则( ) A. B. C. D. 命题预测 真题研析·精准预测 重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法 【典例9-1】[新考法]若，则满足的大小关系式是( )A. B. C. D. 设，∴∴，即 设，， ∴在上递增，∴在上递增，， ∴当时，∴，而，∴，∴ 核心精讲·题型突破 题型突破 重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法 【典例9-2】已知，，，则( ) A. B. C. D. 利用帕德逼近，得， ，，综上， 帕德逼近估算法比较指对幂大小，即通过构造有理函数逼近原函数，利用逼近函数的性质来估计原函数值的大小，从而比较指对幂的大小。关键在于选择合适的逼近阶数，以确保逼近的精度和有效性。 核心精讲·题型突破 题型突破 【变式9-1】已知，则( ) A. B. C. D. 设，则，， ，计算得，故选 核心精讲·题型突破 ， 1.设，则( ) A. B. C. D. 命题预测 真题研析·精准预测 感 谢 观 看 THANK YOU $$