第一单元 3.问题解决

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 一 百分数 3. 问题解决 求—个数比另—个数多/少百分之几 一、基础知识讲解 1.意义 在实际生活中，人们常用“增加百分之几”“减少百分之几”“节约百分之几”……来表示 增加、减少的幅度。 2.解题方法 求一个数比另一个数多(或少)百分之几,实质上也是求一个数是另一个数的百分之几,即两 个数的差量占另一个数(即单位“1”的量)的百分之几。 类别 方法 1 方法 2 甲比乙多百分之几 (甲-乙)÷乙 甲÷乙-1 乙比甲少百分之几 (甲-乙)÷甲 1-乙÷甲 （一）求—个数比另—个数多/少百分之几 （二）比一个数多/少百分之几的数是多少 （三）求利息 （四）求税率或收入额 （五）求利率或本金 （六）利润问题 （七）利润与折扣的综合问题 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 二、考法技法提炼 考法 1：百分数的四则 解题方法：“增加百分之几”“减少百分之几”“节约百分之几”，用大数减去小数，然 后除以单位“1”的量，结果用百分数表示。 例题 1：食盐厂上月计划生产食盐 450 吨，实际生产了 477 吨。增产了百分之几？ 【答案】6% 【分析】用实际生产的吨数减去计划生产的吨数，用实际比计划多生产的吨数除以计划生产 量的吨数即可解答。 【详解】（477－450）÷450×100% ＝27÷450×100% ＝0.06×100% ＝6% 答：增产了 6%。 三、易错提示 易错点：错误判断单位“1” 易错诠释：求一个数比另一个数多(或少)百分之几,实质上也是求一个数是另一个数的百分 之几,即两个数的差量占另一个数(即单位“1”的量)的百分之几。 例题 1：50 比 40 多 25%，40 就比 50 少 25%。( ) 【答案】× 【分析】求 50 比 40 多百分之几，用 50 与 40 的差，除以 40，再乘 100%解答； 求 40 比 50 少百分之几，用 40 与 50 的差，除以 50，再乘 100%解答。 【详解】（50－40）÷40×100% ＝10÷40×100% ＝0.25×100% ＝25% 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 （50－40）÷50×100% ＝10÷50×100% ＝0.2×100% ＝20% 50 比 40 多 25%，40 比 50 少 20%。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握求一个数比另一个数多或少百分之几的计算方法是解答本题的关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 比一个数多/少百分之几的数是多少 一、基础知识讲解 1.思路 百分数应用题的解题思路和分数应用题的相同。关键是找准单位“1”。 题中没有给出单位“1”的量的具体数字时，我们可以假设单位“1”的量是某一个固定的数， 也可以假设单位“1”的量是 1，假设单位“1”的量是 1，计算更简便。 2.方法指导 序号 方法 1 单位“1”的量士单位“1”的量×百分之几; 2 单位“1”的量×(1±百分之几)。 二、考法技法提炼 考法 1：求比一个数多/少百分之几的数是多少的问题 解题方法：百分数应用题的解题思路和分数应用题的相同。关键是找准单位“1”，单位“1” 已知，用乘法，比一个数多/少百分之几的数是多少，就用单位“1”的量×(1±百分之几)。 例题 1：看图列式计算。 【答案】112 千米 【分析】看图可知，已知长度是单位“1”，所求长度是已知长度的（1＋40%），已知长度 ×所求长度对应百分率＝所求长度，据此列式计算。 【详解】80×（1＋40%） ＝80×1.4 ＝112（千米） 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 三、易错提示 易错点：未用单位“1”乘对应的分率 易错诠释：比一个数多/少百分之几，对应的分率就是 1 士百分之几，单位“1”已知用乘 法，当题目中出现不同的分率时，要找准对应的单位“1”的量进行计算。 