第16章 分式 知识归纳与题型突破（二十类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版）

第16章 分式（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：分式的定义 如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 要点二：分式有意义的条件 分母不等于0，即B≠0。 要点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 要点四：分式的约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫做最简分式。 要点五：分式的通分 把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做通分。确定最简公分母的一般步骤： 1、取各分母系数的最小公倍数； 2、单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； 3、相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的； 4、保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 要点六：分式的四则运算 1、同分母分式加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 2、异分母分式加减法：异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分式，然后再加减。 3、分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 4、分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 5、分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 要点七：分式运算的技巧 1、先约分后通分技巧； 2、活用乘法公式，如平方差公式等，可以简化运算。 要点八：分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解分式方程的一般步骤： 1、去分母：在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程； 2、解这个整式方程； 3、检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。 03 题型归纳 题型一　分式与分式方程的定义 例题：代数式，，，中，属于分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1．在，，，，，中，分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 3．下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 题型二　分式有、无意义，值为零条件 例题：若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0； B．当时，有意义； C．无论为何值，的值不可能是正整数 D．无论为何值，总有意义 2．若能使一个分式无意义，则这个分式可以是（　　） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．将式子写成分式的形式是 D．分式的分子为0，则分式的值为0 题型三　分式的变形 例题：下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列分式从左到右的变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则x应满足的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 3．当时，代表的代数式是(    ) A． B． C． D． 题型四　分式中的分子分母变化 例题：将分式中与的值同时扩大为原来的2倍，分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定 巩固训练 1．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 2．若分式中的a，b都扩大到原来的2倍，则分式值的变化为 ． 3．不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 题型五　最简分式与列分式方程 例题：下列式子中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．新楚大高速公路（楚雄到大理）通车运营，续写了“云南第一路”新篇章．小杰家到大理约，从新修道路自驾去大理的平均速度是原来的1.5倍，所需时间比原来缩短了，设原来小杰自驾去大理的平均速度是，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知三张卡片上面分别写有6，，，若从中任选两张卡片，并将上面的整式分别作为分子、分母，则能组成的最简分式为 ．（写出一个即可） 3．、两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从地出发到地，乙车比甲车早到30分钟，求甲车的平均速度．如果设甲车平均速度为千米/小时，那么根据题意列出的分式方程是 ． 题型六　科学记数法 例题：引发秋季传染病的某种病毒的直径是，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 2．某种纸1张的厚度约为0.00935（精确到），用科学记数法表示这个近似数为 ． 3．纳米机器人在医学和材料科学等领域有广泛应用，尺寸为几十至几百纳米．例如，一个52纳米大小的纳米机器人，其长度为0.000000052米．数据0.000000052用科学记数法表示为 ． 题型七　根据分式方程的解求值 例题：已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 2．已知关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 3．若整数使关于的不等式组，有且只有个整数解，且使关于的方程的解为非正数，求整数的值． 题型八　分式中的规律 例题：按一定规律排列的数：则第个数为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 2．对于正数，规定，例如：，，则的值为 ． 3．观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 题型九　分式值为正(负)数中的取值范围 例题：若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 巩固训练 1．若分式的值为正数，则x的取值范围是（　　） A．x B．0 C．x＞0 D．x且x≠0 2．若分式的值为正，则的取值范围为 ． 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得0 则有(1)或(2) 解不等式组(1)得：；解不等式组(2)得：不等式组无解 ∴不等式的解集是： ∴当时，分式的值为正 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 题型十　分式值为整数的整数值 例题：若分式的值是负整数，则m的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 巩固训练 1．能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 2．如果m为整数，那么使分式的值为整数的m为 ． 3．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 题型十一　分式无解问题 例题：若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．1 B．1或 C．或 D．以上都不是 巩固训练 1．已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 3．