第5章 一元一次方程（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版2024）

第5章 一元一次方程 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 3．已知和是同类项，则式子的值是（   ） A． B． C． D． 4．下列变形错误的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．当时，由，得 5．把方程去分母后，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 6．某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量的水价为元/吨，超过月用水标准量部分的水价为元/吨．该市小明家月份用水吨，交水费元，则该市每户的月用水标准量为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 7．小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后、老师告诉她方程的解是，请问这个被污染的常数■是 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．某中学的学生自己动手整修操场，七年级的学生说：“如果让我们单独工作，7.5小时能完成”；八年级的学生说：“如果让我们单独工作，5小时能完成．”现两个年级学生一起工作1小时，剩下的部分再让七年级单独完成需x小时，可列方程（   ） A． B． C． D． 9．甲、乙两种衣服售价均为60元，其中一件衣服盈利，另一件衣服亏损，当商家同时卖出这两种衣服各一件时（   ） A．不盈不亏 B．盈利5元 C．亏损5元 D．盈利6元 10．如图，点为线段上两点，，且，设，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．已知是关于x的一元一次方程；则 ． 12．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图是一个没有填写完整的幻方，它每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数的和都相等，那么m表示的数为 ． 13．用的铁丝围成一个等腰三角形，已知一个腰和底的长度比为，则腰长是 ． 14．若方程与方程的解相同，则 ． 15．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是1，则 ． 16．有一饮料瓶如图，其容积为，现在它里面装一些饮料，正放时饮料高度为，若将饮料瓶倒立时，空余部分的高度为，则瓶内现有饮料为 ．    17．关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能的取值之和为 ． 18．已知关于x的一元一次方程 的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．解方程： (1)； (2)； (3)． 20．我们定义一种新运算：，例如：． (1)求的值： (2)若，求x的值． 21．已知关于x的方程，，某同学在解此方程去分母时，方程右边的没有乘以6，结果求得解是． (1)求字母a的值． (2)求原方程的解． 22．随着网络的普及，“直播带货”成为火热的销售模式之一．一运动品牌上衣在实体店按成本价提高30%销售，在直播间以实体店售价的9折进行销售，结果在直播间每卖出1件该运动上衣可获利34元，设该运动上衣的成本价为x元，根据题意，列方程解出x的值． 23．一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件部分 2.6元/件 超过100件不超过300件部分 2.2元/件 超过300件部分 2元/件 (1)若买50件花 元，买300件花 元，买400件花 元； (2)小明买这种商品花了612元，列方程求购买这种商品多少件？ 24．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道：，现在我们可以用这一结论来解含有绝对值的方程．例如，解方程时，可令和，分别求得和，（称和分别为和的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①，②，③，从而解方程可分以下三种情况： ①当时，原方程可化为，解得． ②当时，原方程可化为，解得，但不符合，故舍去． ③当时，原方程可化为，解得． 综上所述，方程的解为和． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值． (2)解方程． 25．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D出各折一下，得到“折线数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动到点E时P点P停止运动，当点Q运动到点A时点Q停止运动，设：运动时间为t．问： (1)动点P从点A运动到E点需要 秒，此时点Q对应的数是 ； (2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ (3)求当t为何值时，P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 一元一次方程 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，掌握其定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义“含有一个未知数，未知数的最高次数是1次的整式方程”判定即可求解． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数是1次，是一元一次方程，符合题意； C、含有一个未知数，未知数的最高次数是2次，不是一元一次方程，不符合题意； D、未知数在分母上，不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B ． 2．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解的概念，使得方程等式成立的未知数的值叫做方程的解．将分别代入到四个选项中的方程中，看方程左右两边是否相等，进行判断即可． 【详解】、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 3．已知和是同类项，则式子的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同类项，解一元一次方程，代数式求值，掌握同类项的概念是解题关键．根据两个单项式中，含有相同的字母，且相同字母的指数也相同，则称这两个单项式为同类项解题即可． 【详解】已知和是同类项， 则， 解得， ． 故选：B． 4．下列变形错误的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．当时，由，得 【答案】A 【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键：等式的性质：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即如果，那么；等式的性质：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等，即如果，那么，如果，那么． 根据等式的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 由，得，原变形错误，故选项符合题意； B. 由，得，变形正确，故选项不符合题意； C. 由，得，变形正确，故选项不符合题意； D. 