精编模拟试卷·数学(9)-【步步维赢】2025年高考数学精编模拟

９－１　 精编模拟试卷·数学（九） （时间：１２０分钟　满分：１５０分） 一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 １．已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３≤０｝，Ｂ＝｛－３，－１，１，３｝，则Ａ∩Ｂ＝ （　　） Ａ．｛１｝ Ｂ．｛－１｝ Ｃ．｛－３，－１，１｝ Ｄ．｛－１，１，３｝ ２．若复数ａ＋３ｉ１＋２ｉ （ａ∈Ｒ，ｉ为虚数单位）是纯虚数，则实数ａ的值为 （　　） Ａ．－６ Ｂ．－２ Ｃ．３２ Ｄ．６ ３．已知数列｛ａｎ｝为等差数列，且ａ５＝５，则Ｓ９ 的值为 （　　） Ａ．２５ Ｂ．４５ Ｃ．５０ Ｄ．９０ ４．若曲线ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋ｋｌｎｘ （ｅ是自然对数的底数）在点（ｅ，ｋ＋１）处的切线与ｙ轴垂直，则 ｋ＝ （　　） Ａ．１ Ｂ．１２ Ｃ．－ １ ２ Ｄ．－１ ５．设函数ｆ（ｘ）＝ｅｘ＋ａ（ｘ－１）＋ｂ在区间［１，３］上存在零点，则ａ２＋ｂ２ 的最小值为 （　　） Ａ．ｅ２ Ｂ．ｅ Ｃ． ｅ２ ２ Ｄ．ｅ ２ ６．动圆Ｐ过定点Ｍ（０，２），且与圆Ｎ：ｘ２＋（ｙ＋２）２＝４相内切，则动圆圆心Ｐ的轨迹方程是 （　　） Ａ．ｙ２－ｘ ２ ３＝１ （ｙ＜０） Ｂ．ｙ２－ｘ ２ ３＝１ Ｃ．ｙ ２ ３－ｘ ２＝１（ｙ＜０） Ｄ．ｘ２＋ｙ ２ ３＝１ ７．若向量ａ，ｂ满足｜ａ＋ｂ｜＝｜ａ｜＋｜ｂ｜，则向量ａ，ｂ一定满足的关系为 （　　） Ａ．ａ＝０ Ｂ．存在实数λ，使得ａ＝λｂ Ｃ．存在实数ｍ，ｎ，使得ｍａ＝ｎｂ Ｄ．｜ａ－ｂ｜＝｜ａ｜－｜ｂ｜ ８．已知ｓｉｎα＋π（ ）６ ＝１３，则ｓｉｎ２α＋５π（ ）６ 的值为 （　　） Ａ．－７９ Ｂ．－ 槡４ ２ ９ Ｃ． 槡４ ２ ９ Ｄ． ７ ９ ９－２　 二、选择题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分。 ９．一组样本数据ｘ１，ｘ２，…，ｘ６，其中ｘ１ 是最小值，ｘ６ 是最大值，则 （　　） Ａ．ｘ２，ｘ３，ｘ４，ｘ５ 的平均数等于ｘ１，ｘ２，…，ｘ６ 的平均数 Ｂ．ｘ２，ｘ３，ｘ４，ｘ５ 的第６０百分位数等于ｘ１，ｘ２，…，ｘ６ 的第６０百分位数 Ｃ．ｘ２，ｘ３，ｘ４，ｘ５ 的标准差小于ｘ１，ｘ２，…，ｘ６ 的标准差 Ｄ．ｘ２，ｘ３，ｘ４，ｘ５ 的极差不大于ｘ１，ｘ２，…，ｘ６ 的极差 １０．已知函数ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的奇函数，且ｆ（１＋ｘ）＝ｆ（１－ｘ）．当０＜ｘ＜１时，ｆ（ｘ）＝ ３ｘ－１，则 （　　 ） Ａ．ｆ（ｘ）是周期为２的周期函数 Ｂ．ｆ（ｘ）的值域为［－２，２］ Ｃ．ｘ＝３是ｆ（ｘ）图象的一条对称轴 Ｄ．ｆ（ｘ）的图象关于点（－２，０）对称 １１．已知函数ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的奇函数，且ｘ＞０时，ｆ（ｘ）＝（ｘ－２）ｅｘ，则下列结论正确 的是 （　　 ） Ａ．ｆ（ｘ）＞０的解集为（－２，０）∪（２，＋∞） Ｂ．当ｘ＜０时，ｆ（ｘ）＝（ｘ＋２）ｅ－ｘ Ｃ．ｆ（ｘ）有且只有两个零点 Ｄ．ｘ１，ｘ２∈［１，２］，｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜≤ｅ １２．已知正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１ 的棱长为２，Ｐ为底面ＡＢＣＤ 内（包括边界）的动点，则 下列结论正确的是 （　　） Ａ．三棱锥Ｂ１－Ｃ１Ｄ１Ｐ的体积为定值 Ｂ．存在点Ｐ，使得Ｄ１Ｐ⊥平面Ａ１ＢＣ１ Ｃ．若Ｄ１Ｐ⊥Ｂ１Ｄ，则Ｐ点在正方形底面ＡＢＣＤ 内的运动轨迹长为 槡２ ２ Ｄ．若点Ｐ是ＡＢ 的中点，点Ｑ是ＢＣ的中点，经过Ｄ１，Ｐ，Ｑ三点的正方体的截面周长为 槡２ ５＋ 槡３ ２ 三、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分。 １３．设向量ａ＝（１，ｍ），ｂ＝（２，１），且ｂ·（２ａ＋ｂ）＝７，则ｍ＝　　　　． １４．某市倡导高中学生暑假期间参加社会公益活动．据调查统计，全市高中学生参加该活动 的累计时长Ｘ（小时）近似服从正态分布，人均活动时间约４０小时．若某高中学校１０００ 名学生中参加该活动时间在３０至５０小时之间的同学约 有３００人．据 此，可 推 测 全 市 ２００００名高中学生中，累计时长超过５０小时的人数大约为　　　　． １５．如图，某公园内有一个半圆形湖面，Ｏ为圆心，半径为１千米，现规划 在半圆弧岸边上取点Ｃ，Ｄ，Ｅ，满足∠ＡＯＤ＝∠ＤＯＥ＝２∠ＡＯＣ，在扇 形ＡＯＣ和四边形ＯＤＥＢ 区域内种植荷花，在扇形ＣＯＤ 区域内修建 水上项目，并在湖面上修建栈道ＤＥ，ＥＢ作为观光路线，则当ＤＥ＋ＥＢ取得最大值时， ｓｉｎ∠ＡＯＣ＝　　　　． ９－３　 １６．过双曲线Ｃ１： ｘ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的左焦点Ｆ１ 作圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２ 的切线，设切点为 Ｍ，延长Ｆ１Ｍ 交抛物线Ｃ２：ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）于点Ｎ，其中Ｃ１，Ｃ２ 有一个共同的焦点，若 ｜ＭＦ１｜＝｜ＭＮ｜，则双曲线Ｃ１ 的离心率为　　　　． 四、解答题：本题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 １７．（１０分）在①ｍ＝（ｃｏｓＢ，２ｃ－ｂ），ｎ＝（ｃｏｓＡ，ａ），且ｍ∥ｎ，②ｂ＝ａｃｏｓＣ＋槡３３ｃｓｉｎＡ ， ③ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓＡｃｏｓ（Ｃ－Ｂ）＝ｓｉｎＢｓｉｎＣ这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并 解答． 已知在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ，Ｂ，Ｃ所对的边分别是ａ，ｂ，ｃ． （１）求Ａ的值； （２）若ａ＝槡３，△ＡＢＣ的面积是槡 ３ ２ ，点Ｍ 是ＢＣ的中点，求ＡＭ 的长度． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． ９－４　 １８．（１２分）为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取５０名学生，对学习成 绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）： 使用手机 不使用手机 合计 学习成绩优秀 ５ ２０ 学习成绩一般 合计 ３０ ５０ （１）补充完整所给表格，并根据表格数据，依据小概率值α＝０．００１的独立性检验，能否 推断学生的学习成绩与使用手机有关； （２）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层随机抽样选出９人，再从这 ９人中随机抽取３人，记这３人中“学习成绩优秀”的人数为Ｘ，试求Ｘ的分布列与均值． 参考公式：χ ２＝ ｎ （ａｄ－ｂｃ）２ （ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ） ，其中ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ． 参考数据： α ０．０５０ ０．０１０ ０．００１ ｘα ３．８４１ ６．６３５ １０．８２８ ９－５　 １９．（１２分）在如图所示的空间几何体中，两等边△ＡＣＤ 与△ＡＢＣ互相垂 直，ＡＣ＝ＢＥ＝４，ＢＥ与平面ＡＢＣ所成的角为６０°，且点Ｅ在平面ＡＢＣ 上的射影落在∠ＡＢＣ的平分线上． （１）求证：ＤＥ∥平面ＡＢＣ； （２）求平面ＡＢＥ与平面ＡＣＤ 夹角的余弦值． ９－６　 ２０．（１２分）已知椭圆Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０），右焦点为Ｆ（４，０），短轴长为４． （１）求椭圆Ｃ的方程； （２）若过点Ｔ（０，１）的直线ｌ与椭圆Ｃ交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＴ的中点为Ｐ，线段ＢＴ的 中点为Ｑ，且｜ＯＰ｜＝｜ＯＱ｜（Ｏ为坐标原点），求所有满足条件的直线ｌ的方程． ９－７　 ２１．（１２分）已知椭圆Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的短轴长为２，离心率为槡３２ ，点Ａ是椭圆的左 顶点，点Ｅ坐标为（１，０），经过点Ｅ的直线ｌ交椭圆于Ｍ，Ｎ 两点，直线ｌ斜率存在且不 为０． （１）求椭圆Ｃ的方程； （２）设直线ＡＭ，ＡＮ 分别交直线ｘ＝４于点Ｐ，Ｑ，线段ＰＱ的中点为Ｇ，设直线ｌ与直线 ＥＧ 的斜率分别为ｋ，ｋ′，求证：ｋ·ｋ′为定值． ９－８　 ２２．（１２分）已知ｆ（ｘ）＝ｅｘ－１－ｘ． （１）求证：对于ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）≥０恒成立； （２）若对于ｘ∈（０，＋∞），有ｆ（ｘ）≥ａ（ｘ２－ｘ－ｘｌｎｘ）恒成立，求实数ａ的取值范围． 则Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｋ４（ ）３５ ｋ（ ）２５ ４－ｋ （ｋ＝０，１，２，３，４）， 则随机变量Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ ４ Ｐ １６６２５ ９６ ６２５ ２１６ ６２５ ２１６ ６２５ ８１ ６２５ 则Ｅ（Ｘ）＝４×３５＝ １２ ５． （２）记事件Ａｉ为“甲答对了ｉ道题”，事件Ｂｉ为“乙答 对了ｉ道题”，其中甲答对某 道 题 的 概 率 为１２＋ １ ２ｐ ＝１２ （１＋ｐ）， 答错某道题的概率为１－１２ （１＋ｐ）＝１２ （１－ｐ）， 则Ｐ（Ａ１）＝Ｃ１２· １ ２ （１＋ｐ）·１２ （１－ｐ）＝１２ （１－ｐ２）， Ｐ（Ａ２）＝ １ ２ （１＋ｐ［ ］）２＝１４（１＋ｐ）２， Ｐ（Ｂ０）＝（ ）１３ ２ ＝１９ ，Ｐ（Ｂ１）＝Ｃ１２× ２ ３× １ ３＝ ４ ９ ， 所以甲答对题数比乙多的概率为 Ｐ（Ａ１Ｂ０∪Ａ２Ｂ１∪Ａ２Ｂ０）＝Ｐ（Ａ１Ｂ０）＋Ｐ（Ａ２Ｂ１） ＋Ｐ（Ａ２Ｂ０） ＝１２ （１－ｐ２）·１９＋ １ ４ （１＋ｐ）２·４９＋ １ ４ （１＋ｐ）２· １ ９＝ １ ３６ ·（３ｐ２＋１０ｐ＋７）≥１５３６ ， 解得２ ３≤ｐ＜１ ，即 甲 的 亲 友 团 每 道 题 答 对 的 概 率ｐ 的最小值为２ ３． ２２．（１）解　函数ｆ（ｘ）＝ａｌｎｘ＋ｘ的定义域为（０，＋∞）， ｆ′（ｘ）＝ａｘ＋１＝ ａ＋ｘ ｘ ． 当ａ＞０时，对任意的ｘ＞０，ｆ′（ｘ）＞０， 故ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增； 若ａ＜０，当ｘ∈（０，－ａ）时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单 调 递 减；当ｘ∈（－ａ，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增． 综上所述，当ａ＞０时，ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增； 当ａ＜０时，ｆ（ｘ）在（０，－ａ）上单调递减， 在（－ａ，＋∞）上单调递增． （２）证明　由题意，该不等式等价于ｅ２·ｘｅｘ≥ｌｎｘ＋ ｘ＋３，即ｘｅｘ＋２≥ｌｎｘ＋ｘ＋３， 又可化为ｅｌｎｘ·ｅｘ＋２≥ｌｎｘ＋ｘ＋３， 即ｅｌｎｘ＋ｘ＋２≥ｌｎｘ＋ｘ＋３， 令ｔ＝ｇ（ｘ）＝ｌｎｘ＋ｘ＋２，则ｇ′（ｘ）＝１＋１ｘ＞０ ， 所以函数ｇ（ｘ）在（０，＋∞）上单调递增，当ｘ→０时， ｔ→－∞，当ｘ→＋∞时，ｔ→＋∞，所以ｔ∈Ｒ， 故所证不等式等价为证明不等式ｅｔ≥ｔ＋１， 构造函数ｈ（ｔ）＝ｅｔ－ｔ－１，则ｈ′（ｔ）＝ｅｔ－１． 当ｔ∈（－∞，０）时，ｈ′（ｔ）＜０，函数ｈ（ｔ）单调递减； 当ｔ∈（０，＋∞）时，ｈ′（ｔ）＞０，函数ｈ（ｔ）单调递增． 所以ｈ（ｔ）ｍｉｎ＝ｈ（０）＝０，故原不等式得证． 精编模拟试卷·数学（九） １．Ｄ　２．Ａ　３．Ｂ　４．Ａ　５．Ｄ　６．Ａ　７．Ｃ　８．Ｄ　９．ＢＤ １０．ＢＣＤ　１１．ＡＢＤ　１２．ＡＣ １３．－１　１４．７０００　１５．１４　１６． 槡５＋１ ２ １７．解　（１）选①，由ｍ∥ｎ得ａｃｏｓＢ＝（２ｃ－ｂ）ｃｏｓＡ， 由 正 弦 定 理 得 ｓｉｎ ＡｃｏｓＢ ＝２ｓｉｎ Ｃｃｏｓ Ａ － ｓｉｎＢｃｏｓＡ，得ｓｉｎ（Ｂ＋Ａ）＝２ｓｉｎＣｃｏｓＡ， 又ｓｉｎ（Ｂ＋Ａ）＝ｓｉｎＣ，ｓｉｎＣ≠０，所以ｃｏｓＡ＝１２ ， 又０＜Ａ＜π，所以Ａ＝π３． 选②，因为ｂ＝ａｃｏｓＣ＋槡３３ｃｓｉｎＡ ， 根据正弦定理得ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＡｃｏｓＣ＋槡３３ ｓｉｎＣｓｉｎＡ， 所以ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ）＝ｓｉｎＡｃｏｓＣ＋槡３３ｓｉｎＣｓｉｎＡ ， 所 以 ｓｉｎＡｃｏｓＣ＋ｃｏｓＡｓｉｎＣ＝ｓｉｎＡｃｏｓＣ＋ 槡３ ３ｓｉｎＣｓｉｎＡ ， 所以ｃｏｓＡｓｉｎＣ＝槡３３ｓｉｎＣｓｉｎＡ． 因为ｓｉｎＣ≠０，所以ｔａｎＡ＝槡３， 又０＜Ａ＜π，所以Ａ＝π３． 选③，因为ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓＡｃｏｓ（Ｃ－Ｂ）＝ｓｉｎＢｓｉｎＣ， 所 以 ｃｏｓＡ ［－ｃｏｓ（Ｂ ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（Ｃ －Ｂ）］ ＝ｓｉｎＢｓｉｎＣ， 所以２ｃｏｓＡｓｉｎＢｓｉｎＣ＝ｓｉｎＢｓｉｎＣ． 因为Ｂ∈（０，π），Ｃ∈（０，π）， 所以ｓｉｎＢｓｉｎＣ≠０，所以ｃｏｓＡ＝１２ ， 又０＜Ａ＜π，所以Ａ＝π３． （２）在△ＡＢＣ中，由ａ＝槡３，Ａ＝π３ ， 得ｂ２＋ｃ２－ｂｃ＝３． 由△ＡＢＣ的面积为槡３２ ，得ｂｃ＝２，所以ｂ２＋ｃ２＝５． 因为Ｍ 是ＢＣ的中点，所以 → ＡＭ＝１２ （→ＡＢ＋ → ＡＣ）， 从而｜ → ＡＭ｜２＝１４ （｜ → ＡＢ｜２＋｜ → ＡＣ｜２＋２ → ＡＢ· → ＡＣ）＝ １ ４ （ｂ２＋ｃ２＋ｂｃ）＝７４ ， 所以ＡＭ＝槡７２． １８．解　（１）２×２列联表如表所示： 使用手机 不使用手机 合计 学习成绩优秀 ５ ２０ ２５ 学习成绩一般 １５ １０ ２５ 合计 ２０ ３０ ５０ 零假设为Ｈ０：学生的学习成绩与使用手机无关， χ２＝ ５０×（５×１０－２０×１５）２ ２０×３０×２５×２５ ＝ ２５ ３≈８．３３３＜１０．８２８ ＝ｘ０．００１， 根据小概率值α＝０．００１的独立性检验，没有充分证 据推断Ｈ０不成立，所以认为学生的学习成绩与使用 手机无关． （２）９人中学习成绩优秀的有９×２０３０＝６ （人），学习成 绩一般的有９×１０３０＝３ （人）， Ｘ可能的取值有０，１，２，３， Ｐ（Ｘ＝０）＝１ Ｃ３９ ＝１８４ ，Ｐ（Ｘ＝１）＝ Ｃ１６Ｃ２３ Ｃ３９ ＝３１４                                                                        ， ４１－案答考参 Ｐ（Ｘ＝２）＝ Ｃ２６Ｃ１３ Ｃ３９ ＝１５２８ ，Ｐ（Ｘ＝３）＝ Ｃ３６ Ｃ３９ ＝５２１． 所以随机变量Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ １８４ ３ １４ １５ ２８ ５ ２１ Ｅ（Ｘ）＝１×３１４＋２× １５ ２８＋３× ５ ２１＝２． １９．（１）证明　如图，取ＡＣ的中点 Ｏ，连接ＢＯ，ＤＯ，由题意知，ＢＯ 为∠ＡＢＣ的平分线，ＢＯ⊥ＡＣ， ＤＯ⊥ＡＣ，设 点Ｆ是 点Ｅ 在 平 面ＡＢＣ 上 的 射 影，由 题 意 知， 点Ｆ在ＢＯ 上， 连接ＥＦ，则ＥＦ⊥平面ＡＢＣ， ∵平 面ＡＣＤ⊥平 面ＡＢＣ，平 面ＡＣＤ∩平 面 ＡＢＣ ＝ＡＣ， ＤＯ平面ＡＣＤ，ＤＯ⊥ＡＣ，∴ＤＯ⊥平面ＡＢＣ， ∴ＤＯ∥ＥＦ， ∵ＢＥ与平面ＡＢＣ所成的角为６０°， 即∠ＥＢＦ＝６０°， ∴ＥＦ＝ 槡２ ３，又ＤＯ＝ 槡２ ３， ∴四边形ＥＦＯＤ为平行四边形，∴ＤＥ∥ＢＯ， ＢＯ平面ＡＢＣ，ＤＥ平面ＡＢＣ， ∴ＤＥ∥平面ＡＢＣ． （２）解　以 → ＯＡ， → ＯＢ， → ＯＤ方向为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴的正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则Ａ（２，０，０），Ｅ（０， 槡２ ３－２， 槡２ ３），Ｂ（０，槡２ ３，０）， ∴ → ＡＢ＝（－２，槡２ ３，０）， → ＡＥ＝（－２，槡２ ３－２，槡２ ３）， 设平 面ＡＢＥ 的 一 个 法 向 量 为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则 ｎ· → ＡＢ＝－２ｘ＋ 槡２３ｙ＝０， ｎ· → ＡＥ＝－２ｘ＋（槡２３－２）ｙ＋ 槡２３ｚ＝０ 烅 烄 烆 ， 取ｚ＝１，得ｎ＝（３，槡３，１），取 平 面ＡＣＤ 的 法 向 量 为ｍ＝（０，１，０）， 设平面ＡＢＥ与平面ＡＣＤ 的夹角为θ， 则ｃｏｓθ＝｜ｃｏｓ〈ｎ，ｍ〉｜＝ ｎ ·ｍ ｜ｎ｜｜ｍ｜ ＝ 槡３ 槡１３×１ ＝槡３９１３ ， ∴平面ＡＢＥ与平面ＡＣＤ 夹角的余弦值为槡３９１３ ． ２０．解　（１）由已知得２ｂ＝４，得ｂ＝２，ｃ＝４，ａ２＝ｂ２＋ｃ２＝ ２０，∴椭圆Ｃ的方程为ｘ ２ ２０＋ ｙ２ ４＝１． （２）易知直线ｌ的斜率存在， 设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋｘ＋１． 联立 ｘ２ ２０＋ ｙ２ ４＝１ ， ｙ＝ｋｘ＋１ 烅 烄 烆 ， 消去ｙ得（１＋５ｋ２）ｘ２＋１０ｋｘ－１５＝０， 则Δ＝４００ｋ２＋６０＞０． 设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）， 则ｘ１＋ｘ２＝－ １０ｋ １＋５ｋ２ ，ｘ１ｘ２＝－ １５ １＋５ｋ２ ． ∵｜ＯＰ｜＝｜ＯＱ｜，∴ ｘ１（ ）２ ２ ＋ ｙ１＋１（ ）２ ２ ＝ ｘ２（ ）２ ２ ＋ ｙ２＋１（ ）２ ２ ， 即（ｘ１－ｘ２）（ｘ１＋ｘ２）＝－ｋ（ｘ１－ｘ２）［ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋４］． ∵ｘ１≠ｘ２，∴ｘ１＋ｘ２＋ｋ２（ｘ１＋ｘ２）＋４ｋ＝０， ∴－ １０ｋ １＋５ｋ２ － １０ｋ ３ １＋５ｋ２ ＋４ｋ＝０， 解得ｋ１＝０，ｋ２＝槡１５５ ，ｋ３＝－槡１５５ ， ∴满足条件的直线ｌ的方程为ｙ＝１，ｙ＝槡１５５ ｘ＋１ 和 ｙ＝－槡１５５ ｘ＋１． ２１．解　（１）由题意得，ｂ＝１，ｅ＝槡３２ ，得ａ＝２，ｃ＝槡３， 所以椭圆方程为ｘ ２ ４＋ｙ ２＝１． （２）设Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２）， 直线ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１）， 由 ｙ＝ｋ（ｘ－１） ｘ２ ４＋ｙ ２＝烅 烄 烆 １ 消去ｙ， 整理得：（１＋４ｋ２）ｘ２－８ｋ２ｘ＋４ｋ２－４＝０， 所以ｘ１＋ｘ２＝ ８ｋ２ １＋４ｋ２ ，ｘ１ｘ２＝ ４ｋ２－４ １＋４ｋ２ ， 又Ａ（－２，０），所以直线ＡＭ 的方程为： ｙ＝ ｙ１ ｘ１＋２ （ｘ＋２）， 其与直线ｘ＝４的交点为Ｐ ４， ６ｙ１ ｘ１＋（ ）２ ； 同理Ｑ ４， ６ｙ２ ｘ２＋（ ）２ ， 所以ＰＱ的中点为Ｇ ４， ３ｙ１ ｘ１＋２ ＋ ３ｙ２ ｘ２＋（ ）２ ， 因此ＧＥ的斜率为 ｋ′＝ ３ｙ１ ｘ１＋２ ＋ ３ｙ２ ｘ２＋２ ４－１ ＝ ｙ１ ｘ１＋２ ＋ ｙ２ｘ２＋２ ＝ｙ１ （ｘ２＋２）＋ｙ２（ｘ１＋２） （ｘ１＋２）（ｘ２＋２） ＝ ｋ（ｘ１－１）（ｘ２＋２）＋ｋ（ｘ２－１）（ｘ１＋２） （ｘ１＋２）（ｘ２＋２） ＝ｋ· ２ｘ１ｘ２＋（ｘ１＋ｘ２）－４ ｘ１ｘ２＋２（ｘ１＋ｘ２）＋４ ＝ｋ· ８ｋ２－８ １＋４ｋ２ ＋ ８ｋ ２ １＋４ｋ２ －４ ４ｋ２－４ １＋４ｋ２ ＋ １６ｋ ２ １＋４ｋ２ ＋４ ＝ｋ·８ｋ ２－８＋８ｋ２－４－１６ｋ２ ４ｋ２－４＋１６ｋ２＋４＋１６ｋ２ ＝ｋ·－１２ ３６ｋ２ ＝－１３ｋ 因此ｋ·ｋ′＝－１３ ，即ｋ·ｋ′为定值． ２２．解　（１）由ｆ（ｘ）＝ｅｘ－１－ｘ，得ｆ′（ｘ）＝ｅｘ－１－１， 令ｆ′（ｘ）＝０，得ｘ＝１． 当ｘ∈（－∞，１）时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减， 当ｘ∈（１，＋∞）时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增， 故ｆ（ｘ）在ｘ＝１处取得极小值， 即为最小值ｆ（１）＝０， 故ｆ（ｘ）≥０对于ｘ∈Ｒ恒成立． （２）　由ｆ（ｘ）≥ａ（ｘ２－ｘ－ｘｌｎｘ）， 得ｅｘ－１－ｘ≥ａ（ｘ２－ｘ－ｘｌｎｘ）                                                                        ． ５１－案答考参 由ｘ＞０，则ｅ ｘ－１ ｘ －１≥ａ （ｘ－１－ｌｎｘ）， 即ｅ ｘ－１ ｅｌｎｘ －１≥ａ（ｘ－１－ｌｎｘ）， 得ｅｘ－１－ｌｎｘ－１≥ａ（ｘ－１－ｌｎｘ）． 设ｇ（ｘ）＝ｘ－１－ｌｎｘ（ｘ＞０），ｇ′（ｘ）＝１－１ｘ ， 令ｇ′（ｘ）＝０，得ｘ＝１． 当ｘ∈（０，１）时，ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减， 当ｘ∈（１，＋∞）时，ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增， 故ｇ（ｘ）在ｘ＝１处取得极小值，即为最小值ｇ（１）＝０， 即ｅｔ－１≥ａｔ对ｔ∈［０，＋∞）恒成立， 设ｈ（ｘ）＝ｅｘ－ａｘ－１（ｘ≥０），ｈ′（ｘ）＝ｅｘ－ａ， 当ａ≤１时，ｈ′（ｘ）＝ｅｘ－ａ≥０， 即ｈ（ｘ）在［０，＋∞）上单调递增， 而ｈ（０）＝０，则ｈ（ｘ）≥０恒成立． 当ａ＞１时，令ｈ′（ｘ）＝ｅｘ－ａ＝０，得ｘ＝ｌｎａ， 当ｘ∈（０，ｌｎａ）时，ｈ′（ｘ）＜０，ｈ（ｘ）单调递减， 而ｈ（０）＝０， 故ｘ∈（０，ｌｎａ）时，ｈ（ｘ）＜０， 即ｈ（ｘ）≥０不恒成立． 综上，ａ的取值范围为（－∞，１］． 精编模拟试卷·数学（十） １．Ａ　２．Ｃ　３．Ｄ　４．Ｃ　５．Ｃ　６．Ｃ　７．Ｃ　８．Ｂ ９．ＡＣＤ　１０．ＢＣＤ　１１．ＣＤ　１２．ＡＣＤ １３．０＜ｘ＜１４ （答案不唯一）　１４．－６４　１５．４８　１６．２４π １７．（１）解　由题意得ａ１＋２ａ２＋３ａ３＋…＋ｎａｎ＝（ｎ－１） ２ｎ＋１＋２，① 当ｎ≥２时， ａ１＋２ａ２＋３ａ３＋…＋（ｎ－１）ａｎ－１＝（ｎ－２）２ｎ＋２，② ①－②得ｎａｎ＝（ｎ－１）２ｎ＋１－（ｎ－２）２ｎ，即ａｎ＝２ｎ， 当ｎ＝１时，ａ１＝２满足上式，所以ａｎ＝２ｎ． （２）证明　因为ｌｏｇ２ａｎ＝ｌｏｇ２２ｎ＝ｎ， 所以 １ ｌｏｇ２ａｎ·ｌｏｇ２ａｎ＋２ ＝ １ｎ（ｎ＋２） ＝１２ １ ｎ－ １ ｎ＋（ ）２ ， 所以Ｔｎ＝ （１２ １－１３＋１２－１４＋１３－１５＋…＋ １ｎ－１ － １ｎ＋１＋ １ ｎ－ １ ｎ＋ ）２ ＝１２ １＋ １ ２－ １ ｎ＋１－ １ ｎ＋（ ）２ ＝３４－ ２ｎ＋３ ２（ｎ＋１）（ｎ＋２） ， 又 ２ｎ＋３ ２（ｎ＋１）（ｎ＋２）＞０ ，所以Ｔｎ＜ ３ ４． １８．解　选条件①： （１）∵槡３ｓｉｎＣ＋ｃｏｓＣ＝ｂ＋ｃａ ＝ ｓｉｎＢ＋ｓｉｎＣ ｓｉｎＡ ， ∴槡３ｓｉｎＣｓｉｎＡ＋ｃｏｓＣｓｉｎＡ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｃ）＋ｓｉｎＣ， 整理得（槡３ｓｉｎＡ－ｃｏｓＡ）ｓｉｎＣ＝ｓｉｎＣ， 又ｓｉｎＣ≠０， ∴槡３ｓｉｎＡ－ｃｏｓＡ＝１， ∴ｓｉｎ（Ａ－３０°）＝１２ ， 又０°＜Ａ＜１８０°，∴Ａ＝６０°． （２）∵∠ＯＡＣ＋∠ＯＡＢ＝６０°， ∠ＯＡＢ＋∠ＡＢＯ＝１８０°－１２０°＝６０°， ∴∠ＯＡＣ＝∠ＡＢＯ， 在△ＡＢＯ中， ＡＯｓｉｎ∠ＡＢＯ＝ ３ ｓｉｎ１２０° ， ∴ＡＯ＝ 槡２ ３ｓｉｎ∠ＡＢＯ， 在△ＡＣＯ中， １ｓｉｎ１５０°＝ ＡＯ ｓｉｎ∠ＡＣＯ ＝ ＡＯｓｉｎ（３０°－∠ＡＢＯ） ， ∴ＡＯ＝２ｓｉｎ（３０°－∠ＡＢＯ）， ∴２ｓｉｎ（３０°－∠ＡＢＯ）＝ 槡２ ３ｓｉｎ∠ＡＢＯ， 整理得ｃｏｓ∠ＡＢＯ＝ 槡３ ３ｓｉｎ∠ＡＢＯ， ∴ｔａｎ∠ＡＢＯ＝槡３９． 选条件②： （１）∵ｓｉｎ２Ｂ＋ｓｉｎ２Ｃ－ｓｉｎ２Ａ＝ｓｉｎＢｓｉｎＣ， ∴ｂ２＋ｃ２－ａ２＝ｂｃ， ∴ｃｏｓＡ＝ｂ ２＋ｃ２－ａ２ ２ｂｃ ＝ １ ２ ， 又０°＜Ａ＜１８０°， ∴Ａ＝６０°． （２）同选条件①． 选条件③： （１）∵２ｃｏｓＡ（ｃｃｏｓＢ＋ｂｃｏｓＣ）＝ａ， ∴２ｃｏｓＡ（ｓｉｎＣｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢｃｏｓＣ）＝ｓｉｎＡ， ∴２ｃｏｓＡｓｉｎＡ＝ｓｉｎＡ， ∵ｓｉｎＡ≠０，∴ｃｏｓＡ＝１２ ， 又０°＜Ａ＜１８０°， ∴Ａ＝６０°． （２）同选条件①②． １９．（１）证 明　取ＰＦ 的 中 点Ｇ，连 接ＥＧ，ＣＧ，连 接ＡＣ 交ＢＤ 于 Ｏ，连接ＦＯ． ∵Ｅ，Ｇ分别为ＰＤ，ＰＦ的中点， ∴ＥＧ ∥ＦＤ，又 ＥＧ  平 面 ＢＤＦ，ＦＤ平面ＢＤＦ， ∴ＥＧ∥平面ＢＤＦ， 又ＡＦ＝１，故Ｆ为ＧＡ 的中点， ∴ＦＯ∥ＧＣ，又ＧＣ平面ＢＤＦ，ＦＯ平面ＢＤＦ， ∴ＧＣ∥平面ＢＤＦ， ∵ＥＧ∩ＣＧ＝Ｇ，ＥＧ，ＣＧ平面ＣＧＥ， ∴平面ＣＧＥ∥平面ＢＤＦ， 又ＣＥ平面ＣＧＥ，∴ＣＥ∥平面ＢＤＦ． （２）解　取ＢＣ的中点Ｑ，连接ＡＱ，∵四边形 ＡＢＣＤ是∠ＡＢＣ＝６０°的菱形， ∴ＡＱ⊥ＡＤ，又ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ， 建立如图所示的空间直角坐 标系， 则Ｄ（０，３，０）， Ｂ 槡３ ３ ２ ，－３２ ，（ ）０ ， Ｆ（０，０，１）， ∴ → ＤＦ＝（０，－３，１）， → ＤＢ＝ 槡３ ３ ２ ，－９２ ，（ ）０ ． 设平面ＢＤＦ的一个法向量ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ）， 则由 ｎ· → ＤＦ＝０， ｎ· → ＤＢ＝０｛ ，可得 －３ｙ＋ｚ＝０， 槡３ ３ ２ｘ－ ９ ２ｙ＝０ 烅 烄 烆 ， 不妨令ｚ＝３，则解得ｘ＝槡３，ｙ＝１， ∴ｎ＝（槡３，１，３）． 显然平面ＡＤＦ的一个法向量ｍ＝（１，０，０）， ∴ｃｏｓ〈ｍ，ｎ〉＝ ｍ ·ｎ ｜ｍ｜｜ｎ｜＝ 槡３９ １３ ， ∴平面ＢＤＦ和平面ＡＤＦ 夹角的余弦值为槡３９１３                                                                        ． ６１－案答考参 数学答题卡·９－１　 精编模拟试卷（九） 数学答题卡 一、单项选择题：共４０分（需用２Ｂ铅笔填涂）　 　　　正确填涂　　　 １［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］　 ２［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］　 ３［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］　 ４［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ５［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ６［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ７［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ ８［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ 二、多项选择题：共２０分 ９［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ １０［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ １１［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ １２［Ａ］［Ｂ］［Ｃ］［Ｄ］ 三、填空题：共２０分（需使用０．５毫米黑色签字笔书写） １３．　　　　　　１４．　　　　　　１５．　　　　　　１６．　　　　　 空 白 区 域 请 勿 答 题 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡·９－２　 四、解答题：共７０分（需使用０．５毫米黑色签字笔书写） １７．（１０分） （１） （２） １８．（１２分） （１） （２） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡·９－３　 １９．（１２分） （１） （２） ２０．（１２分） （１） （２） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡·９－４　 ２１．（１２分） （１） （２） ２２．（１２分） （１） （２） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效