已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 题型十二　分式恒等式 例题：已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 巩固训练 1．已知x+＝3，那么分式的值为（　　） A． B． C． D． 2．若，，为常数，则的值为 ． 3．课堂上，李老师出了这样一道题： 已知 求整式 A，B． 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B． 请你根据上面的思路解决下列问题： 已知 ，求 A，B 的值． 题型十三　分式四则运算 例题：计算： (1)； (2)． 巩固训练 1．计算 (1)； (2)． 2．（）化简：； （）化简：． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 题型十四　分式化简求值 例题：先化简∶  ．再取一个合适的a值求代数式的值 巩固训练 1．先化简：，然后在3，2，和四个数中任选一个合适的数代入求值． 2．先化简再求值：，其中． 3．先化简，再从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的求值． 题型十五　解分式方程 例题：解分式方程 (1)； (2)． 巩固训练 1．用换元法解方程：． 2．解下列分式方程： (1)； (2)． 3．解下列分式方程： (1) (2) 题型十六　零指数幂与负整数指数幂 例题：计算：． 巩固训练 1．计算： (1) (2) 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 题型十七　分式方程的实际应用 例题：哈尔滨某商场准备采购一批亚冬会吉祥物进行销售，下面是一段对话． 用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍．    一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．    (1)根据对话信息，求每件A、B型商品的进价分别是多少？ (2)若该商场购进A、B型商品共150件进行试销，已知每件A型商品的售价为230元，每件B型商品售价为210元，这批货全部售出且获得的利润不多于9800元．求至多购进A型商品多少件？ 巩固训练 1．A，B，C为三个城市，A，B两市的距离为180千米，A，C两市的距离为a千米． (1)甲、乙两车同时从A市出发匀速行驶，前往B市，甲车的速度是乙车的1.2倍，且比乙车提前30分钟到B市，求乙车每小时行驶多少千米； (2)若甲、丙两车从A市出发匀速行驶前往C市，且甲车保持（1）中的速度不变，比丙车晚出发1小时，结果两车同时到C市，问甲车的速度是丙车的多少倍？（用含a的代数式表示） 2．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示： 污水处理设备 A型 B型 价格（万元/台） m 月处理污水量（吨/台） 200 180 (1)求m的值； (2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数． 3．下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价-乙商品进价 (1)解法一所列方程中的表示_____（填序号），解法二所列方程中的表示_____（填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③甲种商品购进件 (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． (3)商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件？ 题型十八　分式中的裂项 例题：观察下列式子：，，，…… (1)请你写出第五个式子：____________ (2)请你用字母n写出第n个式子____________，并加以证明。 (3)利用上面知识解决下列问题： 一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第n次倒出的水量是L的…按照这种倒水的方法，求倒n次倒出的总水量有多少L？ 巩固训练 1．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示），并证明． 2．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第个等式： ； (2)用含有的代数式表示第个等式并证明（为正整数）． 3．观察下列等式 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)写出你猜想的第n个等式__________（用含n的等式表示），并证明． 题型十九　分式方程中的规律 例题：阅读理解，并根据所得规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程的解为，；方程的解为，；方程的解为，……以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于的方程的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于的方程得到______； (3)拓展延伸：由（）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 巩固训练 1．解方程： ①的解为；    ②的解为； ③的解为；    ④的解为； …… (1)请根据发现的规律直接写出第⑤、⑥个方程及他们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解． 2．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题． ，，，… (1) ． (2)探究 ．（用含有n的式子表示） (3)若的值为，求n的值． 3．阅读理解：下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下：由①得或；由②得或；由③得或， (1)问题解决：请写出第四个方程______________； (2)规律探究：若n为正整数，则第n个方程是____________其解为_____________； (3)变式拓展：若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 题型二十　分式与分式方程的新定义 例题：定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 巩固训练 1．定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； (3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 2．给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 3．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”；若不是，打“”．①（   ）；②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”， 求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 分式 （题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一：分式的定义 如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。 要点二：分式有意义的条件 分母不等于0，即B≠0。 要点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 要点四：分式的约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫做最简分式。 要点五：分式的通分 把几个异分母的分式变成同分母的分式，叫做通分。确定最简公分母的一般步骤： 1、取各分母系数的最小公倍数； 2、单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； 3、相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的； 4、保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 要点六：分式的四则运算 1、同分母分式加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 2、异分母分式加减法：异分母的分式相加减，先通分，变成同分母的分式，然后再加减。 