三年级第九单元数学广角——集合-2024-2025学年小学数学上学期期末重难点复习攻略（人教版）

【重难点攻略】人教版数学三年级上册第九单元数学广角——集合 知识点1 集合的概念及性质 1.集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。如全班中会跳舞的人就构成了一个集合，这个集合的特点就是会跳舞。 2.集合常常可以解决一些重叠问题，又称容斥问题。容斥问题涉及到一个重要原理—包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。 1．把下面动物的序号填在合适的位置。 2．同学们参加义务劳动。周六参加的有：小静、玲玲、丁丁、小红、阿军、大林。周日参加的有：玲玲、小云、豆豆、阿军、小雨。 （1）把名单写到相应的圈里。 （2）既参加周六劳动，又参加周日劳动的有________人。 （3）这两天参加义务劳动的一共有________人。 3．把动物下面的字母填在合适的位置。 4．学校举行元旦联欢会，聪聪、明明各带了一些食品。 （1）两人带的同样的食品有几种？分别是什么？ （2）两人一共带了几种食品？ 5．下面是三（1）班参加兴趣小组的同学名单。 书法小组 王强 李红 赵小明 李丽 刘洋 胡兰 手工小组 刘明 李丽 李红 王天一 赵丹 （1）参加书法小组的有________人，参加手工小组的有________人。 （2）有________人既参加了书法小组，又参加了手工小组。 （3）填一填。 （4）参加这两个兴趣小组的同学一共有多少人？ 知识点2 两量重叠问题 1.研究有叠数的计数问题，即包含与排除问题，通常需要画出示意图，这样的示意图叫文氏图。 2.容斥问题的解决方法： ①重叠问题的解题策略：先从已知条件入手进行分析，画出集合图，再借助集合图进行思考。 ②重叠问题的解题方法：方法一，两部分相加后减去重复部分；方法二，一部分减去重复部分，再加上另一部分。 ③文氏图是体现条件的最基本最直观的方法，我们要灵活应用，不能随便套用公式。我们先理解图中各部分含义，再来看相加时每个部分“包含了几次”，然后把重叠的部分减去。 3.两量重叠问题：A、B总数＝A＋B－AB重叠 6．如图所示，一根木棍长78厘米，另一根木棍长40厘米，两根木棍钉在一起共长98厘米。那么中间钉在一起的木棍长度是多少厘米？ 7．三（3）班共有学生61人，每人要看故事书或科技书至少一本，已知看故事书的有42人，看科技书的也有42人，两种书都看的有多少人？ 8．三（2）班一共有42人，会打乒乓球的有23人，会打羽毛球的有25人，每人至少会打这两种球中的一种，两种球都会打的有( )人。 9．学校乐器队招收了40名新学员，会拉小提琴的有25人，会弹电子琴又会拉小提琴的有16人，两项都不会的有1人。会弹电子琴的有多少人？ 10．这两张长度都是10厘米的纸条粘在一起，它们的一部分重叠在一起（如下图），重叠部分长多少厘米？ 知识点3 三量重叠问题 三量重叠问题：A、B、C总数＝A＋B＋C－AB重叠－BC重叠－AC重叠＋ABC重叠。 11．在下图中，上面的圆表示参加数学竞赛的人，左下角的圆表示参加英语竞赛的人，右下角的圆表示参加科技竞赛的人，那么同时参加数学竞赛和英语竞赛，但没有参加科技竞赛的人是（    ）部分。 A．①和② B．④ C．① D．⑦ 12．在下侧的文氏图中，上面的圆表示参加数学竞赛的人，左下角的圆表示参加英语竞赛的人，右下角的圆表示参加科技竞赛的人，图中的数字表示每部分的人数，那么只参加一种竞赛的共有( )人。 13．高思学校有学生1000人，现有《中国少年报》、《少年文艺》和《数学报》三种报刊，其中只订阅一种报刊的有600人，只订阅两种报刊的有200人，三种报刊都订阅的有50人，请问：这个学校有多少人没有订报？ 14．在天大附小五年级一班，有30人参加数学小组；20人参加英语小组，15人参加生物小组。只参加两个小组的有20人，三个小组都参加的有5人，那么五年级一班参加兴趣小组的共有（    ）人。 A．50人 B．45人 C．40人 D．35人 15．在下侧文氏图中，上面的圆表示喜欢吃西瓜的人，左下角的圆表示喜欢吃苹果的人，右下角的圆表示喜欢吃葡萄的人，那么既喜欢吃苹果又喜欢吃葡萄的是（    ）部分。 A．⑥和⑦ B．②和③ C．⑥ D．⑦ 16．在下侧的文氏图中，上面的圆表示参加跳远比赛的人，左下角的圆表示参加跳高比赛的人，右下角的圆表示参加跳水比赛的人，图中的数字表示每部分的人数，那么只参加两项比赛的共有( )人。 17．八一小学五年级组织足球、篮球、排球兴趣小组。已知足球小组有40人，篮球小组有30人，排球小组有20人；同时参加足球和蓝球小组的有10人，同时参加篮球和排球小组的有6人，同时参加足球和排球小组的有4人；3个小组都参加的有2人。那么该校五年级共有（    ）名学生参加兴趣小组。 A．90 B．72 C．70 D．68 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．见详解 【分析】根据常识可知，海豚、天鹅、金鱼、鲫鱼、海鸥、乌龟都会游泳，猫头鹰、天鹅、蝴蝶、海鸥、老鹰、鸽子都会飞，其中天鹅和海鸥既会游泳又会飞，据此填空即可。 【详解】 2．（1）见详解 （2）2 （3）9 【分析】（1）由题意得，周六参加义务劳动的有：小静、玲玲、丁丁、小红、阿军、大林，周日参加义务劳动的有：玲玲、小云、豆豆、阿军、小雨，两天都参加义务劳动的有：玲玲和阿军。按照题目要求将他们的名字填入圈中即可。 （2）由题意得，既参加周六劳动，又参加周日劳动的有：玲玲和阿军，一共有2人。 （3）由题意得，周六参加义务劳动的有6人，周日参加义务劳动的有5人，既参加周六劳动又参加周日劳动的有2人，直接用6加5再减去2即可算出这两天参加义务劳动的一共有多少人。 【详解】 （1） （2）由（1）可知，既参加周六劳动，又参加周日劳动的有2人。 （3）6＋5－2 ＝11－2 ＝9（人） 故这两天参加义务劳动的一共有9人。 3．见详解 【分析】根据图示陆地上的动物有：A、C、G；水陆路两栖的动物有B；水里的动物有D、E、G；据此填空即可。 【详解】 4．（1）3种；瓜子、水果糖、橘子。 （2）10种 【分析】（1）根据图可知，两人带的同样的食品有瓜子、水果糖、橘子，有3种。 （2）聪聪的食品有6种，明明的食品有7种，其中有3种食品两人都有，也就是重复出现，所以用聪聪的食品数量＋明明的食品数量－重复出现的食品数量＝两人一共带的食品数量。 【详解】（1）两人带的同样的食品有3种，分别是瓜子、水果糖、橘子。 （2）7＋6－3＝10（种） 答：两人一共带了10种食品。 5．（1）6；5 （2）2 （3）见详解 （4）9人 【分析】（1）通过数一数的方法，可以知道参加书法小组的有6人，参加手工小组的有5人。 （2）既参加了书法小组，又参加了手工小组的有：李红、李丽，一共2人。 （3）在图中填名字时，中间重叠的部分要填两个兴趣小组都参加的学生，不重叠的部分根据名称只填写参加一个兴趣小组的学生。 （4）计算参加这两个兴趣小组的同学一共有多少人时，可以用只参加书法小组的人数＋只参加手工小组的人数＋两个兴趣小组都参加的人数。 【详解】（1）参加书法小组的有6人，参加手工小组的有5人。 （2）有2人既参加了书法小组，又参加了手工小组。 （3） （4）4＋2＋3＝9（人） 答：参加这两个兴趣小组的同学一共有9人。 6．20厘米 【分析】两根木棍绑在一起，重叠部分的长度等于原来两根木棍的总长度减去钉在一起的木棍现在的长度。由题意得，一根木棍长78厘米，另一根木棍长40厘米，两根木棍钉在一起共长98厘米，那么直接用78加上40再减去98即可算出中间钉在一起的木棍长度是多少厘米。 【详解】78＋40－98 ＝118－98 ＝20（厘米） 答：中间钉在一起的木棍长度是20厘米。 7．23人 【分析】根据题意，先把有科技书和故事书的人数相加，再减去全班人数，就是两种都看的人数。 【详解】42＋42－61 ＝84－61 ＝23（人） 答：两种书都看的有23人。 8．6 【分析】根据题意，用会打乒乓球的人数加上会打羽毛球的人数，再减去三（2）班的总人数，就是两种球都会打的人数。 【详解】23＋25－42 ＝48－42 ＝6（人） 所以，两种球都会打的有6人。 【点睛】解答本题的依据为容斥原理之一：既是A类又是B类的元素个数＝属于A类元素个数＋属于B类元素个数－A类B类元素个数总和。 9．30人 【分析】根据题意，先求出只会拉小提琴的人数：25－16＝9（人），然后用总人数减去只会拉小提琴的人数以及两项都不会的人数，就是会弹电子琴的人数；据此解答。 【详解】25－16＝9（人） 40－9－1＝30（人） 答：会弹电子琴的有30人。 10．2厘米 【分析】根据题意，把两段一样长的纸条粘合在一起，重叠部分＝两个长度都是10厘米的彩带的总长－现在的长度，由此求解。 【详解】10＋10－18 ＝20－18 ＝2（厘米） 答：重叠部分长2厘米。 11．B 【分析】由题意得，上面的圆表示参加数学竞赛的人，左下角的圆表示参加英语竞赛的人，右下角的圆表示参加科技竞赛的人，那么两个圆交叉的部分就表示两种竞赛都参加的人，三个圆交叉的部分就表示三种竞赛都参加的人。据此解答。 【详解】A．由图可知，①部分表示只参加数学竞赛的人，②部分表示只参加英语竞赛的人，不满足题意。 B．由图可知，④部分表示同时参加数学竞赛和英语竞赛，但没有参加科技竞赛的人，满足题意。 C．由图可知，①部分表示只参加数学竞赛的人，不满足题意。 D．由图可知，⑦部分表示三种竞赛都参加的人，不满足题意。 故答案为：B 12．78 【分析】此图分为4部分，21、32、25表示分别只参加一种竞赛的人数。14、19、17表示分别只参加两种竞赛的人数。11表示参加三种竞赛的人数。据此填空即可。 【详解】21＋32＋25 ＝53＋25 ＝78（人） 在下侧的文氏图中，上面的圆表示参加数学竞赛的人，左下角的圆表示参加英语竞赛的人，右下角的圆表示参加科技竞赛的人，图中的数字表示每部分的人数，那么只参加一种竞赛的共有（78）人。 13．150人 【分析】根据题意，如图：只订阅一种报刊的E、F、G三部分有600人，只订阅两种报刊的A、B、C三部分有200人，三种报刊都订阅的有D这部分有50人，所以定报刊的一共有600＋200＋50＝850（人），校有学生1000人，用学校总人数减去定了报刊的人数，即可求出没有定报刊的人数。 【详解】600＋200＋50＝850（人） 1000－850＝150（人） 答：这个学校有150人没有订报。 14．D 【分析】根据题意，先用30＋20＋15求出至少参加一个小组的总人数，参加两个小组的有20人，则至少参加一个小组的总人数重复算了20人，三个小组都参加的有5人，则重复算了（5×2）人，用至少参加一个小组的总人数减去20人再减去（5×2）人，即可求出五年级一班参加兴趣小组的共有多少人，据此选择即可。 【详解】30＋20＋15 ＝50＋15 ＝65（人） 5×2＝10（人） 65－20－10 ＝45－10 ＝35（人） 五年级一班参加兴趣小组的共有35人。 故答案为：D 15．C 【分析】①表示只喜欢吃西瓜的人数。②表示只喜欢吃苹果的人数。③表示只喜欢吃葡萄的人数。④表示既喜欢吃西瓜，又喜欢吃苹果的人数。⑤表示既喜欢吃西瓜又喜欢吃葡萄的人数。⑥表示既喜欢吃葡萄又喜欢吃苹果的人数。⑦表示三种水果都喜欢吃的人数。 【详解】在下侧文氏图中，上面的圆表示喜欢吃西瓜的人，左下角的圆表示喜欢吃苹果的人，右下角的圆表示喜欢吃葡萄的人，那么既喜欢吃苹果又喜欢吃葡萄的是⑥部分。 故答案为：C 16．50 【分析】21、32、25表示分别只参加一种比赛的人数。14、19、17表示分别只参加两种比赛的人数。11表示参加三种比赛的人数。据此填空即可。 【详解】14＋19＋17 ＝33＋17 ＝50（人） 在下侧的文氏图中，上面的圆表示参加跳远比赛的人，左下角的圆表示参加跳高比赛的人，右下角的圆表示参加跳水比赛的人，图中的数字表示每部分的人数，那么只参加两项比赛的共有（50）人。 17．B 【分析】由题意得，足球小组有40人，篮球小组有30人，排球小组有20人，可以先用加法算出参加三个兴趣小组的总人数。其中，两个项目都参加的学生被重复计算了，需要减去这部分的人数。同时参加足球和蓝球小组的有10人，同时参加篮球和排球小组的有6人，同时参加足球和排球小组的有4人，可以直接用前面的得数减去两个兴趣小组都参加的人数。但这样计算会把三个兴趣小组都参加的人数减去，所以最后用前面的得数加上三个兴趣小组都参加的人数即可算出该校五年级共有多少名学生参加兴趣小组。 【详解】40＋30＋20－10－6－4＋2 ＝70＋20－10－6－4＋2 ＝90－10－6－4＋2 ＝80－6－4＋2 ＝74－4＋2 ＝70＋2 ＝72（人），即该校五年级共有72名学生参加兴趣小组。 故答案为：B 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$