专题01 二次根式（考点串讲，9个常考点+7种重难点题型+4个易错+押题预测）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（沪教版）

八年级数学上学期·期末复习大串讲 专题01 二次根式 沪教版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 九大常考点：知识梳理 七大题型重难点总结+举一反三 四大易错易混经典例题 精选5道期末真题对应考点练 1．二次根式的概念 一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式. 对于二次根式的理解： ①带有二次根号；②被开方数是非负数，即a≥0. [易错点] 二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义. 考点透视 2．二次根式的性质: 3．最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次 根式． (1)被开方数不含_______； (2)被开方数中不含能___________的因数或因式． 开得尽方 分母 4．二次根式的乘除法则： 乘法： ＝______(a≥0，b≥0)； 除法： ＝____(a≥0，b>0)． 可以先将二次根式化成_____________，再将________________的二次根式进行合并． 被开方数相同 最简二次根式 5．二次根式的加减： 类似合并同类项 逆用也适用. 5 二次根式混合运算 乘法公式 化简求值 分母有理化 化简已知条件和所求代数式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 6．二次根式的混合运算 考点一、二次根式 1.下列各式：①；②；③；④；⑤，其中是二次根式的有 　①②⑤　⁠.（只填序号） ①②⑤ 考点透视 2.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x＞3　⁠. x＞3 3.下列二次根式是最简二次根式的是（　B　） A. B. C. D. B 考点二、最简二次根式 4.若与最简二次根式5可以合并，则a＝ 　2　⁠. 2 考点三、二次根式的非负性 5.若＝，且a为偶数，则a的值为 　6　⁠. 6 6.已知a，b，c满足（a－）2＋＋｜c－3｜＝0. （1）求a，b，c的值. 解：（1）根据题意，得（a－）2＝0，＝0，＝0， ∴a－＝0，b－5＝0，c－3＝0， 解得a＝2，b＝5，c＝3. （2）以a，b，c为边长能否构成三角形？请说明理由.若能构成三角形，求出三角形的周长. 解：（2）以a，b，c为边长能构成三角形.因为2＋3＝5＞5，所以能构成三角形.该三角形的周长为2＋5＋3＝5＋5. 6.已知a，b，c满足（a－）2＋＋｜c－3｜＝0. 考点四、 二次根式的性质 7.若a＞0，b＜0，则化简（）2－｜ab｜的结果为（　A　） A.a＋ab B.a－ab C.－a＋ab D.－a－ab A 8.已知2＜c＜8，化简－. 解：∵2＜c＜8，∴c－2＞0，c－4＜0， ∴－ ＝－ ＝c－2－＝c－6. 考点五、二次根式的运算 9.已知一个长方形面积是，宽是，则它的长是（　C　） A.3 B. C.2 D.4 C 10. [2023重庆B卷]估计的值应在（　B　） A.7和8之间 B.8和9之间 C.9和10之间 D.10和11之间 B 11.若＝a，＝b，则可以表示为 　ab　⁠. ab 12.计算： （1）×÷2； 解：（1）原式＝×÷2＝×＝×＝3. （2）×； 解：（2）原式＝×3＝×3 ＝×3－×3＝3－6. （3）（－3）（＋4）－（－）2. 解：（3）原式＝－ ＝－－3＋2－2 ＝48－18－3＋2－2＝25＋2. 13. 已知x＝3＋2，求x2＋＋6x＋＋7的值. 解：x2＋＋6x＋＋7＝x2＋＋2＋6x＋＋5 ＝＋6＋5， 设x＋＝a，则原式＝a2＋6a＋5， ∵x＝3＋2，∴＝＝3－2，∴a＝x＋＝6. ∴原式＝62＋6×6＋5＝77. 14.【创新题】请用多种方法比较7与6的大小.（请至少使用两种方法） 解：方法一： ∵7＝＝，6＝＝且294＞252，∴7＞6. 方法二：∵7＞0，6＞0，（7）2＝294，（6）2＝252， 且294＞252，∴7＞6. 方法三：∵＝，＝，且＜，∴＜，即＜. ∵7＞0，6＞0，∴7＞6. 方法四：∵7＞0，6＞0，＝＞1，∴7＞6. 方法五：∵＝＞0，∴7＞6. 考点六、分母有理化与分子有理化 15.阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用.其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式. 比如：－＝＝. 分子有理化可以用来比较某些含二次根式的式子的大小，也可以用来处理一些含二次根式的式子的最值问题. 例如：1.比较－和－的大小. 解：先将它们分子有理化如下：－＝，－＝. ∵＋＞＋＞0， ∴＜，∴－＜－. 例如：2.求y＝－的最大值. 解：由x＋2≥0，x－2≥0可知x≥2，而y＝－＝. 当x＝2时，分母＋取最小值2.所以y的最大值是2. 利用上面的方法，完成下面的问题： （1）把下列各式化成分子中不含根式的形式：①－；②. 解：（1）①－＝. ②＝. （2）比较－和－的大小. 解：（2）－＝，－＝， ∵＋＞＋＞0，∴＜， ∴－＜－. （3）求y＝－＋3的最大值. 解：（3）∵x＋1≥0，x－1≥0，∴x≥1. ∵y＝－＋3＝＋3， ∴当x＝1时，＋取最小值，∴y的最大值是＋3. 考点七、分类讨论思想 16.已知实数x，y满足｜x－5｜＋＝0，求以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长. 解：根据题意得，x－5＝0，y－2＝0， 解得x＝5，y＝2， ①当5是腰长时，三角形的三边分别为5，5，2，能组成三角形， 周长为5＋5＋2＝10＋2. ②当2是腰长时，三角形的三边分别为2，2，5， 此时能组成三角形，周长为2＋2＋5＝4＋5. 所以三角形的周长为10＋2或4＋5. 考点八、建模思想 17. [2023合肥庐阳区期末]（1）如图①，在边长为（＋）cm的正方形的一角剪去一个边长为（－）cm的小正方形，求图中阴影部分的面积. 解：（1）由题意得S阴影＝－ ＝5＋2＋3－＝4（cm2）. （2）小明是一名爱动脑筋的学生，他发现沿图①中的虚线将阴影部分剪开，可拼成如图②所示的长方形，请你根据小明的思路求图①中阴影部分的面积. 解：（2）由题意得，图②中长方形的长为 ＋＝2（cm）， 图②中长方形的宽为－＝2（cm）， ∴S阴影＝2×2＝4（cm2）. 考点九、二次根式的运算与代数式求值的常见解法 18.先化简，再求值：÷，其中a＝2－，b＝2＋. 解：原式＝·＝ab， 将a＝2－，b＝2＋代入可得， 原式＝（2－）·（2＋）＝2. 19.[2023西安模拟]已知a＝2＋，b＝2－，求下列式子的值： （1）a2－3ab＋b2. 解：（1）a2－3ab＋b2＝－ab， ∵a＝2＋，b＝2－， ∴原式＝ －＝24－＝26. （2）（a＋1）（b＋1）. 解：（2）（a＋1）（b＋1）＝ab＋a＋b＋1， ∵a＝2＋，b＝2－， ∴原式＝ ＋2＋＋2－＋1＝－2＋5＝3. 重难点1：二次根式的概念 下列式子中是二次根式的有哪些？请说明原因. ① ② ③ ④ ⑤ 序号 结论 理由 ① ② ③ ④ ⑤ 是 不是 不一定 不是 是 含有二次根号，且被开方数是非负数. 不是二次根号. 被开方数是负数. 被开方数可能为负数，也可能为非负数. 注意是非负数，则+2也是非负数. 题型剖析 26 （1） （2） （3） 重难点2：二次根式有无意义的条件 当 a 取何值时，下列式子在实数范围内有意义？ 根号下式子非负 同时分母不为0 同时满足两个根号下式子非负 根号下式子非负 同时分母不为0 当 a 取何值时候，下列式子在实数范围内有意义？ （1） （2） （3） 解：（1）由 a+2≥0 且 a-5≠0，得 a≥-2 且 a≠5. 所以当 a≥-2 且 a≠5 时， 在实数范围内有意义. 当 a 取何值时候，下列式子在实数范围内有意义？ 解：（2）由 a-1≥0 且 3-a≥0 ，得 1≤ a ≤ 3. 所以当 1≤ a ≤ 3 时， 在实数范围内有意义. （1） （2） （3） 当a取何值时候，下列式子在实数范围内有意义？ 解：（3）由 3a-2>0，得 a>. 所以当 a> 时， 在实数范围内有意义. （1） （2） （3） 类型 举例 式子有意义的条件 单个二次根式 多个二次根式相加 二次根式作为分式的分母 二次根式与分式相加 二次根式与零指数幂相加 1.若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）. 解：由 在实数范围内有意义，得 x-2≥0 且 x-7≠0. A A. x≥2 且 x≠7 B. x ≥2 C. x>2 且 x≠7 D. x<2 解得 x≥2 且 x≠7. 举一反三 重难点3：二次根式的性质 计算： （1） （2） 解：（1） （2） 计算： （3） （4） 解：（3） （4） （1）三类常见的非负数：. （2）若即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0. （3）化简形如的式子时，要先转化为，再根据a的符号去掉绝对值符号. 2.若 . 解：由题意可知： 所以 -3 举一反三 3.已知与 解答本类题时常先依据“若几个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0”列出方程组，然后解方程组求出字母的值，再把字母的值代入相关式子求值. 3.已知与 解： ∵ 与 ∴ ∵ ∴，解得 ∴=1 4.化简： 解： 原式= 由题意可得： ≥0，即 所以原式= -1- +3=2. ≥0 5. 解：由题意可得8-n≥0且n≥0，所以0≤n ≤8，所以0≤8-n ≤8. 因为，即8-n是一个完全平方数，在0~8之间的完全平方数有0，1，4. 所以当8-n=0时，解得n=8；当8-n=1时，解得n=7；当 8-n=4时，解得n=4. 综上，自然数n的值为8或7或4. 重难点4：最简二次根式 把下列二次根式化成最简二次根式： （1） （2） 解：（1） （2） （3） （1） （2） 重难点5：二次根式的乘法法则 1.计算下列式子： 解：（1） （2）()() （1） （2） 1.计算下列式子： 解：（3） 将二次根式下的带分数化为假分数. 2.化简下列各式子： （1） （2） 解：（1） （2） 2.化简下列各式子： 解：（3） （1） （2） 重难点6：二次根式的除法法则 （1） （2） 解：（1） （2） 1.计算下列式子： 将二次根式下的带分数化为假分数 2.化简下列各式子: （1） （2） 解：（1） （2） （3） 重难点7：二次根式的加减法 计算下列式子： （1） （2） 解：（1） （2） 重难点8：二次根式的混合运算 计算下列式子： （1） （2） 解：（1） 计算下列式子： （1） （2） 解：（2） 二次根式乘除混合运算的方法 （1）将式子中的除法转化为乘法； （2）利用乘法运算律转化为系数和被开方数的运算； （3）将系数和被开方数分别相乘； （4）结果化成最简二次根式（或整式）. 6.计算： 解：（1） 举一反三 7.计算： 解：原式= = = 利用完全平方公式和平方差公式进行运算. 8.先化简 . 解：原式= = 当时， 原式==2. 9. 解析：本题可以采用“0”点取值法，即令要讨论的每个代数值为 0，求出代数式的值为 0 时字母的值，然后进行分类讨论.分类讨论时要做到不重复、不遗漏. 9. 解： 原式= . ①当<-3时， . 所以原式= . 9. ②当-3≤≤1时， . 所以原式= . ③当>1时， . 所以原式= . 9. 综上可知，原式= 4（-3≤≤1） 易错易混 1..(2023秋·宝山区期末)在下列二次根式中，属于最简二次根式的是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：A、 =2 ，不符合题意； C 押题预测 B、 = a,不符合题意； C、 是最简二次根式，符合题意； D、 = ，不符合题意； 故选：C． 63 2.(2023秋·浦东新区期末)在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是( ____ ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【解析】解：A、 =2 ，被开方数是3，与 的被开方数2不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意． B、 = ，被开方数是2，与 的被开方数2相同，是同类二次根式，故本选项符合题意． C、 =|b| ，被开方数是ab,与 的被开方数2ab不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意． D、 和 的被开方数分别是a-1、a+1，不是同类二次根式，故本选项不符合题意． 故选：B． B 64 3.(2023秋·静安区校级期末)化简 =　 　． 【解析】解： = = -1， 故答案为： -1． 4.(2023秋·浦东新区期末)化简： = 　　． 【解析】解：∵4＜5， ∴2＜ ， ∴原式= -2． 故答案为： -2． 65 5.(2023秋·崇明区期末)化简： ． 【解析】解：原式=(6 - +4 )÷2 =3- +2 = ． 66 eq \r(a) eq \r(\f(a,b)) eq \r(ab) $$