当时，由，得，变形正确，故选项不符合题意； 故选：． 5．把方程去分母后，正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，按照移项，合并同类项，系数化为1．方程两边同乘以8去分母得到结果，即可做出判断． 【详解】解：方程去分母，得， 故选：B． 6．某市对居民用水实行“阶梯收费”：规定每户每月不超过月用水标准量的水价为元/吨，超过月用水标准量部分的水价为元/吨．该市小明家月份用水吨，交水费元，则该市每户的月用水标准量为（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，解题关键是判断出x的范围，根据等量关系∶不超过标准量的部分的水费超过标准量的部分的水费元列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：设该市每户的月用水标准量为x吨， ∵（元），， ∴． 根据题意得：， 解得：． 故选C． 7．小丽同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，在询问老师后、老师告诉她方程的解是，请问这个被污染的常数■是 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程等知识点，设被污染的常数■是，把代入计算即可求出a的值． 【详解】解：设被污染的常数■是， 把代入得：， 整理得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：D． 8．某中学的学生自己动手整修操场，七年级的学生说：“如果让我们单独工作，7.5小时能完成”；八年级的学生说：“如果让我们单独工作，5小时能完成．”现两个年级学生一起工作1小时，剩下的部分再让七年级单独完成需x小时，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．利用七年级完成的工作量八年级完成的工作量总工作量，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：， 即． 故选：． 9．甲、乙两种衣服售价均为60元，其中一件衣服盈利，另一件衣服亏损，当商家同时卖出这两种衣服各一件时（   ） A．不盈不亏 B．盈利5元 C．亏损5元 D．盈利6元 【答案】C 【分析】本题主要是考查盈利与亏损的实际应用题．熟练利用售价=进价+利润列出方程求解是解题的关键． 已知售价，需算出这两件衣服的进价，设出进价，表示出利润，根据利润=售价-进价可得出进价，再求出卖这两件衣服售价之和与进价之和，进行比较即可． 【详解】解∶设盈利的那件衣服的进价为元， 根据题意列方程，得， 解得， 设亏损的那件衣服的进价为元， 根据题意列方程，得， 解得， ∴两件衣服的进价之和为，两件衣服的售价之和为， ∵， ∴卖出两件衣服亏损5元． 故选：C． 10．如图，点为线段上两点，，且，设，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把代入得出，先求出CD=6，将 再代入方程并求出方程的解即可． 【详解】解： ∵，， ∴， ， 解得：． ∴， 的解为， 故选：． 【点睛】本题考查了两点间的距离 、一元一次方程的解法及应用，得出关于的方程是解此题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．已知是关于x的一元一次方程；则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义“一元一次方程必须满足三个条件：只有一个未知数，未知数的次数是1，是整式方程”解答即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴，解得， 故答案为：． 12．对幻方的研究体现了中国古人的智慧，如图是一个没有填写完整的幻方，它每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数的和都相等，那么m表示的数为 ． 【答案】1 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，列代数式，根据表格中每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，列出方程求解即可． 【详解】解：设上方的数为n, ∵每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的三个数之和都相等， ， ， 故答案为：1． 13．用的铁丝围成一个等腰三角形，已知一个腰和底的长度比为，则腰长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设腰为，则底边为，由题意可列方程：，再解方程即可得到答案． 【详解】解：设腰为，则底边为， 由题意可列方程：， 解得：， 此时三角形的三边长分别为：、和， ∴这个三角形的腰长为； 故答案为：． 14．若方程与方程的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，一元一次方程的解法，先解方程可得，把代入即可得到答案． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：， 将代入方程， ∴， 解得：． 故答案为：． 15．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是1，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．先去分母，化简方程，再将代入方程可得，从而可得，求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：， ， ， ， 将代入得：，即， ∵无论为何值，这个方程的解总是1， ∴， 解得， ∴， 故答案为：0． 16．有一饮料瓶如图，其容积为，现在它里面装一些饮料，正放时饮料高度为，若将饮料瓶倒立时，空余部分的高度为，则瓶内现有饮料为 ．    【答案】24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设饮料瓶瓶底的面积为x，根据瓶内饮料的体积不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设饮料瓶瓶底的面积为x，依题意得： ， 解得：， ∴． 即瓶内现有饮料24． 故答案为：24． 17．关于的一元一次方程的解为整数，则整数的所有可能的取值之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的整数解．熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． 先求出原方程的解为，根据原方程有整数解可得或，求出可能的值，再求和即可． 【详解】解： 解得． 由题意可得为整数， 所以或， 的整数值为4或2或5或1， 所以整数的所有可能的取值之和为． 18．已知关于x的一元一次方程 的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程的拓展，掌握解一元一次方程的一般步骤和换元法是解题的关键．令，则可化为，从而得到，继而得解． 【详解】解：令， 则可化为， ∵关于x的一元一次方程 的解为， ∴的解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为，即可求解； （2）去括号，移项，合并同类项，系数化为，即可求解； （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，即可求解． 【详解】（1）解： 移项， 合并同类项， 系数化为， ∴原方程的解为：． （2）解： 去括号， 移项， 合并同类项， ∴原方程的解为：． （3）解： 去分母， 去括号， 移项， 合并同类项， 系数化为， ∴原方程的解为：． 【点睛】本题主要考查去分母，去括号解方程，掌握解方程的方法，有理数的混合运算是解题的关键． 20．我们定义一种新运算：，例如：． (1)求的值： (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的运算，解一元一次方程． （1）根据新运算的法则，进行计算即可； （2）根据新运算的法则，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴． 21．已知关于x的方程，，某同学在解此方程去分母时，方程右边的没有乘以6，结果求得解是． (1)求字母a的值． (2)求原方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解的含义，及方程的解法，理解题意，正确运算是解本题的关键． （1）按题意原方程去分母可得，把代入再解方程即可； （2）首先得到原方程为，然后方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）∵， ∴（去分母时漏乘）， 把代入可得：， 整理得：， 解得：； （2）∵ ∴原方程为 整理得， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 22．随着网络的普及，“直播带货”成为火热的销售模式之一．一运动品牌上衣在实体店按成本价提高30%销售，在直播间以实体店售价的9折进行销售，结果在直播间每卖出1件该运动上衣可获利34元，设该运动上衣的成本价为x元，根据题意，列方程解出x的值． 【答案】该运动上衣的成本价为200元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，由折扣的定义，根据售价=成本+利润，即可列出方程． 【详解】设该运动上衣的成本价为x元， 根据题意得： 解得． 答：该运动上衣的成本价为200元． 23．一种商品按销售量分三部分制定销售单价，如下表： 销售量 单价 不超过100件部分 2.6元/件 超过100件不超过300件部分 2.2元/件 超过300件部分 2元/件 (1)若买50件花 元，买300件花 元，买400件花 元； (2)小明买这种商品花了612元，列方程求购买这种商品多少件？ 【答案】(1)130，700，900 (2)260件 【分析】本题考查了利用一元一次方程解决实际问题，正确理解题意，列出方程是解题的关键． （1）由销售量与销售单价计算即可； （2）设小明购买这种商品x件，由，得出小明购买的件数少于300件，列方程解方程即可． 【详解】（1）解：买50件花：（元）， 买300件花：（元）， 买400件花：（元）， 故答案为：130，700，900； （2）解：设小明购买这种商品x件， ∵， ∴小明购买的件数少于300件， ∴， 解得：； 答：小明购买这种商品260件． 24．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道：，现在我们可以用这一结论来解含有绝对值的方程．例如，解方程时，可令和，分别求得和，（称和分别为和的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①，②，③，从而解方程可分以下三种情况： ①当时，原方程可化为，解得． ②当时，原方程可化为，解得，但不符合，故舍去． ③当时，原方程可化为，解得． 综上所述，方程的解为和． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值． (2)解方程． 【答案】(1)的零点值为，的零点值为 (2)和 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握绝对值方程的转化和分情况讨论思想是解题关键． （1）分别解方程和即可得； （2）分三种情况：①；②和③，分别化简绝对值，解方程即可得． 【详解】（1）解：令，解得， 令，解得， 所以的零点值为，的零点值为． （2）解：①当时，原方程可化为， 解得； ②当时，原方程可化为， 解得，不符合，舍去； ③当时，原方程可化为， 解得； 综上所述，方程的解为和． 25．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D出各折一下，得到“折线数轴”．图中点A表示，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28．我们称点A和点E相距36个单位长度，动点P从A从出发，以每秒4个单位的速度沿着“折线数轴”的正方向移动，同时，动点Q从E出发以每秒3个单位的速度沿着“折线数轴”的负方向移动，两个点上坡时候的速度均是各自初始速度的一半，下坡时候的速度均是各自初始速度的2倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动到点E时P点P停止运动，当点Q运动到点A时点Q停止运动，设：运动时间为t．问： (1)动点P从点A运动到E点需要 秒，此时点Q对应的数是 ； (2)P，Q两点在点M出相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？ (3)求当t为何值时，P，B两点在这个上数轴上相距的长度与Q，D两点在这个数轴上相距长度相等． 【答案】(1)10，4 (2) (3)4，，10 【分析】（1）根据点在各段的运动速度结合公式：时间路程速度即可得到动点从点运动至点需要的时间，分析点在每段上运动需要的时间即可解答； （2）分析可知当，两点在处相遇时，点在段，再求出两点相遇所用时间，最后计算出点所对应的数即可； （3）根据题意可分情况讨论：①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意；②当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；③当点在段时，点在段，根据列出方程并求解；④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意；⑤当点在段，点在段，根据列出方程并求解；⑥当点在段，点在段，根据列出方程并求解． 【详解】（1）解：由题意可知，动点在、、段的速度均为4单位秒，在段的速度为2单位秒，在段的速度为8单位秒， ，， 动点从点运动至点需要的时间为（秒， 动点从点出发，以3单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，在，，段的速度为3单位秒，段的速度为1.5单位秒，在段的速度为6单位秒， 动点从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒，从点运动到点需要（秒， （秒， ， ． 此时点对应的点是4； 故答案为：10，4； （2）由（1）可知，，两点在处相遇时，点在段， 动点由点经过点到点点用时为（秒， 动点从点到点用时为（秒， 6秒到秒动点的路程， 相遇的时间（秒， 点的路程， 点所对应的数； （3）①当点在段时，点在段，此时大于8，小于4，不符合题意； ②当点在段时，点在段， 若，则，， ， 解得：； ③当点在段时，点在段， 若，则，， ， 解得：（舍去）； ④当点在段时，点在段时，小于8，大于8，不符合题意； ⑤当点在段，点在段， 若，则，， ， 解得：； ⑥当点在段，点在段， 若，则，， ， 解得：． 综上所述，当为4或8.8或10时，，两点在数轴上相距的长度与，两点在数轴上相距的长度相等． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、数轴，解题关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程．本题难度适中，是中考常考题型，要求学生牢固掌握． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$