3、分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 4、分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 5、分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。 要点七：分式运算的技巧 1、先约分后通分技巧； 2、活用乘法公式，如平方差公式等，可以简化运算。 要点八：分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。解分式方程的一般步骤： 1、去分母：在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程； 2、解这个整式方程； 3、检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。 03 题型归纳 题型一　分式与分式方程的定义 例题：代数式，，，中，属于分式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义判断即可． 【详解】解：根据分式的定义，属于分式的有：，，共2个， 故选：B． 巩固训练 1．在，，，，，中，分式有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，正确理解分式定义是解题的关键，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式。 【详解】解：由此可得，，不是分式，，，是分式，共3个， 故选B 2．下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可，正确理解分式方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是方程，不符合题意； 、，不含有分式，不是分式方程，不符合题意； 、，不含有分式，不是分式方程，不符合题意； 、，含有分式，是分式方程，符合题意； 故选：． 3．下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的定义，理解并掌握分式方程的定义是解题关键．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A.是分式方程，不符合题意； B. 不是分式方程，符合题意； C. 是分式方程，不符合题意； D. 是分式方程，不符合题意． 故选：B． 题型二　分式有、无意义，值为零条件 例题：若分式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 根据分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式有意义 ∴， 解得， 故选：D． 巩固训练 1．下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0； B．当时，有意义； C．无论为何值，的值不可能是正整数 D．无论为何值，总有意义 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式值为零的条件，理解这两个条件是关键；根据分式有意义的条件及分式值为零的条件去判断即可． 【详解】解：A、当时，分式无意义，故判断错误； B、当时，有意义，故判断错误； C、当时，的值是正整数3，故判断错误； D、由于，则无论为何值，总有意义，故判断正确； 故选：D． 2．若能使一个分式无意义，则这个分式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式无意义的条件，根据分式的分母为0时，分式无意义，进行判断即可． 【详解】解：∵能使一个分式无意义，且， ∴当分式的分母为时，分式无意义， 故选B． 3．下列说法正确的是（   ） A．是分式 B．对于任意实数，总有意义 C．将式子写成分式的形式是 D．分式的分子为0，则分式的值为0 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的定义，分式的值，根据与分式相关的概念与性质逐一分析判断即可. 【详解】解：A. 是整式，故不符合题意， B. ∵， ∴对于任意实数，总有意义，故符合题意； C. 将式子写成分式的形式是，故不符合题意； D. 分式的分子为0，分母不为0，则分式的值为0，故不符合题意； 故选：B 题型三　分式的变形 例题：下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变．根据分式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 巩固训练 1．下列分式从左到右的变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、假设，所以，，则此项不一定正确，不符合题意； B、当时，，则此项不一定正确，不符合题意； C、，所以只有当时，，则此项不一定正确，不符合题意； D、，则此项一定正确，符合题意； 故选：D． 2．若，则x应满足的条件是（   ） A． B． C．且 D．或 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质及分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：当时，分子与分母同时除以，分式的值不变，即， ， 又分式的分母不能为0， ， x应满足的条件是且， 故选C． 【点睛】本题考查分式的基本性质及分式有意义的条件，解题的关键是注意分式的分母不能为0． 3．当时，代表的代数式是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 题型四　分式中的分子分母变化 例题：将分式中与的值同时扩大为原来的2倍，分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据题意把与的值同时扩大为原来的2倍，然后约分化简与原式进行比较即可． 【详解】解：分式中与的值同时扩大为原来的2倍，得 即缩小为原来的， 故选：B． 巩固训练 1．下列分式中与的值相等的分式是（  ） A． B． C．- D．- 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：=== 故选B． 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． 2．若分式中的a，b都扩大到原来的2倍，则分式值的变化为 ． 【答案】缩小为原来的 【分析】本题考查的是分式的基本性质，熟知分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键．先求出分式中的，都扩大到原来的2倍后的分式，进而可得出结论． 【详解】解：分式中的，都扩大到原来的2倍， 分式值变化为． 故答案为：缩小为原来的． 3．不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 【答案】 【分析】要想将分式分母各项系数都化为整数，将分式的分子和分母同乘以10即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的基本性质是分式约分和通分的依据，熟练掌握并灵活运用是解答本题的关键． 题型五　最简分式与列分式方程 例题：下列式子中，属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简分式，解题的关键是熟知一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式．根据最简分式的定义依次判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、是最简分式，符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意， 故选：B． 巩固训练 1．新楚大高速公路（楚雄到大理）通车运营，续写了“云南第一路”新篇章．小杰家到大理约，从新修道路自驾去大理的平均速度是原来的1.5倍，所需时间比原来缩短了，设原来小杰自驾去大理的平均速度是，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题案的关键是读懂题意，根据“所需时间比原来缩短了”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 2．