例题 1：一件商品标价 800 元，先降价 10%，再提价 10%，售价还是 800 元。( ) 【答案】× 【分析】先把标价 800 元看作单位“1”，根据求比一个数少/多百分之几的数是多少，用乘 法求出降价后的价格； 再把降价后的价格看作单位“1”，求出提价后的价格，进行比较即可判断。 【详解】800×（1－10%） ＝800×0.9 ＝720（元） 720×（1＋10%） ＝720×1.1 ＝792（元） 792≠800 一件商品标价 800 元，先降价 10%，再提价 10%，售价是 792 元。 故答案为：× 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 求利息 一、 基础知识讲解 1.相关概念 类别 概念 存款的方式 在银行存款的方式有多种，如活期、整存整取、零存整取等。 本金 缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入（销售额、营业额……） 中应纳税部分的比率叫做税率。 利息 取款时银行多支付的钱叫做利息。 利率 单位时间（如 1 年、1月、1 日等）内利息与本金的比率叫做利率。 2.利息的计算 利息的求法：利息=本金×利率×存期 到期后取回的钱=本金+利息 注意：利息的多少和本金、利率、存期都有关系，不能单纯看其中某个条件判断利息多少。 二、 考法技法提炼 考法 1：求利息 解题方法：利用公式利息=本金×利率×存期，带入对应数量直接计算。 例题 1：“天使”基金会把 200 万元存入银行，年利率按 4.14%计算。如果每年资助一名残 疾儿童要 400 元，这些钱一年的利息可资助多少名残疾儿童？ 【答案】207 名 【分析】先根据“利息＝本金×利率×存期”，算出 200 万元存一年的利息；再用这些利息 除以每年资助一名残疾儿童需要的钱数，即可求出这些利息可资助残疾儿童的人数。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【详解】200×4.14%×1 ＝200×0.0414×1 ＝8.28（万元） 8.28 万元＝82800 元 82800÷400＝207（名） 答：这些钱一年的利息可资助 207 名残疾儿童。 考法 2：求到期后取回的钱 解题方法：利用公式利息=本金×利率×存期，带入对应数量求出利息后，然后根据到期后 取回的钱=本金+利息，求出到期后取回的钱。 例题 2：2016 年 10 月 1 日，爸爸将 2 万元钱存入银行，定期两年，年利率为 3.75%。到期 后，爸爸共能取出多少元？ 【答案】21500 元 【分析】根据利息公式：利息＝本金×利率×时间，代入数据，求出利息，再加上本金，即 可解答。 【详解】2万元＝20000 元 20000×3.75%×2＋20000 ＝750×2＋20000 ＝1500＋20000 ＝21500（元） 答：爸爸共能取出 21500 元。 三、 易错提示 易错点：错误认识利息与本金、利率、存期的关系 易错诠释：利息的多少和本金、利率、存期都有关系，不能单纯看其中某个条件判断利息多 少。 例题：小明存钱的时间比小王长，所以小明得到的利息比小王多。( ) 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【答案】× 【分析】利息＝本金×利率×存期，根据利息的计算公式可知，利息与本金、利率、存期有 关，据此解答即可。 【详解】由题意可知：小明存钱的时间比小王长，但不确定二人所存的本金和利率，所以无 法确定二人所得利息的多少。假如小明存 1000 元，定期 2 年，年利率是 2.25%，利息是 1000 ×2.25%×2＝45（元）；小王存 10000 元，定期 1年，年利率是 1.75%，利息是 10000×1.75% ×1＝175（元）。45＜175，即小明存钱的时间比小王长，但小明得到的利息比小王少。即 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】明确利息的计算方法是解决此题的关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 求税率或收入额 一、 基础知识讲解 1.纳税的含义 纳税的含义 纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的 一部分缴纳给国家。 税收的用途 税收是国家收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科技、 教育、文化和国防等事业。因此，每个公民都有依法纳税的义务。 税收的种类 税收主要分为消费税、增值税、营业税和个人所得税等几类。 应纳税额和税率 缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入（销售额、营业额……） 中应纳税部分的比率叫做税率。 2.求税率或收入额 类别 已知 方法 税率 收入额、应纳税额 税率= 收入额 应纳税额 ×100% 收入额 应纳税额、税率 收入额=应纳税额÷税率 纳税后余额、税率 收入额=纳税后余额÷（1-税率） 二、 考法技法提炼 考法 1：求税率 解题方法：掌握求税率的方法，利用税率= 收入额 应纳税额 ×100%，代入计算。 例题 1：某饭店 8 月份的营业额是 2.5 万元，需要缴纳 750 元的营业税。营业税的税率是多 少？ 【答案】3% 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 【分析】应纳税额与各种收入的比率叫税率，缴纳的营业税÷营业额×100%＝营业税的税率， 据此列式解答。 【详解】2.5 万＝25000 750÷25000×100% ＝0.03×100% ＝3% 答：营业税的税率是 3%。 考法 2：计算不同的应纳税额 解题方法：灵活运用收入额=应纳税额÷税率，收入额是指应纳税部分的额度。 例题 2：赵叔叔开了一家商店，按营业额中应纳税的部分的 3%缴纳增值税。某月赵叔叔需缴 纳税款 570 元，赵叔叔这月的营业额中应纳税的部分是多少元？ 【答案】19000 元 【分析】已知某月赵叔叔需缴纳税款 570 元，占营业额中应纳税的部分的 3%，把营业额中 应纳税的部分看作单位“1”，单位“1”未知，根据已知一个数的百分之几是多少，求这个 数，用除法计算即可求解。 【详解】570÷3% ＝570÷0.03 ＝19000（元） 答：赵叔叔这月的营业额中应纳税的部分是 19000 元。 例题 3：某饭店按 2018 年第三季度营业额的 5%纳税，税后余额为 38000 元。这家饭店第三 季度的营业额是多少元？ 【答案】40000 元 【分析】把某饭店第三季度的营业额看作单位“1”，按 5%纳税，则税后余额占营业额的（1 －5%），单位“1”未知，用税后余额除以（1－5%），求出第三季度的营业额。 【详解】38000÷（1－5%） ＝38000÷（1－0.05） ＝38000÷0.95 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ＝40000（元） 答：这家饭店第三季度的营业额是 40000 元。 三、 易错提示 易错点：错误分析对应的量 易错诠释：在已知纳税后余额、税率，求收入额时，用收入额=纳税后余额÷（1-税率）， 在这里收入额是单位“1”，用已知量除以对应的比率进行计算。 例题：李叔叔开了一家商店，按营业额的 5%缴纳营业税，某月赵叔叔税后余额是 19000 元， 赵叔叔这月的营业额是 19950 元。( ) 【答案】× 【分析】把李叔叔商店的营业额看作单位“1”，营业税占营业额的 5%。则税后余额占营业 额的（1－5%），用税后营业额除以（1－5%），即可求出赵叔叔这个月的营业额。 【详解】19000÷（1－5%） ＝19000÷95% ＝20000（元） 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题的关键是灵活运用税率的相关知识。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 求利率或本金 一、 基础知识讲解 1.相关概念 类别 概念 本金 缴纳的税款叫做应纳税额，应纳税额与各种收入（销售额、营业额……） 中应纳税部分的比率叫做税率。 利息 取款时银行多支付的钱叫做利息。 利率 单位时间（如 1 年、1月、1 日等）内利息与本金的比率叫做利率。 2.利率或本金的计算 利息=本金×利率×存期 利率=利息÷存期÷本金 本金=利息÷存期÷利率 二、 考法技法提炼 考法 1：求利率 解题方法：利用公式利率=利息÷存期÷本金，带入对应数量直接计算。 例题 1：王叔叔在银行存了 20000 元钱，三年定期（假设利率不变），到期后全部取出，总 共 21650 元，那么银行的年利率是（ ）。 A．1.3% B．1.5% C．2.1% D．2.75% 【答案】D 【分析】根据题意，存了20000元，三年到期后全部取出共21650元，那么三年的利息是（21650 －20000）元；然后根据“利息＝本金×利率×存期”可知，“利率＝利息÷存期÷本金”， 代入数据计算，即可求出银行的年利率。 【详解】利息：20000－21650＝1650（元） 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 1650÷3÷20000×100% ＝550÷20000×100% ＝0.0275×100% ＝2.75% 银行的年利率是 2.75%。 故答案为：D 【点睛】本题考查利率问题，掌握利息的计算方法并灵活运用是解题的关键。 考法 2：求本金 解题方法：利用公式本金=利息÷存期÷利率，带入对应数量进行计算。 例题 2：洪奶奶的一张银行存单到期后，仅利息就取出 1500 元。这张存单定期 2年，年利 率为 2.5%。那么洪奶奶两年前存入银行的本金应该是多少元？ 【答案】30000 元 【分析】根据利息公式：利息＝本金×利率×时间，本金＝利息÷利率÷时间，代入数据， 即可解答。 【详解】1500÷2.5%÷2 ＝60000÷2 ＝30000（元） 答：洪奶奶两年前存入银行的本金应该是 30000 元。 【点睛】本题考查利率问题，关键是熟练掌握和灵活运用利息公式。 三、 易错提示 易错点：不能正确利用公式求利率 易错诠释：根据利率=利息÷存期÷本金公式进行计算。 例题：利息除以本金的商就是利率。（ ) 【答案】× 【分析】根据利息＝本金×利率×存期得到：利率＝利息÷本金÷存取，即可判断。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 【详解】单位时间内的利息与本金的比率叫做利率。 故答案为：× 【点睛】本题考查利率问题，有固定的计算方法。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 复杂的利润问题 利润问题 一、 基础知识讲解 1.利润的含义 利润问题是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等 方面的问题。 2.利润常见的数量关系 利润＝售价－成本价 利润=成本价×利润率 利润率＝（售价－成本价）÷成本价×100% 售价＝成本价×（1＋利润率） 亏损＝成本价－售价 亏损率＝（成本价－售价）÷成本价×100% 3.利润问题的应用 简单的利润问题 二、 考法技法提炼 考法 1：解决稍简单的利润问题 解题方法：解决此类题目的关键是灵活运用公式，借助公式找寻等量关系，直接进行计算。 例题 1：某种皮衣的价格是 1650 元，打八折出售后可以盈利 10%，那么若以 1650 元售出， 可以盈利（ ）元。 【答案】450 【分析】求出皮衣的进价，利润＝售价－进价，据此解答。 【详解】把皮衣的进价看作单位“1”，进价为：1650×80%÷（1＋10%） 直接利用公式 变通后再利用公式，借助线段图分析 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 ＝1320÷1.1 ＝1200（元） 可以盈利：1650－1200＝450（元） 【点睛】解答此题的关键是算出进价，需要把进价看成单位“1”。 考法 2：解决稍复杂的利润问题 解题方法：找寻单位“1”，分清以什么为标准，借助公式再进行计算。 例题 2：某商品按定价的80%出售，仍旧可获得 20%利润，定价时期望的利润是 。 【答案】50% 【分析】先把原来的定价看成单位“1”，现价为 1×80%＝0.8；再把成本价看成单位“1”， 现价是成本价的 1＋20%，由此用除法求出成本价；再用原来的定价减去成本价，求出差再 除以成本价就是定价时期望的利润。 【详解】1×80%＝0.8 0.8÷（1＋20%） ＝0.8÷120% ＝ 2 3 （1－ 2 3 ）÷ 2 3 ＝ 1 3 ÷ 2 3 ＝50% 【点睛】解答此题的关键是分清两个单位“1”的区别，找清各自以谁为标准，根据基本的 数量关系解决问题。 三、 易错提示 易错点：错误判断单位“1” 易错诠释：看清题目中以谁为标准，明确单位“1”列出基本关系式进行解答。 例题：一种商品打八折销售正好保本，如果不打折销售，那可获利 20%。（ ) 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 【答案】× 【分析】设原价是 1，打八折是指现价是原价的 80%，把原价看成单位“1”，由此用原价乘 80%求出现价，现价正好保本，说明现价就是成本价；用原价减去成本价再除以成本价就是 原来获取的利润，再与 20%比较。 【详解】设原价是 1，则成本价是：1×80%＝0.8 （1－0.8）÷0.8 ＝0.2÷0.8 ＝25% 25%≠20% 故答案为：×。 【点睛】解决本题关键是要分清楚单位“1”的不同，找清各自以谁为标准，再把数据设出， 根据基本的数量关系求解。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 利润与折扣的综合问题 一、 基础知识讲解 1.折扣 名称 相关定义 相关公式 折扣 售价占定价的百分比 （单位 “1”是定价） 折扣=售价÷定价×100% 定价=售价÷折扣 售价=定价×折扣 利润 利润率：利润占成本的百分比 （单位“1”是成本） 利润=售价-成本 利润率=利润÷成本×100% 成本=利润÷利润率 利润=成本×利润率 2.利润与折扣的综合问题 利润与折扣的综合问题是百分数应用题的具体类型的题目，关键在于找到单位“1”求解。 对于综合性较强的，比较复杂的题目，关键是能够灵活运用相关公式。 二、 考法技法提炼 考法 1：根据利润求折扣 解题方法：理解百分之几十就是几折，正确掌握进价、原价、售价、折扣之间的关系。 例题 1：商店卖一种书包，如果每个售价为 150 元，那么售价的 60%是进价，售价的 40%就 是利润。现在要搞促销活动，为保证一个书包利润为 30 元，折扣应该确定为（ ） 折。 【答案】八 【分析】根据题意，售价的 60%是进价，把原来的售价看作单位“1”，用原来的售价乘 60% 求出这种书包的进价；然后用进价加上至少要赚的钱，求出实际售价；根据折扣＝实际售价 ÷原价×100%，即可求出这种书包的折扣。 【详解】150×60%＝90（元） 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 90＋30＝120（元） 120÷150×100% ＝0.8×100% ＝80% ＝八折 即折扣应该确定为八折。 考法 2：求折扣及其他数量 解题方法：掌握折扣的意义，正确利用关系式，折扣=售价÷定价×100%，定价=售价÷折扣， 售价=定价×折扣，进行计算。 例题 2：一款赛车玩具标价 80 元，现在搞活动降低 24 元出售，相当于打（ ）折。 照这样的折扣，标价 120 元的益智玩具，现价（ ）元。 【答案】 七 84 【分析】根据题意，先求出现价，再除以原价即可得出现价是原价的百分之几，即打的折数； 用原价乘上折数就是现价，据此解答。 【详解】（80－24）÷80 ＝56÷80 ＝70% ＝七折 120×70%＝84（元） 则相当于打七折；标价 120 元的益智玩具，现价是 84 元。 【点睛】此题主要考查了折扣的意义，要熟练掌握。 三、 易错提示 易错点：错误认为打折后的价格会高 易错诠释：售价=定价×折扣，打几折即按原价的百分之几十出售，相当于一个数乘小于 1 的数，积比原来的数小。 例题 1：一般商店折扣之后的商品要比原来的价格贵。（ ) 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 【答案】× 【分析】打几折即按原价的百分之几十出售，所以一般商店折扣之后的商品要比原来的价格 便宜，据此判断即可。 【详解】一般商店折扣之后的商品要比原来的价格便宜，本题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查了对折数的理解，打几折即原价的百分之几十。 橙 子 学