专题01幂指对数函数全章复习攻略（6种重点题型归纳+真题过关检测）-【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（沪教版2020）

专题01幂指对数函数全章复习攻略 （6种重点题型归纳+真题过关检测） 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 幂函数的定义与图像】 【题型2 幂函数的性质】 【题型3 指数函数的定义与图像】 【题型4 指数函数的性质】 【题型5 对数函数的定义与图像】 【题型6 对数函数的性质】 一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【知识点归纳】 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． 解析式：y＝xa＝ 定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数； 2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数． 当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数． 2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数． 而只有a为正数，0才进入函数的值域． 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的． 二．幂函数的图象 【知识点归纳】 三．幂函数的性质 【知识点归纳】 所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）． （1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）（0，0）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大； c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右； d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数． （2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上； c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴． （3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线． 四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【知识点归纳】 1、幂函数定义： 一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． （1）指数是常数； （2）底数是自变量； （3）函数式前的系数都是1； （4）形式都是y＝xa，其中a是常数． 2、幂函数与指数函数的对比 式子 名称 a x y 指数函数：y＝ax 底数 指数 幂值 幂函数：y＝xa 指数 底数 幂值 3、五个常用幂函数的图象和性质 （1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝； （5）y＝x﹣1 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x﹣1 定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0} 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，+∞）时，增 x∈（﹣∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减 x∈（﹣∞，0）时，减 公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1） 4、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）． （2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数． （3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数． （4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数． 五．指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【知识点归纳】 指数函数的解析式、定义、定义域、值域 1、指数函数的定义： 一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）． 2、指数函数的解析式： y＝ax（a＞0，且a≠1） 3、理解指数函数定义，需注意的几个问题： ①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R． ②规定底数a大于零且不等于1的理由： 如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义； 如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在． 如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要， 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1． 六．指数函数的图象与性质 【知识点的认识】 1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质： y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 （0，+∞） 性质 过定点（0，1） 当x＞0时，y＞1； x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1 在R上是增函数 在R上是减函数 2、底数对指数函数的影响： ①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴． ②底数对函数值的影响如图． ③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax 与函数y＝的图象关于y轴对称． 3、利用指数函数的性质比较大小： 若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较； 若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值． 七．指数型复合函数的性质及应用 【知识点归纳】 指数型复合函数性质及应用： 指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（ax）与y＝af（x） 复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理 U＝g（x） y＝au y＝ag（x） 增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增 减． 八．指数函数的单调性与特殊点 【知识点归纳】 1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断． 2、同增同减的规律： （1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增； （2）如果0＜a＜1，则函数单调递减． 3、复合函数的单调性： （1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大； （2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”． 九．指数函数的实际应用 【知识点归纳】 指数函数图象的应用： 函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题． 十．指数式与对数式的互化 【知识点归纳】 ab＝N⇔logaN＝b； alogaN＝N；logaaN＝N 指数方程和对数方程主要有以下几种类型： （1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法） （2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法） （3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法） （4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）＝；（换底法） （5）Alogx+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法） 十一．对数的运算性质 【知识点的认识】 对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）． loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaM﹣logaN； logaMn＝nlogaM； loga＝logaM． 十二．对数函数的定义 【知识点归纳】 一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．即ab＝N，logaN＝b． 底数则要大于0且不为1． 十三．对数函数的定义域 【知识点归纳】 一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R． 十四．对数函数的值域与最值 【知识点归纳】 一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R． 定点：函数图象恒过定点（1，0） 十五．对数值大小的比较 【知识点归纳】 1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较． 2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较 3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大） 十六．对数函数的图象与性质 【知识点归纳】 十七．对数函数的单调性与特殊点 【知识点归纳】 对数函数的单调性和特殊点： 1、对数函数的单调性 当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数 当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点 对数函数恒过点（1，0） 十八．指数函数与对数函数的关系 【知识点归纳】 指数函数和对数函数的关系： （1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称． （2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数． （3）指数函数与对数函数的联系与区别： 十九．反函数 【知识点归纳】 【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域． 【性质】 反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色 （1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称 （2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． （5）一切隐函数具有反函数； （6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】； （8）反函数是相互的且具有唯一性； （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）； （10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））． 题型归纳 【题型1 幂函数的定义与图像】 1．（22-23高一上·上海·期末）记号表示不超过实数的最大整数，若，则的值为（    ） A．4898 B．4899 C．4900 D．4901 【答案】D 【分析】根据题意，由和互为反函数，其图象关于对称，把函数的值转化为边长为的正方形内整点的个数，结合有两个，即可求解. 【详解】根据题意，可得表示轴，及函数所成围成区域的整点的个数， 设函数和，可得函数和互为反函数， 两个函数的图象关于对称， 由函数对称性，可得轴，，与函数围成的区域 所以轴，及围成的区域所包含的整数点一样多， 如图所示，把和分别看成横轴和纵轴， 则函数表示边长为的正方形内整点的个数的之和， 其中有两个，所以整点的个数为， 即. 故选：D. 2．（21-22高一上·上海金山·期中）设和是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为（    ） A．1或2或0 B．1或2或3 C．1或2或3或4 D．0或1或2或3 【答案】B 【分析】由幂函数过点，根据两个幂函数的定义域的情况进行分类分析可得答案. 【详解】和是两个不同的幂函数，设， 由幂函数过点， 当和的定义域均为时，它们的图象的交点有，，还可能有 当和中至少有一个的定义域为时，它们的图象的交点有 当和中一个的定义域为，另一个的定义域为时，它们的图象的交点有. 所以它们图像交点的个数为1或2或3 故选：B 3．（20-21高一上·上海杨浦·期中）已知幂函数①，②，③，④，其中图像关于轴对称的是 （填写全部正确的编号） 【答案】②④ 【分析】本题可根据函数的定义域以及是否满足判断函数是否关于轴对称. 【详解】①：，，不关于轴对称； ②：，，满足，关于轴对称； ③：，，不满足，不关于轴对称； ④：，，满足，关于轴对称， 故答案为：②④. 4．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数的表达式为，若且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数图像结合已知得出、的范围，在根据，得出、的关系，即得出，再根据二次函数在区间上的值域得出答案. 【详解】作出函数的图像如下： 若且， 则当，得， 则，， 且，即， 则， 令，， 则且， 即， 故答案为：. 5．（22-23高一上·上海静安·期中）已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得到，求出值，进行检验即可. 【详解】根据其为幂函数，则，解得或， 当时，，则其定义域关于原点对称，，故其为偶函数，且分布在一、二象限，图像如图所示： 故舍去， 当时，，则其定义域关于原点对称，，故其为奇函数，且分布在一、三象限，图像如图所示： 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于x的幂函数 (1)求证：幂函数在第一象限内一定有图像. (2)命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同；判断命题m是命题n的什么条件并说明理由. (3)求证：除原点外，幂函数的图像一定与坐标轴无交点. 【答案】(1)证明见解析 (2)必要非充分条件，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对于幂函数，根据幂函数的定义和性质来分析其在第一象限的图像情况. （2）要判断命题是命题的什么条件，需要根据幂函数的性质以及公共点的情况进行分析. （3）证明幂函数除原点外与坐标轴无交点，要考虑幂函数的表达式以及坐标轴上点的坐标特点. 【详解】（1）对于幂函数，当时，无论取何值（），都有意义. 例如当时，， 当时，，当时，等，在时都有对应的值.所以幂函数在第一象限内一定有图像. （2）若两个幂函数相同，设这两个幂函数为和，它们的图像完全重合，有无数个公共点， 当然也满足有三个公共点（这是一种特殊情况包含在其中），所以. 反之，若两个幂函数有三个公共点，例如和， 它们有三个公共点，，，但这两个幂函数并不相同，所以. 综上，命题是命题的必要不充分条件. （3）对于幂函数，当时，，当时，； 当时，无意义（除时，但），所以幂函数图像过原点. 对于轴上除原点外的点，即且， 对于幂函数，当时，除（且）外，要么为要么无意义， 所以除原点外幂函数图像与轴无交点. 对于轴上的点，令，当时，若，无解； 若，；若，无解，所以除原点外幂函数图像与轴无交点. 7．（24-25高一上·上海·课后作业）已知幂函数经过点． (1)当时，求函数的值； (2)是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【分析】（1）由待定系数法求出幂函数的表达式，再代入即可求解； （2）首先得出，进一步结合函数单调性列出方程组即可求解. 【详解】（1）设幂函数为，∴，∴， ∴，∴当时，． （2）存在． 理由：由（1）得，∴，∴． 因为函数在上是严格增函数， 所以函数在上是严格增函数， 所以当时，函数取最小值，当时，函数取最大值， 解得，． 故存在，满足题意． 8．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 【答案】(1) (2)图象见解析 【分析】（1）根据题意结合幂函数的定义和性质分析求解； （2）由（1）可得：，列表、描点、连线作图. 【详解】（1）因为为幂函数，则，解得或， 若，则，图象关于原点对称，符合题意； 若，则，图象不关于原点对称，不符合题意； 综上所述：. （2）由（1）可得：，则的定义域为， 可得 1 2 3 2 3 1 则的图象为： 9．（21-22高一上·上海黄浦·期末）已知幂函数为偶函数，． (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若函数在上是严格增函数，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时， 为偶函数，当时，为非奇非偶函数； (3). 【分析】（1）由条件可得，解出的值，然后验证即可； （2），分、两种情况讨论即可； （3）当时，，然后化简可得，然后可得答案. 【详解】（1）因为为偶函数，所以 解得或 当时，为偶函数，满足题意 当时，是非奇非偶函数，不满足题意 所以 （2）因为，所以 所以当时，，为偶函数， 当时，，为非奇非偶函数， （3）因为函数在上是严格增函数， 所以当时，，即 所以， 因为，所以，所以 因为，所以，所以 【题型2 幂函数的性质】 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由幂函数的奇偶性，单调性即可求解. 【详解】由于幂函数，定义域为，偶函数，且在单调递减， 所以由， 可得：，且， 对平方可得：， 解得：，又， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的解为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式. 【详解】解：幂函数的定义域为，且函数在上单调递增， 又，则为偶函数，所以在上单调递减， 则由不等式可得，平方后整理得， 即，解得，则不等式的解集为. 故答案为：. 3．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设（为常数），则“函数的图象经过点”是“函数为偶函数”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要””、“既不充分也不必要”） 【答案】充要 【分析】利用偶函数的性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若函数的图象经过点，即， 对任意的，则， 对任意的，则， 此时函数为偶函数， 所以，“函数的图象经过点”“函数为偶函数”； 若函数为偶函数，又因为，则， 所以，“函数的图象经过点”“函数为偶函数”. 所以，“函数的图象经过点”是“函数为偶函数”的充要条件. 故答案为：充要. 4．（2023高一上·上海·专题练习）若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】解法1做出函数图像，分不同情况讨论，结果取并集即可，解法2利用函数的奇偶性，转化为在固定区间上解不等式，利用单调性求解即可. 【详解】解法1：∵， 观察的图象，得以下四种可能情况: （1） （2） （3） （4） 分别解得:（1）. （2）无解. （3）. （4）. ∴的取值范围是. 解法2：由幂函数性质得在单调递减，且易知是偶函数， ∴若， 即， 解得:. 5．（23-24高一上·上海静安·期中）已知幂函数的图象关于点中心对称; (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在直角坐标系中做出函数的图像； (3)根据中图像，直接写出不等式的解集， 【答案】(1) (2)答案见解析 (3). 【分析】（1）根据函数 是幂函数，由得到或 再根据图象关于点中心对称求解； （2）由（1）得到作图求解； （3）根据（2）中图象求解. 【详解】（1）解：因为函数 是幂函数， 所以 解得 或 ①当 时，函数 定义域是 f（x）的图象关于原点对称， ②当 时，函数的图象关于y轴对称， 则 所以幂函数f（x）的解析式是； （2）由（1）知，其的定义域是 在定义域上的图象，如图所示.      （3）观察（2）中图象得，故函数g（x）的单调递增区间是：和单调递减区间是： 不等式的解集是. 6．（21-22高一上·上海长宁·期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用幂函数在区间上是严格增函数得到，再验证其图象关于轴对称进行求值； （2）利用（1）中函数的奇偶性和单调性进行求解. 【详解】（1）解：因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得， 又因为，所以或或， 当或时，为奇函数，图象关于原点对称（舍）； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 综上所述，. （2）解：由（1）得为偶函数，且在区间上是严格增函数， 则由得， 即，即，解得， 所以满足的实数的取值范围为. 7．（20-21高一上·上海·期末）已知函数，函数， （1）将的解析式化为根式，直接写出其定义域，值域，零点，并指出其在定义域上的单调性，奇偶性（不需要写过程，将答案填在表格中）； 解析式化为根式 定义域 值域 单调性 奇偶性 零点 （2）如果在区间上严格单调递减，求实数a的取值范围. 【答案】（1）表格见解析；（2）. 【分析】（1）根据幂函数的图像性质，可得答案. （2）设，则在上单调递增，且，由复合函数的单调性规则，所以在上单调递减，再讨论二次项的系数，根据二次函数的图像性质，结合对称轴的位置可得答案. 【详解】（1） 解析式化为根式 定义域 R 值域 R 单调性 严格增 奇偶性 奇函数 零点 0 （2） 设，由，则.，且在上单调递增. 因为在区间上严格单调递减,设 根据复合函数的单调性规则，所以在上单调递减. 当时，满足在上单调递减. 当时，的对称轴满足，开口向下，满足在上单调递减. 当时，则的对称轴满足，故 综上可得：在区间上严格单调递减，实数a的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题考查幂函数的图像性质和考查复合函数的单调性求参数问题，解答本题的关键是由题意设，根据复合函数的单调性规则，所以在上单调递减，结合二次函数的图象性质得出答案.属于中档题. 【题型3 指数函数的定义与图像】 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）函数：①；②；③；④．其中，指数函数有 个； 【答案】1 【分析】根据指数函数的定义进行判断. 【详解】①中，的系数是2，故①不是指数函数；②中，的指数是，故②不是指数函数； ③中，是指数函数；④中，是幂函数． 所以只有③是指数函数． 故答案为：1 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数（且）的图像过点，若时，；时，，则 ． 【答案】64 【分析】将点代入解析式得出，进而由解析式得出. 【详解】因为指数函数（且）的图像过点， 所以或（舍）. 若时，；时，， 因此. 故答案为：64. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 【答案】/0.015625 【分析】先根据已知求出参数的值，然后将代入函数表达式即可求解. 【详解】由题意，注意到且，所以解得， 所以指数函数解析式为， 当时，. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数中a的取值范围是 . 【答案】且 【分析】根据指数函数的定义填写即可. 【详解】根据指数函数的定义，知，且. 故答案为：且. 5．（24-25高一上·上海·课后作业）指数函数的图像经过，则 ． 【答案】/ 【分析】首先设指数函数，再代入点求函数的解析式，最后求函数值. 【详解】设函数（且）， ，得，即 所以. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（且）的图像经过点． (1)求的表达式； (2)求的最小值； (3)设，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入计算即可； （2）整体思想，转化为二次函数的最值问题即可； （3）利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）将代入，得，解得或（舍）， 故． （2）由（1）易知， 当时取等号，故的最小值为． （3）由题意，得， 当且仅当，即时取等号，故要使恒成立，则， 故的取值范围是． 【题型4 指数函数的性质】 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在上是严格增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解得的取值范围． 【详解】根据题意，函数在R上是增函数， 则有，解得：， 即实数的取值范围为； 故答案为：． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数都有，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】推导出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得原不等式的解集. 【详解】不妨令，则等价于， 可得，构造函数，则是上的增函数. 因为，所以等价于， 即，所以，即，解得. 因此不等式的解集是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），求解即可. 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用指数函数的性质作出的大致图象，数形结合得到的取值（范围），从而得解. 【详解】依题意，令，解得；令，解得； 当时，，则， 由指数函数的性质作出的大致图象，如图，    因为的值域为，所以，， 则，所以，即的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的值域为， (1)求实数的值； (2)求函数，的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的值域为可计算出的值； （2）根据二次函数的对称轴以及开口方向，分类讨论时函数的最小值，由此可求结果. 【详解】（1）因为的值域为，所以的值域为， 由条件可知，. （2）对称轴为且开口向上， 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，在上单调递增，所以， 所以. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数（且）是定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)若，试判断函数单调性，并求使不等式对恒成立的t的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质可得，由此求得值； （2）由（且），，求得，在上单调递减，不等式化为，即恒成立，由求得的取值范围； （3）由求得的值，可得 的解析式，令，可知为增函数，，令，分类讨论求出的最小值，再由最小值等于，求得的值. 【详解】（1）∵是定义域为的奇函数， ∴，∴，∴， 经检验，，是奇函数，故； （2）（且）， ∵，∴，又且，所以， ∵单调递减，单调递增，故在上单调递减． 不等式化为，∴， 即恒成立，∴，解得 所以的取值范围为； （3）∵，∴，即，解得或（舍去）， ∴， 令，由（1）可知为增函数， ∵，∴， 令， 若，当时，，解得， 若，当时，，解得(舍去)， 综上所述：． 6．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题知，进而结合二次函数求解即可； （2）令，将函数转化为求的最大值问题，再分和讨论求解即可； （3）结合题意，将问题转化为，对任意恒成立，再结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）当时，函数， 所以当时，函数有最小值. （2）令，则函数， 当时，由有， 由于函数在上单调递减，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，均不满足，舍去； 当时，由有， 由于函数在上单调递增，在区间上的最大值为， 所以，当时，有最大值， 解得或，其中不满足，舍去； 综上，. （3）因为当时，对任意恒成立 所以，对任意恒成立 所以，对任意恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，恒成立，即， 所以，实数的取值范围为. 7．（24-25高一上·上海闵行·期中）定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 【答案】(1)为“1距”增函数. (2). (3) 【分析】（1）根据题设中的新定义可证，故可判断为“1距”增函数. （2）根据函数新定义可得在上恒成立，根据判别式可求参数的范围； （3）根据函数新定义可得在上恒成立，分类讨论后可求参数的范围. 【详解】（1）因为，故， 故为“1距”增函数. （2）由题设可得在上恒成立即， 整理得到：在上恒成立， 若，因不成立，故舍， 故，解得. （3）因为是“2距”增函数，故， 整理得到：在上恒成立， 故恒成立且恒成立， 故且， 故. 8．（24-25高一上·上海·期中）已知函数． (1)直接写出函数在区间上的单调增区间和单调减区间： (2)设常数t满足，求函数在区间上的最小值： (3)设函数，对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)当时，最小值为，当时，最小值为1 (3) 【分析】（1）配方后得到函数单调区间； （2）分和，得到函数单调性，得到最小值； （3），换元后得到，，从而得到，求出答案. 【详解】（1）， 故在区间上的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），， 若时，在上单调递减，故最小值为， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 故最小值为， 故当时，最小值为，当时，最小值为1. （3）， 对于任意的，关于x的不等式恒成立， 即， 令，故在上恒成立， ， 由得， 故当时，取得最小值，最小值为， ，解得， 故实数k的取值范围为. 【点睛】方法点睛：恒成立问题常常利用函数最值解决，可以直接利用函数性质求解最值，也可分离参数后利用易解决的函数性质求解最值，从而解决问题. 【题型5 对数函数的定义与图像】 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）以下四个命题中，真命题的个数为（   ） ①函数最小值为3；    ②若，则； ③不等式的解集为． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据二次函数性质分析可得①错误；由对数运算性质构造函数并利用其单调性可得②正确；举反例在不等式的解集内可知③错误. 【详解】对于①，由于，则，即函数最小值为4，所以①错误； 对于②，若， 易知在上单调递增，，所以，可得②正确； 对于③，易知当时，，即在不等式的解集内，因此③错误； 因此真命题的个数为1个. 故选：B 2．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每个选项中函数的单调性求出实数的取值范围，再由函数（且）的图象与轴的交点，求出的取值范围，观察的范围能否一致，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，函数为增函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，解得，合乎题意； 对于B选项，函数为减函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，解得，不合乎题意； 对于C选项，函数为减函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，可得，不合乎题意； 对于D选项，函数为增函数，则，可得， 对于函数，令，可得， 可得，可得，不合乎题意. 故选：A. 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）利用函数图像解不等式：的解集是 . 【答案】 【分析】画出函数，的图像，根据图像得到答案. 【详解】画出函数，的图像，如图所示： 当时，，根据图像知：当时， 故答案为：. 4．（22-23高一上·上海宝山·期末）函数的定义域为，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件可得对都有，然后分、两种情况讨论求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对都有， 当时成立， 当时有，解得， 综上可得， 故答案为： 5．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）若函数的图像恒过一定点，则此定点坐标为 ． 【答案】(0,1) 【分析】根据对数函数恒过定点，再结合整体法即可求解. 【详解】当时， ， 所以的图像恒过一定点(0,1)， 故答案为：(0,1) 6．（21-22高一上·上海闵行·期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解为 . 【答案】/ 【分析】先作函数图象，再求交点，最后根据图象确定解集. 【详解】 因为经过， 所以时，令， 当时，可得， 所以的解集为. 故答案为：. 7．（21-22高一上·上海松江·期末）设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为 . 【答案】 【分析】设，求得点坐标并代入，求得，进而求得的横坐标. 【详解】设，线段的中点坐标为，， 因为是以为斜边的等腰直角三角形， 所以，因为点在函数的图像上， 所以，， 所以，所以， 解得，所以点的横坐标为. 故答案为： 8．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设为奇函数，a为常数． (1)求a的值； (2)若函数，求与两个函数图像的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇偶性的定义，再解方程得出a的值； （2）由，再解对数方程得出交点坐标. 【详解】（1）因为为奇函数，所以对定义域内的任意都成立， 所以，即， 整理得，求解并验证得或（舍）. （2）由得，整理得，解得，则交点纵坐标y = -2， 即与两个函数图像的交点坐标为.. 9．（22-23高一上·上海徐汇·期末）（1）判断函数的奇偶性并说明理由； （2）证明：函数在上严格增. 【答案】（1）函数为奇函数，证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）根据函数解析式先确定函数定义域，定义域对称后化简解析式，按照奇偶性判断即可； （2）按照函数单调性定义取值、作差、变形、定号、下结论等步骤证明即可. 【详解】解：（1）函数为奇函数，理由如下： 函数定义域满足，即函数定义域为， 所以，则， 故函数为奇函数； （2）证明：任取，且， 所以 ， 因为，所以，又恒成立，所以，即， 故函数在上严格增. 【题型7 对数函数的性质】 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】先求得函数的定义域，然后根据对数函数的单调性求值域. 【详解】由，解得，所以的定义域是， 二次函数的开口向下，对称轴为， 所以， 又函数在上单调递增， 所以的值域是. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海嘉定·期中）设条件有意义，条件，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先分别求出条件表示的集合，再由p是q的必要不充分条件，可得集合是集合的真子集，从而可求出实数的取值范围 【详解】由，得，记为， 由，得，且， 当时，， 因为p是q的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集，则，所以； 当时，，显然满足题意； 当时，， 则集合是集合的真子集，则，所以； 综上所述，实数的取值范围为， 故答案为：. 3．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】把不等式变形为，分和情况讨论，数形结合求出答案. 【详解】解：因为不等式在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，，， 则问题转化为在上恒成立， 若，此时在上单调递减，，而当时，，显然不合题意； 当时，画出两个函数的图象， 要想满足在上恒成立，只需，即，解得． 综上：实数的取值范围是. 故答案为： 4．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数，其中.若关于x的方程恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，画出图像如图所示，利用数形结合思想，结合二次函数的对称性，对数函数的运算和性质，对勾函数的单调性求解. 【详解】，画出图像如图所示. 方程等价于，方程有4个不同的实数根，即函数的图象与水平直线有4个不同的交点，故. 设四个交点的横坐标从左到右依次为，如图所示，可知，， 结合,得所以. 又因为，所以，所以，所以， 由于函数在上单调递减，所以， ， 所以题设方程所有实数根之和的取值范围是. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用复合函数的性质“同增异减”即可得到结果. 【详解】令，则，且为减函数． 函数在上是严格减函数， 则，解得，故实数的取值范围是. 故答案为：． 6．（22-23高一上·上海宝山·期末）当，时，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由且，得出，用均值不等式即可得出答案． 【详解】，且，而函数在上单调递增， ，即，且，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】通过，，三种情况讨论即可. 【详解】， 当时，，存在最大值，不满足值域为， 当，，值域为，满足题意； 当，若的值域为，同时必有， 解得， 综上实数的取值范围是， 故答案为： 8．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列不等式，比较正数m及n的大小： (1)； (2)（且）； (3)（，，）． 【答案】(1) (2)当时，；当时，； (3) 【分析】（1）根据的单调性即可比较大小； （2）对分和讨论，并结合对数函数单调性即可比较大小； （3）根据换底公式得，再根据对数函数性质得分子和分母的符号即可比较大小. 【详解】（1）因为在单调递增， 而，所以； （2）当时，在单调递增，而，所以； 当时，在单调递减，而，所以； （3）因为， 而，， 因为，即， 所以，又函数在上单调递增， 所以. 9．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程即可求解. （2）将问题转化为在上有实数解,求函数在上的值域即可. 【详解】（1）由题得即 故方程的解为. （2）由,得 易知在上是严格增函数, 且当时,当时, 故 10．（24-25高一上·上海·期中）已知全集为R，集合  集合  B=. (1)求集合A，B及A∩B: (2)若C={}， 且满足A∪C=A， 求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于集合，根据指数函数单调性求解的范围. 对于集合，根据对数函数的性质，求解的范围. 对于，求两个集合的交集，即求既属于又属于的元素组成的集合. （2）对于，根据集合的包含关系，再根据集合的定义求解的取值范围. 【详解】（1）因为，指数函数是单调递增函数. 所以. 解为，即.   因为，对数函数是单调递增函数. 所以，解得，即.   则. （2）对于集合，可得，即. 因为，所以. 则有. 解第一个不等式，得. 解第二个不等式，得. 所以的取值范围是. 11．（24-25高一上·上海松江·期中）若函数的定义域为，且对任意，都有，则称具有“性质”． (1)当时，判断是否具有“性质”，并说明理由； (2)当时，证明：具有“性质”； (3)如果函数具有“性质”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）取验证即可判断； （2）通过，转换成证明恒成立即可. （3）通过对任意恒成立，讨论三种情况即可. 【详解】（1）当时，，则不具有“性质”． （2）若要证具有“性质”，则 只需要证成立即可， 又，则，恒成立， 则具有“性质”． （3）由题意知， 则对任意恒成立， 当时，成立，当时不成立， 当时，或． 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的取值范围； (2)令，求在上的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，令，求出的取值范围，从而求出的取值范围； （2）依题意可得，再令，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为， 令，即，则或， 解得或， 所以的取值范围为； （2）因为 ， 令，因为，则， 此时有， 令，， 当时，； 当时，； 当时，； 综上可得. 真题感知 1．（24-25高一上·上海·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数的真数大于、分式分母不为求解出结果. 【详解】因为，所以，解得， 所以定义域为， 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数的图像与坐标轴没有交点，则 ． 【答案】. 【分析】利用幂函数的定义和性质可得，再应用对数运算律计算即可． 【详解】由幂函数， 故有，则 解得，或， 当时，与坐标轴有交点不合题意. 所以，，满足条件， 故答案为：． 3．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由不等式的性质及幂函数的单调性求解. 【详解】由知， 所以，即 所以，即，解得， 所以不等式的解集为， 故答案为： 4．（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】依题意可得，令，判断函数的单调性，结合，即可求出不等式的解集. 【详解】不等式，即， 令，， 因为与均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以当时， 则不等式的解集是. 故答案为： 5．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设a、b、c是实数，对于下列命题：①如果，那么，其中是正整数；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么，其中是正整数；⑤如果，那么；⑥如果，那么.其中真命题的序号为 . 【答案】①③⑥ 【分析】①结合的乘方的性质进行考虑；②考虑的情况；③考虑的性质；④考虑的情况；⑤取特殊值考虑，⑥结合的单调性进行考虑 【详解】对①，因为表示个相乘，则，那么，①正确； 对②，当时，满足，但，②错误； 对③，若，则且，所以，③正确； 对④，取，则，，④错误； 对⑤，取，满足，但，⑤错误； 对⑥，函数在上单调递增，若，则，⑥正确.     故答案为：①③⑥ 6．（23-24高一上·上海·期末）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出函数在时的值域，根据给定条件确定当时的取值集合，再分类讨论求解即得. 【详解】函数在上单调递增，函数值集合为， 由函数的值域为，得函数在时的取值集合包含 当时，在上单调递减，函数值集合为，不符合题意， 当时，，函数值集合为，不符合题意， 当时，在上单调递增，函数值集合为， 由，得，解得，由，得，因此， 所以的取值范围是. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·期中）设（），记函数在区间（）上的最大值为，若对任意，都有，则实数t的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据在内单调递增，分析可知或，整理得关于的不等式或，的解集为，即可根据求解． 【详解】因为，则，在内单调递增， 则在内单调递增， 又因为在区间上的最大值为， 可得或， 由题意可知：或， 则或， 整理得或， 即关于的不等式或的解集为， 可知， 整理得，则， 故， 故答案为：． 8．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得，计算的取值范围，利用函数的单调性即可得到结果. 【详解】∵，， ∴， ∴， 由得，即， ∵，在上为减函数， ∴， ∴的取值范围是. 故答案为：. 9．（23-24高一上·上海闵行·期末）在沪教版教材必修第一册第四章的章首语中有这样一段话：“通过固定等式中的三个量中的一个量，研究另两个量的相互关系和变化规律，定义三种基本而应用广泛的函数——幂函数､指数函数和对数函数”.若令（是自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记作，若不等式对任意的恒成立，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】根据指对互化以及换底公式得出.进而分，以及，得出的符号，进而列出的关系式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 则， 所以，，，且. 当时，有， 由可得，， 所以在上恒成立，所以； 当时，有， 由可得，， 所以在上恒成立，所以. 综上所述，要使不等式对任意的恒成立， 则. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海闵行·期中）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.若函数在定义域上为“依赖函数”，则的取值范围是 . 【答案】． 【分析】由新定义结合单调性得出，得出的范围，再利用二次函数性质得结论． 【详解】是增函数，因此取得最大值时，取得最小值， 时，，， 所以，， 又，所以， 所以， 故答案为：． 11．（24-25高一上·上海·期中）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”.若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，利用方程根的分布，求出的取值范围. 【详解】因为函数为“半缩函数”， 所以存在，使得在上的取值范围是， 由复合函数的单调性可知，在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以有两个不等的实数根， 令，当时，关于的方程有两个不相等的正实数根， 可得，解得； 当时，关于的方程在上有两个不相等的正实数根， 所以，无解； 所以. 故答案为： 12．（24-25高一上·上海·期中）已知，．函数的图像是一个中心对称图形．若函数与函数的图像交点分别为，，…，（为正整数），则 ．注：． 【答案】 【分析】由已知可得，即可证，即函数与都关于点对称，进而可得解. 【详解】 由已知，则， 则， 即函数关于点对称， 且，函数在上单调递增， 又， 则，， 即函数关于点， 且在，，，上分别单调递减， 作出函数与的图像如图所示， 可知函数与有个交点， 分别为，，，， 且与，与分别关于点对称， 即， 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，幂函数在上单调递增， 当时，幂函数在上单调递减， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大， 所以，所以. 故选：A 14．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】首先由函数的性质，结合函数的值域，画出函数的图象，并结合端点的取值，结合函数的图象，以及最值，即可判断的取值. 【详解】设 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值， 单调递增， 所以的图象如图所示， 令，得或， 当时，的值域为，所以，故①正确； 当时， ，， 的值域为，所以,故②正确； ③当时，，而， 所以，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的图象，以及最值问题，本题的关键是结合最值，画出函数的图象，并根据最值，分析端点值的取值范围. 15．（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数 ，且该函数在上是严格增函数. (1)求此幂函数的表达式； (2)求关于的不等式 的解， 其中. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由及可得； （2）根据与0的大小分类讨论解二次不等式． 【详解】（1）因为 是幂函数且该函数在上是严格增函数. 所以，所以， 所以； （2）不等式为，即， 时，解为，解集为； 时，解为或，解集为； 时，解为或，解集为． 16．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，，幂函数在区间上是严格增函数． (1)求函数的表达式； (2)若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，求实数的范围； (3)若，关于的方程的两实根分别为，（其中），求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据幂函数的图象与性质，结合题意，列不等式求解即可； （2）解不等式，根据不等式的解集中有且仅有个整数，得出这个整数，由此列不等式求出的取值范围； （3）由题意列方程，求出和，判断、与、的大小，计算的值即可． 【详解】（1）由题意知，，即，解得， 又因为，所以，所以； （2）不等式为，即；所以， 解得， 所以不等式的解集为，其中； 因为不等式的解集中有且仅有个整数，则这个整数分别为2，3，4，5，6； 所以，即，解得； 所以的取值范围是； （3）由题意知，方程为，所以， 即； 由根与系数的关系知，，； 解方程，得； 因为，且， 所以，； 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 17．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知指数函数（且在区间上的最大值与最小值之和等于，求实数的值. （2）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上严格递减.若.求实数的取值范围. 【答案】（1）2或  （2） 【分析】（1）指数函数一定是单调函数，故在端点处取最大最小值，代入等式即可求得实数的值； （2）由幂函数的单调性得到指数的不等式，解出的取值范围，求出指数值，由指数函数图像的性质解不等式，从而求得的取值范围. 【详解】（1）指数函数在区间上单调， ∴， ∴或 （2）由题意可知，∴，又∵， ∴或， 当时，，为偶函数， 当时，，为偶函数， ∴，的定义域为， ∴， ∴， ∴ 18．（24-25高一上·上海徐汇·期中）除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法 (1)已知实数，满足. 求证：中至少有一个实数不小于1 (2)已知，，，试比较：a，b，c三者的大小关系 (3)若实数a，b，x，y满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件 【答案】(1)证明见解析 (2)b＞c＞a (3)，当且仅当且同号时，等号成立 【分析】（1）利用反证法易证结论成立； （2）利用函数在上为减函数，函数在上为增函数，可比较大小； （3）利用1的代换，可得. 【详解】（1）（反证法）假设全小于1，即， 所以，这与矛盾， 故假设不成立，所以中至少有一个实数不小于1. （2）因为函数在上为减函数，又，所以，即， 又函数在上为增函数，又，所以， 所以； （3）， ， 当且仅当，即取等号， 所以， 当且仅当且同号时取等号. 19．（24-25高一上·上海·期中）已知， 函数 (1)当时，解不等式 (2)设 是该函数图像上任意不同的两点，且满足点 P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方. (3)设，若对任意的， 在区间上的最大值与最小值的和不大于. 求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由 得到 ，再利用对数函数的单调性求解； （2）由题意得到函数 在定义域内单调递减证明； （3）根据函数 在定义域内单调递减，得到函数 在区间 上的最大值和最小值，化简得到求解. 【详解】（1）解：当 时, , 则 ， , 解得 ， 不等式的解集为 ； （2） 在 上单调递减, 函数 在定义域内单调递减, 所以当点 P在点Q的左侧时，点P在点Q的上方； （3）由（2）知：函数 在定义域内单调递减， 函数 在区间 上的最大值为： , 最小值为， ， 即 ， 令 ， 则，即 在 上单调递增, 解得 ， 又, 实数的取值范围时 . 20．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对于对数函数性质的证明和探究，是研究该函数的必要途径： (1)已知函数的值域为，求：实数a的取值范围； (2)求证：对于对数函数，，若且a，b同时是或中的元素，则必有函数在左侧低于，在右侧高于. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意知函数的值域的子集，利用二次函数的性质列不等式，求解即可； （2）利用作差法比较的大小，即可证明两个函数图像的位置关系，过程中利用了对数运算的性质和换底公式. 【详解】（1）令，由函数的值域为，得； 当时，，不符合题意； 当时，由二次函数的性质得，解得， 则实数a的取值范围是. （2）由题意，， 因为，所以，则； ①当时，在区间上，则，即， 在区间上，则，即， 故函数在点左侧低于，在点右侧高于成立； ②当时，在区间上，则，即， 上，则，即， 故函数在点左侧低于，在点右侧高于成立； 综上所述，对于对数函数，，若且a，b同时是或中的元素， 则必有函数在左侧低于，在右侧高于. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01幂指对数函数全章复习攻略 （6种重点题型归纳+真题过关检测） 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 幂函数的定义与图像】 【题型2 幂函数的性质】 【题型3 指数函数的定义与图像】 【题型4 指数函数的性质】 【题型5 对数函数的定义与图像】 【题型6 对数函数的性质】 一．幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【知识点归纳】 幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． 解析式：y＝xa＝ 定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数； 2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数． 当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下： 1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数． 2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数． 而只有a为正数，0才进入函数的值域． 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的． 二．幂函数的图象 【知识点归纳】 三．幂函数的性质 【知识点归纳】 所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）． （1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）（0，0）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大； c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右； d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数． （2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、图象都通过点（1，1）； b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上； c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴． （3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质： a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线． 四．幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【知识点归纳】 1、幂函数定义： 一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数． （1）指数是常数； （2）底数是自变量； （3）函数式前的系数都是1； （4）形式都是y＝xa，其中a是常数． 2、幂函数与指数函数的对比 式子 名称 a x y 指数函数：y＝ax 底数 指数 幂值 幂函数：y＝xa 指数 底数 幂值 3、五个常用幂函数的图象和性质 （1）y＝x； （2）y＝x2； （3）y＝x3； （4）y＝； （5）y＝x﹣1 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x﹣1 定义域 R R R [0，+∞） {x|x≠0} 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈[0，+∞）时，增 x∈（﹣∞，0]时，减 增 增 x∈（0，+∞）时，减 x∈（﹣∞，0）时，减 公共点 （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1）（0，0） （1，1） 4、幂函数的性质 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）． （2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数． （3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数． （4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数． 五．指数函数的定义、解析式、定义域和值域 【知识点归纳】 指数函数的解析式、定义、定义域、值域 1、指数函数的定义： 一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）． 2、指数函数的解析式： y＝ax（a＞0，且a≠1） 3、理解指数函数定义，需注意的几个问题： ①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R． ②规定底数a大于零且不等于1的理由： 如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义； 如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在． 如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要， 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1． 六．指数函数的图象与性质 【知识点的认识】 1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质： y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 （0，+∞） 性质 过定点（0，1） 当x＞0时，y＞1； x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1 在R上是增函数 在R上是减函数 2、底数对指数函数的影响： ①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴． ②底数对函数值的影响如图． ③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax 与函数y＝的图象关于y轴对称． 3、利用指数函数的性质比较大小： 若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较； 若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值． 七．指数型复合函数的性质及应用 【知识点归纳】 指数型复合函数性质及应用： 指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（ax）与y＝af（x） 复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理 U＝g（x） y＝au y＝ag（x） 增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增 减． 八．指数函数的单调性与特殊点 【知识点归纳】 1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断． 2、同增同减的规律： （1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增； （2）如果0＜a＜1，则函数单调递减． 3、复合函数的单调性： （1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大； （2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”． 九．指数函数的实际应用 【知识点归纳】 指数函数图象的应用： 函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题． 十．指数式与对数式的互化 【知识点归纳】 ab＝N⇔logaN＝b； alogaN＝N；logaaN＝N 指数方程和对数方程主要有以下几种类型： （1）af（x）＝b⇔f（x）＝logab；logaf（x）＝b⇔f（x）＝ab（定义法） （2）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）；logaf（x）＝logag（x）⇔f（x）＝g（x）＞0（同底法） （3）af（x）＝bg（x）⇔f（x）logma＝g（x）logmb；（两边取对数法） （4）logaf（x）＝logbg（x）⇔logaf（x）＝；（换底法） （5）Alogx+Blogax+C＝0（A（ax）2+Bax+C＝0）（设t＝logax或t＝ax）（换元法） 十一．对数的运算性质 【知识点的认识】 对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）． loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaM﹣logaN； logaMn＝nlogaM； loga＝logaM． 十二．对数函数的定义 【知识点归纳】 一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．即ab＝N，logaN＝b． 底数则要大于0且不为1． 十三．对数函数的定义域 【知识点归纳】 一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R． 十四．对数函数的值域与最值 【知识点归纳】 一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R． 定点：函数图象恒过定点（1，0） 十五．对数值大小的比较 【知识点归纳】 1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较． 2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较 3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大） 十六．对数函数的图象与性质 【知识点归纳】 十七．对数函数的单调性与特殊点 【知识点归纳】 对数函数的单调性和特殊点： 1、对数函数的单调性 当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数 当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点 对数函数恒过点（1，0） 十八．指数函数与对数函数的关系 【知识点归纳】 指数函数和对数函数的关系： （1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称． （2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数． （3）指数函数与对数函数的联系与区别： 十九．反函数 【知识点归纳】 【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域． 【性质】 反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色 （1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称 （2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数． （5）一切隐函数具有反函数； （6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】； （8）反函数是相互的且具有唯一性； （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）； （10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））． 题型归纳 【题型1 幂函数的定义与图像】 1．（22-23高一上·上海·期末）记号表示不超过实数的最大整数，若，则的值为（    ） A．4898 B．4899 C．4900 D．4901 2．（21-22高一上·上海金山·期中）设和是两个不同的幂函数，则它们图像交点的个数为（    ） A．1或2或0 B．1或2或3 C．1或2或3或4 D．0或1或2或3 3．（20-21高一上·上海杨浦·期中）已知幂函数①，②，③，④，其中图像关于轴对称的是 （填写全部正确的编号） 4．（22-23高一上·上海徐汇·期末）已知函数的表达式为，若且，则的取值范围是 ． 5．（22-23高一上·上海静安·期中）已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则 ． 6．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知关于x的幂函数 (1)求证：幂函数在第一象限内一定有图像. (2)命题m：两个幂函数有三个公共点，命题n：两个幂函数相同；判断命题m是命题n的什么条件并说明理由. (3)求证：除原点外，幂函数的图像一定与坐标轴无交点. 7．（24-25高一上·上海·课后作业）已知幂函数经过点． (1)当时，求函数的值； (2)是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 8．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数的图像关于点对称． (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在如图的坐标系中作出函数的图象； （提示：列表、描点、连线作图） 9．（21-22高一上·上海黄浦·期末）已知幂函数为偶函数，． (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若函数在上是严格增函数，求k的取值范围． 【题型2 幂函数的性质】 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则实数的取值范围是 . 2．（22-23高一上·上海徐汇·期末）不等式的解为 . 3．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设（为常数），则“函数的图象经过点”是“函数为偶函数”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要””、“既不充分也不必要”） 4．（2023高一上·上海·专题练习）若，求实数a的取值范围. 5．（23-24高一上·上海静安·期中）已知幂函数的图象关于点中心对称; (1)求该幂函数的解析式； (2)设函数，在直角坐标系中做出函数的图像； (3)根据中图像，直接写出不等式的解集， 6．（21-22高一上·上海长宁·期末）已知幂函数的图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数． (1)求的值； (2)求满足不等式的实数的取值范围． 7．（20-21高一上·上海·期末）已知函数，函数， （1）将的解析式化为根式，直接写出其定义域，值域，零点，并指出其在定义域上的单调性，奇偶性（不需要写过程，将答案填在表格中）； 解析式化为根式 定义域 值域 单调性 奇偶性 零点 （2）如果在区间上严格单调递减，求实数a的取值范围. 【题型3 指数函数的定义与图像】 1．（24-25高一上·上海·课堂例题）函数：①；②；③；④．其中，指数函数有 个； 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数（且）的图像过点，若时，；时，，则 ． 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数中a的取值范围是 . 5．（24-25高一上·上海·课后作业）指数函数的图像经过，则 ． 6．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数（且）的图像经过点． (1)求的表达式； (2)求的最小值； (3)设，若恒成立，求实数的取值范围． 【题型4 指数函数的性质】 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在上是严格增函数，则实数a的取值范围是 ． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数都有，则不等式的解集是 ． 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的值域为， (1)求实数的值； (2)求函数，的最小值. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数（且）是定义域为的奇函数． (1)求的值； (2)若，试判断函数单调性，并求使不等式对恒成立的t的取值范围； (3)若，且在上的最小值为，求的值． 6．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知函数，其中且. (1)若，求的最小值； (2)若在区间上的最大值为，求的值； (3)若，且对任意恒成立，求实数的取值范围. 7．（24-25高一上·上海闵行·期中）定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求实数的取值范围； (3)若，，其中（）为常数，如果是“2距”增函数，求实数的取值范围及的最小值. 8．（24-25高一上·上海·期中）已知函数． (1)直接写出函数在区间上的单调增区间和单调减区间： (2)设常数t满足，求函数在区间上的最小值： (3)设函数，对于任意的，关于x的不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【题型5 对数函数的定义与图像】 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）以下四个命题中，真命题的个数为（   ） ①函数最小值为3；    ②若，则； ③不等式的解集为． A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·上海·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）利用函数图像解不等式：的解集是 . 4．（22-23高一上·上海宝山·期末）函数的定义域为，则实数m的取值范围是 . 5．（22-23高一上·上海青浦·阶段练习）若函数的图像恒过一定点，则此定点坐标为 ． 6．（21-22高一上·上海闵行·期末）如图，函数的图象为折线，则不等式的解为 . 7．（21-22高一上·上海松江·期末）设平行于轴的直线分别与函数和的图像相交于点、，若在函数的图像上存在点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，则点的横坐标为 . 8．（22-23高一上·上海徐汇·期末）设为奇函数，a为常数． (1)求a的值； (2)若函数，求与两个函数图像的交点坐标． 9．（22-23高一上·上海徐汇·期末）（1）判断函数的奇偶性并说明理由； （2）证明：函数在上严格增. 【题型7 对数函数的性质】 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 . 2．（24-25高一上·上海嘉定·期中）设条件有意义，条件，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 3．（22-23高一上·上海徐汇·期末）若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ． 4．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数，其中.若关于x的方程恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是 . 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 . 6．（22-23高一上·上海宝山·期末）当，时，则的最小值是 ． 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 . 8．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列不等式，比较正数m及n的大小： (1)； (2)（且）； (3)（，，）． 9．（23-24高一上·上海徐汇·期末）已知函数. (1)求方程的解； (2)若关于x的方程在上有实数解,求实数的取值范围. 10．（24-25高一上·上海·期中）已知全集为R，集合  集合  B=. (1)求集合A，B及A∩B: (2)若C={}， 且满足A∪C=A， 求实数的取值范围. 11．（24-25高一上·上海松江·期中）若函数的定义域为，且对任意，都有，则称具有“性质”． (1)当时，判断是否具有“性质”，并说明理由； (2)当时，证明：具有“性质”； (3)如果函数具有“性质”，求实数的取值范围． 12．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的取值范围； (2)令，求在上的最小值. 真题感知 1．（24-25高一上·上海·期中）函数的定义域为 ． 2．（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数的图像与坐标轴没有交点，则 ． 3．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则关于x的不等式的解集为 . 4．（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 . 5．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设a、b、c是实数，对于下列命题：①如果，那么，其中是正整数；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么，其中是正整数；⑤如果，那么；⑥如果，那么.其中真命题的序号为 . 6．（23-24高一上·上海·期末）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 7．（24-25高一上·上海·期中）设（），记函数在区间（）上的最大值为，若对任意，都有，则实数t的取值范围为 . 8．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足，则的取值范围是 . 9．（23-24高一上·上海闵行·期末）在沪教版教材必修第一册第四章的章首语中有这样一段话：“通过固定等式中的三个量中的一个量，研究另两个量的相互关系和变化规律，定义三种基本而应用广泛的函数——幂函数､指数函数和对数函数”.若令（是自然对数的底数），将视为自变量，则为的函数，记作，若不等式对任意的恒成立，则实数的值为 . 10．（24-25高一上·上海闵行·期中）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.若函数在定义域上为“依赖函数”，则的取值范围是 . 11．（24-25高一上·上海·期中）设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使得在上的取值范围是，则称为“半缩函数”.若函数为“半缩函数”，则实数的取值范围是 12．（24-25高一上·上海·期中）已知，．函数的图像是一个中心对称图形．若函数与函数的图像交点分别为，，…，（为正整数），则 ．注：． 13．（24-25高一上·上海·期中）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·上海闵行·期末）已知函数（）的值域是，有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，.其中正确结论的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 15．（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数 ，且该函数在上是严格增函数. (1)求此幂函数的表达式； (2)求关于的不等式 的解， 其中. 16．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，，幂函数在区间上是严格增函数． (1)求函数的表达式； (2)若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，求实数的范围； (3)若，关于的方程的两实根分别为，（其中），求的值． 17．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知指数函数（且在区间上的最大值与最小值之和等于，求实数的值. （2）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上严格递减.若.求实数的取值范围. 18．（24-25高一上·上海徐汇·期中）除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法 (1)已知实数，满足. 求证：中至少有一个实数不小于1 (2)已知，，，试比较：a，b，c三者的大小关系 (3)若实数a，b，x，y满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件 19．（24-25高一上·上海·期中）已知， 函数 (1)当时，解不等式 (2)设 是该函数图像上任意不同的两点，且满足点 P在点Q的左侧，求证：点P在点Q的上方. (3)设，若对任意的， 在区间上的最大值与最小值的和不大于. 求的取值范围. 20．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对于对数函数性质的证明和探究，是研究该函数的必要途径： (1)已知函数的值域为，求：实数a的取值范围； (2)求证：对于对数函数，，若且a，b同时是或中的元素，则必有函数在左侧低于，在右侧高于. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$