已知三张卡片上面分别写有6，，，若从中任选两张卡片，并将上面的整式分别作为分子、分母，则能组成的最简分式为 ．（写出一个即可） 【答案】或（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的基本性质以及最简分式的定义，解题的关键是掌握分式的基本性质以及最简分式的定义．直接利用分式的基本性质以及最简分式的定义形如，A、B是整式，B中含有字母且B不等于0的式子叫做分式，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式分析得出答案． 【详解】解：6为分母时不是分式， 不是分式， 不是最简分式， 和 是最简分式， 故答案为：或． 3．、两地相距160千米，甲车和乙车的平均速度之比为4：5，两车同时从地出发到地，乙车比甲车早到30分钟，求甲车的平均速度．如果设甲车平均速度为千米/小时，那么根据题意列出的分式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，正确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键；由题意得乙车的平均速度为千米/小时，根据等量关系：乙车比甲车早到30分钟，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意得乙车的平均速度为千米/小时， 则：； 故答案为：． 题型六　科学记数法 例题：引发秋季传染病的某种病毒的直径是，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 巩固训练 1．2024年9月9日，工业和信息化部宣布中国首台氟化氩光刻机，实现套刻技术，标志着我国在高端芯片制造领域取得了关键性进展．已知8纳米米，0.000000008用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：B． 2．某种纸1张的厚度约为0.00935（精确到），用科学记数法表示这个近似数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了近似数，科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先求出近似数，然后根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：（精确到）， 故答案为：． 3．纳米机器人在医学和材料科学等领域有广泛应用，尺寸为几十至几百纳米．例如，一个52纳米大小的纳米机器人，其长度为0.000000052米．数据0.000000052用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，由此即可得出答案． 这里． 【详解】 故答案为： 题型七　根据分式方程的解求值 例题：已知关于的分式方程有增根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键．先求解方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解． 【详解】解：关于的分式方程有增根， ， 解得：， 故选：D． 巩固训练 1．如果数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程与解一元一次不等式组，正确求解方程与不等式组是关键；先解分式方程，根据解为正数求得a的范围；再解不等式组，根据解集为可求得a的范围，最后求得所有整数a并相加即可． 【详解】解：解得：， 则有， ∴； 但，即， ∴且； 解第一个不等式得：；解第二个不等式得：； 由题意知，， 综上，a的取值范围为， ∴a取整数3，4，5， 其和为12． 故选：B． 2．已知关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了解分式方程．首先去分母化成整式方程，求得x的值，然后根据方程的解大于0，且即可求得m的范围． 【详解】解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：， ∵原分式方程得解为正数，且， ∴，且， 解得：且． 故答案为：且． 3．若整数使关于的不等式组，有且只有个整数解，且使关于的方程的解为非正数，求整数的值． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分式方程；解不等式组，得到不等式组的解集，根据整数解的个数判断的取值范围，解分式方程，用含有的式子表示，根据解的非负性求出的取值范围，确定符合条件的整数，相加即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：． 不等式组有且只有个整数解， ， 解得． 解关于的方程，得． 关于的方程的解为 ， ，解得． ， ， ， 故整数的值为或． 题型八　分式中的规律 例题：按一定规律排列的数：则第个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字． 根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第个数． 【详解】解：一组数为 ∴这组数据第1个数为：， 第2个数为：， 第3个数为：， ∴第个数为：， 故选：C． 巩固训练 1．给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．分别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案． 【详解】解：第一个分式为：， 第二个分式为：， 第三个分式为：， 第四个分式为：， 第五个分式为：， ， 按此规律，那么这列分式中的第n个分式为， 故选：C． 2．对于正数，规定，例如：，，则的值为 ． 【答案】19.5 【分析】本题考查了分式的规律，分式的化简求值，掌握分式的化简和找出规律是解题的关键．由题意可得：，则可得：，然后组合式子即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ，，…，， ∵x为正数， ∴原式 ． 故答案为：． 3．观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第6个分式为． （2）解：根据题意得：第n（n为正整数）个分式为．理由： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子的底数是x，次数是连续的奇数，且第偶数个分式的系数为负， ∴第n（n为正整数）个分式为． 题型九　分式值为正(负)数中的取值范围 例题：若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，要使分式的值为负数，即，解不等式即可得出． 【详解】解：的值为负数， ，． 故答案为：B 巩固训练 1．若分式的值为正数，则x的取值范围是（　　） A．x B．0 C．x＞0 D．x且x≠0 【答案】A 【分析】根据分式的值的意义，由于分子，要分式的值为正数，分母． 【详解】解：由于分式的值为正数， 所以， 即， 故选：A． 【点睛】题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键． 2．若分式的值为正，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查的是分式性质，根据分式为正数的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：分式的值为正， ，， 解得，且 故答案为：且． 3．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：当取何值时，分式的值为正？ 解：依题意，得0 则有(1)或(2) 解不等式组(1)得：；解不等式组(2)得：不等式组无解 ∴不等式的解集是： ∴当时，分式的值为正 问题：仿照以上方法解答问题：当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】当时，分式的值为负 【分析】由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集． 【详解】解：依题意，得0， 则有(1)或(2) 解不等式组(1)得：无解； 解不等式组(2)得：， ∴不等式的解集是：， ∴当时，分式的值为负． 【点睛】本题主要考查分式的值为正的条件和解一元一次不等式组的知识点，根据题列出不等式组是解题的关键． 题型十　分式值为整数的整数值 例题：若分式的值是负整数，则m的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式的值及其性质、解一元一次不等式，先化简原分式为，再根据分式的值为负整数得到m是且的整数，进而根据选项中的数可求解． 【详解】解：∵分式的值是负整数， ∴且的整数， 选项B中的数符号题意，选项A、C、D中的数不符合题意， 故选：B． 巩固训练 1．能使分式值为整数的整数x有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．8 【答案】D 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； 故选D． 2．如果m为整数，那么使分式的值为整数的m为 ． 【答案】或或0或1 【分析】本题主要考查分式的值，熟练掌握相关知识点并全面讨论是解题关键． 分式，讨论就可以了，即是2的约数即可完成． 【详解】解：， 若原分式的值为整数，那么，，1，2 由得，； 由得，； 由得，； 由得，； 或或0或1， 故答案为：或或0或1． 3．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）； ①；②；③；④． (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：______． (3)当x取什么整数时，“和谐分式”的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)或或或或或 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断； （2）根据同分母分式加法将各分式变形； （3）根据（2）所求可得当x为整数时，的值为整数，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解：①，②；③，④， ∴①③④的分式是“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：∵的值为整数， ∴当x为整数时，的值为整数 当或或时，分式的值为整数， ∴或或或或或． 题型十一　分式无解问题 例题：若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．1 B．1或 C．或 D．以上都不是 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，根据分式方程无解，分两种情况进行讨论是解题的关键． 根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可． 【详解】解： 分式方程两边同乘以得： 令最简公分母为0，即解得 ∴当，即时，原分式方程产生增根，无解． 综上所述可得：时，原分式方程无解． 故选：A． 巩固训练 1．已知关于的分式方程无解，则所有满足条件的整数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先把分式方程中的分母分解因式，再把分式方程化成整式方程，解方程求出，然后根据分式方程无解，分整式方程无解和分式方程无解两种情况，列出关于的方程，解方程求出即可．本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握把分式方程化成整式方程． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴， 则， ∴， 即， 关于的分式方程无解，，， 解得：，， 或， 解得：或， 所有满足条件的整数为或或0，共3个， 故选：C． 2．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查分式方程无解，无解包含两种情况：一种是解为增根，一种是在解方程的过程中未知数被消掉的情况，根据两种情况分析得到包含m的方程即可求解．先假设方程有解，利用含有m的代数式表示方程的解，再根据解可判断出该方程无解符合根为增根的情况，将方程中的分母等于0，算出增根，得到m的方程即可求解． 【详解】解：假设方程有解，解得：， ∵该方程无解， ∴， ∴， ∵， ∴是该方程的增根， ∴， ∴． 综上，m的值为或． 故答案为：或． 3．已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)若方程有增根，的取值为或； (2)若方程无解，的取值为或或； (3)或 【分析】（）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可； 本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 题型十二　分式恒等式 例题：已知，则分式的值为（  ） A．1 B．-1 C． D．- 【答案】B 【分析】根据，可得，再代入，然后化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ 故选：B 【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的化简，根据题意得到是解题的关键． 巩固训练 1．已知x+＝3，那么分式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可知，则在分式的分子和分母同时除以，然后对分母运用完全平方公式变形，代入条件求解即可． 【详解】由条件可知， 则， 将代入上式得： 原式， 故选：C． 【点睛】本题考查分式求值问题，灵活结合分式的性质以及完全平方公式进行变形是解题关键． 2．若，，为常数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，从而求得A、B的值，代入即可求出的值． 【详解】 ， ∵， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：1． 3．课堂上，李老师出了这样一道题： 已知 求整式 A，B． 本题是这样思考的：已知是等式，首先对等式的右边进行通分，可得 已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即：，利用多项式相等则对应的系数相等可求得A，B． 请你根据上面的思路解决下列问题： 已知 ，求 A，B 的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的加减法，根据题意得出、的二元一次方程组是解答此题的关键．先把分式右边通分，再根据题意得出关于的方程组，求出、的值即可． 【详解】解：原分式可化为， ，即， ， 解得． 题型十三　分式四则运算 例题：计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了整式的混合运算和分式的混合运算，熟练应用整式的混合运算和分式的混合运算是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后将两个结果相减，即可得到答案． （2）先把括号内通分，然后利用平方差公式和完全平方公式计算，最后分式除法转化为乘法化简即可得到答案． 【详解】（1）解： = = =； （2）解： = = = = =． 巩固训练 1．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式和分式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可； （2）把括号里通分，并把除法转化为乘法，再把分子分母分解因式约分化简． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 2．（）化简：； （）化简：． 【答案】（）；（） 【分析】（）根据分式的性质和运算法则计算即可； （）根据分式的性质和运算法则计算即可； 本题考查了分式的混合运算，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）原式 ； （）原式 ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查分式的除法，分式的减法以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式中分子与分母各自因式分解，再将除法转换为乘法后进行约分计算即可； （2）将原式中的分母通分后，根据同分母分式加减法法则进行计算即可； （3）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，进行约分计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型十四　分式化简求值 例题：先化简∶  ．再取一个合适的a值求代数式的值 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分式有意义的条件，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后结合分式有意义的条件选取进行计算即可． 【详解】解： ； ∵且， ∴取， 原式． 巩固训练 1．先化简：，然后在3，2，和四个数中任选一个合适的数代入求值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先按照分式的运算顺序：先计算除法，再计算减法，得到化简结果，根据分式有意义的条件选取适当的a的值代入计算即可． 【详解】解： ； 由题意知，，， ∴，， ∴在3，2，和四个数中，a只能取， 当时，原式． 2．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键． 根据分式的混合计算法则化简后再代入数值计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 3．先化简，再从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式． 【分析】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．先将能够进行因式分解的分子或分母进行因式分解，然后算除法，再算加法，即可化简．分别解不等式确定不等式组的整数解，最后根据分式有意义的条件选取合适的的值代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 解不等式组，得． 取整数， ． 要使原分式有意义，则，，， 或， 当时，原式； 当时，原式． 题型十五　解分式方程 例题：解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解； （2）方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为； （2）解：， 方程两边同时乘以，得：， 整理得： 解得：， 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 巩固训练 1．用换元法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，利用换元法解分式方程，设，将原方程化为，求出的值并检验是否为原方程的解，然后求解的值即可． 【详解】解：原方程化为：， 设，则原方程化为：， 方程两边同时乘得：， 解得：， 经检验：都是方程的解． 当时，，该方程无解； 当时，，解得：； 经检验：是原分式方程的解， 原分式方程的解为． 2．解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解答此题的关键． （1）先去分母，方程两边同乘以，将分式方程化为整式方程，求解即可； （2）先去分母，方程两边同乘以，将分式方程化为整式方程，求解即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘以，得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． （2）方程两边同乘以，得：， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 3．解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，注意验根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）方程两边同乘以最简公分母，得，再解方程，即可作答． （2）方程两边同乘以最简公分母，得，再解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴去分母得． ∴去括号，得． 则移项、合并同类项，得． ∴系数化为1，得． 检验：当时，， ∴是分式方程的解． （2）解：∵ ∴去分母得． ∴去括号，得． ∴移项、合并同类项，得． ∴系数化为1，得． 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 题型十六　零指数幂与负整数指数幂 例题：计算：． 【答案】9 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 巩固训练 1．计算： (1) (2) 【答案】(1)4 (2)0 【分析】本题考查实数的混合运算． （1）先化简各式，再进行加减计算即可； （2）先化简各式，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，然后再进行加减运算． （2）先计算乘方，然后在计算除法，最后再计算加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先进行幂的乘方，积的乘方，零指数幂的运算，再进行单项式乘以单项式，单项式除以单项式的运算，即可； （2）先进行乘法公式的计算，再合并同类项即可； （3）先进行完全平方公式的计算，再合并同类项即可； （4）先进行平方差公式的计算，再进行完全平方公式的计算，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 题型十七　分式方程的实际应用 例题：哈尔滨某商场准备采购一批亚冬会吉祥物进行销售，下面是一段对话． 用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍．    一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．    (1)根据对话信息，求每件A、B型商品的进价分别是多少？ (2)若该商场购进A、B型商品共150件进行试销，已知每件A型商品的售价为230元，每件B型商品售价为210元，这批货全部售出且获得的利润不多于9800元．求至多购进A型商品多少件？ 【答案】(1)A型商品的进价160元；型商品的进价150元 (2)至多购进A型商品80件 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，理解题意找准等量关系是解题的关键． （1）根据“用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍”列出方程进行计算即可； （2）表示出利润，再根据“利润不多于9800元”列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验是分式方程的解， ∴（元）， 答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元． （2）解：设商场购进A型商品m件，则购进A型商品件， ， 解得， ∴至多购进A型商品80件． 巩固训练 1．A，B，C为三个城市，A，B两市的距离为180千米，A，C两市的距离为a千米． (1)甲、乙两车同时从A市出发匀速行驶，前往B市，甲车的速度是乙车的1.2倍，且比乙车提前30分钟到B市，求乙车每小时行驶多少千米； (2)若甲、丙两车从A市出发匀速行驶前往C市，且甲车保持（1）中的速度不变，比丙车晚出发1小时，结果两车同时到C市，问甲车的速度是丙车的多少倍？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)乙车每小时行驶千米 (2)倍 【分析】本题考查了分式方程的应用； （1）设乙车每小时行驶千米，则甲车车每小时行驶千米，根据题意列出分式方程，解方程并检验即可求解； （2）设丙车的速度为千米每小时，由（1）可得甲的速度为千米每小时，根据题意列出分式方程，解方程并检验，进而即可求解． 【详解】（1）解：设乙车每小时行驶千米，则甲车车每小时行驶千米，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解， 答：乙车每小时行驶千米 （2）解：设丙车的速度为千米每小时，由（1）可得甲的速度为千米每小时，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解， ∴丙车每小时行驶千米 ∴甲车的速度是丙车的倍 2．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示： 污水处理设备 A型 B型 价格（万元/台） m 月处理污水量（吨/台） 200 180 (1)求m的值； (2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数． 【答案】(1) (2)有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为吨． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程或不等式是解题的关键． （1）由万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，列出分式方程即可求解． （2）设买型污水处理设备台，则B型台，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解；然后根据题意求得整数解，再分别求得各方案的处理污水量的吨数，即可求解． 【详解】（1）解：由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同， 即可得：， 解得， 经检验是原方程的解，即； （2）解：∵型污水处理设备的单价为18万元，型污水处理设备的单价为15万元， 设买型污水处理设备台，则B型台， 根据题意得：， 解得，由于是整数，则有种方案， 当时，，月处理污水量为吨， 当时，，月处理污水量为吨， 当时，，月处理污水量为吨， 当时，，月处理污水量为吨， 当时，，月处理污水量为吨， 当时，，月处理污水量为吨， 答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为吨． 3．下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价-乙商品进价 (1)解法一所列方程中的表示_____（填序号），解法二所列方程中的表示_____（填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③甲种商品购进件 (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． (3)商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件？ 【答案】(1)①，③ (2)甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元 (3)至多购进甲种商品12件 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择解法一，设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为元，根据用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；选择解法二：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件，甲种商品每件进价为元，乙种商品每件进价为元，根据甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，列出方发出，解方程即可； （3）设甲商品购进a件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品，求解a的范围，可得答案． 【详解】（1）解：由甲商品数量=乙商品数量，可得：中的x表示甲种商品每件进价x元， 由甲商品进价-乙商品进价=20可得：中的x表示甲种商品购进x件； 故答案为：①，③； （2）解：如下两种解答中选择其中一种即可． 若选择“解法一”，过程如下： 解：设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为元， 由题意得：， 方程两边同乘， 得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； 若选择“解法二”，过程如下： 解：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件， 由题意得： ， 方程两边同乘， 得， 整理得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ，， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； （3）解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件， 由题意，得， 解得， 答：至多购进甲种商品12件． 题型十八　分式中的裂项 例题：观察下列式子：，，，…… (1)请你写出第五个式子：____________ (2)请你用字母n写出第n个式子____________，并加以证明。 (3)利用上面知识解决下列问题： 一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的……第n次倒出的水量是L的…按照这种倒水的方法，求倒n次倒出的总水量有多少L？ 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）观察各等式，根据每个等式中的分数的分子都是1，分母分别是序号数、序号数加1，求解即可； （2）根据探究出的式子存在的规律写出第n个等式并证明，即可； （3）先列出式子，再根据材料中的运算规律，直接计算和化简． 本题主要考查了数字变化规律的问题，观察、分析、归纳并发现分母与序号的关系的规律，熟练掌握发现的规律，列出代数式，裂项求和，是解决本题的关键． 【详解】（1）∵第一个式子是，， 第二个式子是，， 第三个式子是，， ∴第四个式子是， ， 第五个式子是，； 故答案为： （2）由（1）中归纳的规律知，第n个式子是， ， 证明： ∵左边， 右边 ∴左边=右边， ∴原式成立； 故答案为：； （3） （L）． 故倒n次倒出的总水量有L． 巩固训练 1．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第6个等式； （2）结合（1）即可写出第个等式． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）． 故答案为：． 证明：左边 右边， 所以等式成立． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． 2．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第个等式： ； (2)用含有的代数式表示第个等式并证明（为正整数）． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）观察前个等式找到规律即可，左边式子的分子为，分母是两个整数的积，之间相差，且下一个式子的第一个数字是上一个式子的最后一个数，右边裂项成对应的减法； （2）观察已给的三个等式，找到规律即可解答． 【详解】（1）解：按规律列出第个等式：， 故答案为：； （2）． 证明：右边 ． ∴． 【点睛】本题考查的是数字变化类的规律问题，掌握分式的加减法法则是解本题的关键． 3．观察下列等式 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)写出你猜想的第n个等式__________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）观察式子里得分子、分母与序数之间的关系即可求出结果； （2）观察式子里得分子、分母与序数之间的变化规律即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，第5个等式为． 故答案为：． （2）解：． 证明：左边 ， 右边， ∵左边=右边， ∴等式成立． 【点睛】本题考查了数字规律类，分式混合运算的应用，观察题目，找出数字的变化规律是解题的关键． 题型十九　分式方程中的规律 例题：阅读理解，并根据所得规律答题． 小明同学在一次教学活动中发现：方程的解为，；方程的解为，；方程的解为，……以此类推： (1)请你依据小明的发现，猜想关于的方程的解是______； (2)根据上述的规律，猜想由关于的方程得到______； (3)拓展延伸：由（）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【答案】(1)，； (2)或； (3),． 