第03讲 平面向量基本定理及坐标表示（寒假预科讲义）-2025年高一数学举一反三系列寒假精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第03讲 平面向量基本定理及坐标表示 【人教A版2019】 模块一 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路： 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【题型1 基底的概念及辨析】 【例1.1】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例1.2】（23-24高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知､是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【题型2 用基底表示向量】 【例2.1】（23-24高一下·河北·期中）在中，为边上的中点，是上靠近的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一下·山东临沂·期中）如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）在中，点D是AB的中点，.设，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（    ）． A． B． C． D． 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 【例3.1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，在中，已知，P为上一点，且满足，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知在梯形中，，，，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3.1】（23-24高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 平面向量基本定理的应用】 【例4.1】（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【例4.2】（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【变式4.1】（23-24高一下·山东威海·阶段练习）在中，，，，是内一点，，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 模块二 平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . 4．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 【例5.1】（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例5.2】（23-24高一下·天津红桥·期中）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）已知，，，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【变式5.2】（23-24高一下·全国·课后作业）已知向量，，若满足，则（　　） A． B． C． D． 【题型6 平面向量数量积的坐标表示】 【例6.1】（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知向量，，若向量在向量时上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．1 【例6.2】（23-24高一下·陕西安康·期中）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【变式6.1】（23-24高一下·山东临沂·期中）向量，则（    ） A．19 B．18 C．17 D．16 【变式6.2】（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如果平面向量，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量为 【题型7 向量共线、垂直的坐标表示】 【例7.1】（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，若，则m的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【例7.2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．0 C． D．2 【变式7.1】（23-24高一下·陕西安康·期中）已知向量，.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量，，若向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 【题型8 向量坐标运算与平面几何的交汇】 【例8.1】（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8.2】（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角中，斜边，点在以BC为直径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B．8 C． D．12 【变式8.1】（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【变式8.2】（23-24高二上·上海黄浦·期中）在中，，，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；    ②的最小值为； ③的最大值为；    ④的最大值为10. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 一、单选题 1．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 3．（23-24高一下·全国·课后作业）若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）在中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量，，则是向量与向量共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高一下·广东广州·期中）已知向量，.若，则（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·北京海淀·期末）已知向量，，则（   ） A．0 B． C． D． 8．（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（    ） A．3 B． C．7 D． 二、多选题 9．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（2024·湖北·模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的值为 B．若，则的值为 C．若，则与的夹角为锐角 D．若，则 11．（23-24高一下·贵州·期中）在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与的面积之比为 三、填空题 12．（23-24高一下·河南漯河·期中）已知向量，若与互相垂直，则 . 13．（24-25高一下·山东·阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 14．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为 . 四、解答题 15．（23-24高一下·全国·单元测试）已知，，求： (1)； (2). 16．（23-24高一下·河南南阳·期中）如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，.    (1)设，，用，表示向量； (2)求证：M，N，C三点共线. 17．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知，，是同一平面内的三个向量，． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角． 18．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知向量，，． (1)求的最小值及相应t的值； (2)若与共线，求与的夹角． 19．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，. (1)当时，用，表示，； (2)若，求实数的值； (3)求的取值范围. 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 平面向量基本定理及坐标表示 【人教A版2019】 模块一 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数， ，使.若，不共线，我们把{，}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底{，}的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路： 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【题型1 基底的概念及辨析】 【例1.1】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断. 【解答过程】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 【例1.2】（23-24高一下·山西·阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量基底的定义，结合平面向量共线定理逐一判断即可. 【解答过程】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得 ， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C. 【变式1.1】（23-24高一下·湖南邵阳·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，因为不共线， 且都是非零向量，所以A符合题意； 对于B，因为，所以与共线，故B不符合题意； 对于C，因为为零向量，所以C不符合题意； 对于D，因为，所以与共线，所以D不符合题意； 故选：A. 【变式1.2】（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知､是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【解题思路】根据基底向量的定义，结合共线向量的判定定理逐项分析判断. 【解答过程】因为､是平面内所有向量的一组基底，则､不共线， 对于选项A：若、共线，则， 可得，无解， 所以、不共线，可以作为基底向量，故A错误； 对于选项B：因为， 可知和共线，不能作为基底向量，故B正确； 对于选项C：若、共线，则， 可得，无解， 所以、不共线，可以作为基底向量，故C错误； 对于选项D：若、共线，则， 可得，无解， 所以、不共线，可以作为基底向量，故D错误； 故选：B. 【题型2 用基底表示向量】 【例2.1】（23-24高一下·河北·期中）在中，为边上的中点，是上靠近的四等分点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据几何关系，转化向量，用基底表示. 【解答过程】因为， 由已知可得，，所以， 所以． 故选：A. 【例2.2】（23-24高一下·山东临沂·期中）如图，平行四边形中，是的中点，在线段上，且，记，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】取，作为基底，把 用基底表示出来，利用向量的减法即可表示出. 【解答过程】取，作为基底，因为是中点，则. 因为，所以， 所以. 故选：D. 【变式2.1】（23-24高一下·贵州六盘水·期中）在中，点D是AB的中点，.设，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算，即可求得答案. 【解答过程】由题意，点D是AB的中点，，可得，， 则 ， 故选：A. 【变式2.2】（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，点D为边BC上一点，且，设，，试用，表示（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量的线性运算即可求解． 【解答过程】由题意，画出图象如下： 可得． 故选：D． 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 【例3.1】（23-24高一下·陕西渭南·期末）如图，在中，已知，P为上一点，且满足，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据三点共线可得，且，结合题意可得，根据平面向量基本定理列式求解即可. 【解答过程】因为三点共线，则，且， 又因为，即，则， 且，则，解得. 故选：A. 【例3.2】（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知在梯形中，，，，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】证明可得，然后根据平面向量线性运算可得. 【解答过程】因为，所以， 所以，所以， 所以 ， 所以，. 故选：A. 【变式3.1】（23-24高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，若，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据平面向量基本定理结合题意将用表示，从而可求出，进而可求得答案. 【解答过程】因为在正方形中，为的中点，为的中点， 所以 ， 因为，所以， 所以. 故选：C. 【变式3.2】（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，，，与交于点.设，，若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据、三点共线，可得、，利用平面向量线性运算的应用将表示，由此可得方程组求得，进而得到的值. 【解答过程】连接，如图， 因为三点共线，设，则， 所以； 因为三点共线，设，则， 所以， 则，解得，所以， 则，所以. 故选：D. 【题型4 平面向量基本定理的应用】 【例4.1】（23-24高一下·四川乐山·期中）如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【解题思路】利用三角形重心性质，得，再由平面向量基本定理设，即，对照系数，得，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得的最小值. 【解答过程】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 【例4.2】（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知，是平面内的一组基底，，，，若，，三点共线，则实数的值为（    ） A．9 B．13 C．15 D．18 【解题思路】先求出，然后由，，三点共线，设，再列方程组求解即可. 【解答过程】因为，，， 所以， ， 又因为，，三点共线， 所以设，即， 所以，解得，． 故选：C． 【变式4.1】（23-24高一下·山东威海·阶段练习）在中，，，，是内一点，，设，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的加法运算法则，结合共线关系，即可得求解. 【解答过程】如图:过作，故, 由于，，，不妨设，则， 故， 结合可得，故， 故选：D. 【变式4.2】（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的最小值为（    ）    A．5 B．9 C． D． 【解题思路】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到，再利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】因为是的中点，则 ， 、、三点共线， ， ， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：D．    模块二 平面向量的坐标表示 1．平面向量的正交分解及坐标表示 (1)正交分解 不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. (2)向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，，取{，}作为基 底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)①.