第二单元 2.圆锥

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 二 圆柱和圆锥 2.圆锥 圆锥的认识及特征 一、 基础知识讲解 1.圆锥的认识 名称 图形 组成 形成 圆锥 圆锥的底面是个圆，侧 面是一个曲面。 把一张直角三角形的硬纸贴在 木棒上，快速转动，转动起来 形成一个圆锥。 （一）圆锥的认识及特征 （二）圆柱与圆锥体积的关系 （三）圆锥的体积（容积） （四）体积的等积变形（圆柱、圆锥） （五）立体图形的切拼（圆锥） （六）组合体的体积（圆柱、圆锥） （七）不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 圆锥底面圆周上任一点与顶点 之间的距离都相等。 从圆锥的顶点到底面圆心的距 离是圆锥的高，高用字母 h表 示，圆锥只有一条高。 2.圆锥的特征 圆锥的侧面是一个曲面。 归纳：圆锥只有一个底面，底面是个圆。圆锥的侧面是一个曲面，展开后为扇形。从圆锥的 顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥有且只有一条高。 圆锥的截面有可能是三角形或者圆形。如果将一个圆锥沿它的高平均切成两半，截面是一个 三角形；如果将一个圆锥平行于底面切成两半，截面是一个圆。 二、 考法技法提炼 考法 1：掌握圆锥的特征 解题方法：圆锥只有一个底面，底面是个圆。圆锥的侧面是一个曲面，展开后为扇形。从 圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥有且只有一条高。 例题 1：我知道了圆锥有一个（ )，一个（ )，一个（ )。（ ） 是一个圆，（ ）展开后是一个扇形。圆锥只有（ ）条高。 【答案】 顶点 底面 侧面 底面 侧面 一 【分析】根据圆锥各部分的名称和特征解答。 【详解】 如图所示，圆锥有一个（顶点），一个（底面），一个（侧面）。（底面）是一个圆，（侧 面）展开后是一个扇形。圆锥只有（一）条高。 【点睛】考查对圆锥各部分的认识。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 考法 2：直角三角形的旋转 解题方法：掌握圆锥的特征，明确沿着直角三角形的不同直角边旋转得到的圆锥是不同的。 例题 2：如下图，将直角三角形 ABC 的直角边 AB 所在直线为轴旋转一周，所得到立体图形 是（ )，底面积为（ )cm2。 【答案】 圆锥 28.26 【分析】如果以三角形直角边 AB 所在直线为轴旋转一周，其旋转所形成图形是一个圆锥体， 圆锥体底面半径为 3cm 的圆，根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数据进行解答即可。 【详解】3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 所得到立体图形是圆锥，底面积为 28.26cm2。 【点睛】此题主要考查了学生对圆锥底面积的计算。 三、 易错提示 易错点：错误理解圆锥截面的特征 易错诠释：圆锥的截面有可能是三角形或者圆形。如果将一个圆锥沿它的高平均切成两半， 截面是一个三角形；如果将一个圆锥平行于底面切成两半，截面是一个圆。 例题 1：在圆柱和圆锥上任意切一刀，截面都有可能是长方形。（ ) 【答案】× 【分析】在圆柱上任意切一刀，可能会出现长方形，但是圆锥上任意切一刀，截面可能是三 角形，圆之类的图形，不可能是长方形。 【详解】因为在圆锥上任意切一刀，截面不可能是长方形，所以题目中的说法不正确。 故答案为：× 【点睛】考查圆柱与圆锥的截面可能是什么图形。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 圆柱与圆锥体积的关系 一、 基础知识讲解 1.圆柱与圆锥体积的关系探究 等底、等高的圆柱、圆锥形容器 用倒沙子或倒水的方法，把圆锥装满往圆柱里面倒，或者把圆柱装满往圆锥里面倒，正好倒 3次 等底、等高的圆锥、圆柱的体积关系是圆柱的体积是圆锥体积的 3 倍，圆锥的体积是圆柱体 积的 3 1 2.圆柱与圆锥体积的关系 等底等高的圆锥和圆柱体积关系：圆锥的体积= 3 1 ×圆柱的体积 二、 考法技法提炼 考法：圆柱与圆锥体积的关系解决一些简单的问题 解题方法：正确理解等底、等高的圆锥、圆柱的体积关系是圆柱的体积是圆锥体积的 3 倍， 圆锥的体积是圆柱体积的 3 1 。 例题 1：一个圆柱的体积是 75.36 立方米，与它等底、等高的圆锥的体积是( )立方 米。 【答案】25.12 【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的 1 3 ，已知圆柱的体积，求圆锥的体积，用圆柱 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 的体积× 1 3 ，即可解答。 【详解】75.36× 1 3 ＝25.12（立方米） 与它等底、等高的圆锥的体积是 25.12 立方米。 三、 易错提示 易错点：错误理解圆柱与圆锥体积的关系 易错诠释：等底、等高的圆锥、圆柱的体积关系是圆柱的体积是圆锥体积的 3 倍，圆锥的体 积是圆柱体积的 3 1 ，关键强调等底等高。 例题：圆柱的体积一定是圆锥体积的 3 倍。( ) 【答案】× 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高× 1 3 ，等底等高的圆柱的 体积是圆锥体积的 3倍，所以在没有确定圆柱与圆锥是否等底等高的前提条件下，无法确定 圆柱与圆锥体积的大小，据此判断。 【详解】在没有确定圆柱与圆锥是否等底等高的前提条件下，无法确定圆柱与圆锥体积的关 系。因此原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 圆锥的体积（容积） 一、 基础知识讲解 1.圆柱与圆锥体积的关系 等底、等高的圆锥、圆柱的体积关系：圆锥体积=圆柱体积的 3 1 圆柱的体积=圆柱的底面积×圆柱的高 圆锥的体积= 3 1 ×圆锥的底面积×圆锥的高 用字母表示：V 圆锥= 3 1 V 圆柱= 3 1 Sh 2.圆锥的体积（容积） V 圆锥== 3 1 Sh 变式： 已知半径及高：V 圆锥== 3 1 πr 2 h 已知直径及高：V 圆锥== 3 1 π（ 2 d ）2 h 已知底面周长及高：V 圆锥== 3 1 π（ π2 C ）2 h 二、 考法技法提炼 考法 1：求圆锥的体积或容积 解题方法：V 圆锥== 3 1 Sh，V 圆锥== 3 1 πr 2 h， V 圆锥== 3 1 π（ 2 d ）2 h，V 圆锥== 3 1 π（ π2 C ）2 h，结合不同的已知条件，正确利用公式计算。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 例题 1：求圆锥的体积。（单位：米） 【答案】29.4375 立方米 【分析】图形中圆锥的底面直径是 5，高是 4.5。代入圆锥的体积公式 21 3 S r h圆锥 计算即 可。 【详解】 21 3.14 (5 2) 4.5 3     ＝ 21 3.14 2.5 4.5 3    ＝ 1 3.14 6.25 4.5 3    ＝3.14 6.25 1.5  ＝29.4375（立方米） 则圆锥的体积是 29.4375 立方米。 考法 2：利用圆锥的体积解决实际问题 解题方法：灵活运用圆锥体积的计算方法，结合实际问题，找寻题目中的数量关系，正确计 算。 例题 2：工地上有一堆沙子，其形状近似于一个圆锥（如下图）。这堆沙子的体积大约是多 少？如果每立方米沙子大约重 1.5 吨，这堆沙子大约重多少吨？ 答：______________________________。 【答案】6.28 立方米；9.42 吨 【分析】沙堆近似于一个圆锥，已知圆锥的底面直径和高，可以先求底面面积，再根据公式 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 圆锥的体积＝ 1 3 ×底面积×高，就可以出这堆沙子的体积；每立方米沙子大约重 1.5 吨，用 这堆沙子的体积乘 1.5，就可以求这堆沙子大约重多少吨。 【详解】沙堆的底面积： 243.14 2      ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 沙堆的体积： 1 12.56 1.5 6.28 3    （立方米） 沙堆重： 6.28 1.5 9.42  （吨） 答：这堆沙子的体积大约是 6.28 立方米，这堆沙子大约重 9.42 吨。 三、 易错提示 易错点：错误认为圆锥底面积相等体积也相等 易错诠释：V 圆锥== 3 1 Sh，圆锥的体积不仅仅和底面积有关，还和高有关系。 例题：底面积相等的两个圆锥的体积也一定相等。( ) 【答案】× 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝ 1 3 Sh，据此举例计算并判断即可。 【详解】如：两个圆锥的底面积为 9，其中一个圆锥的高为 3，另一个圆锥的高为 10 1 3 ×9×3 ＝3×3 ＝9 1 3 ×9×10 ＝3×10 ＝30 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 此时两个圆锥的底面积相等，但高不同，两个圆锥的体积不相等。原题干说法错误。 故答案为：× 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 体积的等积变形（圆柱、圆锥） 一、 基础知识讲解 1.体积的等积变形 类别 图形 总结 体积、底面 积都相等 当圆柱和圆锥的体积、底面积 都相等时，圆锥的高是圆柱高 的 3 倍。 体积、高都 相等 当圆柱和圆锥的体积、高都相 等时，圆锥的底面积是圆柱底 面积的 3 倍。 2.解决等体积变换问题方法 、 二、 考法技法提炼 考法：圆柱、圆锥等积变形后高或底的变化 解题方法：当圆柱和圆锥的体积、底面积都相等时，圆锥的高是圆柱高的 3倍；当圆柱和圆 锥的体积、高都相等时，圆锥的底面积是圆柱底面积的 3倍。 例题：小明把一个底面半径是 5厘米，高是 8 厘米的圆柱形橡皮泥捏成一个圆锥形模型。这 个模型的体积是( )立方厘米；如果这个模型的底面半径也是 5 厘米，则它的高 是 ( )厘米。 【答案】 628 24 【分析】根据题意，把一个圆柱形橡皮泥捏成一个圆锥形模型，这个橡皮泥的体积不变，即 圆锥的体积等于圆柱的体积，根据圆柱的体积公式 V＝πr 2 h，求出这个模型的体积； 为了体积不变，思考 什么要变，怎么变 仔细计算明确什么不变 思考能否简便计算 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 已知圆柱和圆锥的底面半径都是 5厘米，则它们的底面积相等；因为圆锥和圆柱等体积等底 面积，那么圆锥的高等于圆柱高的 3 倍，据此解答。 【详解】橡皮泥的体积： 3.14×52×8 ＝3.14×25×8 ＝628（立方厘米） 圆锥的高：8×3＝24（厘米） 这个模型的体积是 628（立方厘米），它的高是 24 厘米。 三、 易错提示 易错点：错误认为圆柱锻造成圆锥体积缩小到它的 3 1 易错诠释：把一个物体锻造成其他的物体时体积是不变的，然后根据体积的等积变形进一步 计算。 例题：把一个底面积是 9.42 平方厘米的圆柱形实心铁块，锻造成一个与它高相等的实心圆 锥，圆锥的底面积是 3.14 平方厘米。( ) 【答案】× 【分析】根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高 × 1 3 ；圆柱的体积＝圆锥的体积，即圆柱底面积×圆柱的高＝圆锥的底面积×圆锥的高× 1 3 ； 圆柱的高＝圆锥的高，由此可知，圆柱的底面积×3＝圆锥的底面积，据此求出圆锥的底面 积，再进行比较，即可解答。 【详解】9.42×3＝28.26（平方厘米） 把一个底面积是 9.42 平方厘米的圆柱形实心铁块，锻造成一个与它高相等的实心圆锥，圆 锥的底面积是 28.26 平方厘米。 原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握圆柱的体积公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 立体图形的切拼（圆锥） 一、 基础知识讲解 1.分隔 分隔 图形 变化 横切 增加了两个圆形的面 竖切 把圆锥沿着底面直径和高切开之后，成了两 个相同的部分，这两部分的表面积比原来圆 锥的表面积多出了两个三角形，并且是两个 等腰三角形。三角形的底就是圆锥的底面直 径，三角形的高就是圆锥的高。 2.拼合 拼合 图形 体积变化 和长方形拼 总体积等于圆锥体积加拼合其他立体图形体 积之和 和圆柱拼 二、 考法技法提炼 考法 1：相关体积的计算 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 解题方法：立体图形的切拼计算，主要是借用规则图形减规则图形，或者规则图形加规则图 形，计算时要认真分析。 例题 1：把如图所示的圆锥从中间切开，下半部分的体积是多少？（单位：厘米） 【答案】593.46 立方厘米 【分析】先求出上面圆锥的高，下半部分的体积＝大圆锥的体积－小圆锥的体积，根据圆锥 的体积 V＝ 1 3 πr 2 h＝ 1 3 Sh，把数值代入公式，依次解答即可。 【详解】18÷2＝9（厘米） 1 3 ×3.14×6 2 ×18－ 1 3 ×3.14×3 2 ×9 ＝ 1 3 ×3.14×36×18－ 1 3 ×3.14×9×9 ＝ 1 3 ×113.04×18－ 1 3 ×28.26×9 ＝37.68×18－9.42×9 ＝678.24－84.78 ＝593.46（立方厘米） 下半部分的体积是 593.46 立方厘米。 三、 易错提示 易错点 1：对于拼合的立体图形没计算总体体积 易错诠释：计算时要仔细分析，看清题目中组合的各部分的体积，然后加在一起，在分步进 行计算时，切记最后要加在一起。 例题 1：求下面图形的体积。（单位：cm） 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 【答案】 3320.28cm 【分析】这个图形的体积＝圆柱的体积＋圆锥的体积，圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体 积＝ 1 3 ×底面积×高，底面积＝ 2r ，根据公式计算即可。 【详解】6 2 3cm ＝ 2 213.14 3 10 3.14 3 4 3       ＝3.14 90 3.14 12   ＝3.14 102 ＝ 3320.28cm 所以这个图形的体积是 3320.28cm 。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 组合体的体积（圆柱、圆锥） 一、 基础知识讲解 1.圆柱和圆锥的体积计算 类别 计算方法 圆柱体积 V 圆柱=Sh=πr 2 h 圆锥体积 V 圆锥== 3 1 Sh= 3 1 πr 2 h 2.组合体的体积计算 类别 组合图形 计算方法 圆柱、圆锥组合 圆柱体积+圆锥体积 二、 考法技法提炼 考法 1：圆柱、圆锥组合体体积的计算 解题方法：把组合体分成圆柱和圆锥，分别计算，然后用圆柱体积+圆锥体积，求出组合体 的体积。 例题 1：求如图图形的体积。（图中单位：厘米） 取 3.14。 【答案】75.36 立方厘米 【分析】此图形事由直径为 4 厘米，高为 5 厘米的圆柱体和直径为 4 厘米高为 3 厘米的圆锥 体组成的。圆柱体体积＝ 2r h ，圆锥体体积＝ 2 1 3 r h ，圆的直径为 4 厘米，则半径为 4÷2 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 ＝2 厘米，组合图形体积＝圆柱体体积＋圆锥体体积，代入数据计算即可。 【详解】 ×（4÷2）2×5＋ 1 3  ×（4÷2）2×3 ＝ ×22×5＋ 1 3  ×22×3 ＝ ×4×5＋ ×4 ＝ ×20＋4× ＝（20＋4）× ＝24× ＝24×3.15 ＝75.36（立方厘米） 即，组合图形体积是 75.36 立方厘米。 三、 易错提示 易错点 1：仅仅求出各分开图形的体积 易错诠释：计算时，求出各规则图形的体积后，最终加在一起。 例题 1：下边是一个零件，它的体积是 600 立方厘米，那么上面圆锥部分的体积是多少立方 厘米？ 【答案】300 立方厘米 【分析】根据题意可知，圆柱的底面积和圆锥的底面积相等，设圆锥底面积为 x平方厘米， 圆柱底面积也是 x 平方厘米，根据圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式： 体积＝底面积×高× 1 3 ，圆柱的体积＋圆锥的体积＝600 立方厘米，列方程：4x＋12x× 1 3 ＝ 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 600，解方程，求出圆锥的底面积，进而求出圆锥的体积。 【详解】解：设圆柱和圆锥的底面相同是 x平方厘米。 4x＋12x× 1 3 ＝600 4x＋4x＝600 8x＝600 x＝600÷8 x＝75 75×12× 1 3 ＝900× 1 3 ＝300（立方厘米） 答：上面圆锥部分的体积是 300 立方厘米。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 不规则物体的体积算法（圆柱、圆锥） 一、 基础知识讲解 1.圆柱和圆锥的体积计算 类别 计算方法 圆柱体积 V 圆柱=Sh=πr 2 h 圆锥体积 V 圆锥== 3 1 Sh= 3 1 πr 2 h 2.不规则物体的体积算法 形式 解决方法 计算方法 两个不规则物体组合在一起 求出组合后的新圆柱体积÷2 转化成规则物体 左边液体的体积+右边空瓶体积 转化成一个完整的圆柱 圆柱体积÷2 转化成圆锥 大圆锥体积-上面小圆锥体积 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 转化成圆锥 圆锥体积÷2 二、 考法技法提炼 考法：不规则物体的体积的计算 解题方法：利用转化的思想，把不规则物体转化为规则物体，可以用补上一个相同的立体图 形，或者分隔成几个规则物体，利用公式进行计算。 例题：如图，瓶子的高度是 25 厘米，里面装有 600 毫升的食用油，油面高 15 厘米，若将其 倒置，则油面高 18 厘米，求这个瓶子的容积。 【答案】880 毫升 【分析】已知瓶子里面装有 600 毫升的食用油，瓶子正放时，食用油是一个高 15 厘米的圆 柱，根据圆柱的底面积公式 S＝V÷h，求出这个瓶子的底面积； 瓶子倒置时空白部分是一个高（25－18）厘米的圆柱，根据圆柱的体积（容积）公式 V＝Sh， 求出瓶子倒置时空白部分的容积； 用食用油的体积加上瓶子倒置时空白部分的容积，即是这个瓶子的容积。注意单位的换算： 1毫升＝1 立方厘米。 【详解】600 毫升＝600 立方厘米 瓶子的底面积： 600÷15＝40（平方厘米） 瓶子倒置时空白部分的体积： 40×（25－18） ＝40×7 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 ＝280（立方厘米） 瓶子的容积： 600＋280＝880（立方厘米） 880 立方厘米＝880 毫升 答：这个瓶子的容积是 880 毫升。 三、 易错提示 易错点：忘记减去补上的图形体积 易错诠释：利用补充成规则物体进行计算时，不要忘记去掉多余的部分。 例题：求下面图形的体积。（单位：cm） 【答案】12.56cm3 【分析】观察图形可知，该图形的体积等于底面直径为 2cm，高为（3＋5）cm 的圆柱的体积 的一半，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。 【详解】    23.14 2 2 3 5 2     ＝ 23.14 1 8 2   ＝3.14 1 8 2   ＝ 3.14 8 2  ＝25.12÷2 ＝12.56（cm3） 橙 子 学