专题5.1 一元一次方程及其解法【十二大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（华东师大版2024）

专题5.1 一元一次方程及其解法【十二大题型】 【华东师大版2024】 【题型1 方程及方程的解】 1 【题型2 利用等式的性质判断正误】 2 【题型3 利用等式的性质解决天平中的问题】 2 【题型4 一元一次方程的同解问题】 3 【题型5 一元一次方程的整数解问题】 4 【题型6 一元一次方程的解与参数无关的问题】 4 【题型7 一元一次方程的遮挡问题】 5 【题型8 一元一次方程的错解问题】 5 【题型9 由两个一元一次方程的解之间的关系求求字母的值】 6 【题型10 由一元一次方程有解无解情况求字母的值】 7 【题型11 整体代入法求一元一次方程的解】 8 【题型12 解含绝对值的一元一次方程】 8 知识点1：方程及方程的解 （1）方程：含未知数的等式，叫方程（方程是含有未知数的等式，但等式不一定是方程）； （2）方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”. 【题型1 方程及方程的解】 【例1】（23-24七年级·吉林长春·期中）下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024秋·江西赣州·七年级统考期末）对于等式：，下列说法正确的是（   ） A．不是方程 B．是方程，其解只有2 C．是方程，其解只有0 D．是方程，其解有0和2 【变式1-2】（23-24七年级·四川达州·期末）解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级·福建福州·期末）“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为 知识点2：等式及其性质 （1）等式：用“=”号连接而成的式子叫等式； （2）等式的性质： 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等； 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等. 【题型2 利用等式的性质判断正误】 【例2】（23-24七年级·湖南长沙·期末）根据等式的基本性质，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-1】（23-24七年级·广东湛江·期末）已知等式，则下列等式中不成立的是 （   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级·四川达州·期末）如果，那么下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24七年级·云南红河·期末）已知，根据等式的性质，下列等式的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3 利用等式的性质解决天平中的问题】 【例3】（23-24七年级·河北保定·期末）如图，已知相同物体的质量相等，①中天平保持平衡状态，则②中天平（    ） A．能平衡 B．不能平衡，右边比左边低 C．不能平衡，左边比右边低 D．无法确定 【变式3-1】（2024·贵州贵阳·七年级末）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式3-2】（23-24七年级·北京房山·期末）有6个小正方体，它们的大小和颜色都相同，其中有5个小正方体的质量相等，有1个小正方体略重一点，可以利用天平进行实验操作探究，如果用最少的操作次数一定能找出这个质量略重的小正方体，那么最少的操作次数是（    ） A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 【变式3-3】（2024七年级·全国·专题练习）假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体.如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放（    ）个■． A．5 B．6 C．7 D．8 知识点3：一元一次方程 （1）一元一次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未 知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程. （2）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）. （3）一元一次方程解法的一般步骤： 化简方程----------分数基本性质； 去 分 母----------同乘（不漏乘）最简公分母； 去 括 号----------注意符号变化； 移 项----------变号（留下靠前）； 合并同类项--------合并后符号； 系数化为1---------除前面. 【题型4 一元一次方程的同解问题】 【例4】（23-24七年级·四川成都·期末）我们把解相同的两个方程称为同解方程．例如：方程：2x＝6与方程4x＝12的解都为x＝3，所以它们为同解方程． （1）若方程2x﹣3＝11与关于x的方程4x+5＝3k是同解方程，求k的值； （2）若关于x的方程x﹣2（x﹣m）＝4和﹣＝1是同解方程，求m的值． 【变式4-1】（23-24七年级·山东青岛·期末）若关于的方程和方程同解，则的值等于 ． 【变式4-2】（23-24七年级·山西晋城·期中）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式4-3】（23-24七年级·江苏泰州·期中） 已知方程是关于x的一元一次方程． (1)求a的值． (2)已知方程和上述方程同解，求m的值． 【题型5 一元一次方程的整数解问题】 【例5】（23-24七年级·四川达州·期末）若关于 的方程的解为整数，则整数 ． 【变式5-1】（23-24七年级·重庆南岸·开学考试）已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ． 【变式5-2】（23-24七年级·福建福州·期末）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则______； (2)若关于的方程是“立信方程”，请求出符合要求的正整数的值． 【变式5-3】（23-24七年级·云南普洱·期末）已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的积是（    ） A． B．4 C．6 D．3 【题型6 一元一次方程的解与参数无关的问题】 【例6】（23-24七年级·福建泉州·期末）已知为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是1，则 【变式6-1】（23-24七年级·福建福州·期中）已知关于的方程的解与无关，则的值是 ． 【变式6-2】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）如果m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，则 ． 【变式6-3】（23-24七年级·福建泉州·阶段练习）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【题型7 一元一次方程的遮挡问题】 【例7】（2024·广东佛山·三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·浙江杭州·一模）已知：，求代数式■的值． 圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了（“■”表示被墨水污染的数字）， (1)如果被污染的数字是4，请求出代数式的值； (2)如果计算结果等于，求被污染的数字． 【变式7-2】（23-24七年级·全国·单元测试）小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了（“”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 ，于是他把被污染的数字求了出来，这个被墨水污染的数字是 ． 【变式7-3】（23-24七年级·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【题型8 一元一次方程的错解问题】 【例8】（23-24七年级·贵州毕节·期末）某人在解方程去分母时，方程右边的忘记乘以，算得方程的解为，则此方程的解为 ． 【变式8-1】（23-24七年级·河南郑州·期末）将方程的两边同除以，得，其错误的原因是（    ） A．方程本身是错的 B．方程无解 C．不能确定的值是否为 D．小于 【变式8-2】（23-24七年级·山东滨州·期末）小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 【变式8-3】（23-24七年级·北京门头沟·期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： 解方程． 解： …第①步 ……第②步 ……第③步 ……第④步    …………第⑤步 ．  ………第⑥步 乙同学： 解方程． 解：   …第①步 ……第②步 ……第③步 ……第④步 …………第⑤步 ． ………第⑥步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． （1）我选择________同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）； （2）该同学的解答过程从第________步开始出现错误（填序号）；错误的原因是__________________________________； （3）请写出正确的解答过程． 【题型9 由两个一元一次方程的解之间的关系求求字母的值】 【例9】（23-24七年级·黑龙江大庆·期末）关于x的方程的解是的解的2倍，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24七年级·河南许昌·期末）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求k的值． 【变式9-2】（23-24七年级·重庆·阶段练习）已知关于的方程的解比方程的解大2，求的值． 【变式9-3】（23-24七年级·福建莆田·阶段练习）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． (1)请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”， (2)若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值； 【题型10 由一元一次方程有解无解情况求字母的值】 【例10】（23-24七年级·河南洛阳·期末）关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求的值； (2)根据方程解的定义试说明关于t的方程有无数解． 【变式10-1】（23-24七年级·上海长宁·期末）如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是 ． 【变式10-2】（23-24七年级·湖南湘西·阶段练习）阅读下列分析过程，并解答问题． 一元一次方程 ①当时，方程有唯一解； ②当时，方程无解； ③当，时，方程有无数解． 根据上面的方法， (1)当满足唯一解、无解时，求m的值； (2)满足无数解时，求m、n的值． 【变式10-3】（23-24七年级·广东广州·期末）（多选题）关于x的方程（a，b为常数），下列说法正确的是（    ） A．当时，该方程有唯一解 B．当，时，该方程有无数解 C．当，时，该方程有无数解 D．当，时，该方程无解 【题型11 整体代入法求一元一次方程的解】 【例11】（23-24七年级·福建泉州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24七年级·福建福州·期中）已知关于x的一元一次方程x+1＝2x+m的解为x＝﹣4，那么关于y的一元一次方程（y﹣2）+1＝2（y﹣2）+m的解为 ． 【变式11-2】（23-24七年级·浙江温州·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为．那么关于的一元一次方程的解为 ． 【变式11-3】（23-24七年级·山西吕梁·阶段练习）已知关于x的一元一次方程 的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【题型12 解含绝对值的一元一次方程】 【例12】（23-24七年级·全国·假期作业）满足方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4的有理数x有多少个（　　） A．1 B．2 C．3 D．无数 【变式12-1】（2024七年级·全国·专题练习）求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了，比如求解：．解：当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得．所以原方程的解是或．请你依据上面的方法求解方程：，则得到的解为 ． 【变式12-2】（2024春·上海浦东新·七年级上海中学东校校考期中）解关于的方程：． 【变式12-3】（2024秋·山东德州·七年级统考阶段练习）若关于x的方程4m－3x＝1的解满足2︱x-2︱-1=3，则m的值为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 一元一次方程及其解法【十二大题型】 【华东师大版2024】 【题型1 方程及方程的解】 1 【题型2 利用等式的性质判断正误】 3 【题型3 利用等式的性质解决天平中的问题】 5 【题型4 一元一次方程的同解问题】 7 【题型5 一元一次方程的整数解问题】 10 【题型6 一元一次方程的解与参数无关的问题】 12 【题型7 一元一次方程的遮挡问题】 15 【题型8 一元一次方程的错解问题】 17 【题型9 由两个一元一次方程的解之间的关系求求字母的值】 20 【题型10 由一元一次方程有解无解情况求字母的值】 22 【题型11 整体代入法求一元一次方程的解】 24 【题型12 解含绝对值的一元一次方程】 26 知识点1：方程及方程的解 （1）方程：含未知数的等式，叫方程（方程是含有未知数的等式，但等式不一定是方程）； （2）方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”. 【题型1 方程及方程的解】 【例1】（23-24七年级·吉林长春·期中）下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，解题的关键是依据方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．方程有两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）． 【详解】解：A、不是等式，故不是方程，不符合题意； B、是方程，符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、不含有未知数，故不是方程，不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（2024秋·江西赣州·七年级统考期末）对于等式：，下列说法正确的是（   ） A．不是方程 B．是方程，其解只有2 C．是方程，其解只有0 D．是方程，其解有0和2 【答案】D 【分析】根据方程的定义及方程解的定义可判断选项的正确性．方程就是含有未知数的等式，方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：|x-1|+2=3符合方程的定义，是方程， （1）当x≥1时，x-1+2=3，解得x=2； （2）当x＜1时，1-x+2=3，解得x=0． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了方程的定义及方程解的定义，关键在于讨论x的取值情况，从而通过解方程确定方程的解． 【变式1-2】（23-24七年级·四川达州·期末）解为的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，注意掌握方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值． 将代入各方程，能满足左边=右边的，即是正确选项． 【详解】解：A、将代入，左边，右边，左边右边，故本选项错误； B、将代入，左边，右边，左边右边，故本选项错误； C、将代入，左边，右边，左边=右边，故本选项正确； D、将代入，左边，右边，左边右边，故本选项错误； 故选：C． 【变式1-3】（23-24七年级·福建福州·期末）“的倍与的和等于的与的差”，用等式表示为 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程；的倍与的和可以表示为，的与的差可以表示为 ，由两个代数式相等，即可列出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意，得， 故答案为：． 知识点2：等式及其性质 （1）等式：用“=”号连接而成的式子叫等式； （2）等式的性质： 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等； 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等. 【题型2 利用等式的性质判断正误】 【例2】（23-24七年级·湖南长沙·期末）根据等式的基本性质，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，掌握性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，是解题的关键． 根据等式的性质解答． 【详解】解：A、当时，等式不成立，故本选项错误． B、的两边同时乘以3，等式才成立，即，故本选项错误． C、的两边同时除以m，只有时等式才成立，即，故本选项错误． D、的两边同时减去m，等式仍成立，即，故本选项正确． 故选：D． 【变式2-1】（23-24七年级·广东湛江·期末）已知等式，则下列等式中不成立的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立． 根据等式的性质解答． 【详解】A、∵， ∴，故该项不符合题意； B、∵， ∴，故该项不符合题意； C、∵， ∴，故该项符合题意； D、∵， ∴，故该项不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】（23-24七年级·四川达州·期末）如果，那么下列等式中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题的关键． 根据等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立；等式两边同时乘方或开方，等式依然成立；等式具有传递性，即可求解． 【详解】解：∵， ∴根据等式的性质可得， A、，成立，不符合题意； B、，成立，不符合题意； C、，成立，不符合题意； D、当时，成立，但得不到，原选项错误，不符合题意； 故选：D ． 【变式2-3】（23-24七年级·云南红河·期末）已知，根据等式的性质，下列等式的变形中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：、由可得，原选项正确，不符合题意； 、由可得，原选项正确，不符合题意； 、由可得，原选项错误，符合题意； 、由，可得，原选项正确，不符合题意； 故选：． 【题型3 利用等式的性质解决天平中的问题】 【例3】（23-24七年级·河北保定·期末）如图，已知相同物体的质量相等，①中天平保持平衡状态，则②中天平（    ） A．能平衡 B．不能平衡，右边比左边低 C．不能平衡，左边比右边低 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质．分别将三个图形的质量用字母表示，根据①写出一个等式并利用等式的基本性质2求得两种不同图形的质量关系，再根据等式的基本性质1得到关于天平两边质量的一个等式，从而判断即可． 【详解】解：设□的质量是a，△的质量是b，〇的质量是c． 根据①，得． 根据等式的基本性质2，将两边同时除以2，得； 根据等式的基本性质1，将两边同时加上，得； ∵②中天平左侧的质量为，右侧的质量为， ∴左侧的质量右侧的质量， ∴②中天平能平衡， 故选：A． 【变式3-1】（2024·贵州贵阳·七年级末）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案． 【详解】解：由图形可得如果，那么， 故选：A． 【变式3-2】（23-24七年级·北京房山·期末）有6个小正方体，它们的大小和颜色都相同，其中有5个小正方体的质量相等，有1个小正方体略重一点，可以利用天平进行实验操作探究，如果用最少的操作次数一定能找出这个质量略重的小正方体，那么最少的操作次数是（    ） A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 【答案】B 【分析】此题考查了等式的性质，把6个小正方体分成3组，每组2个，再根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：把6个小正方体分成3组，每组2个，第一次，把其中两组分别放在天平的两端，若天平平衡，则质量略重的小正方体在未称的2个中，若天平不平衡，则质量略重的小正方体在较重的2个中；第二次，把含有质量略重的小正方体的2个分别放在天平的两端，天平不平衡，则较重的1个就是质量略重的小正方体．所以用最少的操作次数一定能找出这个质量略重的小正方体，那么最少的操作次数是2次． 故选：B 【变式3-3】（2024七年级·全国·专题练习）假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体.如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放（    ）个■． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据前两架天平保持平衡，可得：1个三角形等于1个圆加1个正方形，2个圆等于1个三角形和1个正方形，所以2个圆等于1个圆加2个正方形，据此推得1个圆＝2个正方形，所以要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放6个■． 【详解】解：∵1个▲＝1个●+1个■，2个●＝1个▲+1个■， ∴2个●＝（1个●+1个■）+1个■＝1个●+2个■， ∴1个●＝2个■， ∴3个●＝6个■， ∴如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放6个■． 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质，根据图得出三者之间的关系式是解题的关键． 知识点3：一元一次方程 （1）一元一次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未 知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程. （2）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）. （3）一元一次方程解法的一般步骤： 化简方程----------分数基本性质； 去 分 母----------同乘（不漏乘）最简公分母； 去 括 号----------注意符号变化； 移 项----------变号（留下靠前）； 合并同类项--------合并后符号； 系数化为1---------除前面. 【题型4 一元一次方程的同解问题】 【例4】（23-24七年级·四川成都·期末）我们把解相同的两个方程称为同解方程．例如：方程：2x＝6与方程4x＝12的解都为x＝3，所以它们为同解方程． （1）若方程2x﹣3＝11与关于x的方程4x+5＝3k是同解方程，求k的值； （2）若关于x的方程x﹣2（x﹣m）＝4和﹣＝1是同解方程，求m的值． 【答案】（1）k的值为11；（2）m＝2 【分析】（1）先求出方程2x﹣3＝11的值，再把x的值代入方程4x+5＝3k中，然后进行计算即可得出k的值； （2）解方程x﹣2(x﹣m)＝4，用含m的代数式表示出x，代入﹣＝1即可求m的值． 【详解】解：（1）2x﹣3＝11，解得x＝7， ∵方程2x﹣3＝11与关于x的方程4x+5＝3k是同解方程， ∴把x＝7代入方程4x+5＝3k，得28+5＝3k， 解得k＝11， ∴k的值为11； （2）∵x﹣2(x﹣m)＝4， ∴x＝2m﹣4， ∵方程x﹣2(x﹣m)＝4和﹣＝1是同解方程， ∴， ∴3(3m﹣4)﹣2(2m﹣4)＝6， ∴m＝2． 【点睛】本题考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化． 【变式4-1】（23-24七年级·山东青岛·期末）若关于的方程和方程同解，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先根据题意，得，再把代入，即可求出的值作答． 【详解】解：∵关于的方程和方程同解， ∴由解得 则把代入， 得 解得 故答案为： 【变式4-2】（23-24七年级·山西晋城·期中）若方程与关于的方程的解相同，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同解方程，解一元一次方程，首先解出x的值，再代入方程求出a的值即可． 【详解】解：解方程，得：， 方程与关于的方程的解相同， 将代入方程中， 得到， 解得：， 故选：A． 【变式4-3】（23-24七年级·江苏泰州·期中） 已知方程是关于x的一元一次方程． (1)求a的值． (2)已知方程和上述方程同解，求m的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了一元一次方程的定义及解一元一次方程： （1）根据一元一次方程的定义得且，进而可求解； （2）先解方程，再根据方程同解的意义，将其解代入即可求解； 熟练掌握一元一次方程的定义及方程同解的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意得： 且， 解得：且， ． （2）， 整理得：， 即：， 解得：， 由（1）得：， 将其代入得：， 方程和方程同解， ， 解得：． 【题型5 一元一次方程的整数解问题】 【例5】（23-24七年级·四川达州·期末）若关于 的方程的解为整数，则整数 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了根据一元一次方程的解求参数，先解一元一次方程，得到，根据一元一次方程的解为整数且为整数，可得或或或，据此即可求解，掌握求出一元一次方程的解是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， ∴， ∵关于 的方程的解为整数，且为整数， ∴或或或， ∴或或或， 故答案为：或或或． 【变式5-1】（23-24七年级·重庆南岸·开学考试）已知关于的方程的解为偶数，则整数的所有可能的取值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程的解，首先将该方程的解表示出来，然后根据该方程的解为偶数，分情况进行讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∴ ∵关于的方程的解为偶数， ∴为偶数， ∵为整数， ∴或， ∴或或或， ∴所有可能的取值的和为， 故答案为：． 【变式5-2】（23-24七年级·福建福州·期末）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”． (1)若“立信方程”的解也是关于的方程的解，则______； (2)若关于的方程是“立信方程”，请求出符合要求的正整数的值． 【答案】(1)3 (2)符合要求的正整数的值为4，6，18． 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．理解并掌握方程的解的定义，“立信方程”的定义，是解题的关键． （1）先求出的解，再将方程的解代入，求出的值即可； （2）求出方程的解，根据方程是“立信方程”得到方程的解为整数，进行求解即可． 【详解】（1）， 解得：， 的解也是关于的方程的解， ，解得：； 故答案为：3； （2）， 解得：， 是“立信方程”， 是整数， 或， 解得：或或（不合题意，舍去）或， 符合要求的正整数的值为4，6，18． 【变式5-3】（23-24七年级·云南普洱·期末）已知关于的方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的积是（    ） A． B．4 C．6 D．3 【答案】A 【分析】先求的解，再根据解是正整数，分类计算，本题考查了解方程，根据方程的解特殊性求值，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】∵， 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1 得， ∵方程的解是正整数， ∴， 解得， 故， 故选A． 【题型6 一元一次方程的解与参数无关的问题】 【例6】（23-24七年级·福建泉州·期末）已知为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是1，则 【答案】 【分析】本题考查方程解的定义，求代数式的值；熟练运用方程解的定义及由k可以取任何值得到a和b的值是解题的关键．把代入已知等式，得到，整理为的形式，令，由此求得，进而求得a、b的值，代入求值即可． 【详解】解：把代入方程，得： ，即， 整理得：， 无论m为何值，它的解总是1， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 【变式6-1】（23-24七年级·福建福州·期中）已知关于的方程的解与无关，则的值是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将原方程变形为，再根据关于x的方程的解与k无关，则，，分别表示m，n关于x的等式，代入求值即可． 【详解】解：， ， ∵关于x的方程的解与k无关， ，则， ，， ， 故答案为：12． 【变式6-2】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）如果m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，先解方程得到，再由关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，得到当时，关于k的方程有无数解，则，据此求出m、n的值，再代值计算即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得： ∵关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-3】（23-24七年级·福建泉州·阶段练习）若不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键；将代入中，化简得到，由不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是可知，k的值对方程没有影响，即可得到，求解即可； 【详解】不论k取什么数，关于x的方程（a、b是常数）的解总是， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【题型7 一元一次方程的遮挡问题】 【例7】（2024·广东佛山·三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解．设被污染的常数■是a，把代入计算即可求出a的值． 【详解】解：设被污染的常数■是a， 把代入，得：， 解得， 故选A． 【变式7-1】（2024·浙江杭州·一模）已知：，求代数式■的值． 圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了（“■”表示被墨水污染的数字）， (1)如果被污染的数字是4，请求出代数式的值； (2)如果计算结果等于，求被污染的数字． 【答案】(1) (2)被污染的数字为 【分析】（1）把代入计算即可； （2）设被污染的数字为，把代入后结果为，列方程计算即可． 【详解】（1）∵被污染的数字是4， ∴把代入得； （2）设被污染的数字为， ∵计算结果等于， ∴把代入后结果为， 即， 解得 即被污染的数字为． 【点睛】此题主要考查了代数式求值，准确的代入求值是解题关键． 【变式7-2】（23-24七年级·全国·单元测试）小强的练习册上有一道方程题，其中一个数字被墨水污染了，成了（“”表示被污染的数字），他翻了书后的答案，知道这个方程的解为 ，于是他把被污染的数字求了出来，这个被墨水污染的数字是 ． 【答案】 【分析】本题重点考查了一元一次方程的解法以及方程的解的意义，本题的关键是掌握一元一次方程的基本解法．知道方程的解，根据方程的解的意义，把方程的解代入到原方程中，从而得到一个新的方程，再求解即可． 【详解】解：是方程的解， ， 解得：， 故答案为：． 【变式7-3】（23-24七年级·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“■”中的常数被“■”遮挡． (1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值； (2)老师说此方程的解与方程的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？ 【答案】(1) (2)遮挡的常数是19 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据题意得出方程，然后解方程即可； （2）先解方程得出，设遮挡的常数为a，然后把代入方程得，求出a的值即可． 解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：由题意得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 设遮挡的常数为a， 把代入方程得， 解得． 故遮挡的常数是19． 【题型8 一元一次方程的错解问题】 【例8】（23-24七年级·贵州毕节·期末）某人在解方程去分母时，方程右边的忘记乘以，算得方程的解为，则此方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，由题意可得，是方程的解，据此求出的值，再把的值代入方程，解方程即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，是方程的解， ∴， ∴， 解得， ∴方程为， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， ∴此方程的解为， 故答案为：． 【变式8-1】（23-24七年级·河南郑州·期末）将方程的两边同除以，得，其错误的原因是（    ） A．方程本身是错的 B．方程无解 C．不能确定的值是否为 D．小于 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，求出方程的解，得到，即可得到错误的原因，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程两边同时除以了，无意义， ∴错误的原因是不能确定的值是否为， 故选：． 【变式8-2】（23-24七年级·山东滨州·期末）小滨在解方程时，误将看成了，解得方程的解是，则原方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，根据题意得是方程的解，据此把代入方程中求出a的值进而解方程即可． 【详解】解：由题意得，是方程的解， ∴， ∴， ∴， ∴原方程为 整理得：， 解得， 故答案为：． 【变式8-3】（23-24七年级·北京门头沟·期末）学习了一元一次方程的解法后，老师布置了这样一道计算题，甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： 解方程． 解： …第①步 ……第②步 ……第③步 ……第④步    …………第⑤步 ．  ………第⑥步 乙同学： 解方程． 解：   …第①步 ……第②步 ……第③步 ……第④步 …………第⑤步 ． ………第⑥步 老师发现这两位同学的解答过程都有错误．请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． （1）我选择________同学的解答过程进行分析（填“甲”或“乙”）； （2）该同学的解答过程从第________步开始出现错误（填序号）；错误的原因是__________________________________； （3）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）甲；（2）②，去分母时这一项没有加括号；（3）解答过程见解析． 【分析】（1）直接选择即可； （2）按照自己的选择逐步查看，第几步开始错误填序号即可； （3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1即可求解． 【详解】解：（1）甲； （2）②，去分母时这一项没有加括号； （3）．    ． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的求解，属于基础题，要有一定的运算求解能力，熟练掌握一元一次方程的求解步骤是解决此题的关键． 【题型9 由两个一元一次方程的解之间的关系求求字母的值】 【例9】（23-24七年级·黑龙江大庆·期末）关于x的方程的解是的解的2倍，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值． 【详解】解：方程4x-2m=3x-1， 解得：x=2m-1， 方程x=2x-3m， 解得：x=3m， 根据题意得：2m-1=6m， 解得：m=-． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【变式9-1】（23-24七年级·河南许昌·期末）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先分别解两个方程得到，，再根据相反数的定义得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：解方程得， 解方程得， ∵关于x的方程的解与方程的解互为相反数， ∴， 解得． 【变式9-2】（23-24七年级·重庆·阶段练习）已知关于的方程的解比方程的解大2，求的值． 【答案】6 【分析】先求得关于的方程的解，依此可得关于的方程的解，然后代入可得关于的方程，通过解该方程求得值即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并得， ∵关于的方程的解比关于的方程的解大2， ∴关于的方程的解为， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． 【变式9-3】（23-24七年级·福建莆田·阶段练习）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． (1)请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”， (2)若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值； 【答案】(1)是，过程见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据“m差解方程”的定义解答即可； （2）根据定义列出方程关于m，n的方程，再去掉绝对值，并求解． 【详解】（1）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 所以这两个方程是“2差解方程”； （2）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 整理，得， 由m为正数， 得或， 解得或； 【题型10 由一元一次方程有解无解情况求字母的值】 【例10】（23-24七年级·河南洛阳·期末）关于x的方程的解与的解互为相反数． (1)求的值； (2)根据方程解的定义试说明关于t的方程有无数解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查一元一次方程的解，结合已知条件求得的值是解题的关键． （1）根据一元一次方程解的意义求得的值后代入中计算即可； （2）结合（1）中所求，根据一元一次方程解的意义即可得出结论． 【详解】（1）解：解方程得：， ∵两个方程的根互为相反数， ∴另一个方程的根为， 把代入方程， 得：， 解这个方程得：， ∴． （2）解：∵， ∴可化为， ∵任何数代入均成立， ∴关于t的方程有无数解． 【变式10-1】（23-24七年级·上海长宁·期末）如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题时要能熟练掌握并理解． 依据题意，由一次方程无解，从而，故可得解． 【详解】解：由题意，∵无解， ， ， 故答案为：． 【变式10-2】（23-24七年级·湖南湘西·阶段练习）阅读下列分析过程，并解答问题． 一元一次方程 ①当时，方程有唯一解； ②当时，方程无解； ③当，时，方程有无数解． 根据上面的方法， (1)当满足唯一解、无解时，求m的值； (2)满足无数解时，求m、n的值． 【答案】(1)时有唯一解；时，无解； (2)且． 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程． （1）将方程转化为，根据题干给出的方法，求解即可； （2）根据题意，得到，，求解即可． 理解并掌握题干中的解题方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：将方程整理得：， ①当方程无解时： ②当方程有唯一解时： ； （2）由题意，得：当方程有无数解时：且 ∴，． 【变式10-3】（23-24七年级·广东广州·期末）（多选题）关于x的方程（a，b为常数），下列说法正确的是（    ） A．当时，该方程有唯一解 B．当，时，该方程有无数解 C．当，时，该方程有无数解 D．当，时，该方程无解 【答案】ACD 【分析】本题考查一元一次参数方程解的情况，先化简为最简式，根据，方程有无数解，，方程有唯一解，，方程无解，逐个判断即可得到答案； 【详解】解：原方程变形得， ， ∴当，，方程有无数解， 即，时方程有无数解， 当，，方程有无数解， 即，时方程有唯一解， 当，，方程有无数解， 即，时方程无解， 故选：ACD． 【题型11 整体代入法求一元一次方程的解】 【例11】（23-24七年级·福建泉州·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程．把关于的一元一次方程两边同时乘得：，然后根据关于的一元一次方程的解为，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解，关于的一元一次方程两边同时乘得： ， ， 关于的一元一次方程的解为， ，即， 解得：， 故选：C． 【变式11-1】（23-24七年级·福建福州·期中）已知关于x的一元一次方程x+1＝2x+m的解为x＝﹣4，那么关于y的一元一次方程（y﹣2）+1＝2（y﹣2）+m的解为 ． 【答案】y＝-2 【分析】根据两个方程的形式特点即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程x+1＝2x+m的解为x＝﹣4， 令y-2=x， ∴关于y的一元一次方程（y﹣2）+1＝2（y﹣2）+m的解为y-2=x=-4 ∴y＝-2． 故答案为：y＝-2． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的解，掌握整体思想在本题中的应用是解题关键． 【变式11-2】（23-24七年级·浙江温州·阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为．那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，方程的解，根据题意，得到方程的解为，进一步求解即可． 【详解】解：∵方程的解为， ∴方程的解为， 解得：． 故答案为：． 【变式11-3】（23-24七年级·山西吕梁·阶段练习）已知关于x的一元一次方程 的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程的拓展，掌握解一元一次方程的一般步骤和换元法是解题的关键．令，则可化为，从而得到，继而得解． 【详解】解：令， 则可化为， ∵关于x的一元一次方程 的解为， ∴的解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【题型12 解含绝对值的一元一次方程】 【例12】（23-24七年级·全国·假期作业）满足方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4的有理数x有多少个（　　） A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】D 【分析】分情况讨论x﹣1，x﹣2，x﹣3与0的关系，根据不同情况列方程求解方程即可得到x的值． 【详解】当x﹣1≥0，x﹣2≥0，x﹣3＜0时， x﹣1﹣2（x﹣2）+3（3﹣x）＝4， x＝2， 当x﹣1≥0，x﹣2≥0，x﹣3＞0时， x﹣1﹣2（x﹣2）+3（x﹣3）＝4， x＝5， 当x﹣1≥0，x﹣2＜0，x﹣3＜0时， x﹣1﹣2（2﹣x）+3（3﹣x）＝4 原方程有无数解， 当x﹣1≤0，x﹣2＜0，x﹣3＜0时， 1﹣x﹣2（2﹣x）+3（3﹣x）＝4， x＝1， ∴满足方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4的有理数x有无数个． 故选：D． 【点睛】此题考查去绝对值的基本思路，涉及到到列一元一次方程解方程，难度一般，关键是分情况讨论． 【变式12-1】（2024七年级·全国·专题练习）求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了，比如求解：．解：当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得．所以原方程的解是或．请你依据上面的方法求解方程：，则得到的解为 ． 【答案】或/或 【分析】根据分类讨论思想去掉绝对值，然后按照一元一次方程的解法解方程即可 【详解】解：， 或， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了含绝对值一元一次方程的解法，能够采用分类讨论思想去掉绝对值是解题的关键 【变式12-2】（2024春·上海浦东新·七年级上海中学东校校考期中）解关于的方程：． 【答案】①当时，原方程的解为：或；②当时，原方程无解． 【分析】依据题意，对a进行分类讨论，然后化简绝对值可以得解． 【详解】解：由题意得，， ①当时，即， 由绝对值的意义得，或， ∴或； ②当时，即， 由题意，又， ∴此时方程无解． 综上所述：①当时，原方程的解为：或；②当时，原方程无解． 【点睛】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程，正确分类讨论是解题关键． 【变式12-3】（2024秋·山东德州·七年级统考阶段练习）若关于x的方程4m－3x＝1的解满足2︱x-2︱-1=3，则m的值为 【答案】m=或 【分析】本题须先求出x的值，然后把x的值代入原方程，即可求出m的值． 【详解】∵2|x-2|-1=3， ∴|x-2|=2， ∴x-2=±2， ∴x=4或x=0， 把x=4代入方程4m－3x＝1得： 4m-12=1， m=， 把x=0代入方程4m－3x＝1得： 4m=1， m=， ∴m=或m= 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，在解题时要注意分两种情况进行讨论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $