预习专题02 一次函数的图像（3知识点+11考点+过关检测）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪教版）

专题02 一次函数的图像 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解一次函数的图像是直线,会用描点法画一次函数的图像 2.理解直线的截距的意义,掌握求一次函数图像与坐标轴的交点坐标的方法 3.知道两条平行直线的表达式之间的关系,能运用这种关系确定直线表达式. 4.知道一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系能根据一次函数的图像求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集 知识点一 一次函数的图像 1. 一次函数的图像 一般地,一次函数是常数,且）的图像是一条直线. 【特别提醒】一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这条直线的表达式. 2. 一次函数的图像的画法 （1）描点法：通过“列表、描点、连线”获得. （2）两点法:一般先确定图像上两个点，再经过这两个点画直线, 通常我们选取直线与两坐标轴的交点,即点与. 【依据】两点确定一条直线。 【答疑解惑】两交点点与怎么来的？ 当时，点是直线与轴的交点。 当时,, 是直线与轴的交点. 【提示】(1)为了描点更方便、更准确,通常取横、纵坐标都是整数的两点.(2)有时也可以取点和. 3. 直线的截距 一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距。 一般地，直线与轴的交点坐标是, 直线的截距是. 【易错易混】 "截距" 不是 "截得的距离"，而是指直线与轴交点的纵坐标,它可以是正数、零或负数。如直线 的截距是. 【即学即练1】直线在y轴上的截距 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像与x轴、y轴交点，解题的关键是掌握一次函数的性质． 当时，求出y的值，即可． 【详解】解：当时，， 则直线在y轴上的截距为， 故答案为：． 【即学即练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)求的面积； (2)直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)16 (2)或 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形．熟练掌握直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形是解题的关键． （1）当时，可求；当时，可求，则，计算求解即可； （2）联立，可求，则，由，可得，可求，进而可求点坐标． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为16； （2）解：联立， 解得，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点坐标为或． 【方法技巧总结】 构建方程求直线与坐标轴的交点坐标 此法是求直线与坐标轴交点坐标的常用方法，定水平距离和铅锤高，在轴上的点的距离为,铅锤高即,求交点坐标一般可联立2条直线方程解析式，后面我们在讲一次函数与二元一次方程组专题会具体介绍. 【易错提醒】求直线与两坐标轴围成的三角形的面积时，两直角边长是直线与坐标轴交点的不为的横、纵坐标的绝对值.一定不要忘记加绝对值，分类讨论错误往往是同学们忽略了绝对值，导致漏解！解三角形面积时，一定要有带绝对值的好习惯！ 知识点二 两条直线的位置关系（难点） 1.相交关系 （1）已知两直线和, 当时, 两直线相交. （2）一般地, 直线都经过点，即这些直线相交于同一个点. 【易混易错提醒】 (1) 在坐标平面上, 截距相同的直线都相交, 交点坐标为. (2) 在坐标平面上, 的值不同, 则直线相对于轴正方向的倾㸯程度不同. 常数称为直线的斜率, 关于斜率的确切定义和几何意义将在高中数学中学习。 【拓展】 (1) 直线与相交; (2) 直线相交于轴上一点. 2. 平行关系 (1) 直线与直线 的位置关系: 的 取值 的取值 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 【特别注意】 （1）直线何下平移个单位得到直线.反过来,直线向上平移个单位得到直线. （2）直线向上平移个单位得到直线.反过来，直线向下平䇋个单位得到直线. (2) 直线与的位置关系: (1)直线与平行； (2)直线与重合. 【即学即练1】把函数的图象向上平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式为 ，这两图象的位置关系是 ． 【答案】 平行 【分析】根据一次函数的平移方法“上加下减，左加右减”求解即可． 【详解】解∶将函数的图象向上平移3个单位长度后， ∴得到的新图象对应的函数解析式为． 由平移的性质知∶ 两图象的位置关系是平行． 故答案为∶ ，平行． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象的平移，熟练掌握平移方式是解题关键． 【即学即练2】在平面直角坐标系中，一次函数与的图象的位置关系为 ． 【答案】平行 【分析】若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同，反之亦可． 【详解】解：∵一次函数与中，k的值相同，都为-6，而b的值不同， ∴两条直线互相平行． 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了两直线平行问题，明确两直线平行，则自变量系数相同，即k值相同是关键． 知识点三 一次函数与一元一次方程的关系 1.数的角度:因为任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式, 所以解一元一次方程相当于在某个一次函数的函数值为0时, 求自变量的值. 2.形的角度:一次函数的图像与轴的交点的横坐标是一元一次方程的根. 知识点四 一次函数与一元一次不等式的关系（重点） 1.一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个一元一次不等式都可变形为或是常数,且, 所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数的函数值大于（大于等于）0或小于（小于等于）0时，求自变量的取值范围. 2.利用函数图像解一元一次不等式 从图像上看, 一元一次不等式（或）的解集是在一次函数的图像上位于轴上方（或下方）的所有点的横坐标的取值范围. 【即学即练1】如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 【答案】 【分析】本题考查从图像获取信息的能力，根据一次函数得出函数位于y轴下方时x的取值范围求解即可．理解题意并合理利用图像是关键． 【详解】解：根据图像可知：当时，， 故答案为：． 【即学即练2】一次函数的图像如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数图象的性质与解不等式的综合，根据一次函数图象与坐标轴的交点，图象的性质即可求解． 【详解】解：一次函数的图象与x轴的交点横坐标为， ∴当时，x的取值范围是， 故选：D． 【考点1 正比例函数的图象】 例1．如图表示光从空气进入水中前与入水后的光路图，按下图建立平面直角坐标系，若设入水前与入水后光线所在直线的解析式分别为，，则关于与的关系，正确的是（     ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解． 【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为的两个点A和B， 则，， ∵， ∴， ∵ ∴ 当取横坐标为正数时，同理可得， 综上所述， 故选：D 【变式1-1】正比例函数和一次函数的大致图象是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．根据正比例函数图象所在的象限判定k的符号，根据k的符号来判定一次函数图象所经过的象限．. 【详解】解：A、正比例函数图象经过第一、三象限，则，则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．故本选项错误； B、正比例函数图象经过第一、三象限，则，则一次函数的图象应该经过第二、三、四象限．故本选项错误； C、正比例函数图象经过第二、四象限，则，则一次函数的图象应该经过第一、二、三象限．故本选项正确； D、正比例函数图象经过第二、四象限，则，则一次函数的图象应该经过第一、二、三象限．故本选项错误； 故选：C 【变式1-2】下列各选项是函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数图像的性质，掌握中，函数图像经过第二、四象限且过原点的直线成为解题的关键． 根据正比例函数图像的性质即可解答． 【详解】解：∵函数， ∴该函数的图像是经过第二、四象限且过原点的直线． 故选：C． 【考点2 判断一次函数的图象】 例2．（23-24八年级下·上海·期中）如图，当取何值时，函数的图象在第三象限（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，根据一次函数图象得出答案即可． 【详解】解：根据函数图象可知：时，函数的图象在第三象限． 故选：D． 【变式2-1】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）图1是y与x关系的图象．图2是z与y关系的图象．珍珍设计了一个计算程序，输入x的值后，程序便自动对应图1的图象得到y的值．随后立即将该y值对应图2的图象终得到z的值．若随机输入6个不同的x的值，得到对应的z值．形成6组数对，然后在坐标系中进行描点．则正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，根据函数图像确定函数关系，然后设出解析式，，整理得到，确定图象即可解题． 【详解】解由图象可得y是x的一次函数，z是y的正比例函数， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴z是x的一次函数， 故选D． 【变式2-2】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数和一次函数的图象； 分和，分别根据正比例函数和一次函数的图象与系数的关系判断即可． 【详解】解：当时，函数过二、四象限，函数过一、二、三象限，选项B中函数图象符合； 当时，函数过一、三象限，函数过一、三、四象限，均不符合； 故选：B． 【考点3 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 例3．（2024八年级下·上海·专题练习）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．一次函数的图象和性质与k，b相关，k的正负决定了函数的增减性，b的正负决定了图象与y轴的交点位置． 根据一次函数的图象经过第一、二、四象限，可以得到和的正负，然后根据一次函数的性质，即可得到一次函数图象经过哪几个象限，从而可以解答本题． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， ，， 一次函数图象第一、二、三象限， 故选B． 【变式3-1】（23-24八年级下·上海崇明·期中）直线不经过第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 根据一次函数的图象与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴直线的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限． 故选：A． 【变式3-2】（23-24八年级下·上海普陀·期中）一次函数的图像经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一次函数的解析式的系数，，进而可得答案，熟练掌握理解一次函数的系数与函数图象所经过的象限的关系是解题的关键． 【详解】解：，， 一次函数的图像经过的象限是第一、二、四象限， 故选C． 【考点4 已知函数经过的象限求参数范围】 例4．（22-23八年级上·上海·阶段练习）直线在坐标系中的位置如图所示，它的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交． 根据一次函数经过的图象即可判断； 【详解】解：根据图象可得经过第一、二、四象限， 故， 只有B符合题意， 故选：B． 【变式4-1】（23-24八年级下·上海宝山·期末）下面是两位同学对于某个一次函数（k、b为常数，且）图象的描述： 同学甲：不经过第三象限； 同学乙：经过点． 根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式中，与对函数图象的影响是解题的关键． 根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可． 【详解】解：∵该函数的图象经过点． ， 故， 故D正确，不符合题意； ∵该函数的图象不经过第三象限，经过点． ， 故， 故A、B正确，不符合题意； ， ， ， ， 故C错误，符合题意， 故选：C． 【变式4-2】（23-24八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（ ） A． B．且 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与线段相交求参数问题，理解经过两点求得的是的最值是解题的关键． 先确定直线过定点，要使直线与线段有交点，分别将代入，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵当时，，即直线过定点， ∴当直线经过点，得：， 解得：， 当直线经过点，得：， 解得：， ∴当直线与线段有交点， ∴或， 故选：C． 【考点5 一次函数图象与坐标轴 的交点问题】 例5．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如果直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图形与与坐标轴围城的三角形的面积，求出直线与坐标轴的交点，把求线段的长的问题转化为求函数的交点的问题．求出求出直线与坐标轴的交点，然后根据三角形的面积公式即为可求． 【详解】解：当时，， 当时， 两坐标轴围成的三角形的面积为：． 故答案为：． 【变式5-1】．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像经过点，且与直线平行，这个函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质； 根据与y轴的交点坐标可得b的值，再根据两条直线平行，k值相等，求出k即可． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 又∵一次函数的图像与直线平行， ∴， ∴这个函数解析式为， 故答案为：． 【变式5-2】．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．根据一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，可得出，求出m的取值范围即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 【考点6 画一次函数图象】 例6．（22-23八年级上·全国·课后作业）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并写出它们与坐标轴的交点坐标． ，，． 【答案】图象见详解，与轴坐标交点为，与轴坐标交点为；图象见详解，与轴坐标交点为，与轴坐标交点为；图象见详解，与轴坐标交点为，与轴坐标交点为 【分析】根据条件，将各个一次函数列表，找出对应的点，然后描点，连线即可得到三个一次函数的图象，接下来根据直线与、轴的交点即可得到答案． 【详解】解：列表： 描点连线 与轴坐标交点为，与轴坐标交点为； 与轴坐标交点为，与轴坐标交点为； 与轴坐标交点为，与轴坐标交点为． 【点睛】本题考查一次函数图象的画法与坐标轴的交点，解题关键是掌握描点法画一次函数图象． 【变式6-1】（23-24八年级上·上海阶段练习）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并写出它们与坐标轴的交点坐标． ，，． 【答案】图象见详解，与轴坐标交点为，与轴坐标交点为；图象见详解，与轴坐标交点为，与轴坐标交点为；图象见详解，与轴坐标交点为，与轴坐标交点为 【分析】根据条件，将各个一次函数列表，找出对应的点，然后描点，连线即可得到三个一次函数的图象，接下来根据直线与、轴的交点即可得到答案． 【详解】解：列表： 描点连线 与轴坐标交点为，与轴坐标交点为； 与轴坐标交点为，与轴坐标交点为； 与轴坐标交点为，与轴坐标交点为． 【点睛】本题考查一次函数图象的画法与坐标轴的交点，解题关键是掌握描点法画一次函数图象． 【变式6-2】（23-24八年级上·上海静安·期末）甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地.甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数图像如图所示；乙慢跑所行的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数解析式为. (1)在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图像；（不必写结论） (2)乙慢跑的速度是每分钟多少千米； (3)甲修车后行驶的速度是每分钟多少千米. 【答案】(1)见解析 (2)乙慢跑的速度是每分钟千米 (3)甲修车后行驶的速度是每分钟千米 【分析】（1）根据所给解析式可知函数过原点，并过点（60，5），由这两点即可得出答案． （2）用乙慢跑的总路程除以总时间可得速度； （3）甲修车后行驶路程是3km，所用时间是20min，即可求出速度． 【详解】（1）解：当x＝60时，， ∴乙慢跑所行的路程关于时间的函数图像过点（60，5）， 又∵函数的图象过原点， ∴函数图象如图所示： （2）5÷60＝（千米/分钟）， 答：乙慢跑的速度是每分钟千米； （3）由函数图象可知：甲修车后行驶的路程为（5－2）＝3km，行驶时间为（60－40）＝20min， 故甲修车后行驶的速度为：3÷20＝（千米/分钟）． 【点睛】本题考查了画一次函数图象，从函数图象获取信息，难度不大，读懂题意是关键，同时注意利用数形结合的思想解答问题． 【考点7 一次函数图象平移问题】 例7．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如果将直线沿y轴向下平移3个单位，那么平移后所得直线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的几何变换，难度不大，要注意平移后值不变． 根据平移时k的值不变，只有b发生变化即可得到结论． 【详解】解：原直线的； 向下平移3个单位长度，得到了新直线，那么新直线的， ∴新直线的解析式为． 故答案为：． 【变式7-1】（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数与直线 平行，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据平行的两直线的解析式的一次项系数相等，即可求解． 【详解】解：∵一次函数与直线 平行， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式7-2】（23-24八年级下·上海崇明·期末）如果将直线沿y轴向下平移3个单位，那么平移后所得直线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的几何变换，难度不大，要注意平移后值不变． 根据平移时k的值不变，只有b发生变化即可得到结论． 【详解】解：原直线的； 向下平移3个单位长度，得到了新直线，那么新直线的， ∴新直线的解析式为． 故答案为：． 【考点8 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 例8．（20-21八年级上·安徽淮北·期中）若关于的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A．（2，0） B．（0，3） C．（0，4） D．（2，5） 【答案】A 【分析】根据方程可知当时，，从而进行判断即可； 【详解】由方程可知：当时，，即当时，， ∴直线一定经过点（2，0）； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，准确分析判断是解题的关键． 【变式8-1】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意得，进而可得，再根据一次函数（为常数且与的图象相交于点即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：依题意得：的图象经过点， ， 解得：， ， 一次函数（为常数且与的图象相交于点， 方程的解为， 故答案为：． 【变式8-2】（23-24八年级上·上海期末）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意得，进而可得，再根据一次函数（为常数且与的图象相交于点即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：依题意得：的图象经过点， ， 解得：， ， 一次函数（为常数且与的图象相交于点， 方程的解为， 故答案为：． 【考点9 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 例9．（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数，、均为常数的图象如图所示，那么关于的不等式 的解集是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：函数的图象经过点，并且函数值随的增大而减小， 所以当时，函数值大于，即关于的不等式的解集是． 故答案为：． 【变式9-1】（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，直线过点，那么关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 结合函数图象，写出直线在轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象可知， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 【变式9-2】（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数，、均为常数的图象如图所示，那么关于的不等式 的解集是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系从图象上得到函数的增减性及与轴的交点的横坐标，即能求得不等式的解集． 【详解】解：函数的图象经过点，并且函数值随的增大而减小， 所以当时，函数值大于，即关于的不等式的解集是． 故答案为：． 【考点10 根据两条直线的交点求不等式的解集】 例10．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一次不等式的关系．结合图象得出不等式的解集即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， 由图象得，当时，的图象位于图象上方， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 【变式10-1】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，函数和的图象相交于点，则关于的x不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是求出A点坐标以及利用数形结合的思想．先利用待定系数法求出A点坐标，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：将点代入得，， 解得，， 所以点A的坐标为， 由图可知，不等式的解集为． 故答案为：． 【变式10-2】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一次不等式的关系．结合图象得出不等式的解集即可． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， 由图象得，当时，的图象位于图象上方， ∴关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 【考点11 求直线围成的图形面积】 例11．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线与坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式结合三角形的面积，即可求出k值，此题得解． 【详解】解：依照题意，画出图象，如图所示． 当时，， ∴点B的坐标为； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为． ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出直线与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【变式11-1】（21-22八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B， 则的面积为 ． 【答案】9 【分析】分别令，，求出A、B两点坐标，再利用三角形面积公式即可求出面积． 【详解】当时，， ∴B点坐标为，即， 当时，， ∴A点坐标为，即， ∴, 故答案为：9． 【点睛】本题考查了求一次函数图象与坐标轴形成的三角形的面积，求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解题关键． 【变式11-2】（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于、两点，点、分别在线段、上，． (1)求、两点的坐标； (2)求的度数； (3)如果的面积是面积的，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）将，分别代入，即可求解， （2）计算的边长，求出，由，根据等边对等角，三角形外角定理，即可求解， （3）作，设，由“的面积是面积的”列出等量关系式，求出的长度，即可求解， 本题考查了，一次函数图像上的点，含角的直角三角形，勾股定理，三角形外角定理，解题的关键是：根据题意列出等量关系． 【详解】（1）解：当时，，解得：， ∴点， 当时，，解得：， ∴点； （2）解：∵，，， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点作，垂足为点， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：，， ∵、分别在线段、上， ∴，即：，解得：， ∴， .∴点． 1．一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，两种情况讨论，当时，，则一次函数的图象经过一、三、四象限；当时，，则一次函数的图象经过一、二、四象限；以此即可选择． 【详解】解：当时，则， 一次函数的图象经过一、三、四象限， 当时，则， 一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选B． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 2．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知一次函数，如果函数值随增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得． 故选：A． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期中）一次函数经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据，当时，经过第一、二、四象限，据此即可作答． 【详解】解：∵一次函数的 ∴该函数经过第一、二、四象限， 故选：C 4．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）如果函数中的y随x的增大而减小，那么这个函数的图象不经过第 象限． 【答案】三 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．先根据一次函数的性质判断出k的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限． 故答案为：三． 5．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）若函数的图像不经过第四象限，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，解一元一次不等式组，考虑常函数的情况是解题关键． 根据一次函数以及常函数的图象和性质，列出不等式组求解即可． 【详解】解：当为一次函数时，图象不经过第四象限， ∴，解得：； 当为常函数时，图象不经过第四象限， ∴，解得, 即m的取值范围是． 故答案为：． 6．（22-23八年级下·上海青浦·期中）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．本题需注意在计算平面直角坐标系中的三角形面积时，用不确定的未知字母来表示线段长时，应该使用该字母的绝对值表示．直线与轴的交点为，与轴的交点是，由题意得，求解即可． 【详解】∵直线与轴的交点为，与轴的交点是，直线与两坐标轴围成的三角形的面积是， ∴， 解得：． 故答案为：． 7．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如果直线经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象与系数的关系，能得出关于m的不等式是解题的关键．根据已知条件和一次函数的性质得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）直线在y轴上的截距是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，根据直线与y轴的截距就是直线与y轴交点的纵坐标求解即可． 【详解】解：当时，， ∴直线在y轴上的截距是， 故答案为：． 9.（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一次函数可由一次函数向下平移 个单位得到． 【答案】3 【分析】题考查的是一次函数图象的平移，直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：∵原直线解析式为即，新直线的解析式为， ∴将直线向下平移3个单位长度得到直线． 故答案为：3． 10.已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求，两点的坐标并在如图的坐标系中画出此函数的图象． 【答案】；；图象见解析． 【分析】根据一次函数的解析式求出点A、B的坐标，然后利用五点作图法，最好使用列表-描点-连线的作图步骤作出图象． 【详解】解：当x=0时，则有：；当y=0时，则有：； ∴点，点， ∴函数图像如图所示： 【点睛】本题主要考查一次函数的图像，熟练掌握一次函数图像的画法是解题的关键． 11．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知一次函数，完成下列问题： (1)求在这个函数图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围； (2)求经过点，且平行于直线的一次函数的解析式． 【答案】(1)； (2)该一次函数的解析式为； 【分析】此题主要考查了两条直线平行问题，关键是掌握若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同． （1）根据题意得到，解得即可； （2）设一次函数的表达式为，再由图象过点，可求出，从而可求表达式． 【详解】（1）解：所求的点在这个一次函数的图象上且位于轴上方， ， 解得， 即所有点的横坐标的取值范围是； （2）解：一次函数的图象与直线平行， ， 一次函数解析式为， 图象经过点， ， 解得：， 该一次函数的解析式为； 13．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，与x轴交于点，那么不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的图象与不等式的关系．的解集即为一次函数的图象x轴上方部分的自变量取值范围，根据图象直接解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴的解集即为一次函数的图象x轴上方部分的自变量取值范围， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 试卷第2页，共34页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一次函数的图像 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解一次函数的图像是直线,会用描点法画一次函数的图像 2.理解直线的截距的意义,掌握求一次函数图像与坐标轴的交点坐标的方法 3.知道两条平行直线的表达式之间的关系,能运用这种关系确定直线表达式. 4.知道一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系能根据一次函数的图像求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集 知识点一 一次函数的图像 1. 一次函数的图像 一般地,一次函数是常数,且）的图像是一条直线. 【特别提醒】一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这条直线的表达式. 2. 一次函数的图像的画法 （1）描点法：通过“列表、描点、连线”获得. （2）两点法:一般先确定图像上两个点，再经过这两个点画直线, 通常我们选取直线与两坐标轴的交点,即点与. 【依据】两点确定一条直线。 【答疑解惑】两交点点与怎么来的？ 当时，点是直线与轴的交点。 当时,, 是直线与轴的交点. 【提示】(1)为了描点更方便、更准确,通常取横、纵坐标都是整数的两点.(2)有时也可以取点和. 3. 直线的截距 一条直线与轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距。 一般地，直线与轴的交点坐标是, 直线的截距是. 【易错易混】 "截距" 不是 "截得的距离"，而是指直线与轴交点的纵坐标,它可以是正数、零或负数。如直线 的截距是. 【即学即练1】直线在y轴上的截距 ． 【即学即练2】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)求的面积； (2)直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【方法技巧总结】 构建方程求直线与坐标轴的交点坐标 此法是求直线与坐标轴交点坐标的常用方法，定水平距离和铅锤高，在轴上的点的距离为,铅锤高即,求交点坐标一般可联立2条直线方程解析式，后面我们在讲一次函数与二元一次方程组专题会具体介绍. 【易错提醒】求直线与两坐标轴围成的三角形的面积时，两直角边长是直线与坐标轴交点的不为的横、纵坐标的绝对值.一定不要忘记加绝对值，分类讨论错误往往是同学们忽略了绝对值，导致漏解！解三角形面积时，一定要有带绝对值的好习惯！ 知识点二 两条直线的位置关系（难点） 1.相交关系 （1）已知两直线和, 当时, 两直线相交. （2）一般地, 直线都经过点，即这些直线相交于同一个点. 【易混易错提醒】 (1) 在坐标平面上, 截距相同的直线都相交, 交点坐标为. (2) 在坐标平面上, 的值不同, 则直线相对于轴正方向的倾㸯程度不同. 常数称为直线的斜率, 关于斜率的确切定义和几何意义将在高中数学中学习。 【拓展】 (1) 直线与相交; (2) 直线相交于轴上一点. 2. 平行关系 (1) 直线与直线 的位置关系: 的 取值 的取值 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 的图像是由的图像向上平移个单位得到的 【特别注意】 （1）直线何下平移个单位得到直线.反过来,直线向上平移个单位得到直线. （2）直线向上平移个单位得到直线.反过来，直线向下平䇋个单位得到直线. (2) 直线与的位置关系: (1)直线与平行； (2)直线与重合. 【即学即练1】把函数的图象向上平移3个单位长度后，得到的新图象对应的函数解析式为 ，这两图象的位置关系是 ． 【即学即练2】在平面直角坐标系中，一次函数与的图象的位置关系为 ． 知识点三 一次函数与一元一次方程的关系 1.数的角度:因为任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式, 所以解一元一次方程相当于在某个一次函数的函数值为0时, 求自变量的值. 2.形的角度:一次函数的图像与轴的交点的横坐标是一元一次方程的根. 知识点四 一次函数与一元一次不等式的关系（重点） 1.一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个一元一次不等式都可变形为或是常数,且, 所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数的函数值大于（大于等于）0或小于（小于等于）0时，求自变量的取值范围. 2.利用函数图像解一元一次不等式 从图像上看, 一元一次不等式（或）的解集是在一次函数的图像上位于轴上方（或下方）的所有点的横坐标的取值范围. 【即学即练1】如下图，已知一次函数，观察图象回答下列问题：当 时，． 【即学即练2】一次函数的图像如图所示，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点1 正比例函数的图象】 例1．如图表示光从空气进入水中前与入水后的光路图，按下图建立平面直角坐标系，若设入水前与入水后光线所在直线的解析式分别为，，则关于与的关系，正确的是（     ） A．， B．， C． D． 【变式1-1】正比例函数和一次函数的大致图象是（　） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各选项是函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 【考点2 判断一次函数的图象】 例2．（23-24八年级下·上海·期中）如图，当取何值时，函数的图象在第三象限（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24九年级下·河北邯郸·期中）图1是y与x关系的图象．图2是z与y关系的图象．珍珍设计了一个计算程序，输入x的值后，程序便自动对应图1的图象得到y的值．随后立即将该y值对应图2的图象终得到z的值．若随机输入6个不同的x的值，得到对应的z值．形成6组数对，然后在坐标系中进行描点．则正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【考点3 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 例3．（2024八年级下·上海·专题练习）若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数图象是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24八年级下·上海崇明·期中）直线不经过第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【变式3-2】（23-24八年级下·上海普陀·期中）一次函数的图像经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限 【考点4 已知函数经过的象限求参数范围】 例4．（22-23八年级上·上海·阶段练习）直线在坐标系中的位置如图所示，它的函数解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24八年级下·上海宝山·期末）下面是两位同学对于某个一次函数（k、b为常数，且）图象的描述： 同学甲：不经过第三象限； 同学乙：经过点． 根据这两位同学的描述，下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知点，直线与线段有交点，则k的取值范围为（ ） A． B．且 C．或 D． 【考点5 一次函数图象与坐标轴 的交点问题】 例5．（23-24八年级下·上海金山·阶段练习）如果直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【变式5-1】．（22-23八年级下·上海·期末）已知一次函数的图像经过点，且与直线平行，这个函数解析式为 ． 【变式5-2】．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知一次函数的图象与轴的交点在负半轴上，那么的取值范围是 ． 【考点6 画一次函数图象】 例6．（22-23八年级上·全国·课后作业）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并写出它们与坐标轴的交点坐标． ，，． 【变式6-1】（23-24八年级上·上海阶段练习）在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并写出它们与坐标轴的交点坐标． ，，． 【变式6-2】（23-24八年级上·上海静安·期末）甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地.甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数图像如图所示；乙慢跑所行的路程s（千米）关于时间t（分钟）的函数解析式为. (1)在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图像；（不必写结论） (2)乙慢跑的速度是每分钟多少千米； (3)甲修车后行驶的速度是每分钟多少千米. 【考点7 一次函数图象平移问题】 例7．（23-24八年级下·上海崇明·期末）如果将直线沿y轴向下平移3个单位，那么平移后所得直线的表达式是 ． 【变式7-1】（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数与直线 平行，那么 ． 【变式7-2】（23-24八年级下·上海崇明·期末）如果将直线沿y轴向下平移3个单位，那么平移后所得直线的表达式是 ． 【考点8 已知直线与坐标轴交点求方程的解】 例8．（20-21八年级上·安徽淮北·期中）若关于的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A．（2，0） B．（0，3） C．（0，4） D．（2，5） 【变式8-1】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ． 【变式8-2】（23-24八年级上·上海期末）一次函数（为常数且与的图象相交于点，则关于的方程的解为 ． 【考点9 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集】 例9．（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数，、均为常数的图象如图所示，那么关于的不等式 的解集是 ． 【变式9-1】（23-24八年级下·上海长宁·期末）如图，直线过点，那么关于x的不等式的解集是 ． 【变式9-2】（23-24八年级下·上海·期末）已知一次函数，、均为常数的图象如图所示，那么关于的不等式 的解集是 ． 【考点10 根据两条直线的交点求不等式的解集】 例10．（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【变式10-1】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，函数和的图象相交于点，则关于的x不等式的解集为 ．    【变式10-2】（23-24八年级下·上海松江·期末）如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为 ． 【考点11 求直线围成的图形面积】 例11．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）已知直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则的值为 ． 【变式11-1】（21-22八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B， 则的面积为 ． 【变式11-2】（23-24八年级下·上海闵行·期中）已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于、两点，点、分别在线段、上，． (1)求、两点的坐标； (2)求的度数； (3)如果的面积是面积的，求点的坐标． 1．一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海虹口·期末）已知一次函数，如果函数值随增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·上海闵行·期中）一次函数经过的象限是（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 4．（23-24八年级下·上海杨浦·期中）如果函数中的y随x的增大而减小，那么这个函数的图象不经过第 象限． 5．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）若函数的图像不经过第四象限，那么m的取值范围是 ． 6．（22-23八年级下·上海青浦·期中）直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则的值为 ． 7．（23-24八年级下·上海杨浦·期末）如果直线经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是 ． 8．（23-24八年级下·上海徐汇·期中）直线在y轴上的截距是 ． 9.（23-24八年级下·上海嘉定·期末）一次函数可由一次函数向下平移 个单位得到． 10.已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求，两点的坐标并在如图的坐标系中画出此函数的图象． 11．（23-24八年级下·上海静安·期末）已知一次函数，完成下列问题： (1)求在这个函数图象上且位于x轴上方的所有点的横坐标的取值范围； (2)求经过点，且平行于直线的一次函数的解析式． 13．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）已知一次函数（k、b为常数，且）的图像经过第一、二、四象限，与x轴交于点，那么不等式的解集是 ． 试卷第2页，共15页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 $$