其中x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，=(1,0)，=(0,1)，=(0,0). (3)点的坐标与向量的坐标的关系 区 别 表示形 式不同 向量=(x,y)中间用等号连接，而点A(x,y)中间没有等号. 意义 不同 点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x,y)或向量(x,y). 联系 向量的坐标与其终点的坐标不一定相同.当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 2．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=( +)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)= +++.又=1，=1，==0，所以=+. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||= . 4．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用 坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， ​​​​​​​ 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设，都是非零向量，=(,)，=(,)，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得==. (3)垂直的坐标表示 设=(,)，=(,)，则+=0. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 【例5.1】（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】由平面向量加法的坐标运算求解即可． 【解答过程】已知向量，， 则，解得． 故选：B． 【例5.2】（23-24高一下·天津红桥·期中）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接利用向量的坐标运算计算即可. 【解答过程】因为向量，，所以. 故选：C. 【变式5.1】（23-24高一下·辽宁抚顺·期末）已知，，，若，则（    ） A． B． C．5 D．6 【解题思路】利用向量的线性运算的坐标表示求出，再根据相等，建立关于的等式求解． 【解答过程】解：，， ， ， ， 解得：， 故选：C． 【变式5.2】（23-24高一下·全国·课后作业）已知向量，，若满足，则（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量线性运算的坐标运算直接得解. 【解答过程】因为，，且满足， 所以， 故选：A. 【题型6 平面向量数量积的坐标表示】 【例6.1】（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知向量，，若向量在向量时上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．1 【解题思路】根据投影向量的概念列式，化简得到，结合、的坐标建立关于的方程，解出值，进而求出的值． 【解答过程】根据题意，可得，可得， 因为，，所以，解得，可得． 故选：D． 【例6.2】（23-24高一下·陕西安康·期中）已知向量，满足，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【解题思路】根据数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】由，可得， 所以， 故选：B. 【变式6.1】（23-24高一下·山东临沂·期中）向量，则（    ） A．19 B．18 C．17 D．16 【解题思路】利用平面向量数量积运算律以及坐标表示即可得出结果. 【解答过程】由可得； 所以. 故选：A. 【变式6.2】（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如果平面向量，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量为 【解题思路】根据给定条件，利用坐标求模判断A；利用数量积的坐标表示判断B；求出向量夹角判断C；求出投影向量判断D. 【解答过程】对于A，，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，而，则，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 故选：D. 【题型7 向量共线、垂直的坐标表示】 【例7.1】（23-24高一下·广东湛江·期末）已知向量，，若，则m的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【解题思路】由向量垂直的坐标表示列方程等于零求解，可得结论. 【解答过程】根据题意知，，， 则，解之可得 故选：D. 【例7.2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知平面向量，，若，则实数（    ） A． B．0 C． D．2 【解题思路】根据向量平行的充要条件计算得解. 【解答过程】因为，，， 所以，解得， 故选：C. 【变式7.1】（23-24高一下·陕西安康·期中）已知向量，.若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用数量积和横的坐标表示求出，再利用垂直关系的向量表示求解即得. 【解答过程】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：D. 【变式7.2】（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量，，若向量满足，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设向量，根据、的坐标运算可得答案. 【解答过程】设向量，则，， 因为，， 所以，，解得，， 则. 故选：A. 【题型8 向量坐标运算与平面几何的交汇】 【例8.1】（23-24高一下·青海·期末）剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上创造出各种形状和图案的传统民间艺术形式，是中华民族传统文化的瑰宝．如图1，这是一个正八边形的剪纸作品．如图2，这是一个正八边形，其中，是这个八边形上的任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，可得，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围. 【解答过程】正八边形的每个内角为， 延长交直线于点，延长交直线于点， ，则为等腰直角三角形， 且， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、、， 设点，则，，， 所以，， 故选：B. 【例8.2】（2024·河北沧州·一模）如图，在等腰直角中，斜边，点在以BC为直径的圆上运动，则的最大值为（    ） A． B．8 C． D．12 【解题思路】建立平面直角坐标系，表示出相关点的坐标，用坐标法求向量的模的取值范围. 【解答过程】如图：以为原点，建立平面直角坐标系. 则，，可设， 则， 所以 所以 . 又因为，所以 . 故选：D. 【变式8.1】（23-24高一下·山西太原·期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，分别以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，点在弧AC上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】以为原点，建立平面直角坐标系，利用坐标法求向量数量积. 【解答过程】以为原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示的平面直角坐标系，      则有，，,为弧上的点且，则， ， . 故选：A. 【变式8.2】（23-24高二上·上海黄浦·期中）在中，，，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论： ①的最小值为；    ②的最小值为； ③的最大值为；    ④的最大值为10. 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】建立以为原点，所在的直线分别为轴，平面直角坐标系，设，然后表示出的坐标，得出，再逐个分析即可. 【解答过程】 如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，因为，所以设， 则 所以， 则，即 所以，其中， 所以， 所以①③错误； ， 其中， ， ， ， 所以②正确，④错误； 故选：A. 一、单选题 1．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题思路】根据向量的坐标表示相关概念和性质得到答案. 【解答过程】向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误， 根据向量的坐标表示方法得到②③④正确． 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【解题思路】根据基底的定义判断即可. 【解答过程】①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. 3．（23-24高一下·全国·课后作业）若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的坐标运算得出选项. 【解答过程】, 因为不共线，所以基底表示向量系数 唯一，B正确. 故选：B. 4．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）在中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意利用平面向量基本定理结合向量的加减法运算求解即可. 【解答过程】 在中，为的中点，为的中点， 故选：B. 5．（23-24高一下·天津·阶段练习）已知向量，，则是向量与向量共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】由向量共线解得的值，从而判断充分性和必要性. 【解答过程】当时，，，则向量与向量共线； 当向量与向量共线时，，即，解得或， 所以是向量与向量共线的充分不必要条件. 故选：A. 6．（23-24高一下·广东广州·期中）已知向量，.若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【解答过程】由向量，，得，， 由，得， 即，所以. 故选：D. 7．（23-24高一下·北京海淀·期末）已知向量，，则（   ） A．0 B． C． D． 【解题思路】根据向量坐标公式求夹角余弦值即可. 【解答过程】由题设. 故选：B. 8．（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（    ） A．3 B． C．7 D． 【解题思路】利用平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算性质进行求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一下·安徽阜阳·期中）设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】根据题意结合基底的定义逐个分析判断. 【解答过程】对于A，因为，是平面内两个不共线的向量，且，， 所以与为不共线的两个向量，所以与可作为该平面内一组基底，所以A正确； 对于B，若与共线，则，所以， 因为，是平面内两个不共线的向量，所以，方程组无解， 所以与不共线，所以与可作为该平面内一组基底，所以B正确； 对于C，因为，，所以， 所以与共线，所以与不能作为该平面内一组基底，所以C错误； 对于D，若与共线，则，所以， 因为，是平面内两个不共线的向量，所以，方程组无解， 所以与不共线，所以与可作为该平面内一组基底，所以D正确. 故选：ABD. 10．（2024·湖北·模拟预测）已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的值为 B．若，则的值为 C．若，则与的夹角为锐角 D．若，则 【解题思路】根据向量共线和垂直的坐标表示，向量数量积和向量的模的坐标表示及向量夹角的坐标表示一一判断即可． 【解答过程】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B正确； 对于C：当时，与同向，此时与的夹角为，故C错误； 对于D：若，则，即，即，解得， 当时，，，，，显然， 当时，，，，，此时，故D错误． 故选：AB． 11．（23-24高一下·贵州·期中）在中，，点是线段的中点，线段交于，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．与的面积之比为 【解题思路】根据几何图形，结合向量的线性运算，即可判断AB，根据三点共线表示，再利用基底表示向量，再利用平面向量基本定理的推论，根据系数和为1，即可判断C，根据C的判断，即可判断D. 【解答过程】对于：根据，又因为点是线段的中点，，故，故A正确； 对于：因为，所以，，故正确； 对于，因为点是线段的中点，所以，设，则， ，又，则， 又因为 三点共线，所以，解得，故错误； 对于D：由于，故，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（23-24高一下·河南漯河·期中）已知向量，若与互相垂直，则 7 . 【解题思路】根据向量减法及数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】， 则， 与互相垂直， 所以，即，解得. 故答案为：7. 13．（24-25高一下·山东·阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是 . 【解题思路】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求出的关系，再利用基本不等式求出最小值. 【解答过程】在中，点为重心，则， 而点共线，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故答案为：. 14．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为 . 【解题思路】建立平面直角坐标系，先求直线方程，设点后利用坐标运算可得. 【解答过程】如图，由题意以，为，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设构成的一次函数为，代入，， 得，得，即， 因点P在线段BC上，可设，其中， 则，， ， 因，故当时取最小值为. 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一下·全国·单元测试）已知，，求： (1)； (2). 【解题思路】（1）（2）由向量线性运算的坐标运算，即可得到结果.. 【解答过程】（1）因为，， 所以. （2）因为，， 所以. 16．（23-24高一下·河南南阳·期中）如图，在平行四边形中，点M为中点，点N在上，.    (1)设，，用，表示向量； (2)求证：M，N，C三点共线. 【解题思路】（1）根据向量的线性运算化简求解即可. （2）先求得，然后利用共线向量基本定理即可证明. 【解答过程】（1） . （2）因为， 且由（1）知，所以， 所以，又C为公共点，所以M，N，C三点共线. 17．（23-24高一下·广西柳州·期中）已知，，是同一平面内的三个向量，． (1)若，且，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角． 【解题思路】（1）由向量坐标形式的共线定理和模长公式即可求解. （2）由向量垂直得，进而得，接着由向量夹角余弦公式结合向量夹角范围即可求解. 【解答过程】（1）设向量， 因为，，，所以， 解得或， 所以或. （2）由题， 因为与垂直，所以， 又，所以，得， 所以， 又，故. 18．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知向量，，． (1)求的最小值及相应t的值； (2)若与共线，求与的夹角． 【解题思路】（1）将的坐标代入，求得，由二次函数的最值即可求得； （2）由与共线的坐标表达式求得，再运用两向量夹角的坐标公式计算即得. 【解答过程】（1）由，,可得， 则， 故当时，取得最小值为，即时，； （2）因，， 由与共线可得，，解得，， 则，，， 于是， 因，则与的夹角为. 19．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，，，为中点，且，.设，. (1)当时，用，表示，； (2)若，求实数的值； (3)求的取值范围. 【解题思路】（1）由向量的线性运算求解即可. （2）将问题转化为，利用向量垂直关系求解即可； （3）由于，则，结合二次函数的最值问题求解即可. 【解答过程】（1）  . （2）若，则， 因为，，， 则， 所以. （3））由题可得： ， ， ∵，当时，的最大值为， 当时，最小值为， 所以. 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$