【分析】（）根据已知材料即可得出答案； （）根据已知材料即可得出答案； （）把方程转化成或，由材料得出或，求出方程的解即可； 此题考查了解分式方程，读懂题意并灵活变形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； …； ∴方程的解是，； 故答案为：，； （2）解：解：∵方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； …； ∴由关于的方程得到或； 故答案为：或； （3）解：， ， ， ∴或， ∴，． 巩固训练 1．解方程： ①的解为；    ②的解为； ③的解为；    ④的解为； …… (1)请根据发现的规律直接写出第⑤、⑥个方程及他们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解． 【答案】(1)第⑤个方程为，解为；第⑥个方程为，解为 (2)第n个方程为，． 【分析】本题主要考查解分式方程及应用和数字的变化规律，熟练掌握分式方程的解法及理解题中规律是解题关键． （1）观察或直接求解①②③中的方程的解；根据前三个方程的规律可得第⑤、⑥个方程及其解； （2）根据（1）中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可． 【详解】（1）解：观察可知： 左边分子是正整数n，右边分子是左边分子的2倍． 右边整体比左边多了． 解x的值与方程左边的分子n存在的关系． 所以，第⑤个方程为，解为； 第⑥个方程为，解为； （2）解：第n个方程为， 去分母，得解为 经检验，是原方程的解 ∴原方程的解为 2．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题． ，，，… (1) ． (2)探究 ．（用含有n的式子表示） (3)若的值为，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到规律，据此求解即可； （2）利用（1）的规律将各分数进行分解，进而化简求出答案； （3）仿照题意可得，进而分解各数，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， …… 以此类推可得， ∴ ， 故答案为：； （2）解： ； 故答案为：； （3）解： ． ∵的值为， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解 ∴． 【点睛】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力，解题的关键是要能发现其规律和拆分法的应用． 3．阅读理解：下列一组方程：①，②，③，…小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，他的解过程如下：由①得或；由②得或；由③得或， (1)问题解决：请写出第四个方程______________； (2)规律探究：若n为正整数，则第n个方程是____________其解为_____________； (3)变式拓展：若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 【答案】(1) (2)， x=n或x=n+1 (3)n=12或11 【分析】（1）根据已知分式方程的变化规律进而得出第四个方程； （2）利用发现的规律得出分子与后面常数的关系求出即可； （3）利用已知解题方法得出方程的解． 【详解】（1）第四个方程为：， 即． 故答案为：； （2）可得第n个方程为：， 解得：x=n或x=n+1； 故答案为：， x=n或x=n+1； （3）将原方程变形，， ∴x+2=n或x+2=n+1， ∴方程的解是x=n-2，或x=n-1， 当n-2=10时，n=12， 当n-1=10时，n=11， ∴n=12或11． 【点睛】此题主要考查了分式的解，利用已知得出分式的解与其形式的规律是解题关键． 题型二十　分式与分式方程的新定义 例题：定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 【答案】(1)A与B互为“和整分式”，“和整数值”. (2)①，②1 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，理解题意是解此题的关键． （1）先计算，再根据结果即可得解； （2）①求出，结合题意得出，计算即可得解；②先求出，再结合题意计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴A与B互为“和整分式”，和“整数值”； （2）解：，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴； ②∵， 若分式D的值为正整数， ∴或， 解得或（舍去）， ∴正整数x的值为1． 巩固训练 1．定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”． (1)下列3组分式： ①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有____________（只填序号）； (2)若正实数互为倒数，求证与属于“友好分式组”； (3)若均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值． 【答案】(1)②③ (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了分式的加减运算，求解分式的值，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键． （1）根据给出的“友好分式组”定义把每一组的分式相减看结果来判断； （2）根据a，b互为倒数，得ab=1，把 代入计算出结果即可； （3）根据分式与属于“友好分式组”，得求出①a=-4b，②ab=4b2-2a2，分别把①②代入分式求出结果即可． 【详解】（1）解：① ②； ③ 则 ∴属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③ （2）∵a，b互为倒数， ∴，， ∴ ∴与属于“友好分式组” （3） ∵a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”， 或 把①代入 把②代入 ∴的值为或 2．给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． (1)在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． (2)若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． (3)若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)或 【分析】（1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求a的值即可． （3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是，不是 成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故③正确； 故答案为：①③． （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得． （3）解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 3．新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”；若不是，打“”．①（   ）；②（   ）． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”， 求的值． (3)若数对（，且，）是关于的分式方程的“关联数对”，且关于的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， ①的答案是； 当，时， 分式方程，解得， ， ②的答案是； 故答案为：；； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，解得， ， ，解得； （3）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ，， ，， ， ， 当时，解得， 将化简得：， 解得， 关于的方程有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ， ． 1 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $$