专题01 有理数（考点串讲，5个常考点+12种重难点题型+5个易错+押题预测）-2024-2025学年六年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版2024）

六年级数学上学期·期末复习大串讲 专题01 有理数 沪教版2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理+针对练习 十二大题型典例剖析+技巧总结 五大易错易混经典例题 精选5道期末真题对应考点练 2.(1)相反意义的量是指意义相反的两个量,相反意义的量是成对出现的． (2)判断相反意义的量的标准:①两个同类量;②意义相反． (3)具有相反意义的量的正负性是相对的,且是可以互换的. 1.正数是比零大的数，正数前面加“-”号的数叫做负数. 考点透视 有理数的分类: 有理数 整数 分数 负整数 负分数 正分数 正整数 0 正有理数 负有理数 正分数 负分数 负整数 正整数 0 有理数 注意0的特殊性：0既不是正数，也不是负数. 数轴的定义的三层含义 1. 数轴是一条直线，可以向两端无限延伸. 2. 数轴有三要素：原点、正方向和单位长度. 3. 原点位置的确定、单位长度大小的确定都是根据实际而定 的，一般取向右的方向为正方向. 相反数 1. 定义 只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 特别解读 1. “只有”是指除了符号不同之外，其他部分完全相同. 2. “互为”的意义是指相反数是成对出现的，不能单独存在. 3. 数轴上与原点的距离是a(a是一个正数)的点有两个，分别在原点的左右两边，它们所表示的数互为相反数. 相反数 几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数. 特别地，0 的相反数是0. 2. 相反数的性质 任何一个数都有相反数，而且只有一个； 正数的相反数是负数； 负数的相反数是正数； 0 的相反数是0. 3. 相反数的求法 求一个数的相反数就是在这个数的前面加上“－”号，即a的相反数是－a，其实质是改变这个数的符号. 一级标题：黑体， 9 一级标题：黑体， 10 有理数加法法则 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 互为相反数的两数相加得0； 一个数同0相加，仍得这个数 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 同号相加一边倒， 异号相加“大”减“小”， 符号跟着大的跑， 绝对值相等零正好 数的加法运算律 有理数加法运算律 加法交换律 加法结合律 两个数相加，交换加数的位置，____不变 三个数相加，先把__两个数相加，或者先把__两个数相加，____不变 和 前 后 和 a+b=b+a (a+b)+c= a+(b+c) 有理数减法法则 有理数的减法可以转化为______来进行 减去一个数，等于_____这个数的_______， 用式子表示： _______________ 加 相反数 加法 a－b = a＋(－b) 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 任何数同 0 相乘，都得 0. 有理数乘法的步骤： 两个有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值． 三个数相乘，先把______ ___相乘，或者先把后两个数相乘，____相等 一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同____ ____相乘，再把积_____ 两个数相乘，交换_____ 的位置，____相等 相加 这两 有理数乘法运算律 乘法交换律 ab＝____ ba 乘法结合律 (ab)c＝_____ a(bc) 分配律 a(b＋c)＝ _________ ab＋ac 因数 个数 前两个 数 积 积 一级标题：黑体， 16 1.求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方． 2．乘方的符号法则： (1)正数的任何次幂都是正数； (2)负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； (3)0的正整数次幂都是0. 同学们，我们今天学习了有理教的乘方运算，知道了乘方运算的定义和法则，在进行乘方运算时，一定要仔细认真． 一级标题：黑体， 17 一级标题：黑体， 18 有理数运算的种类 有理数的混合运算包括加、减、乘、除、乘方与开方(将在以后学习到). 通常把六种基本的代数运算分为三级： 加与减是第一级运算； 乘与除是第二级运算； 乘方与开方是第三级运算. 有理数混合运算的顺序 (1)先算高级运算，再算低级运算，即：先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，按从左到右的顺序进行； (3)若有括号，先做括号内的运算，一般按小括号、中括号、大括号依次进行. 活学巧记 混合运算分三级， 运算顺序高到低； 乘方、乘除再加减， 若有括号它优先. C C 4 －2，－1,0,1,2,3,4,5 －4,101,2,0 C C A 8167 题型剖析 易错点一 对有理数的相关概念理解有误而出错 【例1】下列说法正确的是（ ） A.正数和负数统称为有理数 B.符号不同的两个数互为相反数 C.绝对值等于本身的数只有正数 D.互为倒数的两个数的乘积等于1 错解剖析： 对有理数的相关概念的辨析： 1.要扣住关键词，例如相反数的概念中“只有”两字是关键词，不能少，故B选项错误； 2.要扣住关键数，例如关键数0，在很多概念中不能少，故C选项错误. D 易混易错 易错点二 数的正负性不确定而漏解 【例2】已知|a|=12，|b|=7，则a+b= . 正解：因为|a|=12，所以a=12或a=-12. 因为|b|=7，所以b=7或b=-7. 当a=12，b=7时，a+b=19； 当a=-12，b=-7时，a+b=-19； 当a=12，b=-7时，a+b=5； 当 a=-12，b=7 时，a+b=-5. 故答案为19，-19，5或-5. 错解剖析： 由于a，b两个数的正负性不确定，所以已知a，b的绝对值确定a，b时，要分别就a，b是正数或负数进行讨论. 【例3】某出租车上午从停车场出发，沿东西方向的大街行驶，到下午6时，行驶记录如下（规定向东记为正，向西记为负，单位：km）：+10，-3，+4，+2，+8，+5，-2，-8，+12，-5，-7.若汽车每千米耗油0.06L，则从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油多少升？ 正解： （2）|+10|+ |-3|+ |+4|+|+2|++8|+|+5|+|-2|+|-8|+12|+|-5|+|-7| =10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7 = 66（km）， 66×0.06 =3.96（L） 即从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油 3.96 L. 错解剖析: 出租车的总里程与运动的方向无关，而记录的数据中"+”和"-”就表示运动的方向 易错点三 建立有理数运算模型解决实际问题时列式错误 易错点四 有理数的运算中常见的错误 类型 1 运算顺序不正确而出错 【例4】计算：(−𝟗)÷×𝟑−𝟑 错解剖析： 乘与除是同一级运算，在没有括号改变运算顺序时，必须按照从左到右的顺序计算. 易错点四 有理数的运算中常见的错误 类型2 运算律使用错误而出错 【例5】计算： 错解剖析： 有理数的除法没有运算律，只有将除法转换成乘法才能运用乘法的运算律.若不能转化为乘法，则按常规运算顺序和法则计算. 易错点四 有理数的运算中常见的错误 类型3 不理解乘方中底数的括号的意义而出错 【例6】计算： 错解剖析： 在幂的表示中，若底数是负数，则必须用括号括起来；若没有带括号，则负号不属于底数，而属于幂. 易错点五 本章常见漏解情况 类型1 数的正负性不确定而漏解 【例7】已知|a|=12，|b|=7，则a+b= . 正解：因为|a|=12，所以a=12或a=-12. 因为|b|=7，所以b=7或b=-7. 当a=12，b=7时，a+b=19； 当a=-12，b=-7时，a+b=-19； 当a=12，b=-7时，a+b=5； 当 a=-12，b=7 时，a+b=-5. 故答案为19，-19，5或-5. 错解剖析： 由于a，b两个数的正负性不确定，所以已知a，b的绝对值确定a，b时，要分别就a，b是正数或负数进行讨论. 易错点五 本章常见漏解情况 类型2 数轴上点的位置不确定而漏解 【例8】在数轴上与表示-3的点相距10个单位长度的点表示的数是 . 正解： 当与-3相距10个单位长度的点在-3的右侧时， -3+10=7； 当与-3相距10个单位长度的点在-3的左侧时， -3-10=-13. 故答案为7 或-13. 错解剖析： 在数轴上与-3相距10个单位长度的点有可能在-3的右侧也有可能在-3的左侧.由于点的位置不确定，所以应分两种情况考虑. 1.（2024春•宝山区期末）如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b,则下列式子正确的是( ____ ) A.a+b＞0 B.a-b＞0 C.ab＞0 D.|a|＞|b| 【解析】解：由题意可知：a＜-1＜0＜b＜1， A、由题意可知，a＜-1，0＜b＜1，∴a+b＜0，故选项A不符合题意； B、由题意可知，a＜-1，0＜b＜1，∴a-b＜0，故选项B不符合题意； C、由题意可知，a＜-1，0＜b＜1，∴ab＜0，故选项C不符合题意； D 押题预测 D、由题意可知，a＜-1，0＜b＜1，∴|al>|b|,故选项D符合题意； 故选：D． 53 2.（2023春•长宁区期末）a为有理数，定义运算符号△：当a＞-2时，△a=-a,△a=a；当a=-2时，△a=0,根据这种运算，则△[4+△(2-5)]的值为 ____ ． 【解析】解：根据题中的新定义得：△(2-5)=△(-3)=-3， 则原式=△(4-3)=△1=-1，故答案为：-1 -1 3.（2023春•杨浦区期末）在数轴上，如果点A所表示的数是-1，那么到点A距离等于4个单位的点所表示的数是 _______ ． -5和3 【解析】解：在数轴上，如果点A所表示的数是-1， 那么到点A距离等于4个单位的点所表示的数是-5和3， 故答案为：-5和3 54 4.（2023春•嘉定区期末）计算： ． 【解析】解： = = = = ． 55 5.（2023春•长宁区期末）小明表演魔术，从一副除去大小王的扑克中请观众随机选择了4张牌，并让观众每次取其中三张牌，将牌面的数字相加，牌面数字之和分别为18，24,25，26．小明立刻说出了观众随机选择的4张扑克牌面的数字．这4张牌牌面的数字都是几呢？你能尝试用数学原理去揭秘这个魔术吗？(A表示1，J表示11，Q表示12，K表示13) 【解析】解：设这4张牌牌面的数字分别为a,b,c,d, 由题意得：a+b+c=18，a+b+d=24，a+c+d=25，b+c+d=26， ∴3a+3b+3c+3d=18+24+25+26， ∴a+b+c+d=31， ∴d=31-(a+b+c)=31-18=13， c=31-(a+b+d)=31-24=7， b=31-(a+c+d)=31-25=6， a=31-(b+c+d)=31-26=5， ∴这5张牌牌面的数字分别为5，6，7，13． 56 考点1：有理数的分类及相关的概念 1．在有理数0，－eq \f(2,3)，5,3.2，－20%中，分数有(　　) A．1个　　 B．2个 C．3个　　 D．4个 2．已知数轴上两点A、B到原点的距离是2和7，则A、B两点间的距离是(　　) A．5　　 B．9 C．5或9　　 D．7 －4,10%，－1eq \f(1,2)，－2.06,101,2，－1.5，0.eq \o(6,\s\up6(·)) 3．若a、b互为相反数，m、n互为倒数，k的平方等于4，则100a＋99b＋mnb＋k2的值为 . 4．使|x－5|＋|x＋2|值最小的所有符合条件的整数x有 . 5．把下列各数按要求分类． －4,10%，－1eq \f(1,2)，－2.06,101,2，－1.5,0， 0.1010010001…，0.eq \o(6,\s\up6(·)). (1)负整数集合{ …}； (2)正分数集合{ …}； (3)整数集合{ …}； (4)有理数集合{ …}． －4 10%,0.eq \o(6,\s\up6(·)) 考点2：有理数的大小比较 6．下列各式中，大小关系成立的是(　　) A．－0.3＜－eq \f(1,3) B．－eq \f(6,5)＞－eq \f(7,6) C．－eq \f(9,10)＞－eq \f(10,9) D．(－2)3＞(－2)2 7．如图，数轴上的两个点A、B所表示的数分别是a、b，那么a、b、－a、－b的大小关系是(　　) A．b＜－a＜－b＜a B．b＜－b＜－a＜a C．b＜－a＜a＜－b D．－a＜－b＜b＜a 考点3:有理数的运算 8．设n是自然数，则eq \f(－1n＋－1n＋1,2)的值为(　　) A．0 B．1 C．－1 D．1或－1 9．计算： (1)(－12eq \f(10,37))＋3eq \f(15,37)＋(－4.25)－(＋eq \f(5,37))－(－15eq \f(1,2))－(＋eq \f(9,4))； 解：原式＝(－12eq \f(10,37))＋3eq \f(15,37)＋(－4eq \f(1,4))－(＋eq \f(5,37))－(－15eq \f(1,2))－(＋eq \f(9,4)) ＝[(－12eq \f(10,37))＋(－eq \f(5,37))＋(3eq \f(15,37))]＋[(－4eq \f(1,4))＋(－eq \f(9,4))＋(15eq \f(1,2))]＝－9＋9＝0； (4)|eq \f(1,2)－1|＋|eq \f(1,3)－eq \f(1,2)|＋|eq \f(1,4)－eq \f(1,3)|＋…＋|eq \f(1,1000)－eq \f(1,999)|. 解：原式＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,999)－eq \f(1,1000)＝1－eq \f(1,1000)＝eq \f(999,1000). (2)(－11eq \f(1,7))×eq \f(1,5)＋(－137eq \f(1,3))÷5＋(＋112eq \f(1,3))÷5＋(6eq \f(1,7))×eq \f(1,5)； 解：原式＝[(－11eq \f(1,7))×eq \f(1,5)＋6eq \f(1,7)×eq \f(1,5)]＋[(－137eq \f(1,3))÷5＋112eq \f(1,3)÷5] ＝[(－11eq \f(11,7)＋6eq \f(1,7))×eq \f(1,5)]＋[(－137eq \f(1,3)＋112eq \f(1,3))÷5]＝[(－5)×eq \f(1,5)]＋[(－25)÷5]＝－1＋(－5)＝－6； (3)－22÷(－eq \f(1,2))×(－1)2021－(1eq \f(3,8)＋2eq \f(1,3)－3eq \f(3,4))×24； 解：原式＝－7； 考点4：有理数的应用题 10．在完成“我要巡逻”的任务时，王平在一条笔直的东西走向的大道上巡逻，他从某岗亭出发，巡逻了一段时间停留在A处，规定以岗亭为原点，约定向东为正方向，这段时间行走的记录如下(单位：m)：＋100，－200，＋350，－150，＋600，－140. (1)A在岗亭哪个方向？距岗亭多远？ (2)王平最后返回岗亭，这次他共巡逻多少米？ 解：(1)(＋100)＋(－200)＋(＋350)＋(－150)＋(＋600)＋(－140) ＝(100＋350＋600)＋(－200－150－140)＝1050＋(－490)＝560(m)． 答：A在岗亭的东边，距岗亭560 m； (2)|＋100|＋|－200|＋|＋350|＋|－150|＋|＋600|＋|－140|＋560 ＝100＋200＋350＋150＋600＋140＋560＝2100(m)． 答：这次他共巡逻2100 m. 考点5：规律探究 11．(湘潭中考)算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字．如图： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如下： INCLUDEPICTURE"W054.TIF" ，则 表示的数是 . 12．观察下列算式1－eq \f(1,22)＝eq \f(3,4)＝eq \f(1,2)×eq \f(3,2)，(1－eq \f(1,22))(1－eq \f(1,32))＝eq \f(3,4)×eq \f(8,9)＝eq \f(1,2)×eq \f(3,2)×eq \f(2,3)×eq \f(4,3)，… (1)研究上述算式，你发现什么规律？请用你的发现计算：(1－eq \f(1,22))(1－eq \f(1,32))(1－eq \f(1,42))…(1－eq \f(1,1002))； (2)计算：(1－eq \f(1,22))(1－eq \f(1,32))(1－eq \f(1,42))…(1－eq \f(1,n2))(n是正整数)． (2)由(1)知x＝－2，y＝3，所以|x|＋|y|＝|－2|＋|3|＝2＋3＝5. 题型一：　利用绝对值的非负性求字母的值 1．当x为何值时，5－|x－2|的值最大，求出最大值． 解：因为|x－2|≥0，所以当x＝2时，|x－2|的值最小，5－|x－2|的值最大，所以5－|x－2|的最大值为5. 2．若|x＋2|＋|y－3|＝0. (1)求x、y的值； (2)求|x|＋|y|的值． 解：(1)因为|x＋2|≥0，|y－3|≥0， 又|x＋2|＋|y－3|＝0，所以x＋2＝0，y－3＝0，所以x＝－2，y＝3； 题型二：绝对值在生活中的应用 3．司机小李某天下午的营运全是在南北走向的鼓楼大街进行的．如果规定向南为正，向北为负，他这天下午行车里程如下(单位：km)： ＋15，－3，＋14，－11，＋10，＋4，－26. (1)小李在送第几位乘客时行车里程最远？ (2)若汽车耗油量为0.2 L/km，这天下午汽车共耗油多少升？ 解：(1)本题就是比较各数的绝对值是哪个最大，所以小李在送最后一名乘客时行车里程最远，是26 km； (2)总耗油量为0.2×(|＋15|＋|－3|＋|＋14|＋|－11|＋|＋10|＋|＋4|＋|－26|)＝16.6(L)． 答：这天下午汽车共耗油16.6 L. 4．某工厂生产一批精密的零件要求是50eq \o(\s\up17(＋0.04),\s\do15(－0.03))(表示圆形工件的直径，单位是mm)，抽查了5个零件，数据如下表，超过规定的记作正数，不足的记作负数. 1号 2号 3号 4号 5号 ＋0.031 －0.037 ＋0.018 －0.021 ＋0.042 (1)哪些产品是符合要求的？ (2)符合要求的产品中哪个质量最好？用绝对值的知识加以说明． 解：(1)1号，3号，4号符合要求； (2)因为|＋0.018|＜|－0.021|＜|＋0.031|，所以3号零件质量最好． 题型三：利用绝对值的性质化简 5．阅读下列材料： 若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点间的距离表示为|AB|. ①当A、B两点在原点的同侧时，如图(a)(b)所示，都可以得到|AB|＝|b|－|a|； ②当A、B两点在原点的异侧时，如图(c)(d)所示，都可以得到|AB|＝|b|＋|a|. 回答下列问题： (1)若数轴上的点C、D、E分别表示－2，－5,3，求|CD|、|DE|； (2)如果点M表示－4，点N表示数x，且|MN|＝5，求x的值． 解：(1)|CD|＝|－5|－|－2|＝5－2＝3，|DE|＝|－5|＋|3|＝5＋3＝8； (2)若M、N都在原点左侧时，x＝－(5＋4)＝－9，若M、N在原点异侧时， MN＝|－4|＋|x|＝5，解得x＝±1，因为x＞0，所以x＝1，综上所述，x的值是－9或1. 题型四：利用分类讨论计算 6．若|a|＝28，|b|＝20，且|a＋b|＝－(a＋b)，求a－b的值． 解：因为|a|＝28，|b|＝20，所以a＝±28，b＝±20. 因为|a＋b|＝－(a＋b)，所以a＋b≤0，a＝－28，b＝－20或a＝－28，b＝20. 当a＝－28，b＝－20时，a－b＝－28－(－20)＝－8； 当a＝－28，b＝20时，a－b＝－28－20＝－48， 所以a－b的值为－8或－48. 题型五：利用计算说理决策 7．甲、乙两队进行拔河比赛，标志物先向乙队方向移动了0.2 m，又向甲队方向移动了0.5 m，相持一会儿后，又向乙队方向移动了0.4 m，随后又向甲队方向移动了1.3 m，在大家的欢呼鼓励中，标志物又向甲队移动了0.9 m，若规定标志物向某队方向移动2 m，该队即可获胜，那么现在哪队赢了？用算式说明你的判断． 解：设标志物向乙队方向移动为负，向甲队方向移动为正， 则－0.2＋0.5－0.4＋1.3＋0.9＝2.1＞2，故甲队赢了． 8．经过某年的特大洪水灾害后，每年夏天水库管理员都相当警觉．水库的警戒水位为18.8 m，值班人员记录了一周内的水位变化情况，如下表(单位：m，上周末刚好达到警戒水位，“＋”表示比前一天上升，“－”表示比前一天下降，取警戒水位为0)： 星期 一 二 三 四 五 六 日 变化情况 ＋0.4 ＋0.5 －0.2 ＋0.4 ＋0.5 －0.1 －0.3 (1)本周内哪一天水位最高？哪一天水位最低？它们与警戒水位的距离是多少？ (2)试说明本周的水位变化的总体情况； (3)若超过警戒水位1.5 m时就要开闸放水，以确保大坝安全，试问在哪一天需要开闸放水？ 解：(1)星期五水位最高，星期一水位最低，最高水位与警戒水位的距离是1.6 m，最低水位与警戒水位的距离是0.4 m； (2)(＋0.4)＋(＋0.5)＋(－0.2)＋(＋0.4)＋(＋0.5)＋(－0.1)＋(－0.3)＝1.2(m)， 本周的水位变化总体情况上升1.2 m； (3)星期五要开闸放水． 题型六：有理数加减混合运算 9．计算： (1)(－4eq \f(7,9))－(－2eq \f(1,6))＋(－2eq \f(2,9))－(＋6eq \f(1,6))； 解：原式＝(－4eq \f(7,9)－2eq \f(2,9))＋(2eq \f(1,6)－6eq \f(1,6))＝－7－4＝－11； (2)3＋(－eq \f(5,12))－eq \f(3,16)－(eq \f(1,12))－eq \f(5,16)＋2eq \f(3,4). 解：原式＝3－eq \f(5,12)－eq \f(3,16)－eq \f(1,12)－eq \f(5,16)＋2eq \f(3,4)＝3＋[(－eq \f(5,12))－eq \f(1,12)]＋[(－eq \f(3,16))－eq \f(5,16)]＋2eq \f(3,4) ＝5eq \f(3,4)－eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝4eq \f(3,4). 题型八：有理数的加减乘除混合运算 11．计算： (1)eq \f(6,5)×(－eq \f(1,3)－eq \f(1,2))÷eq \f(5,4)； 解：原式＝eq \f(6,5)×(－eq \f(5,6))×eq \f(4,5)＝－eq \f(4,5)； (2)－4eq \f(1,8)÷1eq \f(1,32)－(－1eq \f(1,2))÷(－2eq \f(2,9))×(－2eq \f(2,3))； 解：原式＝－eq \f(33,8)×eq \f(32,33)－(－eq \f(3,2))×(－eq \f(9,20))×(－eq \f(8,3)) ＝－4＋eq \f(9,5)＝－2eq \f(1,5)； 题型七：有理数乘除混合运算 10．计算： (1)(－2eq \f(4,7))×(1eq \f(5,6))÷(1eq \f(1,21))； 解：原式＝－eq \f(18,7)×eq \f(11,6)×eq \f(21,22)＝－eq \f(9,2)； (2)3eq \f(1,7)×(3eq \f(1,7)÷7eq \f(1,3))×eq \f(7,22)÷1eq \f(1,21). 解：原式＝eq \f(22,7)×eq \f(22,7)×eq \f(3,22)×eq \f(7,22)×eq \f(21,22)＝eq \f(9,22). (3)(－32＋3)×[(－1)2020－(1－0.5×eq \f(1,3))]． 解：原式＝(－9＋3)×(1－1＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3))＝－6×eq \f(1,6)＝－1. 题型九：加减乘除乘方混合运算 12．计算： (1)－110－(eq \f(13,14)－eq \f(11,12))×[9－(－3)2]＋eq \f(1,2)÷3； 解：原式＝－1－(eq \f(13,14)－eq \f(11,12))×(9－9)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝－1＋eq \f(1,6)＝－eq \f(5,6)； (2)－32×(－eq \f(1,3))2＋(eq \f(3,4)－eq \f(1,6)＋eq \f(3,8))×(－24)； 解：原式＝－9×eq \f(1,9)－(eq \f(3,4)×24－eq \f(1,6)×24＋eq \f(3,8)×24)＝－1－(18－4＋9)＝－24； 题型十：用乘法分配律简便运算 13．计算： (1)(eq \f(11,12)－eq \f(7,9)－eq \f(5,18))×36－6×1.43＋3.93×6； 解：原式＝eq \f(11,12)×36－eq \f(7,9)×36－eq \f(5,18)×36＋6×(－1.43＋3.93) ＝33－28－10＋6×2.5＝－5＋15＝10； (2)－32eq \f(16,25)÷(－8×4)； 解：原式＝－32eq \f(16,25)÷(－32)＝(32＋eq \f(16,25))×eq \f(1,32)＝1＋eq \f(1,50)＝1eq \f(1,50)； (3)eq \f(5,7)÷(－2eq \f(2,5))＋eq \f(5,7)×eq \f(5,12)－eq \f(5,3)÷4； 解：原式＝eq \f(5,7)×(－eq \f(5,12))＋eq \f(5,7)×eq \f(5,12)－eq \f(5,12)＝eq \f(5,12)×(－eq \f(5,7)＋eq \f(5,7)－1)＝－eq \f(5,12)； (4)[eq \f(1,4)×(－3)－eq \f(5,6)＋7]÷eq \f(1,12)－23×(－2eq \f(1,2))2×(－1)2021. 解：原式＝(－eq \f(3,4)－eq \f(5,6)＋7)÷eq \f(1,12)－8×eq \f(25,4)×(－1)＝(－eq \f(3,4)－eq \f(5,6)＋7)×12＋50 ＝－eq \f(3,4)×12－eq \f(5,6)×12＋7×12＋50＝－9－10＋84＋50＝115. 题型十一：利用技巧计算特殊算式 14．计算： (1)(－eq \f(1,30))÷(eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)－eq \f(2,5)－eq \f(1,2))(倒数求法)； 解：(eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)－eq \f(2,5)－eq \f(1,2))÷(－eq \f(1,30)) ＝(eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)－eq \f(2,5)－eq \f(1,2))×(－30) ＝eq \f(1,3)×(－30)＋eq \f(1,6)×(－30)－eq \f(2,5)×(－30)－eq \f(1,2)×(－30) ＝－10－5＋12＋15＝12. 所以(－eq \f(1,30))÷(eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)－eq \f(2,5)－eq \f(1,2))＝eq \f(1,12)； (2)eq \f(1,2×5)＋eq \f(1,5×8)＋eq \f(1,8×11)＋eq \f(1,11×14)；(拆项相消法) 解：原式＝eq \f(1,3)×(eq \f(1,2)－eq \f(1,5))＋eq \f(1,3)×(eq \f(1,5)－eq \f(1,8))＋eq \f(1,3)×(eq \f(1,8)－eq \f(1,11))＋eq \f(1,3)×(eq \f(1,11)－eq \f(1,14)) ＝eq \f(1,3)×(eq \f(1,2)－eq \f(1,5)＋eq \f(1,5)－eq \f(1,8)＋eq \f(1,8)－eq \f(1,11)＋eq \f(1,11)－eq \f(1,14))＝eq \f(1,3)×(eq \f(1,2)－eq \f(1,14))＝eq \f(1,7)； (3)1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,22020)；(错位相减法) 解：设S＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋eq \f(1,23)＋…＋eq \f(1,22020)①， 则2S＝2＋1＋eq \f(1,21)＋eq \f(1,22)＋…＋eq \f(1,22019)②， ②－①得，S＝2－eq \f(1,22020)，即原式＝2－eq \f(1,22020)； (4)1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)－eq \f(1,32)＋eq \f(1,64)－eq \f(1,128).(整体设元法) 解：设原式为S，则： S＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)－eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)－eq \f(1,32)＋eq \f(1,64)－eq \f(1,128)①， 2S＝2－1＋eq \f(1,2)－eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)－eq \f(1,16)＋eq \f(1,32)－eq \f(1,64)②， 把①和②式左边和左边，右边和右边分别相加， 得2S＋S＝2＋(1－1)＋(－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2))＋…＋(eq \f(1,64)－eq \f(1,64))－eq \f(1,128)，则3S＝2－eq \f(1,128)＝eq \f(255,128)，所以S＝eq \f(85,128).即原式＝eq \f(85,128). 题型十二：新定义运算 15．规定符号“*”的意义是a*b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－ba≥b,b2＋aa＜b))，比如3*1=32-1=8，2*3=32+2=11，求(-3)*(-2)+4*(-1)的值． 解：由题意，得原式＝(－2)2＋(－3)＋42－(－1)＝18. $$