第二单元 1.圆柱

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 二 圆柱和圆锥 1.圆柱 （一）圆柱的认识及特征 （二）圆柱的展开图 （三）圆柱的侧面积 （四）圆柱的表面积 （五）组合体的表面积（圆柱） （六）圆柱的体积 （七）圆柱的容积 （八）立体图形的切拼（圆柱） 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 圆柱的侧面是曲面。 圆柱有无数条高。 圆柱的认识及特征 一、 基础知识讲解 1.圆柱的认识 名称 图形 组成 形成 圆柱 圆柱是由 3 个面组成的。 圆柱的上、下两个面叫做底面。 圆柱周围的面（上、下底面除外） 叫做侧面。 圆柱的两个底面之间的距离叫 做高。 圆柱是以长方形的一 边为轴旋转而得的。 2.圆柱的特征 圆柱的两个底面都是圆，并且 大小一样。 归纳：圆柱是由两个大小相同的圆和一个侧面组成的，圆柱有无数条高。 二、 考法技法提炼 考法 1：区分物体是否圆柱 解题方法：结合圆柱的概念明确圆柱是由两个大小相同的圆和一个侧面组成的。 例题 1： 上面图形中是圆柱的是（ )。圆柱的底面都是（ )，并且大小一样。 【答案】 ②⑤ 圆 【分析】圆柱的两个底面都是圆，并且大小一样；圆柱上下粗细一样。根据圆柱的特征解答 即可。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【详解】 、 、 上下粗细不一样，不是圆柱； 、 符 合圆柱的特征，是圆柱； 两个底面不一样，不是圆柱。所以上面图形中是圆柱的是② ⑤，圆柱的底面都是圆，并且大小一样。 【点睛】此题考查了圆柱的特征，注意圆柱的底面是圆，不是椭圆。 考法 2：圆柱是由长方形旋转得到的 解题方法：理解圆柱是以长方形或正方形的一边为轴旋转而得的，并且能够借助旋转的特点 明确得到的圆柱的底面直径和高的大小。 例题 2：以图中的虚线为轴进行旋转，旋转后会得到图（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以图中的虚线为轴进行旋转得到一个圆柱体，此时长方形的宽为圆柱的高，长方形 的长为圆柱的底面直径；据此解答 【详解】根据圆柱的特征可知：以图中的虚线为轴进行旋转得到的是一个底面直径为 5cm 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 高为 3cm 的圆柱。 故答案为：C 【点睛】本题主要考查圆柱的特征，解题时注意旋转时不是以长方形的宽为轴进行旋转的。 三、 易错提示 易错点 1：对圆柱有无数条高的概念不清 易错诠释：圆柱是由两个大小相同的圆和一个侧面组成的，圆柱有无数条高。 例题 1：圆柱的两个底面圆心之间的距离叫做高，圆柱有 1条高。（ ) 【答案】× 【详解】如图： 圆柱的两个底面之间的距离叫做高，圆柱有无数条高。 原题说法错误。 故答案为：× 易错点 2：错误认为只要有两个大小相同的圆就是圆柱 易错诠释：明确圆柱是由两个大小相同的圆和一个侧面组成的，并且清楚圆柱是上下粗细的 立体图形。 例题 2：一个物体上、下两个面是相等的圆面，它应该是圆柱形物体。（ ) 【答案】× 【分析】圆柱的特点：圆柱有一个面是曲面，圆柱上、下两个面是大小相同的圆，圆柱是上、 下一样粗的立体图形。 【详解】当一个物体上、下两个面是相等的圆面时，可能上、下粗细不致，如下图，上、下 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 两个面是大小相同的圆，但中间粗，上、下细，不符合圆柱的特点，它不是圆柱。也就是说 一个物体上、下两个面是相等的圆面，它可能是圆柱形物体，也可能不是圆柱形物体。即原 题说法错误。 故答案为：× 【点睛】判断一个实物或一个立体图形是不是圆柱，要看它是否具备圆柱的所有特点。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 圆柱的展开图 一、 基础知识讲解 1.圆柱的展开图 名称 展开前 沿高展开后 侧面展开图形状 圆柱 长方形（正方形） 不同的展开方式： 归纳：通过不同的方式展开所得的侧面图形不同，但是通过切割平移后，均可得到长方形或 正方形。 2.圆柱侧面展开后得到的长方形与原圆柱的关系 圆柱的侧面沿高剪开的展开图是一个长方形（或正方形），这个长方形（或正方形）的宽（或 边长）等于圆柱的高。当圆柱的底面周长和高相等时，沿高剪开的侧面展开图是一个正方形。 所以一般说圆柱的展开图就是上下两个圆加中间的侧面展开图（长方形或正方形）。 将圆柱的侧面沿着高展开，得到一个长方形时，长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆 柱的高。当圆柱的底面周长和高相等时，侧面沿着高展开就会得到一个正方形。判断一个图 形是不是圆柱的展开图，关键看长方形的一边与底面圆的周长是否相等。 沿高 沿曲线 沿斜线 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 二、 考法技法提炼 考法 1：侧面展开图的特点 解题方法：判断一个图形是不是圆柱的展开图，关键看长方形的一边与底面圆的周长是否相 等。 例题 1：下列各图（单位：厘米），是圆柱展开图的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆柱的侧面展开后是一个长方形，该长方形的长相当于底面圆的周长，根据“圆的 周长公式：C＝πd”求出底面圆的周长，然后与长方形的长进行对比即可。 【详解】A．3.14×5＝25.12（厘米），长方形的长是 8 厘米，不符合题意； B．3.14×8＝25.12（厘米），长方形的长是 25.12 厘米，符合题意； C．3.14×8＝25.12（厘米），长方形的长是 12.56 厘米，不符合题意； D．3.14×8＝25.12（厘米），长方形的长是 37.68 厘米，不符合题意； 故答案为：B 考法 2：圆柱不同的展开方式得到的图形 解题方法：通过不同的方式展开所得的侧面图形不同，但是通过切割平移后，均可得到长方 形或正方形。 例题 2：下面（ ）不是圆柱的展开图。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】圆柱的侧面积展开图是长方形或正方形，上下面是圆形，据此进行判断即可。 【详解】A．该图形的侧面积展开图是一个长方形，上下面是圆形，符合圆柱的特征； B．该图形的侧面积展开图是一个平行四边形，这个平行四边形可以经过平移可以变成长方 形，符合圆柱的特征； C．该图形的侧面展开图经过平移后可以变成长方形，符合圆柱的特征； D．该图形的侧面积展开图只有经过平移和旋转才可以变为长方形，不符合圆柱的展开图的 特征。 故答案为：D 【点睛】本题考查圆柱的特征，明确圆柱的侧面积展开图是长方形或正方形是解题的关键。 三、 易错提示 易错点 1：错误理解展开的长方形与圆的周长的关系 易错诠释：将圆柱的侧面沿着高展开，得到一个长方形时，长方形的长等于圆柱的底面周长， 宽等于圆柱的高。当圆柱的底面周长和高相等时，侧面沿着高展开就会得到一个正方形。判 断一个图形是不是圆柱的展开图，关键看长方形的一边与底面圆的周长是否相等。 例题 1：一个圆柱的侧面展开图是正方形，那么这个圆柱的底面直径和高相等。（ ) 【答案】× 【分析】将圆柱的侧面展开有很多种分法，其中若沿高把一个圆柱的侧面展开时，如果圆柱 的底面周长和圆柱的高相等，它的侧面展开图是一个正方形，如果底面周长和圆柱的高不相 等的话，它的侧面展开图是一个长方形，据此判断。 【详解】根据分析得：圆柱的侧面展开图是一个正方形，则圆柱的底面周长和圆柱的高相等， 若是底面直径和高相等的圆柱体，若沿高把圆柱的侧面展开时，可以得到一个长方形，所以 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 本题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题主要考查了圆柱的侧面展开图的特征。 易错点 2：错误认识展开图的形状 易错诠释：通过不同的方式展开所得的侧面图形不同，但是通过切割平移后，均可得到长方 形或正方形。 例题 2：圆柱的侧面展开可以是一个梯形。（ ) 【答案】× 【分析】如图： 、 、 ，把圆柱侧面沿高 剪开，打开后得到一个长方形或一个正方形；把圆柱侧面斜着剪开得到一个平行四边形。 【详解】圆柱两个底的底面周长相等，侧面展开不可能是梯形。 故答案为：× 【点睛】关键是熟悉圆柱特征，具有一定的空间想象能力。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 圆柱的侧面积 一、 基础知识讲解 1.圆柱的侧面积 名称 图形 侧面积（S 侧） 圆柱的 侧面积 S 侧=Ch(直接计算) S 侧=2πrh(利用半径计算) S 侧=πdh(利用直径计算) 2.圆柱的侧面积推导 圆柱的侧面积=长方形的面积 = 长 × 宽 圆柱的侧面积=圆柱的底面周长 × 高 总结：求圆柱的侧面积实际上就是求长方形的面积。长方形的长相当于圆柱的底面周长，宽 相当于圆柱的高。 二、 考法技法提炼 考法 1：圆柱的侧面积正用和逆用 解题方法：已知圆柱中其中的两个量，即可求出第三个量。S 侧=Ch(直接计算) S 侧=2πrh(利用半径计算)S 侧=πdh(利用直径计算) 注意：求已知侧面积求其他量时，也可以列方程解答。 例题 1：一个圆柱形水杯，底面半径是 3 厘米，高 20 厘米，这个水杯的侧面积是（ ） 平方厘米。 【答案】376.8 【分析】圆柱的侧面积＝底面圆周长高，底面圆周长＝ 2 r ，据此可计算得出答案。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 【详解】这个水杯侧面积为： 2 3.14 3 20 376.8    （平方厘米）。 例题 2：一个圆柱的底面直径是 10cm，若高增加 2cm，则侧面积增加（ ）。 A．31.4cm2 B．62.8cm2 C．20cm2 D．157cm2 【答案】B 【分析】根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，底面直径不变是 10cm，高增加 2cm，代入相应 的数值计算，即可得出结论。 【详解】原侧面积：3.14×10×高； 高增加 2cm 后的侧面积：3.14×10×（高＋2）； 3.14×10×（高＋2）－3.14×10×高 ＝31.4×高＋31.4×2－31.4×高 ＝31.4×2 ＝62.8（cm2） 因此高增加 2cm，则侧面积增加 62.8cm2。 故答案为：B 【点睛】解答本题的关键是注意底面直径不变，高增加 2cm，根据圆柱侧面积的计算公式来 求解。 考法 2：利用侧面积解决一些实际问题 解题方法：结合侧面积的计算方法，搭配实际问题进行有效地结合，进一步进行计算。 例题 3：A市对博物馆一楼大厅的 5 根圆柱形柱子重新修饰，每根柱子高 10 米，底面周长为 18.84 米。现要全部涂上油漆，如果按每平方米油漆费 20 元计算，需要花费多少元？ 【答案】18840 元 【分析】根据题意可知，刷油漆的面积是圆柱的侧面积。圆柱的侧面积＝底面周长×高，据 此求出 5 根柱子刷油漆的总面积，最后用刷油漆的总面积乘每平方米的油漆费即可求出需用 的钱。 【详解】18.84×10×5×20 ＝188.4×5×20 ＝942×20 ＝18840（元） 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 答：需要花费 18840 元。 【点睛】本题主要考查圆柱侧面积的应用，根据圆柱的侧面积公式即可求出柱子刷油漆的总 面积。 三、 易错提示 易错点：错误利用数量求侧面积 易错诠释：结合侧面积的计算公式，S 侧=Ch(直接计算)S 侧=2πrh(利用半径计算)S 侧=π dh(利用直径计算)，正确获取题目中的数量。 例题 1：以边长是4cm的正方形的一条边为轴，旋转一周得到的圆柱体的侧面积是200.96cm2。 （ ) 【答案】× 【分析】如下图，以边长是 4cm 的正方形的一条边为轴，旋转一周得到底面半径是 4cm，高 是 4cm 的圆柱。根据 2S rh侧 求出圆柱的侧面积，再与 200.96cm2作比较。 【详解】2×3.14×4×4 ＝3.14×2×4×4 ＝3.14×（2×4×4） ＝3.14×32 ＝100.48（cm2） 所以得到的圆柱的侧面积是 100.48cm2，100.48≠200.96，所以原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】明确圆柱的底面半径和高是解决此题的关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 圆柱的表面积 一、 基础知识讲解 1.圆柱的表面积的意义 名称 意义 求法 圆柱的 表面积 圆柱所有面的面积之和就是它的表面 积，也就是指圆柱的侧面积和两个底面 积之和。 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面 的面积 2.圆柱的表面积计算 圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面的面积 S 表 = S 侧 + 2S 底 变式： 已知底面半径及高：S 表=2πrh+2πr 2 已知底面直径及高：S 表=πdh+2π( 2 d )2 已知底面周长及高：S 表=Ch+2π( π2 C )2 注意：计算表面积时根据实际结果情况取近似值。 二、 考法技法提炼 考法 1：圆柱的表面积正用和逆用 解题方法：已知圆柱中其中的两个量，即可求出第三个量。已知底面半径及高：S 表=2πrh+2 πr2 ，已知底面直径及高：S 表=πdh+2π( 2 d )2，知底面周长及高：S 表=Ch+2π( π2 C )2。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 注意：求已知表面积求其他量时，也可以列方程解答。 例题 1：求圆柱的表面积。（单位：厘米） 【答案】100.48 平方厘米 【分析】圆柱的表面积＝底面积×2＋侧面积，圆柱的侧面积＝底面周长×高，据此列式计 算。 【详解】3.14×（4÷2）2×2＋3.14×4×6 ＝3.14×22×2＋75.36 ＝3.14×4×2＋75.36 ＝25.12＋75.36 ＝100.48（平方厘米） 例题 2：把一个圆柱体的侧面展开，得到一个正方形，已知正方形的周长是 25.12 厘米，那 么这个圆柱体的表面积是（ ）平方厘米。（结果保留两位小数） 【答案】45.72 【分析】根据题意，把一个圆柱体的侧面展开，得到一个正方形，说明这个圆柱的底面周长 和高都等于正方形的边长； 已知正方形的周长是 25.12 厘米，根据正方形的边长＝周长÷4，求出正方形的边长，也是 圆柱的底面周长和高； 根据圆的周长公式 C＝2πr 可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆柱的底面半径； 根据圆柱的表面积 S 表＝S 侧＋2S 底，其中 S 侧＝Ch，S 底＝πr 2，代入数据计算即可求解。 【详解】正方形的边长（圆柱的底面周长）： 25.12÷4＝6.28（厘米） 圆柱的底面半径： 6.28÷3.14÷2 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ＝2÷2 ＝1（厘米） 圆柱的表面积： 6.28×6.28＋3.14×12×2 ＝39.4384＋6.28 ＝45.7184 ≈45.72（平方厘米） 这个圆柱体的表面积是 45.72 平方厘米。 例题 2：把一根圆柱形木料截成 3段，表面积增加了 45.12 平方厘米，这根圆柱的底面积是 （ ）平方厘米。 【答案】11.28 【分析】根据题意，把一根圆柱形木料截成 3 段，需截 3－1＝2（次），每截一次表面积就 增加 2个圆柱的底面积；截 2 次，一共增加了 2×2＝4（个）圆柱的底面；用增加的表面积 除以 4，即可求出这根圆柱形木料的底面积。 【详解】（3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 45.12÷4＝11.28（平方厘米） 这根圆柱的底面积是 11.28 平方厘米。 考法 2：切割圆柱求表面积的变化 解题方法：明确切割圆柱后表面积的变化情况，常见题型是横截，切割一次增加两个底面的 面积，纵切时会增加两个长方形面积。 例题 3：把一根底面半径为 10 厘米、高为 1米的圆柱形木料切成完全相同的两部分，表面 积最少增加（ ）平方厘米。 【答案】628 【分析】切割一次会多两个截面，想让表面积增加最多，需要让截面积最大；横着切将高度 截成两半，截面积为圆柱的底面积；沿着直径竖着切截面积用直径×高计算，比较增加面积 的大小即可。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 【详解】1米＝100 厘米 横着切增加的面积： 3.14× 210 ×2 ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（平方厘米） 竖着切增加的面积： 10×2×100×2 ＝20×100×2 ＝2000×2 ＝4000（平方厘米） 628＜4000 表面积最少增加 628 平方厘米。 【点睛】明确截面的形状是解题的关键。 三、 易错提示 易错点 1：错误认为切割图形表面积会减少 易错诠释：切割图形会使表面积增加，结合实际情况分析增加的面积。 例题 1：把长80cm、底面积是30cm2的圆柱形钢材锯成3段后，表面积增加了90cm2。（ ) 【答案】× 【分析】圆柱形钢材锯成 3段，需要锯 2次，每锯 1 次增加两个横截面的面积，锯 2 次增加 （2×2）个横截面的面积，用圆柱的底面积乘横截面的数量，即可求出表面积增加了多少。 【详解】（3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 30×4＝120（cm2） 即表面积增加了 120cm2。 故答案为：× 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 【点睛】抓住圆柱的切割特点，弄清圆柱表面积的变化情况，是解决此类问题的关键。 易错点 2：错误分析其中一个量的变化导致表面积变化的倍数 易错诠释：结合表面积公式的应用及其量的变化，具体分析变化后的数量关系，可以采用假 设法进行分析。 例题 1：如果一个圆柱的底面半径扩大 2 倍，高不变，那么表面积就扩大 4倍。（ ) 【答案】× 【分析】圆柱的表面积＝底面圆面积的 2 倍＋侧面面积，用公式表示 S＝2πr2＋2πrh，假 设 r 由 1 变化到 2，h 是 1，据此计算原来的及变化后的表面积进行解答。 【详解】原来的表面积： 2π×12＋2π×1×1 ＝2π＋2π ＝4π 变化后的表面积： 2π×22＋2π×2×1 ＝2π×4＋2π×2 ＝8π＋4π ＝12π 12π÷4π＝3 因此得到，如果一个圆柱的底面半径扩大 2倍，高不变，那么表面积就扩大 3 倍。 故答案为：× 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 组合体的表面积（圆柱） 一、 基础知识讲解 1.圆柱的表面积计算 已知 计算方法 底面积和侧面积 S 表 =S 侧 +2S 底 底面半径及高 S 表=2πrh+2πr 2 底面直径及高 S 表=πdh+2π( 2 d )2 底面周长及高 S 表=Ch+2π( π2 C ) 2 2.组合体的表面积（圆柱）计算 案例展示： 计算方法：组合立体图形的表面积等于各个立体图形的表面积之和减去所有被遮住部分的表 面积。 二、 考法技法提炼 考法：求组合体的表面积 解题方法：组合立体图形的表面积等于各个立体图形的表面积之和减去所有被遮住部分的表 面积，结合题目灵活计算。 例题 1：计算下图的表面积。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 【答案】653.12 平方厘米 【分析】通过观察发现：小圆柱的整个下底与大圆柱的部分上底重合，所以这个几何体的表 面积比大小两个圆柱的表面积之和少了小圆柱的两个底面积之和，也就是说，这个几何体的 表面积＝大圆柱的表面积＋小圆柱的侧面积＝大圆柱的底面积×2＋大圆柱的侧面积＋小圆 柱的侧面积。 【详解】3.14×（14÷2）2×2＋3.14×14×5＋3.14×8×5 ＝3.14×72×2＋3.14×14×5＋3.14×8×5 ＝3.14×49×2＋3.14×14×5＋3.14×8×5 ＝3.14×（49×2＋14×5＋8×5） ＝3.14×（98＋70＋40） ＝3.14×208 ＝653.12（平方厘米） 三、 易错提示 易错点：漏算或多算某些面的面积 易错诠释：灵活判断被遮住部分的表面积，计算时不要多加或多减，对于比较复杂的题目， 可以分步逐步计算。 例题：计算下面图形的表面积。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 【答案】914dm2 【分析】由于上面的圆柱与下面的正方体组合在一起，圆柱的直径为正方体的边 10dm，上 面的圆柱只求侧面积，下面正方体求表面积，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，正方体的 表面积公式：S＝6a2，代入数据后求和即可。 【详解】3.14×10×10＋10×10×6 ＝31.4×10＋100×6 ＝314＋600 ＝914（dm2） 这个图形的表面积是 914dm2。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 圆柱的体积 一、 基础知识讲解 1.圆柱的体积 名称 图形 体积（V） 圆柱 V=Sh 2.圆柱的体积推导 把圆柱平均分成 16 份，能拼成一个近似的长方体，如果把圆柱底面平均分成 32 份、64 份… 可以想象得出，分的份数越多，拼成的图形越接近长方体。 拼成的长方体的体积等于圆柱体积，拼成的长方体的底面积等于圆柱底面面积，拼成长方体 的高等于圆柱的高。 长方体的体积 = 底面积 × 高 圆柱的体积 = 底面积 × 高 用字母表示：V=Sh=πr 2 h 二、 考法技法提炼 考法 1：求圆柱的体积及逆运算 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 22 解题方法：正确利用体积的计算公式，V=Sh=πr2h，代入对应数量，求体积。 注意：求已知体积求其他量时，也可以列方程解答。 例题 1：求出下面立体图形的体积。 【答案】942 立方厘米 【分析】根据圆柱的体积公式，V＝πr2h，代入数据计算即可。 【详解】3.14×52×12 ＝3.14×25×12 ＝3.14×300 ＝942（立方厘米） 圆柱的体积是 942 立方厘米。 考法 2：根据圆柱体积解决实际问题 解题方法：根据体积计算公式，先求出圆柱的体积，然后根据相关数量关系，解决相应问题。 例题 2：一根圆柱形木料底面直径是 0.4 米，长 5米。如果做一张课桌用去木料 0.02 立方米。这根木料最多能做多少张课桌？（不考虑损耗） 【答案】31 张 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，求出木料体积，木料体积÷一张课桌用的木料体积＝ 能做的课桌数量，最后无论剩下多少木料，只要不够一张课桌的用量，就无法制作一张课桌， 结果用去尾法保留近似数即可，据此列式解答。 【详解】3.14×（0.4÷2）2×5 ＝3.14×0.22×5 ＝3.14×0.04×5 ＝0.628（立方米） 0.628÷0.02≈31（张） 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 23 答：这根木料最多能做 31 张课桌。 三、 易错提示 易错点 1：错误运用圆柱体积计算公式 易错诠释：根据圆柱的体积公式和积的变化规律解决相应问题。 例题 1：一个圆柱体的底面半径扩大到原来的 3 倍，高缩小到原来的 1 3 ，则体积不变。 （ ) 【答案】× 【分析】根据半径扩大到原来 3 倍，圆的面积就扩大到原来的 9 倍，已知把一个圆柱体底面 半径扩大到原来的 3倍，高缩小到原来的 1 3 ，由圆柱的体积公式：V＝Sh，再根据积的变化 规律解答。 【详解】由分析可知： 一个圆柱体的底面半径扩大到原来的 3倍，则圆柱的底面积就扩大到原来的 9倍，高缩小到 原来的 1 3 ，则体积就扩大到原来的 9× 1 3 ＝3 倍。原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题主要根据圆柱的体积公式和积的变化规律解决问题。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 24 圆柱的容积 一、 基础知识讲解 1.圆柱的容积 名称 图形 体积（V） 圆柱的 容积 V=Sh 2.圆柱的容积的应用 圆柱形容器公式的应用与圆柱体积公式的应用计算方法相同。圆柱体容器容积的计算需要注 意的是其直径是从内部测量的，一般称为内直径。 用字母表示：V=Sh=πr 2 h 二、 考法技法提炼 考法 1：圆柱容积的计算及应用 解题方法：灵活掌握容积的计算方法，V=Sh=πr2h，认真审题，解决实际问题。 例题 1：如图，这个圆柱形水桶可以装（ )mL 水。 【答案】282600 【分析】根据圆柱的容积公式：V＝πr 2 h，据此代入数值进行计算即可。 【详解】3.14×（60÷2） 2 ×100 ＝3.14×30 2 ×100 ＝3.14×900×100 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 25 ＝2826×100 ＝282600（cm3） 282600cm3＝282600mL 则这个圆柱形水桶可以装 282600mL 水。 【点睛】本题考查圆柱的容积，熟记公式是解题的关键。 考法 2：容积的逆运算 解题方法：根据容积计算公式，V＝Sh，推导 S=V÷h，分析题目，解决相应问题。 例题 2：如图，把 10 升水倒入甲容器中水深 8厘米，倒入乙容器中水深 12 厘米。求甲、乙 容器底面积的比。（要写出想法过程） 【答案】3∶2；过程见详解 【分析】根据长方体和圆柱的容积公式：V＝Sh，据此分别求出甲、乙容器的底面积，进而 求出底面积的比。 【详解】10 升＝10 立方分米＝10000 立方厘米 10000÷8＝1250（平方厘米） 10000÷12＝ 2500 3 （平方厘米） 1250∶ 2500 3 ＝（1250×3）∶（ 2500 3 ×3） ＝3750∶2500 ＝（3750÷1250）∶（2500÷1250） ＝3∶2 答：甲、乙容器底面积的比是 3∶2。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 26 三、 易错提示 易错点 1：错误理解容积与其他数量的关系 易错诠释：熟练掌握圆柱体积（容积）的计算公式，明确单个底面半径或高不能决定圆柱的 体积（容积）。 例题 1：一个圆柱形油桶，它的底面半径越大，容积就越大。（ ) 【答案】× 【分析】圆柱形油桶的容积＝底面积×高，因此容积是由底面积、高两个因素共同决定的据 此判断。 【详解】一个圆柱形油桶，它的底面半径越大，底面积越大，但是高并不确定，所以容积无 法确定。原题说法错误。 故答案为：× 易错点 2：不能区分体积和容积的区别 易错诠释：容积与体积的概念不同，在不忽略容器的壁厚时，物体的体积和容积是有区别 的。 例题 2：容积 100L 的圆柱形油桶，它的体积一定是 100 立方分米。（ ） 【答案】× 【分析】首先明确容积与体积的概念不同，容积是容器所能容纳别的物体的体积，而体积是 物体所占空间的大小。 【详解】虽然容积与体积的计算方法相同，1000 升＝1000 立方分米，但是计算容积是从里 面量有关数据，计算体积是从外面量有关数据。 故答案为：×。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 27 立体图形的切拼（圆柱） 一、 基础知识讲解 1.分隔 分隔 图形 表面积变化 体积变化 横切 表面积增加 2 倍底面积， 即 S 增=2πr² 体积不变 竖切 （过直径） 切面是长方形，表面积增 加两个长方形的面积，即 S 增=4rh 2.拼合 拼合 图形 表面积变化 体积变化 同底圆柱 表面积等于两个圆柱的 表面积之和减去两个底 面积 总体积等于两个 圆柱体积之和 不同底圆 柱 表面积等于两个圆柱的 表面积之和减去小圆柱 两个底面积 二、 考法技法提炼 考法：圆柱切拼后体积或表面积的计算 解题方法：理解立体图形切拼后体积和表面积的变化情况，结合实际情况进行灵活计算。 例题：计算下面半个圆柱的表面积。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 28 【答案】151.62dm2 【分析】由图可知：这个半圆柱的表面积包括一个长方形的面积，圆柱的侧面积的一半及上 下两个半圆的面积之和就是一个底面积；根据圆柱的表面积公式： = +2S S S表 侧 底，其中 dhS 侧 π ， 2S  底 πr ， 2r d  ，代入数据进行计算即可。 【详解】 2 3.14 6 8 2 3.14 (6 2) 8 6        18.84 8 2 3.14 9 48      75.36 28.26 48    2151.62 dm 三、 易错提示 易错点：错误认为把圆柱切开后表面积减少了 易错诠释：圆柱横切表面积增加 2 倍底面积，即 S 增=2πr²，竖切后切面是长方形， 表面积增加两个长方形的面积，即 S 增=4rh。 例题：一根圆柱形木料的底面半径是 0.5 米，长是 2米。如图所示，将它截成 4 段，这些木 料的表面积之和比原木料的表面积增加了多少平方米？ 【答案】4.71 平方米 【分析】看图，截成 4 段，增加了 6 个底面积。底面积＝πr2，据此先求出一个面的面积， 再乘 6，即可解题。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 29 【详解】3.14×0.52×6 ＝3.14×0.25×6 ＝0.785×6 ＝4.71（平方米） 答：这些木料的表面积之和比原木料的表面积增加了 4.71 平方米。 橙 子 学